相似三角形的存在性问题
例1 如图，已知矩形ABCD中，AB＝12cm，AD＝10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、x cm/s、1.5cm/s，当点Q 到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动．设运动时间
为t（单位：s）．
（1）求证：DE＝CF；
（2）设x＝3，当△P AQ与△QBR相似时，求t的值；
（3）设△P AQ关于直线PQ对称的图形的△P A′Q，当t
和x分别为何值时，点A′与圆心O恰好重合，求出符合条件
的t、x的值．
专题直击
如图，已知矩形ABCD中，AB＝12cm，AD＝10cm，点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、3cm/s、1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动．设运动时间为t （单位：s）．当△P AQ与△QBR相似时，求t的值．
例2 如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x＋4与x轴、
y轴分别相交于点A和点C，抛物线y＝x2＋kx＋k－1的图像过
点A和点C，抛物线与x轴的另一个交点是B．
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及点B的坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为
顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．
专题直击
如图，已知抛物线y＝x2＋5x＋4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．
例3 如图，在平面直角坐标系中，双曲线k
y
x
=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线
BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，
求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴
交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E
所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求
点E的坐标．
专题直击
如图，已知双曲线
k
y
x
=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)，直线y＝x＋2与y
轴交于点D，此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
例4 如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直
线
5
2
x ，点D为OC的中点，直线y＝－2x＋2与x轴交于
点A，与y轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式和顶点P的坐标；
（2）求证：∠ODB＝∠OAD；
（3）设直线AD与抛物线的对称轴交于点M，点N在
x轴上，若△AMP与△BND相似，求点N的坐标．
专题直击
如图1，已知抛物线y＝x2－5x＋4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，顶点为P，点D为OC的中点．设直线AD与抛物线的对称轴交于点M，点N 在x轴上，若△AMP与△BND相似，求点N的坐标．
例5 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(2,0)、(3,－1)，二次函数y＝－x2的图像为C1．
（1）向上平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2经过
点A，求抛物线C2的解析式；
（2）平移抛物线C1，使平移后的抛物线C3经过A、
B两点，抛物线C3与y轴交于点D，求抛物线C3的解析
式及点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，记OD的中点为E，点P为
抛物线C3对称轴上一点，当△ABP与△ADE相似时，求点P的坐标．
专题直击
如图，已知抛物线y＝－(x－2)2的顶点为A，抛物线经过点B(3, m)，与y轴交于点D．记OD的中点为E，点P为抛物线对称轴上一点，当△ABP与△ADE相似时，求点P的坐标．
例6 如图，抛物线C
：y＝ax2＋4ax＋c的图像开口向上，
1
与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶
点为P，AB＝2，且OA＝OC．
（1）求抛物线C1的对称轴和函数解析式；
（2）把抛物线C1的图像先向右平移3个单位，再向下
平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，并与y轴的交点
为F(0,－1)，求抛物线C2的函数解析式；
（3）在（2）的基础上，点G是y轴上一点，当△APF
与△FMG相似时，求点G的坐标．
专题直击
如图，已知抛物线C1：y＝(x＋2)2－1与x轴交于A、B两点（A在B的左边），顶点为P．把抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到抛物线C2，记抛物线C2的顶点为M，并与y轴的交点为F，点G是y轴上一点，当△APF与△FMG相似时，求点G 的坐标．
例7 如图，已知抛物线258
y x bx c =++经过直线112
y x =-+与坐标轴的两个交点A 、B ，
点C 为抛物线上的一点，且∠ABC ＝90°． （1）求抛物线的解析式； （2）求点C 的坐标； （3）直线1
12
y x =-
+上是否存在点P ，使得△BCP 与△OAB 相似，若相似，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
专题直击
如图1，已知抛物线54
()(2)85
y x x =
--与y 轴交于点A ，与x 轴的两个交点，右侧的一个交点为B ，点C 为抛物线上的一点，且∠ABC ＝90°．在直线AB 上是否存在点P ，使得△BCP 与△OAB 相似，若相似，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
例8 已知抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）经过A(－2,0)、
B(4, 0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）的解析式，
并求出顶点P的坐标；
（2）求∠APB的正弦值；
（3）直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的
交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．
