第十三章 排列组合与概率
一、基础知识
1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所
有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…
(n-m+1)=
)!
(!
m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,
注：一般地0n A =1，0！=1，n
n A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为n
A n n =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同
元素中取出m 个元素的组合数，用m
n C 表示：
.)!
(!!
!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=
6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1
1--+=n n m n m n C C C ；
（3）k
n k n C C k
n =--11；（4）n n
k k n n n
n
n
C C C C 20
10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。
7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1
1--n r C 。
[证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1
1--n r C 种。
故定理得证。
推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r
r n C -+
推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组
合，其组合数为.1m m n C -+
8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n
=n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---222110.
其中第r+1项T r+1=r n
r r n r n C b a C ,-叫二项式系数。 9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率
n
m
总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A 发生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1.
10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件A 的概率为p(A)=
.n
m 11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么A 1，A 2，…，A n 中至少有一个发生的概率为 p(A 1+A 2+…+A n )= p(A 1)+p(A 2)+…+p(A n ).
12．对立事件：事件A ，B 为互斥事件，且必有一个发生，则A ，B 叫对立事件，记A 的对立事件为A 。由定义知p(A)+p(A )=1.
13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A ?B)=p(A)?p(B).若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率为p(A 1?A 2? … ?A n )=p(A 1)?p(A 2)? … ?p(A n ).
15.独立重复试验:若n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n 次试验是独立的.
16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n 次独立重复试
验中,这个事件恰好发生k 次的概率为p n (k)=k
n C ?p k
(1-p)n-k
.
17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1,x 2,…,x i ,…,ξ取每一个值x i (i=1,2,…)的概率p(ξ=x i )=p i ，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称E ξ=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n +…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称D ξ=(x 1-E ξ)2?p 1+(x 2-E ξ)2?p 2+…+(x n -E ξ)2p n +…为ξ的均方差，简称方差。ξD 叫随机变量ξ的标准差。
18．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中，这
个事件恰好发生k 次的概率为p(ξ=k)=k
n k k n q p C -, ξ的分布列为
此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，则E ξ=np,D ξ=npq,以上q=1-p. 19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变
量，若在一次试验中该事件发生的概率为p ，则p(ξ=k)=q k-1
p(k=1,2,…)，ξ的分布服从几何分布，E ξ=
p 1，D ξ=2p
q
(q=1-p). 二、方法与例题
1．乘法原理。
例1 有2n 个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？
[解] 将整个结对过程分n 步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，……这样一直进行下去，经n 步恰好结n 对，由乘法原理，不同的结对方式有 (2n-1)×(2n-3)×…×3×1=
.)
!(2)!
2(n n n ?
2．加法原理。
例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？ [解] 断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R 4；2）有2个电阻断路，有
24
C -1=5种可能；3）3个电阻断路，有34C =4种；4）有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可能。 3．插空法。
例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？
[解] 先将6个演唱节目任意排成一列有6
6A 种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有47A 种方法，故共有47
66A A ?=604800种方式。 4．映射法。
例4 如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a 1,a 2,a 3使同时满足：a 2-a 1≥3,a 3-a 2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？
[解] 设S={1,2,…,14}，'S ={1，2，…，10}；T={(a 1,a 2,a 3)| a 1,a 2,a 3∈S,a 2-a 1≥3,a 3-a 2
≥3},'T ={('3'2'1,,a a a )∈'3'2'1'3'2'1,',,|'a a a S a a a S <<∈},若'),,('
3'2'1T a a a ∈，令4,2,'
33'22'11+=+==a a a a a a ，则(a 1,a 2,a 3)∈T,这样就建立了从'T 到T 的映射，它显
然是单射，其次若(a 1,a 2,a 3)∈T,令4,2,'33'22'11-=-==a a a a a a ，则'),,('
3'2'1T a a a ∈，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|=310|'|C T ==120，所以不同取法有120种。
5．贡献法。
例5 已知集合A={1，2，3，…，10}，求A 的所有非空子集的元素个数之和。
[解] 设所求的和为x ，因为A 的每个元素a ，含a 的A 的子集有29
个，所以a 对x 的贡献
为29，又|A|=10。所以x=10×29
.
