向量数乘和线性运算精选题32道
附参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）
A．﹣3B．3C．2D．﹣2
3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）
A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+
4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若
，则λ•μ等于（）
A．B．C．D．
6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4
7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+
8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）
A．﹣+B．+C．﹣D．+
9．在△ABC中，，则＝（）
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）
A．B．
C．D．
11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）
A．1B．C．D．2
12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）
A．8B．4C．2D．1
二．多选题（共4小题）
（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点
B．若＝，则点M在边BC的延长线上
C．若＝，则点M是△ABC的重心
D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）
A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外
D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内
（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．
（多选）16．下列四式可以化简为的是（）
A．+（）B．（）+（）
C．+D．
三．填空题（共12小题）
17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．
18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝
19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．
21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝．
22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．
23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝．
24．已知，，，则＝．
25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．
26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．
27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．
28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，
则λ的值为．
四．解答题（共4小题）
29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．
（1）用，分别表示向量，；
（2）若＝t，求实数t的值．
30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；
（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．
31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；
（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；
若不存在，请说明理由．
32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．
（1）若点O满足，求证：；
（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．
向量数乘和线性运算精选题32道
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）
A．﹣3B．3C．2D．﹣2
【解答】解：∵＝+，
＝
＝（﹣）
＝﹣
＝×﹣
＝﹣，
∴＝+（﹣）
＝+；
又＝λ+μ，
∴λ＝，μ＝；
∴＝×＝3．
故选：B．
3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）
A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+
【解答】解：＝，＝，＝，
则＝+
＝+
＝+（﹣）
＝﹣
＝﹣．
故选：C．
4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量
∴+的方向与∠BAC的角平分线一致
又∵，∴＝λ（+）
∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致
∴一定通过△ABC的内心
故选：B．
5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若
，则λ•μ等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意及图，可知：
＝+＝+＝+（+）＝﹣，
∴λ＝，μ＝﹣，
∴λ•μ＝﹣．
故选：A．
6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【解答】解：如图所示，
点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，
延长OB到D点，以OA，OD为邻边作平行四边形AODF，连接CF分别交AB，AD于E，G点．
则点E是△OAD的重心．
∵＝，不妨设CE＝7，则OC＝3，OE＝4，EG＝2，OF＝12．
∴m＝＝﹣4，解得m＝﹣4．
故选：D．
7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+
【解答】解：如图所示，
平行四边形ABCD中，＝，＝，
则＝＝﹣＝﹣，
又E是DC的中点，
则＝+＝（﹣）+＝﹣＝﹣+．
故选：C．
8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+【解答】解：因为D为△ABC所在平面内一点，3＝，
所以．
故选：A．
9．在△ABC中，，则＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵；
∴；
∴．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）
A．B．
C．D．
【解答】解：设＝k＝k（﹣）＝k（﹣），
∵＝+＝k（﹣）+﹣＝（k﹣1）+（1﹣k），＝﹣＝﹣．
∵∥，∴＝λ，则（k﹣1）+（1﹣k）＝λ（﹣）．
∴，∴k＝，＝﹣，∴＝+＝+．
故选：B．
11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）
A．1B．C．D．2
【解答】解：以B为坐标原点，BC方向为X轴正方向建立直角坐标系，
∴A（0，6）C（8，0），
∴外接圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，
即，
∴设M（4+5cosθ，3+5sinθ），
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）
A．8B．4C．2D．1
