10.排列,组合和概率

10．排列、组合、二项式定理和概率

一、复习要求

1、排列数、组合数的计算、化简、证明等；会解排列、组合应用题，掌握常见应用题的处理思路。

2、掌握二项式定理，会用展开式通项求有关展开式的问题。

3、理解随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互独立事件同时发生的概率。

二、复习指导

1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题，常先分类再分步。

2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别。

排列数公式：)!

m n (!n )]1m (n [)2n )(1n (n A m n -=----= ，当m=n 时，!n 12)1n (n A m n =⋅-= ，其中m ，n ∈N +，m ≤n ，规定0!=1 组合数公式：)!

m n (!m !n !m )]1m (n [)2n )(1n (n A A C m m m n

m n -=----== 组合数性质：m 1n 1m n m n m n n m n C C C ,C C +--=+=，规定1C 0n =，其中m ，n ∈N +，m

≤n

3、处理排列组合应用题的规律

（1）两种思路：直接法，间接法

（2）两种途径：元素分析法，位置分析法

（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提

（4）基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法等

4、二项式定理

n n n r r n r n 1n 1n n 0n n b C b a C b a C a C )b a (+++++=+--

通项公式r 1n r n 1r b a

C T -+=，r=0，1，2，…，n 二项式系数的性质：

（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

n n 0n C C =，r n n r n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ；

（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间一项2n

n C 最大；当n 是奇数时，中间两项21

n n C -，2

1n n C +相等，且为最大值；

（3） +++=+++=++++5n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C

5、概率

（1）概率是频率的近似值，两者是不同概念

（2）等可能事件中概率n

m )A (P =，P(A)∈[0，1] （3）互斥事件A ，B 中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B) 特例：A B =时，1)A (P )A (P =+，即对立事件的概率和为1

（4）相互独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)=P(A)P(B)

（5）事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C n k P k (1-P)n-k

，其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项 10. 排列、组合、二项式定理和概率

选择题（每小题5分，共60分）

1、已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是

A ．32 B.33 C.34 D.36

2、以1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以得到不同的对数值的个数为

A 、64

B 、56

C 、53

D 、51

3、四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同的排法数有

A 、3600

B 、3200

C 、3080

D 、2880

4、由1003

)2x 3(+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有

A 、50项

B 、17项

C 、16项

D 、15项

5、设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有2把钥匙，这4把钥匙与不能开这两把锁的2把钥匙混在一起，从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是

A 、4/15

B 、2/5

C 、1/3

D 、2/3

6、在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是

A 、5/6

B 、4/5

C 、2/3

D 、1/2

7、先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是

A 、1/8

B 、3/8

C 、7/8

D 、5/8

8、在四次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率中的取值范围是

A 、[0.4,1）

B 、（0，0.4]

C 、（0，0.6）

D 、[0.6，1]

9、若1001002210100x a x a x a a )3x 2(++++=+ ，则(a 0+a 2+a 4+…

+a 100)2-(a 1+a 3+…+a 99)2的值为

A 、1

B 、-1

C 、0

D 、2

10、集合A={x|1≤x ≤7，且x ∈N *}中任取3个数，这3个数的和恰好能被3整除的概率是

A 、19/68

B 、13/35

C 、4/13

D 、9/34

11、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少买3片软件，至少买2盒磁盘，则不同的选购方式共有

A 、5种

B 、6种

C 、7种

D 、8种

12、已知xy<0，且x+y=1，而(x+y)9按x 的降幂排列的展开式中，T 2≤T 3，则x 的取值范围是

A 、)51,(-∞

B 、),5

4[+∞ C 、),1(+∞ D 、]54,(--∞ （一）填空题（每小题4分，共16分）

13、已知A 、B 是互相独立事件，C 与A ，B 分别是互斥事件，已知P(A)=0.2，P(B)=0.6，P(C)=0.14，则A 、B 、C 至少有一个发生的概率P(A+B+C)=____________。

14、3)2|

x |1|x (|-+展开式中的常数项是___________。 15、求值：1010310210110010C 11

1C 41C 31C 21C ++-+- =____________。 16、5人担任5种不同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，

