专题训练一等腰三角形的存在性问题
专题攻略
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况。
已知腰长（两定一动）：分别以两腰的顶点为圆心，腰长为半径画圆；
已知底边（两定一动：）画底边的垂直平分线。
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。
几何法一般分三步：分类、画图、计算。
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。
针对训练
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标。
2、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0).
(1)、求A、B的坐标;
(2)、求抛物线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?
若存在,求出符合条件的Q点坐标；若不存在,请说明理由.
3、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动。在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值。
A B C
D
P
E
4、如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q ，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．
5、如图所示，矩形ABCD 中，AB=4，BC=43，点E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中， 使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）个。
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
6、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．
7、如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC 的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．
图1 图2
6．（10南通27）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF ＝y ． （1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12
y m
=
，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
两年模拟
7．（2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．
8．（宁波七中2012届保送生推荐考试第26题）
如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝32，直线y ＝323-x 经过点C ，交y 轴于点G ．
（1）点C 、D 的坐标分别是C （ ），D （ ）；
（2）求顶点在直线y ＝323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解析式； （3）将（2）中的抛物线沿直线y ＝323-x 平移，平移后的抛物
线交y 轴于点F ，顶点为点E （顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等
腰三角形？
若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
自编原创
9．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ． （1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．
备用图备用图参考答案:
1．因为D（3，4），所以OD＝5，
3 cos
5
DOP
∠=．
①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．
在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠==，52OE =，所以25
6
OO =
． 此时点P 的坐标为25
(
,0)6
． ②如图2，当OP ＝OD ＝5时，点P 的坐标为(5，0)．
③如图3，当DO ＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6，0)．
第1题图1 第1题图2 第1题图3 2．在Rt △ABC 中，10862222=+=+=
BC AB AC .因此4cos 5
ACB ∠=
. 在△PQC 中，CQ ＝t ，CP ＝10－2t .
第2题图1 第2题图2 第2题图3 ①如图1，当CP CQ =时，102t t =-，解得10
3
t =
(秒). ②如图2，当QP QC =时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM ＝1
52
PC t ==-. 在Rt △QMC 中，45cos 5CM t QCM CQ t -∠=
==，解得259
t =(秒). ③如图3，当PC PQ =时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则CN ＝11
22
QC t =
=. 在Rt △PNC 中，1
42cos 5102t
CN PCN CP t
∠===
-，解得8021t =(秒). 综上所述，当t 为秒秒、秒、21
80
925310时，△PQC 为等腰三角形.
3．由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2． 如图，由△AOB ∽△QOP 得，OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1． 设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)．
因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．
①当AP ＝AQ 时，AP 2＝AQ 2，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或4
3
m =-．所以符合条件的点P 不存在．
②当P A ＝PQ 时，P A 2＝PQ 2，解方程(2m ＋1)2＝5m 2，得25m =±．所以(425,0)P +． ③当QA ＝QP 时，QA 2＝QP 2，解方程m 2＋1＝5m 2，得1
2
m =±
．所以(1,0)P ．
第3题图 4．（12临沂26）
（1）如图，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．
在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =． 所以点B 的坐标为(2,23)--．
（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，
代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得3
6
a =-
． 所以抛物线的解析式为23323
(4)663
y x x x x =--=-+．
（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．
①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线．
②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-．
第4题图
5．（11湖州24）（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC
BD DM MB
===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．
（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．
①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得3
2
m =（如图1）． ②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-． 解得4
3
m =
（如图2）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-． 解得2
3
m =
