专题22正方形存在性问题巩固练习(基础)-冲刺2020年中考几何专项复习(解析版)

正方形存在性问题巩固练习（基础）

1.如图，在直角梯形乂8CQ中，, JD=24厘米，厘米，8C=30厘米，动点尸从,4开始沿乂。边向D以每秒1厘米的速度运动，动点。从点C开始沿CB边向3以每秒3厘米的速度运动，尸，。分别从点工、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为，秒.

（7）当r在什么时间范围时，CQ>PD?

（2）存在某一时刻f,使四边形a产@是正方形吗？若存在，求出/值；若不存在，请说明理由.

【解答】3）当SVfWJO时，CQ>PDx（2）不存在

【解析】3）•••CQ=3f, 24 7,

，由C0>尸。有3>24-f,解得

又。尸、。点的运动时间只能是30+3=10 （s）,

：.6PD.

（2）若四边形是正方形，则,〃>=乂3且3。=,始，

••JXr=8 且30-3r=8,

显然无解，即不存在，的值使得四边形.小。是正方形.

2.如图，在矩形X3CZ）中，X8=16c〃，，3=如〃,动点尸、。分别从工、C同时出发，点尸以每秒3CM 的速度向8移动，一直达到8止，点。以每秒2s〃的速度向。移动.

3）产、。两点出发后多少秒时，四边形P8C。的面积为36“/?

（2）是否存在某一时刻，使P8C。为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由.

A D

【解答】3）产、。两点出发后4秒时，四边形尸BC。的面积为36s/；（2）不存在

【解析】3）设尸、。两点出发f秒时，四边形尸BC0的而积为36c〃上

由矩形得NB=NC=90° , XB〃CD,

所以四边形尸B C。为直角梯形，

故S ^-PBCQ=；（CO+PB ）*BC.又S ^-PBCQ=36,

所以9（2t+16- 3t>6=36,解得r=4（秒）；

（2）不存在.因为要使四边形产BC0为正方形，则尸3=BC=C0=6,

所以P点运动的时间为电U 二¥秒，Q点运动的时间是3秒，J O

尸、。的时间不一样，所以不存在该时刻.

3.如图，正比例函数y = ax与反比例函数y= A （x>0）的图象交于点时（通,/）J

（7）求这两个函数的表达式：

（2）如图，若NAMB=90° ,且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点,4、8.求四边形。外四的面积. （3）如图2,点尸是反比例函数歹=& （£>0）的图象上一点，过点尸作x轴、y轴的垂线，垂足分别为£x F，尸尸交直线。呸于点H，过作x轴的垂线，垂足为G.设点尸的横坐标为机，当血>通时，是否存在

点尸，使得四边形尸EG〃为正方形？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

Z?

【解答】3)y=x, y=_；(2) 6； (3) P (2/,收)

【解析】3）将点分别代入与v=上得:

=a\/Z6，解得:a = l, k=6,

.••这两个函数的表达式分别为：y=x, y=^.

（2）如图，过点M分别做,x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D.

则, /AMC= NBMD=90' - ZAMD. MC=AfD= ,

:AlMgABMD,

•、S，边形0cM D=S 边形。4M8=6.

（3）设P 点坐标为G,-）,则PE=HG=GE=9, OE=X,x x

•：4MOE=45° ,

：.OG=GH=-, x

：.OE=OG+GH= —.

解得、=2遍，

••.尸点坐标为（2代,避）.

4.如图，在平而直角坐标系中且,4 （-1, 0）, B（0, 2）抛物线y=aS+ax - 2经过点C.

（7）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点尸、Q,使四边形ABPQ为正方形？若存在，求点P、0 的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】3) y=1一+ 1x-2： (2) P (2, 1)、O(1, - 7)

【解析】3)由得。。=2+1 = 3, CD=1

・・・C点坐标为(-3, 7),

・•・抛物线经过点C

：.l=a( -3)、( -3) -2, ._ 1

••。一"

・••抛物线的解析式为Jx-2：

（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点尸、。，使四边形,空尸。是正方形.

以33为边在月8的右侧作正方形乂8尸。过尸作PE_L03于E, 0G，x轴于G,可证△2班•乌

：.PE=AG=B0=2, BE=QG=AO=1,

・•・尸点坐标为（2, 1）, Q点坐标为a, -n.

由（1）抛物线、=，/+ [x - 2,

当x=2时，y=1；当x=1时，y=・1

:.p.。在抛物线上.

故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点尸（2, 1）. O （A -1）,使四边形.如。是正方形. 5.已知：〃，&是方程/+2「24=0的两个实数根，且门72,抛物线+以+c 的图象经过点H （〃， 0）, B （0, &）.