[另解] A 的k 元子集共有k
C 10个，k=1,2,…,10，因此，A 的子集的元素个数之和为=+++=+++)(101029919091010210110C C C C C C 10×29。
6．容斥原理。
例6 由数字1，2，3组成n 位数(n ≥3)，且在n 位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n 位数有多少个？
[解] 用I 表示由1，2，3组成的n 位数集合，则|I|=3n ，用A 1，A 2，A 3
分别表示不含1，
不含2，不含3的由1，2，3组成的n 位数的集合，则|A 1|=|A 2|=|A 3|=2n
，|A 1 A 2|=|A 2 A 3|=|A 1 A 3|=1。|A 1 A 2 A 3|=0。 所以由容斥原理|A 1 A 2 A 3|=
||||||3
213
1A A A A A A j
i j i i i +-∑∑≠==3×2n
-3.所以满足条件的n 位数有|I|-|A 1 A 2 A 3|=3n
-3×2n
+3个。
7．递推方法。
例7 用1，2，3三个数字来构造n 位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n 位数中，问：能构造出多少个这样的n 位数？
[解] 设能构造a n 个符合要求的n 位数，则a 1=3，由乘法原理知a 2=3×3-1=8.当n ≥3时：1）如果n 位数的第一个数字是2或3，那么这样的n 位数有2a n-1；2）如果n 位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n 位数有2a n-2，所以a n =2(a n-1+a n-2)(n ≥3).这里数列{a n }的特征方程为x 2
=2x+2，它的两根为x 1=1+3,x 2=1-3,故a n =c 1(1+3)n
+
c 2(1+
3
)n
,
由a 1=3,a 2=8得
3
223,3
23221-=
+=
c c ，所以
].)31()31[(3
4122++--+=
n n n a
8．算两次。
例8 m,n,r ∈N +，证明：.0
2
2110m r n r m
n r m n r m n r C C C C C C C C C m n ++++=--+ ①
[证明] 从n 位太太与m 位先生中选出r 位的方法有r
m n C +种；另一方面，从这n+m 人中选
出k 位太太与r-k 位先生的方法有k
r m k n C C -种，k=0,1,…,r 。所以从这n+m 人中选出r 位的
方法有0
110m r n r m n r m n C C C C C C +++- 种。综合两个方面，即得①式。
9．母函数。
例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k 的牌计
为2k
分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。 [解] 对于n ∈{1,2,…,2004},用a n 表示分值之和为n 的牌组的数目，则a n 等于函数f(x)=(1+0
2x )2
?(1+1
2x )3
????…?(1+10
2x )3
的展开式中x n
的系数（约定|x|<1），由于
f(x)=
x +11[ (1+0
2x )(1+12x )?…?(1+102x )]3=)1()
1)(1(11123
x x x --+ 3
=)1()1)(1(11122
2x x x ---3
。 而0≤2004<211
，所以a n 等于
2
2)
1)(1(1x x --的展开式中x n
的系数，又由于22)1)(1(1x x --=211x -?2
)
1(1x -=(1+x 2+x 3+…+x2k+…)[1+2x+3x 2+…+(2k+1)x 2k
+…],所以x 2k
在展开式中的系数为a 2k =1+3+5++(2k+1)=(k+1)2
,k=1,2,…,从而，所求的“好牌”组的
个数为a 2004=10032
=1006009.