（如图3）或2m =（不合题意，舍去）． 综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或2
3
．
第5题图1 第5题图2 第5题图3
[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：
①如图1，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ． 所以
12PC MB CM BA ==．因此12PC =，3
2
m =．
②如图2，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上． 所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得4
3
m =． （3）点H 所经过的路径长为
5
4
π．思路是这样的： 如图4，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．
第5题图4 第5题图
6．（10南通27）
(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ． 又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ． 因此
DC EB
CE BF
=
，即8m x x y -=． 整理，得y 关于x 的函数关系为218
y x x m m =-+． (2)如图1，当m ＝8时，22
11(4)288
y x x x =-+=--+．
因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．
(3) 若12
y m =
，那么21218x x m m m
=-+．整理，得28120x x -+=． 解得x ＝2或x ＝6．
要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况． 因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．
将x ＝y ＝2代入12
y m
=，得m ＝6（如图2）； 将x ＝y ＝6代入12
y m
=
，得m ＝2（如图3）．
第6题图1 第6题图2 第6题图3
7．（1）4BE t =+，5(4)8
EF t =+．
（2）△DEF 中，∠DEF ＝∠C 是确定的．
①如图1，当DE ＝DF 时，DE EF
AB BC =
，即5
(4)481016t +=．解得15625
t =． ②如图2，当ED ＝EF 时，54(4)8
t =+．解得125
t =．
③如图3，当FD ＝FE 时，FE AC DE BC
=
，即5
(4)
108416t +=．解得0t =，即D 与B 重合．
第7题图1 第7题图2 第7题图3
（3）MN 是△FDE 的中位线，MN //DE ，MN ＝2，MN 扫过的形状是平行四边形． 如图4，运动结束，N 在AC 的中点，N 到BC 的距离为3； 如图5，运动开始，D 与B 重合，M 到BC 的距离为34
．
所以平行四边形的高为3934
4
-=，面积为9924
2
⨯=．
第7题图4 第7题图5
8．（1）(4,23)C ，(1,23)D ．
（2）顶点E 在AB 的垂直平分线上，横坐标为52
，代入直线y ＝323-x ，得32
y =．
设抛物线的解析式为253()2
2
y a x =-+，代入点(4,23)C ，可得233
a =．
所以物线的解析式为22353()322
y x =-+． （3）由顶点E 在直线y ＝323-x 上， 可知点G 的坐标为(0,23)-，直线与y 轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF ＝30°．
设点E 的坐标为(,323)m m -，那么EG ＝2m ，平移后的抛物线为223()3233
y x m m =-+-．所以点F 的坐标为223(0,323)3
m m +-． ①如图1，当GE ＝GF 时，y F －y G ＝GE ＝2m ，所以223323
m m m +=． 解得m ＝0或332
-．m ＝0时顶点E 在y 轴上，不符合题意． 此时抛物线的解析式为223373(3)3322
y x =-++-． ②如图2，当EF ＝EG 时，FG ＝23E x ，所以2233233m m m +=．解得m ＝0或32
． 此时抛物线的解析式为22333()322
y x =--． ③当顶点E 在y 轴右侧时，∠FEG 为钝角，因此不存在FE ＝FG 的情况．
第8题图1 第8题图2
9．（1）当D 为BC 的中点时，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，CE 83
=
． （2）如图1，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ，
所以∠1＝∠2．
又因为AB ＝AC ，所以∠C ＝∠B ．
所以△DCE ∽△ABD ．因此DC CE AB BD =，即86x y x
-=． 整理，得21463
y x x =-+．x 的取值范围是0≤x ≤8． （3）①如图1，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2．
②如图2，当AD ＝AE 时，D 与B 重合，E 与C 重合，此时x ＝0． ③如图3，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此8668x -=．解
得
7
2
x ．
第9题图1 第9题图2 第9题图3
第三讲等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略 一、两圆一线与两线一圆 二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关 于某个参数的二次式，根据边或直角分类 三、几何解法（SAS法） 1等腰三角形的存在性问题 前提：三角形有一个不变的内角θ 步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以 腰为标准分三类列方程。具体如下： 情形一、当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a=b; 情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角θ为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a/2b；情形三、当定角θ为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b/2a. 2直角三角形存在性问题 法1:若直角三角形有一个不变的锐角θ,可狠抓不变角θ,利用其三角函数列式计 法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解 3等腰直角三角形存在性问题 方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等 值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解 例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。 变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标.. 例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB 平分∠DAE． （1）用含m的代数式表示a； （2）求证：为定值； （3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
等腰三角形的存在性问题 一、解题策略 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法：分类、画图、计算． 代数法：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 二、课前练习： 1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 三、典例精析 例：（2014?邵阳第26题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C． （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．（《冲刺》P92页第5题）
