中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）
专题17二次函数中几何存在性的问题
【典型例题】
1．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线C1：y
1
4
-
＝x2
1
2
-x＋2交x轴于A、B两点（点A在点B的右侧），
与y轴交于点C．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以△B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【专题训练】一、解答题
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+3
2
x+c（a≠0）与x轴相
交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2）．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF△x轴交直线BC于点F，过P作PE△y轴交直线BC 于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；
(3)将该抛物线沿着射线AC个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E，一次函数y＝x+1与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C，且D（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQ△AD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；
(3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE△y轴，分别交x轴，BC于点E，F．
(1)求直线BC及抛物线的表达式；
(2)点D在移动过程中，若存在△DCF＝△ACO，求线段DE的长；
(3)在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两
点，顶点C（0，2）．AB＝M（m，0）是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E 是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y2x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴
函数——二次函数2 一．选择题（共9小题） 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）， 其中正确结论的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 2如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1． ①b2＞4ac； ②4a﹣2b+c＜0； ③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5； ④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2． 上述4个判断中，正确的是（） A．①② B．①④ C．①③④D．②③④ 3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（） A．c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0D．9a+c＞3b 4．如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）
A．①②④B．③④ C．①③④D．①② 5．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（） A．b2＞4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜0 6．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．5 7．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 8．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，7） 9．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（） A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2 二．填空题（共6小题） 10．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= _________ ． 11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________ 米．
中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213 222y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧）， 与y 轴交于点C ． (1)写出点A 、B 、C 的坐标； (2)过动点(0,)H m 作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数213 222y x x =-++的图象相交于点D ，E ． ①若0m >，以DE 为直径作Q ，当Q 与x 轴相切时，求m 的值； ①直线l 上是否存在一点F ，使得ACF △是等腰直角三角形？若存在，请直接写出．．．．m 的值：若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B 与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ． (1)求抛物线的表达式． (2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标． (3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x -，且经过1,0A ，()0,3C 两点，与x 轴的 另一个交点为B ．
(1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线y mx n =+经过B ，C 两点，求直线BC 的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴=1x -上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标； (4)设点P 为抛物线的对称轴=1x -上的一个动点，求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标． 4．已知：如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -与y 轴交于点A ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交线段AB 、x 轴于点D 、E ．设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PD 的长； ①连接PA 、PB ，是否存在点P ，使得BPA △的面积最大？若存在，请求出BPA △的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P 为x 轴上方抛物线上的一个的动点，点F 为y 轴上的动点，是否存在这样的点P 和点F ，使得以BP 为腰的等腰直角PBF △？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,02,0A B -，两点，与y 轴交于点C ，直线y x m =+经过点B ，与y 轴交于点D ．
《平行四边形存在性问题》教学设计执教者
学情分析 本节课是在已经进行过一轮复习，也适当做了一些往年的中考试卷，对于基础知识学生掌握的还是不错的，但对于综合性的题目却感觉困难，特别是动点问题。对于这类问题存在以下几种情况： 1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生 放弃作答。 2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。
