排列组合二项式定理和概率
Ⅰ、随机事件的概率
例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.
(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，
9这10种，正确的结果有1种，其概率为
6
101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为10
1. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）
解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m
个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 12
3
)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(n
m n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率
例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
∴ 恰有一件次品的概率P=76
3532015215=C C C . (2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A 1,恰有2件次品为事件A 2，3件全是次品为事件A 3,则它们的概率
P(A 1)= 32015215C C C =228
105,2282)(320115252==C C C A P ,2282)(320353==C C A P , 而事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A 1+A 2+A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)= 228
137. 法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A ，那么任取3件，至少有1件次品为A ，根据对立事件的概率加法公式P(A )=228
1371)(1320315=-=-C C A P 例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗
好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.
解 从52张牌中任取4张，有452C 种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑
桃”和“4张全是黑桃”，共有413
139313C C C +⋅种取法452413139313C C C C +⋅∴ 注 研究至少情况时，分类要清楚。
Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率
例5 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行
第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件A ，B ，C ，其中21)(=A P ,由2
100)(21k A P ==，求得k=5000。 8
12005000P(C),921505000P(B)22====∴,∴命中野兔的概率为 .144
9581)921)(211(92)211(21)
()()()()()()()A P(P(A)=⨯--+⨯-+=++=⋅⋅+⋅+C P B P A P B P A P A P C B A P B 例6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产
是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.
解： 设事件A 为“从甲机床抽得的一件是废品”；B 为“从乙机床抽得的一件是废品”.
则P （A ）=0.05, P(B)=0.1,
（1）至少有一件废品的概率
145.090.095.01)()(1)(1)(=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P
（2）至多有一件废品的概率
995.09.095.01.095.09.005.0)(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P P
Ⅳ、概率内容的新概念较多，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：
类型一 “非等可能”与“等可能”混同
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111 剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、
(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=
536
． 类型二 “互斥”与“对立”混同
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事
件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A ．对立事件
B ．不可能事件
C ．互斥但不对立事件
D ．以上均不对 错解 A
剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立
概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有
一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C ．
类型三 “互斥”与“独立”混同
例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概
率是多少?
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次
为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=
剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投
中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，
则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169
四、高考题选讲
1 甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，
甲、乙二人依次各抽一题.
（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
2 如图,用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时,系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.
3 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.
（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；
（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？
4 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）
5. 从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为5
3.试求： （Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
解：本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分.
解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为
1－6
531036=C C ；………………6分 （Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为 .125
4535431018=⨯⨯C C ；………………12分 6. 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组,每组4支.求：
（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率.
解：（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7
148154815=+C C C C 故有一组恰有两支弱队的概率为.7
6711=- 解法二：有一组恰有两支弱队的概率.764
82523482523=+C C C C C C
（Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 2148
1533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少
有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为.2
1
7.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得
100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；
（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.
8. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
（Ⅰ）求所选3人都是男生的概率；
（Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率；
（Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率.
9. 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电
（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.
（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；
（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.
10. 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
11. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为4
1,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为
121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
12. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.
（Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.
13．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为
（ D ） A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．125
19 14．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C ）
A ．95
B ．94
C ．2111
D ．21
10 15．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有 （ C ）
A ．56个
B ．57个
C ．58个
D ．60个
16.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5:3:2，现用分层抽样
方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .(答案: 80)
17．标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放
一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 240 种.（以数字作答）
18.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中
抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= 192 .
