（易错题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编及解析
一、选择题
1．下列说法不正确的是( ) A ．设e r
为单位向量，那么||1e =r
B ．已知a r
、b r
、c r 都是非零向量，如果2a c =r r
，4b c =-r
r ，那么//a b r
r
C ．四边形ABC
D 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，那么这个四边形一定是平行四
边形
D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】
解：A. 设e r
为单位向量，那么||1e =r
，此选项说法正确；
B. 已知a r
、b r
、c r 都是非零向量，如果2a c =r r
，4b c =-r
r ，那么//a b r
r
，此选项说法正确；
C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，即AD=BC ，不能判定这个四边
形一定是平行四边形，此选项说法不正确；
D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．
2．□ABCD 中， -+等于( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】
∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量，
∴ = -
∴
-+
=
-
+
=
，
故选A ． 【点睛】
此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出
与 是一对相反向量.
3．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，
，则向量
关于
、的分解式表示正确的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.
【详解】 ∵ ∴ ∵
∴
故本题答案选B. 【点睛】
本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．
4．若向量a r
与b r
均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．
A ．a b =r r
B ．1a =r
C ．1b =r
D ．a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
由向量a r
与b r
均为单位向量，可得向量a r
与b r
的模相等，但方向不确定． 【详解】
解：∵向量a r 与b r
均为单位向量，
∴向量a r 与b r
的模相等，
∴a b =r r
.
故答案是：D. 【点睛】
此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．
5．已知5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()
3CD a b =-u u u r r r ，则（ ）．
A ．A 、
B 、D 三点共线 B ．A 、B 、
C 三点共线 C ．B 、C 、
D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线
【答案】A 【解析】 【分析】
根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】
解：∵28BC a b =-+u u u r r r ，()
3CD a b =-u u u r r r ，5AB a b =+u u u r r r
∴()
2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
， ∴AB u u u r 、BD u u u r
是共线向量
∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r
∴不存在实数λ，使AB BC λ=u u u r u u u r ，即AB u u u r 、BC uuu
r 不是共线向量
∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；
∵28BC a b =-+u u u r r r ，()
3CD a b =-u u u r r r
∴不存在实数λ，使BC CD λ=u u u r u u u r ，即BC uuu r 、CD uuu
r 不是共线向量
∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误；
∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()
3CD a b =-u u u r r r ，
∴()
52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
∴不存在实数λ，使AC CD λ=u u u r u u u r ，即AC u u u r 、CD uuu
r 不是共线向量
∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误； 故选A. 【点睛】
此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.
6．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．
①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反；
②0m ≠，0a ≠r
r
时，ma r 与a r
是平行向量； ③0mn >，0a ≠r
r
时，ma r 与na r
的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r
r
时，ma r 与na r
的方向一定相反． A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r r ，所以ma r 与a r 的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r r ，所以ma r 与a r 是平行向量，故②正确；
③因为0mn >，0a ≠r r ，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r 的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r r ，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r 的方向一定相反，故④正确．
故选D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
7．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r
，那么下列
选项中，与向量()
12
m n +u
r r 相等的向量是（ ）.
A ．OA u u u r
B ．OB uuu r
C ．OC u u u r
D ．OD uuu r
【答案】C 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r
，然后由三角形
法则，求得AC u u u r 与BD u u u r
，继而求得答案． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==u u u r u u u r r ，
∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u
r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r u
r r ，()
11=22
OC AC m n =
+u u u r u u u r u r r
()
11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r u
r ，()
11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r
故选：C ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
8．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r
表示向量b r
正确的是（ ） A ．b r
＝32
a r B ．
b r
＝
23
a r C ．
b r
＝﹣
32
a r D ．
b r
＝-
23
a r 【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件得到非零向量a r
、b r
的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．
【详解】
∵2|a r
|=3|b r |，∴|b r |23
=|a r |．
又∵非零向量a r 与b r
的方向相同，∴23
b a =r r ．
故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】
根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C.
方向相反，
错误，
D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；
故选D. 【点睛】
此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.
10．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）
A ．AC u u u r 与BD u u u r
是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r
是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r
是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r
是相等向量
【答案】B 【解析】 【分析】
由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r
是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，，继而
证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，
∴AC BD =-u u u r u u u r
，该选项错误；
B 、∵点
C 、
D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r
是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，
∴AD u u u r 与BD u u u r
不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ，
∴AD=BC ，
∴AD BC =-u u u r u u u r ，，该选项错误； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．
11．已知向量a r
和b r
都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）
A ．a b =r r
B ．2a b +=r r
C ．0a b -=r r
D ．a b =r
r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量a r 和b r 都是单位向量，，可知|a r
|＝|b r |＝1，由此即可判断．
【详解】
解：A 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r
r
不一定成立，故本选项错
误．
B 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=r
r
不一定成立，故本选项错误．
C 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=r
r
不一定成立，故本选项错误．
D 、向量a r
和b r
都是单位向量，则|a r
|＝|b r
|＝1，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键
12．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r
等于（ ）
A ．1122a b +r r
B ．1122a b --r r
C ．1122a b -r r
D ．1122a b -+r r
【答案】D 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得12
OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r
，即可求得
OD uuu r
的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD=
1
2
BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，
∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222
a b a b -+=-+r r r r
故选：D ． 【点睛】
此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．
13．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =r
r
,AD b =r r ，那么向量OC r
可以表示为. ( )
A ．1122a b +r r
B ．1122r r a b -
C ．1122a b -+r
r
D ．1122
a b --r
r
【答案】A 【解析】 【分析】
利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可.
【详解】 由题意可得
()()
1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+r r
r r r r r r
【点睛】
本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.
14．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r
，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．//a b r r
B ．3||||2
a b =r r
C ．a r 与b r
方向相同
D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】
∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r
∴3a b 2
=-r r ，
∴a r ∥b r ，32
a b =-r r
a r 与
b r
方向相反，
∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．已知e r
是单位向量，且2,4a e b e =-=v
v
v v
，那么下列说法错误的是（ ）
A ．a r
∥b r
B ．|a r |=2
C ．|b r |=﹣2|a r |
D ．a r =﹣12
b r
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v
，4b e =v
v
，
∴//a b v v ，2a =v ， 4b =v ， 12
a b =-v v ，
故C 选项错误，
故选C.
16．已知5a b =r r
，下列说法中，不正确的是（ ）
A ．50a b -=r r
B ．a r 与b r 方向相同
C ．//a b r r
D ．||5||a b =r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】
A 、50a b -=r r
r
，故该选项说法错误
B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r
的方向相同，故该选项说法正确， C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r
，故该选项说法正确， D 、因为5a b =r
r
，所以||5||a b =r r
；故该选项说法正确， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
17．如果2a b =r r （a r ，b r
均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A ．a r //b r
B ．a r -2b r =0
C ．b r =12
a r
D ．2a b =r r
【答案】B 【解析】
试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v v
v
-= 故错误.
故选B.
18．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，
＝，那么
等于
（ ）
A ．＝＋
B ．＝＋
C ．＝－
D ．＝＋
【答案】D 【解析】 【分析】
利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得
＝
,
＋ .
故选D. 【点睛】
本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.
19．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ．
m n a ma na ++r r r
（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r （+）＝ D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0
v
是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误．
故选D ．
【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
20．下列说法正确的是（ ） A ．()0a a +-=r r
B ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r r
C ．如果||||a b =r r ，那么a b =r r
D ．12
a b =-r r （b r 为非零向量），那么//a b r r
【答案】D
【解析】
【分析】 根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.
【详解】
解：A 、()a a +-r r 等于0向量，而不是0，故A 选项错误；
B 、如果a r 和b r 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；
C 、如果||||a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；
D 、如果12
a b =-r r （b r 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
（易错题精选）初中数学向量的线性运算技巧及练习题含答案(1) 一、选择题 1．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（） A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量 C．2-＝D．∥ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D、由＝-得到∥，故本选项说法正确． 故选D． 【点睛】 考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大． 2．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】 解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，， 则， ∴，故选A. 【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键. 3．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题. 4．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ， ∴12 a e =-r r ． 故选C ． 5．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．() a a b b --= B ．0a 0=
初中数学向量的线性运算难题汇编含解析 一、选择题 1．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r r B ．||3||a b =r r C ． 5a b =-r r D ．2a b =r r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】 解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意． B 、由||3||a b =r r 只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意． C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相反，则//a b r r ，故本选项不符合题意． D 、由2a b =r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r 叫做平行向 量． 2．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=， =， =， =，则 （ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】 根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误； ； 而 ； ∴B 正确. 故选B. 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.
向量的线性运算真题汇编及答案 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】 解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确； B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确； C . a r ＝k b r （k ≠0）?a r ∥b r ，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题. 3．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ） 的长度为（ ） A ．2 B ．4 C 1 D 1 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用勾股定理即可计算出向量 （AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ）的长度为 【详解】 |||1||22|||2|224 AB BC AC AC AB BC AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==?=∴u u u r u u u r Q u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：B. 【点睛】 考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则. 4．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =- r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ， ∴12 a e =- r r ． 故选C ． 5．已知233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ，那么4m n -r r 等于（ ）
向量的线性运算真题汇编及解析 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】 解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确； B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确； C . a r ＝k b r （k ≠0）?a r ∥b r ，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 2．在中，已知是 边上一点， ，则( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】 解：在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2 ， ， 则， ∴ ，故选A. 【点睛】 本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.
3．已知向量，且 则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ． A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【答案】A 【解析】 【分析】 证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】 解：由向量的加法原理知 所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】 本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型. 4．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B 【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】 -4a+5a=a v v v , 所以答案为B 选项 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键 5．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b r r 、表示为（ ） A ．12 a b +r r B ．12a b -r r C ．12a b -+r r D ．12 a b --r r 【答案】A 【解析】 【分析】
向量的线性运算真题汇编附答案解析 一、选择题 1．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量； ③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】 解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r r ，所以ma r 与a r 的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r r ，所以ma r 与a r 是平行向量，故②正确； ③因为0mn >，0a ≠r r ，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r 的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r r ，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r 的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】 此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键. 2．□ABCD 中， -+等于( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+ = - + = ， 故选A ． 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出 与 是一对相反向量.
初中数学向量的线性运算全集汇编含答案解析 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（ ） A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0 B ．如果e r 是单位向量，那么e r ＝1 C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r D ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ， 那么a r ∥b r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】 解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r ． B 、如果e r 是单位向量，那么e r ＝1，错误．应该是e r ＝1． C 、如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r ，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，那么a r ∥b r ，正确． 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识. 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与 的大小，所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】 此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征. 3．在四边形ABCD 中，， ， ，其中与不共线， 则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．梯形 D ．菱形
新初中数学向量的线性运算难题汇编附答案解析 一、选择题 1．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r ； B ．2()22a b a b --=-+r r r r ； C ．()0a a +-=r r ； D ．0a a +=r r ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则进行计算. 【详解】 A. () ,a b b a A ---v v v v ＝所以错误； B. ( ) 222a b a b B ---v v v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r v v ＋＝，C 所以错误; D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键. 2．已知向量，若与共线，则( ) A ． B ． C ． D ． 或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么 ，即可完成解答. 【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即 ； 与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】 本题考查了向量的共线，即= 是解答本题的关键. 3．下列等式正确的是（ ） A ．A B u u u r +B C uuu r ＝CB u u u r +BA u u u r B ．AB u u u r ﹣BC uuu r ＝AC u u u r C ．AB u u u r +BC uuu r +CD uuu r ＝DA u u u r D ．AB u u u r +BC uuu r ﹣AC u u u r ＝0r 【答案】D 【解析】 【分析】
（易错题精选）初中数学向量的线性运算难题汇编 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】 解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确； B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确； C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r ，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜ 【答案】A 【解析】 【分析】 对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足； 当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】 解：若两向量共线，则由于是非零向量，且 ，则必有 ；代入可知 只有A 、C 满足； 若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令， ，则 ， ∴ 且 ； 又BA+BC>AC ∴
（专题精选）初中数学向量的线性运算难题汇编含解析 一、选择题 1．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（）． ①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A．1个B．2个C．3个D．0个 【答案】D 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】 解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误； ②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】 此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键. 2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A．｜2｜＞｜-2｜B．｜2｜＜｜-2｜ C．｜2｜＞｜2-｜D．｜2｜＜｜2-｜ 【答案】A 【解析】 【分析】 对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A、C满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C，进而解答本题. 【详解】 解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足； 若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC； 令，，则， ∴且； 又BA+BC>AC ∴ ∴. 故选A. 【点睛】 本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.
3．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题. 4．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴ 32 a b =-v v 故选D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 5．已知a r 、b r 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r B ．||a r ＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r
新初中数学向量的线性运算真题汇编及答案解析 一、选择题 1．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ） A ．||＝2|| B ．是与方向相同的单位向量 C ．2-＝ D ．∥ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确． 故选D ． 【点睛】 考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大． 2．下列各式中错误的是( ) A ．()0a a r r +-= B ．|AB BA |0+=u u u r u u u r C ．() -=+-r r r r a b a b D ．()()++=++r r r r r r a b c a b c 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】 解：A. ()0a a v v v +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】 本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键. 3．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ）
的长度为（ ） A ．2 B ．4 C 1 D 1 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ）的长度为 【详解】 |||1||22|||2|224 AB BC AC AC AB BC AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：B. 【点睛】 考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则. 4．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ， ∴12 a e =- r r ． 故选C ． 5．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】
2023年上海市15区中考数学一模汇编 专题04向量的线性运算（34题） 一．选择题（共12小题） 1．（2022秋•金山区校级期末）已知，下列说法中不正确的是（） A．B．与方向相同 C．D． 2．（2022秋•徐汇区期末）下列命题正确的个数是（） ①设k是一个实数，是向量，那么k与相乘的积是一个向量； ②如果k≠0，，那么的模是|k|||； ③如果k＝0，或，那么； ④如果k＞0，的方向与的方向相反． A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2022秋•徐汇区期末）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（） A．B．C．D． 4．（2022秋•黄浦区校级期末）已知＝2，下列说法中不正确的是（） A．﹣2＝0B．与方向相同 C．∥D．||＝2|| 5．（2022秋•闵行区期末）下列命题中，正确的是（） A．如果为单位向量，那么＝|| B．如果、都是单位向量，那么＝ C．如果＝﹣，那么∥ D．如果||＝||，那么＝ 6．（2022秋•静安区期末）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．C．D． 7．（2022秋•嘉定区校级期末）如图，在△ABC中，点D是在边BC上一点，且BD＝2CD，，，那么等于（） A．B．C．D． 8．（2022秋•杨浦区校级期末）下列说法中不正确的是（） A．如果m、n为实数，那么
B．如果k＝0或，那么 C．如果k≠0，且，那么的方向与的方向相同 D．长度为1的向量叫做单位向量 9．（2022秋•青浦区校级期末）已知非零向量、，且有＝﹣2，下列说法中，不正确的是（）A．||＝2||B．∥ C．与方向相同D．+2＝ 10．（2022秋•黄浦区期末）矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果＝，＝，那么（）A．＝（﹣）B．＝（﹣）C．＝﹣D．＝（+） 11．（2022秋•徐汇区校级期末）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（）A．B．C．D． 12．（2022秋•杨浦区期末）已知为非零向量，＝3，＝﹣2，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝|| C．与方向相同D．与方向相反 二．填空题（共11小题） 13．（2022秋•闵行区期末）化简：（﹣3+）﹣＝． 14．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3（﹣2）﹣2（﹣3）＝． 15．（2022秋•黄浦区期末）计算：3（2﹣）﹣（3+2）＝． 16．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3（+2）﹣2（﹣）＝． 17．（2022秋•徐汇区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝． 18．（2022秋•嘉定区校级期末）如果向量、、满足关系式，那么＝（用向量、表示）． 19．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知在△ABC中，AD＝2，AB＝5，DE∥BC．设，，试用向量、表示向量＝． 20．（2022秋•金山区校级期末）如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设＝2，＝，那么向量用向
（易错题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编及解析 一、选择题 1．下列说法不正确的是( ) A ．设e r 为单位向量，那么||1e =r B ．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r C ．四边形ABC D 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r ，那么这个四边形一定是平行四 边形 D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】 解：A. 设e r 为单位向量，那么||1e =r ，此选项说法正确； B. 已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r ，此选项说法正确； C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r ，即AD=BC ，不能判定这个四边 形一定是平行四边形，此选项说法不正确； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】 本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键． 2．□ABCD 中， -+等于( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+ = - + = ，
（专题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编及答案解析 一、选择题 1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r r 等于（ ） A ．BD u u u r B ．A C u u u r C ．DB u u u r D ．CA u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r ，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ， ∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ， ∴a b +r r =AB u u u r +BC uuu r =AC u u u r ． 故选B ． 2．下列判断不正确的是（ ） A ．如果A B CD =u u u r u u u r ，那么AB CD =u u u r u u u r B ．+＝+ C ．如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r 平行或共线 D ．AB BA 0+=u u u r u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r 可判断D 错误 【详解】 A 、如果A B CD =u u u r u u u r ，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确； B 、a b b a +=+r r r r ，故本选项正确；
（专题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编附答案 一、选择题 1．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a v v B ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c r r ，那么a r ∥b r C ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1 D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】 A 、0•=0a v v ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v =2c v ，a v -b v =3c v 得到：a v ＝52 c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ， 故本选项不符合题意． C 、e v 为单位向量，那么|e v |=1，故本选项不符合题意． D 、由|a v |=2|b v |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】 考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大． 2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜ 【答案】A 【解析】 【分析】 对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足； 当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】 解：若两向量共线，则由于是非零向量，且 ，则必有 ；代入可知 只有A 、C 满足； 若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令， ，则 ， ∴ 且 ；
（专题精选）初中数学向量的线性运算易错题汇编及答案解析 一、选择题 1．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）． ①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有() m a b ma mb -=-r r r r ②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r ③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n = A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】 ①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有() m a b ma mb -=-r r r r ，正确； ②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确； ③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确； 故选C. 【点睛】 本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键． 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C.
（易错题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编含答案 一、选择题 1．下列说法正确的是（ ） A ．()0a a +-=r r B ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r r C ．如果||||a b =r r ，那么a b =r r D ．12 a b =-r r （b r 为非零向量），那么 //a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】 解：A 、()a a +-r r 等于0向量，而不是0，故A 选项错误； B 、如果a r 和b r 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误； C 、如果||||a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误； D 、如果12 a b =-r r （b r 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量. 2．下列命题： ①若a b r r =，b c =r r ，则c a =r r ； ②若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r ∥c r ； ③若|a r |=2|b r |，则2a b =r r 或a r =﹣2b r ； ④若a r 与b r 是互为相反向量，则a r +b r =0． 其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】
（专题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编含答案解析 一、选择题 1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则下列选项 与1122 a b -+r r 相等的向量是（ ）． A ．MA u u u r B ．MB u u u r C ．MC u u u u r D ．MD u u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】 解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴() 11112222 a M AC a b A b =+==----u u u r u u u r r r r r ，故A 不符合题意； () 11112222 MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r r r r ，故B 不符合题意； () 11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r r r ，故C 不符合题意； () 11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r r r r ，故D 符合题意. 故选D. 【点睛】 此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 2．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=， =， =， =，则 （ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正