3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。 针对以上情况，我希望通过本节课的学习，一方面帮助学生树立信心，让他们明白所谓的综合题都是由诸多小知识点组成的，所谓的动态问题可以变为“静”来解决，通过代数解决几何问题另一方面通过例题讲解让学生掌握解决这类题目的解题策略。 效果分析 针对学生面临的困难： 首先，我在教学时注意层次性，讲究循序渐进，由浅入深，由易到难，不要一步到位，逐步过渡。其次，注意所选例题的典型性，选了最具代表性的两类动点问题产生的平行四边形形存在性问题，一类一个例题，这样就可由一题推及一类，让学生可触类旁通，达到举一反三的效果。 教学时注重这几个方面： 1、利用几何画板动态画图，让学生体会点在运动过程中，图形会跟着发生变化。 在变化的过程中抓住某一瞬间，化“动”为“静”，使其构成平行四边形，再利用所学知识解决问题。 2、注重板书。通过清晰的板书让学生一目明了如何分析平行四边形存在性问题。 3、注重数学思想方法的渗透。 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，在数学教学和探究活动中始终体现这些数学思想方法，动点问题也不例外，因此，在数学教学中应特别注重这些思想方法的渗透，因为只有让学生充分掌握领会这种思维，才能更有效地运用所学知识，形成求解动点问题的能力。动点问题中主要体现方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等。 方程思想，大多数动点问题到最后都转化为方程形式，然后利用方程来求解。 数形结合思想，动点问题中，所研究的量的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。教学时，例题的讲解给学生展示了每种情况的图形，也要求学生画出图形再解决问题。 分类讨论思想。动点问题是中考的热点，常作为压轴题，难度较大，往往会出现多种情况或多个结果。这时就需要分类讨论。平行四边形的存在性问题就分三种情况讨论。 从学生的课堂参与以及练习反馈情况来看，学生学会了如何分类讨论平行四边形存在性问题，分对点法来求解，这节课达到了非常好的效果。 教材分析 二次函数动点问题是中考的热点问题，尤其与平行四边形相结合这类问题不仅涉及知识点多，而且能将几何知识和代数知识紧密结合起来。动态问题包含点动，线动及面动引起的一系列数学问题。而动点问题成为“重中之重”解决这类问题的关键是“动中求静”。 “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数动态几何问题 1．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交x轴于A(−1，0)、B(3，0)，交y轴于C(0，3)，直线CD平行于x周，与抛物线另一个交点为D . （1）求函数的解析式； （2）若M是x轴上的动点，N是抛物线上的动点，求使以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形的M的横坐标.
3．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB 上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并在右图中画出函数的图象； （2）求△PBQ面积的最大值. 4．如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b时，函数的解析式不同）． （1）填空：△ABC的面积为； （2）求直线AB的解析式； （3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围． 5．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以√2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−1 2x 2+bx+c与x轴交于B，C 两点，与y轴交于点A，直线y=−1 2x+2 经过A，C两点，抛物线的顶点为 D，对称轴与x轴交于点E． （1）求此抛物线的解析式； （2）求ΔDAC的面积； （3）在抛物线上是否存在一点P，使它到x轴的距离为4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，则说明理由． 2．如图，抛物线y=x2−bx+c交x轴于点A(1，0)，交y轴交于点B，对称轴是直线x=2． （1）求抛物线的解析式 （2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点 A(−1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的表达式的顶点D的坐标； （2）将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新拋物线顶点为M，点C的对应点为E． ①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数； ②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE=2PQ时，求平移后新抛物线的表达式． 4．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t 秒，△PBQ的面积为Scm2． （1）BP=cm； （2）求S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4 5x+c与直线y＝ 2 5x+ 2 5交 于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y＝2 5 x+ 2 5与 x、y轴的交点分别为 A、C，点P是抛物线上一动点．
中考数学二次函数与几何图形的存在性问题专题（三） 展开全文 一、二次函数与平行四边形存在性问题： 熟练掌握知识点：①二次函数的图像性质和应用；②平行四边形的性质和应用。 1、解二次函数中存在性问题”的基本步骤： ①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形。 ②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解。 ③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍。 2、二次函数知识点复习： （一）、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 (1)a的符号决定抛物线的开口方向： 当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下； |a|相等，抛物线的开口大小、形状相同。 (2)对称轴平行于y轴(或重合)的直线记作x=h。特别地，y轴记作直线x=0。 （3）顶点决定抛物线的位置。 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同， 只是顶点的位置不同。 （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法： ①公式法：顶点坐标、对称轴通过二次函数一般式 y=ax^2 + bx + c 中的系数a、b、c求出。 ②配方法：将抛物线的解析式化为y=a(x-h)^2 + k 的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h。 （二）、抛物线y=ax^2+bx+c中，a、b、c的作用 (1)a决定开口方向及开口大小。
(2)b与a共同决定对称轴的位置。 ①b=0时，对称轴为y轴； ②即a、b同号时，对称轴在y轴左侧； ③即a、b异号时，对称轴在y轴右侧。 (3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置。 ∵当x=0时，y=c。∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0，c)。 ①c=0，抛物线经过原点; ②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y 轴交于负半轴。 （三）、用待定系数法求二次函数的解析式： ①一般式：y=ax^2 + bx + c。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。 ②顶点式：y=a(x-h2)+k。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 ③交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1,x2，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。 3、平行四边形存在性问题其特点是图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强．对这类题，常规解法是： ①先画出平行四边形简图； ②再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决问题。 二、典型例题： 例题一、
