1．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．
2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标
为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y 轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F
（1）求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；
（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；
（3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M的横坐标．
4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
5. (2016 辽宁省铁岭市) ．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B
坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．
6. (2016 广东省茂名市) ．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF 上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案
1．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，∴，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
∴，∴，∴直线BD的解析式为y=﹣2x﹣6，
设点P（a，﹣2a﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，
PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∵PC=PE，
∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
（3）如图，作PF⊥x轴于F，
∴F（﹣2，0），
设M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG，
∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，
∴d=或d=，
∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．
2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，
∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴=，
当点F在x轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；当点F在x轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点坐标为（﹣3，﹣）；
综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），
∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，
∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y 轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F
（1）求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；
（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；
（3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M的横坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，
得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．
如图，设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，
∴ME=|﹣m2+2m+3|，
∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，
∴点N的横坐标为2﹣m，
∴MN=2m﹣2，
∵四边形MNFE为正方形，
∴ME=MN，
∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，
分两种情况：
①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），
当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；
②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），
当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；
综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．
（3）设BC所在直线解析式为y=px+q，
把点B（3，0）、C（0，﹣3）代入表达式，
得：，解得：，
∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3，
设点M的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，
则点N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），点D（t，t﹣3），
∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．
∵MD=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t，
分两种情况：
①当t2﹣3t=2﹣2t时，解得t1=﹣1，t2=2（不符合题意，舍去）．
②当3t﹣t2=2﹣2t时，解得t3=，t2=（不符合题意，舍去）．
综上所述，点M的横坐标为﹣1或．
4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．
解答：解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，
抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3；
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=（x﹣1）2﹣4，
M点的坐标为（1，﹣4），M′点的坐标为（1，4），
设AM′的解析式为y=kx+b，
将A、M′点的坐标代入，得，解得，AM′的解析式为y=2x+2，
联立AM′与抛物线，得
，解得，
C点坐标为（5，12）．S△ABC=×4×12=24；
（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，
由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得
P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），
①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
将A点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a=，
抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，
②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将
A点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2+2=0，
解得a=﹣，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2，
综上所述：y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四边形APBQ为正方形．
5. (2016 辽宁省铁岭市) ．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B
坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．
分析（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；
（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点F′的坐标，根据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF的解析式，联立直线BF和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；
（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P、Q的位置，设出点Q的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点M的坐标为（2﹣n，n）．由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论．
解答解：（1）将点B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c中，
得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6．
∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，
∴点D的坐标为（2，8）．
（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1所示．
∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，
∴△F′BO∽△BDE，∴．
∵点B（6，0），点D（2，8），
∴点E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=•OB=3，∴点F′（0，3）或（0，﹣3）．
设直线BF的解析式为y=kx±3，则有0=6k+3或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=，
∴直线BF的解析式为y=﹣x+3或y=x﹣3．
联立直线BF与抛物线的解析式得：①或②，
解方程组①得：或（舍去），∴点F的坐标为（﹣1，）；
解方程组②得：或（舍去），∴点F的坐标为（﹣3，﹣）．
综上可知：点F的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）．
（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，
设点Q的坐标为（2，2n），则点M的坐标为（2﹣n，n）．
∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，
∴n=﹣+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，
解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1．
∴点Q的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．
6. (2016 广东省茂名市) 】．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF 上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
