存在性问题-中考数学综合专题训练试题

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第四节存在性问题

这类问题是近几年来各地中考的“热点”．解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合

理的结果，就作出“存在”的判断，导出矛盾，就作出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三

角形、三角形的面积相等、等腰( 直角) 三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型对基础知识，

基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．

, 中考重难点突破)

1 23

【例 1】 ( 汇川中考模拟 ) 抛物线 y＝4x －2x＋ 2 与 x 轴交于 A， B 两点 (OA

(1)求点 A， B，C 的坐标；

(2) 点 P 从点 O出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 E 也从点 O出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，设点 P 的运动时间为 t s(0

①过点 E 作 x 轴的平行线，与

11

BC 相交于点 D(如图所示 ) ，当 t 为何值时，＋的值最小，求出这个最小值

OP ED

并写出此时点 E， P 的坐标；

②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△ EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】 (1) 在抛物线的解析式中，令y＝ 0，令 x＝ 0，解方程即可得到结果；(2) ①由题意得： OP＝ 2t ， OE＝

CE ED2－ t

＝DE11

y

t ，通过△ CDE∽△ CBO 得到＝，即，求得＋有最小值 1，即可求得结果；②存在，求得抛物线

CO OB24OP ED

123

＝4x －2x＋ 2 的对称轴为直线 x＝ 3，设 F(3 ，m)，当△ EFP 为直角三角形时，①当∠ EPF＝ 90°时，②当∠ EFP＝90°时，③当∠ PEF＝ 90°时，根据勾股定律列方程即可求得结果．

【答案】解： (1) 在抛物线的解析式中，令y＝ 0，

2

3

得4x －2x＋ 2＝ 0，解得 x1＝ 2， x2＝ 4.

1

∵OA

在抛物线的解析式中，令 x＝ 0，得 y＝ 2，∴ C(0 ， 2) ；

(2)①由题意，得 OP＝ 2t ， OE＝ t.

∵DE∥OB，∴△ CDE∽△ CBO，

CE ED2－t

＝DE

∴ ＝，即

24，

CO OB

∴DE＝4－ 2t ，

1111

＝11

2，

∴ ＋＝

2t ＋2＝

1－（ t － 1）

OP ED4－2t－ t ＋2t

∵0

t ＝1 时， 1－(t － 1) 2有最大值 1，

1

∴ t ＝ 1 时，1－（t－1）2有最小值1，

1 1

即 t ＝1 时，＋有最小值 1，

OP ED

此时 OP＝ 2， OE＝ 1，

∴E(0，1) ，P(2，0) ；

②存在． F 的坐标为 (3 ，2) 或 (3 ， 7) ．

【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件建立方程，解

出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”．解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合

条件的解来肯定“存在与否”的问题．

◆模拟题区

1． ( 汇川升学二模 ) 在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x2＋ (k －1)x － k 与直线 y＝ kx＋ 1 交于 A， B 两点，点 A 在点

B 的左侧．

(1)如图①，当 k＝ 1 时，写出 A， B两点的坐标；

(2) 在 (1) 的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；

(3)如图②，抛物线 y＝ x2＋ (k －1)x － k(k>0) 与 x 轴交于点上是否存在唯一一点 Q，使得∠ OQC＝ 90°？若存在，请求出此时C， D 两点 ( 点 C 在点 D 的左侧 ) ，在直线y＝ kx ＋ 1 k的值；若不存在，请说明理由．

解： (1) 当 k＝ 1 时，抛物线的解析式为y＝ x2－1，

直线的解析式为y＝ x＋ 1. 联立两个解析式，

得 x2－ 1＝ x＋ 1，解得 x＝－ 1 或 x＝2，

当 x＝－ 1 时， y＝ x＋ 1＝0；

当 x＝2 时， y＝x＋ 1＝ 3，

∴A(－1，0) ，B(2，3) ；

(2)设 P(x ， x2－ 1) ．如图①所示，

过点 P 作 PF∥y轴，交直线AB 于点 F，则 F(x ， x＋1) ．

∴PF＝(x ＋ 1) －(x 2－ 1) ＝－ x2＋ x＋ 2.

