l
B
A
第 讲：等腰三角形存在性问题专题训练
一、等腰三角形4大性质 （1）等边对等角、等角对等边； （2）三线合一；
（3）含有60°角的等腰三角形是等边三角形；
（4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离等于腰上的高； 二、构造等腰三角形
二、特殊的等腰三角形
（1）等边三角形； （2）等腰直角三角形； （3）底角为30°的等腰三角形； （4
）黄金三角形 一、模型引入
引入：如图，已知线段AB ，在过A 点的直线l 上求作点P ，使△ABP 为等腰三角形.
思维提升：在平面直角坐标系内,已知点A (2,1),O 为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P ,使得ΔAOP 为等腰三角形．在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,
P k ,(有k 个就标到P K 为止,不必写出画法)
【答案】
二、典型分析
例1.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =4AD =24，∠B =45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 ． 【答案】
，2，． 例2.如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC =4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为(30)，，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点．
（1）求点G 的坐标；
（2）求折痕EF 所在直线的解析式；
（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P 、F 、G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5
2
423
D
B
C
A
E
F
F
【答案】
解：（1）四边形ABCO 是正方形，4BC OA ∴==，
E 为CB 中点，2EB ∴=
MN y ∥轴，(30)N ，，MN EB ∴⊥且1MB NA ==
1EM ∴=
而2EG EC ==，1sin 2EM EGM EG ∴∠==
30EGM ∴∠=
cos303MG EG ∴==·，
(343)G ∴-，
（2）
30EGM ∠=
60MEG FEG CEF ∴∠=∠=∠=
tan 6023CF CE ∴==·
423FO ∴=-
(0423)F ∴-，，(24)E ，
设直线EF 的解析式：(0)y kx b k =+≠
24
423k b b +=⎧⎪∴⎨
=-⎪⎩ 3423
k b ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩ ∴折痕EF 所在直线解析式：3423y x =
+-
（3）12(3123)(143)P P ---，，，，34(3723)(343)P P -+，，， 综合训练
（2011湖南）如图（11）所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (9
4
-，0)，点C (0，
3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． （1）求∠ACB 的度数；
（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】
（1）∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =0
90
（2） ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC •=2
∵A (－9
4，0)，点C (0，3)， ∴4
9
=
AO 3=OC ∴OB 4
9
32
=
∴ 4=OB ∴B (4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 312
7
3
12
++
-=x x y （3）
①OD =OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB ,垂足是H ，则H 是OB 中点．DH =
OC 21 OB OH 21= ∴D )2
3,2( ② BD =BO 过D 作DG ⊥OB ,垂足是G ∴OG :OB =CD :CB DG :OC =1:5 ∴ OG :4=1:5 DG :3=1:5 ∴OG =54 DG =53
∴D (54,5
3)
第三模块：双动点情况等腰三角形存在性问题 一、模型引入
x
y
C
B
A O 图11
B
A
O
二、典例分析
例3（济南）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，DC =5，AB =24，∠B =45°.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．
（2）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形． 【答案】
（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，
DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形
∴3KH AD ==．
在Rt ABK △中，2
sin 454242
AK AB =•︒=•
= 2
cos 454242
BK AB =•︒=•=
在Rt CDH △中，由勾股定理得，22543HC =-= ∴43310BC BK KH HC =++=++= （2）分三种情况讨论：
①当NC MC =时，如图②，即102t t =- ∴103
t =
O
B
A
A
D
C
B
M N
O
A
B
A
D
C
B M
N
（图②）
（题图③）
A
D C
B
M N
H E
（图①）
A D
C
B
K H
②当MN NC =时，如图③，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得()11
102522
EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t -=
=
又在Rt DHC △中，3
cos 5
CH c CD ==
∴535t t -= 解得258
t =
解法二：
∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△
∴
NC EC
DC HC =
即553t t -= ∴258
t = ③当MN MC =时，如图④，过M 作MF CN ⊥于F 点.11
22
FC NC t == 解法一：（方法同②中解法一）
1
32cos 1025t
FC C MC t ===- 解得60
17
t =
解法二：
∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△
∴
FC MC
HC DC =
即1102235
t
t -=
∴6017t = 综上所述，当103
t =、258t =或60
17t =时，MNC △为等腰三角形．
同类训练：
平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（3，0），（3，4）.动点M 、N 分别从O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中，点M 沿OA 向终
（图④）
A
D
C
B
H N M
F
点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连结MP .已知动点运动了x 秒.