高考数学常用结论集锦：排列组合二项式定理、概率统计（收藏） 1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =?? ?. 3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m n ≤)． 4.排列恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m m n n n A A n m -=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5） 11m m m n n n A A mA -+=+. 5.组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N * ，且m n ≤). 6.组合数的两个性质(1) m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+ 7.组合恒等式（1）11m m n n n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-; （3）11m m n n n C C m --=; （4） 11k k n n kC nC --= （5） ∑=n r r n C =n 2;（5）1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 8.排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =?！ . 9.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110) ( ; 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 )210(n r ，，， =. 10.等可能性事件的概率()m P A n =. 11.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 12.n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 13.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B). 14.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 15.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=- 16. n 个数据123,,n x x x x ,则它们的平均数为1231 ()n x x x x x n = ++++, 方差2 s = 22221231 [()()()()]n x x x x x x x x n -+-+-++- （1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. (2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. 二、抽样方法： （1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法. (2)分层抽样：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层. 三、两种抽样方法的区别与联系：
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用 1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++. 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =?? ?. 2 排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=. 3 组合数公式：m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N * ，m N ∈，且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10 =n C . 4 二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系： 012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++ +-=-；0(0)a f =。 5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k n n P k C P P -=- 8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++ 数学期望的性质 （1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1 ()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p ξ= . 9方差：()()()2 2 2 1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+ +-?+ 标准差：σξ=ξD . 方差的性质： (1)()2D a b a D ξξ+=； (2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ -===，则2 q D p ξ= . 方差与期望的关系：()2 2D E E ξξξ=-. 10正态分布密度函数：( )()()2 2 26,,x f x x μ-- = ∈-∞+∞， 式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2 (,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-?? =Φ ??? . ()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< 11 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：
“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料 一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理： 分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++=Λ21 分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ???=Λ21 2．排列： 从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 排列数)! (! )1()1(m n n m n n n A m n -=+--=Λ 3．组合： 从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= Λ； 组合数性质：m n n m n C C -=，m n m n m n C C C 11+-=+ 4．排列组合常用方法： 分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ 间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英
语书不能相邻，则有多少中排列方式？ 特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？ （二）二项式定理 1．二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(，其中r n C 为第1 +r 项的二项式系数，=-n b a )( 2．通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r Λ= 3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于 2 n 对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n 项，最大值为2n n C 当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第12 1 ++n 项，最大值为21 21+-=n n n n C C （3）二项式系数之和n n n n n C C C 210=+++Λ 奇数项与偶数项的二项式系数之和相等1 31202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ （三）概率 1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率n m 总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．
排列组合二项式定理和概率 Ⅰ、随机事件的概率 例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成. (1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？ (2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？ 解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…， 9这10种，正确的结果有1种，其概率为 6 101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为10 1. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示） 解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 12 3 )(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(n m n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率 例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求： （1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率. 解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。 ∴ 恰有一件次品的概率P=76 3532015215=C C C . (2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A 1,恰有2件次品为事件A 2，3件全是次品为事件A 3,则它们的概率 P(A 1)= 32015215C C C =228 105,2282)(320115252==C C C A P ,2282)(320353==C C A P , 而事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率 P(A 1+A 2+A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)= 228 137. 法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A ，那么任取3件，至少有1件次品为A ，根据对立事件的概率加法公式P(A )=228 1371)(1320315=-=-C C A P 例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗
排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个 数？其排列个数1! 3!3==n . 三、组合. 1. ?组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ?组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--== ?两个公式：①; m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+
排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元 素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---2221 10.其中第r+1
高中数学排列组合与概率的基本公式、概念与应用 1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++. 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =⨯⨯ ⨯. 2 排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=. 3 组合数公式：m n C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21) 1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10 =n C . 4 二项式定理n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系： 012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++ +-=-；0(0)a f =。 5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 7n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k n n P k C P P -=- 8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++ 数学期望的性质 （1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1 ()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p ξ= . 9方差：()()()2 2 2 1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅+ +-⋅+ 标准差：σξ=ξD . 方差的性质： (1)()2 D a b a D ξξ+=； (2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ -===，则2q D p ξ= . 方差与期望的关系：()2 2D E E ξξξ=-. 10正态分布密度函数：( )()()2 2 26,,x f x x μ-- = ∈-∞+∞， 式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2 (,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-⎛⎫ =Φ ⎪⎝⎭ . ()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<
排列组合与二项式定理 一、排列与组合简介 在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。 排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。排列主要有两种情况： 1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。此时，P(n, r) = n^r. 2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!. 组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。组合的计算公式为： C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!]. 二、二项式定理的概念与展开 二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。它用于展开一个二项式的幂。 二项式定理的公式为： (x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) + C(n,n)x^0y^n. 其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。 三、二项式定理的解读与应用 二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。在展开式中，每一 项的系数就是对应的组合数。 举例说明，当n=3时，展开式为： (x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.