【解答】解：由＝16，得||＝4，
∵＝||＝4，
而
∴＝2
故选：C．
二．多选题（共4小题）
（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点
B．若＝，则点M在边BC的延长线上
C．若＝，则点M是△ABC的重心
D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
【解答】解：若＝，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝，即有﹣＝﹣，即＝，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若＝，即++＝，则点M是△ABC的重心，故C正确；
若＝，且x+y＝，可得2＝2x+2y，设＝2，
由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
故选：ACD．
（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）
A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外
D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内
【解答】解：因为
若λ+μ＝1且λ＞0，故即又λ＞0则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；
若λ+μ＝1且λ＜0，同上可得而λ＜0则点P在线段BC的延长线上，B正确；
若λ+μ＞1，，同上可得
，当λ+μ＞1时，λ+μ﹣1＞0根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；
若λ+μ＜1，不防令λ＝0，μ＝﹣1则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误．
故选：BC．
（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．
【解答】解：由条件可得：，
所以，A正确；
，与不垂直，B错误；
，C错误；
，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以，D项正确．故选：AD．
（多选）16．下列四式可以化简为的是（）
A．+（）B．（）+（）
C．+D．
【解答】解：＝＝，A正确；
+＝＝，B正确；
＝，C正确；
＝，D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共12小题）
17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，
则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．
【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，
∵∠B＝60°，AB＝3，
∴A（，），
∵BC＝6，
∴C（6，0），
∵＝λ，
∴AD∥BC，
设D（x0，），
∴＝（x0﹣，0），＝（﹣，﹣），
∴•＝﹣（x0﹣）+0＝﹣，解得x0＝，
∴D（，），
∴＝（1，0），＝（6，0），
∴＝，
∴λ＝，
∵||＝1，
设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，
∴＝（x﹣，﹣），＝（x﹣，﹣），
∴•＝（x﹣）（x﹣）+＝x2﹣4x+＝（x﹣2）2+，当x＝2时取得最小值，最小值为，
故答案为：，．
18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝
【解答】解：如图，根据题意不妨设△ABC的边，AB＝4，AC＝2，BC＝＝2，建立如图坐标系，则BC的方程为x+2y﹣4＝0，
则3a﹣4＜0，
设O点坐标为（a，a），点O在三角形内，
则O到BC的距离d＝＝，
则根据S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，得（•4a）：（2×）：（×2a），解得a＝，
∴＝（，），＝（4，0），＝（0，2），
由，得，解得，，
所以：λ+μ＝，
故填：
19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是6．【解答】解：如图，设，，
由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，
分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的k的最大值为6．
故答案为：6．
20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．
【解答】解：如图，
∵AD＝DB，BE＝2EC；
∴，＝，且；
∴＝；
又；
∴根据平面向量基本定理得，；
∴．
故答案为：．
21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝12．【解答】解：根据题意，如图，在AB上取一点E，使＝，
则有＝+＝+＝+（﹣）＝+，
又由，则有＝，
四边形AECD为平行四边形，则有＝＝，
又由AB＝6，
则＝6×2＝12；
故答案为：12．
22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．
【解答】解：由得：||＝||＝||，则点O是△ABC的外心，
则，
由＝10×＝30
所以，
所以，
所以m+3n＝，
故答案为：
23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝0．
【解答】解：∵，
∴x+y＝2（﹣），
∴（x+2）+（y﹣2）＝，
∴x＝﹣2，y＝2，x+y＝0，
故答案为：0．
24．已知，，，则＝2．【解答】解：因为，，，
所以＝7，
所以＝1，
则2＝＝4﹣4×1+4＝4，
则＝2．
故答案为：2．
25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．
【解答】解：G为△ABC的重心，所以＝+，
设＝μ，故＝+，
因为P，G，Q三点共线，故+＝1①，
所以+＝3，
＝＝＝②，
由①②得或，
故答案为：或．
26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．
【解答】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，
向量的线性运算真题汇编附答案解析 一、选择题 1．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量； ③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】 解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r r ，所以ma r 与a r 的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r r ，所以ma r 与a r 是平行向量，故②正确； ③因为0mn >，0a ≠r r ，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r 的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r r ，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r 的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】 此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键. 2．□ABCD 中， -+等于( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+ = - + = ， 故选A ． 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出 与 是一对相反向量.
