排列组合概率例题与讲解
排列、组合与概率
一、基本知识点回顾：
（一）排列、组合
1、知识结构表：
2、两个基本原理：
（1）分类计数原理
（2）分步计数原理
3、排列
（1）排列、排列数定义
（2）排列数公式：
（3）全排列公式：
4、组合
（1）组合、组合数定义
（2）组合数公式：
（3）组合数性质：
①②③
④
⑤即：
5、思想方法
（1）解排列组合应用题的基本思路：
①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步
②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；
③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；
（2）解排列组合题的基本方法：
①优限法：
元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
③分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。
④分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。
⑤插空法：
某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
⑥捆绑法：
把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。
⑦穷举法：
将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。
（二）二项式定理
历年高考中对二项式定理的考查主要有以下两种题型：
1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；
2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；（三）概率
1、随机事件的概率
2、等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包容的结果有m个，那么事件A的概率；
3、互斥事件的概率：
（1）互斥事件：试验时不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
对立事件：试验时如果两个互斥事件A、B必有一个发生，那么称A、B为对立事件；
(2) 互斥事件有一个发生的概率：设A、B互斥，把A、B中有一个发生的事件记为A+B，则有：P（A+B）=P（A）+P（B）
(3) 把一个事件A的对立事件记为，则：
4、相互独立事件的概率：
（1）相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件；（2）相互独立事件同时发生的概率：
两个相互独立事件A、B同时发生的事件记作，则：
(3) 独立重复试验：
如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为：
5、解概率题关键是把应用题转化为相应的概率模型，即要弄清所求事件是属于何种事件，然后利用相关的公式进行计算。
二、例题
（一）排列组合
1、有四位学生参加三项不同的竞赛，
（1）每位学生必须参加一项竞赛，则有种不同的参赛方法；
（2）每项竞赛只许有一位学生参加，则有种不同的参赛方法；
（3）每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则有种不同的参赛方法；
2、从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有个。（用数字作答）
3、7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数
（1）甲排中间（2）甲不排两端（3）甲、乙相邻
（4）甲在乙的左边（不一定相邻）
（5）甲、乙、丙两两不相邻
4、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
(A)140种 (B)120种 (C)35种(D)34种
5、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，再每人从中拿一张别人送出的贺卡，则不同的分配方式有（）
A、6种
B、9种
C、11种
D、23种
6、4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）
A. 12 种
B. 24 种 C 36 种 D. 48 种
7、某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（）
（A）（B）（C）（D）
8、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为（）
（A）42 （B）30 （C）20 （D）12
9、设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（）
A．20 B．19 C．18 D．16
10、如图，一个地区分为5个行政区域，
现给地图着色，要求相邻区域不得
使用同一颜色，现有4种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有
种.（以数字作答）
（二）二项式定理
1、的展开式中x3的系数是( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)48
2、若展开式中存在常数项，则n的值可以是（）
(A)8 (B)9 (C)10 (D)12
3、若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于（）
A．4 B．6 C．8 D．10
4、已知展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（）
（A）（B）（C）1或（D）1或
5、若，则
。（用数字作答）
（三）概率
1、设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（）
A．B．C．D．
2、甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分掺混后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（）
(A) (B) (C) (D)
3、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )
(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)91216
4、10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（）
A．B．C． D．
5、某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（）
A． B．C． D．
6、某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为()
A． B．C． D．
7、某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是(结果用最简分数表示).
8、某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）
9、某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是
③他至少击中目标1次的概率是
其中正确结论的序号是____________（写出所有正确结论的序号）．
10、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率
11、甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
①恰有一个人译出密码的概率；
②至多一个人译出密码的概率；
12、排球比赛的规则是5盘3胜制，A、B两队每盘比赛获胜的概率都相等且分别为和 .
（Ⅰ）前2盘中B队以2:0领先，求最后A、B队各自获胜的概率;
（Ⅱ）B队以3:2获胜的概率.
