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高考排列组合、概率知识点总结及典型例题(教师版)

高考排列组合、概率知识点总结及典型例题

排列组合知识点总结：

一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()!

121m n n m n n n n A m n -=

+---=……

2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+

(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)

111111

(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!

n n n n n n n n n +-+==-=-

+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式：

()()()C A A n n n m m n m n m n m n

m m

m ==--+=

-11……!!!! 10

=n C 规定：

组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，

①m m n c -=n n c ；②111-m n c --+=m n n n c c ；③1

1-k n kc -=k n nc ；

111

12111212211r r r r r r r r

r r r r

r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：

若12

m m 1212m =m m +m n n

n C C ==则或四、二项式定理.

1. ⑴二项式定理：n

n n r r n r n n n n n

n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：

① 项数：共有1+n 项；

② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C

③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列

展开.

⑵二项展开式的通项.

n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a

C T r

r n r n r ∈≤≤=-+.

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n

是偶数时，中间项是第12

项，它的二项式系数2n

n C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第

++n 项，它们的二项式系数21

21+-=n n

n n C C

最大.

③系数和：

314201022

-=++=+++=+++n n n n n n n

n n n n C C C C C C C C

概率知识点总结：

一、基本知识

在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；

在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随即事件。

（1）在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率n

总是接近于某个常数，在它附近摆

动，这是就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A)。

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常试验中的某一事件A 由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且

所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是n

。如果某个事件A 包含的结果有

m 个，那么事件A 的概率P(A)=n

事件A 与B 不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。一般地，如果事件A 1、A 2、……A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1、A 2、……A n 彼此互斥。事件A 与A 中必有一个发生，这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。一般地，如果事件A 1、A 2、……A n 彼此互斥，那么事件A 1+A 2+……+A n (即A 1、A 2、……A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A 1+A 2+……+A n )= P(A 1)+ P(A 2)+ ……+ P(A n )。

对立事件的概率的和等于1，即1)()()(=+=+A A P A P A P 。

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)。一般地，如果事件A 1、A 2、……A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =。

一般地，在n 次独立重复试验中，如果事件A 在其中1次试验中发生的概率是P ，那么在n

次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k

n P P C k P --=)1()(。注意逆运算】【德摩根定律，;)()()()()2(__

________

___

_________

B A P B A P B A P B A P == )(1)()3(___

A P A P -=【逆事件】，学会考虑逆事件求解概率问题

）】

（）（）（独立，、）；当（）（，【当B P A P AB P A B P AB P A B )()()()()4(__

==⊂-==-B AB P A P B A P B A P （5）A 、B 互斥，则P （AB ）=0；A 、B 独立，则P （AB ）=P(A)P(B) （6）互逆且互斥；AB B A AB AB AB ,,Ω=== φφ

二、等可能事件的概率公式： (1)P(A)＝m

n ；

(2)互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)； (3)相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；

(4)独立重复试验概率公式Pn(k)=;)1(k n k k

p p C --⋅ (5)如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；

(6)如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P(AB)＝1－P(A)P(B)；

(6)如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P(

A B )＝1－P(A )P(B )；

统计知识点总结：

1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：(1)p i ≥0,i=1,2,...; (2) p 1+p 2+ (1)

2.二项分布：记作ξ～B(n,p),其中n,p 为参数，,)(k n k k n q p C k P -==ξ并记),;(p n k b q p C k n k k n =-；

(1)1 1 2 2 n n (2)方差D ξ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ;

(3)标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=； (4)若ξ～B(n,p),则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1- p;

4.掌握抽样的三种方法：(1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；(2)系统抽样，也叫等距离抽样；(3)分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；

5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；

6.正态总体的概率密度函数：,,21)(2

2)(R x e

x f x ∈=

-σμσ

π式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数

与标准差；

7.正态曲线的性质：(1)曲线在x ＝μ 时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；(2)曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦；(3)曲线在x 轴上方，并且关于直线x=μ 对称；

8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布),(2σμN 的概率 P(x 1<ξ

换

t x =-σμ而得)()(σμ

φ-=x x F ，于是有P(x 1<ξ

μφσμφ---x x ；

9.假设检验的基本思想：(1)提出统计假设，确定随机变量服从正态分布),(2σμN ；(2)确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-；(3)作出推断：如果a ∈)3,3(σμσμ+-，接受统计假设；如果a ∉)3,3(σμσμ+-,由于这是小概率事件，就拒绝假设；

排列组合典例分类讲解：

一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）

A ．120种

B ．96种

C ．78种

D ．72种分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A 4

=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C 。

解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。

二、分组（堆）问题、

分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则：

①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!

