八年级数学压轴题训练（平行四边形的存在性）
【考情透析】
以函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来考试的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．考生往往因为选择方法不得当而导致计算量偏大，或因分类情况不完整而导致漏解。此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想。 【解题策略】
对这类题处理策略有二种方法： 一、常规策略（几何法） 1.分类标准：如果没有明确四边形顶点的顺序，则需要分类讨论。以边或对角线进行分类（依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”）。
2.解题方法：需要先画出平行四边形（画图有两种方法，一是作平行线，二是倍长中线）。再利用平移规律、三角形的全等、相似、平行K 值法等解决问题。
3.缺点：必须画图找到所有符合条件的点，很容易发生漏解现象。 二、坐标模型法（代数法）
1.分类标准：以相对的两个顶点（即对角线）为依据，分三种情形。
2.解题方法：利用中点坐标公式得平行四边形相对的两个顶点横坐标（纵坐标）之和相等。
3.优点：盲解盲算、不易漏解。 【典型例题】
例：【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）为端点的线段中点坐标为（x 1 +x 22，y 1 +y 2
2）．
【运用】（1）如图，平行四边形ONEF 的对角线交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为（4，3），则点M 的坐标为______；
（2）在直角坐标系中，有A （-1，2），B （3，1），C （1，4）三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标． 解：（1）∵四边形ONEF 是矩形，
∴点M 是OE 的中点． ∵O （0，0），E （4，3）
∴点M 的坐标为（2，3
2）．
（2）设点D 的坐标为（x ，y ）． 若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边构成平行四边形，则AB ，CD 的中点重合
∴⎩⎨⎧1+x 2=-1+324+y 2=2+12
，解得，⎩
⎨⎧x =1y =-1．
若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边构成平行四边形，则AD ，BC 的中点重合
∴⎩⎨⎧-1+x 2=1+322+y 2=4+12
，解得，⎩
⎨⎧x =5y =3．
若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边构成平行四边形，则BD ，AC 的中点重合 ∴⎩⎨⎧3+x 2=-1+121+y 2=2+42
，解得，⎩⎨⎧x =-3y =5．
综上可知，点D 的坐标为（1，-1）或（5，3）或（-3，5）．
总结反思：
平行四边形存在性问题的通解通法,具体步骤： 第一步：找出、求出或设出三个点坐标。
第二步：以“哪两个顶点相对”为分类标准，分三类讨论。建立方程（组）（利用中点坐标公式得到平行四边形相对的两个顶点横坐标、纵坐标之和分别相等），求出第四个顶点的坐标。
第三步：（若有需要），将第四个顶点坐标代入相应的函数关系式求解参数即可。 注：此法，中点坐标公式是依据、分类是关键、标准有规律，通用性强、杀伤力大！
【练习巩固】
1．（2019春•望花区期末）已知：直线y ＝
与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，点
C 在线段AO 上．将△ABO 沿BC 折叠后，点O 恰好落在AB 边上点
D 处． （1）直接写出点A 、点B 的坐标、点D 的坐标； （2）求直线BC 的解析式；
（3）点P 为平面内一动点，且满足以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形，请直接回答：
①符合要求的P 点有几个？ ②写出符合要求的P 点坐标．
2．（2019•都江堰市模拟）如图，直线：y＝﹣+4与x轴、y轴分别別交于点M、点N，等边△ABC的高为3，边BC在x轴上，将△ABC沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点O重合时，解答下列问题：
（1）点A1的坐标为．
（2）求△A1B1C1的边A1C1所在直线的解析式；
（3）若以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．
八年级下平行四边形难题全面专题复习(最全面的平行四边形) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级下平行四边形难题全面专题复习(最全面的平行四边形)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级下平行四边形难题全面专题复习(最全面的平行四边形)的全部内容。
【镭霆数学】平行四边形专题复习 一、平行四边形与等腰三角形专题 例题1已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点,BE的延 长线交CD的延长线于点F．（1）求 证:CD=DF; （2）若 AD=2CD，请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 训练一 1．如图，在▱ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是(）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形;④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④ 2．如图，四边形ABCD是平行四边形,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B′C相交于点O，连接BB′．(1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母)；（2）求证：△AB′O≌△CDO． 3。如图，已知AD和BC交于点O,且△OAB和△OCD均为等边三角形,以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE,CE和AD相交 于点F．求 证:△ACE为等边三角形． 4。如图，已知：平行四边形ABCD中,∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F,交AD于G．求证：AE=DG．
A B M 1 M 3 在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两 组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形。 1、知识容： 已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图△ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对 平行四边形的存在性问题 知识结构 知识精讲 模块一：已知三点的平行四边形问题 知识概述 平行四边形的存在性问题 已知三点的平行四边形问题 存在动边的平行四边形问题