四、变式训练 （长郡双语月考压轴题改编）26、 如图，直线394 y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线214 y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴的另一个交点为点A ，动点P 从点A 出发沿AB 以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，运动时间为t （0＜t ＜5）秒． （3）在点P 从点A 出发的同时，动点Q 从点B 出发沿BC 以每秒3个单位长度的速度向点C 运动，动点 N 从点C 出发沿CA 个单位长度的速度向点A 运动，运动时间与点P 相同．①记△BPQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 最大，最大值是多少？ ②是否存在△NCQ 为等腰三角形的情形，若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． 五、课堂小结、布置作业 1、等腰三角形的存在性问题解题策略及方法选择 2、作业：
等腰三角形存在性问题（两圆一线） 类型一、格点中的等腰三角形 1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） 2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C， 使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个． 3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于． 4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？
类型二、定边几何法讨论：两圆一线 5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来 6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）
（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果） （3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=． 7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个． 8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个 直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形
( 带答等腰三角形存在性问 题
等腰三角形存在性问题（两圆一线） 类型一、格点中的等腰三角形 1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） 2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C， 使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C 点有（）个． 3、如图，A、B 是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有处，设网格中的每个小正
方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于． 4、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？ 类型二、定边几何法讨论：两圆一线 5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来
6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB 上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P） 2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）
（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB= ． 7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．
8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有个 直线l 上恰好只有个 1 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 2 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 3 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 4 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 5 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 6 点P，使△ ABP为等腰三角形． 9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；
. D A 《等腰三角形存在性问题》探究 一、复习引入： 1、已知线段AC ，请以AC 为一边画等腰三角形ABC. 设计意图：（1）让学生知道已知一边画等腰三角形时，在不明确具体已知哪一边的情况下要分类讨论；（2）此时所画等腰三角形的第三个顶点应在两圆一线上。 二、寻找等腰三角形 例1、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 设计意图：让学生能根据第一问中总结出的方法，掌握在其他图形上寻找满足条件的等腰三角形第三个顶点的方法。 例2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在x 轴上，和C 在y 轴上，若T 是坐标轴上一点，且满足以点A 、C 、T 为顶点的三角形是等腰三角形，请你通过画图，在坐标系中找出点T 的位置． 例3、如图所示，在梯形ABCD 中,AD ∥BC, ∠ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,点M 是线段BC 上一定点，且MC=8,动点P 从C 点出发沿C-D-A-B 的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P 有______个． B A 第1题 x y O C A
三、利用等腰三角形的存在性求线段长及点的坐标 例4、如图,点A 的坐标为（1,1）在坐标轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形，若存在，请分别写出它们的坐标.若不存在，请说明理由. 例5、如图,Rt △ABC 中,点M 在边AB 上, 且AM=6. (1)动点D 在边AC 上运动，且与点A,C 均不重合，设CD=x,当x 取何值时, △ADM 是等腰三角形？写出你的理由。 例6.已知一次函数12y x b = +和二次函数25 52 y ax ax b =-++交与A 、B 两点，A(-3,0)，C （0，4）. (1)分别求一次函数、二次函数的表达式以及点B 的坐标； （2）若点P 是直线x=1上一点，是否存在△PAB 是等腰三角形？若存在，求出P 点坐标； 若不存在，请说明理由.
等腰三角形存在性问题技巧讲义 等腰三角形是一种有两条边相等的三角形，其中也包括一种特殊情况，即等边三角形，即三条边均相等的三角形。存在性问题指的是给定一些条件，判断是否存在符合条件的等腰三角形。下面将介绍一些解决等腰三角 形存在性问题的技巧。 1.通过边长关系判断：等腰三角形的存在性与边长的关系密切相关。 设三角形的三个边长分别为a、b和c，如果a=b，则存在等腰三角形；如 果a=c，则存在等腰三角形；如果b=c，则存在等腰三角形。因此，可以 通过比较三个边长的大小关系，来判断是否存在等腰三角形。 2.使用三角形内角和定理：三角形的内角和为180度。对于等腰三角 形而言，设其两个等边的边长为a，非等边的边长为b，那么根据三角形 的内角和定理可得2a+b=180。通过这个方程，可以求得非等边的边长b 的值，如果b大于0，则存在等腰三角形。 3.使用三角形的高和底边关系：等腰三角形的高是从等腰边的顶点到 底边的垂直距离。如果一条边是等腰边，那么从该边对应的顶点到底边的 垂直距离一定是这条边的高。因此，可以通过计算等腰边顶点到底边的垂 直距离，与底边的关系来判断是否存在等腰三角形。 4.利用等腰三角形的旋转对称性：等腰三角形具有旋转对称性，即一 个等腰三角形可以绕其顶点旋转一定角度后得到另一个等腰三角形。因此，当给定一个等腰三角形的一些条件时，可以通过旋转该等腰三角形来判断 是否存在满足条件的等腰三角形。 5.利用等腰三角形的镜像对称性：等腰三角形也具有镜像对称性，即 通过等腰边作为对称轴，可以得到两个镜像对称的等腰三角形。因此，当
给定一个等腰三角形的一些条件时，可以通过对称该等腰三角形来判断是否存在满足条件的等腰三角形。 以上是一些解决等腰三角形存在性问题的技巧。通过比较边长关系、使用三角形内角和定理、考虑高和底边关系、利用等腰三角形的旋转对称性和镜像对称性等方法，我们可以有效地判断等腰三角形是否存在。实际应用中，可以结合以上方法，根据具体条件进行判断。