（7）求这个抛物线的解析式：

（2）设点产G, y ）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OE40是以0.4为对角线的平行四边形， 求平行四边形。融。的而积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当平行四边形。以。的面积为24时，是否存在这样的点尸，使平行四边形。用。

为正方形？若存在，求出产点坐标：若不存在，说明理由.

o y' ■

B

A 0 k

p

【解答】⑺y=鼠2+4升央(2) S= -4 (x+，？+25 ( - 6

【解析】3)/+2f-24=0, (f+d) (f-4) =0, ・ 6, t2=4

，乂 < - 6, 0), B (0. 4)

;抛物线产看/+云+c 经过$8两点.

"=•!/+4 v +4 J M

（2） ;点尸（x, y ）在抛物线上，位于第三象限,

又,：S=2S ：APO =2X ；

：.S= - 6y 24-66 + c = 0' 解得 ,14 6=

T ,

c = 4

«5 o

=-4 (S+Zx+6)

•••抛物线与无轴的交点坐标为（-6, 0）, （ -1, 0）, •••X 的取值范围为YVxV-L

（3）当 S=24 时，得 24=-4 （什］）?+25,

解得：x 尸-3, X2- - 4

代入解析式得：yi= - 4，y2= - 4.

，点尸的坐标为（-3, -4）, （-4, -4）

当点尸为（-3, -4）时，满足尸O=EL 此时，平行四边形。目0是菱形.

当点尸为（-4, -4）时，不满足尸。=EL 此时，平行四边形。口。不是菱形.

而要使平行四边形。口。为正方形，那么，一定有Od_LP 。，乂。=产。，

此时，点尸的坐标为（-3, -3）,而（-3, -3）不在抛物线尸 焉1+?/4上， J J

故不存在这样的点尸，使四边形。口。为正方形.

6.如图，抛物线y=-a/+6x+5过点（1, 2）、（4, 5）,交y 轴于点8,直线,43经过抛物线顶点$交、 轴于点C,请解答下列问题：

（7）求抛物线的解析式：

（2）点。在平面内，在第一象限内是否存在点P ，使以,4, B, P,。为顶点的四边形是正方形？若存在, 直接写出点尸的坐标：若不存在，请说明理由.

【解答】3)y=--4x+5： (2) P (6, 3)或(4, 7)

【解析】3) :抛物线y=-。/+&+5过点(1, 2)、(4, 5),

一解得Ir ；

令y=0时,

2 <14 A 门 尸+丁、+4=0,

-16a + 46+ 5 = 5 [6 = -4

・ ••抛物线解析式为- 4x+5：

(2)在y=/-4x+5 中，令 x=0 可得y=5,

：.B (0, 5),

・ •?=1-4升5= (x-2) 2+1,

：.A (2,，)，

・ ,. AB = ^22+ (1-5) 2 = 2巡,

2 〃 -4- 7? = 1

( k - 7 ,解得《一 n = o I n

・•・直线，曲解析式为y= - 2x+5, ①当时,如图，

可设直线ET 解析式为）u4x+m,把乂（2, 1）代入可得"冶=1,解得加=优

•••宜线E4解析式为y= Jx,

，可设点尸坐标为G, 1x ）,

‘R4 ='（3：_2）2+—1），

•・•四边形E 』B 。为正方形，

，E4=,15,即-2/+6鸳-1） =2，§，解得x=-2或x=6

•••点产在第一象限内.

-2不符合题意，舍去，故x=6,此时尸点坐标为（6, 3）；

②当产8L 访时，如图2,

{

可设直线尸8解析式为p=2x+s,把3 （0, 5）代入可得s=5,

・••直线尸瓦解析式为y= Jx+5,

•••可设尸点坐标为G, ix+5）,

・•.?〃= ,/+ 伶/ + 5—5）2,

同理可得\%2+（$。+ 5 — 5『=2/,解得x=-4 （舍去）或x=4,此时尸点坐标为（4, 7）：

综上可知存在满足条件的点尸，其坐标为（6, 3）或（4, 7）.

7.如图，在平面直角坐标系中，点M是动点且纵坐标为6,点8是线段。4上一动点，过点8作直线MN 〃'轴，设MV分别交射线。4与x轴所成的两个角的平分线于点E、F.

3）求证：EB=BF；

（2）当*为何值时，四边形XEOF是矩形？证明你的结论；

（3）是否存在点.4、B,使四边形,4EOF为正方形？若存在，求点*与8的坐标；若不存在，说明理由.

【解答】3）见解析：（2）是，见解析：（3）A（0, 6）, B（0, 3）

【解析】3）证明：尸平分。T与x轴正方向的夹角，如图所示:

•，WV〃x 轴，=

，N2=N3,:・BO=BF.

同理可得88二8。，：.BE=BF：

（2）当黑的值为a时，四边形XEOF是矩形.理由如下：

•.,需=4,即5。=切,

而BE=BF、

••・四边形AEOF为平行四边形，

分别交射线。只与x轴所成的两个角的平分线于点E、F.