分析（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．
解答解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，
当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），
设直线BD的解析式为：y=mx+n，
则，解得，，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），
则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，
∴点P的坐标为（2，2）；
（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），
∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，
当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，
当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，
整理得，a2﹣a﹣5=0，
解得，a=，
∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，
0），（，0）．
1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC． （1）求直线BD的解析式； （2）求△OFH的面积； （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点C . 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E . （1）求直线AD 的解析式； （2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值； （3）点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标. x x x 26题备用图2 26题备用图1 26题图1
3. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′． （1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式； （2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标； （3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
正方形存在性问题巩固练习（基础） 1.如图，在直角梯形乂8CQ中，, JD=24厘米，厘米，8C=30厘米，动点尸从,4开始沿乂。边向D以每秒1厘米的速度运动，动点。从点C开始沿CB边向3以每秒3厘米的速度运动，尸，。分别从点工、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为，秒. （7）当r在什么时间范围时，CQ>PD? （2）存在某一时刻f,使四边形a产@是正方形吗？若存在，求出/值；若不存在，请说明理由. 【解答】3）当SVfWJO时，CQ>PDx（2）不存在 【解析】3）•••CQ=3f, 24 7, ，由C0>尸。有3>24-f,解得 又。尸、。点的运动时间只能是30+3=10 （s）, ：.6
【解析】3）设尸、。两点出发f秒时，四边形尸BC0的而积为36c〃上 由矩形得NB=NC=90° , XB〃CD, 所以四边形尸B C。为直角梯形， 故S ^-PBCQ=；（CO+PB ）*BC.又S ^-PBCQ=36, 所以9（2t+16- 3t>6=36,解得r=4（秒）； （2）不存在.因为要使四边形产BC0为正方形，则尸3=BC=C0=6, 所以P点运动的时间为电U 二¥秒，Q点运动的时间是3秒，J O 尸、。的时间不一样，所以不存在该时刻. 3.如图，正比例函数y = ax与反比例函数y= A （x>0）的图象交于点时（通,/）J （7）求这两个函数的表达式： （2）如图，若NAMB=90° ,且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点,4、8.求四边形。外四的面积. （3）如图2,点尸是反比例函数歹=& （£>0）的图象上一点，过点尸作x轴、y轴的垂线，垂足分别为£x F，尸尸交直线。呸于点H，过作x轴的垂线，垂足为G.设点尸的横坐标为机，当血>通时，是否存在 点尸，使得四边形尸EG〃为正方形？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由. Z? 【解答】3)y=x, y=_；(2) 6； (3) P (2/,收) 【解析】3）将点分别代入与v=上得: =a\/Z6，解得:a = l, k=6, .••这两个函数的表达式分别为：y=x, y=^. （2）如图，过点M分别做,x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D. 则, /AMC= NBMD=90' - ZAMD. MC=AfD= ,
1. 若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（ ） A ． m ＞1 B ． m ＞0 C ． m ＞﹣1 D ． ﹣1＜m ＜0 2. 若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为 A ．120,4x x == B ．121,5x x == C ．121,5x x ==- D ．121,5x x =-= 3. 对于二次函数y =﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x =1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4. 将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A ．y =（x ﹣1）2+4 B ．y =（x ﹣4）2+4 C ．y =（x +2）2+6 D ．y =（x ﹣4）2+6 5. 在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 6. 如图，抛物线y =－x 2+2x +m +1交x 轴于点A （a ，0）和B （B ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个判断：①当x >0时，y >0；②若a =－1，则b =4；③抛物线上有两点P （x 1,y 1）和Q （x 2,y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+ x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m =2时，四边形EDFG 周长的最小值为，其 中正确判断的序号是（ ）
2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与矩形、正方形综合》专题训练（附答案）1．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）． （1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标； （2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积； （3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标； （4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OC＝OB， （1）求抛物线的解析式： （2）若D（2，m）在该抛物线上，连接CD，DB，求四边形OCDB的面积； （3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH，在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．抛物线的对称轴和x轴交于点M． （1）求这条抛物线对应函数的表达式； （2）若P点在该抛物线上，当△P AB的面积为6时，求点P的坐标． （3）点G是抛物线上对称轴左侧的一个动点，点E从点B出发，沿x轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F由点M出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t． ①若点G到AE和MF距离相等，直接写出点G的坐标． ②点C是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG和FC为边做矩形FGDC，求点E恰好 为矩形FGDC的对角线交点时t的值． 4．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积； （3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题 09 二次函数与矩形正方形存在型问题 【典例分析】 【例1】我们约定,在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时,我们称这两条抛物线为“共点抛物线”,这个交点为“共点”． （1）判断抛物线y ＝x 2与y ＝﹣x 2是“共点抛物线”吗？如果是,直接写出“共点”坐标；如果不是,说明理由； （2）抛物线y ＝x 2﹣2x 与y ＝x 2﹣2mx ﹣3是“共点抛物线”,且“共点”在x 轴上,求抛物线y ＝x 2﹣2mx ﹣3的函数关系式； （3）抛物线L 1：y ＝﹣x 2+2x+1的图象如图所示,L 1与L 2：y ＝﹣2x 2+mx 是“共点抛物线”； ①求m 的值； ②点P 是x 轴负半轴上一点,设抛物线L 1、L 2的“共点”为Q,作点P 关于点Q 的对称点P′,以PP′为对角线作正方形PMP′N ,当点M 或点N 落在抛物线L 1上时,直接写出点P 的坐标． 【例2】如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2 23y ax ax a =--（0a <）与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左侧）,经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC ． （1）直接写出点A 的坐标,并求直线l 的函数表达式（其中k,b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点,若△ACE 的面积的最大值为 5 4 ,求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点,点Q 在抛物线上,以点A,D,P,Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能,求出点P 的坐标；若不能,请说明理由．
2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型） 题型一：二次函数与平行四边形存在性问题 例1．（2023•泽州县一模）综合与探究． 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求二次函数的表达式和点B的坐标． （2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？ 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二：二次函数与矩形存在性问题 例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三: 二次函数与菱形存在性问题 例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值； （3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 题型四: 二次函数与正方形存在性问题 例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值； （2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD． ①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值； ②当点C在抛物线上时，求m的值； ③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．