专题：探索等腰三角形存在性问题 1、如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 2、已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 3、解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法：一般分三步：分类、画图、计算． 代数法：一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 类型一：格点中的等腰三角形 1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三角形．．．．． ，则点C 的个数是（ ） C ．8 D ．9 练习：1、.A 、B 是网格中的两个点如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三角形，．．．．．． 满足题意的所有等腰三角形的面积之和是 2、以AB 为腰的ABC ?为等腰三角形，这样的点C 有几个？
类型二：平面直角坐标系中的等腰三角形 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 在坐标为(3，4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标． 2、如图,点A 的坐标为（1,1）在坐标轴上．．．． 是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形，若存在，请分别写出它们的坐标.若不存在，请说明理由. 3、A(1,2) ,B(3,0),点P 为X 轴上一点，使△ABP 为以AB 为腰的等腰三角形，求P 的坐标。
4 、 类型三：动点问题中的等腰三角形 1、 在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10,点Q 为BC 的中点，点P 在AD 上运动，若△BPQ 是腰长 为5的等腰三角形，则满足条件的点P 有几个？ 2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 以2个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形 时，求t 的值． 3、已知正方形ABCD 边长为6， P 为正方形内部一点，B P=4,∠PBC=60°，Q 为正方形边上一动点。若三角形PBQ 为等腰三角形，这样的点Q 有几个？ A D C B
学生做题前请先回答以下问题 问题1：已知线段AB是等腰三角形的一条边，则对应两圆一线中的“两圆”与“一线”的操作方法是什么？ 问题2：两圆一线的分类标准是什么？分别对应什么操作？ 等腰三角形存在性问题（两圆一线）（人教版） 一、单选题(共6道，每道14分) 1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 解题思路： 要使△ABC是等腰三角形，先分析点，定点是A，B，动点是C， 那么AB是定线段，AB可以当这个等腰三角形的腰， 也可以当这个等腰三角形的底． ①当AB为腰时，此时作两圆，如图，
②当AB为底时，此时作一线，如图， 综上，使△ABC是等腰三角形的上的点C有2个． 故选B 试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性 2.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或 直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个． A.3 B.4 C.7 D.8 答案：D 解题思路：
如图所示，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆； 当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线； 综上，满足条件的点C共有8个． 故选D 试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形 3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，如果以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路： 已知O，A两个定点，再寻找点P使得△OAP为等腰三角形，需要利用“两圆一线”解题，即：分别以O，A为圆心，以OA长为半径作圆；作线段OA的垂直平分线，与x轴的交点即为所求． 如图所示，
专题：二次函数中等腰三角形存在性问题 类型一、等腰三角形存在性问题 以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动） 一.找法：画圆和作垂直平分线 ①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ） ②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ） ③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ） 二、算法：利用两点距离公式进行计算 公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况： ①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+- 可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合） ②AB=BP 时 2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+- 可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合） ③AP=BP 时 2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+- 可得5P 、
例题1、如图，已知二次函数2 y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上. （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出 点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ． （1）求抛物线的表达式； （2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？ （3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
2解：（1）当t=4时，B（4，0）， 设直线AB的解析式为y=kx+b． 把A（0，6），B（4，0）代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y=- x+6． （2）过点C作CE⊥x轴于点E， 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴= = = ， ∴BE= AO=3，CE= OB= ， ∴点C的坐标为（t+3，）． 方法一： S梯形AOEC= OE•（AO+EC）= （t+3）（6+ ）= t2+ t+9，S△AOB= AO•OB= ×6•t=3t， S△BEC= BE•CE= ×3× = t， ∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC = t2+ t+9-3t- t = t2+9． 方法二： ∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ABC= AB•BC=BC2． 在Rt△ABC中，BC2=CE2+BE2= t2+9， 即S△ABC= t2+9． （3）存在，理由如下： ①当t≥0时， Ⅰ．若AD=BD， 又∵BD‖y轴， ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD， ∴∠OAB=∠BAD， 又∵∠AOB=∠ABC， ∴△ABO∽△ACB， ∴= = ， ∴= ， ∴t=3，即B（3，0）． Ⅱ．若AB=AD． 延长AB与CE交于点G， 又∵BD‖CG， ∴AG=AC， 过点A画AH⊥CG于H． ∴CH=HG= CG， 由△AOB∽△GEB， 得= ， ∴GE= ． 又∵HE=AO=6，CE= +6= ×（+ ）， ∴t2-24t-36=0，
