向量的线性运算练习题
Ⅰ 一、选择题
1．若C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ）
A ．A
B B ．BA
C ．0
D ．以上均不正确
2．已知正方形ABCD 边长为1，=AB a ，=BC b ，=AC c ，则++a b c 的模等于
A ．0
B ．3
C ．
D （ ）
3．在四边形ABCD 中，+=，则四边形是 （ ）
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．平行四边形
4．向量()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于 （ ）
A ．BC
B ．AB
C ．AC
D ．AM
5．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ）
A ．a 与b 方向相同
B ．a =b
C ．a =-b
D ．a 与b 方向相反
6．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②
+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ）
A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①③
二、填空题 7．化简（++)= 。
8．在矩形ABCD 中，若=||3AB ，=||4BC ，则+=||AB AD _________。
9．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60︒，则+=||a b __________。
10．当非零向量a 和b 满足条件 时，使得b a +平分a 和b 间的夹角。
Ⅱ选择
1．化简MN PN PM +-所得结果是 （ ）
A ．MP
B ．NP
C ．0
D ．MN
2．在∆ABC 中，===||||||1AB BC CA ，则-||AB AC 的值为 （ ）
A ．0
B ．1 C
D ．2
3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120︒，则-|a b |等于 （ ）
A ．36
B ．12
C ．6 D
．
4．下面四个式子中不能化简成AD 的是 （ ）
A ．M
B DA BM -- B ．N
C NA C
D -+
C ．-+()AB DC BC
D ． -+-()()AD BM BC MC
5．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于 （ ）
A ．
B ．4
C ．4
D ．4
6．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （
）
A ．||||||-=-
B ．||||-=+
C ．||||||-=+
D ．||||||+=+
二、填空题
7．在ABCD 中，=AB a ，=AD b ，则________CA =，______BD =。
8．在a =“向北走20km ”，b =“向西走15km ”，则
-a b =_________， +a b 与a 的夹角的余弦值=______________。 9．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则等式： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0
③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 0
其中正确的题号是__________________
其中正确的题号是__________________
10．已知a 、b 是非零向量，指出下列等式成立的条件： ①a b a b +=+ 成立的条件是_________________________； ②a b a b +=-成立的条件是_________________________； F
E C
B A
③a b a b +=-成立的条件是 _________________________； ④a b a b -=-成立的条件是_________________________。 Ⅲ选择1．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是
（ ） A ．b a -2 B ．a b -2 C ．a b - D ．b a -
2．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ）
A ．a a λλ=
B ．a a λλ=
C ．a a λλ=
D ．0a λ>
3．下列各式计算正确的有 （ ）
(1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b
(3)a －2b +a +2b =2a (4)若a =m +n ,b =4m +4n ,则a ∥b
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =，BA b =，则EF =
A ．1()2a b +
B ．1()2a b -+
C ．1()2a b --
D ．1()2
b a - （ ） 5．若a b
c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ． 以上都不对
6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =
（ ）
A ．().(0,1)A
B AD λλ+∈ B ．2().AB B
C λλ+∈ C ． ().(0,1)AB A
D λλ-∈
D ． 2().(0,2
AB BC λλ-∈ 二、填空题 7．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题：
①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=-
③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n =
其中正确命题为_____________________．
8．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则x =__________．
9．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则
x =__________； y =___________．
Ⅳ 解答题
1．O 是平行四边形ABCD 外一点，求证：OA OC OB OD +=+
2. 如图，O 是
ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=AB a ，=BC b ，=OD c ， 证明：+-=OB c a b 。
3. 如图，在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()
=
+13AG AB AC
4.一汽车向北行驶3 km ，然后向北偏东60︒方向行驶3 km ，求汽车的位移。
5. 已知长度相等的三个非零向量a 、b 、c 满足++=a b c 0，求每两个向量之间的夹角。
6. 已知1e ，2e 是两个不共线的向量，122=-a e e ，12k =+b e e ．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．
向量的线性运算经典测试题含答案 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）． A ．CA B ．A C C ．0 D ．AE 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+ AE CE =- AE EC =+ AC =， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．下列等式正确的是（ ） A ．A B +B C ＝CB +BA B ．AB ﹣B C ＝AC C ．AB +BC +C D ＝DA D ．AB +BC ﹣AC ＝0 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形法则即可判断. 【详解】 ∵AB BC AC +=， ∴0AB BC AC AC AC +-=-= ， 故选D ． 【点睛】 本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则. 3．已知a 、b 和c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b 的是( ) A ．2a b = B ．//a c ，//b c C ．||||a b = D ．12 a c =，2 b c = 【答案】C
【解析】 【分析】 由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】 A 选项：由2a b =，可以推出//a b ．本选项不符合题意； B 选项：由//a c ，//b c ，可以推出//a b ．本选项不符合题意； C 选项：由||||a b =，不可以推出//a b ．本选项符合题意； D 选项：由12 a c =，2 b c =，可以推出//a b ．本选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】 考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义． 4．已知5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，则（ ）． A ．A 、 B 、D 三点共线 B ．A 、B 、 C 三点共线 C ．B 、C 、 D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】 根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】 解：∵28BC a b =-+，()3CD a b =-，5AB a b =+ ∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+， ∴AB 、BD 是共线向量 ∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+ ∴不存在实数λ，使AB BC λ=，即AB 、BC 不是共线向量 ∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误； ∵28BC a b =-+，()3CD a b =- ∴不存在实数λ，使BC CD λ=，即BC 、CD 不是共线向量 ∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-， ∴() 52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+ ∴不存在实数λ，使AC CD λ=，即AC 、CD 不是共线向量
（易错题精选）初中数学向量的线性运算技巧及练习题含答案(1) 一、选择题 1．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（） A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量 C．2-＝D．∥ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D、由＝-得到∥，故本选项说法正确． 故选D． 【点睛】 考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大． 2．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】 解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，， 则， ∴，故选A. 【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键. 3．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题. 4．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ， ∴12 a e =-r r ． 故选C ． 5．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．() a a b b --= B ．0a 0=
空间向量的线性运算 一、基础过关 1．下列说法正确的是 ( ) A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线 B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线 C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线 D ．在空间共线的向量在平面内一定共线 2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC → ，则四边形ABCD 是 ( ) A ．空间四边形 B ．平行四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形 3．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、MG ，则AB → ＋12 (BD →＋BC → )等于 ( ) A.AG → B.CG → C.BC → D.12 BC → 4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 5．如图，空间四边形OABC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，点M 在 OA 上，且OM ＝2MA ，N 是BC 的中点，则MN → 等于( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12 c 6．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC → |，则 ( )
向量的线性运算经典测试题附答案 一、选择题 1．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r 等于（ ） A ．1122a b +r r B ．1122a b --r r C ．1122a b -r r D ．1122a b -+r r 【答案】D 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得12 OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，即可求得 OD uuu r 的值． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB=OD= 1 2 BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ， ∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222 a b a b -+=-+r r r r 故选：D ． 【点睛】 此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的． 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案．
解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ， ∴12 a e =- r r ． 故选C ． 3．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32 a b =-v v 故选D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 4．已知a r 、b r 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r B ．||a r ＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r C ．0r 的方向不确定，大小为0 D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r ＝2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】 解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a r ＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0r 的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a r ＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ．
向量的线性运算练习题 Ⅰ 一、选择题 1．若C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ） A ．A B B ．BA C ．0 D ．以上均不正确 2．已知正方形ABCD 边长为1，=AB a ，=BC b ，=AC c ，则++a b c 的模等于 A ．0 B ．3 C ． D （ ） 3．在四边形ABCD 中，+=，则四边形是 （ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 4．向量()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于 （ ） A ．BC B ．AB C ．AC D ．AM 5．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 6．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 二、填空题 7．化简（++)= 。 8．在矩形ABCD 中，若=||3AB ，=||4BC ，则+=||AB AD _________。 9．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60︒，则+=||a b __________。 10．当非零向量a 和b 满足条件 时，使得+平分和间的夹角。 Ⅱ选择 1．化简MN PN PM +-所得结果是 （ ） A ．MP B ．NP C ．0 D ．MN
2．在∆ABC 中，===||||||1AB BC CA ，则-||AB AC 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C D ．2 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120︒，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ． 4．下面四个式子中不能化简成AD 的是 （ ） A ．M B DA BM -- B ．N C NA C D -+ C ．-+()AB DC BC D ． -+-()()AD BM BC MC 5．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于 （ ） A ． B ．4 C ．4 D ．4 6．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+ D ．||||||+=+ 二、填空题 7．在ABCD 中，=AB a ，=AD b ，则________CA =，______BD =。 8．在a =“向北走20km ”，b =“向西走15km ”，则 -a b =_________， +a b 与a 的夹角的余弦值=______________。 9．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则等式： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 0 其中正确的题号是__________________ 其中正确的题号是__________________ 10．已知a 、b 是非零向量，指出下列等式成立的条件： ①a b a b +=+ 成立的条件是_________________________； ②a b a b +=-成立的条件是_________________________； F E C B
向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果是（ ）． A ．CA u u u r B ．A C u u u r C ．0r D ．A E u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r AC =u u u r ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．已知233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ，那么4m n -r r 等于（ ） A ．823a b -r r B ．443a b r r - C ．423 a b -r r D ．843 a b -r r 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ， ∴4m n -r r =2112834()32232433 a b b a a b b a a b --+=---=-r r r r r r r r r r ． 故选A ． 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B 【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可
向量数乘和线性运算精选题32道 附参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（） A．B．C．D． 2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（） A．﹣3B．3C．2D．﹣2 3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（） A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+ 4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（） A．外心B．内心C．重心D．垂心 5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 ，则λ•μ等于（）
A．B．C．D． 6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4 7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+ 8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（） A．﹣+B．+C．﹣D．+ 9．在△ABC中，，则＝（） A．B．C．D． 10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（） A．B． C．D． 11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（） A．1B．C．D．2 12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）
A．8B．4C．2D．1 二．多选题（共4小题） （多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点 B．若＝，则点M在边BC的延长线上 C．若＝，则点M是△ABC的重心 D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 （多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（） A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上 B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上 C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外 D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内 （多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D． （多选）16．下列四式可以化简为的是（） A．+（）B．（）+（） C．+D． 三．填空题（共12小题） 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．
初中数学向量的线性运算经典测试题附答案解析 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ）． A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量 B ．若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量 D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】 A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确； B. AB 是单位向量时，1AB =，而此时1AB BA ==，即BA 也是单位向量，故选项B 不正确； C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA 、OB 都等于这个单位长度，这时OA 、OB 都是单位向量，故选项C 正确； D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】 本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键. 2．已知向量 ，若与共线，则( ) A ． B ． C ． D ．或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有= ，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使= ,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】 本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键. 3．下列各式中错误的是( )
A ．()0a a +-= B ．|AB BA |0+= C ．()-=+-a b a b D ．()()++=++a b c a b c 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】 解：A. ()0a a +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】 本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键. 4．如果向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为 12 ，那么向量a 用单位向量e 表示为（ ） A ．12 a e = B ．2a e = C ．12a e =- D ．2a e =- 【答案】C 【解析】 由向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12 ，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12 ， ∴12 a e =-． 故选C ． 5．已知233m a b =-，1124 n b a =+，那么4m n -等于（ ） A ．823a b - B ．443a b - C ．423a b - D ．843 a b - 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-，1124 n b a =+， ∴4m n -=2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-．
（易错题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编及解析 一、选择题 1．下列说法不正确的是( ) A ．设e r 为单位向量，那么||1e =r B ．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r C ．四边形ABC D 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r ，那么这个四边形一定是平行四 边形 D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】 解：A. 设e r 为单位向量，那么||1e =r ，此选项说法正确； B. 已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r ，此选项说法正确； C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r ，即AD=BC ，不能判定这个四边 形一定是平行四边形，此选项说法不正确； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】 本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键． 2．□ABCD 中， -+等于( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+ = - + = ，
【巩固练习】 一、选择题 1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ） ① ||⋅=a a a ②()()(,)m m m λλλ⋅=⋅∈R a b a b ③()()⋅+=+⋅a b c b c a ④22=a b b a A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2.①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行； ④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++ (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.（2015秋 衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF 与AB 、CD 的关系是（ ） A ．1122EF A B CD = + B ．1122EF AB CD =-+ C ．1122EF AB CD =- D ．11 22 EF AB CD =-- 4．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A 、 B 、 C 一定共面的是（ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2 C ．OC OB OA OM 3121++ = D ．OC OB OA OM 3 1 3131++= 5.（2014秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若1BE AA xAB yAD =++，则（ ） A ．12x =- ，12y = B ．12x =，1 2y =- C ．12x =-，12y =- D ．12x =，1 2 y =
向量的线性运算全集汇编附答案 一、选择题 1．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r 表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r D ．12a b --r r 【答案】A 【解析】 试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点， ＝12 a b +r r ．故选A ． 考点：平面向量，等腰三角形的三线合一． 2．□ABCD 中， -+等于( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+ = - + = ， 故选A ． 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出 与 是一对相反向量. 3．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=， =， =， =，则 （ ）
A．+++=B．-+-= C．+--=D．--+= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】 根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D错误； ； 而； ∴B正确. 故选B. 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则. 4．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】 解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，， 则， ∴，故选A. 【点睛】 本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键. 5．已知向量，若与共线，则( ) A．B．C．D．或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.
