平面向量中的线性问题 题型一 平面向量的线性运算及应用 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A.AD → ＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13 AC → D.AD →＝43AB →－13 AC → (2)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC → ＝b ，试用a ，b 表示向量AO → . (3)OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1. 变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB → ＋kAC → ，则λ＋k 等于( ) A.1＋ 2 B.2－ 2 C.2 D.2＋2 (2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN → ，则λ＋μ＝________.
题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. (2)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； ③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 变式训练2 (1)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD → |的最大值是________. (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC → ＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 高考题型精练 1.(2015·四川)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥BC → 3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC → ＝ λOA →＋OB → (λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.2 3 4.(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC → 等于( )
空间向量的线性运算 一、基础过关 1．下列说法正确的是 ( ) A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线 B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线 C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线 D ．在空间共线的向量在平面内一定共线 2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC → ，则四边形ABCD 是 ( ) A ．空间四边形 B ．平行四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形 3．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、MG ，则AB → ＋12 (BD →＋BC → )等于 ( ) A.AG → B.CG → C.BC → D.12 BC → 4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 5．如图，空间四边形OABC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，点M 在 OA 上，且OM ＝2MA ，N 是BC 的中点，则MN → 等于( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12 c 6．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC → |，则 ( )
向量的线性运算经典测试题附答案 一、选择题 1．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r 等于（ ） A ．1122a b +r r B ．1122a b --r r C ．1122a b -r r D ．1122a b -+r r 【答案】D 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得12 OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，即可求得 OD uuu r 的值． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB=OD= 1 2 BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ， ∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222 a b a b -+=-+r r r r 故选：D ． 【点睛】 此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的． 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案．
解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ， ∴12 a e =- r r ． 故选C ． 3．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32 a b =-v v 故选D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 4．已知a r 、b r 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r B ．||a r ＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r C ．0r 的方向不确定，大小为0 D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r ＝2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】 解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a r ＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0r 的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a r ＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ．
向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果是（ ）． A ．CA u u u r B ．A C u u u r C ．0r D ．A E u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r AC =u u u r ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．已知233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ，那么4m n -r r 等于（ ） A ．823a b -r r B ．443a b r r - C ．423 a b -r r D ．843 a b -r r 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ， ∴4m n -r r =2112834()32232433 a b b a a b b a a b --+=---=-r r r r r r r r r r ． 故选A ． 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B 【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可
初中数学向量的线性运算全集汇编含答案解析 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（ ） A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0 B ．如果e r 是单位向量，那么e r ＝1 C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r D ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ， 那么a r ∥b r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】 解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r ． B 、如果e r 是单位向量，那么e r ＝1，错误．应该是e r ＝1． C 、如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r ，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，那么a r ∥b r ，正确． 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识. 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与 的大小，所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】 此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征. 3．在四边形ABCD 中，， ， ，其中与不共线， 则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．梯形 D ．菱形