②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!

③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.

④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.

例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？

解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴ 将四项工程分为三“堆”，有种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.

∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 三.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,

个位置.

先排末位共有1

然后排首位共有14C

211

421

6C C C A =

最后排其它位置共有3

4A 由分步计数原理得113

34288C C A =

四.相邻元素捆绑策略

例1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个

复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分

步计数原理可得共有522

22480A A A =种不同的排法

例2 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有种。

分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人

的全排列，4

24A =种。例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?

解：（1）分两步进行： ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 甲乙

第一步，把甲乙排列(捆绑)：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：

几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.

例4、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）（A ）

44A A （B ）

4433A A A （C ）

4413A A A （D ）

4422A A A

分析：先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，

则整体有2

2A 种不同的排法，然后对4幅油画和5幅国画内部进行全排，有5

4A A 种不同的排法，所以不同的陈列方式有5

4422A A A 种，选D 。

五.不相邻问题插空策略

2A 有＝2种捆法

2120240∴⨯共有＝种排法5

5A 有＝120种排法

例1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,

则节目的出场顺序有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，

第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4

6A 不同的方法,由分步计

数原理,节目的不同顺序共有5456A A 即有3600种.

例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？解：分两步进行：

第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：

几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.

例3、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析：先将其余四人排好有A 4

=24种排法，再在这些人之间及两端的

5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有603

=A 种方法，这样共有24*60=1440种不同排法。

六.定序问题倍缩空位插入策略、消序法(留空法)

例1.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元

素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,

则共有不同排法种数是：73

73/A A =840

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4

7A 种方法，其余

的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4

7A 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法

例2 A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有。

分析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个

元素全排列数的一半，即5

1602

A =种。例3. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？

解法1：将5个人依次站成一排，有种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有

种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法

5A 有=120种排法26A 有=30种插入法

120303600∴⨯共有＝

种排法55A 22A 53

552

543A A A =⨯⨯=35A 3355

1A A ⨯=

∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为

例4.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多条不同的路线?

解: 如图所示，将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11

发一：也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,种排法.

发二：其中必有四个↑和七个→组成!

所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,

所以从A 到B 共有条不同的路径. 七.重排问题求幂策略

例1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法

八.剪截法（隔板法）：

n 个相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.

例 1. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.

解：问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的

放法种数问题. 将16个小球串成一串，截为4段有种截断法，对

应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有455种 .

例 2. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

315455C =514

(51)(81)11C C --+-=

1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小

球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将10个小球串

成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有84种 .

例3.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空

隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C =84种分法。

二班三

班

七班

九.错位法：

编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.

例1. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有___ 种.

解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种. 十.剔除法：

从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法. 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.

例1. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条.

解：所有这样的直线共有条，其中不过原点的直线有条，

∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条. 十一.环排问题线排策略

例1. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一

人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！=5040

A B C D E A

H G F

2615

C =37

210A =1266180A A ⨯=3984C =将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1

1m n C --

十二.多排问题直排策略

例1.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,

丙在后排,共有多少排法解:

8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前排四个

位置上的特殊元素有2

A种,再排后4个位置上的特殊元素丙有1

A种,其

余的5人在5个位置上任意排列有5

A种,则共有215

445

A A A种.

前排后排

十三.排列组合混合问题先选后排策略

例1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同

的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2

C种方法.再把4个元素(包

含一个复合元素)装入4个不同的盒内有4

A种方法，根据分步计数原理

装球的方法共有24

C A

十四.小集团问题先整体后局部策略

例1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有2

A种排法，再排小集团内

部共有22

A A种排法，由分步计数原理共有222

222

A A A种排法.

