圆中证明及存在性问题
【例1】.如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF∥AB，连接DF，AF.
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB=时，四边形ADFE为菱形；
（3）当AB=时，四边形ACBF为正方形.
B
E
【分析】（1）由EF∥AB，得∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，证得△ABC≌△ABF；（2）连接FC，根据ADFE为菱形，确定出∠CAB的度数；（3）由四边形ACBF是
正方形，得AB=
AC.
【解析】解：（1）∵EF∥AB，
∴∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠BAF，
又AB=AB，AC=AF，∴△ABC≌△ABF（SAS）；（2）如图，连接FC，
B
E
∵四边形ADFE是菱形，
∴AE=EF=FD=AD，
∵CE=2AE，∠CFE=90°，
∴∠ECF=30°，∠CEF=60°，
∵EF∥AB，
∴∠AEF=∠CAB=60°，
故答案为：60°；
（3）由四边形ACBF是正方形，得AB AC.
【变式1-1】.如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．
（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；
（2）填空：
①若AB＝2，则△AOE的最大面积为；
②当DA与⊙O相切时，若AB，则AC的长为．
【答案】（1）见解析；（2）1 2；1.
【解析】解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，
∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝EC，又∵OB=OE，OC=OC，
∴△OBC ≌△OEC （SSS ），
（2）①∵AB ＝2，
∴OA ＝1，
设△AOE 的边OA 上的高为x ，
∴S △AOE ＝1
2OA ×h ＝1
2h ，
要使S △AOE 最大，需h 最大，
点E 在⊙O 上，h 最大是半径，
即：h 最大＝1
∴S △AOE 最大为：12；②如图所示，
当DA 与⊙O 相切时，则∠DAB ＝90°，
∵AD ＝AB ，
∴∠ABD ＝45°，
∵AB 是直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴AC ＝BC ＝2AB =1.
【例2】.如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，
与CA 的延长线相交于点
E ，过点D 作D
F ⊥AC 于点F ．
（1）试说明DF 是⊙O 的切线；
（2）①当∠C =°时，四边形AODF 为矩形；
②当tanC =时，AC =3AE ．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，点D在⊙O上，
∴DF是⊙O的切线；
（2）45°，理由如下：
由四边形AODF为矩形，得∠BOD=90°，∴∠B=45°，
∴∠C=∠B=45°，
故答案为：45°；
（3）2
2，理由如下，
连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE 2=AB 2－AE 2=8AE 2，
即BE =AE ，
在Rt △BEC 中，tanC =
42BE CE CE ==.
故答案为：2
.【变式2-1】.如图，在△ABC 中，AB =AC =4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点P 是AB 的延长线上一点，且∠PDB =12
∠A ，连接DE ，OE ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线．
（2）填空：①当∠P 的度数为______时，四边形OBDE 是菱形；
②当∠BAC =45°时，△CDE 的面积为_________．
【答案】（1）见解析；（2）30；2.
【解析】解：（1）连接OD ，
∵OB =OD ,∠PDB =
12∠A ，∴∠ODB =∠ABD =90°－12∠A =90°－∠PDB ，∴∠ODB +∠PDB =90°，
∴∠ODP =90°，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴PD 是⊙O 的切线.
（2）①30°，理由如下：
∠P =30°，则∠BOD =60°，
∴△BOD 是等边三角形，
∴∠ADP =30°，∠A =60°，
∴△AOE 是等边三角形，即∠AOE =60°，
∴∠EOD =60°，
∴△ODE 是等边三角形，
∴OB =BD =DE =OE ，
即四边形OBDE 是菱形；
②连接BE ，AD ，如上图，
∵AB 为直径，
∴∠ADB =90°，即AD ⊥BC ，∠AEB =90°，
∵AB =AC ，∴D 为BC 中点，
∴S △DCE =12
S △BCE ，∵∠BAC =45°，∴AE =BE ，△ABE 是等腰直角三角形，
∵AB =AC =4，∴AE =BE =CE =4-∴S △DCE =12
S △BCE ，=
12×12BE ·CE
=12×12×）
=2 .
