三 排列组合，概率统计
（一）排列组合
1知识点 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）
分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列
排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有排列的个数m n
A
公式
m n
A
=
!
()!
n n m - 规定0！=1
3，组合
组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合
组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有组合个数
m n
C
m n
C
=
!
!()!
n m n m -
性质
m
n
C =
n m n
C
-
1
1m m m n n n C C C -+=+
2 排列组合题型总结 一 直接法
1 .特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择2
5A ，其余2位有四个可供选择2
4A ，由乘法原理：2
5A 2
4A =240 2．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有3
5A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有1
4A 种，余下的有2
4A ，共有1
4A 1
4A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当
2）可用间接法
2435462A A A +-=252
Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任
意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数3
33
3
52A C ⨯⨯个，其中0在百位的有
2242⨯C ⨯2
2A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯2
2A =432
三 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺
序，有多少中插入方法？
分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有
11019A A ⨯=100中插入方法。
四 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3
32
4A C ）
,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（19
28129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有1
29C 其余的就是19所学校选28天进行排列）
五 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有7
11C 种
08年
18．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
09年
5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A ．8
B ．24
C ．48
D ．120 17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率 10年
⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 （A ）45 (B)35 （C ）2
5
(D)15
11年 16．（本小题共13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
（注：方差],)()()[(1
222212
x x x x x x n
s n -+-+-=
其中x 为n x x x ,,,21 的平均数）
12年
17.（本小题共13分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其
他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=。当数据,,a b c 的方差2
s 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2
s 的值。 （注：2
222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）
三 排列组合，概率统计 （一）排列组合 1知识点 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列 排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有排列的个数m n A 公式 m n A = ! ()! n n m - 规定0！=1 3，组合 组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有组合个数 m n C m n C = ! !()! n m n m - 性质 m n C = n m n C - 1 1m m m n n n C C C -+=+ 2 排列组合题型总结 一 直接法 1 .特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择2 5A ，其余2位有四个可供选择2 4A ，由乘法原理：2 5A 2 4A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有3 5A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有1 4A 种，余下的有2 4A ，共有1 4A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当 2）可用间接法
基础知识大筛查-排列组合二项式定理、概率与统计 一、概率与分布列 1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n 1 ，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率n m P(A)= . 2. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)P(A P(A)=+=+；ii.互为对 立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件. 推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ?=?. 注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复 试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P) (1P C (k)P --=. 3. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 4、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 4. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事 件恰好发生k 次的概率是：k n k k n q p C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] ，随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ，p ），其中n ，p 为参数 互斥 对立
1 不等式 不等式的性质 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠． （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R ． 判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b>0，m>0，试比较m a m b ++与a b 解：)() ()(m a a b a m m a a bm ab am ab a b m a m b +-= +--+=-++ ∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0 ∴0)() (>+-m a a b a m ∴m a m b ++>a b 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础 不等式的基本性质有： 对称性：a>b ?bb ，b>c ，则a>c ； 可加性：a>b ?a+c>b+c ； 可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac
“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料 一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理： 分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++=Λ21 分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ???=Λ21 2．排列： 从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 排列数)! (! )1()1(m n n m n n n A m n -=+--=Λ 3．组合： 从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= Λ； 组合数性质：m n n m n C C -=，m n m n m n C C C 11+-=+ 4．排列组合常用方法： 分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ 间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英
