富县高级中学2018平面向量的概念及其线性运算（2）
命制人：雷俊侠 班级：
1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（A.→→=DC AB
B.→→→=+AC AB AD
C.→→→=BD AD -AB
D.→AD 2.对于非零向量，，→→b a ”“→→→=+0b a 是”“→→b //a 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设p 是ABC ?所在平面内一点，→→→=+，BP 2BA BC 则（ ）
A. →→→=+0PB PA
B.→→→=+0PA PC
C.→→→=+0PB PC
D.→→→→=++0PC PB PA
4.在ABC ?中，已知D 是AB 边上一点，若→→=，DB 2AD →
→→+=CB CA CD 31
λ，则λ=（ ） A.2 B. 1 C.
31- D.32- 5.在四变形ABCD 中，→→→+=b 2a AB ，→→→=b -a -4BC ，→
→→=b 3-a -5CD ，则四边形ABCD 的形状是（ ）
A.矩形
B.平行四边形
C. 梯形
D.以上都不对
6.在平行四边形ABCD 中，→→=a AB ，→→=b AD ，→→=NC 3AN ，M 为BC 的中点，则=→MN （用
→→b a ，表示）
7. 如图ABC ?中，→→=，AB AD 32
→→BC //DE 交AC 与E ，AM 是BC 交DE 与N.设→→=，a AB →→=，b AC 用→→b a ，分别表示向量→AE 、→BC 、→DE 、→DN 、→AM 、→AN 。
8.设→→b a ，
是两个不共线的非零向量，若→→b a 与起点相同，R t ∈，t 为何值时，→a ，→b t ，）（→→+b a 31 三向量的终点在一条直线上？
平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a ，AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理： 向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 四．跟踪训练 １．=++++（ ） A ． B ．0 C ． D ． ２．给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 ４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是
平面向量的概念及几何运算检测卷 班级 姓名 座位号 一、选择题（新题型的注释） 1．下列说法中错误的是（ ） A ．零向量没有方向 B ．零向量与任何向量平行 C ．零向量的长度为零 D ．零向量的方向是任意的 2．已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且b a //，则x = （ ） A 9 B 9- C 3- D 3 3．若(1,1,1),(0,1,1)a b =--= 且()a b b λ+⊥ ，则实数λ的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、1- D 、2 4．已知平面向量)1,1(=→ a ，)1,1(-=→ b ，则向量2a b → → --的坐标是（ ） Ａ．(31)--， B ．(31)-， Ｃ．(1 0)-， Ｄ．(12)-， 5．已知)1,2(=a ，)4,3(-=b ，则a 与b 的数量积为： （ ） A ．)4,6(- B ．)5,1(- C ．2- D ．0 6．已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（ ） A ．)10 10 ,10103(- =e B ．)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或e C ．)2,6(-=e D ．)2,6()2,6(或-=e 7．化简=--+CD AC BD AB （ ） A ．AD B ．0 C ．BC D ．DA 8．在下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.)1,0(1=e )6,1(2-=e B.)2,1(1-=e )1,5(2-=e C.)5,3(1-=e )10,6(2=e D.)3,2(1-=e ) 43,21(2-=e 9．下列命题： （1）若向量a b = ，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；
向量的线性运算经典测试题含答案 一、选择题 1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的结果是（ ）． A ．CA u u u r B ．A C u u u r C ．0r D ．A E u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】 解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r AC =u u u r ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题． 2．下列等式正确的是（ ） A ．A B u u u r +B C uuu r ＝CB u u u r +BA u u u r B ．AB u u u r ﹣BC uuu r ＝AC u u u r C ．AB u u u r +BC uuu r +CD uuu r ＝DA u u u r D ．AB u u u r +BC uuu r ﹣AC u u u r ＝0r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形法则即可判断. 【详解】 ∵AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ， ∴0AB BC AC AC AC +-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ， 故选D ． 【点睛】 本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则. 3．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是( ) A ．2a b =r r B ．//a c r r ，//b c r r C ．||||a b =r r D ．12 a c =r r ，2 b c =r r 【答案】C
65平面向量的线性运算及几何意义 1.(2015河北石家庄二检,文15,平面向量的线性运算及几何意义,填空题)已知△ABC中,AB=3,AC=,点G是△ABC的重心,=. 解析:利用向量的运算法则求解. 延长AG交BC于点D,则D为BC的中点, )·()=(||2-||2)=-=-2. 答案:-2 66向量共线定理及应用 2.(2015甘肃兰州实战,文13,向量共线定理及应用,填空题)已知向量a=(x2-1,2+x),b=(x,1),若a∥b,则x=. 解析:依题意得(x2-1)×1-x(2+x)=0,解得x=-. 答案:- 67平面向量的坐标运算 1.(2015贵州贵阳高三适应性检测考试(二),文11,平面向量的坐标运算,选择题)A,B是半径为2的圆O 上的两点,M是弦AB上的动点,若△AOB为直角三角形,则的最小值是() A.-1 B.- C.0 D.2 解析:由题意知OA⊥OB,不妨分别以OA,OB为x,y轴建立直角坐标系, 则A(2,0),B(0,2). 因为M在线段x+y=2(0≤x≤2)上运动,所以可设M(x,2-x),=(x,2-x),=(x-2,2-x), =x(x-2)+(2-x)(2-x)=2x2-6x+4, 当x=时,()min=-,故选B. 答案:B 2.(2015东北三省三校二联,文3,平面向量的坐标运算,选择题)向量a=(2,-9),向量b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为() A.- B.- C.- D.- 解析:依题意得a-b=(5,-12), 因此与a-b同向的单位向量为- - -,故选A. 答案:A 3.(2015河南郑州第三次质量检测,文4,平面向量的坐标运算,选择题)已知向量a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b与b垂直,则|a|=() A. B. C.2 D.4 解析:由题意得2a-b=(3,x),(2a-b)·b=0, 所以-3+x2=0,x2=3,|a|=2,故选C. 答案:C 4.(2015河南洛阳3月统一考试,文10,平面向量的坐标运算,选择题)已知P是△ABC所在平面内一点,若,则△PBC与△ABC的面积的比为() A. B. C. D. 解析:以点B为坐标原点,BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系, 设A(x A,y A),C(x C,0),P(x P,y P), 1