10．组合数k
n C 的性质。
例10 证明：k
m C 12-是奇数(k ≥1). [证明] k
m C
1
2-=
?-??-?-=???+----k
k
k k m m m m m m 222211221)112()22)(12( 令i=i
t 2?p i (1≤i ≤k)，p i 为奇数，则i i t m i
t i
t m p p p p m i i i i i -=-=--22222，它的分子、分母均
为奇数，因k
m C 12-是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。
例11 对n ≥2,证明：.422n
n n n C <<
[证明] 1）当n=2时，22
<2
4C =6<42
；2）假设n=k 时，有2k
,当n=k+1时，因为 .1 )12(2!)!1()!12(2)!1()!1()]!1(2[21)1(2k k k k C k k k k k k k k C ?++=?++?=+++= ++ 又1 )12(22++< k k <4，所以2k+1<1 21)1(22442+++<< 所以结论对一切n ≥2成立。 11．二项式定理的应用。 例12 若n ∈N, n ≥2，求证：.3112 ? ??+ n [证明] 首先,2111112210>?++?+?+=?? ? ??+n n n n n n n n C n C n C C n 其次因为 )2(111)1(1!1!)1()1(1≥--=-≤ k k n ，所以=?? ? ??+n n 11 2+.3131113121211121122 <-=--++-+-+ n n n n C n C n n n n 得证。 例13 证明： ).(1 10 n m h C C C m n h k n k h m k n ≤≤=?++=--∑ [证明] 首先，对于每个确定的k ，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中h m k n C --是 (1+x) n-k 的展开式中x m-h 的系数。h k C 是(1+y)k 的展开式中y k 的系数。从而h m k n C --?h k C 就是 (1+x)n-k ?(1+y)k 的展开式中x m-h y h 的系数。 于是， h k n k h m k n C C ?∑=--0 就是 ∑ =-++n k k k n y x 0 )1()1(展开式中x m-h y h 的系数。 另一方面， ∑=-++n k k k n y x 0 )1()1(= y x y C x C y x y x n k k k n n k k k n n n --= +-++-+∑∑+=++=+++1 11 1 1 1) 1()1()1()1(= ∑+=+1 01 n k k k n x C ?y x y x k k --=∑+=+10 1n k k n C (x k-1+x k-2y+…+y k-1)，上式中，x m-h y h 项的系数恰为1 1++m n C 。 所以 .1 10 ++=--=?∑m n n k h k h m k n C C C 12．概率问题的解法。 例14 如果某批产品中有a 件次品和b 件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n 件产品，问：恰好有k 件是次品的概率是多少？ [解] 把k 件产品进行编号，有放回抽n 次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)n （即所有的可能结果）。设事件A 表示取出的n 件产品中恰好有k 件是次品，则事件A 所包 含的基本事件总数为k n C ?a k b n-k ，故所求的概率为p(A)=.) (n k n k k n b a b a C +- 例15 将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 [解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为p ，则掷5次恰好有k 次正面朝上的概率为 k k p C 5(1-p)5-k (k=0,1,2,…,5)，由题设4153225)1()1(p p C p p C -=-，且0 31=p ，所以恰好有3次正面朝上的概率为.3434032312 335=?? ? ?????? ??C 例16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？ [解] （1）如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：A 1—2：0（甲净胜二局）， A 2—2：1（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）. p(A 1)=0.6×0.6=0.36,p(A 2)=12C ×0.6×0.4 ×0.6=0.288. 因为A 1与A 2互斥，所以甲胜概率为p(A 1+A 2)=0.648. (2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：B 1—3：0（甲净胜3局），B 2 —3：1（前3局甲2胜1负，第四局甲胜），B 3—3：2（前四局各胜2局，第五局甲胜）。因为B 1， B 2，B 2互斥，所以甲胜概率为p(B 1+B 2+B 3)=p(B 1)+p(B 2)+p(B 3)=0.63 +23C ×0.62 ×0.4×0.6+2 4 C ×0.62 ×0.42 ×0.6=0.68256. 由（1），（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。 例17 有A ，B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B 袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A 袋中取出1张卡片，B 袋中取2张卡片，共3张卡片。求：（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。 [解]（1）21127162 411=??=C C C C p ；（2）634 2 7 161211132212=???+?=C C C C C C C p ；（3）记ξ为取出的3 所以.63 3242186344632242370=?+?+?+? =ξE 三、基础训练题 1．三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。 2．在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。 3．用1，2，3，…，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。 4．10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。 5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 6．今天是星期二，再过101000 天是星期_________。 7．由1003)23(+x 展开式所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有_________项。 8．如果凸n 边形(n ≥4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n 边形内共有_________个交点。 9．袋中有a 个黑球与b 个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k(1≤k ≤a+b)次取到黑球的概率为_________。 10．一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，…，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。 11．某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。 12．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。 13．a,b,c,d,e 五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b 不相邻有_________种安排方式。 14．已知i,m,n 是正整数，且1 n i i m i A m A n <；（2）(1+m)n >(1+n)m . 15.一项“过关游戏”规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所得到的点数 之和大于2n ，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体） 四、高考水平训练题 1．若n ∈{1,2,…,100}且n 是其各位数字和的倍数，则这种n 有__________个。 2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax 2 +bx+c 的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。 3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。 4．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。 5．一条铁路原有m 个车站（含起点，终点），新增加n 个车站（n>1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。 6．将二项式n x x ??? ? ??+4 21的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的项有_________个。 7．从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。 8．二项式(x-2)5 的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。 9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？（颠倒后相同的算同一种） 10．在1，2，…，2006中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。 11．投掷一次骰子，出现点数1，2，3，…，6的概率均为 6 1 ，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率为_________。 12．某列火车有n 节旅客车厢，进站后站台上有m(m ≥n)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。 