解得：t=12±6 ．因为t≥0， 所以t=12+6 ，即B（12+6 ，0）． Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB． 当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB． ∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况． ②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB 过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F． 可求得点C的坐标为（t+3，）， ∴CF=OE=t+3，AF=6- ， 由BD‖y轴，AB=AD得， ∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB， ∴∠BAO=∠FAC， 又∵∠AOB=∠AFC=90°， ∴△AOB∽△AFC， ∴= ， ∴= ，∴t2-24t-36=0， 解得：t=12±6 ．因为-3≤t＜0， 所以t=12-6 ，即B（12-6 ，0）． ③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD， 过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F， 可求得点C的坐标为（t+3，）， ∴CF=-（t+3），AF=6- ， ∵AB=BD， ∴∠D=∠BAD． 又∵BD‖y轴， ∴∠D=∠CAF， ∴∠BAC=∠CAF． 又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC， ∴△ABC≌△AFC， ∴AF=AB，CF=BC， ∴AF=2CF，即6- =-2（t+3）， 解得：t=-8，即B（-8，0）． 综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形， 此时点B坐标为：B1（3，0），B2（12+6 ，0），B3（12-6 ，0），B4（-8，0）．
等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．
C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C 5坐标为（ 196,0） 解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．
【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3） ， （2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ， （4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫ ⎪⎝⎭ ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ； （2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
专题训练等腰三角形的存在性问题 例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P为BC边上的一个动点，以P为圆心的⊙P与边AB相切于点D． （1）设⊙P的半径为x，PC的长为y，求y与x的函数 关系式，并写出x的取值范围； （2）以C为圆心，AC为半径的圆与⊙P外切，求⊙P 的半径； （3）在点P移动的过程中，△APC如果成为等腰三角 形，求⊙P的半径． 专题直击 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P为BC边上的一个动点，以P为圆心的⊙P与边AB相切于点D．在点P移动的过程中，△APC如果成为等腰三角形，求⊙P的半径．
例2如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝4 5 ，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G． （1）当圆C经过点A时，求CP的长； （2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长； （3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长． 图1 备用图 专题直击 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝4 5 ，点P是边BC上的动 点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA 交于点G．当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
例3 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝4 3 ．（1）求BC的长； （2）点D、E分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M 的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y． ①求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长． 专题直击 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝4 3 ．点D、E分别是AB、AC的中点， 不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．
专题3 等腰三角形的存在性问题 （一）考点分析 “两圆一线”模型 已知线段AB ，在平面内找一点C ，使△ABC 为等腰三角形. （1） AB =AC 时，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （2） BA =BC 时，以B 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （3） CA =CB 时，作AB 的垂直平分线，此直线上所有的点均满足条件. “两圆一中垂”上所有的点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的点C 有无数个.因此，题目会对点C 再加上另外一个限定条件——例如还限定点C 在坐标轴上或抛物线上，这样，点C 的个数就只有几个. （二）典型例题 例：已知点A (2,1),B (6,4)，若在x 轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，求满足条件的点C 的坐标. 解法1：“两圆一线”模型 由题可知：AB =5 （1）如图，AB =AC 时，由勾股定理可得：DC 1=DC 2=2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2）如图， BA =BC 时，由勾股定理可得：EC 3=EC 4=3，则C 3(3,0)，C 4(9,0) （3）如图，CA =CB 时，设FC 5=x ，则HC 5=4−x ，由AC 5=BC 5得：x 2+1=(4−x)2+42 图(3) 图(2) 图(1) 图(3) 图(2) 图(1)
解得：x = 31 8 ，则C 5(47 8,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478 ,0) 如果学生掌握了中点公式和两条垂直直线k 的关系，第（3）种情况CA =CB 也可以通过代数方法解决，具体过程如下： 由A (2,1),B (6,4)可知：M (4,5 2),k AB =3 4，则k MC 5=−4 3 ∴直线MC 5的解析式为y =−4 3x +47 6 ，则C 5(47 8,0) 解法2：两点间距离公式——暴力解法 设点C (x ,0)，则AB 2=(2−6)2+(1−4)2=25，AC 2=(2−x)2+(1−0)2=x 2−4x +5， BC 2=(6−x)2+(4−0)2=x 2−12x +52 （1） AB =AC 时，25=x 2−4x +5 解得：x 1=2−2√6,x 2=2+2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2） BA =BC 时，25=x 2−12x +52 解得：x 1=3,x 2=9，则C 3(3,0)，C 4(9,0) （3） CA =CB 时，x 2−4x +5=x 2−12x +52 解得：x = 47 8 ，则C 5(47 8,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(47 8,0) 小结：利用两点间距离公式解题的基本思路是：列点、列线、列式. ① 列点：列出构建所求等腰三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标； ② 列线：列出构建所求等腰三角形的三条边，并用两点间距离公式表示其长度； ③ 列式：采用分类讨论思想，列出三组方程并求解.
