高考数学必考点专项第13练 平面向量的概念及其线性运算小题精选
一、单选题
1. 设D 是ABC ∆所以平面内一点，3BC CD =，则AD =（ ） A.
4133AB AC + B. 4133AB AC - C. 1433AB AC - D. 14
33
AB AC -+ 2. 两个非零向量a ，b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量a b +与a 的夹角为 ( ) A.
6
π B.
3
π C.
23
π D.
56
π 3. 已知等边三角形ABC 的边长为6，点P 满足20PA PB PC +-=，则||PA = ( )
A. B. C. D. 4. 设非零向量a ，b 满足|+|=||a b a b -，则( ) A. a b ⊥
B. ||=||a b
C. //a b
D. ||||a b >
5. 已知向量3AB a b =+，53BC a b =+，33CD a b =-+，则( ) A. A ，B ，C 三点共线 B. A ，B ，D 三点共线 C. A ，C ，D 三点共线
D. B ，C ，D 三点共线
6. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中a ，b
不共线，则四边形ABCD 为( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 梯形
D. 菱形
7. O 为ABC 内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，
则t 的值为( )
A.
14
B.
13
C.
12
D.
23
8. 设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“||||||a b a b +=+”
的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 如图所示，O 为线段0201A A 外一点，若0A ，1A ，2A ，3A ，…，201A 中任意相邻
两点间的距离相等，0OA a =，201OA b =，则用a ，b 表示012OA OA OA +++…
201OA +，其结果为( )
A. 100()a b +
B. 101()a b +
C. 201()
a b +
D. 202()a b +
10. 在ABC 中，下列命题正确的个数是( )
①AB AC BC -=； ②0AB BC CA ++=；
③点O 为ABC 的内心，且()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC 为等腰三角形；
④0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 在ABC 中，点M 是AB 的中点，2
3
AN AC =
，线段CM 与BN 交于点O ，动点P 在BOC 内部活动(不含边界)，且AP AB AN λμ=+，其中λ、R μ∈，则λμ+的取值范围是( )
A.
B. C. 11
(1,
)8 D. 3(1,)2
二、多选题
12. 已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则( ) A. AB DC = B. DA DC DB +=
C. AB AD BD -=
D. 1
()2
OB DA BA =+
13. 在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是( )
A. 0AB AC AD +-=
B. 0DA EB FC ++=
C.
是
的平分线所在直线的方向向量
D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为1
8
三、填空题
14. 设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=__________. 15. 设a ，b 为单位向量，且|a b +|1=，则|a b -|=__________.
16. 已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，则||||a b a b ++-的最小值是__________，
最大值是__________.
17. 给出下列命题：
①若||||a b →
→
=，则a b →
→
=；
②若A ，B ，C ，D 是不共线四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若a b →
→
=，b c →
→
=，则a c →
→
=； ④若//a b →
→
，//b c →
→
，则//.a c →
→
其中正确命题的序号是__________.
18. 已知非零向量a ，b 满足||||||a b a b ==-，则
||
||
a b a b +=-__________.
19. 若三点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,)(0)C b ab ≠共线，则11
a b
+的值等于__________；
若满足0a >，0b >，则a b +的最小值等于__________.
20. 如图ABC 是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，
1
4
AM AB m AC =
+⋅，向量AM 的终点M 在ACD 的内部(不含边界)，则实数m 的取值范围是__________.
答案和解析
1.【答案】D
解：因为3BC CD =，所以33AC AB AD AC -=-， 所以14
.33
AD AB AC =-+ 故选.D
2.【答案】B
解：设||1a =，则||||2a b a b +=-=，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形， 且||3b =，
设向量a b +与a 的夹角为θ，则||1
cos 2||a a b θ==+，3
πθ∴=，
故选.B
3.【答案】C
解：因为20PA PB PC +-=，
所以2()()0PA PA AB PA AC ++-+=， 整理得，1
2
PA AC AB =
-， 由等边三角形ABC 的边长为6， 得1
66182
AB AC =⨯⨯
=， 两边平方得，2
2211
3636182744
PA AC AB AC AB =
+-=⨯+-=，
则||3 3.PA = 故选：.C
4.【答案】A
解：
非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，
22()()a b a b ∴+=-，
即2
2
2
2
22a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，整理得40a b ⋅=， 解得0a b ⋅=，
.a b ∴⊥
故本题选.A
5.【答案】B
解：
262(3)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+=，
BD ∴，AB 共线，且有公共点B ，
A ∴，
B ，D 三点共线．
故选.B
6.【答案】C
解：
2,4,AB a b BC a b =+=--
53CD a b =--， AD AB BC CD ∴=++ 822a b BC =--=，
2AD BC ∴=，
//AD BC ∴，且AD BC ≠，
∴四边形ABCD 为梯形.