：.ZEOF= i X180°=90° ,二四边形XEOF 是矩形：

（3）存在.

•・•四边形JEO产是矩形，

...当Q4_LEF时，四边形.1£。产为正方形，

而E尸〃x轴，

.•.CU_L.x 轴，.••点X 在y 轴上，

•••点。的坐标为（。，6）,

•：BO=BA, .'.B 点坐标为（0, 3）.

8.如图，已知二次函数j，=a/+c图象的顶点为点“（0, -9）,且经过点H （3, 0）.

（7）求此二次函数的关系式：

（2）设点。（x, y）是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点C的坐标为（-5, 0）,四边形，曲CD 是以为对角线的平行四边形.

①求平行四边形."CD的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范闱：

②当点8在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形,488的面积：

③当平行四边形.铝8的面积为64时，请判断平行四边形.曲CD是否为菱形？

④是否存在点使平行四边形为正方形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】a)y=/-免⑵①S = -8N2 + 72 (-3Vx<0),②40,③是菱形：(4)不存在

【解析】（7）由题意得I「二-9 解得

9。+ c = 0

故二次函数的关系式为7=--仇

（2）®D（x, y）在二次函数的图象上，且位于第三象限, ：.y<0,即-y>0, -y表示点。到dC的距离.•・FC是平行四边形，曲8的对角线，

.•.S = 2Sae = 2x ⑷=-8y =-8^ + 72.

当y=0 时，x2- 9=0.得'=±3

所以二次函数的图象与X轴的另一个交点是（-3, 0）, 所以，自变量x的取值范围是-3VxV0.

②如图：当点5在此二次函数图象的对称轴上时，

:四边形＜38是平行四边形,

：.AB=CD, ZDCE= ZBAO,/CED= /AOB=90" ,

UBOWMDE

•・•点B在二次函数的图象的对称轴上。:1=3,

CE=OA=3 .

所以OE=2,所以当x=-2 时，y=-5. S=40；

③根据题意，当S=64时，即-8『+72=64.

解之，得xj = L X2= ~ 1.

故所求的点。有两个，分别为D a, -8）（舍去），（T, -8）,

所以平行四边形一"8不是菱形（或者说明点。不在第三象限）；

点n（-i, -8）满足。c=zu,

所以平行四边形8是菱形.

④当aC_LBZ）,且时，

平行四边形XBCQ是正方形，此时点。的坐标只能是（-1, -4）.

而坐标为（-1, -4）的点不在二次函数的图象上，

故不存在这样的点。，使平行四边形488为正方形.

9.如图（1），在平面直角坐标系中，直线丁=-升”交y轴于点上，交x轴于点3,点C为08的中点，作C关于直线."的对称点尸，连接8尸和。巴0F交AC于点E,交,43于点M.

3）直接写出点尸的坐标（用〃，表示）：

（2）求证：。尸_L4C：

（3）如图（2）,若加=2,点G的坐标为（-0）,过G点的直线GA y=kx+b （k^O）与直线,45始O

终相交于第一象限；

①求左的取值范围；

②如图（3）,若直线G尸经过点M,过点河作GM的垂线交尸3的延长线于点。，在平面内是否存在点0, 使四边形。3/G。为正方形？如果存在，请求出。点坐标：如果不存在，请说明理由.

二岂:红0 C o c

图（1）图（2）

【解答】3）F（m,（2）见解析：（

【解析】3）y=-Hm.令x=0,则

y八

"w

0 c、左

图⑴

故点乂、8的坐标分别为：（0,小）、（加，0

如图（2）作点。的对称轴F交.出于点火,则NKCB=45° •PPJ RC=RB=RF,

:.NRBF=45°,即F8_Lx 轴，

故点产（m,；加：

（2）9：OC=BF= OB=OA.

:A+OgAOBF （HL，

：・4OAC=4FOB,

V ZOAC+ZAOE=90Q,

A ZOAC^ZAOE=90C,

ZAEO=90a ,

:.OFLACx

（3）①将点（-4，0）代入y=b+6得：

<5

x

图（3）

3）®0

,令尸=0，贝ijx=m,则N15O=45° ,

）,则点。（孑加，0）, 贝Ijc尸，

CR=FR.

:卜，I 3|/=3A + 3

由一次函数图象知：k>0.