边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M点）． 2、解题思路： （1）根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2）用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3）更换顶点，求出所有可能的点； （4）根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．例题解析 【例1】如图，抛物线y＝x2＋bx－c经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC︰S△ACD＝5 ︰4的点P的坐标； （3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、 D为平行四边形的点M的坐标．
【例2】如图，已知抛物线y＝ax2＋3ax＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），点B的坐标为(1, 0)，tan∠OBC＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以 A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，若存 在，写出点P的坐标； （3）抛物线的对称轴与AC交于点Q，说明以Q为 圆心，以OQ为半径的圆与直线BC的关系．
二次函数专题提优》。特殊四边形存在性 问题 二次函数专题提优：特殊四边形存在性问题 一、平行四边形存在性原理： 1.实验与探究： 给出平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标，并 归纳发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为（不必证明）。 2.运用与推广： 在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G，S，H，且c＞0.求当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，
P为顶点的四边形是平行四边形，并求出所有符合条件的P点坐标。 二、平行四边形的存在性问题： 1.已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，经过(-2,-5)和(5,-12)两点。 1）求此抛物线的解析式。 2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是线段BC上一点（不与点B、C 重合）。若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标。 3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。
2.如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A(-3,0)、点 B(1,0)，交y轴于点E(0,-3)，点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线 y=-x+m过点C，交y轴于点D。 1）求抛物线的函数表达式。 2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直 线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值。 3、在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使得以点A、 C、M、N为顶点的四边形是平行四边形。求点N的坐标。 解析：根据题意，可以得到以下条件： 1.点A在抛物线上，坐标为（0，c）； 2.点C在直线l上，坐标为（0，b）； 3.点M在直线l上，坐标为（x，kx+b）； 4.点N在抛物线上，坐标为（y，ay^2+by+c）。 由于四边形是平行四边形，所以AC和MN平行，即它们的斜率相等，即
平行四边形，矩形，菱形的存在性问题 一、平行四边形存在性问题 1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是．2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（﹣1，3），B（1，2），则点C，D的坐标分别为． 3．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M 有个． 4．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形． 第4题第5题第6题 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为． 6．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、 B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．7．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为． 8．（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图），图1，2，3中的顶点C的坐标分别是，，； （2）在图4中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为； （3）在图4中，平行四边形ABCD顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），则其横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为．
向右平移6个单位长度 向上平移2个单位长度二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义 一、知识链接： 点P（x,y）的平移方式平移后点的坐标规律 沿x轴平移 向右平移a个单位长度(x+a,y) 左右平移，横坐标左减右加， 纵坐标不变 向左平移a个单位长度(x-a,y) 沿y轴平移 向上平移b 个单位长度(x,y+b) 上下平移，横坐标不变，纵 坐标上加下减 向下平移b 个单位长度(x,y-b) 例1：如下图，线段AB平移得到线段B A' '，已知A（-2,2）,B（-3，-1）B'（3,1）则：点A'的坐标是 例2.在平行四边形ABCD中，其中已知A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，则D点坐标？ 二、知识迁移 例3：如图，在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点坐标分别为()1 1 ,y x A、()2 2 ,y x B、 () 3 3 ,y x C、()4 4 ,y x D，已知其中任意3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？
∵AB∥CD,AB=CD ∴边CD可看成由边BA向右、向上平移n个单位长度得到 三、对点法 即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等. ①若点A与点B相对，则点D与点C相对 ②若点A与点D相对，则点B与点C相对 ③若点A与点C相对，则点B与点D相对 四、典型例题学习 例4.如图,平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,-2),C(3,1)点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是 五、小试牛刀 1.抛物线中的平行四边形存在性问题（“三定一动”）
八年级数学压轴题训练（平行四边形的存在性） 【考情透析】 以函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来考试的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．考生往往因为选择方法不得当而导致计算量偏大，或因分类情况不完整而导致漏解。此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想。 【解题策略】 对这类题处理策略有二种方法： 一、常规策略（几何法） 1.分类标准：如果没有明确四边形顶点的顺序，则需要分类讨论。以边或对角线进行分类（依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”）。 2.解题方法：需要先画出平行四边形（画图有两种方法，一是作平行线，二是倍长中线）。再利用平移规律、三角形的全等、相似、平行K 值法等解决问题。 3.缺点：必须画图找到所有符合条件的点，很容易发生漏解现象。 二、坐标模型法（代数法） 1.分类标准：以相对的两个顶点（即对角线）为依据，分三种情形。 2.解题方法：利用中点坐标公式得平行四边形相对的两个顶点横坐标（纵坐标）之和相等。 3.优点：盲解盲算、不易漏解。 【典型例题】 例：【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）为端点的线段中点坐标为（x 1 +x 22，y 1 +y 2 2）． 【运用】（1）如图，平行四边形ONEF 的对角线交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为（4，3），则点M 的坐标为______； （2）在直角坐标系中，有A （-1，2），B （3，1），C （1，4）三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标． 解：（1）∵四边形ONEF 是矩形， ∴点M 是OE 的中点． ∵O （0，0），E （4，3） ∴点M 的坐标为（2，3 2）． （2）设点D 的坐标为（x ，y ）． 若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边构成平行四边形，则AB ，CD 的中点重合 ∴⎩⎨⎧1+x 2=-1+324+y 2=2+12 ，解得，⎩ ⎨⎧x =1y =-1． 若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边构成平行四边形，则AD ，BC 的中点重合
平行四边形存在性问题的解题策略 摘要：随着素质教育的发展，初中生的数学教学，需要更加注重学生思维的开拓，促进学生学习不同的解题策略。平行四边形的存在性问题，是初中教学中一 个非常重要的知识点，且其在解题过程中是比较有难度的。同时学生往往比较畏 惧这一类的问题，缺乏对这类问题的明确思路，因此本文主要对平行四边形存在 性问题的解题策略进行探讨。 关键词：平行四边形；存在性问题；解题策略 引言： 初中数学是学生成长过程中的重要学习部分，而平行四边形的存在教学又是 学生数学学习的重难点之一，需要学生充分把握。对于平行四边形存在性问题的 解题思路，主要有两种：几何法或代数法两种解题思路，下面就这两种思路展开 论述和分析。 一、平行四边形存在性问题之几何法探讨 （一）几何法解决问题的步骤 几何法解决此类问题往往分3步，首先要找出分类的依据，然后画出草图，最后计算答案，这三步每一步都是关键。对于找出分类依据而言，需要熟练掌握 平行四边形的性质，像对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形相对的顶 点到另一条对角线的距离相等，相邻两个顶点到对边的距离相等。学生要熟悉四 边形存在性问题有哪几类，其每一类的分类依据是什么，只有对这些内容进行熟 练的把握，才能对平行四边形存在性问题，进行正确的分类定位，正确运用适合 的方式，促进学生的教学进步。 几何解题法的第二部分使画出草图。这是至关重要的关键一步，只有正确画 出草图，才能直观的对题目进行掌握和分析，草图可以清晰的将抽象的问题条件，以直观的方式进行展示。有利于学生在做题时，对题目条件进行准确清晰的把握，如果草图画错，对题目条件的掌握一定会存在偏差，会使得学生很难做出正确答案，对问题的下一步的处理也基本没有必要。 几何法解题思路的第三部分，虽然看似简单，但却不允许掉以轻心，学生计 算的过程中必须要认真和仔细，学生计算稍有不慎，就会导致其结果出现偏差， 无论前面几个步骤做的再怎么到位，都会前功尽弃。因此学生计算的过程一定要 认真，教师可以利用一些计算题目，训练学生的计算能力，使学生可以冷静有效 计算，最终得到正确的答案探究。 例如：分析一例题的解题过程，第一步是分类：两定点连接的线段没确定为 平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。 (1)当AC为平行四边形的边时，(2)当AC为平行四边形的对角线时。(第二步 是画图：(1)当AC为平行四边形的边时，将AC上下平移，当向下平移时，很容易看出没有相等的情况，向上平移时，因为MN一定平行于AC，只需MN=AC即可，根据这些特点画出草图，当M在N右边，即xm-xn=AC;当M在N左边，即xn- xm=AC。 (2)当AC为平行四边形的对角线时，因为平行四边形的对角线互相平分，因 此MN一定过AC中点，画出草图，只需BF=BP即可。第三步是计算(1)若线段AC 是以点A，C，M，N为顶点的四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8.当点N 在点M的左侧时，MN=3-n，所以3-n=8，解得n=-5，所以N点的坐标为N(-5，12)。当点N在点M的右侧时，MN=n-3，所以n-3=8，解得n=11，所以N点的坐
《平行四边形存在性问题》教学设计执教者
学情分析 本节课是在已经进行过一轮复习，也适当做了一些往年的中考试卷，对于基础知识学生掌握的还是不错的，但对于综合性的题目却感觉困难，特别是动点问题。对于这类问题存在以下几种情况： 1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生 放弃作答。 2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。
