一、投信箱法
⑴5由数字0，1，2，3，4可组成多少个可重复数字的四位数？
⑵5人到4家旅馆住店有几种住法？
⑶已知A=﹛a，b，c，d﹜B=﹛1，2﹜从集A到集合B有多少种不同的映射？
⑷将3个不同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？
（5）有五群鸽子其中有两群各自分别栖息在甲已两片树林中的栖息方法有多少种？
⑼将3个相同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？
⑷设A={1，2，3，4，5} B={a，b，c}从A到B的映射使B中的每一个元素都有原象
共有（）个？
5、4个小组，分别从3个风景点中选一处进行观光旅游，不同的选择方案的种数是. 二关于错排问题
1．三和四个元素的全错排。
2、五个不同的元素a b c d e 每次全取作排列，如果a不能排在首位e不能排在末位，
共有几种排法？78
1、六个不同的球分别装在六个有编号的小盒中，其中甲球不能放在A盒，乙球不能放在B 盒，有多少种放法？
2、课程表问题：某一天的课程表要排入政治，语文，数学，物理，体育，美术六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有几种排法？（504）
错排问题的推广：
4、从6个运动员中选出4人参加4*100米接力赛，如果甲已两人都不跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方法？
5、7个人按下列要求排成一纵队，分别有多少种不同的排法？
① A ，B两人必须排在两头（240）
②A不在队首，B不在队尾（3720）
③A，B，C三人中两两互不相邻（1440）
④A，B，C三人的前后顺序一定
⑤A，B，C三人相邻（720）
⑥A，B，C三人中至少有一人排在两头（3600）
二邻或不邻，怎么办？
1．一排6张椅子上坐3个人，每两人之间至少有一张空椅子，则共有多少种不同的
坐法？
2一条长椅子上有7个人，四人坐，求其中两个空位相邻另一张空位与这两个空位不
相邻的坐法种数？
3.要排一张有五个独唱和三个和唱节目的演出节目表，如果和唱节目不排头，并且
任何两个和唱节目不相邻，则不同的排法种数是多少？
4.由数字1，2，3，4，5，组成多少个没有重复数字1与2不相邻的五位数？
5.由数字1，2，3，4，5，组成多少个没有重复数字1与2相邻的五位数？
5．由数字0，1，2，3，4，5组成多少个没有重复数字3与4必须相邻的四位数？
6．由1，2，3，4，5这五个数字可以组成多少个没有重复数字且3在4右边的五位数？7．9人成一排，规定甲，乙之间必须有四个人，问有多少种不同的排法？
8．在一张节目表中原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三
个节目，求有多少种不同的按排方法？
9．三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举办一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女
歌唱家之间恰有一名男歌唱家，共有多少出场方案。
10．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成
一行陈列，要求同品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方
式。
11．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？
12．⑴四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？
⑵四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？
三、查字典法
1 由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复数字比324105大的数？（297）练习⑴由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字且大于13000的自然数？
⑵由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字且比500000大的偶数？
3、用0、1、2、3、4五个数字，可以组成比2000大、且百位数字不是3的四位数有多少个？
2 、求用0，1，2，3，6，9六个数码组成符合下列条件的无重复数字的三位数的个数
①能被6整除②大于320而小于920 （21 39）
3、由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字能被3整除的五位数？（216）
4、数字0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的⑴四位偶数？⑵个位不是1的
四位数。
例1．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分
例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？
⑽四个不同的小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，则恰有一个空盒的放法（）
例6.有13个队参加篮球赛，比赛时先分成两组，第一组7个队，第二组6个队.各组都进行单循环赛（即每队都要与本组其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决定冠、亚军，共需要比赛多少场？
13.马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？
四分类选取法
1．有红、黄、蓝三种颜色的小球各五只，都分别标有字母A、、B、C、D、E现再次取
五只要求字母各不相同且颜色齐备，有多少种不同的取法？
2．将5本不同的书全部分给3人，每人至少1本，则不同的分法种数？
（C51C41+C51C43+C53C21+C51C42+C52C31 +C52C32=150）
3．有划船运动员10员，其中3人会划右舷，2人只会划左舷，其中5人既会划右舷又
会划左舷，现在要从这10人当中选出6人平均分配在一只船的两舷划桨，不考虑在同
一舷中3人的顺序，有多少种选法？675
4．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
5．四名优等生保送到三所学校，每所学校至少一名，则不同的选送方案是（）
6．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：①若取出6，则有种方法；②若不取6，则有种方法．根据分类计数原理，一共有+ ＝602种方法．
7．1、2、、、、100中每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法
有多少种？
8．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有多少种不同的取法？70
例1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．
⑴都不是次品的取法有多少种？⑵至少有1件次品的取法有多少种？
⑶不都是次品的取法有多少种？
例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？236
例3、从5双不同的鞋中任取4只，4只鞋中至少有2只配成一双的可能取法种数？130 例4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？
例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
9、件不同礼品分送给4人，每人至少一件，而且礼品全部送出，那么送出礼品的方法数是.
六平均分组法
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
⑴分给甲、乙、丙三人，每人两本；⑵分为三份，每份两本；
⑶分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
⑷分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
例2、有9本不同的书，按2：3：4
①分成3堆，有几种分法？
②②分给甲乙丙三个学生，有几种分法？
⑶一堆为5本，其余2堆本数相等
④3堆本数相等
例3、10个人按下列要求分组，有多少种不同的分法？
①平均分成两组。
②平均分成两组，一组植树，另一组种草。
③分成三组，各组人数分别为2，3，5。
④分成三组，两组各三人，另一组4人。
⑤分成三组，各组人数分别为2，3，5，一组植树，一组种草，另一组打扫卫生。
⑥分成四组，两组各两人，另外两组各三人，分别参加四项不同的比赛。
故所求方法总数为种方法．
⑿有5个队参加篮球比赛，首轮平均分成三组进行单循环赛，并规定同组的两个队不再
赛第两场，则共进行的比赛有（）场。
七插隔板法
⑴某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现在从这7个车队中抽出10辆车
组成运输队，且每个车队至少1辆，则不同的抽法有（）84
⑵把10本相同的笔记本分给6名学生，每人至少1本，有多少种分法？C95=126
⑶方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？（分析：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分派所得4堆球的各堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解，故原方程的正整数解的组数共有C113）
⑻将10个名额分配给7个班，每个班至少有一个名额的分配方法（）
八环行排列：一般地，从n个不同元素中取m个元素进行环行排列，不同的排列种数
为Pnm/m
1．教师2人，学生6人，师生8人围圆桌而坐，有多少种不同的坐法？
九“选取次品”模式
1．某班有48名学生，其中有一名正班长，两名副班长，现在要选5名学生参加一活
动，其中正、副班长都必须在内有多少种选法？990
1. 三名新同学准备转入甲、乙、丙、丁四个班学习，在保证甲班有新同学的前提下每个新同学去哪个班可由他们自己选择，则有不同的分配方案----------------种。
2. 在排成4*4的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外。
在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个顶点在圆内的三角形有（）。
十表格法（较复杂的问题通过表格直观化）
1、9人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左、右）组队出场，有多少不同的组队方法？（分析由题设，必有1人即可打锋，又可打卫，则只会锋的有6人，只会卫的有2人）
人数6人只会锋2人只会卫1人即又卫结果
不同选法 3 2 A63A22
3 1 1（卫）A63C21A22
2 2 1（锋）C62A33A22
十一、染色
2
3 1 5
4
1、一个地区分5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（72种）
2、
5 1
6
2
4
3
3、一个地区分6个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种?
3、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同；如果只有5种颜色可供使用，求不同的颜色方法总数。420
4、在一个正六边形的中种植四种不同颜色的植物，要求相邻区域不得种植同一颜色的植物，共有多少中种方法？
9.某校高中一年级有6个班，高二年级有5个班，高三年级有8个班.各年级分别进行班与班的排球单循环赛，一共需要比赛多少场？
②一个集合由8个不同的元素组成，这个集合中含有3个元素的子集有个.
2.某班有三个小组，分别又12人、10人和9人组成，现要选派不属于同一组的两人参加班际之间的活动，不同的选派方法共有种.