向量数乘和线性运算精选题32道 附参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（） A．B．C．D． 2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（） A．﹣3B．3C．2D．﹣2 3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（） A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+ 4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（） A．外心B．内心C．重心D．垂心 5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 ，则λ•μ等于（）
A．B．C．D． 6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4 7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+ 8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（） A．﹣+B．+C．﹣D．+ 9．在△ABC中，，则＝（） A．B．C．D． 10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（） A．B． C．D． 11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（） A．1B．C．D．2 12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）
A．8B．4C．2D．1 二．多选题（共4小题） （多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点 B．若＝，则点M在边BC的延长线上 C．若＝，则点M是△ABC的重心 D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 （多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（） A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上 B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上 C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外 D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内 （多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D． （多选）16．下列四式可以化简为的是（） A．+（）B．（）+（） C．+D． 三．填空题（共12小题） 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．
高考数学必考点专项第13练 平面向量的概念及其线性运算小题精选 一、单选题 1. 设D 是ABC ∆所以平面内一点，3BC CD =，则AD =（ ） A. 4133AB AC + B. 4133AB AC - C. 1433AB AC - D. 14 33 AB AC -+ 2. 两个非零向量a ，b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量a b +与a 的夹角为 ( ) A. 6 π B. 3 π C. 23 π D. 56 π 3. 已知等边三角形ABC 的边长为6，点P 满足20PA PB PC +-=，则||PA = ( ) A. B. C. D. 4. 设非零向量a ，b 满足|+|=||a b a b -，则( ) A. a b ⊥ B. ||=||a b C. //a b D. ||||a b > 5. 已知向量3AB a b =+，53BC a b =+，33CD a b =-+，则( ) A. A ，B ，C 三点共线 B. A ，B ，D 三点共线 C. A ，C ，D 三点共线 D. B ，C ，D 三点共线 6. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 7. O 为ABC 内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线， 则t 的值为( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 23 8. 设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“||||||a b a b +=+” 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图所示，O 为线段0201A A 外一点，若0A ，1A ，2A ，3A ，…，201A 中任意相邻 两点间的距离相等，0OA a =，201OA b =，则用a ，b 表示012OA OA OA +++… 201OA +，其结果为( ) A. 100()a b + B. 101()a b + C. 201() a b + D. 202()a b + 10. 在ABC 中，下列命题正确的个数是( ) ①AB AC BC -=； ②0AB BC CA ++=； ③点O 为ABC 的内心，且()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC 为等腰三角形； ④0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
初中数学向量的线性运算经典测试题附答案解析 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ）． A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量 B ．若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量 D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】 A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确； B. AB 是单位向量时，1AB =，而此时1AB BA ==，即BA 也是单位向量，故选项B 不正确； C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA 、OB 都等于这个单位长度，这时OA 、OB 都是单位向量，故选项C 正确； D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】 本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键. 2．已知向量 ，若与共线，则( ) A ． B ． C ． D ．或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有= ，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使= ,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】 本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键. 3．下列各式中错误的是( )
A ．()0a a +-= B ．|AB BA |0+= C ．()-=+-a b a b D ．()()++=++a b c a b c 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】 解：A. ()0a a +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】 本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键. 4．如果向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为 12 ，那么向量a 用单位向量e 表示为（ ） A ．12 a e = B ．2a e = C ．12a e =- D ．2a e =- 【答案】C 【解析】 由向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12 ，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12 ， ∴12 a e =-． 故选C ． 5．已知233m a b =-，1124 n b a =+，那么4m n -等于（ ） A ．823a b - B ．443a b - C ．423a b - D ．843 a b - 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-，1124 n b a =+， ∴4m n -=2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-．
