2．2平面向量的线性运算
一、选择题
1．若C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ）
A ．A
B B ．BA
C ．0
D ．以上均不正确
2．已知正方形ABCD 边长为1，=AB a ，=BC b ，=AC c ，则++a b c 的模等于
A ．0
B ．3
C ．
D （ ）
3．在四边形ABCD 中，AD AB AC +=，则四边形是 （ ）
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．平行四边形
4．向量()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于 （ ）
A ．BC
B ．AB
C ．AC
D ．AM
5．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ）
A ．a 与b 方向相同
B ．a =b
C ．a =-b
D ．a 与b 方向相反
6．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ）
A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①③
7．在∆ABC 中，===||||||1AB BC CA ，则-||AB AC 的值为 （ ）
A ．0
B ．1
C
D ．2
8．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．ME 4
9．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）
A ．||||||b a b a -=-
B ．||||b a b a -=+
C ．||||||b a b a -=+
D ．||||||b a b a +=+
10．化简)]24()82(2
1
[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2 B ．a b -2 C ．a b - D ．b a - 11．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ）
A ．a a λλ=
B ．a a λλ=
C ．a a λλ=
D ．0a λ>
12．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =，BA b =，则EF =
A ．
1()2a b + B ．1()2a b -+ C ．1()2a b -- D ．1()2b a - （ ）
13．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ． 以上都不对
14．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括A 、C ），则AP = （ ）
A.().(0,1)AB AD λλ+∈
B.().2
AB BC λλ+∈ C.().(0,1)AB AD λλ-∈
D.().AB BC λλ-∈ 二、填空题 15．在矩形ABCD 中，若=||3AB ，=||4BC ，则+=||AB AD _________。
16．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60︒，则+=||a b __________。
17．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的中点，则下列等式中正确的是___________ ①+-=FD DA AF 0
②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 0
18.已知a 、b 是非零向量，指出下列等式成立的条件： ①a b a b +=+ 成立的条件是__________；②a b a b +=-成立的条件是__________； ③a b a b +=-成立的条件是 __________；④a b a b -=-成立的条件是___________。
19．4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________．
20．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则x =__________．
三、解答题
21.O 是平行四边形的对角线AC 与BD 的交点，若=AB a ，=BC b ，=OD c ，
证明：+-=OB c a b
22.已知长度相等的三个非零向量a 、b 、c 满足++=a b c 0，求每两个向量之间的夹角。
23.已知1e ，2e 是两个不共线的向量，122=-a e e ，12k =+b e e ．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．
24.在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()
=+13AG AB AC
参考答案：
2．2．1向量加法运算及其几何意义
1—6:CCDCADB 8—14:CCBCBDA
15、5 16、3
或 17、③④ 18、①同向 ②反向 ③垂直④a b →→
≥且同向
19、410c a →→+ 20、34a b →→-+
21、c a b OD AB BC OD DC BC →→→→→→→→→+-=+-=+-=OC BC OC CB OB →→→→→
-=+=
22、提示：三个向量所在线段构成等边三角形，两两向量所成角为120°
23、12122212a b k k λλλλλλ→→=∴-=+∴==-∴=-且e e e e
24、.证明：延长AG 交BC 于E ，则E 为BC 中点 ()()221()33AB AC AB BE AC CE AE
AG AE AB AC →→→→→→→→→→→+=+++=∴==+
向量的线性运算经典测试题含答案 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）． A ．CA B ．A C C ．0 D ．AE 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+ AE CE =- AE EC =+ AC =， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．下列等式正确的是（ ） A ．A B +B C ＝CB +BA B ．AB ﹣B C ＝AC C ．AB +BC +C D ＝DA D ．AB +BC ﹣AC ＝0 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形法则即可判断. 【详解】 ∵AB BC AC +=， ∴0AB BC AC AC AC +-=-= ， 故选D ． 【点睛】 本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则. 3．已知a 、b 和c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b 的是( ) A ．2a b = B ．//a c ，//b c C ．||||a b = D ．12 a c =，2 b c = 【答案】C
【解析】 【分析】 由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】 A 选项：由2a b =，可以推出//a b ．本选项不符合题意； B 选项：由//a c ，//b c ，可以推出//a b ．本选项不符合题意； C 选项：由||||a b =，不可以推出//a b ．本选项符合题意； D 选项：由12 a c =，2 b c =，可以推出//a b ．本选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】 考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义． 4．已知5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，则（ ）． A ．A 、 B 、D 三点共线 B ．A 、B 、 C 三点共线 C ．B 、C 、 D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】 根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】 解：∵28BC a b =-+，()3CD a b =-，5AB a b =+ ∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+， ∴AB 、BD 是共线向量 ∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+ ∴不存在实数λ，使AB BC λ=，即AB 、BC 不是共线向量 ∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误； ∵28BC a b =-+，()3CD a b =- ∴不存在实数λ，使BC CD λ=，即BC 、CD 不是共线向量 ∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-， ∴() 52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+ ∴不存在实数λ，使AC CD λ=，即AC 、CD 不是共线向量