（A）318 （B）465 （C）636 （D）930.
3.4名学生和3位老师站成一排照相，老师不站在两端，有多少种排法？
4.某班选正、副班长的方法数与选4名运动员的方法数之比为1∶94，求该班同学的人数？
2.书架上竖排着六本数，现将新购的3本书上架，要求不调乱书架上原有的书，那么不同的上架方式共有多少种？
3.小李打算从10位朋友中邀请4位去旅游，这10位朋友中，有一对双胞胎，对这两位朋友，要么邀请，要么不邀请.求不同的邀请方案的种数.
一、排列组合应用题
1．5个相同的白子和3个相同的黑子紧邻地排成一列，可排得多少种不同的图案？
2．1、2、3、4、7、9六个数字任取两个作为一个对数的底数和真数可得多少不同的
数值？
2．从参加决赛的6名运动员中决出前4名，在这4名中甲名列乙前的有多少种可能
的结果？
3．从4位教师6个学生中选出5人组成一个科研小组，若至少要有2位教师参加，
有多少种选法？
4．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派
4人承担这三项任务，不同的选法有（2520 ）
5．角AOB的两边上除顶点O外，OA上再取5点，OB上再取4点，这10个点可以连
成多少个三角形？
6．求以正方体的顶点为顶点的四面体的个数？
7．平面内有9个点，其中只有4个点在同一直线上
⑴过这9个点中的每2个点，可连几条直线？
⑵过这9个点中的每3个点，可作几个三角形？
⑶过这9个点中的每4个点，可作几个四边形？（包括凹四边形）
（1）过这9个点中的每2个点，可连几条射线？
（2）过这9个点中的每2个点，可连几个向量？
9（1）空间10个点，其中5个点在同一平面内，其余再无4点共面，过这些点可以连成多少个棱锥？（2）已知直线ax+by+c=0中的是取自集合 -3、-2、-1、0、1、2、3 中的3个不同元素，并且该直线的傾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。
12．、甲、乙、丙、丁四个人分别制作了四张贺卡a、b、c、d，则他们有多少种交换贺卡的方式？
例1：某班有男生25人，女生21人，现选男生3人，女生2人分别担任正、副班长、学委、体委、宣委，问有多少种不同的选举方法？
上题中，（1）如果由25名男生中选3人担任班长、学委、体委，女生中选2人担任副班长、宣委，问有多少种不同的选法？（2）若25名男生中选3人，21名女生中选2人，分别担任正、副班长、学委、体委、宣委，若正班长必须由男生担任，问有多少种不同的选法？例2：从1到9这9个数字中取5个数字排列，奇数只能排在个位、十位或百位，问这样的无重复的五位数有多少个？
例3：4人分住两个房间，每个房间至少住进1人，求不同的安排方法数？
例4：圆周上有8个点，将圆周等分，那么以其中的3个点为顶点的直角三角形共有个.
例5、一道高考题及推广2004浙江
坐标平面上有一质点从原点出发，沿x轴跳动每次向左向右跳动一个单位，经过五次跳动，质点落在（3、0）处（允许重复经过此点）则不同的运动方法数为多少种？
十利用方程思想排余
1. 数学试题中选择题第1-10题每小题4分，第11-15题每小题5分，考生做选择题的得分中不同的分值有多少？
2、数学高考试题的第一大题15道选择题，满分65分，其中①—⑩题答对一题得4分，第⑾—⒂题答对一题得5分。答错或不答均得0分，某考生第一大题答对12道题，得分不少于52分，问有多少种不同的答题情形？345
1.（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（）
2.若的展开式中的第三项系数等于6，则n等于………………（）
3.多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是…………………………………（）
4.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数
5.二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.
1.在的展开式中，x6的系数是……………………………（）
2.在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为…………………………（）
3.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50展开式中x3的系数是………………（）
4. (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10的展开式中，含x8的系数是…（）
5.在的展开式中，求x4的系数与x- 4的系数之差.
6.(1-x)5(1+x+x2)4的展开式中，含x7项的系数是.
7.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
8.x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3+(1-3x)7的展开式中，x4项的系数是.
二项式定理4---整除问题
1.求4713被5除所得的余数.
2.求x10-3除以(x-1)2所得的余式.
3.求证34n+2+52n+1能被14整除.
1.10110-1的末尾连续零的个数是…………………………………（）
2.若n为奇数，7n+ 被9除所得的余数是……（）
3.5n+13n(n )除以3的余数是……………………………………（）
4.求5555除以8所得的余数.
5.用二项式定理证明6363+17能被16整除.
6.求9192除以100的余数.
1. 今天是星期二，不算今天，251天后的第一天是星期几？
1.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为…………………（）
2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是……………………………（）
3.若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192，则n的值为………（）
4.(a+b)2n的展开式中二项式系数最大的是………………………………（）
D.当n为偶数时，是第n+1项；当n为奇数时，是第n项.
5.(a-b)99的展开式中，系数最小的项是……………………………………（）
6. .
7. = .
8.若(a+ )n的展开式中，奇数项的系数和等于512，求第八项.
9. 的展开式的各项系数和为32，求这个展开式的常数项.
1.已知(2a3+ )n的展开式的常数项是第7项，则n的值为………………（）
2.在(x2+3x+2)5的展开式中，x2的系数为………………………………（）
3.(x- y-2z)8 的展开式中x6yz的系数是………………………………（）
4. 设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，则a3=………（）
5.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近视值是………………………（）
6.在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，则a的值是………………………………………………（）
7.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中，x的系数是…………………（）
8.(1+x+x2+x3)4的展开式中，奇次项系数和是………………………（）
9. 的值是（）
10.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是………………………（）
11.若( )n展开式中第五项是常数项，则展开式中系数最大的项是.
12. 展开式的中间项是.
13.(|x|+ )3的展开式中，所有常数项的和是.
14.在(x2-x-1)n的展开式中，奇次项的系数和为-128，则系数最小的项是.
15.已知(x3+ )n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x的项.
16.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n )，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n 取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.
随机事件概率
1．下面事件①若a、b∈R，则a•b=b•a；②某人买彩票中奖；③6+3>10；④抛一枚硬币出现正面向上，其中必然事件有A．①B．②C．③④D．①②
2．在4次独立重复实验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率的范围是
A．[O．4，1] B．(O，0．4)C．(O，0．6) D．[0．6，1]
3．某人最初有256元，和人打赌8次，结果赢4次输4次，唯有次序随意，若赌金是每一次打赌前的余钱的一半，则最后的结果是（）C
A．不输不赢B．赢了81元C．输了175元D．输赢同输与赢的次序有关
4.盒中有100个铁钉，其中90个是合格的10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个是不合格铁钉的概率是（）
5、将一枚骰子先后抛掷2次，计算:
(1)一共有多少种不同的结果.
(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？
(3)向上数之积是12的概率是多少？
6、以连续投掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在直线x+y=5下方的概率是________
7、连续掷两次骰子，以先后得到的点数m,n为点P(m,n)的坐标，那么点P在圆x2+y2=17外部的概率应为 A.1/3 B.2/3 C.11/18 D.13/18
8、小组有成员3人，每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为（）
9、个人站成一排，其中甲乙丙三人恰巧站在一起的概率为（）
10、从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这两位数大于40的概率是（）A、1/5 B、2/5 C、3/5 D、4/5
11、200名青年工人，250名大学生，300名青年农民在一起联欢，如果任意找其中一名青年谈话，这个青年是大学生的概率是。
12、袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，从中任意取出3个，则取出的3个都是红球的概率是。
13、圆周上有十个等分圆周的点，从这十个点中，任取三点为顶点作一个三角形，则所作的三角形是直角三角形的概率是。
14、6位同学参加百米赛跑初赛，赛场共有6条跑道，其中甲同学恰好被排在第一道，乙同学恰好被排在第二道的概率为。
15、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为( )
16、从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（）
17、15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是．
18、名老师随机从3男3女共6人中各带2名学生进行实验，其中每名老师各带1名男生和1名女生的概率为（）
19、在一块并排10垄的土地上，选择2垄分别种植A、B两种植物，每种植物种植1垄，为有利于植物生长，则A、B两种植物的间隔不小于6垄的概率为（）
20、10件产品中，有5件一等品，3件二等品，2件三等品，要从中取出4件来检查，则至少有2件是一等品的概率为________。
21、在整数0到9这10个数字中任取4个不同整数组成一个四位数，则其中偶数的概率是
22、从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率：
（1）所取的4只鞋中恰好有2只是成双的；
（2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的
23、从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率：
（1）所取的4只鞋中恰好有2只是成双的；
（2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的
24、从6双手套中任取4只，则其中至少2只配套的概率是________。
25、从6双规格相同颜色不同的手套任取4只，其中恰有两只成双的概率是多少？
26、从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率（1）三个数字完全不同；
（2）三个数字中不含1和5；
（3）三个数字中5恰好出现两次
27、、从0，1，2，…，9这十个数字中任取不同的三个数字，求三个数字之和等于10的概率。
28、9国乒乓球队，内有3个亚洲球队，抽签分成三组进行预赛（每组3个队）试求：（1）三个组中各有一个亚洲球队的概率；
（2）3个亚洲球队集中在某一组的概率。
29、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
30、1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.