语书不能相邻，则有多少中排列方式？ 特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？ （二）二项式定理 1．二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(，其中r n C 为第1 +r 项的二项式系数，=-n b a )( 2．通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r Λ= 3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于 2 n 对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n 项，最大值为2n n C 当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第12 1 ++n 项，最大值为21 21+-=n n n n C C （3）二项式系数之和n n n n n C C C 210=+++Λ 奇数项与偶数项的二项式系数之和相等1 31202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ （三）概率 1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率n m 总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．
排列组合与概率计算 在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。 一、排列 排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。 对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性： P(n,r) = n! / (n-r)! 其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。 举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。根据排列公式可得： P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120 所以，共有120种不同的放法。 二、组合
组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。 对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组 合公式来计算不同的组合可能性： C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!) 举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不 同的组合？这就是一个组合问题。根据组合公式可得： C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84 所以，共有84种不同的组合方式。 三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。 例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2 张红心和3张黑桃的概率是多少？ 首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。根据排列公式，总共有： P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960 其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑 桃的不同排列数量。根据排列组合的原理，可以计算出：
考纲解析 排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。 资源链接 本讲对应CIU 视频资源：概率论及数理统计.jbl 。 本讲内容 10.1 排列组合基础 10.1.1 排列的基本概念及实例 从n 个不同的元素中，任取m (m ≤n )个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。如果元素和顺序至少有一个不同。则叫做不同的排列。元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。排列数的计算公式为 )1()2)(1(+---=m n n n n A m n Λ（其中m ≤n ，m ，n ∈Z ）。 10.1 （1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作7个元素的全排列——77A = 5040。 （2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理7×6×5×4×3×2×1 = 7！= 5040。 （3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作余下的6个元素的全排列——6 6A = 720。 （4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有2 2A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种，则共有22A 5 5A =240种排列方法。 （5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头 和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有5 5A 种方法， 所以一共有22A 5 5A =2400种排列方法。 解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有6 6A 种方法；若甲站在排 这类问题在各种考试中出现得都比较多，关键在于熟练，同时要 注意审题，题 意是可能设置 陷阱的地方。 对于这类 问题，要掌握 常用的方法，对于“在”与“不在”的问题，常常直接使用“直接法”或“排除法”，对特殊元素可优先考虑。
数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。 一、排列组合的基本概念 1.1 排列 排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。排列的计算公式为： P(n,m) = n! / (n-m)! 其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。 1.2 组合 组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。组合的计算公式为： C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!) 二、概率计算的基本原理 概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。概率计算基于排列组合的
概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。 2.1 样本空间 样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。例如，掷一枚 普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。 2.2 事件 事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。例如，掷一枚 硬币出现正面是一个事件。 2.3 概率 概率是事件发生的可能性。对于一个随机试验和事件，概率的计算 公式为： P(A) = n(A) / n(S) 其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。 三、排列组合与概率计算的应用 排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。下面以几个具体 的例子说明它们的具体应用。 3.1 组合在概率计算中的应用
一、排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个. 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。 例6．〔2003年春招〕某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为〔A 〕
高中数学中的排列组合与概率统计 高中数学是我们学习的重要学科之一，其中排列组合与概率统计是数学中的两 个重要概念。它们在数学中的应用广泛，不仅帮助我们解决实际问题，还培养了我们的逻辑思维和分析能力。 一、排列组合 排列组合是数学中的一种方法，用于计算一组对象的不同排列或组合的数量。 在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序是不重要的。 排列的计算方法可以通过以下例子来理解。假设有3个球，分别是红球、蓝球 和绿球，现在要将这3个球放在一个篮子里。那么，一共有多少种不同的排列方式呢？ 首先，我们可以将红球放在篮子的第一个位置，然后将蓝球放在第二个位置， 最后将绿球放在第三个位置。这样的排列方式是一种情况。同样的，我们可以将红球放在第一个位置，绿球放在第二个位置，蓝球放在第三个位置，这样的排列方式也是一种情况。根据这个思路，我们可以得出结论，一共有3个球，所以一共有3!（3的阶乘）种不同的排列方式。 组合的计算方法则是通过以下例子来理解。假设有5个人，我们要从中选出3 个人组成一个小组。那么，一共有多少种不同的组合方式呢？ 首先，我们可以从5个人中选出一个人作为小组的第一个成员，然后从剩下的 4个人中选出一个人作为第二个成员，最后从剩下的3个人中选出一个人作为第三 个成员。这样的组合方式是一种情况。同样的，我们可以从5个人中选出一个人作为第一个成员，从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员，这样的组合方式也是一种情况。根据这个思路，我们可以得出结论，一共有5个人，我们要选出3个人，所以一共有5C3（5的组合数）种不同的组合方式。