二次函数中矩形的存在性问题 1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点 A、 C在坐标轴上，△ ODE是△ OCB绕点 O 顺 时针旋转90°得到的，点 D在 x 轴上，直线BD交 y 轴于点 F，交 OE于点 H，线段 BC、 OC的长是方程 x2 ﹣6x+8=0 的两个根，且 OC＞BC． （ 1）求直线 BD的解析式； （ 2）求△ OFH的面积； （ 3）点 M在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、F、 M、 N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接 写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 1
2. (2015重庆市綦江县)如图，抛物线y x22x 3 与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点 C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与 y 轴相交于点E. （1）求直线AD的解析式； （2）如图 1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△ FGH的周长的最大值； （ 3）点M是抛物线的顶点，点P 是 y 轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A， M，P， Q为顶点的四边形 是 AM为边的矩形，若 点T 和点 Q关于 AM所在直线对称，求点T 的坐标. y y M y M C D C C F H E G A B A A B O x O x O x 26题图 126题备用图 126题备用图 2 2
3. (2016山东省东营市)】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、 C的坐标分别是 （ 0， 4）、（﹣ 1， 0），将此平行四边形绕点 O顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′ OC′．（ 1）若抛物线经过点 C、 A、A′，求此抛物线的解析式； （ 2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？ 并求出此时M的坐标； （ 3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点Q坐标为（ 1，0），当 P、 N、 B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标． 3
中考数学压轴二次函数背景下的存在性问题 1、 抛物线()2 1134 y x =- -+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．点P 在抛物线上，直线PQ //BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ． （1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求直线BQ 的函数解析式； （2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上（点D 不与点Q 重合），另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标． 2、 如图，矩形OBCD 的边OD 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且OD ＝10， OB ＝8．将矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合． （1）若抛物线 c bx x y ++-=2 3 1经过A 、B 两点，求该抛物线的解析式：______________； （2）若点M 是直线AB 作MN ⊥x 轴于点N ．是否存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似？若存在，求出点M 的坐标； 若不存在，说明理由． C O y B A x x A B y O C C O y B A x
3、 已知抛物线2 =23y x x --经过A 、B 、C 三点，点P （1，k ）在直线BC ：y=x -3上，若点M 在 x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 4、 抛物线22 12 -+= x x y 与y 轴交于点C ，与直线y =x 交于A (-2，-2)、B (2，2)两点．如图，线段MN 在直线AB 上移动， 且MN =若点M 的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ．以P 、M 、Q 、N 为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由． 1.解：（1）由抛物线解析式()2 1134y x =- -+可得B 点坐标（1，3）. 要求直线BQ 的函数解析式，只需求得点Q 坐标即可，即求CQ 长度. 过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点D 作DF ⊥QP 于点F . 则可证△DCG ≌△DEF .则DG =DF ，∴矩形DGQF 为正方形. 则∠DQG =45°，则△BCQ 为等腰直角三角形.∴CQ =BC =3，此时，Q 点坐标为（4，0） 可得BQ 解析式为y =－x +4. （2）要求P 点坐标，只需求得点Q 坐标，然后根据横坐标相同来求点P 坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE =30°还是∠DCE =60°，所以分两种情况来讨论. ① 当∠DCE =30°时， a ）过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，过点D 作DK ⊥QP 于点K . 则可证△DCH ∽△DEK . 则 DH DC DK DE == A C y x O B
（全国通用） 专题09二次函数与正方形存在性问题 二次函数与正方形存在性问题 1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有： 思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D 为顶点的四边形是正方形． 如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形． 【例1】（2022•齐齐哈尔）综合与探究 如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为； （3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值； （4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 【例2】．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积； （2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长； （3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由． 【例3】（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积； （3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；
2022-2023学年人教版中考数学复习《二次函数存在性问题》压轴题专题提升训练（附答案）1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+1与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，连AB，点P在y轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y ＝ax2﹣3x+c的对称轴是直线x＝． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE＝PF，求证PE⊥PF． （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE ⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值． （2）如图2，在x轴上是否存在一点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在x轴上是否存在一点M，使得△ACM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，点P为抛物线对称轴上一点（P在x轴上方），抛物线上是否存在点Q，使得△PBQ是以线段PB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． （5）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点Q，使以点P，B，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（6）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点P，B，C，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（7）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点Q，使得四边形PBCQ是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式； （3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学压轴题--二次函数--存在性问题 第17节 正方形的存在性 方法点拨 正方形ABCD ，M 为对角线AC 与BD 的交点，则M 的坐标为（2,2C A C A y y x x ++）或者（2 ,2D B D B y y x x ++） 解题方法：（在平行四边形的基础上增加对角线垂直且相等） （1）选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论； （2）利用中点坐标公式列方程：D B C A x x x x +=+；D B C A y y +=+y y （3）对角线垂直：1-=⋅BD AC k k ， ()2222)()()(D B D B C A C A y y x x y y x x -+-=-+-
例题演练 1．如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接F A，FB，求出四边形F AOB面积最大值及此时点F的坐标． （3）如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