故选.C
7.【答案】B
解：以OB ，OC 为邻边作平行四边形OBFC ，连接OF 与BC 相交于点E ，E 为BC 的中点．
20OA OB OC ++=，22OB OC OA OF OE ∴+=-==，
∴点O 是线段AE 的中点．
B ，O ，D 三点共线，AD t A
C =，∴点
D 是BO 与AC 的交点．
过点O 作//OM BC 交AC 于点M ，则点M 为AC 的中点． 则11
24
OM EC BC =
=， 14
DM DC ∴
=， 1
3DM MC ∴=，
21
33
AD AM AC ∴=
=，AD t AC =， 1
.3
t ∴=
故选.B
8.【答案】B
解：若“||||||a b a b +=+”，
则平方得22
||2||a a b b +⋅+
22||||2||||a b a b =++⋅，
即||||a b a b ⋅=⋅，
即||||cos a b a b a ⋅=<，||||b a b >=⋅， 则cos a <，1b >=，
即a <，0b >=，即a ，b 同向共线，则存在实数λ，使得a b λ=， 反之当a <，b π>=时，满足a b λ=，但a <，0b >=不成立，
即“存在实数λ，使得a b λ=”是“||||||a b a b +=+”的必要不充分条件， 故选：.B
9.【答案】B
解：设0201A A 的中点为A ，则A 也是1200A A ，…，100101A A 的中点， 可得02012OA OA OA a b +==+，
同理可得，12002199OA OA OA OA +=+=…100101OA OA a b =+=+， 故012OA OA OA +++…2011012101().OA OA a b +=⨯=+ 故选.B
10.【答案】B
解：由ABC ，得：
在①中，AB AC CB -=，故①错误； 在②中，0AB BC CA ++=，故②正确；
在③中，点 O 为ABC 的内心， 且()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即
，
即()0CB AB AC ⋅+=，
因为AB AC +表示A ∠的平分线，设AB AC AF +=， 故0CB AF ⋅=，故CB AF ⊥，
则AB AC =，ABC 为等腰三角形，故③正确；
在④中，0AC AB ⋅>，则BAC ∠是锐角，但是不能保证另外两个角均为锐角，即ABC 不一定为锐角三角形，故④错误． 共计2个正确， 故选：.B
11.【答案】D
解：若点P 为交点O 时，易知13
.44
AP AB AN =
+ ①若点P 在线段BO 上运动时，1λμ+=； ②若点P 在线段BC 上运动时，23AP AB AC μλ=+
，213
μ
λ+=， 33(1),[0,1]2
2
2
λλμλλλ+=+-=-∈，3
[1,]2
λμ+∈；
③若点P 在线段OC 上运动时，223AP AM AC μλ=+
，2213
μλ+=，331(12)2,[0,]224
λμλλλλ+=+-=-∈，3
[1,]2
λμ+∈；
综上，由于不含边界，3(1,).2
λμ∴+∈
另解：按照三点共线定理可知，当点P 在直线BN 上时，1λμ+=， 当点P 在直线BN 的下方且平行于直线BN 的直线上时， 随着直线向下平行移动，λμ+的值越来越大， 因为点P 在BOC 内部活动(不含边界)上运动， 所以到达临界点C 时λμ+的值为上限值
32
， 3
(1,).2
λμ∴+∈
故选：.D
12.【答案】AB
解：因为O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，
对于选项A ，结合相等向量的概念可得， AB DC =，即A 正确； 对于选项B ，由平行四边形法则可得DA DC DB +=，即B 正确； 对于选项C ，由向量的减法可得AB AD DB -=，即C 错误； 对于选项D ，由向量的加法运算可得1
()2
CO DA BA OB =+≠，即D 错误， 综上可得A ，B 正确， 故选：.AB
13.【答案】BCD
解：如图所示：
对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误.