则共有多少种不同的调整方法？________________。

（二）解答题

17、（12分）在二项式n 33)x 21x (

的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列

（1）求展开式的第四项；

（2）求展开式的常数项；

（3）求展开式中各项的系数和。

18、（12分）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内

（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

19、（12分）掷三颗骰子，试求：

（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；

（2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。

20、（12分）已知A={x|1

（1）从集A 及B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？

（2）从A ∪B 中取出三个不同元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数共有多少个？

（3）从集A 中取一个元素，从B 中取三个元素，可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数。

21、（14分）一个布袋里有3个红球，2个白球，抽取3次，每次任意抽取2个，并待放回后再抽下一次，求：

（1）每次取出的2个球都是1个白球和1个红球的概率；

（2）有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球同色的概率；

（3）有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球是红球的概率。

10.排列,组合和概率

10．排列、组合、二项式定理和概率 一、复习要求 1、排列数、组合数的计算、化简、证明等；会解排列、组合应用题，掌握常见应用题的处理思路。 2、掌握二项式定理，会用展开式通项求有关展开式的问题。 3、理解随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互独立事件同时发生的概率。 二、复习指导 1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题，常先分类再分步。 2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别。 排列数公式：)! m n (!n )]1m (n [)2n )(1n (n A m n -=----= ，当m=n 时，!n 12)1n (n A m n =⋅-= ，其中m ，n ∈N +，m ≤n ，规定0!=1 组合数公式：)! m n (!m !n !m )]1m (n [)2n )(1n (n A A C m m m n m n -=----== 组合数性质：m 1n 1m n m n m n n m n C C C ,C C +--=+=，规定1C 0n =，其中m ，n ∈N +，m ≤n 3、处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直接法，间接法 （2）两种途径：元素分析法，位置分析法 （3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提 （4）基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法等 4、二项式定理

利用排列组合计算概率问题

利用排列组合计算概率问题 概率是数学中一个重要的概念，用来描述某个事件发生的可能性。在现实生活中，我们经常需要计算概率来做出决策或者预测结果。而排列组合是概率计算中常用的方法之一，它可以帮助我们解决各种概率问题。 一、排列组合的基本概念 排列和组合是数学中的两个概念，它们都是通过对一组元素进行选择和排列来计算概率。排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序排列，形成不同的组合。组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序，形成不同的组合。 二、排列的计算方法 排列的计算方法比较简单，可以通过以下公式来计算： P(n, m) = n! / (n-m)! 其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的可能性，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。 例如，从5个人中选取3个人进行排列，可以计算为： P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5*4*3 = 60 三、组合的计算方法 组合的计算方法稍微复杂一些，可以通过以下公式来计算： C(n, m) = n! / (m!*(n-m)!) 其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的可能性。 例如，从5个人中选取3个人进行组合，可以计算为：

C(5, 3) = 5! / (3!*(5-3)!) = 5! / (3!*2!) = 5*4 / 2 = 10 四、概率计算的实际应用 排列组合可以应用于各种实际问题中，例如： 1. 抽奖概率计算：假设有10个人参加抽奖活动，每个人的中奖概率相同，计 算其中5个人同时中奖的概率。 解答：可以使用组合的方法计算，即从10个人中选取5个人进行组合，计算 公式为： C(10, 5) = 10! / (5!*(10-5)!) = 10! / (5!*5!) = 252 所以，其中5个人同时中奖的概率为1/252。 2. 生育概率计算：假设一个家庭有3个孩子，计算其中至少有2个女孩的概率。 解答：可以使用排列的方法计算，即从3个孩子中选取2个或3个孩子进行排列，计算公式为： P(3, 2) + P(3, 3) = 3! / (3-2)! + 3! / (3-3)! = 3! / 1! + 3! / 0! = 3 + 6 = 9 所以，其中至少有2个女孩的概率为9/8。 通过以上两个实际应用的例子，我们可以看到排列组合在概率计算中的重要性 和实用性。它可以帮助我们计算各种复杂的概率问题，从而做出更明智的决策或者预测结果。 总结起来，排列组合是概率计算中的重要工具，可以帮助我们解决各种概率问题。通过掌握排列组合的基本概念和计算方法，我们可以更好地理解和应用概率理论，提高自己的数学能力和解决问题的能力。在实际生活中，我们可以利用排列组合来计算各种概率，从而做出更准确的判断和决策。