[数量关系] 排列组合与概率问题 [数量关系]排列组合与概率问题排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。 在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。 一、基础原理 二、基本解题策略 面对排列组合问题常用以下三种策略解题： 1.合理分类策略 ①类与类之间必须互斥(互不相容);②分类涵盖所有情况。 2.准确分步策略 ①步与步之间互相独立(不相互影响);②步与步之间保持连续性。 3.先组后排策略 当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。 【例题1】班上从7名男生和5名女生中选出3男2女去参加五个竞赛，每个竞赛参加一人。问有多少种选法? A.120 B.600 C.1440 D.42000
中公解析：此题答案为D。此题既涉及排列问题(参加五个不同的竞赛)，又涉及组合问题(从12名学生中选出5名)，应该先组后排。 三、概率问题 概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。概率问题经常与排列组合结合考查。因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。 1.传统概率问题 2.条件概率 在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即A在B条件下的概率。 P(AB)为AB同时发生的概率，P(B)为事件B单独发生的概率。 【例题3】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性(概率)是多少? 排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。 在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。 一、基础原理
排列、组合、概率与统计的高考热点分析每年的高考考试，排列组合、概率与统计等知识点都经常出现在高考考题中，也是学生们头疼的课题之一，对考生们掌握好此类知识，可以提高他们应用排列组合、概率与统计的能力，大大提升他们在高考考试中的表现，所以本文针对此类考题进行热点分析，为考生提供此类知识的复习和研究帮助。 首先介绍一下排列组合，这是一类数学思维的学科，也是高考考题中经常出现的科目之一。排列组合是一种可以在指定字符集中任意排列组合，计算组合中字符个数的学科。它可以应用于分层抽样等社会调查中，也可以用于数学逻辑、统计分析等各个领域，其计算方法复杂而实用性强，在高考中经常出现。 其次介绍概率，概率也是高考考题中经常出现的科目之一。概率是研究事件发生的可能性的一种数学方法，它可以帮助确定某一事件发生的几率，是研究和评价不同情况下物品具有不同可能性的工具，它也是用于描述不同情况之间的相互关系的学科。在高考中，考生除了要知道概率的原理和计算方法，还要了解概率的应用情况。 最后介绍统计学，它是一类结合计算机应用的学科，主要研究社会科学中的定量数据，可以帮助我们更好地了解特定社会的情况，从而进行更有效的管理和决策。统计学也是高考考题中经常出现的，最常见的统计学问题是简单抽样、方差分析等，这些考题需要学生有系统的理解，能够根据不同条件计算出准确的结果。 总体来说，在高考考题中，排列组合、概率与统计是重要的知识
点，它们的考题不仅考查学生的数学技能，还考查学生的应用能力。考生在复习时一定要充分把握此类知识点，多多练习，熟悉此类考点，并多多思考，才能够在高考考试中取得一个好的成绩。 本文从排列组合、概率与统计三个角度，分析了高考中此类知识点的热点，指出此类考题的重要性，帮助考生把握好知识点复习，以期取得高考考试的优异成绩。
排列组合二项式定理与概率及统计 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较专门的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有专门性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯〝重复〞或〝遗漏〞的错误，同时结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的明白得，把握知识的内在联系和区别，科学周全的摸索、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率那么是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意差不多概念的明白得，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题显现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质运算或论证一些较简单而有味的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中要紧考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足专门元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足专门位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，运算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.〔4〕某些元素要求必须相邻时，能够先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为〝捆绑法〞；〔5〕某些元素不相邻排列时，能够先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为〝插空法〞； 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理依旧分步计数原理； (3)分析题目条件，幸免〝选取〞时重复和遗漏； (4)列出式子运算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直截了当法，先考虑专门元素〔或专门位置〕，再考虑其他元素〔或位置〕；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；关于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一样是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、〔08安徽理12〕12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，那么不同调整方法的种数是〔〕
高中数学排列组合与概率的基本公式、概念与应用 1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++. 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =⨯⨯ ⨯. 2 排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=. 3 组合数公式：m n C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21) 1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10 =n C . 4 二项式定理n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系： 012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++ +-=-；0(0)a f =。 5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 7n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k n n P k C P P -=- 8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++ 数学期望的性质 （1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1 ()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p ξ= . 9方差：()()()2 2 2 1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅+ +-⋅+ 标准差：σξ=ξD . 方差的性质： (1)()2 D a b a D ξξ+=； (2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ -===，则2q D p ξ= . 方差与期望的关系：()2 2D E E ξξξ=-. 10正态分布密度函数：( )()()2 2 26,,x f x x μ-- = ∈-∞+∞， 式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2 (,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-⎛⎫ =Φ ⎪⎝⎭ . ()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<