平面向量的概念及线性运算单元测试题 一?选择题: 1.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,162 =BC ||||,AB AC AB AC +=- 则|AM |=( ) A.8 B.4 C.2 D.1 2.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且2,,CD DB CD r AB sAC ==+ 则r+s 的值是( ) 24 . .33 A B C.-3 D.0 3.平面向量a,b 共线的充要条件是( ) A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为0 C.存在λ∈R,使b=λ a D.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0 4.已知O ?A ?B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB += 则OC 等 于( ) .2.22112..3333 A OA OB B OA OB C OA OB D OA OB --+--+ 5.设D ?E ?F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且 2,2,2,DC BD CE EA AF FB === 则AD BE CF ++ 与BC 是（ ） A.反向平行 B.同向平行 C.不平行 D.无法判断 6.已知a,b 是不共线的向量,AB =λa+b,AC =a+μb,(λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 二?填空题: 7.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+- ,则 △ABC 的形状为________. 8.在平行四边形ABCD 中,E ?F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =λAE +u ,AF 其中λ,u∈R,则λ+u=________. 9.如图,平面内有三个向量OA ?OB ?,OC 其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与 OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=23,若OC =λOA + μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为________. 10.如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交 直线AB,AC 于不同的两点M,N,若 ,,AB mAM AC nAN == 则m+n 的值_______.
向量的线性运算经典测试题附答案 一、选择题 1．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r 等于（ ） A ．1122a b +r r B ．1122a b --r r C ．1122a b -r r D ．1122a b -+r r 【答案】D 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得12 OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，即可求得 OD uuu r 的值． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB=OD= 1 2 BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ， ∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222 a b a b -+=-+r r r r 故选：D ． 【点睛】 此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的． 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案．
解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ， ∴12 a e =- r r ． 故选C ． 3．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32 a b =-v v 故选D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 4．已知a r 、b r 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r B ．||a r ＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r C ．0r 的方向不确定，大小为0 D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r ＝2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】 解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a r ＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0r 的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a r ＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ．
向量的线性运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果是（ ）． A ．CA u u u r B ．A C u u u r C ．0r D ．A E u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r AC =u u u r ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．已知233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ，那么4m n -r r 等于（ ） A ．823a b -r r B ．443a b r r - C ．423 a b -r r D ．843 a b -r r 【答案】A 【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-r r r ，1124 n b a =+r r r ， ∴4m n -r r =2112834()32232433 a b b a a b b a a b --+=---=-r r r r r r r r r r ． 故选A ． 3．计算45a a -+r r 的结果是（ ） A ．a B ．a r C ．a - D ．a -r 【答案】B 【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 平面向量的线性运算 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜ ，其 ｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1 中正确的有（） A．①④⑤B．③C．①②③⑤D．②③⑤ 2. O是ABC ?所在平面内一点，D为BC边上中点，+,则（） 2= + A．=B．2 = =C．3 D．= 2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆 4．向量（+）+（+）+OM化简后等于（）A．BC B．AB C．AC D．AM 5．在四边形ABCD中，=AB+AD，则（）