向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果是（ ）． A ．CA u u u r B ．A C u u u r C ．0r D ．A E u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r AC =u u u r ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．已知233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ，那么4m n -r r 等于（ ） A ．823a b -r r B ．443a b r r - C ．423 a b -r r D ．843 a b -r r 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ， ∴4m n -r r =2112834()32232433 a b b a a b b a a b --+=---=-r r r r r r r r r r ． 故选A ． 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B 【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可
向量数乘和线性运算精选题32道 附参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（） A．B．C．D． 2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（） A．﹣3B．3C．2D．﹣2 3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（） A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+ 4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（） A．外心B．内心C．重心D．垂心 5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 ，则λ•μ等于（）
A．B．C．D． 6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4 7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+ 8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（） A．﹣+B．+C．﹣D．+ 9．在△ABC中，，则＝（） A．B．C．D． 10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（） A．B． C．D． 11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（） A．1B．C．D．2 12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）
A．8B．4C．2D．1 二．多选题（共4小题） （多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点 B．若＝，则点M在边BC的延长线上 C．若＝，则点M是△ABC的重心 D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 （多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（） A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上 B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上 C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外 D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内 （多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D． （多选）16．下列四式可以化简为的是（） A．+（）B．（）+（） C．+D． 三．填空题（共12小题） 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．
新初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案(2) 一、选择题 1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r r 等于（ ） A ．BD u u u r B ．A C u u u r C ．DB u u u r D ．CA u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r ，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ， ∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ， ∴a b +r r =AB u u u r +BC uuu r =AC u u u r ． 故选B ． 2．已知向量，若与共线，则( ) A ． B ． C ． D ． 或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么 ，即可完成解答. 【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即 ； 与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】 本题考查了向量的共线，即= 是解答本题的关键. 3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ）
A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ） 的长度为（ ） A ．2 B ．4 C 31 D 31 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ）的长度为 【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224 AB BC AC AC AB BC AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：B. 【点睛】 考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则. 5．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是( )
专题1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理（文科） 【三年高考】 1.【2016高考新课标2文数】已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6- 【解析】因为a ∥b ，所以2430m --?=，解得6m =-． 2．【2016高考天津文数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ?的值为（ ） （A ）8 5 - （B ） 8 1 （C ） 4 1 （D ） 811 【答案】B 【解析】设BA a = ，BC b = ，∴11()22DE AC b a ==- ，33()24 DF DE b a ==- ， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+ ，∴253531 44848 AF BC a b b ?=-?+=-+= ，故选B. 3．【2016高考山东文数】已知向量1,-()()16,-4a b == ，． 若() a ta b ⊥+ ，则实数t 的值为________． 【答案】5- 【解析】()() ()()6,4,6,41,12100ta b t t ta b a t t t +=+--+?=+--?-=+= ，解得5t =- 4．【2015高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =-- ，则向量BC = ( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 【答案】A 【解析】∵AB OB OA =- =（3,1），∴BC = AC AB - =(-7,-4)，故选A. 5.【2015高考北京，文6】设a ，b 是非零向量，“a b a b ?= ”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】||||cos ,a b a b a b ?=?<> ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b .而当//a b 时， ,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ?=- ，故“a b a b ?= ”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选 A.
初中数学向量的线性运算基础测试题含答案(1) 一、选择题 1．下列各式正确的是（ ）． A ．() 22a b c a b c ++=++r r r r r r B ．()() 330a b b a ++-=r r r r C ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u r D ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++r r r r r r ，故A 选项错误； B 、()( ) 3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r r r r r r ，故B 选项错误； C 、0AB BA +=uu u r uu r r ，故C 选项错误； D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确； 故选D. 【点睛】 本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键. 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与 的大小，所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】 此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征. 3．在四边形ABCD 中，， ， ，其中与不共线， 则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．梯形 D ．菱形
向量的线性运算全集汇编附答案 一、选择题 1．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r 表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r D ．12a b --r r 【答案】A 【解析】 试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点， ＝12 a b +r r ．故选A ． 考点：平面向量，等腰三角形的三线合一． 2．□ABCD 中， -+等于( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+ = - + = ， 故选A ． 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出 与 是一对相反向量. 3．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=， =， =， =，则 （ ）
A．+++=B．-+-= C．+--=D．--+= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】 根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D错误； ； 而； ∴B正确. 故选B. 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则. 4．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】 解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，， 则， ∴，故选A. 【点睛】 本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键. 5．已知向量，若与共线，则( ) A．B．C．D．或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.