对选项B ，
，故B 正确.
对选项C ，，分别表示与，同向的单位向量，
由平面向量加法可知C 正确；
对选项D ，如图所示：
因为
在上，即三点共线， 设，0 1.t
又因为，所以.
因为，则，0 1.t
令，
当时，取得最大值为.故选项D 正确.
故选：.BCD
14.【答案】12
解：向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，
(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+， ，解得实数1.2
λ= 故答案为1
.2
15.解：222||2221a b a b a b a b +=++⋅=+⋅=，
12
a b ⋅=-， 222||2223a b a b a b a b -=+-⋅=-⋅=，
|| 3.a b ∴-=
16.【答案】4
【解析】解：设a OA =，b OB =，
记AOB α∠=，则0απ，如图，
由余弦定理可得：
||54cos a b α+=+，
||54cos a b α-=-，
令54cos x α=-，54cos y α=+，
则22
10(x y x +=、1)y ，其图象为一段圆弧MN ，如图，
令z x y =+，则y x z =-+，
则直线y x z =-+过M 、N 时，z 最小，min 13314z =+=+=，
当直线y x z =-+与圆弧MN 相切时，z 最大，
由平面几何知识易知max z 即为原点到切线的距离的2倍，
也就是圆弧MN 所在圆的半径的2倍，
所以max 2102 5.z =⨯=
综上所述，||||a b a b ++-的最小值是4，最大值是2 5.
故答案为：4；
17.【答案】②③
解：①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；
②正确.AB DC =，||||AB DC ∴=且//AB DC ，
又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，
∴四边形ABCD 为平行四边形；
反之，若四边形ABCD 为平行四边形，
则//AB DC 且||||AB DC =，
AB DC ∴=；
③正确.
a b →→=，a →∴，b →
的长度相等且方向相同， 又b c →→=，b →∴，c →的长度相等且方向相同，
a →∴，c →的长度相等且方向相同，故a c →→
=；
④不正确.当0b =时，满足////a b c ，但是推不出//a c ，
综上所述，正确命题的序号是②③.
故答案为②③.
18.解：如图，设OA a =，OB b =，
则OC OA OB a b =+=+，.BA OA OB a b =-=-
||||||a b a b ==-，
.BA OA OB ∴==
OAB ∴为正三角形，设其边长为1，
则||||1a b BA -==，3||22
a b +=⨯= ||3
1
||a b a b +∴==-
19.【答案】12
8
解：(2,2)AB a =--，(2,2)AC b =--，
依题意知//AB AC ，
有(2)(2)40a b -⋅--= 即220ab a b --=，变形为2()ab a b =+， 所以1112
a b a b ab ++== 又0a >，0b >，
当且仅当4a b ==时等号成立. 故答案为1
,8.2
20.【答案】13(,)44
解：如图所示，设14AE AB =，过点E 作//EP AC ，分别交AD ，BC 于点Q ，P ， 分别过Q ，P 作//QR AE ，//PF AE 交AC 于点R ，.F
则13,44
AR AC AF AC ==， 14AM AB m AC =
+⋅，M 在ACD 的内部(不含边界)， ∴点M 在线段QP 上(不含点Q ，)P ，
当点M 位于点Q 时，1144AM AQ AB AC ==+，可得14
m =， 当点M 位于点P 时，1344AM AP AB AC ==
+，可得34m =， 故m 的取值范围为13
(,)44
. 故答案为13(,)44 .