向量的线性运算基础测试题含答案解析 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】 解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确； B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确； C . a r ＝k b r （k ≠0）?a r ∥b r ，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 2．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b r r 、表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b -r r C ．12 a b -+r r D ．12 a b --r r 【答案】A 【解析】 【分析】 根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r 即可解决问题. 【详解】 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AD BC AD BC ∴∥，＝，
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
§ 2.2 平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量 共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点 D , E, F 分别是ABC 三边AB , BC ,CA的中点， uuur uuur uuur r 求证： EA FB DC0 ． 当堂练习： 1．a、b为非零向量，且|a b| |a| |b|，则（）A．a与b方向相 同B． a b C．a b D． a与b方向相反 uuur uuur uuur uuur a ，而b是一非零向量，则下列各结论：① a // b ；②2．设( AB CD )( BC DA ) a b a ；③ a b b ；④ a b a b ，其中正确的是（） A．①②B．③④C．②④D．①③ 3． 3．在△ ABC中， D、 E、 F 分别 BC、 CA、 AB的中点，点 M是△ ABC的重心， 则 MA MB MC 等于（） A．O B．4MD C．4MF D．4ME 4．已知向量a与b反向，下列等式中成立的是（）A．| a | | b | | a b |B．| a b | | a b | C．| a | | b | | a b |D．| a | | b | | a b | 5．若a b c 化简3( a 2b) 2(3 b c)2( a b)（） A．a B． b C． c D．以上都不对 uuur 6．已知四边形 ABCD是菱形，点 P 在对角线 AC上（不包括端点A、C），则AP =（） A． uuur uuur (0,1)B． uuur uuur2 ) ( AB AD ).( AB BC ).(0, 2 C． uuur uuur (0,1)D uuur uuur (0,2 ) ( AB AD ).．( AB BC ). 2
§平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。
平面向量定义及线性运算练习题 一．选择题 1、下列说法正确的是（ ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（ ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假： （1）向量AB u u u r 的长度与向量BA uu u r 的长度相等； （2）向量a r 与向量b r 平行，则a r 与b r 的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量AB u u u r 和向量CD uuu r 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a r 为任一非零向量，b r 为模为1的向量，下列各式：①|a r |＞|b r | ②a r ∥b r ③|a r |＞0 ④|b r |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（ ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r
平面向量的线性运算 学习过程 知识点一：向量的加法 （1）定义已知非零向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a r ，BC ＝b r ，则向量AC 叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b +r r ＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则 以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =uu u r r ，以OA,OB 为邻边作OACB Y ，则以O 为起点的对角线所在向量OC uuu r 就是,a b r r 的和，记作a b +r r =OC uuu r 。 说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适. ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． ③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=r r r r r r ， （3）特殊位置关系的两向量的和 ①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； ②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |， ③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）向量加法的运算律 ①向量加法的交换律：a +b =b +a ②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 知识点二：向量的减法