1.P 点的坐标为（ ______，_____ ）；（用含x 的代数式表示）.
2.试求三角形MPA 面积的最大值,并求此时x 的值.
3.探索:当x 为何值时,三角形MPA 是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.
【答案】解：（1）由题意可知C （0，4），又A （3，0）， 所以直线AC 解析式为：4
43
y x =-
+， 因为P 点的横坐标与N 点的横坐标相同为3﹣x ，代入直线AC 中得43
y x =
， 所以P 点坐标为（4
3,
3
x x -）； （2）设△MP A 的面积为S ，在△MP A 中，MA =3﹣x ，MA 边上的高为4
3
x ， 其中，0≤x ≤3 ∴214233
(3)()23322
S x x x =
•-•=--+ S =（3﹣x ）·x =（﹣x 2+6x ）=﹣（x ﹣3）2+6 ∴S 的最大值为
3
2
，此时32x =；
（3）延长NP 交x 轴于Q ，则有PQ ⊥OA ①若MP =P A
∵PQ ⊥MA ∴MQ =QA =x ． ∴3x =3， ∴x =1
②若MP =MA ，则MQ =3﹣2x ，4
3
PQ x =，PM =MA =3﹣x 在Rt △PMQ 中， ∵PM 2=MQ 2+PQ 2
∴2224(3)(32)()3x x x -=-+ ∴5443
x =
③若P A=AM，
∵
5
3
PA x
=，AM=3﹣x
∴5
3
3
x x
=-∴
9
8
x=
综上所述，x=1，或
54
43
x=或
9
8
x=．
第四模块：其它类型
例4如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？
【答案】
解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则
四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12．
∵QB=16﹣t，
∴S=1
2
×12×（16﹣t）=96﹣6t（0≤t＜16）；
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，
解得
7
2
t=；
②若BP=BQ．
在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122．由BP2=BQ2得：（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2即3t2﹣32t+144=0．
由于△=﹣704＜0，
B
A
C
Q
D
P
M
∴3t 2﹣32t +144=0无解， ∴PB ≠BQ ． ③若PB =PQ ．
由PB 2=PQ 2，得t 2+122=（16﹣2t ）2+122 整理，得3t 2﹣64t +256=0．
解得116
3
t =，t 2=16（不合题意，舍去） 综合上面的讨论可知：当72t =秒或16
3
t =秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等
腰三角形． 综合训练：
（江苏）如图，已知一次函数y =-x +7与正比例函数y =4
3x 的图象交于点A ，且与x 轴交
于点B .
（1）求点A 和点B 的坐标；
（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.
① t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？
② 是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】
（1）根据题意，得74
3y x y x =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩
，解得 3
4
x y =⎧⎨
=⎩，∴A (3，4) . 令y =-x +7=0，得x =7．∴B （7，0）. （2）①当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4.
由S △APR =S 梯形COBA -S △ACP -S △PQR -S △ARB =8，得 12(3+7)×4-12×3×(4-t )- 12t (7-t )- 12t ×4=8
整理,得t 2-8t +12=0, 解之得t 1=2,t 2=6（舍） 当P 在CA 上运动，4≤t ＜7.