A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜ a + b + c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF ＝( ) A ．0 B.BE C.AD D.CF 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题 1．已知四边形ABCD 中，AB =2 1 DC ,且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知AB =a ,BC =b , CD =c ,DE =d ,AE =e ,则 a + b + c + d = ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 三、解答题
新初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案(2) 一、选择题 1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r r 等于（ ） A ．BD u u u r B ．A C u u u r C ．DB u u u r D ．CA u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r ，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ， ∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ， ∴a b +r r =AB u u u r +BC uuu r =AC u u u r ． 故选B ． 2．已知向量，若与共线，则( ) A ． B ． C ． D ． 或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么 ，即可完成解答. 【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即 ； 与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】 本题考查了向量的共线，即= 是解答本题的关键. 3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ）
A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ） 的长度为（ ） A ．2 B ．4 C 31 D 31 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuu r +AC u u u r ）的长度为 【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224 AB BC AC AC AB BC AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：B. 【点睛】 考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则. 5．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是( )
向量的线性运算专项训练及答案一、选择题 1．点C在线段AB上，且 3 5 AC AB = u u u r u u u r ，若AC mBC = u u u r u u u r ，则m的值等于（）． A ． 2 3 B ． 3 2 C． 2 3 -D． 3 2 - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件即可得： 2 5 AC AB CB AB= =- u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得出： 5 2 AB BC =- u u u r u u u r ，再代入3 5 AC AB = u u u r u u u r 中，即可求出m的值. 【详解】 解：∵点C在线段AB上，且 3 5 AC AB = u u u r u u u r ∴ 2 5 AC AB CB AB= =- u u u r u u u r u u u r u u u r ∴ 55 22 CB AB BC ==- u u u r u u u r u u u r ∴ 5 53 22 33 5 BC B C A C A B⎛⎫ =- ⎝ ==- ⎪ ⎭ u u u r u u u r u u u r u u u r 故选D. 【点睛】 此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键. 2．□ABCD中， -+等于( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量， ∴ = -
2020-2021初中数学向量的线性运算基础测试题含答案解析(2) 一、选择题 1．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ） A ．A B CD =u u u r u u u r B ．A C B D =uuu r uu u r C ．AO O D =u u u r u u u r D ．BO OD =-u u u r u u u r 【答案】C 【解析】 【分析】 根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. AB CD =-u u u r u u u r ，故该选项错误； B. AC BD =u u u r u u u r ，但方向不同，故该选项错误； C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r ，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r ，故该选项错误； 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键． 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与 的大小，所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】 此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征. 3．在四边形ABCD 中， ， ， ，其中与不共线，
向量的线性运算全集汇编附答案 一、选择题 1．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r 表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r D ．12a b --r r 【答案】A 【解析】 试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点， ＝12 a b +r r ．故选A ． 考点：平面向量，等腰三角形的三线合一． 2．□ABCD 中， -+等于( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】 ∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+ = - + = ， 故选A ． 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出 与 是一对相反向量. 3．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=， =， =， =，则 （ ）
A．+++=B．-+-= C．+--=D．--+= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】 根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D错误； ； 而； ∴B正确. 故选B. 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则. 4．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】 解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，， 则， ∴，故选A. 【点睛】 本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键. 5．已知向量，若与共线，则( ) A．B．C．D．或 【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.