31、从一幅52张牌中取出5张，恰好是三张同点，另两张也同点的概率是（）
32、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，其中这三个数成等差数列的概率是（） A. B. C. D.
33、停车场有12辆车停放在一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰好连在一起的概率为
34、有80个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为( )
35、某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8
环，有1次未中靶. 试计算此人中靶的概率；假若此人射击一次，试问
中靶8环以上的概率是多少？
36、甲袋内有8个白球，4个红球；乙袋内有6个白球，4个红球.现从两个袋内各取1个球.计算：①取得两个球颜色相同的概率；②取得两个球颜色不相同的概率.
37、一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）
38、6位同学到A、B、C三处参加社会实践，求：
①每处均有2位同学的概率；②A处恰有3位同学的概率.
39．设袋中有8个球，其中3个白球，3个红球，2个黑球，除了颜色不同外，其余均相同．若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得一个黑球既不得分，也不扣分，则任摸3个球后的所得总分为正分的概率为
40、袋中有a只黑球b只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地一只一只摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率.
41*．袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出2个球.
(1)若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证：
m必为奇数；
(2)在m，n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求m＋n≤40
的所有数组(m，n).
42、有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人求下列事件的概率：（1）事件A：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；（3）事件C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人
43、某参观团共有8人，将进入10个房间，如果每个房间进入的人数不限，每人进入房间都是等可能的，求下列事件的概率：
(1) 某指定的8间房中各有1人；
(2) 恰有8间房，其中各有1人进入；
(1) 某指定房中恰有3人。
44、某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？
(2)三次内打开的概率是多少？
(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
45、某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
46、从1、2、3、4、5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，则和等于9的概率
47、一个口袋中有12个红球，x个自球，每次任取一球(不放回)，若第10次取到红球的概率为，则x等于A．8 B．7 C．6 D．5
48、一批产品中，有n件正品和m件次品，对产品逐个进行检测，如果已检测到前k（k＜n 次均为正品，则第k+1次检测的产品仍为正品的概率是（）
49、在编号为1，2，3，…，n的n张奖卷中，采取不放回方式抽奖，若1号为获奖号码，则在第k次（1≤k≤n）抽签时抽到1号奖卷的概率为________
50、掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．5/36
51、从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_______。
52 若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是.
53、从分别写有0，1，2，3，4，5，6的七张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算：(1)这个四位数是偶数的概率；7/12
(2)这个四位数能被9整除的概率；2/15
(3)这个四位数比4510大的概率。139/360
54、A、B、C、D、E五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：
(1)A不分甲书，B不分乙书的概率；13/20
(2)甲书不分给A、B，乙书不分给C的概率。1/2
55、一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩
具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )
56、在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( )
57、在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的９名增至14名，但只任取其中７名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是.（结果用数值表示）
58、某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
（结果用分数表示）
高考选
例1 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.
（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；
（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. (2004年浙江卷)
例2 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下:
预防措施甲乙丙丁
P 0.9 0.8 0.7 0.6
费用（万元）90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷)
例3 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．
（Ⅰ）求该盒产品被检验合格的概率；
（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．
(2004年南京市一模)
斥事件有一个发生的概率
1、如果事件A、B互斥，那么（）
A、A+B是必然事件
B、是必然事件
C、与一定互斥
D、与一定不互斥
2、有三个人每人都以相同的概率被分配到四个房间中的一间，试求至少有二人分配到同一
房间的概率。
3、10枚硬币中有：壹分5枚，贰分币3枚，伍分币2枚，从中随机抽取3枚，求至少有2枚币值相同的概率。
4、单位36人中A型血12人，B型血10人，AB型血8人，O型血6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？
5、盒中有6只灯炮，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
（1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品，次品各一只；
（3）取到的2只中至少有一只正品。
6、下列说法中正确的是
A、事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B恰有一个发生的概率大
B、事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
7、某市派出甲乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲乙两队夺取冠军的概率分别是3/7和1/4，试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率。
8、女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于1/2，求男女生相差几名？
9、一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1 如图，有如下三
种联接方法：
①②③
（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；
（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.
N次独立重复试验恰有K次发生的概率
1、一袋中有8个白球，4个红球，另一袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得颜色相同的球的概率是多少？（1/2）
2、从甲乙丙三种零件中各取1件组成某产品所有三零件必须都是正品，所得产品才是合格品，已知三种零件的次品率分别是2%、3%、5%，求产品的次品率？
3、某战士射击中靶的概率为0.99，若连续射击两次，求：
（1）两次都中靶的概率；（0.9801）
（2）至少有一次中靶的概率；(0.9999)
（3）至多有一次中靶的概率。(0.0199)
4、甲乙两高射炮同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率是0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求（1）求敌机被击中的概率；（0.8）
（2）已知甲乙两炮都击中敌机时，敌机才坠毁，求敌机坠毁的概率。（0.3）5、甲厂生产的脱粒机，每台连续使用不少于10年的概率是2/5，乙厂生产的脱柴油机，每台连续使用不少于10年的概率是3/5，将一台脱粒机与一台柴泪机配套使用，求下列各事件的概率：
（1）A（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年）；6/25
（2）B（只有脱粒机的连续使用期不少于10年）4/25
（3）C（至少有一台机器的连续使用期不少于10年19/25
6、有4名学生参加体育达标测验，4人各自合格的概率分别是1/3，1/4，1/5，1/6，求以下的概率：（1）四人中至少有二人合格的概率；43/180
（2）四人中恰好只有二人合格的概率。71/360
(3)某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为
7、设人的某一特征（如眼睛大小）是由他一对基因所决定，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人是纯隐性，具有rd基因的人为混合性。纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问
（1）1个孩子有显性决定特征的概率是多少？
（2）2个孩子中至少有一个有显性决定的特征的概率是多少？
8、在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽
样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：
（1）3个投保人都能活到75岁的概率；
（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；
（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率.（结果精确到0.01）
1．甲、乙、丙三位同学独立完成6道数学自测题，他们答及格的概率依次为，，.
求（1）三人中有且只有2人答及格的概率；
a) 三人中至少有一人不及格的概率.
2．工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85，且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内：
（1）三台机床都能正常工作的概率；
（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率.
3．已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.8．
（1）如果每人各投篮一次，求甲、乙两人中至少一人进球的概率；
（2）如果两人比赛，各投篮2次，求甲战胜乙的概率．
4．某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，和乙从第二小组的10张票中任抽1张．
（Ⅰ）两人都抽到足球票的概率是多少？
（Ⅱ）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？
5.有甲、乙两个篮球运动员，甲投篮的命中率为0.7，乙投篮的命中率为0.6，每人各投篮三次：求：（Ⅰ）甲恰有2次投中的概率；
（Ⅱ）乙至少有1次投中的概率；
（Ⅲ）甲、乙两人投中数相等的概率。
6.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）
(1) 求至少3人同时上网的概率？
(2) 至少几人同时上网的概率小于0.3?