13．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产= 耕地面积 总产量 ） 五、联赛一试水平训练题 1．若0 5．骰子的六个面标有1，2，…，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V ，则全变差V 的最大值为_________，最小值为_________。 6．某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_________。 7．如果a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}且a ≠b,b ≠c,c ≠d, d ≠a ；且a 是a,b,c,d 中的最小值，则不同的四位数abcd 的个数为_________。 8．如果自然数a 各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a 1,a 2,a 3,…,若a n =2005，则a n =_________。 9．求值： k n n k k C k n 21 21 1 )1(--∑-=-=_________。 10．投掷一次骰子，出现点数1，2，…，6的概率均为 6 1 ，连续掷10次，出现的点数之和是30的概率为_________。 11．将编号为1，2，…，9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S ，求S 达到最小值的放法的概率（注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法）。 12．甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p(0 13．设m,n ∈N,0 111011222n n m n m n m m m n m m m n C C C C C …+.11++m n C 六、联赛二试水平训练题 1．100张卡片上分别写有数字1到100，一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问：共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的） 2．设S={1,2,…,10}，A 1，A 2，…，A k 是S 的k 个子集合，满足：（1）|A i |=5,i=1,2,…,k;（2）|A i A j |≤2,1≤i 3．求从集合{1,2,…,n}中任取满足下列条件的k 个数{j 1,j 2,…,j k }的组合数；（1）1≤j 1 1 h h j j --≥m+1. 4.设m S S S n 222 21 +++= ,其中S 1，S 2，…，S m 都是正整数且S 1 n n n n C C C ,,,11 中奇数的个数等于2m 。 5． 2 ) 1(+n n 个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵，设M k 是从上往下第k 行中的最大数，求M 1 1 1+++-=--=∑r n r n k r k n C kC 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。 这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。 一. 两个原理 1. 乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤，第一步有1n 种方法，第二步有2n 种方法，…， 第m 步有m n 种方法，且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤， 则完成该项工作一共有 1n 2n …m n 种方法，这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式，第一种方式有1n 种方法，第二种 方式有2n 种方法，…，第m 种方式有m n 种方法，且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有 1n +2n +…+m n 种方法，这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n 个元素里每次取出r 个元素，按一定顺序排成一列，称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列，这里n 和Z 。均为正整数(以 下同)。 当这n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我 们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。 对于无重复排列，要求当 时 r n 称为选排列，而当 r ＝n 时称为全排列。我们记排列数分别为 即将全排列看成选排列的特例。 利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义 由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素 都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可 以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl 成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记 作，由乘法原理得 显然，此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几 种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信； 2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为 2)是可重复排列问题，投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元 素里每次取出r个元素的组合。 设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作 将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为 ， 所有组合中的元素作全排列，共有 个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为 故有 高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2)从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数，则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 == =，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 （3）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生 不能全排在一起，则不同的排法数有 （A ）3600（B ）3200（C ）3080（D ）2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4 ）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项（B ）17项（C ）16项（D ）15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L 1. PERMUTATION Suppose n objects are to be ordered from 1st to nth, each order is called a permutation. Apply the multiplication principle to count the number of permutations of n objects, i.e. n(n-1)(n-2)(n-3)....(3)(2)(1), or n!, called n factorial. e.g. Suppose that 10 students are going on a bus trip, and each of the students will be assigned to one of the 10 available seats. What is the number of possible different seating arrangements of the students on the bus? Notice: n objects should be distinguishable and they are always ordered in a line. If the objects are not ordered in a line but in other shapes, such as a circle or a square, how to calculate the number of permutations? e.g. Five students are going to sit around a table, how many arrangement can there be? (If the relative position of two students is the same, then we view it as one arrangement.) formula: (n-1)! If there are some objects are exactly the same, the number of permutations should be calculated in another way. e.g. How many different five-letter words can be formed when all letters in the word ENTER are used each time. formula: n!/(number of repeated objects)! Suppose that k objects will be selected from a set of n objects, where k<=n, and the k objects will be placed in order from 1st to kth. The number of permutation is n(n-1)(n-2)....