十五.正难则反总体淘汰策略

例1.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10

的偶数,不同的取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十

个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有3

C,只

含有1个偶数的取法有12

C C,和为偶数的取法共有123

555

C C C

+。再淘汰和小

于10的偶数共9种，符合条件的取法共有123

555

C C C

十六.平均分组问题除法策略

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

例1. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解: 分三步取书得222

2C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222

2C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分

法,故共有2223

6423/C C C A 种分法。

十七. 合理分类与分步策略

例1.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一

个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人

员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只

会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112

34C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112

22335

3455C C C C C C C ++种。

十八.构造模型策略

例1.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但

不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有35C 种

十九.实际操作穷举策略

例1.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有25C 种还剩下3球3盒序号不能对应，

利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有252C 种

4号盒 5号盒

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n

n A (n 为均分的组数)避免重复计数。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次

清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

二十. 分解与合成策略

例1. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11

×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，

所有的偶因数为：05c +12345

55555C C C C C ++++=32 例2.正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共481258C -=,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成358174⨯=对异面直线

二十一.化归策略

例1. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这

人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111

321C C C 种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有33

55C C 选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有33111

5321C C C C C 选法。

二十二.数字排序问题查字典策略

例1.．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

解:297221122334455

=++++=A A A A A N 二十三.树图策略

例1．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回

到甲的手中,则不同的传球方式有______ 10=N

二十四.复杂分类问题表格策略

例1.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取

5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

解:

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后

的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

二十五：住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例1.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .

分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.

二十六、求展开式中的系数

二项式系数是指二项展开式中出现的组合数),2,1,0( =r C r

n ；展开式系数是

指每一项前的系数，注意它们的区别！要正确运用通项公式和基本定理. 例1、n x )21(-展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项.

思路分析：先求出n 的值，再由二项式系数的最大项是“最中间”的项，求出二项式系数的最大项.利用不等式组求系数绝对值最大项.

解：66165515)2(,)2(x C T x C T n n

-=-=++，依题意有665522n n C C =，∴n=8. 则n x )21(-展开式中二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T =-=. 设第r+1项系数的绝对值最大，则有

65,,652

2221

1881

188==∴∈≤≤⇒⎩⎨⎧≥≥++--r r Z r r C C C C r r r r r r r r 或又 . 则系数绝对值最大项为67561792,1792x T x T ==. 例2、如果(3n x -

的展开式中各项系数之和为128，则展开式中

的系数是 A.7 B.7- C.21 D.21-

解;令x=1得展开式的各项系数之和为n 2，所以n 2=128，解得n=7，所以

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 3213x x 7

3213⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x ，展开的通项为()357711-r r

r r x C T -+=，令335-7-=r 得一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.

r=6，所以展开式中

的系数为673C =21，答案 C 点拨与提示：本题考查二项展开式的性质. 例3、在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274

解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。故含4x 的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=-

例4、若(x +

12x

)n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4

项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9

解：因为1()2n x x +的展开式中前三项的系数0n C 、112

n C 、2

14n C 成等差数列，

所以021

14n n n

C C C +=，即2980n n -+=，解得：8n =或1n =（舍）。88218811

()()22

r r r r r r r T C x C x x --+==。令824r -=可得，2r =，所以4x 的系数为

2281

()72

C =，故选B 。例5、设,m n N ∈,()(12)(1)m n

f x x x =+++.

（1）当m n ==2011时,记220110122011()f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，求0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-；

（2）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2

x 系数的最小

值．

解：（1）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=

2011

2011(12)

(11)1-+-=- …4分

（2）因为

2220

m n C C m n +=+=，所以202n m =-,则2x 的系数为2222m n C C +

2(1)(1)1422(202)(192)222m m n n m m m m --=⨯

+=-+--=2

441190m m -+,

所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85

概率典例分类讲解：

一、确定三事件

例1 下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？哪些是确定事件？，分析其发生概率的大小

（1）抛掷一枚均匀的骰子，6点朝上；（2）367人中有2人的出生日期相同；（3）1+3＞2；（4）太阳从西边升起．

解析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．（1）抛掷一

枚均匀的骰子，1，2，3，4，5，6点都有可能朝上，故6点不一定朝上；（2）一年有365（或366）天，故367人中必然有2人的出生日期相同；（3）1+3肯定大于2；（4）太阳不可能从西边升起．由以上分析知：

（1）是不确定事件，（2）（3）是必然事件，（4）是不可能事件．

（2）（3）（4）是确定事件

发生概率的大小判断，首先需要理解必然事件、不可能事件、不确定事件的意义．必然事件是指一定会发生的事件，发生的概率是1；不可能事件是指不可能发生的事件，发生的概率是0；不确定事件是指可能发生也可能不发生的事件，发生的概率介于0和1之间．