7．在袋里装30个小球，其中彩球中有n (n≥2)个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球．若从袋里取出3个都是相同颜色彩球(无白色)的概率是，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．
射击问题：
1、已知某射击爱好者射击一次命中的概率是0.5。
（1）求这个射击爱好者射击5次至少命中3次的概率；
（2）若这个射击爱好者射击6次，那么他最有可能射中几次？
2.甲、乙2人分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9求(1)2人都射中的概率？
(1)2人中有1人射中的概率？
(2)2人中至少有1人射中的概率？
(3)2人中至多有1人射中的概率？
3、甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和. 假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(Ⅱ)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击. 问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
7.粒子A位于数軸x=0处，粒子B位于x=2处，这两颗粒子每隔一秒向左或向右移动1个单位。设向右移的概率为，向左移的概率为。
(1)求2秒后，粒子A在点x=0处的概率。
(2)求2秒后，粒子A,B同时在点x=0处的概率。
8一盒中装有10个球，其中有2个红球，8个白球，甲、乙两人甲先乙后到盒中各摸一球，假定摸出的球不放回，问：甲、乙两人谁摸到红球的概率大？
9.有外形相同的球分装在三个不同的盒子中，每个盒子10个球，其中第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.
10.有一摆地摊的非法赌主，他拿了8个白球、8个黑球放入一个袋中，他规定凡愿摸彩者，每人每次交费1元可从袋中摸出5个球，中彩情况为：摸出5个白的中20元；摸出4个白的中2元，摸出3个白的中5角的纪念品一件，其他无任何奖励，试计算：
(1) 中20元的彩金的概率（精确到0.0001）
(2) 中2元彩金的概率（精确到0.0001）
(3) 按摸彩1000次统计，一般情况下该赌主可净赚多少钱？（精确到1元）
12、G队在某一足球队联赛中要和其他六个对的每一个对都要比赛一场，已知G队在每厂比赛中的胜、败或打成平手的概率都是1/3，并假设G队打完这六场比赛⑴所有可能的比赛结果有多少种？⑵若G队在六场比赛中只胜了三场，同时胜的次数又多于败的次数，问所有可能的比赛结果有多少种？⑶求G队胜的次数多于败的次数的概率。
13、某售货员负责在甲、乙、丙三个柜台上售货，如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9、0.8、0.7。假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；（3）三个柜面至少需要售货员照顾的概率
14、文）某学生语文、数学、英语三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学0.8，英语0.85，问一次考试中1、三科成绩均未获得第一名的概率是多少？2、恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
5. 甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8. 求:
(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率.
6. 对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．
7、甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6
题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. (2004年福建卷)
8、甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
(2004年湖南卷)
9、一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：
(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；
(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。
10 如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2. (2001年新课程卷)
3. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是.
4. 某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是(用分数作答)
6. 如图，用表示四类不同的元件连接成系统.当元件至少有一个正常工
作且元件至少有一个正常工作时，系统
正常工作.已知元件正常工作的概率
依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系
统正常工作的概率.
7、把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ 3 ）
A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上均不对
例3 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?
例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
2. 已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）
1. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
4. 有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）
A.至多有1次中靶
B.2次都中靶
C.2次都不中靶
D.只有1次中靶
6.某机械零件加工由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（）
A.ab－a－b+1
B.1－a－b
C.1－ab
D.1－2ab
11．事件A与事件B互斥是事件A、事件B对立的（）
A.充分不必要条件；
B.必要不充分条件；
C.充分必要条件；
D.既不充分也不必要条件
12．若P（AB）=0，则事件A与事件B的关系是（）
A.互斥事件；
B.A、B中至少有一个是不可能事件；
C.互斥事件或至少有一个是不可能事件；
D.以上都不对
21．（06年天津文科）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．
（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率0.243
（Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率0.995 14、一班级有学生50人，其中男生30人，女生20人。为了了解50名学生与身体状况有关的某项指标，今决定采用分层抽样的方法，抽取一个容量为20的样本，则女生张某被抽中的概率是。
16、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话. 解：设A1={第i次拨号接通电话}，i=1，2，3. （1）第3次才接通电话可表示为于是所求概率为（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1+ 于是所求概率为P（A1+ ）=P(A1)+P( )+P( )= 18、某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
7．有如图连接的6个元件，它们断电的概率第一个为P1=0.6，第二个为P2=0.2，其余四个都为P=0.3.求电器断电的概率.
8．已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为20%.
①假定有5门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；
②要使敌机一旦进入这个区域内有90%以上的概率被击中，至少需要布置几门这类高射炮？
11
相互独立事件同时发生的概率
1．中国福利彩票，是由01、02、03、…、30、31这31个数字组成的，买彩票时可以在这31个数字中任意选择其中的7个，如果与计算机随机摇出的7个数字都一样（不考虑顺序），则获一等奖。若有甲、乙两名同学前去抽奖，则他们均获一等奖的概率是多少？
（1）如果在甲中一等奖后乙去买彩票，则也中一等奖的概率为多少？（P= ）
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，则乙中一等奖的概率为多少？（P= ）
2、甲、乙2人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影响，计算：（1）2人都击中目标的概率；（2）2人都没有击中目标的概率；
3、猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射
瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率. 4、猎人射击距离100米远处的目标，命中的概率为0.6。（1）如果猎人射击距离100米远处的静止目标3次，求至少有一次命中的概率；（2）如果猎人射击距离100米远处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物使动物逃跑从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则必须进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。假如击中的概率与距离成反比，。求猎人最多射击三次命中动物的概率。
例5、设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下发生B的概率为P′，则由A产生B 的概率为P•P′.根据这一事实解答下题. 一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、……、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第n站时的概率为Pn. （1）求P1，P2，P3；（2）设，求证：数列是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率.
