第二届数学行者—— 直角三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略12讲 / 马学斌主讲

专题训练三 直角三角形的存在性问题

例1 如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 是点A 关于原

点的对称点，P 是函数)0(2

>=

x x

y 图像上的一点，

且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．

例2 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为

中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．

2 例

3 如图，抛物线23338

4

y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），

与y 轴交于点C ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．

三个时，求直线l 的解析式．

例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线21

234

y x x =-+与x 轴分别交于A 、B 两点

（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，求点E 的坐标．

3

例5 如图1，在菱形ABCD 中，AB ＝5，联结BD ，sin ∠ABD

P 是射线BC 上的一个动点（点P 不与点B 重合），联结AP ，与对角线BD 相交于点E ，联结EC ．

（1）求证：AE ＝CE ；

（2）当点P 在线段BC 的延长线上时，若△PEC 是直

角三角形，求线段BP 的长．

例6 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点A (3,0)，B (－1,0)，

C (0,－3)，顶点为

D ．

（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

（2）在y 轴上找一点P （点P 与点C 不重合），使得∠APD ＝90°，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将△APD 沿直线AD 翻折，得到△AQD ，求点Q 的坐标．

例7 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、C(3, 0)两点，与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）联结BC，当点P的坐标为

2

(0,)

3

时，求△EBC的面积；

（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．

图1 备用图

例8 如图（原图只有一个坐标系），在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3, 1)，点B的坐标为(6, 5)，点C的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C三点．（1）求这个二次函数的解析式；

（2）如果点P在（1）中求出的二次函数的图像上，且tan∠PCA＝1

2

，求∠PCB的正

弦值．

4

中考数学 与三角形有关的存在性问题(含答案)

中考数学专题: 存在性问题考点（1） 与三角形有关的存在性问题 一、考点扫描： 存在性问题是近年来全国各地中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，对考生分析问题和解决问题的能力要求较高，其特点是在一定条件下探究发现某些数学结论和规律是否存在，由于结论有存在和不存在两种可能，所以具有开放性。求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系和结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理、找出最后的答案。 二、典型例题： （2008年山东临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 点P 的坐标;若不存在，请说明理由; ⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是 直角梯形，试求出点M 的坐标。 解法提示： 问题（1）易求，在问题（2）中，假设存在点P 、使得⊿PDC 是等腰三角形，由于没有说明哪两条边相等，所以应分成CD 为一腰和CD 为以边两种情况进行讨论，而解决问题（3）时应抓住B 、C 、D 三点为固定点，分别考虑以BC 、CD 、BD 分别为梯形一底时的情况，注意要按照顺序依次讨论，以做到不重复和不遗漏。 解：⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3）， ∴设抛物线解析式为)0(32 ≠++=a bx ax y 根据题意，得?? ?=++=+-,0339,03b a b a ，解得???=-=. 2, 1b a ∴抛物线的解析式为322 ++-=x x y ⑵存在。 由322 ++-=x x y 得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。 ①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理， 得2 222)4()1()3(y x y x -+-=-+，即y ＝4－x 。 又P 点(x,y)在抛物线上，∴3242 ++-=-x x x ，即0132 =+-x x 解得253±= x ，1253<-，应舍去。∴2 5 3+=x 。

八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 动点与特殊三角形存在性问题大视野(原卷版)

专题动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______． 题型二、直角三角形存在性问题 例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0

备战中考数学二轮专题归纳提升真题二次函数存在性问题(1)—与三角形相关(解析版)

专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关 【典例分析】 【例1——最值存在性问题】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点． （1）求a、b、c的值； （2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值； 【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3； （2）当m时，S△PAC最大. 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴， 解得： ∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3； （2）如图，过点P作PE∥y轴，交AC于E， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3）， ∴S△ACP PE•（x C﹣x A）[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）（m2﹣3m）（m ）2， ∴当m时，S△PAC最大. 【练1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B 与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m． （1）求二次函数解析式； （2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由； 【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）当m时，S最大. 【解析】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得，解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）S有最大值． 如图1，设直线BM的解析式为y＝kx+a， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物的顶点坐标为M（1，4）， 把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得，解得，