(n-k+1). e.g. How many different five-digit positive integers can be formed using the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, and 7 if none of the digits can occur more than once in the integer? 2. Combination Given the five letters A, B, C, D, and E, determine the number of ways of selecting 3 of the 5 letters, but unlike before, you do not want to count different orders for the 3 letters. i.e. Note that n choose k is always equal to n choose n-k 高中数学选修2-3基础知识归纳（排列组合、概率问题） 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路： ①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原 理得出结论。 注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； 例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公 益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48． 例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少 高中数学排列组合概率练习题 1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （A ） 37 （B ） 47 （C ） 114 （D ） 1314 答案：D 解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是3 9C ．所以3 9 613114 C - = ． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种 答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法． 3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 （A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个 答案：A 解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302 32 5=?C C 个，于是最多有30个交点． 推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有2 2 m n C C ?个 变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点． 答案：4 12C 4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ） 15 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 45 111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ??? 第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用 m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地 0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为 n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---222110.其 2013国家公务员考试行测暑期向前冲数学运算：排列组合与 概率问题重难点讲解 排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。 在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。 一、基础原理 二、基本解题策略 面对排列组合问题常用以下三种策略解题： 1.合理分类策略 ①类与类之间必须互斥（互不相容）；②分类涵盖所有情况。 2.准确分步策略 ①步与步之间互相独立（不相互影响）；②步与步之间保持连续性。 3.先组后排策略 当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。 【例题1】班上从7名男生和5名女生中选出3男2女去参加五个竞赛，每个竞赛参加一人。问有多少种选法？ A．120 B．600 C．1440 D．42000 中公解析：此题答案为D。此题既涉及排列问题（参加五个不同的竞赛），又涉及组合问题（从12名学生中选出5名），应该先组后排。 三、概率问题 概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。概率问题经常与排列组合结合考查。因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。 1.传统概率问题 2.条件概率 在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即A在B条件下的概率。 P（AB）为AB同时发生的概率，P（B）为事件B单独发生的概率。 【例题3】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？ 四、排列组合问题特殊解法 排列组合问题用到的方法比较特殊，缘于这些方法都是在对问题进行变形，把不容易理解的问题转化为简单的排列组合问题。 1.捆绑法 排列时如要求几个元素相邻，则将它们捆绑起来视为一个整体参与排列，然后再考虑它们内部的排列情况。 【例题4】某展览馆计划4月上旬接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。问：参观的时间安排共（）种。 A.30 B.120 C.2520 D.30240 高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 排列组合二项式定理与概率统计 例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 184 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ） 511 （B ）681 （C ）3061 （D ）408 1 例11、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4 5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A.16 625 B. 96625 C. 192625 D. 256625 专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有 多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特 别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 6． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1． 知识体系： 2．知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。 （4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。 排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元 素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---2221 10.其中第r+1 专题三： 排列、组合及二项式定理 一、排列、组合与二项式定理 【基础知识】 1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =???. 3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n = ！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m ≤n)． 4.组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N * ，且m ≤n). 5.组合数的两个性质： (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1+ （3）1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 6.排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =?！ . 7.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 【题例分析】 例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？ 解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有4 4A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －3 3A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －23 3A ＋2 2A ） 种，故共有252种． 点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． 例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表． 解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有5 5A 种,共有5 513452335 )(A C C C （C +＝5400种． (2)除去该女生后先取后排：8404 447=A C 种． GRE数学排列组合和概率题目 考生在答新gre数学试题时，一定要细心认真，把握好时间，最好有做完检查的时间，尽量在新gre数学部分获取高分。 