、填空题 、选择题 i .若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①丨a 丨>丨b |；②a // b ； ③| a |> 0；④| b | =± 1;⑤a =b ，其中正确的有（ ） a A.①④⑤ B.③ C.①②③⑤ D.②③⑤ 2. O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边上中点，2OA OB OC 0,贝卩（） A . AO OD B. AO 2OD C. AO 3OD D. 2AO OD 3. 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形 是（ ） A. —条线段 B. —个圆面 C.圆上的一群弧立点 D. — 个圆 4. 向量（AB + MB ） + （ BO + BC ） +OM 化简后等于（ ） A. BC B . AB C . AC D . AM 5. 在四边形 ABCD 中, AC =AB +AD ，贝"（ ） A. ABCD 是矩形 B. ABCD 是菱形 C. ABCD^正方形 D. ABCD 是平行 四边形 a | >| b | ,那么a 与b 反向，则( ) B.| a -b | = | a | - | b | D.| a +b | = | a | + | b | 平面向量的线性运算 6.已知正方形 ABCD 勺边长为1, AB = a , AC =c , BC =b ,则 a +b +c |为( A. 0 B. 3 C. 7.如图，正六边形 ABCDEF 中， 2 D. 2 2 uur uun uuu BA + CD + EF =() uur B.BE C.Auu uuu D .CF 8.如果两非零向量a 、b 满足： A.| a +b | = | a | - | b | C.| a -b | = | b | - | a |
向量的线性运算技巧及练习题 一、选择题 1．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r r B ．||3||a b =r r C ． 5a b =-r r D ．2a b =r r 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】 解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意． B 、由||3||a b =r r 只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意． C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相反，则//a b r r ，故本选项不符合题意． D 、由2a b =r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r 叫做平行向 量． 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】 根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与 的大小，所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】 此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征. 3．下列等式正确的是（ ） A ．A B u u u r +B C uuu r ＝CB u u u r +BA u u u r B ．AB u u u r ﹣BC uuu r ＝AC u u u r
第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念：1、向量的的概念）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代（1数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。0，记作（2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合）。000的方向是任意的；的区别。与注意：1的向量叫做单位向量。（3）单位向量：长度等于.a?b）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：4（任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。（5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。2、平行向量b//a。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平两个方向相同或相反的向量，记作：行向量也叫做 共线向量。0规定：与任意向量平行。．向量的表示方法3B AB 1（）始终点法（几何表示法）：如图向量； A a：小写字母加上箭头，如（2）单个字母表示法（代数表示法）从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之 中，体现了数形结合的思想。二、向量的加、减法运算、向量的加法1 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。。注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）向量加法的平行四边形法则；（1）则第一将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，）向量加法的三角形法则：（2 个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和 ）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。3（、向量加法的性质21 aa?b??b（1）向量加法的交换律：；)?c(?(ab)?c?a?b；（2）向量加法的结合律：D C aa??a0?0? 3（）。、向量的减法3（用加法的逆运算定义向量的减法是向量加法的逆运算AB。向量的减法）ba与b?ax,?ab?x若叫做。则的差，记作、求作差向量4ba与b?a，求作向量已知向量。B;?b,OA?b,OB?a则AB?a O可以表示作法： 在平面内取一点，作 ab的终点的向量。的终点指向向量为从向量 三、实数与向量的乘积、实数与向量的积1OA??a?a。它的模与方定义：实数的积是一个向量，
向量的线性运算经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ） A ．a r 与r b 是相等向量 B ．a r 与r b 是平行向量 C ．a r 与r b 方向相同，长度不等 D ．a r 与r b 方向相反，长度相等 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2 c =-r r ，由此确定a r 与b r 位置和数量关系． 【详解】 解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2 c =-r r ， 所以a r 与b r 方向相反，且|a r |＝5|b r |． 观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握． 2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④ 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则 方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但 的模不一定，③错误； 对于④，若 ，则 能推出 的方向相同，但 的方向相同，得到 ④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．