例6、．从原点出发的某质点，按向量= 移动的概率为，按向量= 移动的概率为，设可到达点的概率为。（1）求和的值；（2）求证；（3）求的表达式
1在某段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内，两地都不下雨的概率。（0.56）
2、甲乙两人下象棋，每下三盘，甲平均能胜三盘，若两个下五盘棋，甲至少胜三盘的概率是多少？
３、批产品有30%的一级品，现进行重复抽样检查，共取出5个样品，试求：
（１）取出的5个样品恰有2个一级品的概率；
（２）取出的5个样品中至少有2个一级品的概率。
5、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是。A
6、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为B
7、甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q，他们各投两次，若p=1/2，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于7/36，则q的值为 C
8、有1个数字难题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则：两人都未解决的概率为__________；问题得到解决的概率为__________（1）1/3 （2）2/3
9、一次考试出了10个选择题，每道题有4个可供选择的答案，其中1个是正确的，3个是错误的，某学生只知道5个题的正确答案，对其他5个题全靠猜回答，那么这个学生卷面上正确答案不少于7个题的概率是_________。0.3671875
10、有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列事件的概率：
（1）事件A：指定的4个房间各有1人；1/54
（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；5/18
（3）事件C：指定的某个房间中有2人；25/216
（4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人。1/324
11、如图构成系统的每个元件的可靠性为r（0 11、（1）rn(2-rn) （2）rn(2-r)n （2）比（1）可靠 16．箱内有大小相同的6个白球，4个黑球，从中任取1个，记录它的颜色后再放回箱内，搅拌后再任意取出一个，记录它的颜色后有放回箱内搅拌。假设这样的抽取共进行了三次，使回答下列问题： （1）求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出白球，第三次又取黑球”的概率；（2）若取出一只白球得2分，取出一只黑球得1分，求三次取球总得分的数学期望。1．甲、乙、丙三位同学独立完成6道数学自测题，他们答及格的概率依次为，，. 求（1）三人中有且只有2人答及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率. 2．工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85，且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内： （1）三台机床都能正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率. 3．已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.8． （1）如果每人各投篮一次，求甲、乙两人中至少一人进球的概率； （2）如果两人比赛，各投篮2次，求甲战胜乙的概率． 4．某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，和乙从第二小组的10张票中任抽1张．（Ⅰ）两人都抽到足球票的概率是多少？ （Ⅱ）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？ 1．设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的。现投掷色子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是偶数，则棋子不动；若投出的点数是奇数，棋子移动到另一个顶点。若棋子的初始位置在顶点A，回答下列问题： （1）若投了2次色子，棋子才到达顶点B的概率是多少？（若投了n次呢？） （2）若投了3次色子，棋子恰巧在顶点B的概率是多少？（若投了n次呢？） 14．在5名学生(3男2女)中安排两名学生值日，其中至少有1名女生的概率是．15．有10件产品分三个等次，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任取2件，则取出的2件产品同等次的概率为． 16.甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5％，和棋的概率为59％，则乙胜的概率为． 17.将一个各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰好有2面涂有颜色的概率是（） 15．已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：(1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；(2)A组中至少有两支弱队的概率．17．从52张(没有大小王)扑克牌中随机抽取5张，试求下列事件的概率： (1)5张牌同一花色；(2)恰有两张点数相同而另三张点数不同； (3)恰好有两个两张点数相同而另一张是另外的点数；(4)恰好有四张点数相同． 6．某城市的发电厂有五台发电机组，每台机组在一个季度内停机维修 率为.已知两台以上机组停机维修，将造成城市缺电.计算： ①该城市在一个季度内停电的概率；②该城市在一个季度内缺电的概率. 15、排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率分别为和． （Ⅰ）前2局中B队以2:0领先，求最后A、B队各自获胜的概率； （Ⅱ）B队以3:2获胜的概率． 9．甲、乙两人进行乒乓球决赛，采取五局三胜制，即如果甲或乙无论谁先胜了三局，比 赛宣告结束，胜三局者为冠军. 假定每局甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，试求：（Ⅰ）比赛以甲3胜1败获冠军的概率；8/27 （Ⅱ）比赛以乙3胜2败冠军的概率；8/81 10 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大. 11.某足球队运动员进行射门训练，教练员规定：球员每次从中场向球门运球时，在距球门20m处进行第一次射门，若射中则重新运球；若不中，则在距球门15m处进行第二次射门，若射中则重新运球；若不中，则在距球门10m处进行第三次射门。每次运球最多射门三次。已知运动员在距球门20m处射门命中的概率是，又射门命中的概率与运动员和球门之间的距离的平方成反比。问该运动员在每次运球过程中射门命中的概率能不能超过？ 12*．平面上有两个质点A(0,0), B(2,2)，在某一时刻开始每隔1秒向上下左右任一方向移动一个单位。已知质点A向左，右移动的概率都是，向上，下移动的概率分别是和P, 质点B向四个方向移动的概率均为q： （1）求P和q的值；（2）试判断至少需要几秒，A，B能同时到达D（1，2），并求出在最短时间同时到达的概率？ 10.有一道竞赛题，甲解出它的概率为，乙解出它的概率为，丙解出它的概率为，则甲、乙、丙三人独立解答此题，只有1人解出此题的概率是（） 19．有8位游客乘坐一辆旅游车随机到3个景点中的一个景点参观，如果某景点无人下车，该车就不停车，求恰好有2次停车的概率 5. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率. （Ⅰ）摸出2个或3个白球; （Ⅱ）至少摸出一个黑球. 6. 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球. 高考选登 1 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题. （Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(2000年新课程卷) 2 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率； （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）(2003年新课程卷) 3.X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自 动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是( ) （A）0.1536 （B）0.1808 （C）0.5632 （D）0.9728 4、种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为( ) (A) p+q－2p q (B) p+q－pq (C) p+q (D) pq 5、从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求： （Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率； （Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. (2004年全国卷Ⅰ) 6、已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A、B两组,每组4支.求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率. (2004年全国卷Ⅱ) 7、某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学得300分的概率； （Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. (2004年全国卷Ⅲ) 8、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛. （Ⅰ）求所选3人都是男生的概率； （Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率； （Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率. (2004年天津卷) 9. 已知10件产品中有3件是次品. （I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率； （II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？ 10. 冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等. （Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率； （Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率. 11. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是 0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是( ) (A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.7 12. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A发生的概率为________． 13. 张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是（假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）. （Ⅰ）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率. （Ⅱ）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2 个交叉路口的概率.设 14甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是. （Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率. １５、通信小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通信.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内 （Ⅰ）恰有一套设备能正常工作的概率； （Ⅱ）能进行通信的概率. (2004年南京市二模) 例2 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别是，，.如果对这3名短跑运动员的100m 跑的成绩进行一次检测. 问 （Ⅰ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （Ⅱ）出现几人合格的概率最大？(2004年南京市三模) 例4 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5. （Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. (2004年重庆卷) 期望与方差 1、某人在打麻将时买码，至少买1只，至多买6只。中一只码可收3位输家赌利，每家赌利20元，同理，不中一只码须付赢家赌利20元。求： (1)该买码者应买几只码，获赌利最多。 (2)若该买码者所买码只数，在1到6只之间是随机的，求其所获收益的期望值。 4、甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，（I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ； （II）求乙至多击中目标2次的概率； （III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．（17）（共13分） 19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p． (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值． 19．（本小题满分12分）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，求李明在一年内领到驾照的概率. 18．