S＝S＋S＝1－ x ) ＋113

2PF(x2PF(x － x ) ＝2PF(x － x ) ＝2PF，△ ABP△ PFA△PFB F A BF BA

∴S△ABP＝3

( － x2＋ x＋ 2) ＝－

3

x－

1 2

＋

27

，

2822

2

3

当 x＝2时， y P＝ x －1＝－4.

1

27

∴△ ABP面积最大值为8 ，

1 3

此时点 P 坐标为2，－4；

(3)存在，理由如下：设直线 AB： y＝ kx ＋ 1 与 x 轴， y 轴分别交于点 E，F ，

11

则 E －k， 0 ，F(0 ， 1) ，OE＝k，OF＝ 1.

在 Rt△EOF中，由勾股定理得：

EF＝1

2

1＋ k2 k

＋ 1＝.

k

令 y＝x2＋ (k － 1)x － k＝ 0，即 (x ＋ k)(x － 1) ＝0，解得 x＝－ k 或 x＝ 1，

∴ C(－k， 0) ， OC＝ k.

设以 OC为直径的圆与直线AB 相切于点 Q，

根据圆周角定理，此时∠OQC＝90° .

设点 N为 OC中点，连接NQ，如图②所示，

k

则 NQ⊥EF， NQ＝ CN＝ ON＝2，

1k

∴EN＝ OE－ ON＝k－2.

∵∠ NEQ＝∠ FEO，∠ EQN＝∠ EOF＝ 90°，

∴△ EQN∽△ EOF，

NQ EN

∴＝，

OF EF

k1－ k

2 5

2k 2

即＝，∴ k＝±.

11＋k25

∵k>0，

25

∴ k＝，

5

25

∴当 k＝时，存在唯一一点Q，

5

使得∠ OQC＝ 90° .

◆中考真题区

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1 2

2． ( 黔东南中考 ) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y＝－6x＋bx＋ c 过点 A(0， 4) 和 C(8 ， 0) ， P(t ，0) 是 x 轴正半轴上的一个动点， M是线段 AP 的中点，将线段 MP绕点 P 顺时针旋转90°得线段 PB. 过点 B 作 x 轴的垂线，过点 A 作 y 轴的垂线，两直线相交于点 D.

(1)求 b， c 的值；

(2)当 t 为何值时，点D落在抛物线上；

(3)是否存在 t ，使得以 A， B， D 为顶点的三角形与△ AOP 相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．

解： (1) ∵A(0， 4) ， C(8， 0) 在抛物线上，

c＝4，5

∴1

b＝6，2解得

0＝－6×8＋ 8b＋ c，c＝ 4；

(2)∵∠ AOP＝∠ PEB＝ 90°，∠

OAP＝ 90°－∠ APO＝∠ EPB，

AO AP

∴△ AOP∽△ PEB，∴＝，

PE PB

∵AO＝4， AP＝ 2MP＝ 2PB，

∴PE＝2， OE＝ OP＋ PE＝ t ＋ 2，

又∵ DE＝ OA＝ 4，

∴点 D的坐标为 (t ＋ 2， 4) ，

当点 D落在抛物线上时，

1有－ 6(t

5

＋ 2) 2＋ 6(t＋2) ＋ 4＝4，

解得 t ＝ 3 或 t ＝－ 2，

∵t ＞ 0，

∴ t ＝ 3，故当 t 为 3 时，点 D 落在抛物线上；

(3)存在 t ，能够使得以 A， B， D 为顶点的三角形与△ AOP相似．理由如下：①当 0＜ t ＜ 8 时，若△ POA∽△ ADB，

PO AO t

＝42

＋16＝ 0，

则＝，即整理，得 t AD BD t ＋21

4－2t

∴ t 无解；

若△ POA∽△ BDA，

同理，解得 t ＝－ 2±2 5( 负值舍去 ) ；

②当 t ＞ 8 时，若△ POA∽△ ADB，则PO AO

＝，AD BD

t4

，

即＝

t ＋ 21

4－2

t

解得 t ＝8±4 5( 负值舍去 ) ；

若△ POA∽△ BDA，同理，解得t 无解．

综上所述，当t ＝－ 2＋ 2 5或 8＋4 5时，

优秀教案欢迎下载以 A，B， D 为顶点的三角形与△ AOP 相似 .

