向量的线性运算真题汇编及答案
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r
B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r
C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r
＝0
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】
解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r
表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；
B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；
C . a r ＝k b r （k ≠0）?a r ∥b r
，所以C 选项正确；
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r
，不正确．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④
方向相同 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则
方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但
的模不一定，③错误； 对于④，若
，则
能推出
的方向相同，但
的方向相同，得到
④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r
BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu
r +AC u u u r ） 的长度为（ ）
A ．2
B ．4
C
1
D
1
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
，利用勾股定理即可计算出向量
（AB u u u r +BC uuu
r +AC u u u r ）的长度为
【详解】
|||1||22|||2|224
AB BC AC AC AB BC
AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==?=∴u u u r u u u r Q u u u r
u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：B. 【点睛】
考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.
4．如果向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，那么向量a r 用单位向量e r
表示为（ ）
A ．12
a e =
r
r B ．2a e =r r
C ．12
a e =-
r
r D ．2a e =-r r
【答案】C 【解析】
由向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为
1
2
，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为
12
， ∴12
a e =-
r
r ． 故选C ．
5．已知233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r ，那么4m n -r r
等于（ ）
A ．823
a b -r r
B ．443a b r r -
C ．423a b -r r
D ．843
a b -r r
【答案】A 【解析】
根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
解：∵233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r
，
∴4m n -r r =2112834()32232433
a b b a a b b a a b --+=---=-r
r r r r r r r r r ．
故选A ．
6．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()
a a
b b --= B ．0a 0=
C ．如果1
a b 2
=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】
解：A 、()
a a
b b --=r
r r r ，正确；
B 、0a 0?=r r ，正确；
C 、如果1
a b 2
=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r
，正确；
故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．已知3a →
=，2b =r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．32a b →→
= B ．23a b →→
=
C ．32a b →→
=-
D ．23a b →→
=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
【详解】
∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反
∴32
a b =-v v
故选D. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
8．下列式子中错误的是（ ）．
A ．2a a a +=r r r
B ．()0a a +-=r r r
C ．()
a b a b -+=--r r r r
D ．a b b a -=-r r r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】
A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r
，故本选项正确；
B. a r
与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；
C.根据实数对于向量的分配律，可知()
a b a b -+=--r r r r
，故本选项正确；
D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r
，故本选项错误.
故选D. 【点睛】
本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.
9．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜
【答案】A 【解析】 【分析】
对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；
当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】
解：若两向量共线，则由于是非零向量，且
，则必有
；代入可知
只有A 、C 满足；
若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ；
令，
，则
，
∴且；
又BA+BC>AC ∴
∴.
故选A.
【点睛】
本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.
10．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r
，那么下列
选项中，与向量()
12
m n +u
r r 相等的向量是（ ）.
A ．OA u u u r
B ．OB uuu r
C ．OC u u u r
D ．OD uuu r
【答案】C 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r
，然后由三角形
法则，求得AC u u u r 与BD u u u r
，继而求得答案． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==u u u r u u u r r ，
∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u
r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r u
r r ，()
11=22
OC AC m n =
+u u u r u u u r u r r ()
11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r u
r ，()
11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r
故选：C ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
11．已知a r
、b r
、c r
都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r
r
的是（ ）
A ．a b =r r
B ．3a b =r r
C ．//a c r r
，//b c r r D ．2,2a c b c ==-r r r r
【答案】A
【解析】 【分析】
根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】
解：A 、||||a b =r r
只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r ，故本选项符合题意;
B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;
C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意;
D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．
故选：A ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．
12．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）
A ．A
B CD =u u u r u u u r
B ．A
C B
D =uuu r uu u r
C ．AO O
D =u u u r u u u r
D ．BO OD =-u u u r u u u r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】
相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．
A. AB CD =-u u u r u u u r
，故该选项错误； B. AC BD =u u u r u u u r
，但方向不同，故该选项错误；
C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r
，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r
，故该选项错误；
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
13．下列判断错误的是（ ） A ．0?=0a v
v
B ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b r
C ．设e r 为单位向量，那么|e r
|=1
D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】
A 、0?=0a v
v ，故本选项不符合题意．
B 、由a v +b v =2c v ，a v -b v =3c v 得到：a v ＝52
c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v
，
故本选项不符合题意．
C 、e v 为单位向量，那么|e v
|=1，故本选项不符合题意．
D 、由|a v
|=2|b v |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项
符合题意． 故选D ． 【点睛】
考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．
14．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）
A ．A
B BA =-u u u r u u u r B ．AB BA =uu u r uu r
C ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
D ．AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】
A 选项，A
B BA =-u u u r u u u r
，成立；
B 选项，AB BA =uu u r uu r
，成立；
C 选项，AB BC AC +=u u r u u r u u u r
，成立；
D 选项，AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
不一定成立；
故答案为D. 【点睛】
此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.