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望； （Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 4、某游戏射击场规定：射手射击一次，若击中目标，则可获2元的奖金；若击不中目标，则需交1元。现有一游客在此射击场射击，其命中率为0.4。 a) 该游客期望命中2次，则他需射击多少次？(5) b) 若该游客射击10次，则他获得奖金的期望是多少元？10×0.4×2-6=2 （文）已知某射击爱好者射击一次命中的概率是0.5。 （3）求这个射击爱好者射击5次至少命中3次的概率； （4）若这个射击爱好者射击6次，那么他最有可能射中几次？ 10、篮球运动员在比赛中每次罚球的命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球1次得分ζ的期望。（1×0.7+0×0.3） 11、有一批产品共1000只，其中2℅是次品，如果从中随机地取50只进行检验，求ζ的数学期望与方差。（ζ近似服从二项分布B（n,p）。故Eζ=np,Dζ=np(1-p),1,0.98 12.2003年5月19日-25日举行的第47届世乒赛采用了新的比赛规则：7局4胜制；每局先得11分者获胜，如出现10平接下来以先连得2分者胜。若甲对乙的比赛的某一局的前3个球中，每一个甲胜乙的概率平均为3/5，试求⑴甲第2个球才得2分的概率P1;⑵在前三个球中，甲得分不超过2分的概率P2；⑶甲前三个球的得分期望。（文）袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率。（1）摸出2个或3个白球；⑵至少摸出一个黑球。 13.学校生物实验室养了10条鱼，其中有6条是红色的，4条是黑色的，实验员每天随机地取出3条，准备给生物老师上课时使用，上完课后放回实验室；（1）求一天中取出两种颜色鱼的概率；（2）求一个星期的5天中，至少有三天都取到两种颜色鱼的概率；理（3）在一个星期的5天中，求取出两种同色鱼的天数和期望与方差。 14、甲、乙两支足球队在90分钟的比赛中0：0打平了，在30分钟的加时赛中也都没有进球，必须进行点球决胜负，双方各列出5名球员，甲队5名球员都能在4次点球中进3球，乙队5名球员都能在3次点球中进2球，现已知两队在这5轮点球过后决出了胜负，⑴求甲队4：3胜乙队的概率；（文）⑵求甲队在前2轮中以1：2失利的情况下获胜的概率。（理）⑶若甲队在前2轮中以1：2失利的情况下仍然胜了乙队，设两队的进球之和为ζ，试求ζ 排列组合求概率解答题 1 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零 件不是一等品的概率为 4 1,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121 ,甲、 丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9 2 . （Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； （Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. （04湖南19） 解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件. 由题设条件有?? ???? ??? =?=-?=-??????????=?=?=?.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(C P A P C P B P B P A P C A P B P A P 即 由①、③得)(8 9 1)(C P B P -= 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0. 解得 9 11 32)(或=C P （舍去）. 将 32)(= C P 分别代入 ③、② 可得 .4 1)(,31)(==B P A P 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.3 2 ,41,31 （Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则 .6 53143321))(1))((1))((1(1)(1)(=??- =----=-=C P B P A P D P D P 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.6 5 2．（本小题满分12分） 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、 定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大. （04湖北21） 解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9. 方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为 1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97. 方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为 1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976. 综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可 使此突发事件不发生的概率最大. 3．（本小题满分12分） ① ② ③ 1．n N ∈且55n <，则乘积(55)(56) (69)n n n ---等于 A ．5569n n A -- B ．15 55n A - C ．1569n A - D ．14 69n A - 【答案】C 【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56) (69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55—n ，那么可 知下标的值为69—n ，共有69—n-（55—n ）+1=15个数，因此选择C 2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ) A. 24种 B. 36种 C 。 38种 D 。 108种 【答案】B 【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑,分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B 3．n ∈N ＊ ，则（20-n ）(21—n ）……(100-n)等于（ ) A ．80 100n A - B ．n n A --20100 C ．81100n A - D ．8120n A - 【答案】C 【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N ＊ ，则（20-n ）（21—n)……（100—n)等于81 100n A -,选C 4．从0,4,6中选两个数字，从3.5。7中选两个数字,组成无重复数字的四位数。其中偶数的个数为 ( ） A 。56 B. 96 C. 36 D 。360 【答案】B 【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解,第一种,末尾是0，那么其余的有A 3 5=60，第二种情况是末尾是4,或者6，首位从4个人选一个,其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种 5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 ( ） A. 280种 B. 240种 C 。 180种 D 。 96种 【答案】B 【解析】根据题意,由排列可得,从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有46360A =种不同的情 况，其中包含甲从事翻译工作有35 60A =种，乙从事翻译工作的有3560A =种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360—60—60=240种． 6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点,连结线段A i B j (1≤i ≤4,1≤j ≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有（ ）对“和睦线"。 排列与组合练习题 1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三 个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 答案：D 解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是39C ．所以39613114 C -=． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种 答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法． 3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 （A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个 答案：A 解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一 的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302325=⋅C C 个，于是最 多有30个交点． 推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的 交点最多有22m n C C ⋅个 变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点． 答案：412C 4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45 答案：B 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 上海高考排列组合概率题汇总 1. （1985理）从六个数字1、2、3、4、5、6中任取四个不同的数字，有多少种取法？ 由这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？[15；180] 2. （1985文）从六个数字1、2、3、5、7、9中任取四个不同的数字，有多少种取法？ 由这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？[15；60] 3. （1986）用1、2、3、4四个数字组成没有重复数字的四位奇数的个数是________。[12] 4. （1987）=++++10109102101 10C C C C ____________。[1023] 5. （1987）七人并排成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同排法的种数是（ ） （A ）1440（B ）3600（C ）4320（D ）4800[B] 6. （1988）从6个运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲、乙都不能跑第一棒， 那么共有___________种不同的参赛方案。[240] 7. （1989）两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人 一个座位），则不同坐法的种数（ ）（A ）3858C C （B ）385812C C P （C ）3858P P （D ）88 P [D] 8. （1990）平面上，四条平行直线和另外五条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共 有_______个。[60] 9. （1991）设有编号1、2、3、4、5的五个球和编号1、2、3、4、5的五个盒子，现将 这五个球投放入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为（ ）（A ）20（B ）30（C ）60（D ）120[A] 10. （1992）由1、2、3、4、5组成比40000小的没有重复数字的五位数的个数是 ________________。[72] 11. （1993）1名教师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不 同的排法_____________种。[72] 12. （1994）计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画， 排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放两端，那么不同陈 列方式有（ ）（A ）5544P P 种（B ）554433P P P 种（C ）55441 3P P C 种（D ）554422P P P 种[D] 13. （1994试）9支足球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽取两队进行比赛， 则1队是亚洲队且1队是非洲队的概率是（ ）（A ）291415C C C +（B ）291 4C C （C ）29 15C C （D ）2914 1 5C C C [D] 14. （1995）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组 一、投信箱法 ⑴5由数字0，1，2，3，4可组成多少个可重复数字的四位数？ ⑵5人到4家旅馆住店有几种住法？ ⑶已知A=﹛a，b，c，d﹜B=﹛1，2﹜从集A到集合B有多少种不同的映射？ ⑷将3个不同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？ （5）有五群鸽子其中有两群各自分别栖息在甲已两片树林中的栖息方法有多少种？ ⑼将3个相同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？ ⑷设A={1，2，3，4，5} B={a，b，c}从A到B的映射使B中的每一个元素都有原象 共有（）个？ 5、4个小组，分别从3个风景点中选一处进行观光旅游，不同的选择方案的种数是. 二关于错排问题 1．三和四个元素的全错排。 2、五个不同的元素a b c d e 每次全取作排列，如果a不能排在首位e不能排在末位， 共有几种排法？78 1、六个不同的球分别装在六个有编号的小盒中，其中甲球不能放在A盒，乙球不能放在B 盒，有多少种放法？ 