由S △APR = 1
2
×(7-t ) ×4=8，得t =3（舍）
∴当t =2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8. ②当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4. ∴AP=（4-t ）2+32，AQ=2t ，PQ =7-t 当AP =AQ 时， （4-t ）2+32=2(4-t )2,
整理得，t 2-8t +7=0. ∴t =1, t =7(舍) 当AP=PQ 时，（4-t ）2+32=(7-t )2, 整理得，6t =24. ∴t =4(舍去) 当AQ=PQ 时，2（4-t ）2=(7-t )2 整理得，t 2-2t -17=0 ∴t =1±3 2 (舍)
当P 在CA 上运动时，4≤t ＜7. 过A 作AD ⊥OB 于D ,则AD =BD =4. 设直线l 交AC 于E ，则QE ⊥AC ，AE =RD =t -4，AP =7-t . 由cos ∠OAC= AE AQ = AC
AO ，得AQ = 53(t -4)．
当AP=AQ 时，7-t = 53(t -4)，解得t = 41
8.
当AQ=PQ 时，AE ＝PE ，即AE = 1
2AP
得t -4= 1
2(7-t )，解得t =5.
当AP=PQ 时，过P 作PF ⊥AQ 于F AF = 12AQ = 12×5
3(t -4).
在Rt△APF中，由cos∠P AF＝AF
AP＝
3
5，得AF＝
3
5AP
即1
2×
5
3(t-4)=
3
5×(7-t)，解得t=
226
43.
∴综上所述，t=1或41
8或5或
226
43时，△APQ是等腰三角形.
等腰三角形的存在性 一、 等腰三角形存在性 分类一、几何动点中等腰三角形存在性 如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 过关练习1 （本小题满分9分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥， 7460OA AB COA ===，，∠，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结 CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）求点B 的坐标； （2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标； （3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB =∠∠，且5 8 BD AB =，求这时点 P 的坐标． C （第23题
过关练习2 例2：如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点A 、B 分别落在坐标轴上．O 为原点，点A 的坐标为（6，0），点B 的坐标为（0，8）．动点M 从点O 出发．沿OA 向终点A 以每秒1个单位的速度运动，同时动点N 从点A 出发，沿AB 向终点B 以每秒 3 5 个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M 、N 运动的时间为t 秒（t ＞0）． （1）当t=3秒时．直接写出点N 的坐标，并求出经过O 、A 、N 三点的抛物线的解析式； （2）在此运动的过程中，△MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，△MNA 是一个等腰三角形？ 分类二、抛物线中的等腰三角形存在性 例、抛物线y ＝－x 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． 在x 轴上是否存在一点K ，使得BKC 是等腰三角形？若存在，请写出 K 点的坐标？若不存在，请说明理由？ 同样是分三种情况讨论，方法和结合当中的等腰三角形存在性类似 碰到的问题总结：
等腰三角形的存在性问题 一、解题策略 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法：分类、画图、计算． 代数法：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 二、课前练习： 1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 三、典例精析 例：（2014?邵阳第26题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C． （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．（《冲刺》P92页第5题）
四、变式训练 （长郡双语月考压轴题改编）26、 如图，直线394 y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线214 y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴的另一个交点为点A ，动点P 从点A 出发沿AB 以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，运动时间为t （0＜t ＜5）秒． （3）在点P 从点A 出发的同时，动点Q 从点B 出发沿BC 以每秒3个单位长度的速度向点C 运动，动点 N 从点C 出发沿CA 个单位长度的速度向点A 运动，运动时间与点P 相同．①记△BPQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 最大，最大值是多少？ ②是否存在△NCQ 为等腰三角形的情形，若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． 五、课堂小结、布置作业 1、等腰三角形的存在性问题解题策略及方法选择 2、作业：
等腰三角形存在性问题（两圆一线） 类型一、格点中的等腰三角形 1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） 2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C， 使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个． 3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于． 4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？
类型二、定边几何法讨论：两圆一线 5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来 6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）