例2、下列事件属于必然事件的是（）

A.打开电视，正在播放新闻

B.我们班的同学将会有人成为航天员

C.实数a＜0，则2a＜0

D.新疆的冬天不下雪

解析：A是随机事件，因为可能是播新闻也可能是其它电视节目；B为随机

事件，一个班有几十个学生当然有可能成为航天员；D是不可能事件，因为新疆

气温低，每年都会下雪．故选C

例3、下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后

正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线

段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：③④是确定事件，答案 B

二、概率意义的理解

例1、某商场举办购物有奖活动，在商场购满价值50元的商品可抽奖一次，丽丽在商场购物共花费120元，按规定抽了两张奖券，结果其中一张中了奖，能不能说商场的抽奖活动中奖率为50%？为什么？

解析：因为中奖是不确定事件，而计算中奖率应该是以中奖的奖券数除以奖券的总数，但这些数据在本题中没有给出，所以不能计算出这次抽奖活动的中奖率，所以不能说商场的抽奖活动中奖率为50%.

点评：概率是在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定常数的附近摆动，显示一定的稳定性，它是大量试验的结论．随机事件每次发生的结果是不可以预见的，但每次发生的概率是不变的．例2、下列说法正确的是（）

A.某市“明天降雨的概率是75％”，表示明天有75％的时间会降雨

B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上

C.在一次抽奖活动中，“中奖的概率是

100”表示抽奖l00次就一定会中奖

D.在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交

解析：明天降雨的概率是75％是说明明天有75%的可能性会降雨，而不是说明天有75%的时间在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5，说的是在做大量的抛一枚硬币的试验中，有一半的可能性出现正面朝上，而随机抛一格硬币落地后正面不

一定朝上；抽奖活动中，中奖的概率为

100

，指的是每抽奖一次都有

100

的可能性

中奖；故A、B、C都错，因而选D.

三、利用简单枚举法求概率

例1某小商店开展购物摸奖活动，声明：购物时每消费2元可获得一次摸奖机会，每次摸奖时，购物者从标有数字1，2，3，4，5的5个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，若号码是2就中奖，奖品为一张精美图片．（1）摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？

（2）一次，小聪购买了10元钱的物品，前4次摸奖都没有摸中，他想：“第5次摸奖我一定能摸中”，你同意他的想法吗？说说你的想法．

解析：（1）每次摸奖时，有5种情况，只有摸到号码是2的球才中奖，于是得

到一张精美图片的概率是P=1 5；

（2）不同意，因为小聪第5次得到一张精美图片的概率仍是1

，所以他第5次

不一定中奖．

点评：此题考查概率的求法：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含

其中的m种结果，那么事件A的概率P（A）= m

，解题时注意对概率意义的理解.

例2、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是．

解析：法1、这粒豆子落在每一个方格中的可能性是一样的，因此这粒豆子停在方格中的可能性共有12种，黑色方格的可能性有四种，所以黑色方格中的概率等于

1124= 法2、黑色方格中的概率等于黑色方格的面积与所有方格的面积比．设每个方格的面积是1，则P （这粒豆子停在黑色方格）=

1124=．点评：概率的大小与面积大小有关.事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形面积．

例3 、掷两枚硬币，求下列事件的概率

（1）两枚硬币正面全部朝上；（2）两枚硬币反面全部朝上（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。

解：用枚举法（列举法）列出可能的结果是：正正、正反、反正、反反。所有结果共有4种。并且这四个结果出现的可能性相等。

用列表法：解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如表所示:

（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件A ）的结果只有一个，即“正正”所以P （A ）=1/4

（2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B ）的结果只有一个，即“反反”所以P （B ）=1/4

（3）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C ）的结果共有2个，即“正反”“反正”所以P （C ）=2/4=1/2

例4、一口袋中装有四根长度分别为1cm ，3cm ，4cm 和5cm 的细木棒，小明手中有一根长度为3cm 的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：

（1）求这三根细木棒能构成三角形的概率；（2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；

（3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．

解析：从四根木棒中任选两根，共有以下六种情况：（1，3）、（1，4）、（1，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），其中与3cm 长的线段构成三角形的有（1，3，3）、（3，3，4）、（3，3，5）、（3，4，5）四种；构成直角三角形的有（3，4，5）一种；构成等腰三角形的有（1，3，3）、（3，3，4）、（3，3，5）三种，所以有：

（1）P （构成三角形）=4263=；

（2）P （构成直角三角形）=1

6；

（3）P （构成等腰三角形）=

36=12．四、列表法求概率

当试验涉及两个因素(例如两个转盘)并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有的结果，通常采用“列表法”。

例1、如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).游戏规则是:如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率.