排列组合 一 、分类、分步原理 （一）分类原理：12n N m m m =++ +.分类原理题型比较杂乱，须累积现象。几种常见的现象有： 1．开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类. 2．数图形个数:根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数. 3．球赛得分：根据胜或负场次进行分类. （二）分步原理：12n N m m m =⨯⨯⨯. 两种典型现象： 1．涂颜色 (1)平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块 (2)立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举. 2．映射 按步骤用A 集合的每一个元素到B 集合里选一个元素，可以重复选. 二 、排列、组合 （一）常规题型求情况数 1.直接法：先排(选)特殊元素，再排(选)一般元素。捆绑法，插空法. 2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数. （二）七种常考非常规现象 1．小数量事件需要分类列举： 凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类一一列举 2．相同元素的排列： 用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排顺序 3．有序元素的排列: 用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序 4．剩余元素分配： 有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。 5．迈步与网格现象: 要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况. 6．立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数 7．平均分组现象: 先用分步原理选出每一组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n 组，就除以n n A ，有几套平均分组就除几个x x A . （三）排列数，组合数公式运算的考察 1.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m n ≤)． 注:规定1!0=. 2. 组合数公式
排列、组合、概率与统计 排列与组合 1．分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，……，在第n类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+…+nM种不同的方法． 2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有 种不同的方法,做第二步有 种不同的方法,……,做第n步有 种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·…nM 种不同的方法． 注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类
之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。 3.⑴排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ⑵排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号 表示. 其中n，m∈ ，并且m≤n． ⑶排列数公式: 当m=n时，排列称为全排列，排列数为 = 记为n!, 且规定O!=1. 注： ; 4.⑴组合的定义: 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ⑵组合数的定义: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号
排列组合与概率统计 一．选择题（共7小题） 1．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A．60种B．120种C．240种D．480种 2．（2021•乙卷）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）A．B．C．D． 3．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4．（2021•甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．B．C．D． 5．（2021•甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8 6．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立 7．（2021•乙卷）在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A．B．C．D． 二．多选题（共1小题） 8．（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 三．填空题（共3小题） 9．（2021•浙江）袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m﹣n＝，E（ξ）＝．10．（2021•浙江）已知多项式（x﹣1）3+（x+1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝；a2+a3+a4＝．11．（2021•上海）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．四．解答题（共3小题） 12．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 13．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计
9排列组合二项式定理概率统计 2022届高三数学二轮专题复习教案排列组合二项式定理概率统计一、本章知识结构：排列概念排列两排列数公式个计组合概念数组合组合数公 式排列组合二项式定理组合数性质二通项公式项式定二项式系数性质应用 应用 二、重点知识回顾1.排列与组合 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区 别在于分步计数原理 和分步有关，分类计数原理与分类有关. 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排 列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否 与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. 排列与组合的主要公式 mAn①排列数公式： nAnn!n(n1)(nm1)(nm)!(m≤n) =n!=n(n―1)(n―2)··2·1. mCn②组合数公式： n!n(n1)(nm1)m!(nm)!m(m1)21(m≤n). mnm012nnCCCCCC2nnnn③组合数性质： ①n(m≤n).②n02413n1CCCCC2nnnnn③ 2.二项式定理二项式定理
0(a+b)n=Cn1an+Cnran－1b+…+Cnnan－rbr+…＋Cnbn，其中各项系数 就是组合数 rCn，展开式 共有n+1项，第r+1项是 rTr+1=Cnan－rbr. 二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项 rTr+1=Cnan－rbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 rCnnr=Cn(r=0,1,2,,n). nn12②若n是偶数，则中间项(第2项)的二项公式系数最大，其值为Cn；若n是奇数，则中n1n1n1n32222nn间两项(第项和第项)的二项式系 数相等，并且最大，其值为C=C. ③所有二项式系数和等于2n，即 0Cn1+Cn2＋Cnn++Cn=2n. ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即 0Cn2+Cn1+=Cn3+Cn+=2n―1. 3.概率 （1）事件与基本事件：
【重点知识回顾】 1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关 ⑵排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于 排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶排列与组合的主要公式 高考数学总复习排列组合与概率统计 ①排列数公式: m An n! n(n1) (n m)! —...2)21 —+ (nm 1) (mW n) A n=n !=n(n —1)(n ②组合数公式: m Cn n!_n(n m!(n m)! m 1) - (n (m 1) ③组合数性质: + * ③G2C n4 2.二项式定理 ⑴二项式定理C1 C n n m(m< n). + :+ ■ 11 G32n1 ②C n。 m 1) (m< n). 2 + G1 1 + + •・・* C C n n2n (a+b)n=C0a n+Ca n Tb+?+C a0-r b r+?+ C n n b n，其中各项系数就是组合数G r，展开 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=Ga n ⑵二项展开式的通项公式 r b r.
二项展开式的第r+1项Tr+1=C r a n"r b r(r=Q,1, ?叫n）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ①在二项式展开式中, 端与首末两 “等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=Q,1,2 即G=G , ?,n) ②若n是偶数，则中间项 1项）的二项公式系数最大，其值为 n ；若 C n2数, n是奇 则中间两项（第n 2 1项和第3 项）的二项式系数相等，并且最大，其值为G 2 n1 n1 2 =C 2.