（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果） （3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=． 7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个． 8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个 直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形
一、等腰三角形的存在性问题 1.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，动点P 以2个单位/秒的速度从A 点出发，沿对角线AC 向C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒． (1)求△CPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式； (2)以P 为圆心，PA 为半径的圆与以Q 为圆心，QC 为半径的圆相切时，求出t 的值； (3)在P 、Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，直接写出t 的值． 2.如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=16cm ，DE=4cm ．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF ∥AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），连接DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长； （2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由． 3.已知:如图1,在矩形ABCD 中,AB=5,AD= 3 20,AE 垂直于BD,垂足是E.点F 是点E 关于AB 的对称点,连接AF,BF. (1)求AE 和BE 的长;
(2)若将三角形 ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB,AD上时,直接写出相应的m的值. (3)如图2,将三角形 ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0度<α<180度），记旋转中的三角形ABF为三角形A‘BF',在旋转过程中,设A'F’所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P,Q两点,使三角形DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由. 4.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(-4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y 轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t(s)． (1)∠PBD的度数为_____，点D的坐标为_____(用t表示)； (2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？ (3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 5.如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点P为BC边上的一个动点，点E在AC边上，，∠ADE=∠B．设BD的长为x，CE的长为y． （1）当D为BC的中点时，求CE的长；
专题：探索等腰三角形存在性问题 1、如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 2、已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 3、解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法：一般分三步：分类、画图、计算． 代数法：一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 类型一：格点中的等腰三角形 1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三角形．．．．． ，则点C 的个数是（ ） C ．8 D ．9 练习：1、.A 、B 是网格中的两个点如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三角形，．．．．．． 满足题意的所有等腰三角形的面积之和是 2、以AB 为腰的ABC ?为等腰三角形，这样的点C 有几个？
类型二：平面直角坐标系中的等腰三角形 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 在坐标为(3，4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标． 2、如图,点A 的坐标为（1,1）在坐标轴上．．．． 是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形，若存在，请分别写出它们的坐标.若不存在，请说明理由. 3、A(1,2) ,B(3,0),点P 为X 轴上一点，使△ABP 为以AB 为腰的等腰三角形，求P 的坐标。
4 、 类型三：动点问题中的等腰三角形 1、 在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10,点Q 为BC 的中点，点P 在AD 上运动，若△BPQ 是腰长 为5的等腰三角形，则满足条件的点P 有几个？ 2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 以2个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形 时，求t 的值． 3、已知正方形ABCD 边长为6， P 为正方形内部一点，B P=4,∠PBC=60°，Q 为正方形边上一动点。若三角形PBQ 为等腰三角形，这样的点Q 有几个？ A D C B