专题直击
已知抛物线y＝x2－2x－8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．
例9 如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4．M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．
（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；
（2）如果四边形MENF的面积是△AND面积的3
8
，求AM的长；
（3）如果BC＝10，试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．
图1 图2
专题直击
如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．点N是BC边上的任意一点，联结AN、DN．试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．
例10 如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，
并写出它的定义域；
（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线
段CE的长．
例11 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A
和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
例12 已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O为AB边上一动点（不与A、B重合），以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，设OB＝x，DC＝y．
（1）如图1，求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）当⊙O与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；
（3）如图2，若⊙O与边AC交于点E（有两个交点时取靠近C的交点），联结DE，当△DEC与△ABC相似时，求x的值．
图1 备用图图2
专题直击
已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O为AB边上一动点（不与A、B重合），以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，设OB＝x．若⊙O与边AC交于点E（有两个交点时取靠近C的交点），联结DE，当△DEC与△ABC相似时，求x的值．
例13 如图1，已知在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，
25
∠=，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．
sin BCD
（1）求证：∠BCD＝∠BDC；
（2）如图1，若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，
求DP的长；
（3）如图2，点E在BC的延长线上，且满足DP＝CE，PE交DC于点F，若△ADH
和△ECF相似，求DP的长．
图1 图2
专题直击
如图，已知在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，BC＝5，
点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．点E在BC的延长线上，且满
足DP＝CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．
例14如图，在△ABC中，AB＝AC＝42，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设点P运动的时间为t秒．延长BA交⊙A 于点D，连接AP交⊙A于点E，连接DE并延长交BC于点F．当△ABP与△FBD相似时，求t的值．
例15如图，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C是x轴上的一点，沿直线BC
翻折，点O正好落在AB边上的点D处．
（1）求点C的坐标；
（2）设直线CD与y轴交于点E，求点E的坐标；
（3）点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．
例16如图，二次函数y＝ax2＋bx（a≠0）的图像经过点A(1, 4)，对称轴是直线3
x=-，
2
线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，联结OA、OB、OD、BD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B的坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标．
例17 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－3ax＋c与x轴交于A(－1, 0)、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0, 2)．
（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；
（2）求证：∠CAO＝∠BCO；
（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作BE⊥OD，垂足为△BOD外一点E，若△BDE与△ABC相似，求点D的坐标．
例18 如图1，抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＞0）与x轴交于A(－3,0)、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，抛物线的顶点为M．
（1）求a、c的值；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例19 如图1，已知二次函数273
y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，
延长AC 交x 轴于点D ．
（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；
（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P
的坐标． 图1
例20 如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A、B
两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是(3,
0)，tan∠OAC＝3．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠P AB＝∠CAB，求
点P的坐标；
（3）点D是y轴上的一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．
图1
相似三角形的存在性问题 【考题研究】 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快． 【解题攻略】 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 【解题类型及其思路】 相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。 【典例指引】 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两 点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．
二次函数的存在性问题（相似三角形） 1、已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。 (1)求抛物线的解析式； (2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； (3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 A A B B O O x x y y
x y F - 2 -4 -6 A C E P D B 5 2 1 2 4 6 G 2、设抛物线2 2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________． 解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,． ∴OA ·OB=OC 2；∴OB= 22 241 OC OA == ∴m=4． 3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出?OBC 的面积S 的值. （3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得?OCD 与?CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
培优讲义——相似三角形的存在性问题 常见方法一：先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等； 常见方法二：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 1、如图，在直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,4)B ，(1,0)C ，在坐标轴上找到点 D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． 2、如下图，在矩形ABCD 中，AB=12 cm ，BC=6 cm ．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2 cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t≤6）那么： （1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 3、如图，在平面直角坐标系中，A (8,0)，B (0,6)，点C 在x 轴上，BC 平分∠OBA ．点P 在
直线AB 上，直线CP 与y 轴交于点F ，如果△ACP 与△BPF 相似，求直线CP 的解析式． 26、（13分）如图，正方形ABCD 边长为10cm ，P 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AP ，过点P 作PE ⊥PA 交CD 于点E ．（1）求证：△ABP ∽△PCE ； （2）当P 在BC 上运动时，对应的点E 也随之在CD 上运动，设CP x =，DE y =，求y 与x 的函数关系式及y 的取值范围。 （3）在线段BC 上，是否存在不同于P 的点Q ，使得QA ⊥QE ？若存在，求线段BQ 与BP 之间的数量关系；若不存在，请说明理由。 （备用图）
二次函数中的存在性问题之相似三角形 【典例1】（2019?攀枝花）已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，其图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C （0，3）． （1）求b ，c 的值； （2）直线1与x 轴相交于点P ． ①如图1，若l ∥y 轴，且与线段AC 及抛物线分别相交于点E ，F ，点C 关于直线x ＝1的对称点为点D ，求四边形CEDF 面积的最大值； ②如图2，若直线1与线段BC 相交于点Q ，当△PCQ ∽△CAP 时，求直线1的表达式． 【点拨】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y 轴的交点坐标可求出b 、c 的值； （2）由题意先求出D 点坐标为（2，3），求出直线AC 的解析式，设F （a ，﹣a 2+2a +3），E （a ，﹣a +3），则EF ＝﹣a 2+3a ，四边形CEDF 的面积可表示为1 2EF ?CD ，利用二次函数的性质可求出面积的最大值； （3）当△PCQ ∽△CAP 时，可得∠PCA ＝∠CPQ ，∠P AC ＝∠PCQ ＝∠OCA ＝45°，则PQ ∥AC ，∠BCO ＝∠PCA ，过点P 作PM ⊥AC 交AC 于点M ，可求出PM 、P A 、OP 的长，用待定系数法可求出函数解析式． 【解答】解：（1）由题意得：{b 2=1c =3 ，∴b ＝2，c ＝3， （2）①如图1，∵点C 关于直线x ＝1的对称点为点D ， ∴CD ∥OA ，∴3＝﹣x 2+2x +3，解得：x 1＝0，x 2＝2，∴D （2，3）， ∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，∴令y ＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴B （﹣1，0），A （3，0），
中考数学压轴题解题策略（2） 相似三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌 专题攻略 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6． 应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 例题解析 例? 如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)． 于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了． 在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ． 因此)BF t ==-． 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF ==．解得43t =（如图1-2）．