15．已知e r
是单位向量，且2,4a e b e =-=v
v
v v
，那么下列说法错误的是（ ）
A ．a r
∥b r
B ．|a r |=2
C ．|b r |=﹣2|a r |
D ．a r =﹣12
b r
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v ，4b e =v v ，
∴//a b v v ，2a =v ， 4b =v ， 12
a b =-v v ，
故C 选项错误， 故选C.
16．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，下列
式子中正确的是（ ）
A ．DC a b =+u u u r r r
B ．D
C a b =-u u u r r r
； C ．DC a b =-+u u u r r r
D ．DC a b =--u u u r r r
．
【答案】C 【解析】 【分析】
由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r
，代入计算即可得到答案. 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r
，
∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，
在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u r
u u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r r
r r
r
， ∴DC a b =-+u u u r
r r
； 故选择：C. 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
17．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，
＝，那么
等于
（ ）
A ．＝＋
B ．＝＋
C ．＝－
D ．＝＋
【答案】D 【解析】 【分析】
利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得
＝
,
＋ .
故选D. 【点睛】
本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.
18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r
可以用点P 的
坐标表示为：(,)OP m n u u u v
=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r
互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u r
B ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u r
C ．3,1)OG =u u u r ；(3,1)OH =-u u u r
D ．(22,4)OM =u u u u r ；(22,2)ON =-u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】
解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D.
【点睛】
本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.
19．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r
是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A ．a e a v v v =
B ．e b b =v v v
C ．1a e a
=v v v
D ．11a b a b
=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】
A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
20．下列结论正确的是（ ）．
A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量
B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r
不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r
是单
位向量
D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】
A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；
B. AB u u u r
是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B
不正确；
C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r
都等于这个单位
长度，这时OA u u u r 、OB uuu r
都是单位向量，故选项C 正确；
D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D不正确.
故选C.
【点睛】
本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.
向量的线性运算经典测试题含答案 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果是（ ）． A ．CA u u u r B ．A C u u u r C ．0r D ．A E u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r AC =u u u r ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．下列等式正确的是（ ） A ．A B u u u r +B C uuu r ＝CB u u u r +BA u u u r B ．AB u u u r ﹣BC uuu r ＝AC u u u r C ．AB u u u r +BC uuu r +CD uuu r ＝DA u u u r D ．AB u u u r +BC uuu r ﹣AC u u u r ＝0r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形法则即可判断. 【详解】 ∵AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ， ∴0AB BC AC AC AC +-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ， 故选D ． 【点睛】 本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则. 3．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是( ) A ．2a b =r r B ．//a c r r ，//b c r r C ．||||a b =r r D ．12 a c =r r ，2 b c =r r 【答案】C
向量的线性运算基础测试题含答案解析 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】 解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确； B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确； C . a r ＝k b r （k ≠0）?a r ∥b r ，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 2．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b r r 、表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b -r r C ．12 a b -+r r D ．12 a b --r r 【答案】A 【解析】 【分析】 根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r 即可解决问题. 【详解】 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AD BC AD BC ∴∥，＝，
平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题
§平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。
平面向量定义及线性运算练习题 一．选择题 1、下列说法正确的是（ ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（ ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假： （1）向量AB u u u r 的长度与向量BA uu u r 的长度相等； （2）向量a r 与向量b r 平行，则a r 与b r 的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量AB u u u r 和向量CD uuu r 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a r 为任一非零向量，b r 为模为1的向量，下列各式：①|a r |＞|b r | ②a r ∥b r ③|a r |＞0 ④|b r |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（ ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r