2解：（1）当t=4时，B（4，0）， 设直线AB的解析式为y=kx+b． 把A（0，6），B（4，0）代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y=- x+6． （2）过点C作CE⊥x轴于点E， 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴= = = ， ∴BE= AO=3，CE= OB= ， ∴点C的坐标为（t+3，）． 方法一： S梯形AOEC= OE•（AO+EC）= （t+3）（6+ ）= t2+ t+9，S△AOB= AO•OB= ×6•t=3t， S△BEC= BE•CE= ×3× = t， ∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC = t2+ t+9-3t- t = t2+9． 方法二： ∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ABC= AB•BC=BC2． 在Rt△ABC中，BC2=CE2+BE2= t2+9， 即S△ABC= t2+9． （3）存在，理由如下： ①当t≥0时， Ⅰ．若AD=BD， 又∵BD‖y轴， ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD， ∴∠OAB=∠BAD， 又∵∠AOB=∠ABC， ∴△ABO∽△ACB， ∴= = ， ∴= ， ∴t=3，即B（3，0）． Ⅱ．若AB=AD． 延长AB与CE交于点G， 又∵BD‖CG， ∴AG=AC， 过点A画AH⊥CG于H． ∴CH=HG= CG， 由△AOB∽△GEB， 得= ， ∴GE= ． 又∵HE=AO=6，CE= +6= ×（+ ）， ∴t2-24t-36=0，
解得：t=12±6 ．因为t≥0， 所以t=12+6 ，即B（12+6 ，0）． Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB． 当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB． ∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况． ②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB 过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F． 可求得点C的坐标为（t+3，）， ∴CF=OE=t+3，AF=6- ， 由BD‖y轴，AB=AD得， ∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB， ∴∠BAO=∠FAC， 又∵∠AOB=∠AFC=90°， ∴△AOB∽△AFC， ∴= ， ∴= ，∴t2-24t-36=0， 解得：t=12±6 ．因为-3≤t＜0， 所以t=12-6 ，即B（12-6 ，0）． ③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD， 过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F， 可求得点C的坐标为（t+3，）， ∴CF=-（t+3），AF=6- ， ∵AB=BD， ∴∠D=∠BAD． 又∵BD‖y轴， ∴∠D=∠CAF， ∴∠BAC=∠CAF． 又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC， ∴△ABC≌△AFC， ∴AF=AB，CF=BC， ∴AF=2CF，即6- =-2（t+3）， 解得：t=-8，即B（-8，0）． 综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形， 此时点B坐标为：B1（3，0），B2（12+6 ，0），B3（12-6 ，0），B4（-8，0）．
专题3 等腰三角形的存在性问题 （一）考点分析 “两圆一线”模型 已知线段AB ，在平面内找一点C ，使△ABC 为等腰三角形. （1） AB =AC 时，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （2） BA =BC 时，以B 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （3） CA =CB 时，作AB 的垂直平分线，此直线上所有的点均满足条件. “两圆一中垂”上所有的点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的点C 有无数个.因此，题目会对点C 再加上另外一个限定条件——例如还限定点C 在坐标轴上或抛物线上，这样，点C 的个数就只有几个. （二）典型例题 例：已知点A (2,1),B (6,4)，若在x 轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，求满足条件的点C 的坐标. 解法1：“两圆一线”模型 由题可知：AB =5 （1）如图，AB =AC 时，由勾股定理可得：DC 1=DC 2=2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2）如图， BA =BC 时，由勾股定理可得：EC 3=EC 4=3，则C 3(3,0)，C 4(9,0) （3）如图，CA =CB 时，设FC 5=x ，则HC 5=4−x ，由AC 5=BC 5得：x 2+1=(4−x)2+42 图(3) 图(2) 图(1) 图(3) 图(2) 图(1)
解得：x = 31 8 ，则C 5(47 8,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478 ,0) 如果学生掌握了中点公式和两条垂直直线k 的关系，第（3）种情况CA =CB 也可以通过代数方法解决，具体过程如下： 由A (2,1),B (6,4)可知：M (4,5 2),k AB =3 4，则k MC 5=−4 3 ∴直线MC 5的解析式为y =−4 3x +47 6 ，则C 5(47 8,0) 解法2：两点间距离公式——暴力解法 设点C (x ,0)，则AB 2=(2−6)2+(1−4)2=25，AC 2=(2−x)2+(1−0)2=x 2−4x +5， BC 2=(6−x)2+(4−0)2=x 2−12x +52 （1） AB =AC 时，25=x 2−4x +5 解得：x 1=2−2√6,x 2=2+2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2） BA =BC 时，25=x 2−12x +52 解得：x 1=3,x 2=9，则C 3(3,0)，C 4(9,0) （3） CA =CB 时，x 2−4x +5=x 2−12x +52 解得：x = 47 8 ，则C 5(47 8,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(47 8,0) 小结：利用两点间距离公式解题的基本思路是：列点、列线、列式. ① 列点：列出构建所求等腰三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标； ② 列线：列出构建所求等腰三角形的三条边，并用两点间距离公式表示其长度； ③ 列式：采用分类讨论思想，列出三组方程并求解.