【例3】.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ．
（1）求证：AC 2=AD ·AB ．
（2）点E 是∠ACB 所对的弧上的一个动点（不包括A ，B 两点），连接EC 交直径AB 于点F ，∠DAP =64°．
①当∠ECB =°时，△PCF 为等腰三角形；
②当∠ECB=°时，四边形ACBE为矩形．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接OC，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠CAD=∠CAO，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠D=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AD AC AC AB
,
即：AC2=AD·AB．
（2）①45；②58，理由如下：
①∵∠DAP=64°，
∴∠P=26°，∠CAB=∠DAC=32°，
∵∠CFP是△ACF的外角，
∴∠CFP>32°，即∠CFP≠∠P，
由∠PCB=∠CAB=32°，知∠FCP>∠PCB≠∠P，
由△PCD为等腰三角形，得PC=PF,
∴∠CFP=77°，
∴∠ACF=45°，∠ECB=90°－∠ACF=45°，
故答案为：45；
②由ACBE是矩形，得F与O重合，
∴∠ECB=90°－∠ACO=90°－32°=58°，
故答案为：58.
【变式3-1】.如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线BE∥AC，点P是优弧AC上一动点（不与A，C重合），连接PA，PB，PC，PB交AC于D．
（1）求证：PB平分∠APC；
（2）当PD=3，PB=4时，求AB的长．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连接OB，
则OB⊥BE，
∵BE∥AC，
∴OB⊥AC，
∴弧AB=弧BC，
∴∠APB=∠BPC，
∴PB平分∠APC；
（2）由（1）知，∠APB=∠BPC，∵∠BAC=∠BPC，
∴∠BAC=∠APB，
∵∠ABD=∠PBA，
∴△ABD∽△PBA，
∴AB BD PB AB
=,
即
1 4
AB
AB
=
∴AB=2，即AB的长为2.
1..如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB交于点D，过D作⊙O的切线交CB于E.
（1）求证：EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）证明：连接OD，
∵AC为直径，∠ACB=90°，
∴BC为⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE=CE，∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD+∠B=90°，
∴∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴EB=EC；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ODEC是正方形，
∴∠DEB=90°，
由（1）知CE=BE，
∴△BED是等腰直角三角形，
∠B=45°，
∴∠A=45°，
即AC=BC，
又∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
2..如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）填空：①当∠CAB=时，四边形AOED是平行四边形；②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为.
【答案】（1）见解析；（2）45；正方形.
【解析】（1）连接OD，BD，
∵AB为直径，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=CE，
∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DE，
即DE是⊙O的切线.
（2）①若四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，∴∠A=∠CDE，
∵∠CDE=∠C，
∴∠A=∠C，
∵∠ABC=90°，
∴∠A=45°；
②由∠A=45°，得∠ADO=45°，即∠DOB=90°，
∵∠EBO=∠ODE=90°，
∴四边形OBED是矩形，
∵四边形AOED是平行四边形，
∴∠EOB=∠A=45°，
∴∠EOB=∠OEB=45°，
∴OB=BE，
∴四边形OBED是正方形.
3..如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，CD平分∠ACB交AB于点D，点O在AC上，以CO为半径的圆经过点D，AE切⊙O于E．
（1）求证：AD=AE．
（2）填空：
①当∠ACB=_______时，四边形ADOE是正方形；
②当BC=__________时，四边形ADCE是菱形．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连接OE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠OCD=∠BCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠BCD，
∴OD∥BC，
∵∠B=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AD是圆O的切线，
∵AE是圆O的切线，
∴AD=AE.
，理由如下：
①∵ADOE是正方形，
∴OD=AD，
∴∠OAD=45°，
∴∠ACB=45°；
②四边形ADCE为菱形，
∴AD=CD，∠CAD=∠ACD，
∵∠BCD=∠ACD，
∴∠CDB=60°，∠BCD=30°，
∴CD=2BD，
∵AB=6，
∴BD=2，BC,
4..如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连结OB，
∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB，
∵CD⊥OA，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵∠CEB=∠AED，
∴∠DAE+∠CBE=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA+∠CBE=90°，即∠OBC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连结OF，OF交AB于H，（见上图）∵DF⊥OA，AD=OD，
∴FA=FO，
∵OF=OA，
∴△OAF为等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=1
2∠AOF=30°．
5..如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且弧BC=弧DF，连接AB，BC，CD．
求证：△CDE≌△ABC．
【答案】见解析.