2、课程表问题：某一天的课程表要排入政治，语文，数学，物理，体育，美术六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有几种排法？（504） 错排问题的推广： 4、从6个运动员中选出4人参加4*100米接力赛，如果甲已两人都不跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方法？ 5、7个人按下列要求排成一纵队，分别有多少种不同的排法？ ① A ，B两人必须排在两头（240） ②A不在队首，B不在队尾（3720） ③A，B，C三人中两两互不相邻（1440） ④A，B，C三人的前后顺序一定 ⑤A，B，C三人相邻（720） ⑥A，B，C三人中至少有一人排在两头（3600） 二邻或不邻，怎么办？ 1．一排6张椅子上坐3个人，每两人之间至少有一张空椅子，则共有多少种不同的 坐法？ 2一条长椅子上有7个人，四人坐，求其中两个空位相邻另一张空位与这两个空位不 相邻的坐法种数？ 3.要排一张有五个独唱和三个和唱节目的演出节目表，如果和唱节目不排头，并且 任何两个和唱节目不相邻，则不同的排法种数是多少？ 4.由数字1，2，3，4，5，组成多少个没有重复数字1与2不相邻的五位数？ 5.由数字1，2，3，4，5，组成多少个没有重复数字1与2相邻的五位数？ 5．由数字0，1，2，3，4，5组成多少个没有重复数字3与4必须相邻的四位数？ 6．由1，2，3，4，5这五个数字可以组成多少个没有重复数字且3在4右边的五位数？7．9人成一排，规定甲，乙之间必须有四个人，问有多少种不同的排法？ 8．在一张节目表中原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三 个节目，求有多少种不同的按排方法？ 9．三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举办一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女 歌唱家之间恰有一名男歌唱家，共有多少出场方案。 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为： ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 有性质①；②. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B （n·p），其中n，p为参数，并记. ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据 相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列. 我们称ξ服从几何分布，并记，其中 二.数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量的数学期望： ①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. 高三数学训练题（排列组合概率统计）2021附答案版 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案填入下面的表格内． （1）已知随机变量ξ服从二项分布，且 2.4 Eξ=， 1.44 Dξ=，则二项分布的参数,n p 的值为 (A)4,0.6 n p == (B) 6,0.4 n p == (C) 8,0.3 n p ==(D) 24,0.1 n p ==（2）对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为 (A) 100 (B) 120 (C) 150 (D) 200 （3）10张奖券中有2张是有奖的，甲、乙两人中各抽1张，甲先抽，然后乙抽，设甲中奖的概率为p1，乙中奖的概率为p2，那么 (A) p1 > p2 (B) p1 < p2 (C) p1＝ p2 (D) p1， p2大小不确定 （4）若x ∈ N，且x<55，则(55-x)(56-x)…(68-x)(69-x)＝ (A) A55-x 69-x (B) A15 69-x (C) A15 55-x (D) A14 55-x （5）学校黑板报设有9个学科专栏，由高中三个年级各负责3个专栏，其中数学由高三级负责．则不同的分工方法种数为 (A) 1680 (B) 560 (C) 280 (D) 140 （6）某年级8个班协商组建年级篮球队，共需10名队员，每个班至少有1个名额，不同的名额分配方案种数为 (A) 16 (B) 24 (C) 28 (D) 36 （7）把红、黄、绿、蓝四张纸牌随机分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 排列组合概率专项训练 【排列组合专项练习】 1. 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为__________。（以数字作答） 2. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为__________。（以数字作答） 3. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是_______，他投球10次，恰好投进3个球的概率为______。（用数字作答） 4．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种 5. 从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答） 6. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是_____，三人中至少有一人达标的概率是_____。 7. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为_____、_____、_____，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_________。 8. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为____________（结果用最简分数表示）。 9. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）。 【概率计算题专项练习】 1.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率. 排列组合概率练习 一、选择题（10×5＇=50＇） 1. 8本不同的书分给甲、乙、丙3人，其中有两人各得3本，一人得2本，则不同的分法共有( ) A.560种 B.280种 C.1 680种 D.3 360种 2.从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为( ) A.120 B.240 C.180 D.60 3.停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有( ) A.A 88种 B.A 812种 C.A 88·Ｃ18种 D.A 88·C 1 9种 4.设集合M ={a |a ∈N ，1≤a ≤10}，A 是M 的三元素子集且至少有两个偶数元素，则如此的集合A 的个数是( ) A.60 B.100 C.120 D.160 5.某单位有三个科室，为实现减员增效，每科室抽调2人去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排一人，问共有多少种不同的安排方法( ) A.75种 B.42种 C.30种 D.15种 6.两个事件对立是这两个事件互斥的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分且不必要条件 7.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一次，他们都中靶的概率为 ( ) A. 53 B. 43 C. 2512 D.25 14 8.一学生通过某种英语听力测试的概率为2 1 ，他连续测试2次，则恰有1次获得通过的概率为 ( ) A. 41 B. 31 C. 21 D. 3 4 9.一个小组有8个学生在同年出生，每个学生的生日都不相同的概率是 ( ) A. 8365 8 365C C B.3658 C. 88365365A D. 88365365C 10.在正方体8个顶点中任取4个，其中4点恰好能构成三棱锥的概率是 ( ) A. 3532 B. 35 31 C. 3528 D. 3529 二、填空题（4×3＇=12＇） 11.将数字1、2、3、4、5、6、7填入一排编号1、2、3、4、5、6、7的七个方格中，现要适当调换，但每次调换时，恰有四个方格中的数字不变，共有不同的调换方式种数为 . 12.在分别标有2、4、6、8、11、12、13的七张卡片中任取两张，用卡片上的两个数组成一个分数，在所得分数中既约分数的概率为 . 排列组合与概率统计 一．选择题（共7小题） 1．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A．60种B．120种C．240种D．480种 2．（2021•乙卷）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）A．B．C．D． 3．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4．（2021•甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．B．C．D． 5．（2021•甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8 6．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（） A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立 7．（2021•乙卷）在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A．B．C．D． 二．多选题（共1小题） 8．（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 三．填空题（共3小题） 9．（2021•浙江）袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m﹣n＝，E（ξ）＝．10．（2021•浙江）已知多项式（x﹣1）3+（x+1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝；a2+a3+a4＝．11．（2021•上海）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．四．解答题（共3小题） 12．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 13．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计 C 2n k (1/2) 2n 独立重复试验。如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么 在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率为P n （K ）＝C n k P k (1－P) n-k （一夫妇生四孩子，问生2男2女的情况之几率；每次生男女概率相同，1/2,如抛硬币问题（抛四次，2次朝上）,即C 42(1/2) 4＝3/8 12、 有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有一个是黑色的概率。 1- C 53 /C 93 13、 自然数计划S 中所有满足n 100, 问满足n(n+1)(n+2) 被6整除的n 的取值概率？ 由于3个连续自然数必包括一个偶数及一个可被3整除的数，因此100％ 14、 设0为正方形ABCD[ 坐标为（1，1），（1，－1），（－1，1），（－1，－1）]中的一点，求起落在x 2+y 2 1的概率。 面积法。x 2+y 2＝1为一个以原点为圆心，半径为1的圆，面积为л,正方形面积为4， ANSWER: л/4 15、 A>B （成功的概率）？ （1） A 前半部分的成功概率为1％，B 前半部分成功概率为1.4%. （2） A 后半部分的成功概率为10％，B 后半部分成功概率为8.5%. C. P(A)=1%*10% P(B)=1.4%*8.5% 16、 集合A 中有100个数，B 中有50个数，并且满足A 中元素于B 中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A 和B 中各抽签一个，抽到满足a+b=10的a,b 的概率。 C 201 /C 1001 C 501 17、 有两组数，都是『1，2，3，4，5，6』，分别任意取出两个，其中一个比另一个大2的概率？ 2*4/ C 61 C 61由于注明分别，即分两次取。 18、 从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？ 2/9. 总共有{(8,0)(0,8)（1，7）（7,1）（6,2）(2,6)(5,3)(3,5)(4,4)}集合中不能有重复元素 利用排列组合计算概率的练习题在数学中，排列组合是一种十分重要的概念，特别是在概率计算中。通过掌握排列组合的知识和技巧，我们可以解决各种与概率有关的问题。本文将通过一些练习题来展示如何利用排列组合计算概率。 练习题1：从10个不同的球中，随机取3个，计算取出的球至少有 一个是红色的概率。 假设我们用R表示红色球，用B表示蓝色球，那么我们可以列出所有可能的组合： RBB, RBR, RRB, RRR, BBB, BBR, BRB, BRR 共有8种可能的组合。其中，有3种组合至少有一个红色球，它们是：RBB, RBR和RRR。因此，取出的球至少有一个是红色的概率为 3/8。 练习题2：一副扑克牌共有52张牌，从中随机取5张，计算取到的 牌全为黑桃的概率。 在一副扑克牌中，有13张黑桃牌。我们需要计算从13张黑桃牌中 选取5张的可能性，以及从52张牌中选取5张的可能性。 首先，我们计算从13张黑桃牌中选取5张的可能性，即13选5。 这个可以通过排列组合公式来计算：13! / (5! * (13-5)!) = 1287。 接下来，我们计算从52张牌中选取5张的可能性，即52选5。也 可以使用排列组合公式来计算：52! / (5! * (52-5)!) = 2598960。 所以，取到的牌全为黑桃的概率为1287 / 2598960，约为0.000495。 练习题3：一个由0和1组成的4位数，以及一个由1和2组成的3位数，它们的百位、十位、个位各位上的数字都不相同，计算两个数 相加等于300的概率。 我们需要计算满足条件的组合有多少种，以及总的组合有多少种。 首先，我们计算满足条件的组合数。对于由0和1组成的4位数， 百位不能为0，但可以为1，十位、个位不能为0或1，所以满足条件 的组合数为1 * 2 * 1 * 1 = 2。 