学生做题前请先回答以下问题 问题1：已知线段AB是等腰三角形的一条边，则对应两圆一线中的“两圆”与“一线”的操作方法是什么？ 问题2：两圆一线的分类标准是什么？分别对应什么操作？ 等腰三角形存在性问题（两圆一线）（人教版） 一、单选题(共6道，每道14分) 1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 解题思路： 要使△ABC是等腰三角形，先分析点，定点是A，B，动点是C， 那么AB是定线段，AB可以当这个等腰三角形的腰， 也可以当这个等腰三角形的底． ①当AB为腰时，此时作两圆，如图，
②当AB为底时，此时作一线，如图， 综上，使△ABC是等腰三角形的上的点C有2个． 故选B 试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性 2.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或 直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个． A.3 B.4 C.7 D.8 答案：D 解题思路：
如图所示，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆； 当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线； 综上，满足条件的点C共有8个． 故选D 试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形 3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，如果以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路： 已知O，A两个定点，再寻找点P使得△OAP为等腰三角形，需要利用“两圆一线”解题，即：分别以O，A为圆心，以OA长为半径作圆；作线段OA的垂直平分线，与x轴的交点即为所求． 如图所示，
学生做题前请先回答以下问题 问题1：存在性问题的处理思路 ①分析特征：分析背景图形中的__________、__________及____________，结合图形形成因素（判定等）考虑分类． ②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③结果验证：回归________________，画图或推理，验证结果． 问题2：等腰直角三角形存在性根据什么分类？如何确定点的位置？ 等腰直角三角形存在性 一、单选题(共4道，每道25分) 1.如图，抛物线342+-=x x y 交x 轴于A ，C 两点（点A 在点C 的右侧），交y 轴于点B ．点D 的坐标为(-1，0)，若在直线AB 上存在点P ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为( ) A. B.(-1，3)或(1，2) C.(-1，4)或(1，2) D.(-1，4)，(1，2)或(5，-2) 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性 2.如图，抛物线23 432-2++=x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．P 是线段AC 上的一个动点（不与点A ，C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线，交BC 于点Q ，若在x 轴上存在点R ，使得△PQR 是等腰直角三角形，则点R 的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性 3.如图，二次函数2 3-212x x y +=的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），以 AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，P 是x 轴上的一动点（不与点A 重合），连接DP ，过点P 作PE ⊥DP 交y 轴于点E ．当△PED 是等腰直角三角形时，点P 的横坐标为( ) A.-4 B.-3 C.-3或-4 D.-4或4 答案：D 解题思路：
专题：二次函数中等腰三角形存在性问题 类型一、等腰三角形存在性问题 以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动） 一.找法：画圆和作垂直平分线 ①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ） ②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ） ③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ） 二、算法：利用两点距离公式进行计算 公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况： ①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+- 可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合） ②AB=BP 时 2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+- 可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合） ③AP=BP 时 2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+- 可得5P 、
例题1、如图，已知二次函数2 y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上. （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出 点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ． （1）求抛物线的表达式； （2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？ （3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
等腰直角三角形（正方形）存在性问题 x+m与x、y轴的正半例1、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l:y=−1 2 轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．（1）求点D的坐标和直线l的解析式； （2）求证：△ABC是等腰直角三角形； （3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）
例2、如图，直线AB 经过点B(0, -2) ，并与反比例函数y=k 交于点A(3, -1) ． x （1）求直线AB 和反比例函数的表达式； （2）点C 是点B 关于原点的对称点，Q 为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q 作QP∥y 轴交反比例函数于点P，点D 为线段QP 的中点，点E 为x 轴上一点，点F 为平面内一点，当D，C，E，F 四点构成的四边形为正方形时，求点Q 的坐标．
例3、如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=(x−ℎ)2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M； （1）写出h、k的值以及点A、B的坐标； （2）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出对应的点P 的坐标．（不写过程）
x2+4与x轴交于点A，B两例4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=−1 2 点，顶点为D（0，4），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′。如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点为P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PM P′N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由。
等腰三角形的存在性问题 解题策略 假如△ ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，② BA＝ BC，③ CA＝ CB三种状况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直均分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相联合，能够使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、绘图、计算． 代数法一般也分三步：排列三边长，分类列方程，解方程并查验． 例题精讲 1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 D 在座标为 (3， 4)，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，假如△ DOP 是等腰三角形，求点 P 的坐标． 分析．因为 D（3， 4），所以 OD＝5，cos DOP 3． ①如图 1，当 PD＝PO 时，作 PE⊥ OD 于 E． 5 在 Rt△OPE中，cos DOP OE3， OE5，所以 OO25．此时点 P 的坐标为(25 ,0)． OP5266 ②如图 2，当 OP＝ OD＝ 5 时，点 P 的坐标为 (5， 0)． ③如图 3，当 DO＝ DP时，点 D 在 OP 的垂直均分线上，此时点P 的坐标为 (6， 0)． 2．如图，在矩形ABCD中， AB＝ 6， BC＝ 8，动点 P 以 2 个单位 / 秒的速度从点 A 出发，沿AC向点 C 挪动，同 时动点 Q 以 1 个单位 / 秒的速度从点C出发，沿 CB 向点 B 挪动，当、 Q 两点中此中一点抵达终点时则停止运P 动．在 P、Q 两点挪动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t 的值． 分析．在 Rt△ ABC 中，ACAB 2BC 2628210 .所以 cos ACB4. 5在△ PQC中， CQ＝t ，CP＝ 10－ 2t .