13、在某次考试中，甲、乙、丙三人合格（互不影响）的概率分别是，，，考试结束后，最容易出现几人合格的情况？
14、猎人射击距离100米远处的静止目标命中的概率为0.6
（1）如果猎人射击距离100米远处的静止目标3次，求至少有一次命中的概率；
（2）如果猎人射击距离100米远处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物使动物逃跑从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则必须进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。假如击中的概率与距离成反比，。求猎人最多射击三次命中动物的概率。
答案：
（一）1、（1）81 （2）64 （3）24
2、36
3、（1）720 （2）3600 （3）1440 （4）2520 （5）1440
4~9 D B C B A C
10、72
（二）1、C 2、C 3、B 4、C 5、2004
（三）1、D 2、B 3、D 4、D 5、A 6、B
7、8、 9、①③
10、解：（Ⅰ）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，
摸出两个球共有方法种，其中，两球一白一黑有种.
.
（Ⅱ）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为B，
摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为，
“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
.
法二 已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言]呕氐孛 酱危 ハ喽懒? 摸一次得白球的概率为, “有放回摸两次，颜色不同”的概率为
11、解：①……②
12、解:（Ⅰ）设最后A获胜的概率为设最后B获胜的概率为
（Ⅱ）设B队以3:2获胜的概率为
13、解：按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况.
⑴三人都合格的概率
⑵三人都不合格的概率为
⑶恰有两人合格的概率
⑷恰有一人合格的概率
由此可知，最容易出现恰有１人合格的情况
14、解：（1）记事件“猎人射击距离100米远处的静止目标3次，至少有一次命中”为A事件，则P(A)=1-P( )=1-0.4×0.4×0.4=0.936.
（2）记事件“第次击中动物”为事件（ =1,2,3），记事件“最多射击3次而击中动物”为事件B. 由条件P(B1)=0.6, P(B1)= =0.4, P(B1)= =0.3,
∵,且是相互独立事件,又、、是互斥事件，
∴=0.832.
排列组合求概率解答题 1 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零 件不是一等品的概率为 4 1,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121 ,甲、 丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9 2 . （Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； （Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. （04湖南19） 解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件. 由题设条件有?? ???? ??? =?=-?=-??????????=?=?=?.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(C P A P C P B P B P A P C A P B P A P 即 由①、③得)(8 9 1)(C P B P -= 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0. 解得 9 11 32)(或=C P （舍去）. 将 32)(= C P 分别代入 ③、② 可得 .4 1)(,31)(==B P A P 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.3 2 ,41,31 （Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则 .6 53143321))(1))((1))((1(1)(1)(=??- =----=-=C P B P A P D P D P 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.6 5 2．（本小题满分12分） 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、 定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大. （04湖北21） 解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9. 方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为 1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97. 方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为 1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976. 综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可 使此突发事件不发生的概率最大. 3．（本小题满分12分） ① ② ③
排列组合概率例题与讲解 排列、组合与概率 一、基本知识点回顾： （一）排列、组合 1、知识结构表： 2、两个基本原理： （1）分类计数原理 （2）分步计数原理 3、排列 （1）排列、排列数定义 （2）排列数公式： （3）全排列公式： 4、组合 （1）组合、组合数定义 （2）组合数公式： （3）组合数性质： ①②③ ④ ⑤即： 5、思想方法 （1）解排列组合应用题的基本思路： ①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”； （2）解排列组合题的基本方法： ①优限法： 元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； ②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 ③分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。 ④分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 ⑤插空法： 某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 ⑥捆绑法： 把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。 ⑦穷举法： 将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。 （二）二项式定理 历年高考中对二项式定理的考查主要有以下两种题型： 1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；