一、选择题 1．下列各式正确的是（） A．若a、b同向，则 B．与表示的意义是相同的 C．若a、b不共线，则 D．永远成立 2．等于（） A．B．0 C．D． 3．若a、b、a＋b均为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则（）A．B．C．D．以上都不对4．下列命题 ①如果a与b的方向相同或相反，那么的方向必与a、b之一的方向相同。 ②△ABC中，必有0。 ③若0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。 ④若a、b均为非零向量，则与一定相等。 其中真命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于（） A．B．C．D． 6．如图，在四边形ABCD中，设， 则等于（）
A．B． C．D． 7．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（）A．a与b的长度必相等B． C．a与b一定不相等D．a是b的相反向量 8．可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 9．在以下各命题中，不正确的命题个数为（） ①是的必要不充分条件； ②任一非零向量的方向都是惟一的； ③； ④若，则0； ⑤已知A、B、C是平面上的任意三点，则0。 A．1 B．2 C．3 D．4 10．某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则（） A．向东南走 km B．向东北走 km C．向东南走 km D．向东北走 km 11．若，则的取值范围是（） A．B．（3，8）C．D．（3，13） 二、填空题 12．若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形，则 ＝。
平面向量练习题及答案 1. 向量初步概念和运算 (1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。 答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5 (2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。 答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29 (3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。 答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13 方向角θ = arctan(3/2) 2. 向量的线性运算 (1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。 答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j (2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。 答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j (3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。 答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 10 3. 向量的数量积与投影
(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。 答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14 (2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。 答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√29 4. 向量的夹角和垂直判定 (1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。 答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。计算得到a·b = 14， 因此向量a和向量b不相互垂直。 (2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。 答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100)) 5. 向量共线和平面向量的应用 (1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。 答案：两个向量共线的条件是a与b成倍数关系，即a/b为实数。计算得到a/b = -0.5，因此向量a和向量b共线。 (2) 已知向量a=4i+2j，向量b=3i-6j，向量c=-5i+10j，求向量a在 向量b和向量c张成的平面上的投影。
平面向量的线性运算 一、单选题(共10道，每道10分) 1.设P是△ABC所在平面内的一点，，则( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义 2.设D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，CA的中点，则等于( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义 3.在△ABC中，，P是CR的中点，若，则m+n等于( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义 4.如图，在△ABC中，，若，则的值是( )
A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义 5.已知点P是△ABC内一点，且，则的值是( ) A. B. C. D.
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义 6.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点（不与M重合），则 等于( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义 7.若M是△ABC的重心，O为任意一点，，则n的值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义 8.在△ABC中，，，点P在AM上且满足，则 的值是( ) A. B. C. D.
答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量数乘的运算及其几何意义 9.设P是等边△ABC所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算 10.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直线，，则的值是( )