3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。 针对以上情况，我希望通过本节课的学习，一方面帮助学生树立信心，让他们明白所谓的综合题都是由诸多小知识点组成的，所谓的动态问题可以变为“静”来解决，通过代数解决几何问题另一方面通过例题讲解让学生掌握解决这类题目的解题策略。 效果分析 针对学生面临的困难： 首先，我在教学时注意层次性，讲究循序渐进，由浅入深，由易到难，不要一步到位，逐步过渡。其次，注意所选例题的典型性，选了最具代表性的两类动点问题产生的平行四边形形存在性问题，一类一个例题，这样就可由一题推及一类，让学生可触类旁通，达到举一反三的效果。 教学时注重这几个方面： 1、利用几何画板动态画图，让学生体会点在运动过程中，图形会跟着发生变化。 在变化的过程中抓住某一瞬间，化“动”为“静”，使其构成平行四边形，再利用所学知识解决问题。 2、注重板书。通过清晰的板书让学生一目明了如何分析平行四边形存在性问题。 3、注重数学思想方法的渗透。 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，在数学教学和探究活动中始终体现这些数学思想方法，动点问题也不例外，因此，在数学教学中应特别注重这些思想方法的渗透，因为只有让学生充分掌握领会这种思维，才能更有效地运用所学知识，形成求解动点问题的能力。动点问题中主要体现方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等。 方程思想，大多数动点问题到最后都转化为方程形式，然后利用方程来求解。 数形结合思想，动点问题中，所研究的量的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。教学时，例题的讲解给学生展示了每种情况的图形，也要求学生画出图形再解决问题。 分类讨论思想。动点问题是中考的热点，常作为压轴题，难度较大，往往会出现多种情况或多个结果。这时就需要分类讨论。平行四边形的存在性问题就分三种情况讨论。 从学生的课堂参与以及练习反馈情况来看，学生学会了如何分类讨论平行四边形存在性问题，分对点法来求解，这节课达到了非常好的效果。 教材分析 二次函数动点问题是中考的热点问题，尤其与平行四边形相结合这类问题不仅涉及知识点多，而且能将几何知识和代数知识紧密结合起来。动态问题包含点动，线动及面动引起的一系列数学问题。而动点问题成为“重中之重”解决这类问题的关键是“动中求静”。 “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】 专题6.1平行四边形的性质专项提升训练（重难点培优） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022春•南海区校级月考）下面性质中，平行四边形不一定具备的是（） A．邻角互补B．邻边相等 C．对边平行D．对角线互相平分 2．（2022春•隆安县期中）在▱ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中成立的是（）A．∠A+∠C＝180°B．∠D＝60°C．∠A＝100°D．∠B+∠D＝180° 3．（2022春•曹妃甸区期末）平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数y与另一个角的度数x之间的关系是（） A．y＝x B．y＝90﹣x C．y＝180﹣x D．y＝180+x 4．（2022春•淇滨区校级期末）如图，已知▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AC＝8，BD ＝4，那么BC的长度为（） A．6B．5C．4D．3 5．（2022春•辉县市期末）在▱ABCD中，AC，BD交于点O，△OAB的周长等于5.5cm，BD＝4cm，AB+CD ＝5cm，则AC的长为（） A．3cm B．2.5cm C．2cm D．1.5cm 6．（2022春•宁都县期末）将平行四边形ABCD放在平面直角坐标系中，顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（5，2），则顶点D的坐标是（） A．（4，3）B．（1，3）C．（1，2）D．（4，2） 7．（2021秋•平阳县校级月考）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（） A．22B．18C．22或20D．18或22 8．（2021秋•宁阳县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点
利用中点坐标解决平行四边形存在性问题 1. • 已知平面直角坐标系中，有四个点A （-3，0）、B （0，-4）、C （3，0）、D （0，4） （1）在下面的平面直角坐标系中描出各点，并顺次连接，试判断所得四边形的形状，并说明理由； （2）若以A 、B 、C 、E 四点为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E 的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：43 4 +- =x y 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标． （2）设P 是直线AB 上一动点，直线PR ∥x 轴，点Q 在直线PR 上，设点P 的横坐标为m ，试用含有m 的代数式表示点Q 的纵坐标n ． （3）在（2）的条件下，若以B 、O 、Q 、A 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q 的坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l 1 ：y= 34x 与直线l 2 ：y=mx+415相交于点A （a ，5 12 ），且直线l 2 交x 轴于点B ． （1）填空：a= ，m= ； （2）在坐标平面内是否存在一点C ，使以O 、A 、B 、C 四点为顶点的四边形是平行四边形形．若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）图中有一动点P 从原点O 出发，沿y 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度向上移动，设运动时间为t 秒．若直线AP 能与x 轴交于点D ，当△AOD 为等腰三角形时，求t 的值．
4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y ＝−4 3x+3交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A 的坐标． （2）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 5.在平面直角坐标系中，A （0，1），B （0，-3），点C 在x 轴上，点D 在直线y= 2 1 x-2上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标以及对应的点D 的坐标． 6.在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （2，3），C （3m ，4m+1），D 在x 轴上，若以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标 。 7.如图1，矩形OABC 摆放在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=3，OC=2，过点A 的直线交矩形OABC 的边BC 于点P ，且点P 不与点B 、C 重合，过点P 作∠CPD=∠APB ，PD 交x 轴于点D ，交y 轴于点E ． （Ⅰ）若△APD 为等腰直角三角形 ①直接写出此时P 点的坐标： ；直线AP 的解析式为 ． ②在x 轴上另有一点G 的坐标为（2，0），请在直线AP 和y 轴上分别找一点M 、N ，使△GMN 的周长最小，并求出此时点N 的坐标和△GMN 周长的最小值； （Ⅱ）如图2，过点E 作EF ∥AP 交x 轴于点F ，若以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE 的解析式．