山东省春季高考数学复习要点——排列组合、二项式定理及概 率 山东省春季高考数学复习要点——排列组合与二项式定理 排列组合 一、计数的两个基本原理 二、排列问题和组合问题 1．一个排列与一个组合的概念2．排列数、组合数的概念及其计算公式（包括阶乘形式） 三、排列数、组合数中涉及的证明 1．解方程．如256x A =，求x 2．利用阶乘形式的证明及化简 3．组合数的两个基本性质． 四、一些典型的排列及组合问题 1．组自然数，如用0-9共10个数，可组成多少个无重复数字的四位数？四位奇数？四位偶数？被5整除的四位数？被25整除的四位数？大于2300的四位数？ 2．排队：如有6个人站成一排，有多少种站法？甲在队首有多少种站法？乙在队尾有多少种站法？甲不在队首且乙不在队尾的站法有多少种？甲在队首且乙在队尾的站法有多少种？甲在乙的前面的站法有多少种？ 3．相邻不相邻问题： 相邻：把要相邻的当成一个进行排列 不相邻：方法①从总的方法中减去相邻的②插空排法 4．单双循环赛（单循环赛为组合问题，双循环赛为排列问题） 5．插队（保持原序不变）：如6本不同的书中插入3本不同的书，保持原序不变，共有多少种放置方法？ 6．平均分组的问题 双打比赛的分组 混合双打比赛的分组五、允许重复的问题
1．允许重复的组数，如电话号码、密码等2．寄信．如四封信投到三个邮筒中，有多少种不同的投法？再如：有集合{}1,2,3,4A =，{}4,5,6B =，求A 到B 的映射有多少个？B 到A 的映射有多少个？ 二项式定理 1．二项展开式、二项展开式通项 2．求二项展开中的特定的项．①指定项数②指定条件（如常数项） 3．项的二项式系数及项的系数的区别 4．二项展开式中二项式系数最大的项 n 为奇数时：12n T +或112n T ++ n 为偶数时：1 2n T + 注意二项展开式中系数最大的项． 5．二项展开式中二项式系数和的两条规律及其证明（赋值法） 6．求二项展开式中二项式系数的和？系数和？ 7．二项式定理中的整除及余数问题 山东省春季高考数学复习要点——概率一、基本概念 随机试验、随机事件、基本事件、样本空间的概念 二、古典概型 古典概型的概率计算公式，明确公式中n及m的意义． 三、事件的并与交 两事件的并？两事件的交？互斥事件？对立事件？相互独立事件？ 两事件的并的概率计算公式？ 两事件的交的概率计算公式？ 四、独立重复实验模型 伯努利概型的判断条件？ 伯努利概型的概率计算公式？
专题三： 排列、组合及二项式定理 一、排列、组合与二项式定理 【基础知识】 1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯. 3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n = ！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m ≤n)． 4.组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N * ，且m ≤n). 5.组合数的两个性质： (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1+ （3）1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 6.排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =⋅！ . 7.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 【题例分析】 例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？ 解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有4 4A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －3 3A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －23 3A ＋2 2A ） 种，故共有252种． 点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． 例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表． 解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有5 5A 种,共有5 513452335 )(A C C C （C +＝5400种． (2)除去该女生后先取后排：8404 447=A C 种．
排列组合与二项式定理 排列组合与二项式定理是概率论和组合数学中重要的概念和定理。它们在数学、统计学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。本文将介绍排列组合和二项式定理的概念、性质和应用，并探讨它们之间的关系。 一、排列组合的概念和性质 排列和组合是组合数学中的基本概念，用于计算事物的不同排列和组合方式。 1. 排列：排列是指从若干个元素中选择一部分元素按照一定的顺序进行排列。设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，有P(n,r)种排列方式。排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)! 2. 组合：组合是指从若干个元素中选择一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，有 C(n,r)种组合方式。组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)排列和组合的计算公式是基于阶乘的，阶乘表示从1到某个正整数的连乘积。 排列和组合的性质包括交换律、结合律和分配律等。 二、二项式定理的概念和性质
二项式定理是代数中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。二项 式是两个项的和，形式为 (a + b)^n，其中a和b为实数或变量，n为非 负整数。 二项式定理的表达式为： (a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n- 1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n 其中C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选择r个元素进行组合的 方式数。 二项式定理的性质包括二项式系数的对称性、二项式系数的递推性 和二项式系数与排列组合的关系等。 三、排列组合与二项式定理的应用 排列组合和二项式定理在许多领域中有广泛的应用。 1. 概率论：排列组合和二项式定理用于计算事件的可能性和概率。 通过组合数可以计算从一组元素中选择特定数量的元素的概率。 2. 统计学：排列组合和二项式定理用于计算事件的组合和排列数量，从而分析数据的分布和规律。 3. 计算机科学：排列组合和二项式定理用于算法设计和优化，例如 在密码学中的应用和算法的时间和空间复杂度分析中。 4. 组合优化：排列组合和二项式定理用于解决组合优化问题，如旅 行商问题、背包问题等。
二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。 一、排列组合的基本概念 排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。 1. 排列 排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。 有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。 2. 组合 组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。 二、二项式定理的概念和公式 二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。它表述了如下公式：
(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n- 1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n 其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。C(n, k)表示从n个元 素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) 三、二项式定理与排列组合的关系 二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二 项式展开式中各项系数的求解方法。 1. 二项式系数的性质 二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。 2. 应用举例 利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总 数等等。 四、应用示例 在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、 统计和计算问题。以下是一些常见的应用示例： 1. 概率计算