一、选择题1.以下向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）. A.(0,0)=a ，(1,2)=-b B.(1,2)=-a ，(2,4)=-b C.(3,5)=a ，(6,10)=b D.(2,3)=-a ，(6,9)=b 2.假设ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，那么BE =( ). A.12+b a B.12-b a Ｃ. 12+a b Ｄ. 12 -a b 3.假设向量a 与b 不共线，0⋅≠a b ，且()()⋅⋅=- ⋅a a b c a a b ，那么向量a 与c 的夹角为（ ）. A.π2 B.π6 C.π3 4.设i ，j 是相互垂直的单位向量，向量(1)3m =+-a i j ，(1)m =+-b i j ， ()()+⊥-a b a b ，那么实数m 为（ ）. A.2- Ｃ.2 1- Ｄ.不存在 5.已知向量a ，b 知足1=a ，4=b ，且2⋅=a b ，那么a 与b 的夹角为（ ）. A ．6π B ．4π C ．3π D ．2 π 6.假设平面向量b 与向量(2,1)=a 平行，且||=b =b ( ). A ．)2,4( B ．)2,4(-- C ．)3,6(- D ．)2,4(或)2,4(-- 7.在四边形ABCD 中，2AB =+a b ，4BC =--a b ，53CD =--a b ，那么四边形ABCD 是（ ）. A.长方形 B.平行四边形 Ｃ.菱形 Ｄ.梯形 8.以下说法正确的个数为（ ）. ①()()()λ⋅=λ⋅=⋅λa b a b a b ； ②⋅=⋅a b a b ； ③()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ； ④()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c ； 9.在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC =a ，CA =b ，AB =c ，那么⋅+⋅+⋅a b b c c a 等于（ ）. A.23 B.2 3- Ｃ.0 Ｄ.3
平面向量的概念与线性运算同步检测题 A卷 一、选择题: 1．下列命题中的假命题是（） A．向量AB与 BA的长度相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 D 提示:共线向量可能方向相同或相反. 2．如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是（） A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．相等的向量D．模相等的向量 D 提示:向量，，的模都等于圆的半径. 3．如图，△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有（） A．一组B．二组C．三组D．四组C 提示:DE CB 与，AD DB 与，AE CE 与三组. 4．四边形ABCD中，若向量与CD是共线向量，则四边形ABCD（）A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形B 提示:向量与是共线向量，则// AB CD，所以四边形ABCD为梯形. 5．设)0 ( | |> =m m，与反向的单位向量是 b，则用 b表示为 A． b m = B ． b m - = C ． 1 b m = D． 1 b m - = B 提示: || || a m a b b =⇒=，故 b m a- =
6．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 D 提示:单位向量的模都等于1，所以这些向量的终点所构成的图形是一个圆. 7、已知下列各式: ①AB BC CA ++;②() AB MB BO OM +++;③OA OC BO CO +++; ④AB CA BD DC +++. 其中结果为0的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 B 提示:①0AB BC CA AC CA ++=+= ④0AB CA BD DC AD DA +++=+=，故答案选B. 8、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = A.12BC BA -+ B. 1 2 BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + A 提示：1 2 CD CB BD BC BA =+=-+. 9、D 、E 、F 分别为ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =，b CA =，下列命题中正确命题的个数是（ ） ①-- =21；②21+=；③2 1 21+-=； ④0=++CF BE AD 。 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 D 提示：根据向量的三角形法则，①②③④都成立. 二、填空题： 10．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB ， OC ，OD ，OE ，OF ，AB ，BC ，CD ， EF ，DE ，FA 中与共线的向量有 . 答案：、、 提示：与共线；与共线；与共线； 11．已知下列各式 : A C B 图 1 D
2020届苏教版（理数）平面向量的概念及其线性运算单元测试 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( ) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 【解析】选A.由题知=+=+=+(-)=-+. 【变式备选】如图,向量a-b等于 ( ) A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 【解析】选C.由题图可知a-b=e1-3e2. 2.下列说法正确的是( ) A.方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量是0 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量
【解析】选B.对于选项A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该说法错误;对于选项B,因为零向量就是0,所以该说法正确;对于选项C,方向相同且长度相等的向量叫相等向量,所以该说法错误;对于选项D,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以该说法错误. 3.(2019·北京模拟)在△ABC中,点D满足=3,则( ) A.=- B.=+ C.=- D.=+ 【解析】选D.因为点D满足=3,因为=+=+=+(-) =+. 【变式备选】 已知向量a,b不共线,c=k a+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( ) A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 【解析】选D.由题意可设c=λd,即k a+b=λ(a-b),(λ-k)a=(λ+1)b.因为a,b 不共线,所以所以k=λ=-1,所以c与d反向. 4.(2018·合肥模拟)在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形
向量的线性运算专项训练答案 一、选择题 1．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r r ，DC b =u u u r r ，则（ ） A ．() 12BO a b =+u u u r r r ； B ．() 1 2BO a b =-u u u r r r ； C ．() 12BO b a =-+u u u r r r ； D ．( ) 12 BO b a =-u u u r r r ． 【答案】D 【解析】 1,.2 1(b-a)2 BCD BO BD BD DC CB CB BC BO D ∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 在中，所以故选 2．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=， =， =， =，则 （ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】 根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误； ； 而 ； ∴B 正确. 故选B. 【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则. 3．在四边形ABCD 中，， ， ，其中与不共线， 则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．梯形 D ．菱形 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的运算法则求出 ，利用向量共线的充要条件判断出 ，得到