解得：0

宜线OF 的表达式为：g =1了，宜线,15的表达式为：y= - x+2, x =—，故点 M （ W ）. •5 J J

直线GM 所在函数表达式中的左值为4 ,则直线所在直线函数表达式中的左值为-1， 5 2

将点材坐标和直线。 M 表达式中的左值代入一次函数表达式并解得：

直线。M 的表达式为：），=x+4,故点。（2,-，）， 过点M 作X 轴的垂线于点N,作X 轴的平行线交过点G 于y 轴的平行线于点S,

过点G 作y 轴的平行线交过点。与x 轴的平行线于点T,

则」@=尹.磔=2 -导近，GN. = -1 =DH= 1 - （-2） =p ：AMNG 沿4MHD (HL), :・MD=MG,

r

9

则△GT0/Z \MSG,则 GT=」WS=GN=±, TQ=SG=MN= - > J

o 故点 Q （ 1，~ -TV ）- <5 •••交点在第一象限,则 7k

3A + 3

>0

2020年中考数学冲刺专题：几何探究和证明(含答案)

2020中考数学冲刺专题：几何探究与证明（含答案） 1.如图①，已知在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD 交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG. 第1题图 (1)求证：EG＝CG； (2)将图①中△BEF绕点B逆时针旋转45°，则点F落在对角线BD上，如图 ②，取DF中点G，连接EG，CG.问EG和CG相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由； (3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，问线段EG和CG有何关系？(请直接写出答案) (1)证明：∵在正方形ABCD中， ∴∠BCD＝90°.

∵EF⊥BD， ∴∠FED＝90°. ∵G为DF中点， ∴EG＝1 2DF，CG＝1 2DF. ∴EG＝CG； (2)解：EG＝CG. 证明：如解图①，延长EF交CD于点H，连接GH， 第1题解图① ∵在正方形ABCD中， ∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴∠EBF＝1 2 ∠ABC＝45°. ∵EF⊥AB，

∴∠FEB＝90°， ∴∠EFB＝90°－∠EBF＝45°， ∴∠EBF＝∠EFB， ∴BE＝FE. ∵∠BCD＝∠ABC＝∠BEF＝90°，∴四边形EBCH是矩形， ∴HC＝EB＝EF，∠FHC＝90°，∴∠FHD＝180°－∠FHC＝90°. ∵CD∥EB， ∴∠HDF＝∠EBF＝45°， ∴∠DFH＝90°－∠HDF＝45°，∴∠HDF＝∠DFH， ∴HD＝FH. ∵G为DF中点， ∠DHF＝45°， ∴∠DHG＝1 2

∴∠GHC＝180°－∠DHG＝135°. ∵∠EFG＝180°－∠DFH＝135°， ∴∠GHC＝∠EFG， ∵在Rt△DHF中，G为DF中点， ∴GH＝1 2DF＝GF， ∴△EFG≌△CHG(SAS)， ∴EG＝CG； (3)解：EG＝CG，EG⊥CG. 【解法提示】如解图③，理由如下： 第1题解图② 过点F作CD的平行线并延长CG交于点M，连接EM、EC，过点F作FN 垂直于AB于点N，∵G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又

2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析

2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析 1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是； （2）如果＝，那么＝； （3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明． 2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC． （1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF； （2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明． 3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD． （1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系； （2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明． 4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G． （1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；

（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF ＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论． 5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF． （1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数； （2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长； （3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？ 若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由． 6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点． （1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点； （2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，

2020年中考数学二轮复习(通用)专题：几何压轴题型含答案

几何压轴题型 类型一动点探究型 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右 侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化． (1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________； (2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)； (3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积． 【分析】 (1)要求BP与CE的数量关系，连接AC，由菱形和等边三角形的性质根据SAS可证明△ABP≌△ACE，从而证得BP＝CE，且∠ACE＝30°，延长CE交AD于点F，可得∠AFC＝90°，所以CE⊥AD；

(2)无论选择图②还是图③，结论不变，思路和方法与(1)一致； (3)要求四边形ADPE的面积，观察发现不是特殊四边形，想到割补法，分成钝角△ADP和正△APE，分别求三角形的面积，相加即可． 【自主解答】 解：(1)BP＝CE；CE⊥AD； (2)选图②，仍然成立，证明如下： 如解图①，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BA＝BC， 例1题解图① ∴△ABC为等边三角形， ∴BA＝CA. ∵△APE为等边三角形， ∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°， ∴∠BAP＝∠CAE. 在△BAP和△CAE中，

例1题解图② ∴△BAP≌△CAE(SAS)， ∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°. ∵AC和BD为菱形的对角线， ∴∠CA D＝60°， ∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD. 选图③，仍然成立，证明如下： 如解图②，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H， 同理得△BAP≌△CAE(SAS)， BP＝CE，CE⊥AD. (3)如解图③，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H，由(2)可知，CE⊥AD，CE＝BP. 在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴EC⊥BC. ∵BC＝AB＝23，BE＝219， ∴在Rt△BCE中， CE＝（219）2－（23）2＝8，

专题22正方形存在性问题巩固练习(基础)-冲刺2020年中考几何专项复习(解析版)