2022年中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问 题） 一、解答题 1．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(2,0),(4,0)A B -，与y 轴正半轴交于点C ，且 2OC OA =，抛物线的顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．直线y mx n =+经过B ，C 两 点．
(1)求抛物线及直线BC 的函数表达式； (2)直线(0)y kx k =>交线段BC 于点H ，若以点O ，B ，H 为顶点的三角形与ABC 相似，求k 的值； (3)连接AC ，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是否存在以点E 为直角顶点的Rt PEQ ，且满足tan tan EQP OCA ∠=∠．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为 ()60A ，，()03C ，，直线39 42 =-+y x 与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)若抛物线()2 0y ax bx a =+≠经过A 、D 两点，试确定此抛物线的解析式；
(3)在（2）中的抛物线的对称轴与直线AD 交于点M ，点P 在对称轴上，且△P AM 与△ABD 相似，求点P 的坐标． 3．如图，抛物线y ＝ax 2﹣ax ﹣6a 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 点左边)，与y 轴负半轴交于C 点，OC ＝2OA ． (1)求抛物线的解析式； (2)E 是x 轴上方，抛物线上一点，若12 ∠AEB +∠BAE ＝45°，求E 点纵坐标； (3)如图2，P 是线段AC 上一个动点，F 点在线段AB 上，且AF ＝m ，若P 点总存在两个不同的位置使∠BPF ＝∠BAC ，求m 满足的条件． 4．如图，已知抛物线1C 的顶点坐标是()1,4D ，且经过点()2,3C ，又与x 轴交于点 A 、(E 点A 在点E 左边)，与y 轴交于点 B ． (1)抛物线1C 的表达式是______ ； (2)四边形ABDE 的面积等于______ ； (3)问：AOB 与DBE 相似吗？并说明你的理由； (4)设抛物线1C 的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线2C 经过点2(E C 与1C 不重合)，且顶点为(),M a b ，对称轴与x 轴交于点G ，并且以M 、G 、E 为顶点的三角形与
存在性问题系列：相似三角形的存在性问题 2023九年级数学中考专题练习1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s 的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t=时，△CPQ与△CBA相似． 2．如图，已知四边形ABCD中，B C =，点P是边BC上 ∠=∠，2 BC=，AB m CD=，5 使得APD B C ∠=∠=∠的点，当m=时，这样的P点只有一个． 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论： ①AD2=AE•AB； ②3.6≤AE＜10； ③当△ABD≌△DCE； ④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5． 其中正确的结论个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数6y kx =+的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ， 点A 的坐标为(8,0)-． （1）点B 的坐标为 ； （2）在第二象限内是否存在点P ，使得以P 、O 、A 为顶点的三角形与OAB ∆相似？若存 在，请求出所有符台条件的点P 的坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，在四边形ABCD 中，//AB DC ，CB AB ⊥．16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为()t s ，05t <<． （1）用含t 的代数式表示AP ； （2）当以点A ．P ，Q 为顶点的三角形与ABD ∆相似时，求t 的值；
二次函数中的相似三角形存在性问题 姓名： 1、如图13，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD 。若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。 图13 图14 图15
2、如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。⑴求抛物线的解析式；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP 与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
3、已知抛物线2 y ax bx c =++ 经过0P E ⎫⎪⎪⎝⎭及原点(00)O ， ．（1）求抛物线的解析式．（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．
4、已知：如图一，抛物线c =与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， + y2+ bx ax 直线2 =经过A、C两点，且AB=2.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x x y- 轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
2022金山、杨浦一模25题解法分析（三角形相似的存在性） 在很多与相似三角形相关的压轴题中，其中常见的一种题型就是相似三角形的存在性讨论。对于相似三角形的存在性问题，一般来说，会有一组等角，然后从边或从角的角度进行分类讨论： 通常，我们还可以借助基本图形分析法，找到边与角的数量关系，从而完成上述问题的讨论。 2022金山一模25题的图形背景是射影定理模型+角平分线，解题路径围绕着相似三角形的性质定理、判定定理以及射影定理展开。题型主要围绕证明三角相似，函数关系的建立以及相似三角形的存在性讨论。 本题的关键是根据三角形的相似或角平分线的性质标出图形中的等角，然后再根据角的等量关系确定线段间的数量关系。 模型：射影定理 2022金山一模25题解题背景： 解法分析：本题的第一问是相似三角形的判定。利用角平分线和平行线得到等角，继而再射影定理模型中的等角关系，利用A.A判定相似即可。 解法分析：本题的第二问是函数关系的确立。利用第一问中相似三角形对应线段成比例以及等角的三角比相等可以顺利地建立函数关系。 解法分析：本题的第三问是相似三角形的存在性讨论。由第一问中角的数量关系可得∠BFC=∠DEF，因此由角进行分类讨论。在分类讨论的过程中，善于运用斜X型和射影定理模型即可快速得到结论，对于不存在的情况要能够排除。 2022杨浦一模25题的图形背景是等腰直角三角+轴对称，解题路径围绕轴对称的性质以及角的和差关系等。题型主要围绕证明某个
角为45°，三角形相似的存在性以及求三角形的面积。2021杨浦一模的25题的图形背景也是等腰直角三角形。 本题的关键是根据等腰直角三角形的性质以及轴对称的性质，寻找等线段以及等角。 2022杨浦一模25题解题背景： 解法分析：本题的第一问通过联结CE，通过对称性，得到CF平分∠BCE，利用角的和差关系证明∠AFC=45°。 解法分析：本题的第二问是相似三角形的存在性讨论。首先两个三角形有一组等角：45°，其次确定一组相等的钝角，得到∠G=22.5°。利用22.5°特殊角的性质，计算出BD的长度。 解法分析：本题的第三问是求三角形的面积。需要分类讨论：即点D在线段AB或线段AB的延长线上。依据面积的和差关系计算。
中考数学压轴题解题策略 相似三角形的存在性问题解题策略 专题攻略 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6． 应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程〔组〕． 例题解析 例❶ 如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点〔A 点在B 点左侧〕，与y 轴交于点C ．动直线EF 〔EF //x 轴〕从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．假设存在，试求出t 的值；假设不存在，请说明理由． 图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)． 于是得到BA ＝4，BC ＝512 CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了． 在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以5CF t =． 因此4555(4)BF t t ==-． 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF =455(4) t =-43t =〔如图1-2〕．
中考数学复习之相似三角形的存在性问题（学案） 知识与方法梳理： 相似三角形存在性的处理思路 1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类． 注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类． 2. 画图求解： 往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解． 注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例； 3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 例1：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为 C (4 ，，且与x 轴的两个交点间的距离为6． （1）求二次函数的解析式； （2）在x 轴上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形 【思路分析】 △由顶点坐标C (4 ，)可知对称轴为直线x =4，利用与x 轴两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A （1，0)，B (7，0)． △设交点式y =a (x -1)(x -7)，再代入坐标C (4 ， 可求解出解析式2y x = -+． 【过程示范】 △顶点坐标为C (4 ，)， △抛物线对称轴为直线x =4， 又△抛物线与x 轴的两个交点间的距离为6， △由抛物线的对称性可知：A (1，0)，B (7，0)． 设抛物线的解析式为y =a (x -1)(x -7)，
将C (4 ，) 代入可得，a = △ 所求解析式为2y x x = ． 第二问：相似三角形的存在性 【思路分析】 相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的： △分析特征：先研究定点、动点，其中A 、B 、C 为定点，点Q 为抛物线上的动点；进一步研究此△ABC ，发现其中AC=BC ；构造辅助线：CD 垂直于x 轴，能够计算出△BAC =30°，△ACB =30°；再考虑研究△QAB ，固定线段为AB ，并且由于点Q 在x 轴上方的抛物线上，所以△QAB 为钝角（填“钝角”或“直角”）三角形． △画图求解：先考虑点Q 在抛物线对称轴右侧的情况，此时△ABQ 为钝角，要想使△ABC 与△ABQ 相似，则需要△ABQ =120°，且AB=BQ ．求解时，可根据△ABQ =120°，AB =BQ =6来求出Q 点坐标．同理，考虑点Q 在抛物线对称轴左侧时的情况． △结果验证：考虑点Q 还要在抛物线上，将点Q 代入抛物线解析式验证． 【过程示范】 存在点Q 使得△QAB 与△ABC 相似． 由抛物线对称性可知，AC =BC ，过点C 作CD △x 轴于D ， 则AD =3，CD 在Rt△ACD 中，tan△DAC ， △△BAC =△ABC =30°，△ACB =120°． △当△ACB △△ABQ 1时， △ABQ 1=120°且BQ 1=AB =6． 过点Q 1作Q 1E △x 轴，垂足为E ， 则在Rt△BQ 1E 中，BQ 1=6，△Q 1BE =60°， △Q 1E =BQ 1 ·sin60°=62 ⨯ =BE =3， △E (10，0)，Q 1(10 ，． 当x =10时，y = △点Q 1在抛物线上． △由抛物线的对称性可知，还存在AQ 2=AB ， 此时△Q 2AB △△ACB ，点Q 2的坐标为(-2 ，． 综上，Q 1(10 ，，Q 2(-2 ，．
相似三角形存在性问题 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（相似三角形存在性问题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为相似三角形存在性问题的全部内容。
专题相似三角形存在性④ 一、要点归纳 解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程,第三 步解方程并验根。 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以 使得列方程和解方程又好又快． 二、课前热身 △ABC中，点D、E分别在AB、AC边上,如果△ADE与△ABC相似，请确定点E的位置. 三、例题讲解 例1如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC,BC＝10cm，CD＝6cm．在线 段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度,在线段BC上从点B向点C匀速运动;同时 点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时 停止运动．设点F运动的时间为t（秒）． （1）求AD的长； (2）点F、E在运动过程中，如果△CEF与△BDC相似,求线段BF的长． 图1 备用图