排列与组合练习题 1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三 个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 答案：D 解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是39C ．所以39613114 C -=． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种 答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法． 3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 （A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个 答案：A 解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一 的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302325=⋅C C 个，于是最 多有30个交点． 推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的 交点最多有22m n C C ⋅个 变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点． 答案：412C 4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45 答案：B 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C 2n k (1/2) 2n 独立重复试验。如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么 在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率为P n （K ）＝C n k P k (1－P) n-k （一夫妇生四孩子，问生2男2女的情况之几率；每次生男女概率相同，1/2,如抛硬币问题（抛四次，2次朝上）,即C 42(1/2) 4＝3/8 12、 有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有一个是黑色的概率。 1- C 53 /C 93 13、 自然数计划S 中所有满足n 100, 问满足n(n+1)(n+2) 被6整除的n 的取值概率？ 由于3个连续自然数必包括一个偶数及一个可被3整除的数，因此100％ 14、 设0为正方形ABCD[ 坐标为（1，1），（1，－1），（－1，1），（－1，－1）]中的一点，求起落在x 2+y 2 1的概率。 面积法。x 2+y 2＝1为一个以原点为圆心，半径为1的圆，面积为л,正方形面积为4， ANSWER: л/4 15、 A>B （成功的概率）？ （1） A 前半部分的成功概率为1％，B 前半部分成功概率为1.4%. （2） A 后半部分的成功概率为10％，B 后半部分成功概率为8.5%. C. P(A)=1%*10% P(B)=1.4%*8.5% 16、 集合A 中有100个数，B 中有50个数，并且满足A 中元素于B 中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A 和B 中各抽签一个，抽到满足a+b=10的a,b 的概率。 C 201 /C 1001 C 501 17、 有两组数，都是『1，2，3，4，5，6』，分别任意取出两个，其中一个比另一个大2的概率？ 2*4/ C 61 C 61由于注明分别，即分两次取。 18、 从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？ 2/9. 总共有{(8,0)(0,8)（1，7）（7,1）（6,2）(2,6)(5,3)(3,5)(4,4)}集合中不能有重复元素
高考排列组合、概率知识点总结及典型例题 排列组合知识点总结： 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①m m n c -=n n c ；②111-m n c --+=m n n n c c ；③1 1-k n kc -=k n nc ； 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若12 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列 展开. ⑵二项展开式的通项. n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
利用排列组合计算概率的练习题在数学中，排列组合是一种十分重要的概念，特别是在概率计算中。通过掌握排列组合的知识和技巧，我们可以解决各种与概率有关的问题。本文将通过一些练习题来展示如何利用排列组合计算概率。 练习题1：从10个不同的球中，随机取3个，计算取出的球至少有 一个是红色的概率。 假设我们用R表示红色球，用B表示蓝色球，那么我们可以列出所有可能的组合： RBB, RBR, RRB, RRR, BBB, BBR, BRB, BRR 共有8种可能的组合。其中，有3种组合至少有一个红色球，它们是：RBB, RBR和RRR。因此，取出的球至少有一个是红色的概率为 3/8。 练习题2：一副扑克牌共有52张牌，从中随机取5张，计算取到的 牌全为黑桃的概率。 在一副扑克牌中，有13张黑桃牌。我们需要计算从13张黑桃牌中 选取5张的可能性，以及从52张牌中选取5张的可能性。 首先，我们计算从13张黑桃牌中选取5张的可能性，即13选5。 这个可以通过排列组合公式来计算：13! / (5! * (13-5)!) = 1287。 接下来，我们计算从52张牌中选取5张的可能性，即52选5。也 可以使用排列组合公式来计算：52! / (5! * (52-5)!) = 2598960。
所以，取到的牌全为黑桃的概率为1287 / 2598960，约为0.000495。 练习题3：一个由0和1组成的4位数，以及一个由1和2组成的3位数，它们的百位、十位、个位各位上的数字都不相同，计算两个数 相加等于300的概率。 我们需要计算满足条件的组合有多少种，以及总的组合有多少种。 首先，我们计算满足条件的组合数。对于由0和1组成的4位数， 百位不能为0，但可以为1，十位、个位不能为0或1，所以满足条件 的组合数为1 * 2 * 1 * 1 = 2。 对于由1和2组成的3位数，百位和十位不能为1，所以满足条件 的组合数为1 * 1 * 1 = 1。 因此，两个数相加等于300且满足条件的概率为2 / (2 * 1) = 1/2。 通过以上三个练习题，我们可以看到排列组合在计算概率中的应用。掌握了排列组合的知识和技巧，我们能够更加准确地计算各种概率问题，解决各类实际问题。因此，学习和理解排列组合的概念对于数学 的学习和应用具有重要意义。 通过以上练习题的讲解，相信大家对于利用排列组合计算概率有了 更深入的理解。希望本文对于大家的学习有所帮助。