10.人教版 高中数学 第十章 排列、组合和概率 知识网络图及导读分析

第十章排列、组合和概率 编写：王建宏【网络图】 【网络导读】 1、排列组合应用题。采用的方法有直接计算法与间接计算法（又叫排除法，即用所有 可能的种数，减去不符全的种数），分类法（相加）与分步法（相乘），元素分析法与位置分析法（先满足特殊元素或特殊位置的要求），捆绑法（元素必须相邻时可先将相邻元素看作是一个整体）和插空法（元素不相邻时可以制造空档插进去）。 2、求二项式展开式中某一项、某一项的系数、某些项的系数和、含字母项中该字母的 值等。要熟悉通项公式，灵活运用。 3、二项式的应用，如近似计算，整除性问题、组合恒等式证明等。 4、等可能事件的概率计算。必须判定是等可能性试验，弄清楚基本事件、基本事件总 数、所求事件包含的基本事件个数。 5、和事件、积事件的概率计算。概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，如“对 立事件”与“互斥事件”，“互斥”与“相互独立”等。概率的运算公式常附加条件，对“是否互斥或对立？”、“是否为相互独立事件？”等在具体问题中一定要鉴别清楚。概率的综合问题更应注意各种情况的前提条件；n 次独立重复试验中某事件上发生k次的概率的计算公式体现了概率的加乘运算、组合知识、二项式定理的综合运用；还要弄清关键词语，如“恰有”、“至少”、“都”、“或”等。 6、会用样本频率分布估计总体分布，会用样本平均数估计总体期望值，会用样本方差。【易错指导】

易错点1：对于排列组合问题,不能分清是否与顺序有关而导致方法出错.不能正确分析几种常见的排列问题,不能恰当地选择排列的方法导致出错. 易错点2：二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清,容易混淆,导致出错. 二项式展开式的通项公式为1r n r r r n T C a b -+=,事件A 发生k 次的概率()(1) k k n k n n P k C P P -=-.二项分布列的概率公式k k n k k n p C P q -=,(1,2,3,,k n =???)且01,1p p q <<+=,三者在形式上相似,在应用时容易混淆而导致出错. 易错点3：对概率事件分析理解不到位.导致概率求解出现偏差. 例题1右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 （A ）454 （B ）361 （C ） 154 （D ）15 8 【解法一】左端的六个接点平均分成三组有222 642 3 315C C C A =种连接方式,右端的六个接点平均分成三组也有22264233 15C C C A =种连接方式,将左右两边按序连接,故共有2153 3 A 种连接方式. 在左端任取两个接点有2 6C 种取法,则右端的其中一个接线点只能在剩余的4个接线点中选择一个连接,有1124C C 种连接方式;被选择的接线点对应的接收器的左边接线点只能在左边剩余的3个接线点中选择一个连接,有13C 种连接方式;对应到这个接收器的右边的接线点,只能在剩余的2个中选择一个, 有12C 种连接方式;将其余的接线点顺次相连即可接收到 信号,则共有211113 624323158C C C C C A =?种连接方式. ∴五个接收器能同时接收到信号的概率3 323 3 15815A p A ?==158 , 故应选D.