长度等于0的向量叫做零向量，下面的是数学高考复习平面向量的概念及线性运算专题测试，请考生及时练习。一、填空题1.若O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2++=0，那么=________.[解析] 因为D为BC边的中点，+=2，又2++=0，2+2=0，即=.因此=2，故=.[答案]2.(2014镇江质检)若a+c与b都是非零向量，则a+b+c=0是b(a+c)的________条件.[解析] 若a+b+c=0，则b=-(a+c)，b∥(a+c);若b(a+c)，则b=(a+c)，当-1时，a+b+c0.因此a+b+c=0是b(a+c)的充分不必要条件.[答案] 充分不必要3.如果=e1+e2，=2e1-3e2，=3e1-ke2，且A，C，F三点共线，则k=________.[解析] =e1+e2，=2e1-3e2，=+=3e1-2e2.A，C，F三点共线，∥，从而存在实数，使得=.3e1-2e2=3e1-ke2，又e1，e2是不共线的非零向量，因此k=2.[答案] 24.(2014南京调研)在ABC中，点D是BC边上的点，=+(，R)，则的最大值为________.[解析] D在边BC上，且=+，0，0，且+=1，2=，当且仅当==时，取=号.[答案]5.(2014泰州市期末考试)在ABC中，=2，若=1+2，则12的值为________.[解析] =+=+，而=-，所以=+，所以1=，2=，则12=.[答案]6.(2014南京市调研)如图43所示，在ABC中，D，E分别为边BC，AC 的中点，F为边AB上的点，且=3，若=x+y，x，yR，则x+y的值为________.图43[解析] D 为BC的中点，=(+)=(3+2)=+，故x=，y=1，x+y=.[答案]7.(2014宿迁质检)若点M是ABC所在平面内的一点，且满足5=+3，则ABM与ABC的面积比为________.[解析] 设AB的中点为D，如图所示，由5=+3得3-3=2-2，即3=2.故C，M，D三点共线，且=.所以===.[答案]8.(2014扬州质检)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||=4，|+|=|-|，则||=________.[解析] 延长AM至点D，连结BD、CD，则ABDC为平行四边形，+=，-=，|+|=|-|，||=||=4，||=||=2.[答案] 2二、解答题9.设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线;(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.[解] (1)=a+b，=2a+8b，=3(a-b).=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)假设ka+b与a+kb共线，则存在实数，使ka+b=(a+kb)，即(k-)a=(k-1)b.又a，b是两不共线的非零向量，k-=k-1=0.k2-1=0，k=1.10.在ABC中，=，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM 交DE于N，设=a，=b，用a、b表示向量、、、、、.图44[解] ==b.=-=b-a.由ADE∽△ABC，得==(b-a).又AM是ABC的中线，DEBC，得==(b-a).又=(+)=(a+b).==(a+b).数学高考复习平面向量的概念及线性运算专题测试及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望可以帮助考生复习数学。2016年高考第一轮复习备考专题已经新鲜出炉了，专题包含高考各科第一轮复习要点、复习方法、复习计划、复习试题，大家来一起看看吧~
高考数学必考点专项第13练 平面向量的概念及其线性运算小题精选 一、单选题 1. 设D 是ABC ∆所以平面内一点，3BC CD =，则AD =（ ） A. 4133AB AC + B. 4133AB AC - C. 1433AB AC - D. 14 33 AB AC -+ 2. 两个非零向量a ，b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量a b +与a 的夹角为 ( ) A. 6 π B. 3 π C. 23 π D. 56 π 3. 已知等边三角形ABC 的边长为6，点P 满足20PA PB PC +-=，则||PA = ( ) A. B. C. D. 4. 设非零向量a ，b 满足|+|=||a b a b -，则( ) A. a b ⊥ B. ||=||a b C. //a b D. ||||a b > 5. 已知向量3AB a b =+，53BC a b =+，33CD a b =-+，则( ) A. A ，B ，C 三点共线 B. A ，B ，D 三点共线 C. A ，C ，D 三点共线 D. B ，C ，D 三点共线 6. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 7. O 为ABC 内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线， 则t 的值为( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 23 8. 设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“||||||a b a b +=+” 的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图所示，O 为线段0201A A 外一点，若0A ，1A ，2A ，3A ，…，201A 中任意相邻 两点间的距离相等，0OA a =，201OA b =，则用a ，b 表示012OA OA OA +++… 201OA +，其结果为( ) A. 100()a b + B. 101()a b + C. 201() a b + D. 202()a b + 10. 在ABC 中，下列命题正确的个数是( ) ①AB AC BC -=； ②0AB BC CA ++=； ③点O 为ABC 的内心，且()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC 为等腰三角形； ④0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
专题5.1 平面向量的概念及线性运算 真题回放 1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 ( ) A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A 2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos ,m n = 1 3 .若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ） 9 4 （D ）– 94 【答案】B 【考点】平面向量的数量积 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n ⊥(t m +n )出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等. 3.【2016年高考北京理4题】设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的 （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】 D 【考点】充要条件,向量运算 【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 考点分析 融会贯通 题型一 平面向量的概念 典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点C 在线段AB 上，且，则AC uuu r 等于（ ） 【答案】D 【解析】因为点C 在线段AB 上，所以AC uuu r 等于 D. 考点：向量的相等. 解题技巧与方法总结 平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念及特征，需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况，这点需要与直线平行加以区别
