（专题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编及解析
一、选择题
1．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．
①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反；
②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量； ③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
是平行向量，故②正确；
③因为0mn >，0a ≠r
r
，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r
的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r
r
，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r
的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
2．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】
根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，
错误，
D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；
故选D. 【点睛】
此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.
3．□ABCD 中， -+等于( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】
∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量，
∴ = -
∴
-+
=
-
+
=
，
故选A ． 【点睛】
此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出
与
是一对相反向量.
4．四边形ABCD 中，若向量与
是平行向量，则四边形ABCD ( )
A ．是平行四边形
B ．是梯形
C ．是平行四边形或梯形
D ．不是平行四边形，也不是梯形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题目中给的已知条件与
是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定
与
的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.
【详解】
根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与
的大小，所以有一组对边平行的四边
形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】
此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.
5．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu
r +AC u u u r ） 的长度为（ ）
A ．2
B ．4
C 31
D 31
【答案】B 【解析】
【分析】
先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
，利用勾股定理即可计算出向量
（AB u u u r +BC uuu
r +AC u u u r ）的长度为 【详解】 22||3,||1||(3)122|
||2|224
AB BC AC AC AB BC
AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u r
u u u r u u u r u u u r
Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：B. 【点睛】
考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.
6．已知233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r ，那么4m n -r r
等于（ ）
A ．823a b -r r
B ．443a b r r -
C ．423
a b -r r
D ．843
a b -r r
【答案】A 【解析】
根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
解：∵233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r
，
∴4m n -r r =2112834()32232433
a b b a a b b a a b --+=---=-r
r r r r r r r r r ．
故选A ．
7．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r
用向量a b
⋅r r 表示为（ ）
A ．12
a b +r
r
B ．2133a b +r r
C ．2233a b +r r
D ．1124
a b +r r
【答案】B 【解析】 【分析】
利用三角形的重心性质得到： 2
3
AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】
∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r
， ∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r ．
∴1b 2
AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r
又∵点O 是△ABC 的重心，
∴2
3AO AD =
， ∴221AO AD a b 333
==+u u u r u u u r r r ．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出2
3
AO AD =是解题的关键．
8．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()
a a
b b --= B ．0a 0=
C ．如果1
a b 2
=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】
解：A 、()
a a
b b --=r
r r r ，正确；
B 、0a 0⋅=r r ，正确；
C 、如果1
a b 2
=
，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r
，正确；
故选C．
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为、、，则向量等于（）
A．++B．-+C．+-D．--
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．
【详解】
如图，
，则
-+
故选B．
【点睛】
此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.
10．下列说法正确的是（）．
A．一个向量与零相乘，乘积为零
B．向量不能与无理数相乘
C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的定义和性质进行判断．
【详解】
解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误；
B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；
C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；
D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．
11．已知e →
为单位向量，a r
=-3e →
，那么下列结论中错误．．
的是（ ） A ．a r ∥e →
B ．3a =r
C ．a r
与e →
方向相同
D ．a r
与e →
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的方向直接判断即可. 【详解】
解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r
方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】
本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.
12．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．
①对于实数m 和向量a r
、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r
②对于实数m 、n 和向量a r
，恒有()m n a ma na -=-r r r
③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】
①对于实数m 和向量a r
、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r ，正确；
②对于实数m 、n 和向量a r
，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；
③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立；
④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；
故选C. 【点睛】
本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．
13．如果向量a r 与单位向量e r 的方向相反，且长度为3，那么用向量e r 表示向量a r
为（ ）
A ．3a e =v v
B ．3a e =-v v
C ．3e a =v v
D ．3e a =-v v
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义解答即可． 【详解】
解：∵向量e r 为单位向量，向量a r 与向量e r
方向相反， ∴3a e r r =-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）
A ．||＝2||
B ．是与方向相同的单位向量
C ．2-＝
D ．∥
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．
故选D ． 【点睛】
考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．
15．若2a b c +=r
r ，3a b c -=r r
，而且c r ≠0，a r 与r
b 是（ ） A ．a r
与r
b 是相等向量
B ．a r 与r
b 是平行向量
C ．a r 与r
b 方向相同，长度不等 D ．a r 与r
b 方向相反，长度相等
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2
c =-r r
，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．
【详解】
解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2
c =-r r ，
所以a r 与b r 方向相反，且|a r
|＝5|b r |．
观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵AD b =u u u r r ，
∴BC b =u u u r r
， ∵AB a =u u u r r ，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ．
故选B ．
17．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）
A ．A
B BA =-u u u r u u u r
B ．AB BA =uu u r uu r
C ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
D ．AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】
A 选项，A
B BA =-u u u r u u u r
，成立；
B 选项，AB BA =uu u r uu r
，成立；
C 选项，AB BC AC +=u u r u u r u u u r
，成立；
D 选项，AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
不一定成立；
故答案为D. 【点睛】
此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.