2020年中考数学压轴解答题02 因动点产生的直角三角形问题(学生版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题02 因动点产生的直角三角形问题 【类型综述】 解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根． 一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便． 【方法揭秘】 我们先看三个问题： 1．已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 2．已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 3．已知点A(4,0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标． 图1 图2 图3 如图1,点C在垂线上,垂足除外．如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外．如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个． 如图4,已知A(3, 0),B(1,－4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上,求点C的坐标． 我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C． 如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB．

设OC＝m,那么34 1 m m -=． 这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点． 【典例分析】 【例1】如图1,已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′． （1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式； （2）如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由； （3）如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比． 图1 图2 【例2】已知在平面直角坐标系xOy中,直线l别交x轴和y轴于点A（－3,0）,B（0,3）．

直角三角形的存在性问题

直角三角形的存在性问题（因动点产生的直角三角形的存在性问题） 课前预热 1、两点式 2、两直线互相垂直，两直线的解析式为11b x k y +=与22b x k y += → 121-=?k k 3、三角形相似：射影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 4、三角函数求解 新课认知 问题提出：已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求 解第三点 解决方法：1、找点 方法：双线一圆（两垂线一圆）一圆指以已知边为直径作圆，双 线指过线段（边）端点（顶点）做垂线. 2、分析题目中的定长、定角 3、确定点的坐标 情况分类：（1）当动点在直线上运动时 常用方法:①121-=?k k ； ②三角形相似； ③勾股定理； （2）当动点在曲线上运动是时 情况分类：①已知点处做直角 方法：①121-=?k k ； ②三角形相似； ③勾股定理. ②动点处做直角 方法：寻找特殊角.

动点在直线上运动时 例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2． （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒． ①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号） ②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

三角形的存在性

中考数学压轴题全面突破之四?三角形的存在性 题型特点 三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算． 解题思路 ①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图； ③建等式，对结果验证取舍． 对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为： ①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形． ②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解． ③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题． 难点拆解 ①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k 值乘 积为 1； ②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式； ③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式． ④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类． 1. （2012云南改编） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过点 (2，4)，且与直线 交于A ，B 两点． （1）求抛物线的函数解析式． （2 ）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标． （3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数与直角三角形的存在性问题

课题：二次函数中直角三角形的存在性问题 教学目标： 知识与技能 1、 知道并会推导三垂直性质，能正确找出对应边，能准确写出三 垂直中的对应边成比例. 2、 准确掌握平面直角坐标系中三垂直性质使用条件和操作程序. 过程与方法 通过对平面直角坐标系中不同位置的直角三角形活动探究出构造三垂直性质应如何添加辅助线，并会利用三垂直性质解决二次函数中直角三角形的存在性问题. 情感态度与价值观 通过对解析几何产生的背景介绍及三垂直性质在二次函数中直角三角形存在性问题的应用感受数形结合思想的重要性及意义；通过对不确定直角顶点的直角三角形存在性问题的解决，感受分类思想在学习中的必要性. 教学重点： 探究如何构造三垂直模型，并会利用三垂直性质解决直角三角形的存在性问题. 教学难点： 探究使用三垂直性质的操作程序. 教学过程： 一、 情景设计 讲述解析几何产生的背景，说明数形结合思想的重要性， 引出课题。 二、 预习思考 ),(1b x ),(2b x ),(1y a ),(2y a

1、如图1，水平线上各点的___坐标相同，水平线上的两点间的距离等于_______________________________。 2、如图2，竖直线上各点的___坐标相同，竖直线上的两点间的距离等于_______________________________。 3、 如何设函数图像上的动点坐标？ 如何设二次函数对称轴上的动点坐标？ 教学要点 1、 分组提问，调动学生积极性. 2、 引导学生由图找答案，并用自己的语言叙述结论. 3、 对学生的结论补充强调. 三、 探索问题 问题1： (1) 图3是什么模型？ (2) 该模型的已知条件是什么？结论是什么？你可以证明你的结论吗？ (3) 图3、图4的已知条件和结论的区别与联系是什么？ 教学要点 1、问题1的设置是对本节课的应用知识点重点巩固，可齐声回答. 2、教师分析：三垂直模型还可看作，已知一直角三角形，过其直角顶点在直角三角形的外部做一条直线，并过直角三角形的另外两个顶点引上述直线的垂线段. 问题2： (1) 如果需要求一条线段的长，你希望在坐标系中是什么样的线 段？