备战中考数学二轮专题归纳提升真题二次函数存在性问题(1)—与三角形相关(解析版)

专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关 【典例分析】 【例1——最值存在性问题】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点． （1）求a、b、c的值； （2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值； 【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3； （2）当m时，S△PAC最大. 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴， 解得： ∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3； （2）如图，过点P作PE∥y轴，交AC于E， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3）， ∴S△ACP PE•（x C﹣x A）[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）（m2﹣3m）（m ）2， ∴当m时，S△PAC最大. 【练1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B 与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m． （1）求二次函数解析式； （2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由； 【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）当m时，S最大. 【解析】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得，解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）S有最大值． 如图1，设直线BM的解析式为y＝kx+a， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物的顶点坐标为M（1，4）， 把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得，解得，

存在性问题-中考数学综合专题训练试题

优秀教案欢迎下载 第四节存在性问题 这类问题是近几年来各地中考的“热点”．解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合 理的结果，就作出“存在”的判断，导出矛盾，就作出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三 角形、三角形的面积相等、等腰( 直角) 三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型对基础知识， 基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查． , 中考重难点突破) 1 23 【例 1】 ( 汇川中考模拟 ) 抛物线 y＝4x －2x＋ 2 与 x 轴交于 A， B 两点 (OA

压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题(四大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型） 题型一：二次函数与平行四边形存在性问题 例1．（2023•泽州县一模）综合与探究． 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求二次函数的表达式和点B的坐标． （2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？ 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二：二次函数与矩形存在性问题 例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

题型三: 二次函数与菱形存在性问题 例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值； （3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 题型四: 二次函数与正方形存在性问题 例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值； （2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD． ①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值； ②当点C在抛物线上时，求m的值； ③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．

中考压轴(二次函数中存在性问题)带答案

中考数学压轴二次函数背景下的存在性问题 1、 抛物线()2 1134 y x =- -+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．点P 在抛物线上，直线PQ //BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ． （1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求直线BQ 的函数解析式； （2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上（点D 不与点Q 重合），另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标． 2、 如图，矩形OBCD 的边OD 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且OD ＝10， OB ＝8．将矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合． （1）若抛物线 c bx x y ++-=2 3 1经过A 、B 两点，求该抛物线的解析式：______________； （2）若点M 是直线AB 作MN ⊥x 轴于点N ．是否存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似？若存在，求出点M 的坐标； 若不存在，说明理由． C O y B A x x A B y O C C O y B A x

3、 已知抛物线2 =23y x x --经过A 、B 、C 三点，点P （1，k ）在直线BC ：y=x -3上，若点M 在 x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 4、 抛物线22 12 -+= x x y 与y 轴交于点C ，与直线y =x 交于A (-2，-2)、B (2，2)两点．如图，线段MN 在直线AB 上移动， 且MN =若点M 的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ．以P 、M 、Q 、N 为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由． 1.解：（1）由抛物线解析式()2 1134y x =- -+可得B 点坐标（1，3）. 要求直线BQ 的函数解析式，只需求得点Q 坐标即可，即求CQ 长度. 过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点D 作DF ⊥QP 于点F . 则可证△DCG ≌△DEF .则DG =DF ，∴矩形DGQF 为正方形. 则∠DQG =45°，则△BCQ 为等腰直角三角形.∴CQ =BC =3，此时，Q 点坐标为（4，0） 可得BQ 解析式为y =－x +4. （2）要求P 点坐标，只需求得点Q 坐标，然后根据横坐标相同来求点P 坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE =30°还是∠DCE =60°，所以分两种情况来讨论. ① 当∠DCE =30°时， a ）过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，过点D 作DK ⊥QP 于点K . 则可证△DCH ∽△DEK . 则 DH DC DK DE == A C y x O B