18．已知向量a r
和b r
都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）
A ．a b =r r
B ．2a b +=r r
C ．0a b -=r r
D ．a b =r
r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量a r
和b r
都是单位向量，，可知|a r
|＝|b r
|＝1，由此即可判断． 【详解】
解：A 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r
r
不一定成立，故本选项错误．
B 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=r r 不一定成立，故本选项错
误．
C 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=r
r
不一定成立，故本选项错误．
D 、向量a r
和b r
都是单位向量，则|a r
|＝|b r
|＝1，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键
19．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r
是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A ．a e a v v v =
B ．e b b =v v v
C ．1a e a
=v v v
D ．11a b a b
=v v v v
【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】
A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
20．已知a r
、b r
和c r
都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r
r 的是( )
A ．2a b =r
r
B ．//a c r r
，//b c r r
C ．||||a b =r
r
D ．12
a c =r r ，2
b
c =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】
A 选项：由2a b =r
r
，可以推出//a b r
r
．本选项不符合题意；
B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b
r r ．本选项不符合题意；
C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r
．本选项符合题意；
D 选项：由12
a c =r r ，2
b
c =r r ，可以推出//a b r
r ．本选项不符合题意；
故选：C ． 【点睛】
考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．
向量的线性运算经典测试题附答案 一、选择题 1．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r 等于（ ） A ．1122a b +r r B ．1122a b --r r C ．1122a b -r r D ．1122a b -+r r 【答案】D 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得12 OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，即可求得 OD uuu r 的值． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB=OD= 1 2 BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ， ∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222 a b a b -+=-+r r r r 故选：D ． 【点睛】 此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的． 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案．
解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ， ∴12 a e =- r r ． 故选C ． 3．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32 a b =-v v 故选D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 4．已知a r 、b r 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r B ．||a r ＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r C ．0r 的方向不确定，大小为0 D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r ＝2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】 解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a r ＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0r 的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a r ＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ．
向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果是（ ）． A ．CA u u u r B ．A C u u u r C ．0r D ．A E u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r AC =u u u r ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．已知233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ，那么4m n -r r 等于（ ） A ．823a b -r r B ．443a b r r - C ．423 a b -r r D ．843 a b -r r 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ， ∴4m n -r r =2112834()32232433 a b b a a b b a a b --+=---=-r r r r r r r r r r ． 故选A ． 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B 【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可
向量数乘和线性运算精选题32道 附参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（） A．B．C．D． 2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（） A．﹣3B．3C．2D．﹣2 3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（） A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+ 4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（） A．外心B．内心C．重心D．垂心 5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 ，则λ•μ等于（）
A．B．C．D． 6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4 7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+ 8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（） A．﹣+B．+C．﹣D．+ 9．在△ABC中，，则＝（） A．B．C．D． 10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（） A．B． C．D． 11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（） A．1B．C．D．2 12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）