1．n N ∈且55n <,那么乘积(55)(56)(69)n n n ---等于 A ．5569n n A -- B ．15 55n A - C ．15 69n A - D ．14 69n A - 【答案】C 【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数 为55-n ，那么可知下标的值为69-n,共有69-n-〔55-n 〕+1=15个数，因此选择C 2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么不同的分配方案共有〔 〕 A. 24种 B. 36种 C. 38种 D. 108种 【答案】B 【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑，分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B 3．n ∈N * ，那么〔20-n 〕(21-n)……(100-n)等于〔 〕 A ．80 100n A - B ．n n A --20100 C ．81 100n A - D ．81 20n A - 【答案】C 【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N * ，那么〔20-n 〕(21-n)……(100-n)等于81 100n A -，选 C 4．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为 ( ) A.56 B. 96 C. 36 D.360 【答案】B 【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解，第一种，末尾是0，那么 其余的有A 3 5=60，第二种情况是末尾是4，或者6，首位从4个人选一个，其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种 5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，假设其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，那么选派方案共有 〔 〕 A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B 【解析】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有 46360A =种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有3 560A =种，乙从事翻译工作的有3560A =种，假设其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，那么选派方案共有 360-60-60=240种． 6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段
高中数学 专题14 排列组合真题汇编 1．将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数为. 【答案】498 【解析】所有首位非0的8位数：6!-5！ 2、0相邻的不同8位数：. 1、9相邻的不同8位数：. 2、0与1、9均相邻的不同8位数： 故所求的8位数个数为：. 2．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______(用数字作答). 【答案】15000 【解析】 由题意知满足条件的方案有两种情形： 1.有一个项目有3人参加，共有种方案； 2.有两个项目各有2人参加，共有种方案. 故所求的方案数为. 故答案为：15000 3．将3333的方格表中毎个格染三种颜色之一,使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两格的颜色不同,则称其公共边为“分隔边".试求分隔边条数的最小值。 【答案】56 【解析】 记分隔边的条数为L。首先,将方格表按图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边。
此时,共有56条分隔边，即L=56。 其次证明:L≥56。 将方格表的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为。行中方格出现的颜色数记为,列中方格出现的颜色个数记为。三种颜色分别记为，对于一种颜色为含有色方格的行数与列数之和。 定义 类似地定义. 所以 由于染色的格有个,设含有色方格的行有a个、列有b个,则色的方格一定在这a行和b 列的交叉方格中。 从而, 所以① 由于在行中有种颜色的方格，于是,至少有条分隔边。 类似地,在列中,至少有条分隔边。 则② ③ 下面分两种情形讨论。 1.有一行或一列所有方格同色。 不妨设有一行均为色则方格表的33列中均含有色的方格，又色方格有363个，故至少有11行含有色
排列组合与概率 一、选择题〔每题5分，计60分〕 1、书架上同一层任意立放着不同的10本书，那么指定的3本书连在一起的概率为〔A 〕 A 、1/15 B 、1/120 C 、1/90 D 、1/30 2、甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的，现从甲乙两盒中各任取一个，那么能配成A 型的螺栓的概率为〔C 〕 A 、1/20 B 、15/16 C 、3/5 D 、19/20 3、一个小孩用13个字母：3个A ，2个I ，2个M ，2个J 其它C 、E 、H 、N 各一个作组字游戏，恰好组成“MATHEMATICIAN 〞一词的概率为〔D 〕 A 、!824 B 、!848 C 、!1324 D 、! 1348 4、袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，那么下旬事件中概率是8/9的是〔B 〕 A 、颜色全一样 B 、颜色不全一样 C 、颜色全不同 D 、颜色无红色 5、某射手命中目标的概率为P ，那么在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为〔C 〕 A 、P 3 B 、(1—P)3 C 、1—P 3 D 、1—(1-P)3 6．2004年7月7日，甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12。假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响，那么甲、乙都不
下雨的概率是〔 C 〕 7．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，那么3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是〔D 〕 〔A〕0.128 〔B〕 1 3 8. 从装有4粒大小、形状一样，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出假设干粒玻璃球〔至少一粒〕，那么倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率B 9．16支球队，其中6支欧洲队、4支美洲队、3支亚洲队、3支非洲队，从中任抽一队为欧洲队或美洲队的概率为〔 D 〕 10．两袋分别装有写着0、1、2、3、4、5六个数字的6张卡片，从每袋中各任取一张卡片，所得两数之和等于7的概率为〔B 〕11．在100个产品中有10个次品，从中任取4个恰有1个次品的概率为〔 D 〕 12．某人有9把钥匙，其中一把是开办公室门的，现随机取一把，取后不放回，那么第5次能翻开办公室门的概率为〔A 〕 二、填空题〔每题5分，计20分〕 13．两名战士在一次射击比赛中，甲得1分，2分，3分的概率分别是0.2，0.3，0.5，乙得1分，2分，3分的概率分别是0.1，0.6， 0.3，那么两名战士哪一位得胜的希望较大_____战士甲________．14．有两组问题，其中第一组中有数学题6个，物理题4个；第二组中有数学题4个，物理题6个。甲从第一组中抽取1题，乙从 第二组中抽取1题。甲、乙都抽到物理题的概率是6 __，甲和 25