线性运算真题解析题及答案 一. 题目分析 本文将围绕线性运算的真题进行解析，以深入讨论线性运算的相 关知识点，并提供详细的解答过程和答案解析。 二. 基础概念回顾 在正式解析题目前，我们先回顾一些线性运算的基础概念。线性 运算是一种对于数值、符号或其他数学对象进行处理的运算方式，具 有可加性和可乘性的特点。常见的线性运算包括加法、减法、乘法和 除法等。 三. 题目解析 1. 题目：已知向量a=[1, 2, 3]，b=[4, 5, 6]，求a与b的点积。 解答：根据点积的定义，点积等于两个向量对应分量相乘再求和。所以，a与b的点积为1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32。 2. 题目：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，B = [5, 6; 7, 8]，求 A与B的矩阵乘法结果。 解答：矩阵乘法的规则是，如果A是一个m×n的矩阵，B是一个 n×p的矩阵，则A与B的乘积C是一个m×p的矩阵，其中C的每个元素等于A的对应行与B的对应列之积的和。根据题目给出的矩阵A和B，将其进行矩阵乘法计算得到C = [19, 22; 43, 50]。
3. 题目：已知向量a=[1, 2, 3]，b=[4, 5, 6]，c=[7, 8, 9]，求a、b和c的混合积。 解答：混合积是三个向量的标量积，它的计算公式为： a·(b×c)，其中×表示向量的叉乘。根据题目给出的向量a、b和c，首先计算b与c的叉积：b×c = [2×9-3×8, 3×7-1×9, 1×8-2×7] = [-6, 12, -6]。然后，将向量a与叉积结果[-6, 12, -6]进行点积 计算：a·[-6, 12, -6] = 1×(-6) + 2×12 + 3×(-6) = -6 + 24 - 18 = 0。 四. 答案解析 1. 答案：32。根据点积的定义，将a和b的对应分量相乘再求 和得到答案32。 2. 答案：C = [19, 22; 43, 50]。根据矩阵乘法的规则，将A 和B进行矩阵乘法得到矩阵C。 3. 答案：0。根据混合积的计算公式，首先计算b与c的叉积， 然后将其与向量a进行点积计算得到答案0。 五. 总结 通过对线性运算真题的解析，我们回顾了线性运算的基础概念， 并通过具体的题目进行了详细的解答过程和答案解析。线性运算在数 学中起到了重要的作用，尤其在向量和矩阵的处理中更加突出。掌握 线性运算的知识，将有助于解决各种复杂的数学问题和实际应用中的 计算需求。希望本文对读者们的学习和掌握线性运算有所帮助。
第 38 题 平面向量的线性运算及平面向量的共线问题 如图，已知四边形 ABCD 是等腰梯形， E , EM = MN = NF ，下底是上底的 2 倍，若 F AB 1
3 若PA =mPB + ( -m)PC （m 为常数），则CD 的长度是▲． 2 18 【命题意图】本题考查了平面向量知识的
如题图，已知点 D 为 ∆ABC 的边 BC 上一点，BD = 3DC ，E n (n ∈ N + ) 为边 AC 上 的 列 点 ， 满 足 E A = 1 a E B - (3a + 2)E D ， 其 中 实 数 列 {a } 中 n 4 n +1 n n n n a n > 0, a 1 = 1 ，则{a n } 的通项公式为（ ） A ． 3 ⋅ 2n -1 - 2 B ． 2n -1 C ． 3n - 2 D ． 2 ⋅ 3n -1 - 1 【答案】D 1 4 【解析】因为 BD = 3DC ，所以 E n C = - 3 E n B + 3 E n D ．设 mE n C = E n A ，则 1 1 1 4 由 E n A = 4 a n +1 E n B － (3a n + 2)E n D ，得 - 3 m = 4 a n +1 ， 3 m = -(3a n + 2) ，所 1 1 以 a = (3a + 2) ， 所以 a +1 = 3(a +1) ． 因为 a +1 = 2 ， 所以数列 4 n +1 4 n n +1 n 1 {a +1} 是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列， 所以 a + 1 = 2 ⋅ 3n -1 ， 所以 n n
温州市初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ）． A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量 B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r 不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r 是单 位向量 D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】 A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确； B. AB u u u r 是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B 不正确； C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r 都等于这个单位 长度，这时OA u u u r 、OB uuu r 都是单位向量，故选项C 正确； D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】 本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键. 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但
向量的线性运算基础测试题附答案 一、选择题 1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则下列选项 与1122 a b -+r r 相等的向量是（ ）． A ．MA u u u r B ．MB u u u r C ．MC u u u u r D ．MD u u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】 解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴() 11112222 a M AC a b A b =+==----u u u r u u u r r r r r ，故A 不符合题意； () 11112222 MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r r r r ，故B 不符合题意； () 11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r r r ，故C 不符合题意； () 11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r r r r ，故D 符合题意. 故选D. 【点睛】 此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 2．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案．