平面向量及其线性运算练习题（1） 1. 设a → =(sin α,√3 3),b → =(cos α,1 3)，且a → // b → ，则锐角α为（ ） A.30∘ B.60∘ C.75∘ D.45∘ 2. 已知向量a → =(2, 1)，b → =(2, sin α−1)，c → =(−2, cos α)，若(a → +b → ) // c → ，则tan α的值为（ ） A.2 B.1 2 C.−1 2 D.−2 3. 已知四个命题： p 1：∃x 0∈R ，sin x 0−cos x 0≥√2；p 2:∀x ∈R ，tan x =sin x cos x ； p 3：∃x 0∈R,x 02 +x 0+1≤0；p 4:∀x >0，x +1 x ≥2． 以下命题中假命题是（ ） A.p 1∨p 4 B.p 2∨p 4 C.p 1∨p 3 D.p 2∨p 3 4. 设平面向量a → =(1, 2)，b → =(−2, y)，若a → // b → ，则|2a → −b → |等于（ ） A.4 B.5 C.3√5 D.4√5 5. 已知命题p ：“x >1”，命题q ：“1 x <1”，则p 是q 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6. 下列说法中正确的是（ ） A.零向量没有方向 B.平行向量不一定是共线向量 C.若向量与同向且 ，则 D.若向量，满足且与同向，则
7. |OA → |＝1，|OB → |=√3，OA → ⋅OB → =0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30∘ ，设OC → =mOA → +nOB → (m 、n ∈R)，则m n 等于（ ） A.13 B.3 C.√3 3 D.√3 8. 已知集合A ＝{x|x ≥0}，集合B ＝{x|x >1}，则以下真命题的个数是（ ） ①∃x 0∈A ，x 0∉B ；②∃x 0∈B ，x 0∉A ；③∀x ∈A ，x ∈B ；④∀x ∈B ，x ∈A ． A.4 B.3 C.2 D.1 9. 已知AD 是△ABC 的中线，AB → =a → ，AD → =b → ，以a → ，b → 为基底表示AC → ，则AC → =( ) A.12(a → −b → ) B.2b → −a → C.12(b → −a → ) D.2b → +a → 10. 已知D ，E ，F 分别是△ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（ ） A. B. C.与的方向相反 D.与都是单位向量 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，AF ∩CE =G ，则( )
2023高考数学复习专项训练《平面向量的概念》 一 、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）若OA → =(−5,4)，OB → =(7,9)，向量AB → 同向的单位向量坐标是( ) A. (−1213,−5 13 ) B. (1213,5 13) C. (− 12 13,5 13 ) D. (1213 ,−5 13 ) 2.（5分）在四边形ABCD 中，若AB → +CD → =0→ ，AC → ⋅BD → =0，则四边形为 ( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形 3.（5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则() A. AB → 与AC → 共线 B. DE →与CB → 共线 C. CD → 与AE → 相等 D. AD → 与BD → 相等 4.（5分）已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A(5,−1)，B(−1,7)，C(1,2)，则顶点D 的坐标为( ) A. (−7,6) B. (7,6) C. (6,7) D. (7,−6) 5.（5分）已知a → =(−3,m)，b → =(4,−1)，若a → //(a → −2b → )，则实数m 的值为() A. 3 7 B. −3 7 C. 3 4 D. −3 4 6.（5分）已知向量a → ，b → 不共线，c → =ka → +b → ，(k ∈R)，d → =a → −b → 如果c →//d → 那么( ) A. k =−1且c → 与d → 反向 B. k =1且c → 与d → 反向 C. k =−1且c → 与d →同向 D. k =1且c → 与d → 同向 7.（5分）设向量|a → +b → |=√20，a → ⋅b → =4，则|a → −b → |=( ) A. √2 B. 2√3 C. 2 D. √6 8.（5分）下列命题中，正确的个数是\((\quad)\) ①单位向量都相等； ②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overset{\rightarrow}{b}\)满足 \(|\overrightarrow{a}|>|\overset{\rightarrow}{b}|\)且\(\overrightarrow{a}\)与 \(\overset{\rightarrow}{b}\)同向，则\(\overrightarrow{a}>\overset{\rightarrow}{b}\)；
第1讲 平面对量的概念及其线性运算 一、选择题 1. 已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是（ ） A.a ∥b B. a ⊥b C.{0,1,3} D.a +b =a -b 答案 B 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b . ∴a ∥b ； 若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不愿定成立． 答案 A 3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么 ( )． A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD → . 答案 A 4．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2 → (μ∈R )，且1λ＋1 μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、 D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不行能同时在线段AB 的延长线上 解析 若A 成立，则λ＝12，而1 μ＝0，不行能；同理B 也不行能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1 μ＞2，与已知冲突；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1 μ＜2，与已知冲突，故C ，D 不行能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D 5．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝1 3⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 确定为三角形ABC 的 ( )． A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心) C ．重心 D ．AB 边的中点 解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B 6．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD → ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的外形是( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对 解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形．
第1节平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 知识梳理 1.向量的有关概念 (1)向量：具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度等于零的向量；其方向不确定. (3)单位向量：给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0. (4)共线(平行)向量：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行. 规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量.