线性运算真题解析题及答案 一. 题目分析 本文将围绕线性运算的真题进行解析，以深入讨论线性运算的相 关知识点，并提供详细的解答过程和答案解析。 二. 基础概念回顾 在正式解析题目前，我们先回顾一些线性运算的基础概念。线性 运算是一种对于数值、符号或其他数学对象进行处理的运算方式，具 有可加性和可乘性的特点。常见的线性运算包括加法、减法、乘法和 除法等。 三. 题目解析 1. 题目：已知向量a=[1, 2, 3]，b=[4, 5, 6]，求a与b的点积。 解答：根据点积的定义，点积等于两个向量对应分量相乘再求和。所以，a与b的点积为1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32。 2. 题目：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，B = [5, 6; 7, 8]，求 A与B的矩阵乘法结果。 解答：矩阵乘法的规则是，如果A是一个m×n的矩阵，B是一个 n×p的矩阵，则A与B的乘积C是一个m×p的矩阵，其中C的每个元素等于A的对应行与B的对应列之积的和。根据题目给出的矩阵A和B，将其进行矩阵乘法计算得到C = [19, 22; 43, 50]。
3. 题目：已知向量a=[1, 2, 3]，b=[4, 5, 6]，c=[7, 8, 9]，求a、b和c的混合积。 解答：混合积是三个向量的标量积，它的计算公式为： a·(b×c)，其中×表示向量的叉乘。根据题目给出的向量a、b和c，首先计算b与c的叉积：b×c = [2×9-3×8, 3×7-1×9, 1×8-2×7] = [-6, 12, -6]。然后，将向量a与叉积结果[-6, 12, -6]进行点积 计算：a·[-6, 12, -6] = 1×(-6) + 2×12 + 3×(-6) = -6 + 24 - 18 = 0。 四. 答案解析 1. 答案：32。根据点积的定义，将a和b的对应分量相乘再求 和得到答案32。 2. 答案：C = [19, 22; 43, 50]。根据矩阵乘法的规则，将A 和B进行矩阵乘法得到矩阵C。 3. 答案：0。根据混合积的计算公式，首先计算b与c的叉积， 然后将其与向量a进行点积计算得到答案0。 五. 总结 通过对线性运算真题的解析，我们回顾了线性运算的基础概念， 并通过具体的题目进行了详细的解答过程和答案解析。线性运算在数 学中起到了重要的作用，尤其在向量和矩阵的处理中更加突出。掌握 线性运算的知识，将有助于解决各种复杂的数学问题和实际应用中的 计算需求。希望本文对读者们的学习和掌握线性运算有所帮助。
（易错题精选）初中数学向量的线性运算难题汇编 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】 解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确； B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确； C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r ，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜ 【答案】A 【解析】 【分析】 对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足； 当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】 解：若两向量共线，则由于是非零向量，且 ，则必有 ；代入可知 只有A 、C 满足； 若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令， ，则 ， ∴ 且 ； 又BA+BC>AC ∴
（专题精选）初中数学向量的线性运算难题汇编附答案解析 一、选择题 1．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r ； B ．2()22a b a b --=-+r r r r ； C ．()0a a +-=r r ； D ．0a a +=r r ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则进行计算. 【详解】 A. () ,a b b a A ---v v v v ＝所以错误； B. ( ) 222a b a b B ---v v v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r v v ＋＝，C 所以错误; D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键. 2．下列各式中错误的是( ) A ．()0a a r r +-= B ．|AB BA |0+=u u u r u u u r C ．() -=+-r r r r a b a b D ．()()++=++r r r r r r a b c a b c 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】 解：A. ()0a a v v v +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】 本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键. 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B 【解析】
【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】 -4a+5a=a v v v , 所以答案为B 选项 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键 4．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r 用向量a b r r 表示为（ ） A ．12 a b +r r B ．2133a b +r r C ．2233a b +r r D ．1124 a b +r r 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角形的重心性质得到： 2 3 AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】 ∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r ， ∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r ． ∴1b 2 AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r 又∵点O 是△ABC 的重心， ∴2 3AO AD = ， ∴221AO AD a b 333 ==+u u u r u u u r r r ． 故选：B ． 【点睛】
（专题精选）初中数学向量的线性运算难题汇编含解析 一、选择题 1．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（）． ①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A．1个B．2个C．3个D．0个 【答案】D 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】 解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误； ②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】 此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键. 2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A．｜2｜＞｜-2｜B．｜2｜＜｜-2｜ C．｜2｜＞｜2-｜D．｜2｜＜｜2-｜ 【答案】A 【解析】 【分析】 对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A、C满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C，进而解答本题. 【详解】 解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足； 若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC； 令，，则， ∴且； 又BA+BC>AC ∴ ∴. 故选A. 【点睛】 本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.