2023年上海市15区中考数学一模汇编 专题04向量的线性运算（34题） 一．选择题（共12小题） 1．（2022秋•金山区校级期末）已知，下列说法中不正确的是（） A．B．与方向相同 C．D． 2．（2022秋•徐汇区期末）下列命题正确的个数是（） ①设k是一个实数，是向量，那么k与相乘的积是一个向量； ②如果k≠0，，那么的模是|k|||； ③如果k＝0，或，那么； ④如果k＞0，的方向与的方向相反． A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2022秋•徐汇区期末）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（） A．B．C．D． 4．（2022秋•黄浦区校级期末）已知＝2，下列说法中不正确的是（） A．﹣2＝0B．与方向相同 C．∥D．||＝2|| 5．（2022秋•闵行区期末）下列命题中，正确的是（） A．如果为单位向量，那么＝|| B．如果、都是单位向量，那么＝ C．如果＝﹣，那么∥ D．如果||＝||，那么＝ 6．（2022秋•静安区期末）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．C．D． 7．（2022秋•嘉定区校级期末）如图，在△ABC中，点D是在边BC上一点，且BD＝2CD，，，那么等于（） A．B．C．D． 8．（2022秋•杨浦区校级期末）下列说法中不正确的是（） A．如果m、n为实数，那么
B．如果k＝0或，那么 C．如果k≠0，且，那么的方向与的方向相同 D．长度为1的向量叫做单位向量 9．（2022秋•青浦区校级期末）已知非零向量、，且有＝﹣2，下列说法中，不正确的是（）A．||＝2||B．∥ C．与方向相同D．+2＝ 10．（2022秋•黄浦区期末）矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果＝，＝，那么（）A．＝（﹣）B．＝（﹣）C．＝﹣D．＝（+） 11．（2022秋•徐汇区校级期末）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（）A．B．C．D． 12．（2022秋•杨浦区期末）已知为非零向量，＝3，＝﹣2，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝|| C．与方向相同D．与方向相反 二．填空题（共11小题） 13．（2022秋•闵行区期末）化简：（﹣3+）﹣＝． 14．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3（﹣2）﹣2（﹣3）＝． 15．（2022秋•黄浦区期末）计算：3（2﹣）﹣（3+2）＝． 16．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3（+2）﹣2（﹣）＝． 17．（2022秋•徐汇区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝． 18．（2022秋•嘉定区校级期末）如果向量、、满足关系式，那么＝（用向量、表示）． 19．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知在△ABC中，AD＝2，AB＝5，DE∥BC．设，，试用向量、表示向量＝． 20．（2022秋•金山区校级期末）如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设＝2，＝，那么向量用向
考点专练26：平面向量的概念与线性运算 一、选择题 1.(2022·山东省师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则“a ＝2b ”是“a |a|＝b |b|”成立的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝( ) A.0 B.BE → C.AD → D.CF → 3.已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD → ＝－3a ＋3b ，则( ) A .A ， B ， C 三点共线 B .A ，B ， D 三点共线 C .A ，C ，D 三点共线 D .B ，C ，D 三点共线 4.向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( ) A.－4e 1－2e 2 B.－2e 1－4e 2 C .e 1－3e 2 D.3e 1－e 2 5.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－12AB →＋32AC →．若BC →＝λCD → (λ∈R )，则λ＝( ) A .－2 B.－3 C.2 D.3 6.如图，AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD → ＝( ) A.a －12b B.12a －b C .a ＋12b D.1 2a ＋b 7.(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上．若AE →＝AD →＋μAB → ，则μ的取值范围是( ) A .[0,1] B.[0，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ 12，2
向量的加减和数乘 一、单选题（共19题；共38分） 1.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且，则（） A. B. C. D. 2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则 （） A. B. C. D. 3.在三棱柱中，若，，，则 A. B. C. D. 4.空间四边形中，, , ,点在上，且，为 中点，则=（） A. B. C. D. 5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，M是AC与BD的交点，若 ，，，则下列向量中与相等的向量是（）
A. B. C. D. 6.在直三棱柱中，若，，，则（） A. B. C. D. 7.如图，在正方体中，若，则x+y+z的值为（） A. 3 B. 1 C. -1 D. -3 8.已知空间四边形OABC，，N分别是OA，BC的中点，且，，=c，用a，b，c 表示向量为（） A. B. C. D. 9.如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与 相等的是（） A. B. C. D.