正方形存在性问题巩固练习（基础） 1.如图，在直角梯形乂8CQ中，, JD=24厘米，厘米，8C=30厘米，动点尸从,4开始沿乂。边向D以每秒1厘米的速度运动，动点。从点C开始沿CB边向3以每秒3厘米的速度运动，尸，。分别从点工、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为，秒. （7）当r在什么时间范围时，CQ>PD? （2）存在某一时刻f,使四边形a产@是正方形吗？若存在，求出/值；若不存在，请说明理由. 【解答】3）当SVfWJO时，CQ>PDx（2）不存在 【解析】3）•••CQ=3f, 24 7, ，由C0>尸。有3>24-f,解得 又。尸、。点的运动时间只能是30+3=10 （s）, ：.6PD. （2）若四边形是正方形，则,〃>=乂3且3。=,始， ••JXr=8 且30-3r=8, 显然无解，即不存在，的值使得四边形.小。是正方形. 2.如图，在矩形X3CZ）中，X8=16c〃，，3=如〃,动点尸、。分别从工、C同时出发，点尸以每秒3CM 的速度向8移动，一直达到8止，点。以每秒2s〃的速度向。移动. 3）产、。两点出发后多少秒时，四边形P8C。的面积为36“/? （2）是否存在某一时刻，使P8C。为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由. A D 【解答】3）产、。两点出发后4秒时，四边形尸BC。的面积为36s/；（2）不存在

【解析】3）设尸、。两点出发f秒时，四边形尸BC0的而积为36c〃上 由矩形得NB=NC=90° , XB〃CD, 所以四边形尸B C。为直角梯形， 故S ^-PBCQ=；（CO+PB ）*BC.又S ^-PBCQ=36, 所以9（2t+16- 3t>6=36,解得r=4（秒）； （2）不存在.因为要使四边形产BC0为正方形，则尸3=BC=C0=6, 所以P点运动的时间为电U 二¥秒，Q点运动的时间是3秒，J O 尸、。的时间不一样，所以不存在该时刻. 3.如图，正比例函数y = ax与反比例函数y= A （x>0）的图象交于点时（通,/）J （7）求这两个函数的表达式： （2）如图，若NAMB=90° ,且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点,4、8.求四边形。外四的面积. （3）如图2,点尸是反比例函数歹=& （£>0）的图象上一点，过点尸作x轴、y轴的垂线，垂足分别为£x F，尸尸交直线。呸于点H，过作x轴的垂线，垂足为G.设点尸的横坐标为机，当血>通时，是否存在 点尸，使得四边形尸EG〃为正方形？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由. Z? 【解答】3)y=x, y=_；(2) 6； (3) P (2/,收) 【解析】3）将点分别代入与v=上得: =a\/Z6，解得:a = l, k=6, .••这两个函数的表达式分别为：y=x, y=^. （2）如图，过点M分别做,x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D. 则, /AMC= NBMD=90' - ZAMD. MC=AfD= ,

2020年九年级中考数学 压轴专题 几何探究题(含答案)

2020中考数学 压轴专题 几何探究题（含答案） 1. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”． 第1题图 (1)概念理解：请你根据定义举一个“等邻角四边形的”例子； (2)问题探究：如图①，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD 、BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接AC 、BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由． (3)应用拓展：如图②，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°)得到Rt △AB ′D ′(如图③)，当凸四边形AD ′BC 为“等邻角四边形”时，求出它的面积． 解：(1)矩形；(答案不唯一) (2)AC ＝BD ；如解图①所示，连接PD 、PC ， ∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线， ∴P A ＝PD ，PB ＝PC ， ∴∠P AD ＝∠PDA ，∠PBC ＝∠PCB ， ∴∠DPB ＝180°－∠DP A ＝∠P AD ＋∠PDA ＝2∠P AD ，同理可得∠APC ＝2∠PBC ， ∵∠DAB ＝∠ABC ，即∠P AD ＝∠PBC ， ∴∠APC ＝∠DPB ，在△APC 和△DPB 中，???? ?PA ＝PD ∠APC ＝∠DPB PB ＝PC ，

△APC ≌△DPB (SAS)， ∴ AC ＝BD . 第1题解图① (3)①当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，如解图②所示，延长AD ′交CB 的延长线于点E ，过点D ′作DF ⊥CE 于点F ， ∠ED ′B ＝∠EBD ′， ∴EB ＝ED ′， ∵∠C ＝∠EFD ′，∠EAC ＝∠ED ′F ， ∴△ED ′F ∽△EAC ， 则 D ′F AC ＝ED ′ AE ， 设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理可知，在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝ 52－32＝4， 则AD ′＝4，CE ＝3＋x ，AE ＝4＋x ， 在Rt △ACE 中，AC 2＋CE 2＝AE 2，即42＋(3＋x )2＝(4＋x )2， 整理得：2x －9＝0，解得x ＝92，EB ＝ED ′＝9 2， ∴AE ＝172，∴D ′F 4＝9 2112 ，∴D ′F ＝36 17 ， S 四边形AD ′BC ＝S △ACE －S △D ′BE ＝12AC ·CE －12D ′F ·BE ＝12×4×(3＋92)－12×92×3617＝15－8117＝174 17 ；