2023年九年级数学中考复习《最值与存在性问题》解答题专题训练(含解析)

2022-2023学年九年级数学中考复习《最值与存在性问题》解答题专题训练（附答案）1．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝﹣2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x+1经过抛物线上一点B（2，m），且与y轴．直线x＝﹣2分别交于点D、E．（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）①判断△CBE的形状，并说明理由；②判断CD与BE的位置关系； （3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y 轴交点于点C． （1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标； （3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值． 3．抛物线y＝﹣x2+x+c交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于点C，AB＝5，点P是抛物线上一动点，且保持在第一象限．

（1）求抛物线的解析式； （2）若点P到直线BC的距离为，求点P的坐标； （3）直线BP关于直线BC的对称直线交抛物线于点Q，过点A作平行于y轴的直线l，点P、Q到直线l的距离分别为PM、QN，当点P在抛物线上运动时，PM•QN的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，说明理由． 4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C．直线l：y＝x+4经过点C，与抛物线的对称轴交于点D，点E为抛物线的顶点． （1）点F为y轴上一点，若四边形CDEF为平行四边形，求点F的坐标； （2）在平面内存在一点G，使得以A，C，D，G为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，求点G的坐标； （3）已知点H为直线l与x轴的交点，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，是否存在点N，使以B，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； （4）若直线l与抛物线的另一交点为F，点P是抛物线上一点、点Q为平面内一点，当四边形FCPQ为平行四边形，且面积为某值时，符合题意的点P恰好有三个，求点P的坐标； （5）如图⑤，将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线与原抛物线相交于点C．与x轴交于J，K两点，且新抛物线的对称轴与x轴交于点L，平面内是否存在点S，使得以C，L，K，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．

2024年九年级中考数学专题复习训练面积的存在性问题

①如图,矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物物线y=x26x+10滑动，在滑动过程中CD∥x轴，CD=1，AB在CD的下方.当点 D在y轴上时，AB落在x轴上.当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成的两部分的面积比为1:4时,求点C的坐标. ②如图,在梯形ABCD中,AD//BC，E、F 分别为 AB、DC的中点，AB=4，∠B=60°. (1)求点E到BC 边的距离. (2)点P为线段EF上的一个动点，过P作P M⊥BC，垂足为M，过点M作MN平行AB交线段AD于点N，连接PN.探究:当点 P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化?若不变，请求出△PMN的面积;若变化,请说明理由. ③如图所示,已知扇形AOB 的半径为2,圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,求四边形ODCE的面积的最大值。

④如图所示，二次函数y=(x+m)2+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1，4). (1)求A、B两点的坐标. (2)设直线AM与y轴交于点C，求△BCM 的面积. (3)在抛物线上是否还存在点P，使得S △PMB =S △BCM ?如果存在，求出点P的坐标如果不存在，请说明 理由. ⑥如图,抛物线y=x26x+5与x轴交于A、Bi两点，与y轴交于点C，设在直线BC下方的抛物线上有一点Q，若S △BCQ =15,试求出点Q的坐标.

⑦如图1若一次函数y=3x3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B的坐标为(3，0)，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A、B、C 三点.

(1)求二次函数的表达式. (2)如图1过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧),若BC恰好平分∠DBE,求直线BE的表达式. (3)如图2,若点P在抛物线上(点P在y轴右侧)，连接AP交BC手点F，连接 BP,S △BFP =mS △BAF . ①当m=时,求点P的坐标; ②求m 的最大值. ⑧如图，抛物线y=mx2+(m2+3)x(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C,已知B(3，0). (1)求m的值和直线BC对应的函数表达式.