第二届数学行者—— 直角三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略12讲 / 马学斌主讲 专题训练三 直角三角形的存在性问题 例1 如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 是点A 关于原 点的对称点，P 是函数)0(2 >= x x y 图像上的一点， 且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标． 例2 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为 中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．

2 例 3 如图，抛物线23338 4 y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）， 与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．． 三个时，求直线l 的解析式． 例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线21 234 y x x =-+与x 轴分别交于A 、B 两点 （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，求点E 的坐标．

3 例5 如图1，在菱形ABCD 中，AB ＝5，联结BD ，sin ∠ABD P 是射线BC 上的一个动点（点P 不与点B 重合），联结AP ，与对角线BD 相交于点E ，联结EC ． （1）求证：AE ＝CE ； （2）当点P 在线段BC 的延长线上时，若△PEC 是直 角三角形，求线段BP 的长． 例6 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点A (3,0)，B (－1,0)， C (0,－3)，顶点为 D ． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标； （2）在y 轴上找一点P （点P 与点C 不重合），使得∠APD ＝90°，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将△APD 沿直线AD 翻折，得到△AQD ，求点Q 的坐标．

专题二次函数中的存在性问题-重难点题型(沪科版)

专题21.10 二次函数中的存在性问题-重难点题型 【沪科版】 【题型1 二次函数中直角三角形存在性问题】 【例1】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）点A的坐标为，点B的坐标为； （2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积； （3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．

【变式1-1】（2021春•望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点． （1）求a、b、c的值； （2）连接P A、PC、AC，求△P AC面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式1-2】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m． （1）求二次函数解析式； （2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由； （3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

中考数学存在性问题13大类题型全梳理

中考数学存在性问题题型分类总结归纳 专题1 以函数为背景的直角三角形的存在性问题 【知识讲解】 1、 知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理计算来确定直角三角形． 2、 解题思路： （1） 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2） 计算出相应的边长等信息； （3） 根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 【例题讲解】 1、如图，抛物线233 384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式． 【解析】（1）解方程233 3084x x --+=， 可得：A 、B 的坐标分别为（4-，0），（2，0）； （2）设AB 中点为D ，D 点为（1-，0），以D 为圆心，AD 为半径作圆， 若l 与y 轴平行，则找不到3个M 点，使ABM ∆为直角三角形．∴l 不与y 轴平行． ∴必定存在2个M 点，使90A ∠=︒或90B ∠=︒． 要满足“以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”，即直线l 与圆D 相切，设切点为M 0，过M 0作M 0H ⊥x 轴于H ，∵5DE =，03DM AD ==，∴95DH = ，012 5 M H =．

∴M 0的坐标为41255⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4 125 5⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴直线l 解析式为334y x =-+或334y x =-． 2、在平面直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A （1-，0）和点B （0，3），顶点为P ． （1）求二次函数解析式及点P 的坐标； （2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标． 【解析】（1）由题意得10 3b c c --+=⎧⎨=⎩ ，解得：2b =，3c =； ∴二次函数解析式为()2 22314y x x x =-++=--+，∴点P 的坐标是（1，4）； （2）P （1，4），A （1-，0），∴220AP =，设点Q 的坐标是（x ，0），则()2 21AQ x =+，()2 2116PQ x =-+． ○ 1当90AQP ∠=︒时，2 22AQ PQ AP +=，∴()()22 111620x x ++-+=，解得：11x =，21x =-（舍去） ∴点Q 的坐标是（1，0）； ○ 2当90APQ ∠=︒时，2 22AP PQ AQ +=，∴()()22 201161x x +-+=+，得：9x =，∴点Q 坐标是（9，0）． ○3当90PAQ ∠=︒时，不合题意．综上所述，所求点Q 的坐标是（1，0）或（9，0）． 【巩固提升】 1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A （1-，0）、B （4，0）、C （0，2）．点D 是点C 关于原点的对称点，联结BD ，点E 是x 轴上的一个动点，设点E 的坐标为（m ，0），过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ，当四边形CDQP 是平行四边形时，求m 的值； （3）是否存在点P ，使BDP ∆是不以BD 为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)