解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:

1 （1，1）（1, 2）（1, 3） 2

（2, 1）（2, 2）（2, 3）

总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2的结果只有一种:(1,1),因此游戏者获胜的概率为1/6.

例2、如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。

解：列表

4 5 6 7

共有12种不同结果，每种结果出现的可能性相同，其中数字和为偶数的有6 种∴P（数字和为偶数）=6/12=1/2

例3、例、同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:

(1)两个骰子的点数相同

(2)两个骰子点数之和是9

(3)至少有一个骰子的点数为2

分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法。

解:两枚骰子分别记为第1枚和第2枚.列出所有可能的结果：

由表可看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相等。

（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果有6种， P(A)=6/36=1/6

(2) 满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4种，P(B)=4/36=1/9

(3) 满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11种，P(C)=11/36

思考题：如果把刚刚这个例题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化吗? 没有变化

五、树形图法求概率

当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

例1、现有一项“抖空竹”的表演．已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自随机选用其中的一种空竹．求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率．

解：甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹为事件M ．塑料—A 木质—B

方法1：方法2：

例2、甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干，甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A 和B ；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C 、D 和E ；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H 和I ；现要从3个盒中各随机取出一张卡片．求

（1）取出的3张卡片中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？

（2）取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？

解：根据题意，我们可以画出如下“树形图”：

由树形图可以得到，所有可能出现的结果有12个，这些结果出现的可能性相等．（1）只有一个元音字母的结果有5个，所以()125

一个元音=

P ；有两个元音字母的结果有4个，所以()3

1124个元音两==

P ； A A A

A B B B A

A B

A B B AAA ，AAB ， ABA ，ABB ， BAA ，BAB ， BBA ， BBB.

()．M P 4

182==

()．M P 4

182

甲盒

乙盒

丙盒

甲

乙丙

C H I

D H I

E H

I B

C H

D H

I E H

全部为元音字母的结果有1个，所以()61122个元音三==

P ；（2）全是辅音字母的结果有2个，所以()6

122音辅三个==P ．

例3、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：图1是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。

（1）利用树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果。（2）游戏者获胜的概率是多少？

解析：（1）所有可能出现的结果可用表1或图2表示。

表1

A 黄

蓝

绿

红（红，黄）（红，蓝）（红，绿）白

（白，黄）（白，蓝）（白，绿）

（2）所有可能出现的结果共有6种，配成紫色的结果只有1种，故游戏获胜的概率为6

1。

这道题为两步试验的随机事件发生的概率计算，采用的方法是树状图法和列表法。接下来仍然以“配紫色”为主要情景进行游戏：，让同学们进一步经历用树状图法和列表法解决概率问题的过程。

用图3所示的转盘进行“配紫色”游戏。

高中数学竞赛讲义(13)排列组合与概率

高中数学竞赛讲义（十三） ──排列组合与概率一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法。 3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n, 注：一般地=1，0！=1，=n!。 4．N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n

个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示： 6．组合数的基本性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。 7．定理1：不定方程x1+x2+…+x n=r的正整数解的个数为。 [证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+x n=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,…,x n),将x i作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。故定理得证。推论1 不定方程x1+x2+…+x n=r的非负整数解的个数为推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为 8．二项式定理：若n∈N+,则 (a+b)n=.其中第r+1项T r+1=叫二项式系数。

排列组合概率例题与讲解

排列组合概率例题与讲解排列、组合与概率一、基本知识点回顾：（一）排列、组合 1、知识结构表： 2、两个基本原理：（1）分类计数原理（2）分步计数原理 3、排列（1）排列、排列数定义（2）排列数公式：（3）全排列公式： 4、组合（1）组合、组合数定义（2）组合数公式：（3）组合数性质： ①②③ ④ ⑤即： 5、思想方法（1）解排列组合应用题的基本思路： ①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；（2）解排列组合题的基本方法： ①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； ②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 ③分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。 ④分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 ⑤插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 ⑥捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。 ⑦穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。（二）二项式定理历年高考中对二项式定理的考查主要有以下两种题型： 1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；