、填空题 、选择题 i .若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①丨a 丨>丨b |；②a // b ； ③| a |> 0；④| b | =± 1;⑤a =b ，其中正确的有（ ） a A.①④⑤ B.③ C.①②③⑤ D.②③⑤ 2. O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边上中点，2OA OB OC 0,贝卩（） A . AO OD B. AO 2OD C. AO 3OD D. 2AO OD 3. 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形 是（ ） A. —条线段 B. —个圆面 C.圆上的一群弧立点 D. — 个圆 4. 向量（AB + MB ） + （ BO + BC ） +OM 化简后等于（ ） A. BC B . AB C . AC D . AM 5. 在四边形 ABCD 中, AC =AB +AD ，贝"（ ） A. ABCD 是矩形 B. ABCD 是菱形 C. ABCD^正方形 D. ABCD 是平行 四边形 a | >| b | ,那么a 与b 反向，则( ) B.| a -b | = | a | - | b | D.| a +b | = | a | + | b | 平面向量的线性运算 6.已知正方形 ABCD 勺边长为1, AB = a , AC =c , BC =b ,则 a +b +c |为( A. 0 B. 3 C. 7.如图，正六边形 ABCDEF 中， 2 D. 2 2 uur uun uuu BA + CD + EF =() uur B.BE C.Auu uuu D .CF 8.如果两非零向量a 、b 满足： A.| a +b | = | a | - | b | C.| a -b | = | b | - | a |
向量的线性运算技巧及练习题 一、选择题 1．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r r B ．||3||a b =r r C ． 5a b =-r r D ．2a b =r r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】 解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意． B 、由||3||a b =r r 只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意． C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相反，则//a b r r ，故本选项不符合题意． D 、由2a b =r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r 叫做平行向 量． 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与 的大小，所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】 此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征. 3．下列等式正确的是（ ） A ．A B u u u r +B C uuu r ＝CB u u u r +BA u u u r B ．AB u u u r ﹣BC uuu r ＝AC u u u r
向量的线性运算经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ） A ．a r 与r b 是相等向量 B ．a r 与r b 是平行向量 C ．a r 与r b 方向相同，长度不等 D ．a r 与r b 方向相反，长度相等 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2 c =-r r ，由此确定a r 与b r 位置和数量关系． 【详解】 解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2 c =-r r ， 所以a r 与b r 方向相反，且|a r |＝5|b r |． 观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握． 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r B ．如果a b =r r ，那么a b =r r C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，那么//a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】 A. -r r a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误； B. 如果a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误； C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误； D. 对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】
向量的线性运算经典测试题附答案 一、选择题 1．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r 等于（ ） A ．1122a b +r r B ．1122a b --r r C ．1122a b -r r D ．1122a b -+r r 【答案】D 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得12 OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，即可求得 OD uuu r 的值． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB=OD= 1 2 BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ， ∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222 a b a b -+=-+r r r r 故选：D ． 【点睛】 此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的． 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案．
解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ， ∴12 a e =- r r ． 故选C ． 3．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32 a b =-v v 故选D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 4．已知a r 、b r 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r B ．||a r ＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r C ．0r 的方向不确定，大小为0 D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r ＝2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】 解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a r ＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0r 的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a r ＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ．
高一数学向量的线性运 算练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
平面向量及其线性运算 （一）基础知识： 1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____. 2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向. 3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______. 4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________; 5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义. 6.向量共线定理:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________. 7.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ,使=_____________________. 8.三点共线定理:平面上三点A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α,β,使 _____________________, 其中α+β=____, O 为平面内任意一点. 9.①中点公式：若M 是线段AB 的中点, O 为平面内任意一点,则OM =__________________ ②在△ABC 中, 若G 为重心,则CA BC AB ++ =_________,GC GB GA ++ =____________. （二）例题分析： 1.下列命题中，正确的是（ ） A ．若c b b a //,//，则// B ．对于任意向量b a ,+≥+ C ==或-= D ．对于任意向量b a ,，有b a b a -≥+ 2.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ） A ．1142a b + B. 2133a b + C. 1124 a b + D. 1233 a b + （三）基础训练：