1０、(20１6山东省临沂市)如图,在平面直角坐标系中,直线ｙ=﹣2x+10与x 轴,y轴相交于A，B两点，点C得坐标就就是(8,4）,连接ＡC,BC、 (１)求过O,A,C三点得抛物线得解析式,并判断△ABC得形状; (2)动点Ｐ从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度得速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度得速度向点C运动、规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动、设运动时间为t秒,当t为何值时，PA＝ＱA？ （3）在抛物线得对称轴上,就就是否存在点M,使以A,B，M为顶点得三角形 就就是等腰三角形？若存在,求出点M得坐标;若不存在,请说明理由、 １1、(20１６山东省日照市)阅读理解： 我们把满足某种条件得所有点所组成得图形，叫做符合这个条件得点得轨迹、例如:角得平分线就就是到角得两边距离相等得点得轨迹、 问题：如图１,已知EＦ为△AＢC得中位线,Ｍ就就是边BC上一动点,连接AM 交EF于点Ｐ,那么动点P为线段AM中点、 理由：∵线段EF为△ABC得中位线,∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得:动点P为线段ＡM中点、 由此您得到动点P得运动轨迹就就是：、 知识应用: 如图2,已知EF为等边△ABC边AＢ、ＡC上得动点,连结EＦ；若ＡＦ=BE，且等边△ABC得边长为8，求线段EF中点Q得运动轨迹得长、 拓展提高: 如图3,P为线段AB上一动点(点P不与点Ａ、B重合),在线段AB得同侧分别作等边△AＰＣ与等边△PＢD,连结AD、BC,交点为Q、 （1)求∠AQB得度数; (2)若AB＝６，求动点Q运动轨迹得长、12、（20１6山东省日照市)如图1，抛物线与x轴交于点A（ｍ﹣2，0)与B(２m+3,0)(点A在点Ｂ得左侧）,与y轴交于点C,连结BC、 (１)求m、n得值; (２)如图２，点N为抛物线上得一动点,且位于直线ＢC上方,连接ＣN、BＮ、求△NBC面积得最大值； (3）如图3,点Ｍ、P分别为线段BＣ与线段ＯB上得动点,连接ＰＭ、ＰC,就就是否存在这样得点P,使△PＣM为等腰三角形,△ＰＭＢ为直角三角形同时成立?若存在,求出点P得坐标;若不存在,请说明理由、 13、(2０１6山西省)综合与探究 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与ｘ轴交于Ａ,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线得一个交点为D,与抛物线得对称轴交于点Ｅ,连接CE,已知点A,D得坐标分别为(﹣2,0）,(６,﹣8)、 （1)求抛物线得函数表达式,并分别求出点B与点E得坐标； (2)试探究抛物线上就就是否存在点F,使△FOE≌△FＣE？若存在,请直接写
等腰三角形存在性〔三〕〔通用版〕 一、单项选择题(本大题共4小题，共100分) 1.正确答案： D．解题要点 ①研究根本图形得到△ABC是三边之比为3：4：5的直角三角形； ②分析运动状态，点P和点Q的运动状态如下列图， ∴时间t的取值围是． ③分析目标△CPQ，C是定点，点P和点Q分别在AC和BC边上运动，符合“夹角固定、两点动〞的特征，可以借助三线合一找相似来解决问题． 2．解题过程 表达动点走过的路程，AP=2t，CQ=t， ∴CP=10-2t． ①当CP=CQ时，如下列图， 如此10-2t=t，解得，符合题意． ②当PQ=CP时，如下列图，过点P作PD⊥CB于点D．
易知，△CDP∽△CBA， ∴， 即，解得，符合题意． ③当PQ=CQ时，如下列图，过点Q作QE⊥CA于点E． 如此CE=EP=5-t，△CEQ∽△CBA， ∴， 即，解得，符合题意． 综上所述，符合题意的t的值为． 2 正确答案： D ∵， ∴A〔-3，0〕，B〔1，0〕． ∵四边形ABCD是正方形， ∴D〔-3，4〕． △PED中，D为定点，P，E为动点，且始终保持∠DPE=90°， 假如要使△PED是等腰三角形，只能是DP=PE〔此时△PED是等腰直角三角形〕，但是需要根据点P位置的不同进展分类．
设点P的横坐标为t． ①当时，如下列图， ∵∠DPE=∠DAP=∠POE=90°，DP=PE，易证△DAP≌△POE， ∴OP=AD=4， ∴． ②当时，如下列图， ∵∠DPE=∠DAP=∠POE=90°，DP=PE，易证△DAP≌△POE， ∴OP=AD=4， ∴〔不符合要求，舍〕． ③当时，如下列图，
专题训练等腰三角形的存在性问题 例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P为BC边上的一个动点，以P为圆心的⊙P与边AB相切于点D． （1）设⊙P的半径为x，PC的长为y，求y与x的函数 关系式，并写出x的取值范围； （2）以C为圆心，AC为半径的圆与⊙P外切，求⊙P 的半径； （3）在点P移动的过程中，△APC如果成为等腰三角 形，求⊙P的半径． 专题直击 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P为BC边上的一个动点，以P为圆心的⊙P与边AB相切于点D．在点P移动的过程中，△APC如果成为等腰三角形，求⊙P的半径．