高中数学排列组合二项式概率统计知识点归纳及常考题型

“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料一、基础知识和方法梳理（一）排列组合 1．计数两原理：分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++=Λ21 分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ???=Λ21 2．排列：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。排列数)! (! )1()1(m n n m n n n A m n -=+--=Λ 3．组合：从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关；组合公式：)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= Λ；组合数性质：m n n m n C C -=，m n m n m n C C C 11+-=+ 4．排列组合常用方法：分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英

语书不能相邻，则有多少中排列方式？特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？（二）二项式定理 1．二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(，其中r n C 为第1 +r 项的二项式系数，=-n b a )( 2．通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r Λ= 3．二项式定理的性质：（1）对称性，二项式系数是关于 2 n 对称（2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n 项，最大值为2n n C 当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第12 1 ++n 项，最大值为21 21+-=n n n n C C （3）二项式系数之和n n n n n C C C 210=+++Λ 奇数项与偶数项的二项式系数之和相等1 31202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ （三）概率 1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率n m 总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．

高考排列组合、概率知识点总结及典型例题(教师版)

高考排列组合、概率知识点总结及典型例题排列组合知识点总结：一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①m m n c -=n n c ；②111-m n c --+=m n n n c c ；③1 1-k n kc -=k n nc ； 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项. n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

数学：第十三章《排列组合与概率》数学竞赛讲义(苏教版)5

第十三章排列组合与概率一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)! (!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!!! ) 1()1(m n m n m m n n n C m n -= +--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4） n n k k n n n n n C C C C 20 10 == +++∑ = ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---222110.其中第r+1 项T r+1=r n r r n r n C b a C ,-叫二项式系数。

高三数学概率与统计(包括排列、组合、二项式定理)

概率与统计麻城一中冯芬一、专题概览 “概率与统计”的引入拓宽了应用问题的取材范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算的内容都是考查实际能力的极好素材，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生的生活，注重考查基础知识和基本方法。近三年考查情况如下： 2006年高考各地18套试题中，有15道此类型的解答题，其中有3道是关于概率计算的，一道涉及到正态分布的数据表格（湖北），其余的均为分布列和数学期望。 2007年高考试卷中涉及概率与统计的试题共有67道，其中文、理科相同的试题有7道，类似题有3道。分值超过20分的有广东文、理科（分别有24分、22分）、山东卷理（22分）、湖北卷理（22分），低于10分的有上海卷文、理（均为4分）、全国卷I 文（5分），平均每份试卷15．2分，约占全卷的10%。 2008年大纲卷15套试题中，除上海没有命制概率大题外，其他各试题都有一道大题考查概率或统计，且湖南卷位于解答题第一题，北京卷、安徽卷位于解答题第三题，全国卷I 和福建卷位于第四题，其余八个省市的试题均位于解答题中第二题。二、考点回顾 1.掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列、组合的意义，掌握它们的计算公式并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 3.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率。 4.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 5.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 6.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率。 7.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列； 8.了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望、方差； 9.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本； 10.会用样本频率分布估计总体分布； 11.了解正态分布的意义及主要性质； 12.了解线性回归的方法和简单应用。三、经典例题剖析考点一排列、组合的应用问题排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力,多为客观题，有时也作为概率题中求基本事件数的必要步骤出现，试题中等偏难. 例1在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( ) 1 212 1 1112 1212 121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n m n m n m m n n m m n n m m n n m +++++ + + ++ 解析：方法1：从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2 n 个；第二类办法从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2m C 1 n 个；第三类办法从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任

高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)

高中数学选修2-3基础知识归纳（排列组合、概率问题）一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路： ①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；

(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48．例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类. （3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。（4）全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有·1=840种. （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）数字问题（组成无重复数字的整数）

高考数学第二轮专项专题(排列组合二项式定理与概率统计)复习及解析

高考数学二轮复习专项排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解） 1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为 3443 42+-n n (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出. （Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率. 2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54 ，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53 .试求：（I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率. 3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数。（1）求ξ的分布列，期望及方差；（2）求η的分布列，期望及方差； 4. （1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？

（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？ 5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；（3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率． 6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。 (1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率； (2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。 7. 甲、乙两支足球队，苦战120分钟，比分为1 ：1，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员点球命中率均为0.5. ⑴两队球员一个间隔一个出场射球，有多少种不同的出场顺序？ ⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多少？ 8. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记 x y x- + - =2 ξ ．（Ⅰ）求随机变量 ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量 ξ的分布列和数学期望．