、选择题 i .若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①丨a 丨>丨b |；②a // b ； —? ③| a |> 0；④| b | =± 1;⑤a =b ，其中正确的有（ ） a A.①④⑤ B.③ C.①②③⑤ D.②③⑤ 2. O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边上中点，2OA OB OC 0,贝卩（） A . AO OD B. AO 2OD C. AO 3OD D. 2AO OD 3. 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形 是（ ） A. —条线段 B. —个圆面 C.圆上的一群弧立点 D. — 个圆 4. 向量（AB + MB ） + （ BO + BC ） +OM 化简后等于（ ） A. BC B . AB C . AC D . AM 5. 在四边形 ABCD 中, AC =AB +AD ，贝"（ ） A. ABCD 是矩形 B. ABCD 是菱形 C. ABCD^正方形 D. ABCD 是平行 四边形 a | >| b | ,那么a 与b 反向，则( ) B.| a -b | = | a | - | b | 平面向量的线性运算 6.已知正方形 ABCD 勺边长为1, AB = a , AC =c , BC =b ,则 a +b +c |为( A. 0 B. 3 C. 7.如图，正六边形 ABCDEF 中， 2 D. 2 2 uur uun uuu BA + CD + EF =() uur B.BE C.Auu uuu D .CF 8.如果两非零向量a 、b 满足： A.| a +b | = | a | - | b | C.| a -b | = | b | - | a |
向量的线性运算经典测试题附答案解析 一、选择题 1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r r 等于（ ） A ．BD u u u r B ．A C u u u r C ．DB u u u r D ．CA u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r ，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ， ∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ， ∴a b +r r =AB u u u r +BC uuu r =AC u u u r ． 故选B ． 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与 的大小，所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】 此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征. 3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ）
向量的线性运算经典测试题含答案解析 一、选择题 1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则下列选项 与1122 a b -+r r 相等的向量是（ ）． A ．MA u u u r B ．MB u u u r C ．MC u u u u r D ．MD u u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】 解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴() 11112222 a M AC a b A b =+==----u u u r u u u r r r r r ，故A 不符合题意； () 11112222 MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r r r r ，故B 不符合题意； () 11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r r r ，故C 不符合题意； () 11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r r r r ，故D 符合题意. 故选D. 【点睛】 此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 2．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案．
平面向量的线性运算 学习过程 知识点一：向量的加法 （1）定义已知非零向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a r ，BC ＝b r ，则向量AC 叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b +r r ＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则 以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =uu u r r ，以OA,OB 为邻边作OACB Y ，则以O 为起点的对角线所在向量OC uuu r 就是,a b r r 的和，记作a b +r r =OC uuu r 。 说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适. ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． ③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=r r r r r r ， （3）特殊位置关系的两向量的和 ①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； ②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |， ③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）向量加法的运算律 ①向量加法的交换律：a +b =b +a ②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 知识点二：向量的减法
向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果是（ ）． A ．CA u u u r B ．A C u u u r C ．0r D ．A E u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r AC =u u u r ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．已知233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ，那么4m n -r r 等于（ ） A ．823a b -r r B ．443a b r r - C ．423 a b -r r D ．843 a b -r r 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ， ∴4m n -r r =2112834()32232433 a b b a a b b a a b --+=---=-r r r r r r r r r r ． 故选A ． 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B 【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可
向量的线性运算练习题 Ⅰ 一、选择题 1．若C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ） A ．A B B ．BA C ．0 D ．以上均不正确 2．已知正方形ABCD 边长为1，=AB a ，=BC b ，=AC c ，则++a b c 的模等于 A ．0 B ．3 C ． D （ ） 3．在四边形ABCD 中，+=，则四边形是 （ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 4．向量()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于 （ ） A ．BC B ．AB C ．AC D ．AM 5．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 6．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 二、填空题 7．化简（++)= 。 8．在矩形ABCD 中，若=||3AB ，=||4BC ，则+=||AB AD _________。 9．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。 10．当非零向量a 和b 满足条件 时，使得b a +平分a 和b 间的夹角。 Ⅱ选择 1．化简MN PN PM +-所得结果是 （ ） A ．MP B ．NP C ．0 D ．MN