排列组合例题与解析 【公式】 r n! P n= (n-r)! r r n! P n n-r C n= r!(n-r)! = r! =C n 例题分析： 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，C（2,10）*2*P（2,2）=90*2*2，因而本题为360。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， ∴ 本题答案为：=56。 2．分析是分类还是分步，是排列还是组合 注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。 分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。 第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择， 同理A、B位置互换，共12种。
组合应用题例题分析 ⒈ 100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法； （2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？ 解：（1）3100161700C =；（2）398152096C =；（3）12 298247539506C C =⨯=； （4）解法一：（直接法）1221 2982989506989604C C C C +=+=； 解法二：（间接法）33100981617001520969604C C -=-=． ⒉ 从8男4女中选出5名学生代表，按下列条件各有多少种选法: ⑴至少有一名女同学； ⑵至少有两名女同学，但女甲和女乙有且只有一人当选； ⑶至多有两名女同学； ⑷女生甲、乙不都当选； ⑸必须有女同学当选，但不得超过女同学的半数。 解: (1)736C C 58512=-； (2)280C C C C C C 2 82212381212=+； (3)672C C C C C C 382448145804=++； (4)672C C C 3 1022512=-； (5)616C C C C 38244814=+. 注：至多（至少）问题的解法：①恰当分类；②排除法。 ⒊ 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可 以排出多少种不同的值周表 ？ 解法一：（排除法）422131424152426=+-C C C C C C ． 解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2414C C ； 另一类为甲不值周一，但值周六，有2324C C ，∴一共有2414C C +2324C C ＝42种方法． 4. 六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的方法？ （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分为三份，一份四本，另两份各一本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。 解：（1）根据分步计数原理得到：902 22426=C C C 种；
专题五：排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1.突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2.有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3.个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法， 平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难(理科)的题目。 4.有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特别是有关 指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5.有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率 公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大(既一道选择题或填空题、一道解答题)的形式出现，属于中等偏难的题目。 6.有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般 以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1.知识体系： 2 .知识重点： (1)分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 (2)排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式的推导过程 就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选(元素)后排(顺序)这一通法。 (3)二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的推导过程 体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法一一赋值法 (令X 1)的应用。 (4)等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的 定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 (5)(理科)离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 (6)简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。
典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 典型例题二 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 典型例题三 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 典型例题四 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 典型例题五 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 典型例题六 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？