排列组合和概率习题及答案

C 2n k (1/2) 2n 独立重复试验。如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么 在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率为P n （K ）＝C n k P k (1－P) n-k （一夫妇生四孩子，问生2男2女的情况之几率；每次生男女概率相同，1/2,如抛硬币问题（抛四次，2次朝上）,即C 42(1/2) 4＝3/8 12、 有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有一个是黑色的概率。 1- C 53 /C 93 13、 自然数计划S 中所有满足n 100, 问满足n(n+1)(n+2) 被6整除的n 的取值概率？ 由于3个连续自然数必包括一个偶数及一个可被3整除的数，因此100％ 14、 设0为正方形ABCD[ 坐标为（1，1），（1，－1），（－1，1），（－1，－1）]中的一点，求起落在x 2+y 2 1的概率。 面积法。x 2+y 2＝1为一个以原点为圆心，半径为1的圆，面积为л,正方形面积为4， ANSWER: л/4 15、 A>B （成功的概率）？ （1） A 前半部分的成功概率为1％，B 前半部分成功概率为1.4%. （2） A 后半部分的成功概率为10％，B 后半部分成功概率为8.5%. C. P(A)=1%*10% P(B)=1.4%*8.5% 16、 集合A 中有100个数，B 中有50个数，并且满足A 中元素于B 中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A 和B 中各抽签一个，抽到满足a+b=10的a,b 的概率。 C 201 /C 1001 C 501 17、 有两组数，都是『1，2，3，4，5，6』，分别任意取出两个，其中一个比另一个大2的概率？ 2*4/ C 61 C 61由于注明分别，即分两次取。 18、 从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？ 2/9. 总共有{(8,0)(0,8)（1，7）（7,1）（6,2）(2,6)(5,3)(3,5)(4,4)}集合中不能有重复元素

排列组合、概率问题)

（排列组合、概率问题） 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路： ①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。 注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；

(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； 例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公 益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种， 从而应当填＝48. 从而应填48． 例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 解一：间接法：即 解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类. （3）相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总 的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元 素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； 例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少 种排法？ 分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”， 只有1种排法，故共有·1=840种. （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排 列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）数字问题（组成无重复数字的整数）

排列组合与概率计算

排列组合与概率计算 在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。 一、排列 排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。 对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性： P(n,r) = n! / (n-r)! 其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。 举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。根据排列公式可得： P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120 所以，共有120种不同的放法。 二、组合

组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。 对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组 合公式来计算不同的组合可能性： C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!) 举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不 同的组合？这就是一个组合问题。根据组合公式可得： C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84 所以，共有84种不同的组合方式。 三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。 例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2 张红心和3张黑桃的概率是多少？ 首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。根据排列公式，总共有： P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960 其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑 桃的不同排列数量。根据排列组合的原理，可以计算出：

排列组合及概率统计

考纲解析 排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。 资源链接 本讲对应CIU 视频资源：概率论及数理统计.jbl 。 本讲内容 10.1 排列组合基础 10.1.1 排列的基本概念及实例 从n 个不同的元素中，任取m (m ≤n )个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。如果元素和顺序至少有一个不同。则叫做不同的排列。元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。排列数的计算公式为 )1()2)(1(+---=m n n n n A m n Λ（其中m ≤n ，m ，n ∈Z ）。 10.1 （1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作7个元素的全排列——77A = 5040。 （2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理7×6×5×4×3×2×1 = 7！= 5040。 （3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作余下的6个元素的全排列——6 6A = 720。 （4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有2 2A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种，则共有22A 5 5A =240种排列方法。 （5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头 和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有5 5A 种方法， 所以一共有22A 5 5A =2400种排列方法。 解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有6 6A 种方法；若甲站在排 这类问题在各种考试中出现得都比较多，关键在于熟练，同时要 注意审题，题 意是可能设置 陷阱的地方。 对于这类 问题，要掌握 常用的方法，对于“在”与“不在”的问题，常常直接使用“直接法”或“排除法”，对特殊元素可优先考虑。

排列组合与概率原理及解题技巧

排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组 合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于 从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+

概率的排列与组合总结

概率的排列与组合总结 概率是数学中一个重要的分支，研究的是随机事件发生的可能性。在概率论中，排列和组合是两个基本的概念。它们在解决问题时有着重要的作用。本文将总结和介绍概率中的排列与组合的概念及应用。 一、排列 排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干元素的方式。在排列中，元素的顺序是重要的。根据排列的定义，我们可以用以下的公式来计算排列的数目： P(n, k) = n! / (n-k)! 其中，n是元素的总数，k是选取的元素个数，"!"表示阶乘。 排列的应用非常广泛，特别是在问题求解和计算领域。比如在排列组合中的全排列问题，我们可以计算不同元素的排列数目。在全排列中每个元素都能够排在不同的位置上，因此全排列的数目就是 n!，其中n是元素的总数。 二、组合 组合是指从一组元素中按照一定的规则选取若干元素的方式。在组合中，元素的顺序是不重要的。组合的计算通常使用以下公式：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) 其中，n是总的元素个数，k是选取的元素个数，"!"表示阶乘。