2022-2023学年人教版中考数学复习《二次函数存在性问题》压轴题专题提升训练（附答案）1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+1与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，连AB，点P在y轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y ＝ax2﹣3x+c的对称轴是直线x＝． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE＝PF，求证PE⊥PF． （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE ⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值． （2）如图2，在x轴上是否存在一点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在x轴上是否存在一点M，使得△ACM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，点P为抛物线对称轴上一点（P在x轴上方），抛物线上是否存在点Q，使得△PBQ是以线段PB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． （5）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点Q，使以点P，B，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（6）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点P，B，C，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（7）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点Q，使得四边形PBCQ是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式； （3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题17二次函数与公共点及交点综合问题 【例1】．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C． （1）求b的值； （2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值； ②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围； （3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B． （1）求点B的坐标及直线AC的解析式； （2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值； （3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
【例3】．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标； （2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E 运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值； （3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值． 【例4】．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD． （1）①求抛物线的函数表达式； ②直接写出直线AD的函数表达式； （2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标； （3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线
专题17二次函数中平行四边形与等腰三角形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为 1 两个结论，解题的切入点 数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点 坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐 标为( 2 2 1 x x+ , 2 2 1 y y+ ). 证明 如图1，设AB中点P的坐标为(x P,y P).由x P-x1=x2-x P，得x P= 2 2 1 x x+ ，同 理y P= 2 2 1 y y+ ，所以线段AB的中点坐标为( 2 2 1 x x+ , 2 2 1 y y+ ). 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD的顶点坐标分别为A(x A,y A)、B(x B,y B)、C(x C,y C)、D(x D,y D)， 则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D. 证明： 如图2，连接AC、BD，相交于点E． ∵点E为AC的中点， ∴E点坐标为( 2 C A x x+ , 2 C A y y+ ). 又∵点E为BD的中点， ∴E点坐标为( 2 D B x x+ , 2 D B y y+ ). ∴x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D. 总结即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
专题21.10 二次函数中的存在性问题-重难点题型 【沪科版】 【题型1 二次函数中直角三角形存在性问题】 【例1】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）点A的坐标为，点B的坐标为； （2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积； （3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【变式1-1】（2021春•望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点． （1）求a、b、c的值； （2）连接P A、PC、AC，求△P AC面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m． （1）求二次函数解析式； （2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由； （3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型九 二次函数与菱形有关的问题 【典例1】如图，已知抛物线23)0(y a bx a =++≠经过点1,0A 和点()3,0B ，与y 轴交于点C . （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（不点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，设点P 的横坐标为m . ①用含m 的代数式表示线段PD 的长； ②连接PB ，PC ，求PBC ∆的面积最大时点P 的坐标； （3）设抛物线的对称轴与BC 交于点E ，点M 是抛物线的对称轴上一点，N 为y 轴上一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）y ＝x 2﹣4x +3；（2）①用含m 的代数式表示线段PD 的长为﹣m 2+3m ；②△PBC 的面积最大时点P 的坐标为（32，﹣34 ）；（3）存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．点M 的坐标为M 1（2，3），M 2（2，1﹣2，M 3（2，2． 【解析】 （1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）经过点A （1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ， ∴309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得14 a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x+3； （2）①设P （m ，m 2﹣4m+3）， 将点B （3，0）、C （0，3）代入得直线BC 解析式为y BC ＝﹣x+3． ∵过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，