平行四边形存在性问题 1如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△ AOB的两条直角边OA 0B分别在x轴、y轴上, 且OA 0B的长满足方程x2- 16x+64=0. (1)求点A、B的坐标； (2)将点A翻折落在线段0B的中点C处，折痕交0A于点D,交斜边于点E,求直线DE的解析式； (3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系内，是否存在点F使点A、D E F为顶点的四边 形是平行四边形？若存在请直接写出点 2.如图，？ABCD中AB=4cm BC=8cm动点M从点D出发，按折线DCBA方向以2cm/s的速 度运动，动点N从点D出发，按折线DABC方向以1cm/s的速度运动，两点均运动到点D停止. (1) 若动点M N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2) 在相遇前，是否存在过点M和N的直线将？ABCD勺面积平分？若存在，请求出所需时间；若不存在，请说明理由.
(3) 若点E 在线段BC 上，BE=2cm 动点M N 同时出发且相遇时均停止运动，那么点 M 运动 3•已知矩形ABCD 勺一条边AD=8将矩形ABC ［折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处. (1) 如图，已知折痕与边 BC 交于点E ,连结AP EP EA 求证：△ ECP^A PDA (2) 若厶PDA 的面积比为1: 4,求边AB 的长； (3) 在(2)的条件下以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面 直角坐标系，问在坐标平面内是否存在点 M 使得以点A 、B 、E 、M 为顶点的四边形是平行四 边形？若存在请直接写出点 M 的坐标；若不存在请说明理由. 到第几秒钟时，与点A 、E 、N 恰好能组成平行四边形 ?
图 2 图 3 图1 另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题,常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图,若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点 数学课标,现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式,也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1。1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1），点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(2 21x x +,22 1y y +）。 证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ，y P ）.由x P —x 1=x 2-x P ,得x P =2 2 1x x +，同理y P = 2 2 1y y +，所以线段AB 的中点坐标为（ 2 21x x +，221y y +)。 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A （x A ，y A ）、B (x B ，y B ）、C （x C ，y C )、D （x D ，y D ），则：x A +x C =x B +x D ;y A +y C =y B +y D 。 证明: 如图2,连接AC 、BD ，相交于点E ． ∵点E 为AC 的中点, ∴E 点坐标为( 2 C A x x +，2C A y y +）. 又∵点E 为BD 的中点， ∴E 点坐标为（ 2D B x x +,2 D B y y +)。 ∴x A +x C =x B +x D ;y A +y C =y B +y D 。 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 2 一个基本事实,解题的预备知识 如图3,已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种:以AB 为对角线的□ACBD 1,以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ． 3 两类存在性问题解题策略例析与反思 3。1 三个定点、一个动点,探究平行四边形的存在性问题 例1 已知抛物线y=x 2 -2x+a (a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M 。直线y=2 1 x-a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线AM 相交于点N . （1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标,则M （ ）, N ( ）； (2)如图4，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ,连接CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积； (3)在抛物线y=x 2 -2x+a (a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由. 解：（1)M (1，a —1),N (a 34，-a 31）；(2）a=—49；S 四边形ADCN = 16 189 ;
一、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 ①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等） 1．已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2.已知抛物线：x x y 22 121+-= （1）求抛物线1y 的顶点坐标. （2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式. （3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.
②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线 1．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点， 求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样 的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 2．已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -， 、点(60)B ，，与y 轴交于点C ． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式； （3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
课时教案 授课题目专题四平行四边形的存在性问题解题策略 授课日期2015年3月15日教师柳娜 授课学时 1 时 00 分学生 课型复习课学科组长柳娜 师生活动 一、要点归纳 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便． 二、课前热身 已知△ABC，求作点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 三、例题讲解 1.如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为P，求∠P AC的正切值； （3）若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
2. 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）． （1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）； （2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）； 图1 3. 如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ 图1
挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题6 二次函数与平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解. 解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平 行四边形顶点坐标公式、画平行四边形. 1. 平面直角坐标系中，点 A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,)22 x x y y ++. 2. 平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则 A C B D x x x x +=+， A C B D y y y y +=+.
3.已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： 【例1】（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为； （2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【例2】（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
2020年中考数学复习专题 平行四边形动点及存在性问题 【例1】形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E 的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、F的坐标.
【例2】 如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A 、C 的坐 标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA 当三角形△ODP 是腰长为5为 ； 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB ∥OC ，A （0，12），B （a ， c ），C （b ，0），并且a ，b 满足16b =．一动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动， 点P 、Q 分别从点A 、O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （秒） （1）求B 、C 两点的坐标； （2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形并求出此时P 、Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形并求出P 、Q
两点的坐标． 【例3】（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M 的坐标为； （2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． x
专题10 平行四边形中的存在性问题训练 （时间：60分钟总分：120）班级姓名得分 一、解答题 1.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA 的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． (1)求证：EO=FO； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． (3)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理 由． 【答案】解：(1) ∵MN//BC， ∴∠3=∠2， 又∵CF平分∠GCO， ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴FO=CO， 同理：EO=CO， ∴EO=FO. (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO， 又∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， 由(1)可知，FO=CO， ∴AO=CO=EO=FO， ∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF， ∴四边形AECF是矩形． (3)当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形． ∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， ∵MN//BC， ∴∠AOE=∠ACB ∵∠ACB=90°， ∴∠AOE=90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 【知识点】矩形的判定、正方形的判定 【解析】(1)由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，得出EO=CO，FO=CO，即可得出结论； (2)先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论； (3)由正方形的性质得出∠ACE=45°，得出∠ACB=2∠ACE=90°即可． 本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方 向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t s(0 2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版） 专题04平行四边形的性质与判定 【典型例题】 1．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE▱AC，DF▱AC，连接BE、ED、DF、FB． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【分析】 （1）连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，由平行线的性质得出▱BAE＝▱DCF，证明▱ABE▱▱CDF得出AE＝CF，得出OE＝OF，即可得出结论； （2）由（1）得：OE＝OF＝1 2 EF＝1 ，由勾股定理得出OB 【详解】 （1）证明：连接BD交AC于O， ▱四边形ABCD是平行四边形， ▱OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，▱▱BAE＝▱DCF， ▱BE▱AC，DF▱AC， ▱▱AEB＝▱CFD＝90°， 在▱ABE和▱CDF中， BAE DCF AEB CFD AB CD ∠=∠ ⎧ ⎪ ∠=∠ ⎨ ⎪= ⎩ ， ▱▱ABE▱▱CDF（AAS），▱AE＝CF， ▱OE＝OF， 又▱OB＝OD， ▱四边形BEDF为平行四边形； （2）解：由（1）得：OE＝OF＝1 2 EF＝1， ▱BE▱AC， ▱▱BEO＝90°， ▱OB ▱BD＝2OB＝． 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【专题训练】 一、选择题 1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC专题04 平行四边形的性质与判定(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)
相关主题
文本预览