A．8B．4C．2D．1 二．多选题（共4小题） （多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点 B．若＝，则点M在边BC的延长线上 C．若＝，则点M是△ABC的重心 D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 （多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（） A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上 B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上 C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外 D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内 （多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D． （多选）16．下列四式可以化简为的是（） A．+（）B．（）+（） C．+D． 三．填空题（共12小题） 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．
新初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案(2) 一、选择题 1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r r 等于（ ） A ．BD u u u r B ．A C u u u r C ．DB u u u r D ．CA u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r ，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ， ∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ， ∴a b +r r =AB u u u r +BC uuu r =AC u u u r ． 故选B ． 2．已知向量，若与共线，则( ) A ． B ． C ． D ． 或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么 ，即可完成解答. 【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即 ； 与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】 本题考查了向量的共线，即= 是解答本题的关键. 3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ）
A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ） 的长度为（ ） A ．2 B ．4 C 31 D 31 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ）的长度为 【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224 AB BC AC AC AB BC AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：B. 【点睛】 考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则. 5．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是( )
初中数学向量的线性运算经典测试题附答案解析 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ）． A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量 B ．若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量 D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】 A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确； B. AB 是单位向量时，1AB =，而此时1AB BA ==，即BA 也是单位向量，故选项B 不正确； C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA 、OB 都等于这个单位长度，这时OA 、OB 都是单位向量，故选项C 正确； D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】 本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键. 2．已知向量 ，若与共线，则( ) A ． B ． C ． D ．或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有= ，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使= ,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】 本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键. 3．下列各式中错误的是( )
A ．()0a a +-= B ．|AB BA |0+= C ．()-=+-a b a b D ．()()++=++a b c a b c 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】 解：A. ()0a a +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】 本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键. 4．如果向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为 12 ，那么向量a 用单位向量e 表示为（ ） A ．12 a e = B ．2a e = C ．12a e =- D ．2a e =- 【答案】C 【解析】 由向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12 ，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12 ， ∴12 a e =-． 故选C ． 5．已知233m a b =-，1124 n b a =+，那么4m n -等于（ ） A ．823a b - B ．443a b - C ．423a b - D ．843 a b - 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-，1124 n b a =+， ∴4m n -=2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-．
温州市初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ）． A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量 B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r 不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r 是单 位向量 D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】 A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确； B. AB u u u r 是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B 不正确； C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r 都等于这个单位 长度，这时OA u u u r 、OB uuu r 都是单位向量，故选项C 正确； D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】 本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键. 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编 专题08 平面向量的线性运算 一．选择题（共12小题） 1．（青浦区）如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．B．∥ C．D．与方向相同 【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可． 【解答】解：∵， ∴||＝2||；；＝；与的方向相反， 故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键． 2．（金山区）点G是△ABC的重心，设＝，＝，那么关于和的分解式是（） A．+B．﹣C．+D．﹣ 【分析】根据向量加法的平行四边形法则得出＝（+），再根据重心的性质得出＝，即可求解． 【解答】解：∵＝，＝， ∴＝（+）＝（+）， ∵点G是△ABC的重心， ∴＝＝×（+）＝（+）． 故选：C．