典型例题七 例5 7名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？ (2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生， 女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 典型例题八 例8 从65432、、、、五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和． 典型例题九 例9 计算下列各题： (1) 215A ； (2) 66 A ； (3) 1111------⋅n n m n m n m n A A A ； (4) !!33!22!1n n ⋅++⋅+⋅+ (5) ! 1!43!32!21n n -++++ 典型例题十 例10 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．对这个题目，A 、B 、C 、D 四位同学各自给出了一种算式：A 的算式是662 1A ；B 的算式是441514131211)(A A A A A A ⋅++++；C 的算式是46A ； D 的算式是4426A C ⋅．上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由． 典型例题十一 例11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 典型例题十二
一、排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个. 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。 例6．〔2003年春招〕某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为〔A 〕
高三数学冲刺专题练习——排列组合概率 1. 概率 1．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2125 ，则该队员每次罚球的命中率p 为 . 【分析】根据题意，分析可得两次罚球中两次都名中的概率为214 12525 -=，由相互独立事件的概率公式可得关于p 的方程，解可得答案． 【解答】解：根据题意，该队员在两次罚球中至多命中一次的概率为2125 ， 则两次罚球中两次都名中的概率为21412525 -=， 则有2425p = ，解可得25 P =． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，注意分析事件之间的关系，属于基础题． 2．某市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为 . 【分析】根据古典概率模型的概率公式即可求解． 【解答】解：4袋不同垃圾投4个不同的垃圾桶有4 4 24A =种不同投法， 而恰好有两袋垃圾投对的投法数为2 4 6C =， ∴恰好有两袋垃圾投对的概率61244 P = =． 【点评】本题考查古典概率模型的概率公式，属基础题． 3．某校为落实“双减”政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为 . 【分析】首先分析得到四名同学总共的选择为44个选择，然后分析恰有两人参加同一项活动的情况为21 4 4C C ，则剩下两名同学不能再选择同一项活动，他们的选择情况为23A ，然后进行计算即可． 【解答】解：每人只能等可能的选择参加其中一项活动，且可以参加相同的项目，
1、用1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？解析：这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，由排列数公式，共可组成： P85=8*7*6*5*4=6720 2、由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？ 解析：分类法 注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决. 第一类：一位偶数只有0、2，共2个； 第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；若个位取2，则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13＋C12）种不同的取法； 第三类：三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位和百位共有P23种取法；若个位取2，则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取法，由乘法原理，个位为2的三位偶数有2×2个，三位偶数共有（P23＋2×2）个； 第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取 0，则共有P33个；若个位取 2，则其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2种取法，百位和十位在剩下的两个数中取，再排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2×P22个.所以，四位偶数共有（P33＋2×P22）种不同的取法. 由加法原理知，共可以组成
2＋（C13＋C12）＋（P23＋2×2）＋（P33＋2×P22）＝2＋5＋10＋10＝27个不同的偶数. 3、从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 解析：分类法。首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解：符合要求的选法可分三类： 设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15＋10＋ 6＝31种. 运用加法和乘法原理时要注意： ①抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法
2014高三暑期保送复习 《排列组合与概率》专题 第一讲 排列组合与二项式定理 【根底梳理】 1．排列 (1)排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素(这里的被取元素各不一样)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． (3)排列数公式 A m n ＝ (4)全排列数公式 A n n ＝(叫做n 的阶乘)． 2．组合 (1)组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C m n 表示． (3)组合数公式 C m n ＝(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地C 0 n ＝1. (4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1 n . 3．二项式定理 〔1〕(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1 b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N * )这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫 (a ＋b )n 的 其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . 〔2〕．二项展开式形式上的特点 ①项数为. ②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为. ③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到n . (4)二项式的系数从C 0 n ，C 1 n ，一直到C n －1n ，C n n . (3)．二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离〞的两个二项式系数即