2．在?ABC 中，===||||||1AB BC CA ，则-||AB AC 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C D ．2 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120?，则-|a b |等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ． 4．下面四个式子中不能化简成AD 的是 （ ） A ．M B DA BM -- B ．N C NA C D -+ C ．-+()AB DC BC D ． -+-()()AD BM BC MC 5．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于 （ ） A ． B ．4 C ．4 D ．4 6．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+ D ．||||||+=+ 二、填空题 7．在ABCD 中，=AB a ，=AD b ，则________CA =，______BD =。 8．在a =“向北走20km ”，b =“向西走15km ”，则 -a b =_________， +a b 与a 的夹角的余弦值=______________。 9．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则等式： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 0 其中正确的题号是__________________ 其中正确的题号是__________________ 10．已知a 、b 是非零向量，指出下列等式成立的条件： ①a b a b +=+ 成立的条件是_________________________； ②a b a b +=-成立的条件是_________________________； F E C B A
平面向量的线性运算（一）（人教A版） 一、单选题(共12道，每道8分) 1.如图，在平行四边形中，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的减法及其几何意义 2.在四边形中，若，则四边形是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量的平行四边形法则 3.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示( ) A.向东南航行km B.向东南航行2km C.向东北航行km D.向东北航行2km 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的平行四边形法则 4.如图所示，是△的边的中点，则向量( )
A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的加减混合运算 5.下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量的加减法则 6.已知正方形中，是中点，若，，则( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的加减混合运算
7.化简的结果是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的加减混合运算 8.若向量，，满足，则，，满足( ) A.一定能构成一个三角形 B.一定不能构成一个三角形 C.都是非零向量时，一定能构成一个三角形 D.都是非零向量时，也可能无法构成一个三角形 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量的几何表示 9.如图，△为等腰三角形，，设，， 边上的高为，若用表示，则表达式为( ) A. B. C. D. 答案：D
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 平面向量的线性运算 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜ ，其 ｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1 中正确的有（） A．①④⑤B．③C．①②③⑤D．②③⑤ 2. O是ABC ?所在平面内一点，D为BC边上中点，+,则（） 2= + A．=B．2 = =C．3 D．= 2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆 4．向量（+）+（+）+OM化简后等于（）A．BC B．AB C．AC D．AM 5．在四边形ABCD中，=AB+AD，则（）
A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜ a + b + c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF ＝( ) A ．0 B.BE C.AD D.CF 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题 1．已知四边形ABCD 中，AB =2 1 DC ,且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知AB =a ,BC =b , CD =c ,DE =d ,AE =e ,则 a + b + c + d = ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 三、解答题
高中数学-平面向量的概念及其线性运算分层练习 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ③向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线; ④如果a∥b,b∥c,那么a∥c. 以上命题中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 【解析】选D.①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段; ②不正确,若a与b中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,当b=0时,a与c不一定平行, 故正确命题的个数为0. 2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( ) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a 【解析】选B.对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反.B正确;对于 C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小. 3.(·威海模拟)设a,b不共线,=2a+p b,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解析】选B.因为=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以,共线.设=λ,所以2a+p b=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1. 【变式备选】已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.B,C,D B.A,B,C C.A,B,D D.A,C,D 【解析】选C.因为=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线. 4.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是( ) ①=+;②=(+);③=-;④=. A.1 B.2 C.3 D.4
§5.1 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1. 已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是（ ） A.a ∥b B. a ⊥b C.{0,1,3} D.a +b =a -b 答案 B 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b . ∴a ∥b ； 若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立． 答案 A 3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )． A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0 解析 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →?P 是AC 的中点， ∴P A →＋PC →＝0. 答案 B 4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6 解析 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)， ∴4(x ＋3)－(x －6)＝0，x ＝－6. 答案 D
5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形 ABCD 的形状是( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对 解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形． 答案 C 6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心， ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 答案 B 7.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 解析：由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°. 答案：A 二、填空题 8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC ＝0，则 |AB ||BC | ＝________. 解析：由OA －3OB ＋2OC ＝0，得OA －OB ＝2(OB －OC )， 即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2.