【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（崇明区）如果向量与向量方向相反，且3||＝||，那么向量用向量表示为（）A．B．C．D． 【分析】由向量与向量方向相反，且3||＝||，可得，继而求得答案． 【解答】解：∵向量与向量方向相反，且3||＝||， ∴3＝﹣， ∴． 故选：D． 【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到3＝﹣是解此题的关键．4．（徐汇区）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（） A．＝B．+＝0C．＝D．||＝|| 【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可． 【解答】解：∵点C是线段AB的中点， ∴；；；||＝||， ∴A，B，C错误，D正确， 故选：D． 【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键． 5．（黄浦区）已知，，是非零问量，下列条件中不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝3C．||＝||D．＝，＝﹣2【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用 (建议用时:50分钟） 1．(2013·陕西卷)设a，b为向量，则“｜a·b|＝|a||b｜"是“a∥b” 的( ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析由｜a｜｜b||cos〈a,b〉|＝｜a||b｜， 则有cos〈a，b〉＝±1. 即〈a,b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向,所以〈a，b>＝0或π,所以｜a·b｜＝｜a||b|。 答案C 2．已知向量a与b的夹角为120°，|a｜＝3，｜a＋b｜＝错误!，则|b| 等于( )． A．5 B．4 C．3 D．1 解析向量a与b的夹角为120°，|a｜＝3，|a＋b｜＝错误!， 则a·b＝|a||b｜·cos 120°＝－错误!｜b|， ｜a＋b|2＝｜a|2＋2a·b＋｜b|2. 所以13＝9－3｜b｜＋|b｜2,则|b｜＝－1(舍去)或｜b｜＝4。 答案B
3．（2013·辽宁一模)△ABC中D为BC边的中点，已知错误!＝a，错误! ＝b则在下列向量中与错误!同向的向量是 （)． A。错误!＋错误! B.错误!－错误! C。错误!D．|b|a＋｜a|b 解析∵AD，→＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!(a＋b）， ∴向量错误!与向量错误!是同向向量． 答案C 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0,向量a与b的夹角为60°，且｜a｜＝｜b|＝1,则向量a与c的夹角为 （）． A．30°B．60°C．120°D．150° 解析因为a＋b＋c＝0，所以c＝－（a＋b）．所以｜c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos 60°＝3。所以｜c｜＝错误!. 又c·a＝－（a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos 60°＝－错误!，设 向量c与a的夹角为θ，则cos θ＝ a·c |a|｜c｜＝错误!＝－错误!。又0° ≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案D 5．（2013·安徽卷)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A,B 满足|错误!|＝｜错误!|＝错误!·错误!＝2，则点集{P｜错误!＝λ错误!＋μ错误!，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R｝所表示的区域的面积是 ( )．
（专题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编含答案解析 一、选择题 1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则下列选项 与1122 a b -+r r 相等的向量是（ ）． A ．MA u u u r B ．MB u u u r C ．MC u u u u r D ．MD u u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】 解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴() 11112222 a M AC a b A b =+==----u u u r u u u r r r r r ，故A 不符合题意； () 11112222 MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r r r r ，故B 不符合题意； () 11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r r r ，故C 不符合题意； () 11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r r r r ，故D 符合题意. 故选D. 【点睛】 此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 2．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=， =， =， =，则 （ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正
2023年上海市15区中考数学一模汇编 专题04向量的线性运算（34题） 一．选择题（共12小题） 1．（2022秋•金山区校级期末）已知，下列说法中不正确的是（） A．B．与方向相同 C．D． 2．（2022秋•徐汇区期末）下列命题正确的个数是（） ①设k是一个实数，是向量，那么k与相乘的积是一个向量； ②如果k≠0，，那么的模是|k|||； ③如果k＝0，或，那么； ④如果k＞0，的方向与的方向相反． A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2022秋•徐汇区期末）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（） A．B．C．D． 4．（2022秋•黄浦区校级期末）已知＝2，下列说法中不正确的是（） A．﹣2＝0B．与方向相同 C．∥D．||＝2|| 5．（2022秋•闵行区期末）下列命题中，正确的是（） A．如果为单位向量，那么＝|| B．如果、都是单位向量，那么＝ C．如果＝﹣，那么∥ D．如果||＝||，那么＝ 6．（2022秋•静安区期末）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．C．D． 7．（2022秋•嘉定区校级期末）如图，在△ABC中，点D是在边BC上一点，且BD＝2CD，，，那么等于（） A．B．C．D． 8．（2022秋•杨浦区校级期末）下列说法中不正确的是（） A．如果m、n为实数，那么
B．如果k＝0或，那么 C．如果k≠0，且，那么的方向与的方向相同 D．长度为1的向量叫做单位向量 9．（2022秋•青浦区校级期末）已知非零向量、，且有＝﹣2，下列说法中，不正确的是（）A．||＝2||B．∥ C．与方向相同D．+2＝ 10．（2022秋•黄浦区期末）矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果＝，＝，那么（）A．＝（﹣）B．＝（﹣）C．＝﹣D．＝（+） 11．（2022秋•徐汇区校级期末）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（）A．B．C．D． 12．（2022秋•杨浦区期末）已知为非零向量，＝3，＝﹣2，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝|| C．与方向相同D．与方向相反 二．填空题（共11小题） 13．（2022秋•闵行区期末）化简：（﹣3+）﹣＝． 14．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3（﹣2）﹣2（﹣3）＝． 15．（2022秋•黄浦区期末）计算：3（2﹣）﹣（3+2）＝． 16．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3（+2）﹣2（﹣）＝． 17．（2022秋•徐汇区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝． 18．（2022秋•嘉定区校级期末）如果向量、、满足关系式，那么＝（用向量、表示）． 19．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知在△ABC中，AD＝2，AB＝5，DE∥BC．设，，试用向量、表示向量＝． 20．（2022秋•金山区校级期末）如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设＝2，＝，那么向量用向
线性运算真题解析题及答案 一. 题目分析 本文将围绕线性运算的真题进行解析，以深入讨论线性运算的相 关知识点，并提供详细的解答过程和答案解析。 二. 基础概念回顾 在正式解析题目前，我们先回顾一些线性运算的基础概念。线性 运算是一种对于数值、符号或其他数学对象进行处理的运算方式，具 有可加性和可乘性的特点。常见的线性运算包括加法、减法、乘法和 除法等。 三. 题目解析 1. 题目：已知向量a=[1, 2, 3]，b=[4, 5, 6]，求a与b的点积。 解答：根据点积的定义，点积等于两个向量对应分量相乘再求和。所以，a与b的点积为1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32。 2. 题目：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，B = [5, 6; 7, 8]，求 A与B的矩阵乘法结果。 解答：矩阵乘法的规则是，如果A是一个m×n的矩阵，B是一个 n×p的矩阵，则A与B的乘积C是一个m×p的矩阵，其中C的每个元素等于A的对应行与B的对应列之积的和。根据题目给出的矩阵A和B，将其进行矩阵乘法计算得到C = [19, 22; 43, 50]。
3. 题目：已知向量a=[1, 2, 3]，b=[4, 5, 6]，c=[7, 8, 9]，求a、b和c的混合积。 解答：混合积是三个向量的标量积，它的计算公式为： a·(b×c)，其中×表示向量的叉乘。根据题目给出的向量a、b和c，首先计算b与c的叉积：b×c = [2×9-3×8, 3×7-1×9, 1×8-2×7] = [-6, 12, -6]。然后，将向量a与叉积结果[-6, 12, -6]进行点积 计算：a·[-6, 12, -6] = 1×(-6) + 2×12 + 3×(-6) = -6 + 24 - 18 = 0。 四. 答案解析 1. 答案：32。根据点积的定义，将a和b的对应分量相乘再求 和得到答案32。 2. 答案：C = [19, 22; 43, 50]。根据矩阵乘法的规则，将A 和B进行矩阵乘法得到矩阵C。 3. 答案：0。根据混合积的计算公式，首先计算b与c的叉积， 然后将其与向量a进行点积计算得到答案0。 五. 总结 通过对线性运算真题的解析，我们回顾了线性运算的基础概念， 并通过具体的题目进行了详细的解答过程和答案解析。线性运算在数 学中起到了重要的作用，尤其在向量和矩阵的处理中更加突出。掌握 线性运算的知识，将有助于解决各种复杂的数学问题和实际应用中的 计算需求。希望本文对读者们的学习和掌握线性运算有所帮助。
平面向量的线性运算 学习过程 知识点一：向量的加法 (1) 定艾已知非零向量心,在平面内任取一点人，作AB =a BC =b ,则向量AC —— 叫做"与"的和，记作ct + h 即 a + b = AB 4-BC = AC 求两个向量和的运算.叫做叫向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三 角形法则. 说明：①运用向莹加法的三角形法則时，要特别注意“首尾相接即第二个向量要以 第一个向量的终点为是点，则由第一个向量的起点指向第二个向董终点 的向量即为和向 量. ② 两个向量的和仍然是一个向董.其大小、方向可以由三角形法则确定. ③ 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. (2) 向量加法的平行四边形法则 ■■ I ■ —♦ 以点0为起点作向^OA=a , OB=h 9以O A , OB 为 邻边作Z7Q4CB,则以o 为是点的对角线所在向量°C 就 是""的和，记 作a + b =OC o 说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向董求和，而平行四边形法則适合于同起点 的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法則较为合适. ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. ③对于零向量与任一向量^ + 0 = 0 + ^ = « (3) 特殊位置关系的两向董的和 f —f —f —♦ f ① 当向量"与方不共线时，d+b 的方向不同向，且\a ^h \<\a | + P |： ③ 当"与〃反向时.若\a |>P I,则a 』的方向与"相同.且 H |
2020-2021初中数学向量的线性运算基础测试题含答案解析(2) 一、选择题 1．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ） A ．A B CD =u u u r u u u r B ．A C B D =uuu r uu u r C ．AO O D =u u u r u u u r D ．BO OD =-u u u r u u u r 【答案】C 【解析】 【分析】 根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. AB CD =-u u u r u u u r ，故该选项错误； B. AC BD =u u u r u u u r ，但方向不同，故该选项错误； C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r ，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r ，故该选项错误； 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键． 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与 的大小，所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】 此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征. 3．在四边形ABCD 中， ， ， ，其中与不共线，
新初中数学向量的线性运算知识点总复习附答案解析(2) 一、选择题 1．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r 的是（ ） A ．a r //c r ，b r //c r B ．2a c =r r ，3b c =r r C ．5a b =-r r D ．||2||a b =r r 【答案】D 【解析】 分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ． ∵a r ∥c b r r ，∥c r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意； B ． ∵a r =2c b r r ，=3c r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意； C ． ∵a r =﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意； D ． ∵|a r |=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意． 故选D ． 点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键． 2．若0a r 、0b r 都是单位向量，则有（ ）． A ．00a b =r r B ．00a b =-r r C ．00a b =r r D ．00a b =±r r 【答案】C 【解析】 【分析】 由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r ．注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r 故选C. 【点睛】 本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义． 3．若向量a r 与b r 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）． A ．a b =r r B ．1a =r C ．1b =r D ．a b =r r 【答案】D
（专题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编附答案解析 一、选择题 1．下列各式正确的是（ ）． A ．() 22a b c a b c ++=++r r r r r r B ．()() 330a b b a ++-=r r r r C ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u r D ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++r r r r r r ，故A 选项错误； B 、()( ) 3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r r r r r r ，故B 选项错误； C 、0AB BA +=uu u r uu r r ，故C 选项错误； D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确； 故选D. 【点睛】 本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键. 2．若AB u u u r 是非零向量，则下列等式正确的是（ ） A ．A B BA =u u u r u u u r ； B ．AB BA u u u v u u u v =； C ．0AB BA +=u u u r u u u r ； D ．0AB BA +=u u u r u u u r . 【答案】B 【解析】 【分析】 长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r 是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】 此题考查平面向量，难度不大 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B
初中数学向量的线性运算基础测试题含答案(1) 一、选择题 1．下列各式正确的是（ ）． A ．() 22a b c a b c ++=++r r r r r r B ．()() 330a b b a ++-=r r r r C ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u r D ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++r r r r r r ，故A 选项错误； B 、()( ) 3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r r r r r r ，故B 选项错误； C 、0AB BA +=uu u r uu r r ，故C 选项错误； D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确； 故选D. 【点睛】 本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键. 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与 的大小，所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】 此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征. 3．在四边形ABCD 中，， ， ，其中与不共线， 则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．梯形 D ．菱形
（专题精选）初中数学向量的线性运算分类汇编附解析 一、选择题 1．下列说法正确的是（ ） A ．()0a a +-=r r B ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r r C ．如果||||a b =r r ，那么a b =r r D ．12 a b =-r r （b r 为非零向量），那么 //a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】 解：A 、()a a +-r r 等于0向量，而不是0，故A 选项错误； B 、如果a r 和b r 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误； C 、如果||||a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误； D 、如果12 a b =-r r （b r 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量. 2．□ABCD 中， -+等于( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+ = - + = ， 故选A ．
此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出 与 是一对相反向量. 3．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设， ，则向量 关于 、的分解式表示正确的为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答. 【详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ 故本题答案选B. 【点睛】 本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用． 4．下列判断不正确的是（ ） A ．如果A B CD =u u u r u u u r ，那么AB CD =u u u r u u u r B ．+＝+ C ．如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r 平行或共线 D ．AB BA 0+=u u u r u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r 可判断D 错误
（专题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编附答案 一、选择题 1．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a v v B ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c r r ，那么a r ∥b r C ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1 D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】 A 、0•=0a v v ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v =2c v ，a v -b v =3c v 得到：a v ＝52 c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ， 故本选项不符合题意． C 、e v 为单位向量，那么|e v |=1，故本选项不符合题意． D 、由|a v |=2|b v |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】 考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大． 2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜ 【答案】A 【解析】 【分析】 对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足； 当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】 解：若两向量共线，则由于是非零向量，且 ，则必有 ；代入可知 只有A 、C 满足； 若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令， ，则 ， ∴ 且 ；
（专题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编及答案解析 一、选择题 1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r r 等于（ ） A ．BD u u u r B ．A C u u u r C ．DB u u u r D ．CA u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r ，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ， ∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ， ∴a b +r r =AB u u u r +BC uuu r =AC u u u r ． 故选B ． 2．下列判断不正确的是（ ） A ．如果A B CD =u u u r u u u r ，那么AB CD =u u u r u u u r B ．+＝+ C ．如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r 平行或共线 D ．AB BA 0+=u u u r u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r 可判断D 错误 【详解】 A 、如果A B CD =u u u r u u u r ，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确； B 、a b b a +=+r r r r ，故本选项正确；