(6)相反向量：与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量. 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义) 运算律 加法求两个向量 和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法减去一个向 量相当于加 上这个向量 的相反向量 a－b＝a＋(－ b) 数乘求实数λ与 向量a的积 的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向 与a的方向相同；当λ＜0 时，λa的方向与a的方向 相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋ μa； λ(a＋b)＝λa＋ λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[微点提醒] 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝ A 1A n →，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝1 2 (OA →＋OB →). 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
数学 2019 高考平面向量的观点及线性运算 专题训练（附答案） 两个方向同样或相反的非零向量叫做平行向量或共线 向量，零向量与随意愿量平行，下边的是数学2019 高考平面向量的观点及线性运算专题训练，请考生实时练习。 一、填空题 1.如图 45 所示，平面内三个向量，此中与的夹角为120，与的夹角为 30，且 ==1 ， = 2.若 =+( ， R)，则 +的值为 ________. [ 分析 ] 以 OC 为对角线，，方向作平行四边形 (如下图ODCE). 由已知 COD=30 ， COE=90， 在 RtOCD 中， =2， 则==4 ； 在 RtOCE 中， =tan 30=2 ， =4， =2， 又=+=4+2. =4， =2，故 +=6. [答案]6 2.若点 O 是 ABC 所在平面内的一点，且知足 |-|=|+-2|，则 ABC 的形状为 ________. [ 分析 ] +-2=-+-=+ ， -==- ， |+|=|-|. 故 A ，B ，C 为矩形的三个极点，ABC 为直角三角形 .
[ 答案 ] 直角三角形 二、解答题 3.设 O 是平面上必定点， A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点 P 知足 =+，[0，+).求点 P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ABC 的外心； ABC 的心里； ABC 的重心； ABC 的垂心 . [ 解 ] 如图，记 =， =，则，都是单位向量， 则四边形 AMQN 是菱形， AQ 均分 BAC. ∵ =+，由条件知 =+， =([0 ， +))， 要练说，得练听。听是说的前提，听得正确，才有条件正确 模拟，才能不停地掌握高一级水平的语言。我在教课中，注 意听闻联合，训练幼儿听的能力，讲堂上，我特别重视教师 的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有 致，富裕吸引力，这样能惹起幼儿的注意。当我发现有的幼 儿不专心听他人讲话时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是 让他重复他人说过的内容，抓住教育机遇，要求他们专心听，专心记。平常我还经过各样兴趣活动，培育幼儿边听边记， 边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思， 听句子辩正误，听故事叙述故事，听谜语猜谜底，听智力故 事，动脑筋，出想法，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼
2019高考数学(理)二轮练习讲议－平面向量的概念及线性运算 【2018年高考会这样考】 1、考查平面向量的线性运算、 2、考查平面向量的几何意义及其共线条件、 【复习指导】 本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法那么和实数的运算法那么的区别、 基础梳理 1、向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模、 (2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的、 (3)单位向量：长度等于1个单位的向量、 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线、 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量、 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量、 三角形法那么 (1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |； ②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2)运算律：设λ，μ是两个实数，那么 ①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4、共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 一条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量
终点的向量、 两个防范 (1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否那么λ可能不存在，也可能有无数个、 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合、 双基自测 1、(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，那么向量CD →等于( )、 A 、－BC →＋12BA → B 、－B C → －12BA → C.BC →－12BA → D.BC → ＋12BA → 解析 如图， CD →＝CB →＋BD → ＝CB →＋12BA →＝－BC → ＋12BA →. 答案 A ①假设a ∥b ，那么a ＝b ；②假设|a |＝|b |，那么a ＝b ；③假设|a |＝|b |，那么a ∥b ；④假设a ＝b ，那么|a |＝|b|. 正确的个数是()、 A 、1B 、2C 、3D 、4 解析只有④正确、 答案A 3、假设O ，E ，F 是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是()、 A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE → 解析EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →. 答案B 4、(2017·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝()、 A 、0 B.BE → C.AD → D.CF → 解析BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案D