2020-2021学年九年级中考专题复习：正方形及四边形综合问题(含答案)

2020-2021中考专题复习：正方形及四边形综合问题 一、选择题 1. 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了() A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH的形状是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为() A. 2 B. 2 2 C. 2＋1 D. 22＋1 4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为()

A.60° B.67.5° C.75° D.54° 6. （2020·湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°，到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，若BG=3，CG=2，则CE的长为( ) A. B. C.4 D. 7. （2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③222 PE PF PO；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②③④⑤ D. ③④⑤ B C D E F M N O 8. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是() A. 3＋3 18 B. 3＋1 18 C. 3＋3 6 D. 3＋1 6

2020年数学中考复习：压轴几何证明题的解法(含答案)

2020年数学中考复习：压轴几何证明题的解法 1.(2019.葫芦岛)如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =900，D 是射线CB 上一点（点D 不与点B 重合），以AD 为斜边作等腰直角三角形ADE （点E 和点C 在AB 的同侧），连接CE 。 （1）如图①，当点D 与点C 重合时，直接写出CE 与AB 的位置关系；（2）如图②，当点D 与点C 不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当∠EAC =150时，请直接写出AB CE 的值。 解析：（1）由∠ECA =∠CAB =450 ,可得EC ∥AB 。（2）由22=AB AC =AD AE ,且∠EAC =∠DAB ,可得△EAC ∽△DAB 进而得出 ∠ECA =∠DBA =450=∠CAB ,所以CE ∥AB .(3)此问分两种情况点D 在BC 上，点D 在CB 延长线上。①当点D 在BC 上时，如图（2），此时∠CAB =150能得出∠CAD =300，这样就有 33=AC CD ,也就是BC -DB =3 3AC ,BC =AC ,所以BD =3 33－AC 。又由△EAC ∽△DAB 得

21=BD CE ,因此有BD =2CE ，所以可得CE =6623－AC ，又AB =2AC ，因此AB CE =６３－3.当D 点在CB 延长线上时，∠CDA =300,解三角形得3AC =3CD 。CD =BC +BD ,由△AEC ∽△ABD ,可得BD =2AC ，就能得到CE =ＡＣ２ －１3,AB =2AC ，所以２－１3=AB CE . 2.(2019.沈阳）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD =200米，那么A ,B 间的距离是_200_米。（2）在△ABC 和△ADE 中，AC =BC ，AE =DE ，且AE

2020年中考数学一轮复习：《几何变换综合大题》专项练习题(含答案)

2020年中考数学一轮复习：《几何变换综合大题》专项练习题 1．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）若C，D，E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F，求证：△BAD≌△CAE．（2）在第（1）问的条件下，求证：BD⊥CE； （3）将△ADE绕点A顺时针旋转得到图2，那么第（2）问中的结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由． 2．如果两个角之差的绝对值等于45°，则称这两个角互为“半余角”，即若|∠α﹣∠β|＝45°，则称∠α、∠β互为半余角．（注：本题中的角是指大于0°且小于180°的角） （1）若∠A＝80°，则∠A的半余角的度数为； （2）如图1，将一长方形纸片ABCD沿着MN折叠（点M在线段AD上，点N在线段CD上）使点D落在点D′处，若∠AMD′与∠DMN互为“半余角”，求∠DMN的度数； （3）在（2）的条件下，再将纸片沿着PM折叠（点P在线段BC上），点A、B分别落在点A′、B′处，如图2．若∠AMP比∠DMN大5°，求∠A′MD′的度数． 3．知识背景

我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． 问题：如图1，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，D是BC的中点，以AD为腰作等腰△ADE，且满足∠DAE＝90°，连接CE并延长交BA的延长线于点F，试探究BC与CF之间的数量关系． 发现：（1）BC与CF之间的数量关系为． 探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点（除B、C外）时，其他条件不变，试猜想BC与CF之间的数量关系，并证明你的结论． 拓展：（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出△BCF的形状． 4．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△AOB的顶点A的坐标为（0，4），顶点B在x轴上（点B在点O的右侧），点C在AB上，连接OC，且BC＝OC． （1）如图1，求点C的纵坐标； （2）如图2，点D在x轴上（点D在点O的左侧），点F在AC上，连接DF交OA于点E，若∠ACO+∠DEO＝2∠AFE，求证，DE＝2EO； （3）如图3，在（2）的条件下，AG是△AOB的角平分线，点M与点B关于y轴对称，过点M作MP⊥AG，MP分别交AO，AC于点N，P，若DE＝AB，EN＝PC，求点E的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C

2020年中考数学重难点专练05 几何综合题(解析版)