1、15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法? C155 –C122 2、7人比赛，A在B的前面的可能性有多少种 P77 / 2 A在B前的次数与在其后的次数相等 3、3对人分为A,B,C三组，考虑组顺和组中的人顺，有多少种分法? P33 ×(P22 )3 先考虑组顺，再考虑人顺 4、17个人中任取3人分别放在3个屋中，其中7个只能在某两个屋，另外10个只能在另一个屋，有多少种分法? P72 P101 5、A,B,C,D,E,F排在1，2，3，4，5，6这六个位置，问A不在1，B不在2，C不在3的排列的种数? P66 -3P55 +3P44 -P33 (先取总数，后分别把A放1，B放2, C放3,把这个数量算出，从总数中减去即可，建议用三个同样的环相互交错取总数的方法计算) 6、4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，有多少种排法? 2P33 7、5辆车排成一排，1辆黄色，1两蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法? P55 /P33 如果再加一个条件2辆不可分辨的白色车，同理：P77 /P33 P22 8、4对夫妇，从中任意选出3人组成一个小组，不能从任一对夫妇中同时选择两人，问符合选择条件的概率是多少? (C83 –C61 C41 )/C83 9、从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。 C61 C52 C21 C21 /C124 10、3个打字员为4家公司服务，每家公司各有一份文件录入，问每个打字员都收到文件的概率? (C42 C21 )C31 /34 先把文件分为2，1，1三堆，然后把这三堆文件分给三个打字员。 虽然新版gre数学部分难度系数有所提高，但相信我们国内考生能够从容应对，以上即是搜索整理的有关新gre数学排列组合和概率题目解析，希望能对广大考生有所帮助。 高中数学必修 排列 组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1) 已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐标系 中所确定的不同点的个数是C (A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 36 解 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标, 不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标, 不同点的个数为1 1 63P P g 不同点的个数总数是1111 636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2) 从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以得到不同的对数 值的个数为 (A) 64 (B) 56 (C) 53 (D) 51 解 ①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为2 92P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个 ,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 ===，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为2 9287453()C ---=个 （3） 四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同 的排法数有 （A ）3600 （B ）3200 （C ）3080 （D ）2880 解 ①三名女生中有两名站在一起的站法种数是2 3P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是6 6P ，其中的三名女生排在一起的 站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为5 5P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1 5 25P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空7433422 74534522880A A C A A C A --= （4） 由100 +展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项 （B ）17项 （C ）16项 （D ）15项 解 1000100110011r 100r r 100100 100100100100 =C )+C )++C )++C --L L 可见通项式为 :1003100230010010010010023 66 6 100 100 100 100 ) 6 6 6 r r r r r r r r r r r r r r C C x C x C x ---++----===（） 且当r=06121896L ，，，，，时,相应项的系数为有理数,这些项共有17个, 故系数为有理项的共有17个. （5） 设有甲、 乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有2把钥匙，这4把钥匙与不能开这两 把锁的2把钥匙混在一起，从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是 （A ） 4/15 （B ） 2/5 （C ） 1/3 （D ） 2/3 解 从6把钥匙中任取2把的组合数为2 6P ，若从中任取的2把钥匙能打开2把锁，则取出的必是甲锁 排列与组合练习题 1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三 个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 答案：D 解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是39C ．所以39613114 C -=． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种 答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法． 3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 （A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个 答案：A 解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一 的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302325=?C C 个，于是最 多有30个交点． 推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的 交点最多有22m n C C ?个 变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点． 答案：412C 4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45 答案：B 111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ??? 排列组合、二项式定理 1、分类计数原理：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+……+m n . 分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法……做第n 步又m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1Xm 2X ……Xm n 。 2、排列数公式是：m n A =)1()1(+--m n n n = ！！)(m n n -(m ≤n,m 、n ∈N*)； 当m=n 时，为全排列n n A =n(n-1)(n-2)…3.2.1。 排列数与组合数的关系是：m n m n C m A ?=！ 组合数公式是：m n C =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?（m ≤n ）；)!(!!m n m n A A C m m m n m n -==； 组合数性质：m n C =m n n C -，10==n n n C C ； m n C +1-m n C =m n C 1+ ； ∑=n r r n C 0=n 2； r n rC =11--r n nC ； 1121 ++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ； n.n!=(n+1)!-n!，即n n n n n n A A nA -=++11。 3、二项式定理： n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， = (1)二项式性质：与首末两端等距离的二项式系数相等； 对于n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(的二次项系数：当n 是偶数时，中间的一项2n n C (第2n ＋1项)取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项21-n n C (第21+n 项)、21 +n n C (第2 1+n ＋1项)相等，且同时取得最大值。 n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2，即n n n n n n C C C C 2210=+???+++；且奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即131202 -=???++=???++n n n n n C C C C 。 7.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为)1(f ；奇数项系数和为)]1()1([2 1--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([2 1-+f f 。《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
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