A B C D E 1、 知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边 （3）两点间距离公式：设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A 、B 两点间的距离为： 221212()()AB x x y y =-+- 2、 解题思路： （1） 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2） 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分 式或根式方程） （3） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之． 【例1】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC = 6，BC = 8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE =∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ． （1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）如果ADE ∆为等腰三角形，求x 的值． 等腰三角形的存在性问题 例题解析 一：以函数为背景的等腰三角形问题 知识精讲
【例2】 已知，一条抛物线的顶点为E （1-，4），且过点A （3-，0），与y 轴交于点C ， 点D 是这条抛物线上一点，它的横坐标为m ，且31m -<<-，过点D 作DK x ⊥轴，垂足为K ，DK 分别交线段AE 、AC 于点G 、H ． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GH = HK ； （3）当CGH ∆是等腰三角形时，求m 的值． y x O K A C H G D E B
等腰三角形的存在性 一、 等腰三角形存在性 分类一、几何动点中等腰三角形存在性 如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 过关练习1 （本小题满分9分）如下图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥， 7460OA AB COA ===，，∠，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结 CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）求点B 的坐标； （2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标； （3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB =∠∠，且5 8 BD AB =，求这时点 P 的坐标． C （第23题
过关练习2 例2：如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点A 、B 分别落在坐标轴上．O 为原点，点A 的坐标为（6，0），点B 的坐标为（0，8）．动点M 从点O 出发．沿OA 向终点A 以每秒1个单位的速度运动，同时动点N 从点A 出发，沿AB 向终点B 以每秒 3 5 个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M 、N 运动的时间为t 秒（t ＞0）． （1）当t=3秒时．直接写出点N 的坐标，并求出经过O 、A 、N 三点的抛物线的解析式； （2）在此运动的过程中，△MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，△MNA 是一个等腰三角形？ 分类二、抛物线中的等腰三角形存在性 例、抛物线y ＝－x 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． 在x 轴上是否存在一点K ，使得BKC 是等腰三角形？若存在，请写出 K 点的坐标？若不存在，请说明理由？ 同样是分三种情况讨论，方法和结合当中的等腰三角形存在性类似 碰到的问题总结：
等腰三角形的存在性问题 解题策略 如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 例题精讲 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 在坐标为(3，4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标． 解析．因为D （3，4），所以OD ＝5，3 cos 5 DOP ∠=． ①如图1，当PD ＝PO 时，作PE ⊥OD 于E ． 在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠= =，52OE =，所以256OO = ．此时点P 的坐标为25 (,0)6 ． ②如图2，当OP ＝OD ＝5时，点P 的坐标为(5，0)． ③如图3，当DO ＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6，0)． 2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 以2个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求t 的值． 解析．在Rt △ABC 中，10862222=+=+= BC AB AC .因此4cos 5 ACB ∠= . 在△PQC 中，CQ ＝t ，CP ＝10－2t .
专题二等腰三角形的存在性问题 【考题研究】 近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。 【解题攻略】 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法． ①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． 【解题类型及其思路】 解题类型： 动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题 背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景 解题思路： 几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．