专题8二次函数与矩形存在性问题 1.矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角为直角的四边形是矩形． 2.题型分析 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式： 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下： 同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C 或D的坐标. 【例1】．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B （0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C． （1）求a，c的值； （2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式； （3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH． （1）求抛物线的解析式； （2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由． 【例3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC 于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题8二次函数与矩形正方形存在性问题 【例1】（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1 2x 2+bx+3 2与x轴正半轴交于点A，且点 A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P 作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+3 2．以PQ，QM为边作矩形PQMN． （1）求b的值． （2）当点Q与点M重合时，求m的值． （3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值． （4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【例2】（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y=−1 3x 2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，
交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，直线y=3 4 x+94与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB 上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H． ①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG=59S△OEG时，求m的值； ②在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例3】（2020•兰州）如图，二次函数y=1 4x 2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C （0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F． （1）求二次函数y=1 4x 2+bx+c的表达式； （2）判断△ABD的形状，并说明理由； （3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD 的数量关系，并求出点E的坐标； （4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2018年8月4日初中数学试卷 一、综合题（共9题；共135分） 1.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 2.（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E． ①当PE=2ED时，求P点坐标； ②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）． （1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式； （2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 √2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由． 4.（2017•广元）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值； （4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由． 5.（2017•巴中）如图，已知两直线l1， l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，√3）时，恰好有l1⊥l2，经过点A，B，C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式；
专题09 二次函数中的存在性问题之正方形 【典例1】（2018•南充）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式． （2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标． （3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 【点拨】（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可； （2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示；②设G（1，2），可得PG＝GH＝2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，分别求出Q的坐标即可； （3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN 解析式为y＝﹣x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2＝2NF2，若四边形MNED为正方形，得到NE2＝MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长． 【解答】解：（1）设y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）， 把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4＝3，即a＝﹣1， 则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3； （2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y＝﹣x+3， ∵S△PBC＝S△QBC， ∴PQ∥BC， ①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，
正方形的存在性 类型一：根据全等求解 【经典例题1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线c ax ax y ++=22交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C （0，3），4 3 =OAC ∠tan ． （1）求抛物线的解析式； （3）点M 是抛物线上任意一点，连接CM ，以CM 为边作正方形CMEF ，是否存在点M 使点E 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)∵C(0，3)，∵OC=3， ∵tan∵OAC=4 3 ，∵OA=4， ∵A(−4，0). 把A(−4，0)、C(0，3)代入y=ax 2+2ax +c 中， 得⎩⎨⎧==+-30816c c a a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧ =-=3 83c a ， ∵抛物线的解析式为y=−83x 2−4 3 x +3. (2)设直线AC 的解析式为y=k x +b ， 把A(−4，0)、C(0，3)代入y=k x +b 中，
得：⎩⎨⎧==+-304b b k ，解得：⎪⎩⎪ ⎨⎧==343b k ， ∵直线AC 的解析式为y= 4 3 x +3. 设N(x ，0)(−4 1．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标． 2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标 为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标； （3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标． 3．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y 轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F （1）求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式； （2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积； （3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M的横坐标． 4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积； （3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 图2 初中数学二次函数存在性问题总复习试题 1．（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式； (2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标． 答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程 ∴403 a c a c +=⎧⎨ +=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故2 4y x =-为所求 (2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点 设BD 的解析式为y kx b =+，则有20 3k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩， 故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M - (3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ， 由（ 2）知，OM=OA=OD=2， 90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1， 易求AM BM == 1 22 ABM S =⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有： 214422AD x -=⨯，即：21 44422 x ⨯- =⨯ 解之得：x =±，0x =，故 符合条件的P 点有三个： 123((0,4)P P P -- 2． (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。 解：(1) ∵拋物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2， 由题意知m ≠1，∴m =2，∴拋物线的解析式为y = -41x 2+2 5 x ，∵点B (2，n )在拋物线 y = - 41x 2+2 5 x 上，∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的 坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为 (a ，2a )，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得 2a = - 41⨯(3a )2+25⨯3a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=9 22，a 2=0二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案
二次函数存在性问题专题训练(含解答)
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