组合的应用也非常广泛，特别是在概率统计、组合数学和计算机科学等领域。比如在概率问题中，我们可以计算从一组元素中选取k个元素的组合数目，以及计算不同元素的组合数。在组合中，元素的顺序是不重要的，因此不同顺序的组合会被视为同一种情况。 三、排列与组合的应用 排列和组合在实际问题中有着广泛的应用。它们可以帮助我们解决各种概率问题，如抽奖、事件发生的可能性等。以下是一些具体的应用场景： 1. 抽奖问题：假设有10个人，其中3个人可以获得奖品。我们可以用组合来计算不同的获奖组合数目。 2. 生日问题：在一个班级里，有30个学生。我们想知道至少两个学生生日相同的概率。这个问题可以用排列和组合来解决。 3. 信件排序：一封信件包括5封A类信件和8封B类信件。如果按照字母顺序排列，我们可以用排列来计算不同排列的数目。 4. 球队排列：一支足球队有15个球员，但只有11个球员可以上场比赛。我们可以用组合来计算不同上场球员组合的数目。 四、总结 概率中的排列与组合是两个重要的概念。排列是从一组元素中按照一定顺序选取若干元素的方式，元素的顺序是重要的；组合是从一组元素中按照一定规则选取若干元素的方式，元素的顺序是不重要的。排列和组合在解决概率问题和计算领域有着广泛的应用。

组合数学：排列、组合与概率

组合数学是数学中一门重要的学科，它研究的是“选择”的问题，这种选择可 以是排列、组合或者概率中的各种情况。在组合数学中，排列、组合与概率是 三个关键的概念。 首先，我们来看排列。排列是指从一组元素中，按照一定的顺序选择几个元素 进行排列。例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行排列， 那么可能的排列方式就是AB、AC、BA、BC、CA、CB。排列的数量可以通过阶乘 来计算，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1，其中n表示元素的数量。 接着，我们来看组合。组合是指从一组元素中，不考虑顺序选择几个元素进行 组合。例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行组合，那么 可能的组合方式就是AB、AC、BC。组合的数量可以通过公式 C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!) 进行计算，其中n表示元素的数量，r表示选择的元素个数。 最后，我们来看概率。概率是指某个事件发生的可能性的大小，它是一个介于 0和1之间的实数。概率可以通过排列和组合的方法来计算。例如，有一副扑 克牌，从中随机抽取一张牌，如果我们想计算摸到黑桃牌的概率，那么可以用 排列的方法计算。黑桃牌的数量为13张，总牌数为52张，所以摸到黑桃牌的 概率为 P = 13/52 = 1/4。又如，有4个红色球和6个蓝色球，从中抽取两个球，如果我们想计算摸到一个红色球和一个蓝色球的概率，那么可以用组合的 方法计算。红色球的数量为4个，蓝色球的数量为6个，总球数为10个，所以摸到一个红色球和一个蓝色球的概率为 P = C(4,1) * C(6,1) / C(10,2) = 24/45。 综上所述，组合数学是一门研究“选择”的数学学科，其中排列、组合与概率 是三个重要的概念。通过排列和组合的方法，可以计算出各种“选择”的可能性。而概率则用来计算某个事件发生的可能性大小。组合数学在实际应用中有 着广泛的应用，例如在概率统计、密码学、图论等领域。因此，理解和掌握组 合数学的基本概念和计算方法对我们的学习和生活都具有重要意义。

数学中的排列组合与概率计算

数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。 一、排列组合的基本概念 1.1 排列 排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。排列的计算公式为： P(n,m) = n! / (n-m)! 其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。 1.2 组合 组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。组合的计算公式为： C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!) 二、概率计算的基本原理 概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。概率计算基于排列组合的