中考数学专题复习 存在性问题

中考数学专题复习存在性问题 中考数学专题复习-存在性问题 高考数学专题复习——存在的问题 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图所示，放置抛物线y？X2向左移动1个单位，向下移动4个单位，得到抛物线y？（x？h）2？k、所得抛物线在两点a和B与x轴相交（点a在点B的左侧），在点C 与y轴相交，顶点为d。（1）写出H和k的值；（2）判断形状△ ACD并解释原因； （3）在线段ac上是否存在点m，使△aom∽△abc？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图所示，抛物线经过a（2,0）、B（3,3）和原点o，顶点为C。（1）找到抛物线的解析公式； （2）若点d在抛物线上，点e在抛物线的对称轴上，且a、o、d、e为顶点的四边形是平行四边形，求点d的坐标； （3） P是抛物线第一象限的移动点，通过点P是pm？x轴上有一个点P，垂直的脚是m，所以三角形△ 以P、m和a为顶点的BOC相似吗？如果存在，找到点p的坐标；如果没有，请解释原因 1 二、二次函数中面积的存在性 3.如图，抛物线y?ax2?bx?a>0?与双曲线y? K 相交于点a，b．已知点b的坐标为（－2，－2），x a点位于第一象限，呈棕褐色∠ AOX=4。通过点a画一条直线AC‖X轴，并在另一点C与抛物线相交。（1）求出双曲线和抛物线的解析公式；（2）计算面积△ ABC； （3）在抛物线上是否存在点d，使△abd的面积等于△abc的面积．若存在，写出点d的坐标；若不存在，说明理由． 4.如图所示，抛物线y=ax+C（a>0）穿过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底部ad位于x轴上， 2

A（-2,0），B（-1，-3）。（1）求出抛物线的解析公式；（3分） （2）点m为y轴上任意一点，当点m到a、b两点的距离之和为最小时，求此时点m 的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点p使s△pad＝4s△abm成立，求点p的坐标．（4分） （4）抛物线的BD段上是否有一个点Q，以使三角形bdq的面积最大化。如果是，请计算点Q的坐标。如果不是，请解释原因。 y_ao_dxbc 二 三、二次函数中直角三角形的存在性问题 5.如图所示，在平面直角坐标系中，△ ABC是一个直角三角形，∠ ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y？x2？bx？C经过两点a和B，抛物线的顶点是d （1）求b,c的值； （2）点E是直角三角形ABC斜边ab上的一个移动点（a点和b点除外），当x轴在点F处与抛物线相交时，穿过点E的垂直线， 当线段ef的长度最大时，求点e的坐标； （3）在（2）条件下：① 求以点e、B、F和D为顶点的四边形的面积； ②在抛物线上是否存在一点p，使△efp是以ef为直角边的直角三角形?若存在，求 出所有点p的坐标；若不存在，说明理由. yybb ccaaoxox dd 四、二次函数中等腰三角形的存在性问题 6.如图所示，直线y？3倍？3.x轴在a点相交，y轴在B点相交，通过a点和B点的 抛物线在另一个C点与x轴相交（3,0）（1）找到抛物线的解析公式； ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点q，使△abq是等腰三角形？若存在，求出符合条 件的q点坐标；若不存在，请说明理由. 三 26题图26题备用图ybaocx

中考数学 平面直角坐标系中几何图形的存在性问题综合训练

第三单元函数 微专题平面直角坐标系中几何图形的存在性问题 1. 如图，已知直线y＝x＋1与抛物线y＝ax2＋2x＋c相交于点A(－1，0)和点B(2，m)两点 (1)求抛物线的函数表达式； (2)在x轴上是否存在点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1题图 2. 如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－3)交x轴于A、C两点，交y轴于点B，且OB＝2CO. (1)求点A、B、C的坐标及抛物线的解析式； (2)抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第2题图

3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)． (1)求抛物线解析式； (2)E为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在一点D，使得以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第3题图 4. 如图，抛物线y＝－x2＋6x－5与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BC于点E. (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第4题图