例2 如图，抛物线经过A（4,0)，B(1,0），C（0，—2）三点． (1）求抛物线的解析式． （2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P,使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数与相似三角形、全等三角形及等角的存在性问题（一）、相似三角形的存在性问题： 1、如图,直线y=−x+3与x轴、y轴分别相交于点B. C,经过B. C两点的抛物线 c bx ax y+ + =2与x轴的另一个 交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2. (1)、求该抛物线的解析式； (2)、连接PB、PC，求△PBC的面积； (3)、连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由。 2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝x2﹣x交于A、B两点． （1）、直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标； （2）、点P在抛物线上，当k＝﹣时，解决下列问题： ①、在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20； ②、连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．
3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－3与抛物线y＝x2＋mx＋n相交于两个不同的点A、B， 其中点A在x轴上． (1)、则A点坐标为▲； (2)、若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值； (3)、在(2)条件下，设该抛物线与x轴的另一个交点为C，请你探索在平面内是否存在点D，使得△DAC与△DCO相 似？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 4、已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(−3,0)和点B(1,0),与y轴相交于C(0,−3m)(m>0)，顶点为点D. (1)、求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示)；
二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)
二次函数的存在性问题（相似三角形） 1、已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。 (1)求抛物线的解析式； (2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； (3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是 否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 A A B B O O x x y y
2、设抛物线22 =+-与x轴交于两个不同的点A(一1， y ax bx 0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°． (1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛 物线上，过点A的直线1 y x =+交抛物线于另一点E．若点P 在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________． 解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴△AOC∽△COB,．
D y N O M P A C B 2- H （1）OH 的长度等于 ；k = ，b = ． （2）是否存在实数a ，使得抛物线(1)(5)y a x x =+-上有一点E ， 满足 以D N E ，，为顶点的三角形与△相似？若不存在，说明理由； 若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所 求得的抛物线上 是否还有符合条件的E 点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的 每一个E 点，直线NE 与直线AB 的交点G 是否总满足 102PB PG < 解：（1）1OH =；3 3 k = ，33b =．（2）设存在实数a ，使抛物 线(1)(5)y a x x =+-上有一点E ，满足以D N E ，，为顶点的三角形与等腰直角AOB △相似． ∴以D N E ，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类， 一类是以DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形． ①若DN 为等腰直角三角形的直角边，则ED DN ⊥．由抛物线(1)(5)y a x x =+-得：(10)M -，，(50)N ，．(20)D ∴，，3ED DN ∴==．E ∴的坐 标为(23)， ．把(23)E ，代入抛物线解析式，得1 3a =-． ∴ 抛物线解析式为1(1)(5)3y x x =-+-．即2 1 45 3 33 y x x =-+ +． ②若DN 为等腰直角三角形的斜边，则DE EN ⊥，DE EN =．
2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相 似三角形问题） 1．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =． (1)求二次函数的解析式； (2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与 POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线234y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接,AC BC ． (1)求ABC 的面积； (2)如图2，点P 为直线上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ∥交直线BC 于点D ，过点P 作直线PE x ∥轴交直线BC 于点E ，求PD PE +的最大值及此时P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将原抛物线234y x x =-++沿射线AC 方向平移M 是新抛物线与原抛物线的交点，N 是平面内任意一点，若以P 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标． 3．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ，、，两点，且与y 轴的公共点为点C ， 设该抛物线的顶点为D ． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点D 的坐标； (2)若点P 为抛物线上一点，且满足PB PC =，求点P 的横坐标； (3)连接CD BC ，，点E 为线段BC 上一点，过点E 作EF CD ⊥交CD 于点F ，若1 2 =DF CF ，求点E 的坐标． 4．如图1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，直线4y x =-+经过B 、 C 两点，4OB OA =．
相似三角形的存在性问题 例1 如图，已知矩形ABCD中，AB＝12cm，AD＝10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、x cm/s、1.5cm/s，当点Q 到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动．设运动时间 为t（单位：s）． （1）求证：DE＝CF； （2）设x＝3，当△P AQ与△QBR相似时，求t的值； （3）设△P AQ关于直线PQ对称的图形的△P A′Q，当t 和x分别为何值时，点A′与圆心O恰好重合，求出符合条件 的t、x的值． 专题直击 如图，已知矩形ABCD中，AB＝12cm，AD＝10cm，点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、3cm/s、1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动．设运动时间为t （单位：s）．当△P AQ与△QBR相似时，求t的值．
例2 如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x＋4与x轴、 y轴分别相交于点A和点C，抛物线y＝x2＋kx＋k－1的图像过 点A和点C，抛物线与x轴的另一个交点是B． （1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及点B的坐标； （2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为 顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标． 专题直击 如图，已知抛物线y＝x2＋5x＋4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．
若ABC ∆与DEF ∆相似，理论上应有六种可能情况，但在中考中，6种情况未免过于复杂，所以题目中一般都还会隐含（或明示）着其中一组对应角关系，于是就只需讨论两种情况是否可能，并解出相关结果． 可以将相似三角形的存在问题大致分为两类：以函数为背景的和以几何为背景的。相比而言，以函数为背景的题目往往计算过程较为复杂，但思维过程相对简单，需要的是仔细认真；而以几何为背景的题目思维过程更为复杂，需要相对高的几何能力． 1、知识内容： 相似三角形的存在性问题内容分析 知识结构 模块一：以函数为背景的相似三角形问题 知识精讲
在纯几何问题中，证明三角形相似主要有三种方法：①两组角对应相等；②一组角相等且其两边对应成比例；③三组边对应成比例． 在以函数为背景的压轴题中，基本都属于第二种情况，其他两种出现较少。若ABC ∆与 DEF ∆相似，且A D ∠=∠，则可能有两种情况：① AB DE AC DF =；②AB DF AC DE = ． 2、 解题思路： （1） 寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角； （2） 计算或表示出夹此两角的四条边中的三条； （3） 解出第四条边，并代回题面进行验证，舍去多余情况． 【例1】 如图，在平面直角坐标系中，双曲线k y x = （0k ≠）与直线y = x ＋2都经过点 A （2，m ）． （1）求k 与m 的值； （2）此双曲线又经过点B （n ，2），过点B 的直线BC 与直线y = x ＋2平行交y 轴于点 C ，联结AB 、AC ，求ABC ∆的面积； （3）在（2）的条件下，设直线y = x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如 果以点A 、C 、E 所组成的三角形与ACD ∆相似，且相似比不为1，求点E 的坐标． 【答案】（1）k = 8，m = 4；（2）8；（3）（10，8）． 【解析】（1）将A （2，m ）代入y = x + 2，得m = 4； 将A （2，4）代入k y x = ，得k = 8； （2）将B （n ，2）代入8 y x = ，得n = 4； 例题解析 x y 1 1 O
中考九年级数学高频考点专题训练--相似三角形的综合题 一、综合题 1．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∠AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值. 2．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E是AD上一点，且AE=1，F是边 ，矩形E′F′G′H′是矩形EFGH关于对AB上的动点，以EF为边作矩形EFGH，使EH=1 2EF 角线BD的轴对称图形. （1）当EF//BD时，求矩形EFGH的面积. （2）当点G落在BD上时，求tan∠GFB. （3）在F从A到B的运动过程中， ①当G′落在边CD上时，求AF的长. ②当矩形E′F′G′H′与矩形ABCD的边只有两个交点时，直接写出AF的取值范围. 3．阅读下面材料，完成（1）-（3）题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，点E为线段BD上一点，延长
CE至点F，连结BF，使∠F=∠BCD，且2∠F+∠BCF=90°，求证：AC=FC．同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠A与∠F相等．” 小涛：“利用这学期学的图形的旋转，构造全等三角形，可以解决问题”． …… 老师：“保留原题条件，若CD=kBF，则可求AD BF的值．” （1）求证：∠A=∠F；（2）求让：AC=FC； （3）若CD=kBF，求AD BF的值（用含k的式子表示）． 4．将△ABC绕点A逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，我们将这种变换记为[θ，n]. （1）问题发现 如图①，对△ABC作变换[60°，√3]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=；直线BC 与直线B′C′所夹的锐角度数为. （2）拓展探究 如图②，△ABC中，∠BAC=35°且AB：AC=√2，连结BB′，CC′.对△ABC作变换