特殊图形存在性问题 一、等腰三角形 1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。 2、思想：分类讨论 （1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆） （2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆） （3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线） 【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。 2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）； 向坐标轴做垂线，构造一线三等角 例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．

练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△DBO∽△EBC； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由． 练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D． (1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式； (2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？

直角三角形存在性问题

直角三角形存在性问题 1如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点 A(-1,0)，B(3,0),与y轴交于点C,直线BC的解析式为y=kx+3,抛物线的顶点为D,对称轴与直线BC交于点E, 与x轴交于点F. (1)求抛物线的解析式； (2)判断△CAF的形状，并说明理由 (3) 等边三角形的存在性问题： 若点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得△PDQ是等边三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(4)连接CD、BD,判断△CBD和△CDE的形状,并说明理由； (5) 直角三角形的存在性问题： x轴上是否存在点N,使得△BNE是直角三角形,若存在, 求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;

(6) 直角三角形的存在性问题： 若点H在抛物线的对称轴上,是否存在点H,使得△BCH 是直角三角形,若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由; (7) 等腰直角三角形的存在性问题： 设点J是第一象限内抛物线上的动点,点K是线段BC上 一点,是否存在点K,使得△JCK是等腰直角三角形,若存在,求出点K的坐标;若不存在,请说明理由.

【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标． E

中考数学复习：专题3-11 抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略

抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略 【专题综述】 动态问题是近几年来中考数学的热点题型，常与存在性问题结合，这类问题综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程中的不变量、不变关系和特殊关系．本文以中考题为例，对二次函数背景下，一些特殊三角形存在性问题的解题策略进行探究． 【方法解读】 一、探究等腰三角形的存在性 例1 如图1，已知抛物线y＝ax2＋b x＋c经过A（－1，0）、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解(1)易得y＝－x2＋2x－3； (2)分析由图知，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据对称性以及两点之间线段最短可知，若连结BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点． 易求得BC的函数关系式为y＝－x＋3，当x＝1时，y＝2，所以P(1，2)； 评注例1(3)中，由于△MAC的腰和底不明确，因此要分上述三种情况来讨论．可先设出M的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再分别按三种情况列式求解．

同学们可根据上述解题思路分析解决下题： 如图2，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点 N从点A出发，沿AB向终点B以每秒5 3 个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停 止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t>0)． (1)当t＝3秒时，直接写出点Ⅳ的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式； (2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？ 二、探究直角三角形的存在性 例2 如图3，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D． (1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式； (3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限． ①当线段PQ＝3 4 AB时，求tan∠CED的值； ②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

2019中考数学高频考点剖析专题19 平面几何之直角三角形问题—原卷

备考2019中考数学高频考点剖析 专题十九平面几何之直角三角形问题 考点扫描☆聚焦中考 直角三角形问题，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括直角三角形的性质、勾股定理和解直角三角形三方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。关于解直角三角形主要是解析题。解析题主要以计算为主。结合2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行直角三角形问题的探讨： （1）直角三角形的性质； （2）勾股定理； （3）解直角三角形． 考点剖析☆典型例题 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是． 【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F． 在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4， ∴AE=2AB=8， 在Rt△ABF中，AF=AB=2， ∴AD的取值范围为2＜AD＜8， 故答案为2＜AD＜8． ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ= ．

【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x， ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BCA， ∴=， ∴=， ∴x=， ∴AQ=． ②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y． ∵△BQP∽△BCA， ∴=， ∴=， ∴y=． 综上所述，满足条件的AQ的值为或． 14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．

专题21 直角三角形存在性问题-备战2022年中考数学母题题源解密(解析版)