参考答案 综合训练 1. 解：(1)∵点B (2，m )在直线y ＝x ＋1上， ∴m ＝2＋1＝3， ∴点B 坐标为(2，3)， ∵点A (－1，0)和点B (2，3)在抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 上，代入得 ⎩ ⎪⎨⎪⎧a －2＋c ＝04a ＋4＋c ＝3， 解得⎩ ⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝3， ∴抛物线表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)设点Q 坐标为(n ，0)， ∵A (－1，0)，B (2，3)， ∴QA 2＝(－1－n )2，QB 2＝(2－n )2＋9，AB 2＝18， ①当QA 2＝QB 2时，(－1－n )2＝(2－n )2＋9， 解得n ＝2，即Q (2，0)； ②当QA 2＝AB 2时，(－1－n )2＝18， 解得n ＝－1±32，即Q (－1＋32，0)或(－1－32，0)； ③当QB 2＝AB 2时，(2－n )2＋9＝18， 解得n ＝－1(舍)或n ＝5，即Q (5，0)； 综上，Q 的坐标为(2，0)或(－1＋32，0)或(－1－32，0)或(5，0)． 2. 解：(1)对于抛物线y ＝a (x ＋1)(x －3)， 令y ＝0，得到a (x ＋1)(x －3)＝0，解得x ＝－1或3， ∴C (－1，0)，A (3，0)， ∴OC ＝1， ∵OB ＝2OC ＝2， ∴B (0，2)， 把B (0，2)代入y ＝a (x ＋1)(x －3)中得：2＝－3a ， ∴a ＝－23 ， ∴二次函数的解析式为y ＝－23(x ＋1)(x －3)＝－23x 2＋4 3x ＋2； (2)存在，∵A (3，0)，B (0，2)， ∴OA ＝3，OB ＝2.

中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，抛物线与x 轴相交于原点和点()4,0A ，在第一象限内与直线y x =交于点B ()5,5，抛物线的顶点为C 点． (1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； (2)点()3,M m 在抛物线上，连接MO MB ，，求MOB △的面积； (3)抛物线上是否存在点D ，使得DOB OBC ∠=∠？若存在，求出所有点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图，已知抛物线2 38 y x bx c =-++与x 轴相交于()4,0A -，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点()0,3C ， 连接AC ． (1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)若过点B 的直线与抛物线相交于另一点D ，当ABD BAC ∠=∠时，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，当点D 在x 轴下方时，连接AD ，此时在y 轴左侧的抛物线上存在点P ，使2 3 BDP ABD S S =△△，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 3．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点()0,2C -，2OC OA =和1 tan 2ABC ∠= ．直

线l ：()0y kx n k =+>与抛物线交于M ，N 两点（点M 在点N 的左边）． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标； (2)当直线l BC ∥时，若MON △的面积被y 轴分成的两个三角形的面积比为1:4时，求n 的值； (3)当0n =时，试在抛物线上找一定点P ，使得90MPN ∠=︒，求P 点坐标以及点P 到MN 的最大距离． 4．如图①，抛物线2y ax bx =+的顶点为()2,4D -． (1)求抛物线的解析式； (2)连接OD ，P 为x 轴上的动点，当AOD ∠与PDO ∠互余时，求点P 的坐标； (3)如图①，点M ，N 都在抛物线上，点M 位于第四象限，点N 位于第二象限，连接MN 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ，连接OM ON 、，求证：若NOF MOE ∠=∠，则直线MN 经过一定点． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A B 、两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ．

中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213 222y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧）， 与y 轴交于点C ． (1)写出点A 、B 、C 的坐标； (2)过动点(0,)H m 作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数213 222y x x =-++的图象相交于点D ，E ． ①若0m >，以DE 为直径作Q ，当Q 与x 轴相切时，求m 的值； ①直线l 上是否存在一点F ，使得ACF △是等腰直角三角形？若存在，请直接写出．．．．m 的值：若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B 与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ． (1)求抛物线的表达式． (2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标． (3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x -，且经过1,0A ，()0,3C 两点，与x 轴的 另一个交点为B ．