基本公式·排列组合二项式定理 1组合恒等式： (1) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- （2） 1 1 m m n n n C C m --= ; （3）1 21++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (4)321232-=++++n n n n n n n nC C C C (5)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 2．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N ) !((22= ⋅⋅⋅⋅⋅=-- （2）(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 n n n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N ) !(!)!(! ...22= ⋅⋅⋅⋅= -- （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ， 2n ，...，m n 件，且1n ，2n ，...，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!! (212) 1 1 m n n n n p n p m p m C C C N m m = ⋅⋅=-（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ， …，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!... !!! ...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅= - 12!! !!...!(!!!...) m p m n n n a b c = （5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有! !...!!21m n n n p N = （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的 m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有 a 、 b 、 c 、…个相等，则其分配方法数有! 21p N m = （7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有! !...!!...21211m n n n n p n p n n n p C C C N m m = ⋅=- 3．不定方程2n x x x m = 1+++的解的个数 (1)方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的正整数解有1 1m n C --个 (2) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的非负整数解有 1 1n m n C +--个
主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，归纳总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（） A．B．C．D．
基本公式·排列组合二项式定理及概率统计 151排列数公式 ： m n A =)1()1(+--m n n n ！ ！ )(m n -(n ，m ∈N * ，且m n ≤)．规定1!0= 154组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C +规定0 =n C 155组合恒等式 （3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=n r r n C 0=n 2; （5）121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (6)n n r n n n n C C C C C 2210 =++++++ (7)420531 2-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C (8)321 232-=++++n n n n n n n nC C C C (9)r m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 (10)n n n n n n n C C C C C 2222212 0)()()() (=++++ 156排列数与组合数的关系:m m n n A m C =⋅！ 157．单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列） （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有1 1--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位 置）1 1111----+= m n m m n A A A （着眼元素）种 （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种 ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1 +种 （3）两组元素各相同的插空 m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有 n m n n n m C A A 11 ++=种排法 （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C + 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n C C C C C N ) !(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- （2）(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n m m C C C C C N ) !(!!...22=⋅⋅⋅⋅=-- （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得
第11讲排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学新东方 内部 第11讲排列、组合和二项式定理,概率(2021高考数学---新东方内部 第一一章排列组合与二项式定理 1.排列数公式 成年男子n（n？1）（n？2）？（n？m？1）？Nn（m？n）；an？Nn（n？1）（n？2）？ 2.1. (n?m)!如①1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?n*）的个位数字为；（答：3）②满足 a8x?6a8x?2的x＝（答：8）组合数公式 曼恩？（n？1）？？？（n？m？1）n！0c？M（m？n）；指定0！？1，中国？一 amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知cn?cm?1?an?6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质 ①cnmcnn？M 1②cnm?cnm?1?cnm??1； kk？1.③kcn？ncn？1.1.④crr？crr？1.crr？https://www.doczj.com/doc/8519143537.html,r？cnr1.⑤NN（n？1）！？N n11??⑥.(n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是： 分类和添加（每种方法都可以独立完成这项任务，相互独立，每次都得到最终结果， 只有一种方法可以完成这项任务）， 分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事， 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的）， 有序的安排，无序的组合 如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙 型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70） ③ 从收集中？1,2,3? 和1,4,5,6? 如果将每个元素作为点的坐标，则它位于直角坐 标系中 中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤?a的一边ab上有4个点，另一边ac上有5个点，连同?a的