高考数学知识点总结：排列、组合和概率

高考数学知识点总结：排列、组合和概率.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。 .二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r. .你把握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。) .二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率易记混。通项公式：它是第r+1项而不是第r项; 事件A发生k次的概率：。其中k=0，1，2，3，…，n，且0 .求分布列的解答题你能把步骤写全吗? 如何对总体分布进行估量?(用样本估量总体，是研究统计问题的一个差不多思想方法，一样地，样本容量越大，这种估量就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;明白得频率分布直方图矩形面积的几何意义。) 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

高考数学复习专题——排列组合-概率与统计(教师版)

一、排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个. 四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。例6．〔2003年春招〕某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为〔A 〕

高考数学总复习------排列组合与概率统计

【重点知识回顾】 1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关 ⑵排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶排列与组合的主要公式高考数学总复习排列组合与概率统计 ①排列数公式: m An n! n(n1) (n m)! —...2)21 —+ (nm 1) (mW n) A n=n !=n(n —1)(n ②组合数公式: m Cn n!_n(n m!(n m)! m 1) - (n (m 1) ③组合数性质: + * ③G2C n4 2.二项式定理 ⑴二项式定理C1 C n n m(m< n). + :+ ■ 11 G32n1 ②C n。 m 1) (m< n). 2 + G1 1 + + •・・* C C n n2n (a+b)n=C0a n+Ca n Tb+?+C a0-r b r+?+ C n n b n，其中各项系数就是组合数G r，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1=Ga n ⑵二项展开式的通项公式 r b r.

二项展开式的第r+1项Tr+1=C r a n"r b r(r=Q,1, ?叫n）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ①在二项式展开式中, 端与首末两 “等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=Q,1,2 即G=G , ?,n) ②若n是偶数，则中间项 1项）的二项公式系数最大，其值为 n ；若 C n2数, n是奇则中间两项（第n 2 1项和第3 项）的二项式系数相等，并且最大，其值为G 2 n1 n1 2 =C 2.

高中数学知识点总结之排列组合概率论篇

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不 50. 解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：

（2）中间两个分数相等相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理性质：（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第表示）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？ A B 的和（并）。（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。（6）对立事件（互逆事件）：

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 53. 对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取2件都是次品；（2）从中任取5件恰有2件次品；（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” （4）从中依次取5件恰有2件次品。解析：∵一件一件抽取（有顺序）

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理１．加法原理:做一件事有ｎ类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理：做一件事分ｎ步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。二.排列:从n 个不同元素中,任取ｍ（ｍ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从１．公式：１.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2.规定：0!1= （１)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(２) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; （3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m （ｍ≤ｎ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的ｍ元素中任取 m 个元素的组合数，记作Ｃｎ。１. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+=-11……!!!!10=n C 规定：组合数性质：.2n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ① ;②;③;④ 11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题１.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③ 分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 (１)两种思路:①直接法; ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2）分类处理:当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 (３),某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类，又要分步。其原则是先分类,后分步。（4)两种途径：①元素分析法；②位置分析法。３.排列应用题: （1)穷举法（列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；（２)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3)．相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 (4）、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法. 即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5）、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类方法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m 〔m ≤n 〕个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m 〔m ≤n 〕个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定：组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注：假设1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕 ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定：组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注：若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序

高考数学总复习-------排列组合与概率统计汇总教学提纲

高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】 1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶ 排列与组合的主要公式 ①排列数公式：)1()1()! (! +-⋅⋅⋅-=-= m n n n m n n A m n (m≤n) A n n =n! =n(n―1)(n―2) ...2·1. ②组合数公式：1 2)1() 1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-= m m m n n n m n m n C m n (m≤n). ③组合数性质：①m n n m n C C -=(m≤n). ②n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++ ③1 314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C 2.二项式定理 ⑴ 二项式定理 (a +b)n =C 0n a n +C 1n a n － 1b+…+C r n a n － r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r n a n － r b r . ⑵ 二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项T r+1=C r n a n － r b r (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 ⑶ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C r n = C r n n - (r=0,1,2,…,n). ②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2 n n ；若n 是奇数，则中间两项(第21+n 项和第2 3 +n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C 21 -n n = C 21 +n n . ③所有二项式系数和等于2n ，即C 0n +C 1n ＋C 2n +…+C n n =2n . ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，