(1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线y mx n =+经过B ，C 两点，求直线BC 的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴=1x -上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标； (4)设点P 为抛物线的对称轴=1x -上的一个动点，求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标． 4．已知：如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -与y 轴交于点A ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交线段AB 、x 轴于点D 、E ．设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PD 的长； ①连接PA 、PB ，是否存在点P ，使得BPA △的面积最大？若存在，请求出BPA △的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P 为x 轴上方抛物线上的一个的动点，点F 为y 轴上的动点，是否存在这样的点P 和点F ，使得以BP 为腰的等腰直角PBF △？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,02,0A B -，两点，与y 轴交于点C ，直线y x m =+经过点B ，与y 轴交于点D ．

2022-2023学年九年级数学中考复习《最值、存在性问题》压轴解答题专题训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《最值、存在性问题》压轴解答题专题训练（附答案）1．如图，已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当0＜t＜2为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）当t为何值时，△AQP是等腰三角形． 2．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，BC∥x轴，且BC ＝5，AB交y轴于点D，． （1）求出C的坐标． （2）过A，C，B三点的抛物线与x轴交于点E，连接BE，若动点M从点A出发沿x轴正方向运动，同时动点N从点E出发，在直线EB上做匀速运动，运动速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少时，△MON为直角三角形． 3．已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB、OA 为边作矩形OBCA，点E、H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B 落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处． （1）如图1，求证：四边形OECH是平行四边形； （2）如图2，当点B运动到使得点F、G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH 是什么四边形？说明理由； （3）当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，如图3，如图4，分别求点B

的坐标． 4．如图，将透明三角形纸片P AB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，P A⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F，E，点B的坐标为（1，3）． （1）k＝； （2）试说明CD∥BA； （3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标． 5．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2； （2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．

特殊三角形存在性问题-中考数学难题突破训练

难题突破专题四特殊三角形存在性问题 特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解． 类型1 等腰三角形存在性问题 1 如图Z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)． (1)求点A，B的坐标． (2)求抛物线对应的函数表达式． 图Z4－1 (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例题分层分析 (1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？ (2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？ (3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________； ②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________； ③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标． 解题方法点析 对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形． 类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题

图Z 4－2 2 如图Z 4－2，已知直线y ＝kx －6与抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 相交于A ，B 两点，且点A (1，－4)为抛物线的顶点， 点B 在x 轴上． (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标． 例题分层分析 (1)已知点A 的坐标可确定直线AB 对应的函数表达式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解． (2)△ABQ 为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解． 解题方法点析 本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题． 专 题 训 练 1．如图Z 4－3，点O (0，0)，A (2，2)，若存在点P ，使△APO 为等腰直角三角形，则点P 的个数为________． 图Z 4－3 2．[2017·湖州] 如图Z 4－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx (k >0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在 第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1 x 的图象于点C ，连结A C.若△ABC 是等腰三角形，则k 的

2023九年级数学中考专题练习 存在性问题系列：相似三角形的存在性问题 (含解析)

存在性问题系列：相似三角形的存在性问题 2023九年级数学中考专题练习1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s 的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t=时，△CPQ与△CBA相似． 2．如图，已知四边形ABCD中，B C =，点P是边BC上 ∠=∠，2 BC=，AB m CD=，5 使得APD B C ∠=∠=∠的点，当m=时，这样的P点只有一个． 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论： ①AD2=AE•AB； ②3.6≤AE＜10； ③当△ABD≌△DCE； ④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5． 其中正确的结论个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个

4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数6y kx =+的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ， 点A 的坐标为(8,0)-． （1）点B 的坐标为 ； （2）在第二象限内是否存在点P ，使得以P 、O 、A 为顶点的三角形与OAB ∆相似？若存 在，请求出所有符台条件的点P 的坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，在四边形ABCD 中，//AB DC ，CB AB ⊥．16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为()t s ，05t <<． （1）用含t 的代数式表示AP ； （2）当以点A ．P ，Q 为顶点的三角形与ABD ∆相似时，求t 的值；