概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。 2.1 样本空间 样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。例如，掷一枚 普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。 2.2 事件 事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。例如，掷一枚 硬币出现正面是一个事件。 2.3 概率 概率是事件发生的可能性。对于一个随机试验和事件，概率的计算 公式为： P(A) = n(A) / n(S) 其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。 三、排列组合与概率计算的应用 排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。下面以几个具体 的例子说明它们的具体应用。 3.1 组合在概率计算中的应用

排列组合与概率

第86课时：第十章排列、组合和概率——随机事件的概率 一．课题：随机事件的概率 二．教学目标： 1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念； 2．掌握等可能事件的概率公式,并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题； 三．教学重点：等可能事件的概率的计算． 四．教学过程： 一主要知识： 1．随机事件概率的范围； 2．等可能事件的概率计算公式； 二主要方法： 1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性,但对单次试验而言,事件的发生是随机的； 2．等可能事件的概率()m P A n =,其中n是试验中所有等可能出现的结果基本事件的个数,m是所研究事件A中所包含的等可能出现的结果基本事件个数,因此,正确区分并计算,m n的关键是抓住“等可能”,即n个基本事件及m个基本事件都必须是等可能的； 三基础训练： 1．下列事件中,是随机事件的是C A导体通电时,发热； B抛一石块,下落； C掷一枚硬币,出现正面； D在常温下,焊锡融化; 2．在10张奖券中,有4张有奖,从中任抽两张,能中奖的概率为C 3．6人随意地排成一排,其中甲、乙之间恰有二人的概率为 C 4．有2n个数字,其中一半是奇数,一半是偶数,从中任取两个数,则所取的两个数之和为偶数的概率为C 四例题分析： 例1．袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,有放回抽三次,计算下列事件的概率： 1三次颜色各不同；2三种颜色不全相同；3三次取出的球无红色或无黄色；解：基本事件有3327 =个,是等可能的, 1记“三次颜色各不相同”为A, 3 3 2 () 279 A P A==； 2记“三种颜色不全相同”为B, 2738 () 279 P B - ==；

概率的排列与组合计算

概率的排列与组合计算 概率是数学中一个重要的分支，它研究事物发生的可能性和频率。 在概率论中，排列和组合是常用的两种计算方法。本文将介绍概率中 的排列和组合的计算方法，并探讨它们在不同情境下的应用。 一、排列的计算方法 排列是指从一组元素中按照一定顺序选取若干个元素形成一组序列。对于一个有n个元素的集合，若要从中选取r个元素进行排列，则排列的总数可以用如下公式表示： P(n,r) = n! / (n-r)! 其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1。 例如，从一副扑克牌中抽取5张牌，要求按照抽取的顺序对这5张 牌进行排列，那么排列的总数可以计算为： P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! 二、组合的计算方法 组合是指从一组元素中取出若干个元素形成一个子集，不考虑元素 之间的顺序。对于一个有n个元素的集合，若要从中选取r个元素进行组合，则组合的总数可以用如下公式表示： C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!) 例如，从一副扑克牌中抽取5张牌，要求对这5张牌进行组合，不 考虑顺序，那么组合的总数可以计算为：