10.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（） A. ﹣+ + B. ﹣+ C. + ﹣ D. + ﹣ 11.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若= ，= ，= ，则=（） A. + ﹣ B. ﹣+ C. ﹣+ + D. ﹣+ ﹣ 12..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于（） A. B. C. D. 13.已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段 上，且使，用向量表示向量是（） A. B. C. D. 14.在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{ ，，}可表示为（）
第1讲 平面对量的概念及其线性运算 一、选择题 1. 已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是（ ） A.a ∥b B. a ⊥b C.{0,1,3} D.a +b =a -b 答案 B 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b . ∴a ∥b ； 若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不愿定成立． 答案 A 3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么 ( )． A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD → . 答案 A 4．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2 → (μ∈R )，且1λ＋1 μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、 D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不行能同时在线段AB 的延长线上 解析 若A 成立，则λ＝12，而1 μ＝0，不行能；同理B 也不行能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1 μ＞2，与已知冲突；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1 μ＜2，与已知冲突，故C ，D 不行能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D 5．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝1 3⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 确定为三角形ABC 的 ( )． A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心) C ．重心 D ．AB 边的中点 解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B 6．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD → ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的外形是( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对 解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形．
…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义 班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题） 1．设实数 与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向
是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ． 3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同 点 ； 不同 点 ． 二、理解与应用 1．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ） A ．a a λλ= B ．a a λλ= C ．a a λλ= D ．0a λ> 2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =， BA b =，则 EF = （ ） A ．1 ()2 a b + B ．1()2a b -+ C ．1()2a b -- D ．1()2 b a - 3 ． 若 a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、
C ），则AP = （ ） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈ B ．().AB B C λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． ().AB BC λλ-∈ 5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n = 其中正确命题为_____________________． 6．计算： （1）3(53)2(6)--+a b a b =__________； （2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则 x =__________． 8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．
1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．e ＝a |a | B ．a ＝|a |e C ．a ＝－|a |e D ．a ＝±|a |e 答案 D 解析 对于A ，当a ＝0时，a |a |没有意义，错误； 对于B ，C ，D 当a ＝0时，选项B ，C ，D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，选D. 3．(2014·课标全国Ⅰ，文)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB → ＋FC → ＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC → D.12BC → 答案 A 解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD → ，故选A. 4.如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ → ＝( ) A.OH → B.OG → C.EO → D.FO → 答案 D 解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO → ，故选D.
5．(2019·山东师大附中月考)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，对角线AC ，DB 相交于点O.若AD →＝a ，AB →＝b ，则OC → ＝( ) A ．－a 3－b 3 B.a 3＋b 6 C.2a 3＋b 3 D.2a 3－b 3 答案 B 解析 ∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴△DOC ∽△BOA 且AO ＝2OC ，则AO →＝2OC →＝23AC →，OC → ＝13AC →，而AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，∴OC →＝13AC →＝1 3(a ＋12b )＝13a ＋16 b . 6．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD → ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对 答案 C 解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC → . ∴AD →∥BC →.又AB →与CD → 不平行，∴四边形ABCD 是梯形． 7．(2019·江西赣吉抚七校监测)在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近点B)，那么EF → ＝( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD → C.13AB →＋12AD → D.12AB →－23AD → 答案 D 解析 在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC → .因为点F 为BC 的一个三等分点(靠近点B)，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →－23 AD → .故
向量的线性运算解析 一、选择题 1.下列结论正确的是（）. A.2004cm长的有向线段不可以表示单位向量 B.若励是单位向量，则丽不是单位向量 C.若O是直线/上一点，单位长度已选定，贝ij/上只有两点4、B,使得刃、衍是单位向量 D.计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】 A.1个单位长度取作2004cm时，2004cm长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A不正确； B.AB是单位向量时，|方卜1，而此时卜科=|丽| = 1,即丽也是单位向量，故选项B 不正确； c.单位长度选定以后，在/上点o的两侧各取一点A、B,使得\OA\.\OB\都等于这个单位长度，这时0直都是单位向量，故选项c正确； D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D不正确. 故选C. 【点睛】 本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键. 已知D是AB边上一点，AD = 2DB, CD = ^CA + ACB，则人=() 3 2 A・一 3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据A, B, D三点共线得出入的值，即可完成解答. 【详解】 解：在AABC中，己知D是AB边上一点，若丽=2而，CD = -CA + JLCB, 3一_ 2 2 _, 1_2 2 D・
则昴=CA^AD = CA-¥ -AB = CA+ -(CB - C4) = -CA + -乔， 3 3 3 3
2 2 =—> 故选 A. 3 【点睛】 本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键. 3.已知向量无石，且AB = a + 2b^C=- 5a + Gb.CD = 7 a - 2b,则一定共线的三点是（） A. A 、B 、D B. A 、B 、C C. B 、C 、D D. A 、C 、D 【答案】A 【解析】 【分析】 证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即 可得到共线的三点 【详解】 解：由向量的加法原理知歹万= ~BC +CD =- 5a + 6b + 7a - 2b = 2a + 4b = 2AB 所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】 本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知 识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型. 4.如图，已知AABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G,设丽二齐，BC = n ，则向量丽关于 m> 的分解式表示正确的为（） 【答案】B 【解析】 【分析】 由ZkABC 中,两条中线AE 、CF 交于点G 可知,CF = BF-BC,求出而的值即可解答. 【详解】 C. CF = m--n A. CF =- m +