中考数学 考点34 一次函数中的存在性综合问题

专题34 一次函数中的存在性综合问题 1、如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2 （1）求k的值； （2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式． 解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∴OA＝1，∵AB＝2， ∴OB＝＝， ∴k＝． （2）如图，

∵tan∠BAO＝＝， ∴∠BAO＝60°， ∵PQ⊥AB， ∴∠APQ＝90°， ∴∠AQP＝30°， ∴AQ＝2AP＝2t， 当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP）， ∴2t﹣1+2＝（﹣）， ∴2t+1＝•， ∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7， ∴3t2﹣11t+6＝0， 解得t＝3或（舍弃），

∴P（，），Q（5，0）， 设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+． 2、在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的 任意一点P，图形M上的任意一点Q，作△OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”． 已知直线y＝x+b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是中心为坐标原点，且边长为2的正方形． （1）如图1，当b＝2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是（请直接写出答案）； （2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围； （3）如图3，当b＝﹣6时，图形S沿直线y＝x平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．

中考数学：存在性问题复习

初中数学 二次函数中的图形构建及存在性问题 一、二次函数中有关面积的存在性问题 例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形的面积为求直线的函数关系式； (3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标； 若不存在，说明理由. 答案：解：（1）因为抛物线与轴交于点 两点，设抛物线的函数关系式为： ∵抛物线与轴交于点 ∴ ∴ 所以，抛物线的函数关系式为： 又 因此，抛物线的顶点坐标为 (2）连结∵是的两条切线， ∴∴ 又四边形的面积为∴∴ 又∴ 因此，点的坐标为或 当点在第二象限时，切点在第一象限. 在直角三角形中， ∴∴ 过切点作垂足为点 ∴ 因此，切点的坐标为 设直线的函数关系式为将的坐标代入得

解之，得 所以，直线的函数关系式为 当 点在第三象限时，切点 在第四象限. 同理可求：切点的坐标为 直线 的函数关系式为 因此，直线 的函数关系式为 或 (3）若四边形的面积等于的面积 又 ∴ ∴两点到轴的距离相等， ∵与相切，∴点与点在轴同侧， ∴切线与轴平行， 此时切线的函数关系式为或 当时，由得， 当 时，由 得， 故满足条件的点 的位置有4个，分别是 说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数. 强化训练 ★1、（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． (2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标． 答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程 ∴ 解之得： ；故 为所求 (2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点 x y M C B D A O x y C B _ D _ A O x y P 2 P 1 D A

中考数学备考专题复习 存在性问题(含解析)

存在性问题 一、综合题（共21题；共291分） 1、（2016•金华）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG． (1)如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式． (2)若α为锐角，tanα= ，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积． (3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由 2、（2016•临沂）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC． (1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； (2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？ (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2016•内江）已知抛物线C：y=x2﹣3x+m，直线l：y=kx（k＞0），当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点． (1)求m的值； (2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y=﹣3x+b交于点P，且+ = ，求b的值； (3)在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S△A PQ=S△BPQ？若存在，求k 的值，若不存在，说明理由． 4、（2016•新疆）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO∽△EBC； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．

2022-2023学年人教版中考数学复习《二次函数存在性问题》压轴题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年人教版中考数学复习《二次函数存在性问题》压轴题专题提升训练（附答案）1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+1与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，连AB，点P在y轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y ＝ax2﹣3x+c的对称轴是直线x＝． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE＝PF，求证PE⊥PF． （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE ⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值． （2）如图2，在x轴上是否存在一点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点

M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在x轴上是否存在一点M，使得△ACM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，点P为抛物线对称轴上一点（P在x轴上方），抛物线上是否存在点Q，使得△PBQ是以线段PB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． （5）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点Q，使以点P，B，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（6）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点P，B，C，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（7）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点Q，使得四边形PBCQ是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式； （3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．