对于由1和2组成的3位数，百位和十位不能为1，所以满足条件 的组合数为1 * 1 * 1 = 1。 因此，两个数相加等于300且满足条件的概率为2 / (2 * 1) = 1/2。 通过以上三个练习题，我们可以看到排列组合在计算概率中的应用。掌握了排列组合的知识和技巧，我们能够更加准确地计算各种概率问题，解决各类实际问题。因此，学习和理解排列组合的概念对于数学 的学习和应用具有重要意义。 通过以上练习题的讲解，相信大家对于利用排列组合计算概率有了 更深入的理解。希望本文对于大家的学习有所帮助。 排列组合与概率 一、选择题（每题5分，计60分） 1、书架上同一层任意立放着不同的10本书，那么指定的3本书连在一起的概率为（A ） A 、1/15 B 、1/120 C 、1/90 D 、1/30 2、甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的，现从甲乙两盒中各任取一个，则能配成A 型的螺栓的概率为（C ） A 、1/20 B 、15/16 C 、3/5 D 、19/20 3、一个小孩用13个字母：3个A ，2个I ，2个M ，2个J 其它C 、E 、H 、N 各一个作组字游戏，恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为（D ） A 、!824 B 、!848 C 、!1324 D 、! 1348 4、袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下旬事件中概率是8/9的是（B ） A 、颜色全相同 B 、颜色不全相同 C 、颜色全不同 D 、颜色无红色 5、某射手命中目标的概率为P ，则在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为（C ） A 、P 3 B 、(1—P)3 C 、1—P 3 D 、1—(1-P)3 6．2004年7月7日，甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12。假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响，那么甲、乙都不下雨的概率是（ C ） （A ） 0.102 （B ） 0.132 （C ） 0.748 （D ） 0.982 7．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ D ） （A ） 0.128 （B ） 31 （C ） 0.104 （D ） 0.384 8. 从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率B A.小 B.大 C.相等 D.大小不能确定 9．16支球队，其中6支欧洲队、4支美洲队、3支亚洲队、3支非洲队，从中任抽一队为欧洲队或美洲队的概率为（ D ） ()A 1101416C C C ()1101416C C C B + ()1161416C C C C ()116 1416C C C D + 10．两袋分别装有写着0、1、2、3、4、5六个数字的6张卡片，从每袋中各任取一张卡片，所得两数之和等于7的概率为（B ） ()111 A ()91 B ()152 C ()15 4D 11．在100个产品中有10个次品，从中任取4个恰有1个次品的概率为（ D ） ()()()31091014100C A ()10 1B ()()3109101C ()4100 390110C C C D 排列与组合练习题及答案 排列与组合练习题及答案 排列组合与古典概率论关系密切。今天，店铺为大家整理了排列与组合练习题。 排列与组合练习题一、填空题 1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________. [解析] 由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共3×2×2=12种;如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共3×2×1=6种，因此总共12+6=18种情况. [答案] 18 2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种. [解析] 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C·C=60(种);三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5+60+1=66(种). [答案] 66 3.(2014·福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有________个. [解析] 分类讨论：若十位数为6时，有A=20(个);若十位数为5时，有A=12(个);若十位数为4时，有A=6(个);若十位数为3时，有A=2(个). 学习必备欢迎下载 排列组合二项式定理和概率 Ⅰ、随机事件的概率 例 1某商业银行为储户提供的密码有0， 1， 2，⋯， 9 中的 6 个数字组成 . (1)某人随意按下 6 个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？ (2)某人忘记了自己储蓄卡的第 6 位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率 是多少？ 例 2一个口袋内有m个白球 n 个黑球，从中任取 3 个球，这 3 个球恰好是 2 白1 黑的概率是多和 少？（用组合数表示） Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率 例 3 在 20 件产品中有15 件正品， 5 件次品，从中任取 3 件，求： （1）恰有 1 件次品的概率；（ 2）至少有 1 件次品的概率 . 例 4 1 副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块 4 种花色，每种 13 张，共 52 张，从 1 副洗好的牌中任取 4 张，求 4 张中至少有 3 张黑桃的概率 . Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率 例5猎人在距离100 米处射击一野兔，其命中率为0.5 ，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150 米 .如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间 距离为 200 米 .已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率. 例 6要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05 ，而乙机床废品率为0.1 ，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： （ 1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率. 概率与统计易错点 类型一 例 1 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同掷两枚骰子，求所得的点数之和为 6 的概率． 类型二 例 2 类型三 例 3 “互斥 ”与 “对立 ”混同 把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每个人分得 1 张，事件 “甲 分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．以上均不对 “互斥 ”与 “独立 ”混同 甲投篮命中率为 O ．8，乙投篮命中率为 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多 少? 类型四 例 4 “条件概率 P(B / A)”与 “积事件的概率 P(A ·B)”混同 袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 取到黄色球的概率． 2 次，求第二次才 练习题 1. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 p 1，乙解决这个问题的概率 是 p 2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 ( ) （ A ） p 1 p 2 （ B ） p 1 (1 p 2 ) p 2 (1 p 1 ) （C ） 1 p 1 p 2 （ D ） 1 (1 p 1 )(1 p 2 ) 2. 连续掷两次骰子，以先后得到的点数 m 、 n 为点 P （ m ， n ）的坐标，那么点 P 在圆 x 2+y 2＝17 外部的概率应为（ ） （A ） 1 （B ） 2 （C ） 11 （D ） 13 3 3 18 18 3. 从含有 500 个个体的总体中一次性地抽取 25 个个体，假定其中每个个体被抽到的概率 相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于 _______。 4．从数字 1， 2， 3， 4， 5，中，随机抽取 3 个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之 和等于 9 的概率为 （ ） A ． 13 B ． 16 C ． 18 D ． 19 125 125 125 125 5．在由数字 1， 2，3， 4， 5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有 （ ） A ．56 个 B ．57 个 C ．58 个 D ．60 个 6. 某工厂生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2 : 3 : 5 ，现用分层抽样方法 抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件 . 那么此样本的容量 n= . 7．标号为 1， 2，⋯， 10 的 10 个球放入标号为 1， 2，⋯， 10 的 10 个盒子内，每个盒内放一个 排列组合概率练习题 复数、排列组合概率练习题 1.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有一件次品的不同取法的种数是（） A.44261C C B.99261C C C.9431003C C - D.94 31003A A - 2.若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有（） A.180种 B.360种 C.15种 D.30种 3.七人并排站成一行,如果甲，乙两人必须不相邻，那么不同的排法总数是（） A.1440 B.3600 C.4320 D.4800 4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（） A.140种 B.84种 C.70种 D.35种 5.在)1(2x x +6的展开中,3x 的系数和常数项依次是（）A.20,20 B.15,20 C.20,15 D.15,15 6.从正方体的6个面中选去3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 7.6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（） A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 8.用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（） A.24个 B.30个 C.40个 D.60个 9.在5名学生（3名男生，2名女生）中安排2名学生值日，其中至少有1名女生的概率是。 10.)21(2x x -9展开式中x 9的系数是。 11.六位身高全不相同的同学排照留念，摄影师要前后两排各三人，则后排每人均无前排同学高的概率为。 12.正六边型的中心和顶点共7个点，以其中3个点的为顶点的三角形共有个。 13.三个互不重合的平面，能把空间分成n 个部分，n 的所有可能值为（） A.4,6,7 B.4,5,6,8 C.4,7,8 高二数学排列组合概率练习 一、单选题。 1.六个人排成一列, 甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻的排法有_ 种. A.144 B.72 C.48 D.720 2.在180件产品中，有172件合格品，8件次品，且有下列事件： ①从这180件产品中任意选出9件，全部合格； ②从这180件产品中任意选出9件，全部不合格； ③从这180件产品中任意选出9件，不全部合格； 3.从这180件产品中任意选出9件，其中不合格产品的件数小于10．其中为随机事件的是 [ ] A．①，② B．①，③ C．②，③ D．②，④ 4. 二项式(x+1)44展开式中的第21项与第22项相同, 则非零实数x的值是 A. 1 B. C. D. 2 5.假设在200件产品中有3件次品, 现在从中任取5件, 其中至少有2件次品的抽法有________种 [ ] A. C32·C1973 B. C32·C1973+C33·C1972 C. C2005-C1975 D. C2005-C31·C1974 6.从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗小组, 如果小组中至少要有男医生与女医生各2名, 则不同的选法为 [ ] A.C82·C72·C111 B.(C82+C72)·C111 C.(C82+C72)(C73+C82) D.C82·C73+C72·C837. 5人站成一排, 其中A 不排在左端, 也不和B相邻的不同排法的种数是 A.48 B.54 C.60 D.66 8.给出下列四个命题： (1)“当x∈R时，sinx＋cosx≤1”是必然事件； (2)“当x∈R时，sinx＋cosx≤1”是不可能事件； (3)“当x∈R时，sinx＋cosx＜2”是随机事件； (4)“当x∈R时，sinx＋cosx＜2”是必然事件． 其中正确命题的个数是 [ ] A．0 B．1 C．2 D．3 9. A．{1，4} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1} 10. 6本不同的书全部分给甲乙两人, 要求每人至少一本. 则不同的分法数共有________种. A. 30 B. 42 C. 62 D. 64 11. 除以7的余数是 A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 12. 六人排成一排, 其中A、B二人相邻, C、D二人相邻, E、F二人不相邻, 则不同的排法的种数为[ ] A.48 B.32 C.24 D.72运用排列组合求概率解答题
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