专题21 直角三角形存在性问题 考向1 二次函数中的直角三角形存在性问题 【母题来源】2021年中考四川省巴中卷 【母题题文】已知抛物线y ＝ax 2 +bx+c 与x 轴交于A （﹣2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当 PM AM 最大时，求点P 的坐标及 PM AM 的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直角三角形，若存在， 请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）将点A （﹣2，0）、B （6，0）、C （0，﹣3）代入y ＝ax 2 +bx+c ， 得{4a −2b +c =036a +6b +c =0c =−3，解得{a =1 4 b =−1 c =−3， ∴y =14 x 2 ﹣x ﹣3； （2）如图1，过点A 作AE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，过P 作PF ⊥x 轴交直线BC 于点F ， ∴PF ∥AE ，∴ MP AM = PF AE ， 设直线BC 的解析式为y ＝kx+d ， ∴{6k +d =0d =−3，∴{k =12d =−3 ，∴y =12x ﹣3， 设P （t ，1 4 t 2 ﹣t ﹣3），则F （t ，1 2 t ﹣3）， ∴PF =12t ﹣3−1 4t 2 +t+3=−1 4t 2 +3 2t ， ∵A （﹣2，0）， ∴E （﹣2，﹣4）， ∴AE ＝4， ∴ MP AM = PF AE = −14 t 2+32 t 4 =− 116 t 2 +38t =−1 16（t ﹣3）2 +9 16，

专题07 二次函数与直角三角形有关的问题(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》

专题07 二次函数与直角三角形有关的问题（知识解读） 【专题说明】 二次函数之直角三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的直角三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。 【解题思路】 直角三角形的存在性问题 1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角 顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点 2.方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1 （2）以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用 相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解 下面主要介绍2种常用方法： 【方法1 几何法】“两线一圆” （1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C； （3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．

） ，坐标为（故代入得：坐标得、由，易证02 13 232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆ ()）， 坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：设，，坐标得、由求法相同，如下：易证 、04023 1a ,4a ,3ab ,3 a b 1N a,31,4333333343C C C C C C C C C C b b M BN AM B A NB M N AM NB AM ==+=======∆≈∆ 【方法2 代数法】点-线-方程 2 3 m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 2 222 2 1 2 2 111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（： 不妨来求下） （）（） （）（BC C C C A AB B A

直角三角形存在性问题

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直角三角形存在性问题 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径 所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，12C C 、求法相同，以2C 为例： 【构造三垂直】

故C 2坐标为（13 2 ，0） 代入得：BN = 3 2AM BN = MB NC 2 由A 、B 坐标得AM =2，BM =4，NC 2=3 △易证AMB ∽△BNC 2 34C C 、求法相同，以3C 为例： 故a =1或3 设MC 3=a ，C 3N =b △易证AMC 3∽△C 3NB ， 由A 、B 坐标得AM =1，BN =3，AM C 3N = MC 3N B 代入得：1b =a 3，即ab =3，又a +b =4，故C 3坐标为（2,0），C 4坐标为（4,0） 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：

（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （ 5，3）； （2 ）表示线段：AB =1 AC =1BC = （3）分类讨论：当1BAC ∠为直角时，22211AB AC BC +=； （4）代入得方程：()()2 2 22201153m m +-+=-+，解得：32 m =．

+二次函数与三角形、平行四边形存在性问题综合练--2023年初中数学中考二轮复习

二次函数与三角形、平行四边形存在性问题综合 1．如图，抛物线()2 0y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ， 其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积最大，若存在，求出点F 的坐标和最大值；若不存在，请说明理由； (3)平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标． (4)探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P ，C ，A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，已知A （﹣2，2），B （﹣2，0），C （0，2），D （2，0）四点，动点M B→C→D 运动（M 不与点B 、点D 重合），设运动时间为t （秒）． （1）求经过A 、C 、D 三点的抛物线的解析式； （2）点P 在（1）中的抛物线上，当M 为BC 的中点时，若①PAM①①PBM ，求点P 的坐标； （3）当M 在CD 上运动时，如图①．过点M 作MF①x 轴，垂足为F ，ME①AB ，垂足为E ．设矩形MEBF 与①BCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值； （4）点Q 为x 轴上一点，直线AQ 与直线BC 交于点H ，与y 轴交于点K ．是否存在点Q ，使得①HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．