C(52,5) = 52! / (5! * (52-5)!) = 52! / (5! * 47!) 三、概率的排列与组合应用 排列和组合在概率计算中有着广泛的应用。例如，当我们投掷两个 骰子时，我们可以利用排列的计算方法来确定所有可能的结果。由于 每个骰子的点数有6种可能性，因此两个骰子的排列总数为6 * 6 = 36。我们可以进一步利用组合的计算方法，确定某个点数的组合出现的概率。例如，当我们想知道两个骰子的点数之和为7的概率时，可以计 算组合数为6的情况数，即C(6,2) = 15，再除以总排列数36，得到概 率为15/36。 另一个实际应用是在抽奖活动中。假设一个抽奖箱里有20个球， 其中10个是红色的，10个是蓝色的。当我们从中随机抽取5个球时， 可以利用组合的计算方法来确定某种情况的概率。例如，当我们想知 道抽取的5个球中有3个红球和2个蓝球的概率时，可以计算组合数为 C(10,3) * C(10,2) = 5040，再除以总排列数C(20,5) = 15504，得到概率 为5040/15504。 总结： 排列和组合是概率论中常用的计算方法，它们能够帮助我们确定事 件发生的可能性。排列和组合的计算公式分别为P(n,r)和C(n,r)，其中 n为元素总数，r为选取的个数。在实际应用中，我们可以利用这些计 算方法来解决各种问题，如确定投掷骰子的可能结果或者抽奖活动中 的中奖概率。通过正确应用排列和组合的计算方法，我们能够更好地 理解概率，并做出准确的推断与决策。

第十章排列组合和概率教材分析

第十章排列组合和概率教材分析 作为高中数学必修内容的最后一个部份，本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系；至于概率，在概率论与数理统计已获得今日社会的广泛应用、概率已成为日常生活的普通常识的今天，对它进行初步学习更是显得十分重要：可以获得概率的一些基本知识，了解其中的一些基本观念和思考方法，运用它解决一些简单的实际问题，并为到高中三年级以及进一步学习概率统计知识打好必要的基础 本章教学约需30课时，具体分配如下： 10．1加法原理和乘法原理约2课时 10．2排列约4课时 10．3组合约5课时 10．4二项式定理约4课时 10．5随机事件的概率约5课时 l0．6互斥事件有一个发生的概率约2课时 l0．7相互独立事件同时发生的概率约4课时 小结与复习约4课时 一、内容分析 本章第一大节从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫随后研究的二项式定理，在本章中起着承上启下的作用：它不仅将前面的组合的学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备在本章的第二大节，先在实例的基础上提出随机事件的概率的概念后，着重研究了所谓古典概型——随机试验下的结果数有限且发生的可能性相等的概率模型，使学生会进行一些最简单的概率计算并由此加深对概率概念的理解，为了扩大所能计算的概率的范围，又研究了事件的加、乘运算，提出了互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率，使前面所学知识在这里得到综合运用，形成本章的一个较为理想的收尾 本章还为部分学有余力的学生安排了两篇阅读材料一篇是《从集合的角度

高考数学知识点总结：排列、组合和概率

高考数学知识点总结：排列、组合和概率.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。 .二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r. .你把握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。) .二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率易记混。 通项公式：它是第r+1项而不是第r项; 事件A发生k次的概率：。其中k=0，1，2，3，…，n，且0 .求分布列的解答题你能把步骤写全吗? 如何对总体分布进行估量?(用样本估量总体，是研究统计问题的一个差不多思想方法，一样地，样本容量越大，这种估量就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;明白得频率分布直方图矩形面积的几何意义。) 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

第十章排列组合和概率(第9课)组合(3)

课 题： 10．3组合 (三) 教学目的： 1进一步巩固组合、组合数的概念及其性质； 2．能够解决一些组合应用问题，提高合理选用知识的能力 教学重点：组合应用问题 教学难点：组合应用问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解 排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先 要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进 行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如 果不需要，是组合问题；否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路 通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、 组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质， 抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感 到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考 虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常 理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情 况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说 明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同 的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学 中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行 认识思考，才能得到最优方法. 教学过程： 一、复习引入： 1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类 办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1 m

排列组合与概率试题含答案

排列组合与概率 一、选择题〔每题5分，计60分〕 1、书架上同一层任意立放着不同的10本书，那么指定的3本书连在一起的概率为〔A 〕 A 、1/15 B 、1/120 C 、1/90 D 、1/30 2、甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的，现从甲乙两盒中各任取一个，那么能配成A 型的螺栓的概率为〔C 〕 A 、1/20 B 、15/16 C 、3/5 D 、19/20 3、一个小孩用13个字母：3个A ，2个I ，2个M ，2个J 其它C 、E 、H 、N 各一个作组字游戏，恰好组成“MATHEMATICIAN 〞一词的概率为〔D 〕 A 、!824 B 、!848 C 、!1324 D 、! 1348 4、袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，那么下旬事件中概率是8/9的是〔B 〕 A 、颜色全一样 B 、颜色不全一样 C 、颜色全不同 D 、颜色无红色 5、某射手命中目标的概率为P ，那么在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为〔C 〕 A 、P 3 B 、(1—P)3 C 、1—P 3 D 、1—(1-P)3 6．2004年7月7日，甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12。假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响，那么甲、乙都不