如图，已知向量a r ，b r ，c r ,那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c +=r r r B ．b c a +=r r r C ．a c b +=r r r D ．a c b +=-r r r 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ， 即a c b +=-r r r 故选D ． 4．下列判断正确的是( ) A ．0a a -=r r B ．如果a b =r r ，那么a b =r r C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，那么//a b r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】 A. -r r a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误； B. 如果a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误； C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误； D. 对于非零向量b r ，如果()0a k b k =?≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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1A C 2A B 9- C 3- D 3．若(1,1,1),(0,1,1)a b =--=且()a b b λ+⊥，则实数λA 4．已知平面向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，则向量2a --56 7 8 ) 9．下列命题： a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；
（a b =且a 与b 的方向相同，则a b =；（）非零向量a 与b 满足a b ∥，则向量a 与b 方向相同或相反；（）向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线； （）若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥ 正确的个数：（ ） 10．下列命题正确的是 A C 11 12A 13=（1,5）， = ，则 =_________. 14．已知(tan ,1),(1,2)a b θ=-=-，若()()a b a b +⊥-，则tan 15（（）所有的单位向量都相等。 （（（（16
三、解答题17．18．在矩形的中点，在以A 、B 、C 、D 、19．已知点 （1AC ＝BC ，求角（2）若AC BC ?＝－120．ABC ?平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量(sin C n -=（I （II 21．已知分AB 所成的比. 22．为起点，且与向量b ＝（－3，4） 垂直的单位向量，求
1．2．B 3．(1,1,b λλλ=-b ，所以()110a b b λλλ+?=-+-=，4．5．6．7．0AB AD =故选择B 8．9．【解析】解：因为 （1a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；不成立 （2a b =且a 与b 的方向相同，则a b =；满足定义 （3）非零向量a 与b 满足a b ∥，则向量a 与b 方向相同或相反；成立 （4）向量AB 与CD 是共线向量，则,,,A B C D 四点共线；可能构成能四边形，错误 （5）若a b ∥，且b c ∥，则a c ∥，当b 为零向量时，不成立。 10中，两边平方可知成立，选项C 中，当→ b 为中，夹角不定，因此数量积结果不定，选B 1112131415因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。 （2个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相（3为零向量时，它不成立。（想一想：你能举
向量的线性运算经典测试题附答案 一、选择题 1．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r 等于（ ） A ．1122a b +r r B ．1122a b --r r C ．1122a b -r r D ．1122a b -+r r 【答案】D 【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，可得12 OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，即可求得 OD uuu r 的值． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB=OD= 1 2 BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ， ∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222 a b a b -+=-+r r r r 故选：D ． 【点睛】 此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的． 2．如果向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为12 ，那么向量a r 用单位向量e r 表示为（ ） A ．12 a e = r r B ．2a e =r r C ．12 a e =-r r D ．2a e =-r r 【答案】C 【解析】 由向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 1 2 ，根据向量的定义，即可求得答案．
解：∵向量a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为 12 ， ∴12 a e =- r r ． 故选C ． 3．已知3a → =，2b =r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→ = B ．23a b →→ = C ．32a b →→ =- D ．23a b →→ =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32 a b =-v v 故选D. 【点睛】 本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键. 4．已知a r 、b r 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b r B ．||a r ＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u r C ．0r 的方向不确定，大小为0 D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r ＝2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量的性质解答即可． 【详解】 解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a r ＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0r 的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a r ＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ．