（易错题精选）初中数学向量的线性运算技巧及练习题含答案(1) 一、选择题
1．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（）
A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量
C．2-＝D．∥
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的模和向量平行的定义解答．
【详解】
A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．
B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．
C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．
D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．
故选D．
【点睛】
考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．
2．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.
【详解】
解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，
则，
∴，故选A.
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.
3．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④
方向相同 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则
方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但
的模不一定，③错误； 对于④，若
，则
能推出
的方向相同，但
的方向相同，得到
④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
4．如果向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，那么向量a r 用单位向量e r
表示为（ ）
A ．12
a e =
r
r B ．2a e =r r
C ．12
a e =-r
r D ．2a e =-r r
【答案】C 【解析】
由向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为
1
2
，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，
∴12
a e =-r
r ．
故选C ．
5．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( )
A ．()
a a
b b --=
B ．0a 0=
C ．如果1
a b 2
=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】
解：A 、()
a a
b b --=r
r r r ，正确；
B 、0a 0⋅=r r ，正确；
C 、如果1
a b 2
=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r
，正确；
故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r
r
，DC b =u u u r r
，则（ ）
A ．()
12BO a b =+u u u r r r ； B ．()
1
2BO a b =-u u u r r r ；
C ．()
12BO b a =-+u u u r r r ； D ．(
)
12
BO b a =
-u u u r r r ．
【答案】D 【解析】
1,.2
1(b-a)2
BCD BO BD BD DC CB CB BC
BO D
∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r r r
在中，所以故选
7．已知a r 、b r
为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r
B ．||a r
＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r
C ．0r
的方向不确定，大小为0
D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r
＝2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质解答即可．
【详解】
解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r
，故A 选项不符合题意．
B 、如果||a r
＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意．
C 、0r
的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．
D 、根据向量模的定义知，||a r
＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意．
故选：B ． 【点睛】
此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.
8．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r
，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r
表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r D ．12a b --r r
【答案】A 【解析】
试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，
＝12
a b +r
r ．故选A ．
考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．
9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】
根据相等向量的定义，分析可得， A.
方向不同，
错误，
B. 方向不同，错误，
C. 方向相反，
错误，
D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；
故选D. 【点睛】
此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.
10．下列关于向量的运算中，正确的是
A ．a b b a -=-r r r r ；
B ．2()22a b a b --=-+r r r r ；
C ．()0a a +-=r r
；
D ．0a a +=r r
．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则进行计算. 【详解】
A. (),a b b a A ---v v v v
＝所以错误；
B. ()222a b a b B ---v v
v v ＝＋，所以正确；
C. ()0a a -r
v v ＋＝，C 所以错误;
D.向量与数字不能相加，所以D 错误．
故选B. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.
11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v
，那么
AD uuu v
等于（ ）
A ．a b +v v
B ．2233a b +v v
C ．23a b -v v
D ．23
a b +v v
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2BD CD =，即可求出BD uuu v
，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论． 【详解】
解：∵2BD CD =
∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v
∴23
AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v
故选D ． 【点睛】
此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．
12．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r
表示向量b r
正确的是（ ）
A ．b r
＝32
a r B ．
b r
＝
23
a r C ．
b r
＝﹣
32
a r D ．
b r
＝-
23
a r 【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件得到非零向量a r
、b r
的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．
【详解】
∵2|a r
|=3|b r |，∴|b r
|23
=
|a r |． 又∵非零向量a r 与b r
的方向相同，∴23
b a =r r ．
故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
13．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a v
v
B ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b r
C ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1
D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】
A 、0•=0a v
v ，故本选项不符合题意．
B 、由a v +b v
=2c v
，a v -b v
=3c v 得到：a v
＝52
c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，
故本选项不符合题意．
C 、e v 为单位向量，那么|e v
|=1，故本选项不符合题意．
D 、由|a v
|=2|b v
|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】
考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．
14．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u r
B ．AB B
C AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC =-u u u r u u u r u u u r
D ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】
AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r
，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r
，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.
15．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r
，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．//a b r r
B ．3||||2
a b =r r C ．a r 与b r 方向相同 D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】 ∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r
∴3a b 2
=-r r ，
∴a r ∥b r ，32
a b =-r r
a r 与
b r
方向相反，
∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r
表示正确的是（ ）
A ．34
a r
B ．34a -r
C ．43a r
D ．43
a -r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】
∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r
，
∴BA=
4
3
AC ， ∵BA u u u r 与AC u u u
r 方向相反， ∴BA u u u r =43
a -r ，
故选D. 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.
17．已知非零向量a r 、b r 和c r
，下列条件中，不能判定a b r r P 的是（ ）
A ．2a b =-r r
B ．a c =r r ，3b c =r r
C ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r r
r D ．2a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求
【详解】
A 、2a b =-r r
，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误； B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r
，故本选项错误；
C 、由已知条件知2a b =-r r ，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r
，故本选项错误；
D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r
不一定平
行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．
18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r
可以用点P 的
坐标表示为：(,)OP m n u u u v
=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那
么OA u u u r 与OB uuu r
互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u r
B ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u r
C ．OG =u u u r ；(OH =u u u r
D ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】
解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】
本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.
19．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．=a b r r
B ．a r ∥c r ，b r ∥c r
C ．a +b r ＝0
D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、该等式只能表示两a r 、b r
的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r ＝52c r ，b r ＝﹣12
c r
，则a r 、b r 的方向相反，可
以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.
20．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r
，那么下列
选项中，与向量()
12
m n +u
r r 相等的向量是（ ）.
A ．OA u u u r
B ．OB uuu r
C ．OC u u u r
D ．OD uuu r
【答案】C 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r
，然后由三角形
法则，求得AC u u u r 与BD u u u r
，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC AD n ==u u u r u u u r r ，
∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u
r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r u
r r ，()
11=22
OC AC m n =
+u u u r u u u r u r r ()
11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r u
r ，()
11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r
故选：C ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
（易错题精选）初中数学向量的线性运算技巧及练习题含答案(1) 一、选择题 1．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（） A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量 C．2-＝D．∥ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D、由＝-得到∥，故本选项说法正确． 故选D． 【点睛】 考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大． 2．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】 解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，， 则， ∴，故选A. 【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键. 3．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题. 4．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ， ∴12 a e =-r r ． 故选C ． 5．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．() a a b b --= B ．0a 0=
向量的线性运算经典测试题附答案 一、选择题 1．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r 等于（ ） A ．1122a b +r r B ．1122a b --r r C ．1122a b -r r D ．1122a b -+r r 【答案】D 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得12 OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，即可求得 OD uuu r 的值． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB=OD= 1 2 BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ， ∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222 a b a b -+=-+r r r r 故选：D ． 【点睛】 此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的． 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案．
解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ， ∴12 a e =- r r ． 故选C ． 3．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32 a b =-v v 故选D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 4．已知a r 、b r 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r B ．||a r ＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r C ．0r 的方向不确定，大小为0 D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r ＝2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】 解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a r ＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0r 的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a r ＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ．
向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果是（ ）． A ．CA u u u r B ．A C u u u r C ．0r D ．A E u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r AC =u u u r ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．已知233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ，那么4m n -r r 等于（ ） A ．823a b -r r B ．443a b r r - C ．423 a b -r r D ．843 a b -r r 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ， ∴4m n -r r =2112834()32232433 a b b a a b b a a b --+=---=-r r r r r r r r r r ． 故选A ． 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B 【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可
人教版初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案 一、选择题 1．下列说法正确的是（ ） A ．()0a a +-=r r B ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r r C ．如果||||a b =r r ，那么a b =r r D ．12 a b =-r r （b r 为非零向量），那么 //a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】 解：A 、()a a +-r r 等于0向量，而不是0，故A 选项错误； B 、如果a r 和b r 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误； C 、如果||||a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误； D 、如果12 a b =-r r （b r 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量. 2．若0a r 、0b r 都是单位向量，则有（ ）． A ．00a b =r r B ．00a b =-r r C ．00a b =r r D ．00a b =±r r 【答案】C 【解析】 【分析】 由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r ．注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r 故选C. 【点睛】
平面向量练习题及答案 1. 向量初步概念和运算 (1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。 答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5 (2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。 答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29 (3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。 答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13 方向角θ = arctan(3/2) 2. 向量的线性运算 (1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。 答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j (2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。 答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j (3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。 答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 10 3. 向量的数量积与投影
(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。 答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14 (2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。 答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√29 4. 向量的夹角和垂直判定 (1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。 答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。计算得到a·b = 14， 因此向量a和向量b不相互垂直。 (2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。 答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100)) 5. 向量共线和平面向量的应用 (1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。 答案：两个向量共线的条件是a与b成倍数关系，即a/b为实数。计算得到a/b = -0.5，因此向量a和向量b共线。 (2) 已知向量a=4i+2j，向量b=3i-6j，向量c=-5i+10j，求向量a在 向量b和向量c张成的平面上的投影。
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用 (建议用时:50分钟） 1．(2013·陕西卷)设a，b为向量，则“｜a·b|＝|a||b｜"是“a∥b” 的( ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析由｜a｜｜b||cos〈a,b〉|＝｜a||b｜， 则有cos〈a，b〉＝±1. 即〈a,b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向,所以〈a，b>＝0或π,所以｜a·b｜＝｜a||b|。 答案C 2．已知向量a与b的夹角为120°，|a｜＝3，｜a＋b｜＝错误!，则|b| 等于( )． A．5 B．4 C．3 D．1 解析向量a与b的夹角为120°，|a｜＝3，|a＋b｜＝错误!， 则a·b＝|a||b｜·cos 120°＝－错误!｜b|， ｜a＋b|2＝｜a|2＋2a·b＋｜b|2. 所以13＝9－3｜b｜＋|b｜2,则|b｜＝－1(舍去)或｜b｜＝4。 答案B
3．（2013·辽宁一模)△ABC中D为BC边的中点，已知错误!＝a，错误! ＝b则在下列向量中与错误!同向的向量是 （)． A。错误!＋错误! B.错误!－错误! C。错误!D．|b|a＋｜a|b 解析∵AD，→＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!(a＋b）， ∴向量错误!与向量错误!是同向向量． 答案C 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0,向量a与b的夹角为60°，且｜a｜＝｜b|＝1,则向量a与c的夹角为 （）． A．30°B．60°C．120°D．150° 解析因为a＋b＋c＝0，所以c＝－（a＋b）．所以｜c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos 60°＝3。所以｜c｜＝错误!. 又c·a＝－（a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos 60°＝－错误!，设 向量c与a的夹角为θ，则cos θ＝ a·c |a|｜c｜＝错误!＝－错误!。又0° ≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案D 5．（2013·安徽卷)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A,B 满足|错误!|＝｜错误!|＝错误!·错误!＝2，则点集{P｜错误!＝λ错误!＋μ错误!，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R｝所表示的区域的面积是 ( )．
§2.2平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=u u u r u u u r u u u r r ． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()u u u r u u u r u u u r u u u r AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP u u u r =（ ） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈u u u r u u u r B ．2().(0,)AB B C λλ+∈u u u r u u u r C ． ().(0,1)AB A D λλ-∈u u u r u u u r D ． 2 ().(0,)AB BC λλ-∈u u u r u u u r
一、选择题 1．下列各式正确的是（） A．若a、b同向，则 B．与表示的意义是相同的 C．若a、b不共线，则 D．永远成立 2．等于（） A．B．0 C．D． 3．若a、b、a＋b均为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则（）A．B．C．D．以上都不对4．下列命题 ①如果a与b的方向相同或相反，那么的方向必与a、b之一的方向相同。 ②△ABC中，必有0。 ③若0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。 ④若a、b均为非零向量，则与一定相等。 其中真命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于（） A．B．C．D． 6．如图，在四边形ABCD中，设， 则等于（）
A．B． C．D． 7．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）A．a与b的长度必相等B． C．a与b一定不相等D．a是b的相反向量 8．可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 9．在以下各命题中，不正确的命题个数为（） ①是的必要不充分条件； ②任一非零向量的方向都是惟一的； ③； ④若，则0； ⑤已知A、B、C是平面上的任意三点，则0。 A．1 B．2 C．3 D．4 10．某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则（） A．向东南走 km B．向东北走 km C．向东南走 km D．向东北走 km 11．若，则的取值范围是（） A．B．（3，8）C．D．（3，13） 二、填空题 12．若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形，则 ＝。
【巩固练习】 一、选择题 1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ） ① ||⋅=a a a ②()()(,)m m m λλλ⋅=⋅∈R a b a b ③()()⋅+=+⋅a b c b c a ④22=a b b a A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2.①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行； ④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++ (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.（2015秋 衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF 与AB 、CD 的关系是（ ） A ．1122EF A B CD = + B ．1122EF AB CD =-+ C ．1122EF AB CD =- D ．11 22 EF AB CD =-- 4．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A 、 B 、 C 一定共面的是（ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2 C ．OC OB OA OM 3121++ = D ．OC OB OA OM 3 1 3131++= 5.（2014秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若1BE AA xAB yAD =++，则（ ） A ．12x =- ，12y = B ．12x =，1 2y =- C ．12x =-，12y =- D ．12x =，1 2 y =
新初中数学向量的线性运算经典测试题含答案解析 一、选择题 1．下列式子中错误的是（ ）． A ．2a a a +=r r r B ．()0a a +-=r r r C ．()a b a b -+=--r r r r D ．a b b a -=-r r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】 A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r ，故本选项正确； B. a r 与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确； C.根据实数对于向量的分配律，可知() a b a b -+=--r r r r ，故本选项正确； D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r ，故本选项错误. 故选D. 【点睛】 本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键. 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e =r r B ．2a e =r r C ．12a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12， ∴12 a e =-r r ． 故选C ． 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B
【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】 -4a+5a=a v v v , 所以答案为B 选项 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键 4．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b r r 、表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b -r r C ．12 a b -+r r D ．12 a b --r r 【答案】A 【解析】 【分析】 根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r 即可解决问题. 【详解】 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝， 1BE b 2 ∴=u u u r r ， AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ， 1AE a b 2 ∴=+u u u r r r ， 故选：A. 【点睛】 本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型. 5．下列判断不正确的是（ ） A ．如果AB CD =u u u r u u u r ，那么AB CD =u u u r u u u r
（易错题精选）初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r ，则2132m m -r r 等于（ ）． A ．AO u u u r B ．BO uuu r C ．CO uuu r D ．DO u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】 解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r ， ∴1246B m C AC AB m =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,1246BD BA BC AC m m =+==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴122312 AO AC m m =+=u u u r u u u u u r r u u r ，故A 不符合题意； 211322BO BD m m ==-u u u r u u u r u u r u u r ，故B 符合题意； 122312 CO AC m m ==---u u u r u u u u u r r u u r ，故C 不符合题意； 121232 DO BD m m =-=-u u u r u u u r u u r u u r ，故D 不符合题意. 故选B. 【点睛】 此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，所以有一组对边平行的四边
5-1平面向量的概念与线性运算 基础巩固强化 1.(文)(2011·某某十校联考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA → ＝2BP → ，则( ) A.PA →＋PB → ＝0 B.PC → ＋PA → ＝0 C.PB →＋PC → ＝0 D.PA → ＋PB →＋PC → ＝0 [答案] B [解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA → ＝2BP → ⇔P 是AC 的中点，故PA →＋PC → ＝0. (理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD → ＝2DB → ，CD → ＝rAB → ＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.23B.43 C ．－3 D ．0 [答案] D [解析]CD →＝AD → －AC →，DB → ＝AB →－AD → .
∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB → －1 2CD →－AC →. ∴3 2CD →＝AB →－AC →， ∴CD → ＝23AB →－23 AC →. 又CD → ＝rAB → ＋sAC → ，∴r ＝23，s ＝－2 3， ∴r ＋s ＝0. 2．(2012·某某理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分 条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | [答案] C [解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念． 因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b |b | 成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b | . [点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b | . 3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3，n )，若2a －b 与b 共线，则实数n 的值是( ) A ．3＋23B ．9 C ．6 D ．3－2 3 [答案] B [解析]2a －b ＝(－1,6－n )， ∵2a －b 与b 共线，∴－1×n －(6－n )×3＝0， ∴n ＝9. 4．设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，OD → ＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，
人教版初中数学向量的线性运算经典测试题含答案 一、选择题 1．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r ； B ．2()22a b a b --=-+r r r r ； C ．()0a a +-=r r ； D ．0a a +=r r ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则进行计算. 【详解】 A. () ,a b b a A ---v v v v ＝所以错误； B. ( ) 222a b a b B ---v v v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r v v ＋＝，C 所以错误; D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键. 2．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+ C ．+- D ．-- 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图， ，则 -+
【点睛】 此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形. 3．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】 根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反， 错误， D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确； 故选D. 【点睛】 此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义. 4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ） 的长度为（ ） A ．2 B ．4 C 31 D 31 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用勾股定理即可计算出向量 （AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ）的长度为 【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224 AB BC AC AC AB BC AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：B.
向量的线性运算基础测试题附答案 一、选择题 1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则下列选项 与1122 a b -+r r 相等的向量是（ ）． A ．MA u u u r B ．MB u u u r C ．MC u u u u r D ．MD u u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】 解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴() 11112222 a M AC a b A b =+==----u u u r u u u r r r r r ，故A 不符合题意； () 11112222 MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r r r r ，故B 不符合题意； () 11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r r r ，故C 不符合题意； () 11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r r r r ，故D 符合题意. 故选D. 【点睛】 此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 2．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案．
平面向量及其线性运算 课前测试 【题目】课前测试 如图，已知△ABC，AD、BE、CF是中线，G为重心，且→BC=→a，→AD=→b。用→a、→b表示下列向量：（1）→AB；（2）→GE；（3）→AG。 【答案】（1）→b- → a 2 1 ；（2）- → b 3 1 + → a 2 1 ；（3） → b 3 2 【解析】 （1）∵→AB+→BD=→AD，∴→AB=→AD-→BD=→b- → a 2 1 ； （2）∵→BE=→BA+→BC=-（→b- → a 2 1 ）+→a=-→b+ → a 2 3 ； 又G是重心，∴→GE= → BE 3 1 = 3 1 （-→b+ → a 2 3 ）=- → b 3 1 + → a 2 1 ； （3）→AG= → AD 3 2 = → b 3 2 总结：本题将向量线性运算与三角形重心结合进行考察，首先要求学生理解三角形重心的意义，其次运用向量线性运算法则表示出图形中的边长，是向量及其线性运算部分必须掌握的题型。 【难度】3
【题目】课前测试 如图，在ABC ∆中，G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，→ CA = → a ， → BC = → b ， 写出 → AB 、 → EF 、 → GH 关于 → a 、 → b 的线性组合，并通过向量证明EF 、GH 、AB 之间的位置 关系。 【答案】 → AB =-→ a -→ b ，→EF =-→a 31-→b 31，→GH =-→a 32-→ b 3 2； → EF // → AB // → GH 【解析】 ∵G 、E 是AC 的三等分点，F 、H 是BC 的三等分点， 则有CE= CA 31，CG=CA 3 2，CF=CB 31 ，CH= CB 3 2 ， 由此可得： → AB =→ CB -→ CA =-→ a -→ b ，→ EF =→ CF -→ CE =→CB 31-→CA 31=-→a 31-→ b 31， → GH =→ CH -→ CG =→CB 32-→CA 32=-→a 32-→ b 32， 综上可得： →EF =→AB 31， → GH =→ AB 3 2， 即得 → EF // → AB // → GH ， 总结：本题考查向量的线性运算和向量的平行判定，属于平面向量及其运算部分比较综合的基础题型，应用向量的“三角形法则”即可表示出其他待定向量，利用向量之间的传递性可以证明向量的平行。 【难度系数】3 知识定位 适用范围：各版本，初三年级 F A B C E G H
温州市初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ）． A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量 B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r 不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r 是单 位向量 D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】 A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确； B. AB u u u r 是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B 不正确； C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r 都等于这个单位 长度，这时OA u u u r 、OB uuu r 都是单位向量，故选项C 正确； D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】 本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键. 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但
（专题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编含答案解析 一、选择题 1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则下列选项 与1122 a b -+r r 相等的向量是（ ）． A ．MA u u u r B ．MB u u u r C ．MC u u u u r D ．MD u u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】 解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴() 11112222 a M AC a b A b =+==----u u u r u u u r r r r r ，故A 不符合题意； () 11112222 MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r r r r ，故B 不符合题意； () 11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r r r ，故C 不符合题意； () 11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r r r r ，故D 符合题意. 故选D. 【点睛】 此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 2．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=， =， =， =，则 （ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正
向量的线性运算综合练习 一、选择题 1．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =，AD b =，那么向量AC 用向量a 、b 表示为（ ） A ．12a b + B ．12a b - C ．12a b -+ D ．12 a b -- 【答案】A 【解析】 试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +．故选A ． 考点：平面向量，等腰三角形的三线合一． 2．在四边形ABCD 中， ，，，其中与不共线， 则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．梯形 D ．菱形 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的运算法则求出 ，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD ∥BC ，AD=2BC ，据梯形的定义得到选项. 【详解】 解：∵ ， ∴， ∴AD ∥BC ，AD=2BC. ∴四边形ABCD 为梯形. 【点睛】 本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.
3．已知向量，且则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ． A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 【答案】A 【解析】 【分析】 证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】 解：由向量的加法原理知 所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】 本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型. 4．下列各式中错误的是( ) A ．()0a a +-= B ．|AB BA |0+= C ．()-=+-a b a b D ．()()++=++a b c a b c 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】 解：A. ()0a a +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】 本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键. 5．下列判断正确的是( ) A ．0a a -= B ．如果a b =，那么a b = C ．若向量a 与b 均为单位向量，那么a b = D ．对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠，那么//a b 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】
平面向量及其线性运算练习题（1） 1. 设a → =(sin α,√3 3),b → =(cos α,1 3)，且a → // b → ，则锐角α为（ ） A.30∘ B.60∘ C.75∘ D.45∘ 2. 已知向量a → =(2, 1)，b → =(2, sin α−1)，c → =(−2, cos α)，若(a → +b → ) // c → ，则tan α的值为（ ） A.2 B.1 2 C.−1 2 D.−2 3. 已知四个命题： p 1：∃x 0∈R ，sin x 0−cos x 0≥√2；p 2:∀x ∈R ，tan x =sin x cos x ； p 3：∃x 0∈R,x 02 +x 0+1≤0；p 4:∀x >0，x +1 x ≥2． 以下命题中假命题是（ ） A.p 1∨p 4 B.p 2∨p 4 C.p 1∨p 3 D.p 2∨p 3 4. 设平面向量a → =(1, 2)，b → =(−2, y)，若a → // b → ，则|2a → −b → |等于（ ） A.4 B.5 C.3√5 D.4√5 5. 已知命题p ：“x >1”，命题q ：“1 x <1”，则p 是q 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6. 下列说法中正确的是（ ） A.零向量没有方向 B.平行向量不一定是共线向量 C.若向量与同向且 ，则 D.若向量，满足且与同向，则
7. |OA → |＝1，|OB → |=√3，OA → ⋅OB → =0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30∘ ，设OC → =mOA → +nOB → (m 、n ∈R)，则m n 等于（ ） A.13 B.3 C.√3 3 D.√3 8. 已知集合A ＝{x|x ≥0}，集合B ＝{x|x >1}，则以下真命题的个数是（ ） ①∃x 0∈A ，x 0∉B ；②∃x 0∈B ，x 0∉A ；③∀x ∈A ，x ∈B ；④∀x ∈B ，x ∈A ． A.4 B.3 C.2 D.1 9. 已知AD 是△ABC 的中线，AB → =a → ，AD → =b → ，以a → ，b → 为基底表示AC → ，则AC → =( ) A.12(a → −b → ) B.2b → −a → C.12(b → −a → ) D.2b → +a → 10. 已知D ，E ，F 分别是△ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（ ） A. B. C.与的方向相反 D.与都是单位向量 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，AF ∩CE =G ，则( )