重难点05 几何综合题 【命题趋势】 几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在．几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较重，题目数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置．只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动点问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大．所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题． 【满分技巧】 一．熟练掌握平面几何知识﹕ 要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识． 二．掌握分析问题的基本方法﹕分析法、综合法、“两头堵”法﹕ 1．分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所有的条件都已知为止即可． 2．综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题； 3．“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略． 三．注意运用数学思想方法﹕ 对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化、类比、归纳等等．

2020年九年级数学中考经典几何题讲义系列：动点存在性问题

中考经典几何题系列：动点存在性问题 目录 一、建立函数解析式 二、动态几何型压轴题 三、双动点问题 四、函数中因动点产生的相似三角形问题 五、圆的动点问题 六、经典练习题（一） 七、经典练习题（二）

“动点存在性问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1（上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=32NH=2 1 32⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 2 2 2 36x PH OP OH -=-=, ∴ 2362121x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . ∴y =GP= 32MP=23363 1 x + (0

专题 尺规作图中的综合问题 2020年中考数学冲刺难点突破 几何问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破几何问题 专题尺规作图中的综合问题 1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M 和N，再分别以点M和N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．则下列结论：①AD是△ABC的角平分线；②点D在线段AB的垂直平分线上；③∠ADC＝60°；④S△ADC：S△ABC＝1：3；⑤AB＝2CD，其中正确结论的个数是（） A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】D． 【分析】由题意可知AD平分∠CAB，求出∠DAB，∠CAD，利用直角三角形30°角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°， 由作图可知：AD平分∠CAB故①正确， ∴∠DAB＝∠CAB＝30°＝∠B， ∴DA＝DB， ∴点D在ZB的垂直平分线上，故②正确， ∵∠ADC＝∠DAB+∠B＝60°，故③正确， ∵∠CAD＝30°，

∴AD＝BD＝2CD， ∴CD＝BC， ∴S△ADC：S△ABC＝1：3，故④正确， 设CD＝a，则AD＝BD＝2a，BC＝3a， ∴AB＝＝2a＝2CD，故⑤正确， 故选：D． 2、如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，张老师要求学生利用所学知识作出一个菱形．甲、乙两位同学的作法如下： 甲：如图1，连接AC，作AC的中垂线交BC、AD于点E、F，则四边形AECF是菱形．乙：如图2，分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（） A．仅甲正确B．仅乙正确 C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误 【答案】C． 【分析】首先证明△AOM≌△CON（ASA），可得MO＝NO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF 是菱形． 【解答】解：甲的作法正确；

2020年中考数学专题复习卷：几何图形的动态问题精编(含解析)

几何图形的动态问题精编 1.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】：分三种情况讨论： ①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB= ，∴AE=1，∴S= BP×AE= ×t×1= t； ②当2＜t≤ 时，S= = ×2×1=1； ③当＜t≤ 时，S= AP×AE= ×（-t）×1= （-t）． 故答案为：A． 【分析】根据题意分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当 2 + ＜t≤ 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。

2.如图，边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,△BEF的周长最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】：连接BD ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∵∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB=DB，∠BDF=60° ∴∠A=∠BDF 又∵AE+CF=a， ∴AE=DF， 在△ABE和△DBF中， ∴△ABE≌△DBF（SAS）， ∴BE=BF，∠ABE=∠DBF， ∴∠EBF=∠ABD=60°， ∴△BEF是等边三角形． ∵E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,

要使△BEF的周长最小，就是要使它的边长最短 ∴当BE⊥AD时，BE最短 在Rt△ABE中，BE== ∴△BEF的周长为 【分析】根据等边三角形的性质及菱形的性质，证明∠A=∠BDF，AE=DF，AB=AD，就可证明△ABE≌△DBF，根据全等三角形的性质，可证得BE=BF，∠ABE=∠DBF，再证明△BEF是等边三角形，然后根据垂线段最短，可得出当BE⊥AD时，BE最短，利用勾股定理求出BE的长，即可求出△BEF的周长。 3.如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向 运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出 发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( ) A. B.

2021年中考数学几何专项复习 专题22 正方形存在性问题知识精讲

正方形存在性问题知识精讲 一、关于正方形的基础知识 1.正方形的定义 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形； 2.正方形的性质(正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质) 边：四边相等，邻边垂直，对边平行； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 正方形是轴对称图形，有4条对称轴； 正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心. 3.正方形的判定 四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形； 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形. 4.特殊四边形之间的关系如图所示： 二、正方形存在性问题解决策略 1.从未知量的角度来看，正方形可以有4个未知量，所以它的坐标应满足4个等量关系，互相平分2个，垂直(1个)且相等(1个). 已知平面内2个定点，可以在平面内确定2个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确