新初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案 一、选择题 1．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）． ①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有() m a b ma mb -=-r r r r ②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r ③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n = A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】 ①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有() m a b ma mb -=-r r r r ，正确； ②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确； ③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确； 故选C. 【点睛】 本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键． 2．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ．
平面向量练习题及答案 1. 向量初步概念和运算 (1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。 答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5 (2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。 答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29 (3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。 答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13 方向角θ = arctan(3/2) 2. 向量的线性运算 (1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。 答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j (2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。 答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j (3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。 答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 10 3. 向量的数量积与投影
(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。 答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14 (2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。 答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√29 4. 向量的夹角和垂直判定 (1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。 答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。计算得到a·b = 14， 因此向量a和向量b不相互垂直。 (2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。 答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100)) 5. 向量共线和平面向量的应用 (1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。 答案：两个向量共线的条件是a与b成倍数关系，即a/b为实数。计算得到a/b = -0.5，因此向量a和向量b共线。 (2) 已知向量a=4i+2j，向量b=3i-6j，向量c=-5i+10j，求向量a在 向量b和向量c张成的平面上的投影。
向量的线性运算基础测试题附解析 一、选择题 1．已知5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，() 3CD a b =-u u u r r r ，则（ ）． A ．A 、 B 、D 三点共线 B ．A 、B 、 C 三点共线 C ．B 、C 、 D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】 根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】 解：∵28BC a b =-+u u u r r r ，() 3CD a b =-u u u r r r ，5AB a b =+u u u r r r ∴() 2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ， ∴AB u u u r 、BD u u u r 是共线向量 ∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ∴不存在实数λ，使AB BC λ=u u u r u u u r ，即AB u u u r 、BC uuu r 不是共线向量 ∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误； ∵28BC a b =-+u u u r r r ，() 3CD a b =-u u u r r r ∴不存在实数λ，使BC CD λ=u u u r u u u r ，即BC uuu r 、CD uuu r 不是共线向量 ∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误； ∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，() 3CD a b =-u u u r r r ， ∴() 52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ∴不存在实数λ，使AC CD λ=u u u r u u u r ，即AC u u u r 、CD uuu r 不是共线向量 ∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误； 故选A. 【点睛】 此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键. 2．在四边形ABCD 中，， ， ，其中与不共线， 则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．梯形 D ．菱形 【答案】C 【解析】 【分析】
向量的线性运算专项训练及答案一、选择题 1．点C在线段AB上，且 3 5 AC AB = u u u r u u u r ，若AC mBC = u u u r u u u r ，则m的值等于（）． A ． 2 3 B ． 3 2 C． 2 3 -D． 3 2 - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件即可得： 2 5 AC AB CB AB= =- u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得出： 5 2 AB BC =- u u u r u u u r ，再代入3 5 AC AB = u u u r u u u r 中，即可求出m的值. 【详解】 解：∵点C在线段AB上，且 3 5 AC AB = u u u r u u u r ∴ 2 5 AC AB CB AB= =- u u u r u u u r u u u r u u u r ∴ 55 22 CB AB BC ==- u u u r u u u r u u u r ∴ 5 53 22 33 5 BC B C A C A B⎛⎫ =- ⎝ ==- ⎪ ⎭ u u u r u u u r u u u r u u u r 故选D. 【点睛】 此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键. 2．□ABCD中， -+等于( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量， ∴ = -