3．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题. 4．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴ 32 a b =-v v 故选D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 5．已知a r 、b r 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r B ．||a r ＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r
1.1.1 空间向量与线性运算 （一）、回顾平面向量 1.平面向量的概念 零向量 长度等于1个单位的向量与非零向量共线的单位向量为 2.向量的线性运算 （1）加法：是指求两个向量和的运算； 法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。 （2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；
法则（几何意义）：三角形法则。 （3）数乘：是指求实数与向量的积的运算； 法则（几何意义）：① ； ②当时， 与 的方向 ； ③当 时， 与 的方向 ；④四 时， = . 3.共线向量定理 向量与 共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得 。 4.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量， 一对实数 使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。 结论：（1）若向量， 不共线，则 的等价条件是； （2）三终点A,B,C 共线⇔存在实数使得 = ，且 5.两个向量的夹角 （1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。 （2）范围：夹角的取值范围是 。 ①当 与 同向时， = ；②反向时， = ；③当 与 垂直时， = ，并记作 ⊥ 。 6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 （1）与的夹角是锐角⇔· 0且与不共线； （2） 与 的夹角是钝角⇔ · 0且 与 不共线。 （二）、学习空间向量 知识点一：空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB → ，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类常见的空间向量
平面向量线性运算及综合应用问题 一、选择题（每小题5分,共25分) 1．已知两个非零向量a，b满足｜a＋b｜＝|a－b|,则下面结论正确的是 （)．A．a∥b B．a⊥b C．｜a|＝|b｜D．a＋b＝a－b 2．已知向量a，b满足｜a｜＝｜b|＝1，|a－b｜＝1，则|a＋b|＝ （）．A．1 B.错误! C.错误!D．2 3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若错误!＝2错误!，错误!＝错误!错误! ＋λ错误!,则λ＝ ( ）．A。错误!B。错误!C．－错误!D．－错误! 4．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(错误!sin A，sin B），n ＝(cos B，错误!cos A),若m·n＝1＋cos(A＋B），则C＝ ( ）．A。错误!B。错误!C。错误! D.错误! 5．已知|a｜＝|b｜＝2，（a＋2b)·（a－b）＝－2，则a与b的夹角
为 ( ）．A。错误! B.错误!C。错误! D.错误! 二、填空题（每小题5分，共15分) 6．已知向量a＝(错误!，1),b＝(0,－1）,c＝(k，错误!)．若a－2b与c共线，则k＝________. 7．设向量a，b,c满足a＋b＋c＝0,(a－b）⊥c，a⊥b,若｜a|＝1，则｜a｜2＋|b|2＋｜c|2的值是________． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝错误!,BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若错误!·错误!＝错误!，则错误!·错误!的值是________． 三、解答题（本题共3小题，共35分） 9．(11分)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝（－cos x，cos x），c＝(－1， 0)． （1)若x＝错误!，求向量a,c的夹角； (2)当x∈错误!，错误!时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．10．（12分)已知向量a＝(cos α,sin α)，b＝（cos β，sin β），c＝（－1,0)．
考点专练26：平面向量的概念与线性运算 一、选择题 1.(2022·山东省师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则“a ＝2b ”是“a |a|＝b |b|”成立的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝( ) A.0 B.BE → C.AD → D.CF → 3.已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD → ＝－3a ＋3b ，则( ) A .A ， B ， C 三点共线 B .A ，B ， D 三点共线 C .A ，C ，D 三点共线 D .B ，C ，D 三点共线 4.向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( ) A.－4e 1－2e 2 B.－2e 1－4e 2 C .e 1－3e 2 D.3e 1－e 2 5.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－12AB →＋32AC →．若BC →＝λCD → (λ∈R )，则λ＝( ) A .－2 B.－3 C.2 D.3 6.如图，AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD → ＝( ) A.a －12b B.12a －b C .a ＋12b D.1 2a ＋b 7.(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上．若AE →＝AD →＋μAB → ，则μ的取值范围是( ) A .[0,1] B.[0，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ 12，2
5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版） 1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下面的命题正确的有（ ） A ．方向相反的两个非零向量一定共线 B ．单位向量都相等 C ．若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b > D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ） A ．对于任意两个向量,a b ，若a b >，且a b 与同向，则a b > B ．已知6a =，e 为单位向量，若3,4 a e π <>= ，则a 在e 上的投影向量为32e - C ．设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件 D ．若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角是钝角 3．（2022·江苏）（多选）设a 是已知的平面向量，向量a ，b ，c 在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（ ） A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+； B ．给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+； C ．给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+； D ．若||2a =，存在单位向量b ，c 和正实数λ，μ，使a b c λμ=+，则336λμ+>． 4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设a 是已知的平面向量且0a ≠，向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，关于向量a 的分解，下列说法正确的是（ ） A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+； B ．给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+； C ．给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+； D ．给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+． 题组一 概念辨析