例2如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝4 5 ，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G． （1）当圆C经过点A时，求CP的长； （2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长； （3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长． 图1 备用图 专题直击 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝4 5 ，点P是边BC上的动 点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA 交于点G．当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
例3 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝4 3 ．（1）求BC的长； （2）点D、E分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M 的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y． ①求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长． 专题直击 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝4 3 ．点D、E分别是AB、AC的中点， 不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．
等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．
C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C 5坐标为（ 196,0） 解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．
【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3） ， （2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ， （4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫ ⎪⎝⎭ ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ； （2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
等腰三角形和直角三角形存在性问题练习题 1．如图，矩形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点，连接AE，以AE为对称轴折叠△AEB，得到△AEB′，点B的对称点为点B′，若AB＝5，BC＝3，当点B′落在射线CD上时，线段BE的长为． 2．在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为． 3．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是．
4．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝6，AB＝8，点P是射线AB上的动点，连接CP，将△ACP沿着CP翻折得到△A'CP，设AP＝x（x＞0）． （1）如图1，当点A′在BC上时，求x的值． （2）如图2，连接AA′，BA′，当∠AA′B＝90°时，求△P A′B的面积． （3）在点P的运动过程中，当△AA′B是等腰三角形时，求x的值．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE 的长为． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点E从C点出发向终点B运动，速度为1cm/秒，运动时间为t秒，作EF∥AB，点P是点C关于FE的对称点，连接AP，当△AFP恰好是直角三角形时，t的值为． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E，F分别为AB，AC上一个动点，连接EF，以EF为轴将△AEF折叠得到△DEF，使点D落在BC上，当△BDE为直角三角形时，BE的值为．
专题二等腰三角形的存在性问题 【考题研究】 近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。 【解题攻略】 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法． ①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． 【解题类型及其思路】 解题类型： 动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题 背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景 解题思路： 几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．