高考数学复习考点20《平面向量的概念、线性运算与基本定 理》练习题（含答案） 1.已知向量a 与b 反向，且||,||,r R λ===a b b a ，则λ的值为( ) A.r R B.r R - C.R r - D. R r 2.若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，给出下列各式： ①||||>a b ；②//a b ；③||0>a ；④||1=±b ，其中正确的是( ) A.①④ B.③ C.①②③ D.②③ 3.已知向量,a b 不共线，若向量λ+a b 与λ+b a 的方向相反，则λ的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.1± 4.已知实数m ，n 和向量,a b ，有下列说法： ①()m m m -=-a b a b ；②()m n m n -=-a a ； ③若m m =a b ，则=a b ； ④若()m n =≠a a a 0，则m n =. 其中，正确的说法是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 5.如图所示，已知在ABC △中，D 是边AB 上的中点，则CD =( ) A.1 2 BC BA - B.1 2 BC BA -+ C.1 2 BC BA -- D.1 2BC BA -- 6.已知直线上有12,,P P P 三点，其中12(2,1),(1,3)P P --，且122 3 PP PP =，则点P 的坐标为( ) A.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 7.若,αβ是一组基底，向量(,)x y x y =+∈γαβR ，则称(,)x y 为向量γ在基底,αβ下的坐标.现已知向量a 在基底(1,1),(2,1)=-=p q 下的坐标为(2,2)-，则a 在另一组基底(1,1),(1,2)=-=m n 下的坐标为( ) A.(2,0) B.(0,2)- C.(2,0)- D.(0,2)
2021年高考数学 4.1 平面向量的概念及其线性运算练习 (25分钟 50分) 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.(xx ·贵阳模拟)如图,正六边形ABCDEF 中,=( ) A. B.BE C.AD D.CF 0 【解析】选D.因为六边形ABCDEF 是正六边形, 所以BA CD EF DE CD EF CE EF CF ++=++=+=,故选D. 2.(xx ·石家庄模拟)已知a,b 是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( ) A.a+b=0 B.a=b C.a 与b 共线反向 D.存在正实数λ,使a=λb 【解析】选D.因为a,b 是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a 与b 共线同向,故D 正确. 【误区警示】解答本题易误选B,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立. 3.已知=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则下列一定共线的三点是( ) A.A,B,C B.A,B,D C.B,C,D D.A,C,D 【解析】选B.因为=3a+6b=3(a+2b)=3,又,有公共点A. 所以A,B,D 三点共线. 4.(xx ·攀枝花模拟)在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,则实数λ=( ) 2112A. B. C. D.3333-- 【解析】选D.如图,D 是AB 边上一点, 过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,过点D 作DF ∥AC,交BC 于点F,连接CD,则
1CD CA CB, 3 1CE CA,CF CB.3 DE AE 2ADE ABC,,BC AC 3 22ED CF CB,.33=+λ==λ====λ=因为所以由∽得所以故 【加固训练】已知△ABC 和点M 满足=0,若存在实数m 使得成立,则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选B.根据题意,由于△ABC 和点M 满足=0,则可知点M 是三角形ABC 的重心,设BC 边的中点为 D,则可知()() 2211AM AD AB AC AB AC ,3323==⨯+=+ 所以故m=3. 5.(xx ·兰州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足,则△ABM 与△ABC 的面积比为( ) 1234A. B. C. D.5555 【解题提示】取AB 的中点为D,利用已知转化为之间的关系求解即可. 【解析】选C.取AB 的中点为D, 则由得 即2=3,又与有公共点M,故D,M,C 三点共线,且 即△ABM 与△ABC 两高之比为3∶5, 故面积之比为. 6.如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若则m+n 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.因为O 是BC 的中点, 所以 又因为 所以 因为M,O,N 三点共线,所以=1,所以m+n=2. 7.(xx ·泉州模拟)已知D,E,F 分别为△ABC 的边BC,CA,AB 的中点,且=a, =b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④=0.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a，AB等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x，y），则（x，y）称为OA的坐标，记作：OA＝（x，y） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()() a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． () 22,b x y =，则 ⑸坐标运算：设()11,a x y =， ()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： b a C B A a b C C -=A -AB =B
平面向量的概念及线性运算 一、知识梳理 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的 运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法减去一个向量相 当于加上这个向 量的相反向量 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向 与a的方向相同；当λ ＜0时，λa的方向与a 的方向相反；当λ＝0时， λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