定点，很有可能会出现不存在的情况(未知量小于方程个数，无解). 解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！ 2.解决正方形存在性问题常用方法 ①从正方形判定入手 若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等； 若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可. ②构造三垂直全等 若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再进一步求出第4个点. 若题目中给了4个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添加某些条件，使得其构成一个正方形. 例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动，问： (1)P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？ (2)是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【解答】(1)P，Q或PQ的长度为10cm；(2)不存在 【解析】(1)过点P作PH⊥CD于点H，如图所示： ∴HQ＝16﹣5t， ∴PQ2＝PH2+HQ2，

复2020年人教版中考数学复习 杂的几何计算(小题) 练习题 (无答案)

复杂的几何计算 1．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为 ． 2．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ． 3．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为______ 4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD= 时，平行四边形CDEB 为菱形。 5．如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3．点M 是边BC 上一点，点N 是边AC 上一点（不与点A 、C 重合），且MB=MN ，则MB 的取值范围是 ． N M C B A 6．在△ABC 中，sin ∠A=sin ∠B=4 5 ，AB=12，M 为AC 的中点，BM 的垂直平分线交AB 于点N ，那么BN 的长为 ．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD 和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是。 8．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=12，点M在AC上，点N在AB上，则BM+MN的最小值为． 9．如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．

2020年中考数学二轮专项冲刺复习——填空题、压轴题型(含详细解答)

2020年中考数学二轮专项冲刺复习——填空题、压轴题型 1、（2019天津•中考 第17题•3分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若5DE =，则GE 的长为 4913 ． 【考点】正方形的性质；PB ：翻折变换（折叠问题） 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，ABF GBF ∆≅∆，BF 垂直平分AG ，先证ABF DAE ∆≅∆，推出AF 的长，再利用勾股定理求出BF 的长，最后在Rt ADF ∆中利用面积法可求出AH 的长，可进一步求出AG 的长，GE 的长． 【解答】解：Q 四边形ABCD 为正方形， 12AB AD ∴==，90BAD D ∠=∠=︒， 由折叠及轴对称的性质可知，ABF GBF ∆≅∆，BF 垂直平分AG ， BF AE ∴⊥，AH GH =， 90FAH AFH ∴∠+∠=︒， 又90FAH BAH ∠+∠=︒Q ， AFH BAH ∴∠=∠， ()ABF DAE AAS ∴∆≅∆， 5AF DE ∴==， 在Rt ADF ∆中， 222212513BF AB AF =++， 1122 ABF S AB AF BF AH ∆==g g ， 12513AH ∴⨯=， 6013 AH ∴=， 120213AG AH ∴==， 13AE BF ==Q ， 12049131313 GE AE AG ∴=-=-=， 故答案为：4913 ．

2、（2019陕西•中考 第14题•3分）如图，在正方形ABCD 中，8AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且6BM =．P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为 2 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质 【分析】作以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，MN '，依据PM PN PM PN MN ''-=-…，可得当P ，M ，N '三点共线时，取“=”，再求得13 CM CN BM AN '=='，即可得出////PM AB CD ，90CMN '∠=︒，再根据△N CM '为等腰直角三角形，即可得到2CM MN '==． 【解答】解：如图所示，作以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，MN '， 根据轴对称性质可知，PN PN '=， PM PN PM PN MN ''∴-=-…， 当P ，M ，N '三点共线时，取“=”， Q 正方形边长为8， 282AC AB ∴== O Q 为AC 中点， 42AO OC ∴== N Q 为OA 中点， 22ON ∴=， 22ON CN ''∴== 62AN '∴= 6BM =Q ， 862CM AB BM ∴=-=-=，

2020年中考数学二轮专项冲刺复习——几何综合、压轴题(含详细解答)

2020年中考数学二轮专项冲刺复习——几何综合、压轴题 1、（2019河南•中考第22题•10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意 一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°． （2）类比探究 如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题 当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 【考点】相似形综合题． 【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题． （2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△P AC，即可解决问题． （3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题． ②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．

∵∠P AD＝∠CAB＝60°， ∴∠CAP＝∠BAD， ∵CA＝BA，P A＝DA， ∴△CAP≌△BAD（SAS）， ∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠BEO＝∠CAO＝60°， ∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°， 故答案为1，60°． （2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E． ∵∠P AD＝∠CAB＝45°， ∴∠P AC＝∠DAB， ∵＝＝， ∴△DAB∽△P AC， ∴∠PCA＝∠DBA，＝＝， ∵∠EOC＝∠AOB， ∴∠CEO＝∠OABB＝45°， ∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°． （3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．

2023年中考数学总复习专题09二次函数与正方形存在性问题(学生版)

（全国通用） 专题09二次函数与正方形存在性问题 二次函数与正方形存在性问题 1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有： 思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D 为顶点的四边形是正方形． 如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形． 【例1】（2022•齐齐哈尔）综合与探究 如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为； （3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值； （4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 【例2】．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积； （2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长； （3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由． 【例3】（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积； （3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；