下雨的概率是〔 C 〕 7．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，那么3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是〔D 〕 〔A〕0.128 〔B〕 1 3 8. 从装有4粒大小、形状一样，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出假设干粒玻璃球〔至少一粒〕，那么倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率B 9．16支球队，其中6支欧洲队、4支美洲队、3支亚洲队、3支非洲队，从中任抽一队为欧洲队或美洲队的概率为〔 D 〕 10．两袋分别装有写着0、1、2、3、4、5六个数字的6张卡片，从每袋中各任取一张卡片，所得两数之和等于7的概率为〔B 〕11．在100个产品中有10个次品，从中任取4个恰有1个次品的概率为〔 D 〕 12．某人有9把钥匙，其中一把是开办公室门的，现随机取一把，取后不放回，那么第5次能翻开办公室门的概率为〔A 〕 二、填空题〔每题5分，计20分〕 13．两名战士在一次射击比赛中，甲得1分，2分，3分的概率分别是0.2，0.3，0.5，乙得1分，2分，3分的概率分别是0.1，0.6， 0.3，那么两名战士哪一位得胜的希望较大_____战士甲________．14．有两组问题，其中第一组中有数学题6个，物理题4个；第二组中有数学题4个，物理题6个。甲从第一组中抽取1题，乙从 第二组中抽取1题。甲、乙都抽到物理题的概率是6 __，甲和 25

组合与概率

排列、组合与概率 一、基本知识点回顾： （一）排列、组合 1、 知识结构表： 2、 两个基本原理： （1） 分类计数原理 （2） 分步计数原理 3、 排列 （1） 排列、排列数定义 （2） 排列数公式：)1()1()! (! +-⋅⋅⋅-=-= m n n n m n n A m n （3） 全排列公式：!n A n n = 4、 组合 （1） 组合、组合数定义 （2） 组合数公式：1 2)1() 1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C m n （3） 组合数性质： ①m n n m n C C -= ②r n r n r n C C C 11+-=+ ③1 1--∙=r n r n C n rC ④n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++ ⑤0)1(210=-+⋅⋅⋅++-n n n n n n C C C C 即：1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C 5、 思想方法 （1） 解排列组合应用题的基本思路： ① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”； （2） 解排列组合题的基本方法： ① 优限法： 元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； ② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论； 注意：分类不重复不遗漏。 ④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决； 在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 ⑤ 插空法： 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 ⑥ 捆绑法： 把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。 ⑦ 穷举法： 将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。 （二）二项式定理 历年高考中对二项式定理的考查主要有以下两种题型： 1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式； 2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别； （三）概率 1、随机事件的概率 2、等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是n 1 ，如果某个事件A 包容的结果有m 个，那么事件A 的概率n m A P = )(； 3、互斥事件的概率： （1）互斥事件：试验时不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件； 对立事件：试验时如果两个互斥事件A 、B 必有一个发生，那么称A 、B 为对立事件； (2) 互斥事件有一个发生的概率：设A 、B 互斥，把A 、B 中有一个发生的事件记为A+B ， 则有：P （A+B ）=P （A ）+P （B ） (3) 把一个事件A 的对立事件记为A ，则：)(1)(A P A P -= 4、相互独立事件的概率： （1）相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件； （2）相互独立事件同时发生的概率： 两个相互独立事件A 、B 同时发生的事件记作B A ⋅，则：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ (3) 独立重复试验： 如果一次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率为：k n k k n n p p C k P --=)1()( 5、 解概率题关键是把应用题转化为相应的概率模型，即要弄清所求事件是属于何种事件， 然后利用相关的公式进行计算。