结论： (1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →； (3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则 P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1. 二、例题精讲 + 随堂练习 考点一 平面向量的概念 【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b |b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B.a ∥b C.a ＝－1 3b D.a ⊥b 解析 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b |b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b |b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直. (2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四 边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①② C.③④ D.②④ 解析：(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
平面向量的概念及线性运算 考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运 算 法则(或几何意义)运算律 加法交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法a－b＝a＋(－b) 数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方 向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋ μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→ ，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12 (OA →＋OB → )． 3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC → )． 4．若OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × ) (3)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题 1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量 C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN → 不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量 答案 CD 解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量． 2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC → B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM → C.AB →＋BC →－AC →＝0 D.AB →－AD →－DC →＝BC →
考点18 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景. （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. （3）理解向量的几何表示. 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义 . 一、平面向量的相关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量； 向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量AB u u u r 或a ； 模||AB uuu r 或||a 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作0 零向量方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用e 表示 非零向量a 的单位向量是 || a a 平行向量 方向相同或相反的非零向量 a 与 b 共线可记 为λ=a b 0与任一向量平行或共线 共线向量 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 =a b 两向量只有相等或不等，不能 比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 =-a b 0的相反向量为0 二、向量的线性运算 1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律
2．共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得λ=b a . 【注】限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．学+
考向一 平面向量的基本概念 解决向量的概念问题应关注以下七点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． (5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量a 与 ||a a 的关系：|| a a 是a 方向上的单位向量．+网 (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大 小. 典例1 下列命题正确的是 A ．单位向量都相等 B ．模为0的向量与任意向量共线 C ．平行向量不一定是共线向量 D ．任一向量与它的相反向量不相等 1．给出下列四个命题： ①若=a b ，则=a b ； ②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若=a b ，=b c ，则=a c ；
考点 23 平面向量的概念及其线性运算
1．（2019
届高三第三次联考）已知向量 av
r (x,1) ， b
rr (4, 2) ，若 a Pb ，则
r a
r b
______.
【答案】 5
【解析】
由
r a
r Pb
，得
2x
4
，即
x
2
，则
rr ab
(2, 1)
，所以
av
v b
5.
2．（江苏省苏州市 2019 届高三高考模拟最后一卷）如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为 的一段圆弧 AB 3
上一点，
uuuv AB
2uBuCuv ，则
uuur PC
uuur PA
的最小值为_______．
【答案】5﹣ 2 13
【解析】
设圆心为 O,AB 中点为 D,
由题得 AB 2 2 sin 2, AC 3. 6 uuuv uuuv uuuuv PA PC 2PM
取 AC 中点 M，由题得 uuuv uuuv uuuv , PC PA AC
uuur 两方程平方相减得 PC
uuur PA
uuuur 2 PM
1
uuur 2 AC
uuuur 2 PM
9
，
4
4
uuur uuur 要使 PC PA 取最小值，就是 PM 最小，
当圆弧 AB 的圆心与点 P、M 共线时，PM 最小.
此时 DM= 1 , DM
(1)2
2
3
13 ,
2
2
2
所以 PM 有最小值为 2﹣ 13 ， 2
uuur uuur 代入求得 PC PA 的最小值为 5﹣ 2 13 ．
故答案为：5﹣ 2 13 ．
3．（江苏省南通市 2019 届高三年级阶段性学情联合调研）设
，向量
，
，