【解析】证明：连接DF，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵四边形ACFD内接于⊙O，
∴∠CAE+∠CFD=180°，
∵∠CFD+∠DFE=180°，
∴∠CAE＝∠DFE，
∴∠DFE＝∠E，
∴DF＝DE，
∵弧BC=弧DF，
∴BC＝DF，
∴BC＝DE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
同理可得：∠B＝∠CDE，
在△CDE和△ABC中，
∵AC=CE，∠ABC=∠CDE，BC=DE，
∴△CDE≌△ABC．
6..如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
①当∠BOP＝时，四边形AOCP是菱形；
②连接BP，当∠ABP＝时，PC是⊙O的切线．
【答案】（1）见解析；（2）120；45．
【解析】（1）证明：∵PC∥AB，
∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM．
∵点M是OP的中点，
∴OM＝PM，
∴△CPM≌△AOM，
∴PC＝OA．
∵OA＝OB，
∴PC＝OB．
∵PC∥AB，
∴四边形OBCP是平行四边形．
（2）解：①∵四边形AOCP是菱形，
∴OA＝PA，
∵OA＝OP，
∴OA＝OP＝PA，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠A＝∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝120°；
②∵PC是⊙O的切线，
∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，
∵PC∥AB，
∴∠BOP＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠ABP＝∠OPB＝45°.
7..如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接AD、CD、OC．填空
①当∠OAC的度数为时，四边形AOCD为菱形；②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为．
【答案】（1）见解析；．
【解析】（1）证明：∵F为弦AC的中点，
∴AF＝CF，OF过圆心O
∴FO⊥AC，
即∠OFA=90°，
∵DE是⊙O切线，
∴OD⊥DE
即∠EDO=90°，
∴DE∥AC.
（2）①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：
连接CD，AD，OC，
∵∠OAC＝30°，OF⊥AC
∴∠AOF＝60°
∵AO＝DO，∠AOF＝60°
∴△ADO是等边三角形
∵AF⊥DO
∴DF＝FO，AF＝CF，
∴四边形AOCD是平行四边形
∵AO＝CO
∴四边形AOCD是菱形.
②连接CD，
∵AC∥DE,OA=AE=2，∴OD＝2OF，DE＝2AF
∵AC＝2AF，∴DE＝AC，且DE∥AC
∴四边形ACDE是平行四边形
∵OA＝AE＝OD＝2
∴OF＝DF＝1，OE＝4
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE，
＝DE×DF
∴S
四边形ACDE
×1
.
8..如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB，E是半圆AGF上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当弧AE的长度是时，四边形ABDE是菱形；
②当弧AE的长度是时，△ADE是直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）2
3
π
；
3
π
或π．
【解析】（1）证明：连接OD，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝1
2BC，
∵D是斜边BC的中点，
∴BD＝1
2BC，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODB＝∠BAO＝90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线．
（2）①若四边形ABDE是菱形，连接OE，
则AB∥DE，
∵∠BAC =90°，
∴DE ⊥AC ，
得：AD ＝BD ＝AB ＝CD ＝12
BC ∴△ABD 是等边三角形，OD ＝1，
∴∠ADB ＝60°，
∵∠CDE ＝60°，
∴∠ADE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠CDE ＝60°，
∴∠AOE ＝2∠ADE ＝120°，
∴弧AE 的长度为：
1201180π?=23π；故答案为：23
π；②∵AD 为弦（不是直径），
∴∠AED ≠90°，
（i ）若∠ADE ＝90°，则点E 与点F 重合，弧AE 的长度为：1801180
π?＝π；（ii ）若∠DAE ＝90°，则DE 是直径，则∠AOE ＝2∠ADO ＝60°，
弧AE 的长度为：
601180π?=13π；故答案为：13
π或π．9..如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径，作⊙A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作AB 的平行线交⊙A 于点F ，连接AF ，BF ，DF ．
（1）求证：△ABC ≌△ABF ；
（2）填空：
①当∠CAB ＝°时，四边形ADFE 为菱形；
②在①的条件下，BC ＝cm 时，四边形ADFE 的面积是2．
【答案】（1）见解析；（2）①60；②6．