中考数学二次函数存在性问题及参考答案 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线2 =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2 y x =-+. y x h k () 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x = 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由． 4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。 x y C B _ D _ A O
中考数学压轴题--二次函数--存在性问题 第17节 正方形的存在性 方法点拨 正方形ABCD ，M 为对角线AC 与BD 的交点，则M 的坐标为（2,2C A C A y y x x ++）或者（2 ,2D B D B y y x x ++） 解题方法：（在平行四边形的基础上增加对角线垂直且相等） （1）选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论； （2）利用中点坐标公式列方程：D B C A x x x x +=+；D B C A y y +=+y y （3）对角线垂直：1-=⋅BD AC k k ， ()2222)()()(D B D B C A C A y y x x y y x x -+-=-+-
例题演练 1．如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接F A，FB，求出四边形F AOB面积最大值及此时点F的坐标． （3）如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
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二次函数与多边形存在性问题 最经常遇到的中考压轴题，通常解决思路在于等腰三角形的定义、性质；平行四边形的性质；作图是第一步，注意多种情况分类讨论。 解答题（共15小题） 1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点． （1）求这个二次函数解析式； （2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 2．已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）． （1）求经过A、B、C三点的二次函数解析式； （2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形． 3．如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．且OA=2，OC=OB=3．（1）求抛物线的解析式；
（2）作OD⊥BC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G． （1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标； （2）求tan∠ACG的值； （3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD． （1）求该二次函数的解析式； （2）求△ACD的面积；
2023年中考数学频考点突破--二次函数几何问题 1．如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB． （1）求该抛物线的解析式； （2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F． ①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积； ②当点F到直线AE的距离为√2时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标． 2．如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1． （1）求抛物线L的解析式； （2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC的边界），求h的取值范围； （3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 3．如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．
（1）求抛物线的解析式． （2）求点B的坐标及△BOC的面积． （3）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请在左边的图上标出D和E的位置，再直接写出点D的坐标． 4．如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点． （1）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标． 5．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，与y轴交于点 C(0,4)，点P是第一象限内抛物线上的一点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值． 6．如图1，已知二次函数y=ax2+ 32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x 轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题17 新定义型二次函数问题 【专题训练】 一、解答题 1．（2020·安徽九年级学业考试）如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，抛物线C 2的顶点也在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2为“互相关联”的抛物线．如图，已知抛物线2 11 14 C y x x = +：与222C y ax x c =++：是“互相关联”的抛物线，点A ，B 分别是抛物线C 1，C 2的顶点，抛物线C 2经过点D （6，－1）. （1）直接写出点A ，B 的坐标和抛物线C 2的解析式． （2）抛物线C 2上是否存在点E ，使得△ABE 是以AB 为直角边的直角三角形?如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】 （1）由抛物线2 11 14 C y x x = +：可得 A （－2，－1） 由抛物线C 2:y 2＝ax 2＋x ＋c 过点A ，D （6，－1） 得4213661a c a c -+=-⎧⎨++=-⎩；解得142 a c ⎧ =-⎪⎨⎪=⎩
故抛物线C2的解析式为y2＝－ 1 4 -x2＋x＋2. △y2＝－ 1 4 -x2＋x＋2. ＝ 1 4 -（x－2）2＋3， △点B的坐标为（2，3）.（2）存在. 设点E的坐标为（m， 1 4 -m2＋m＋2）. △A（－2，－1），B（2，3）， △AB2＝（2＋2）2＋（3＋1）2＝32， AE2＝（m＋2）2＋（ 1 4 -m2＋m＋2＋1）2， BE2＝（m－2）2＋（ 1 4 -m2＋m＋2－3）2. ①当点A为直角顶点时，有AB2＋AE2＝BE2， 即32＋（m＋2）2＋（ 1 4 -m2＋m＋2＋1）2 ＝（m－2）2＋（ 1 4 -m2＋m＋2－3）2， 解得m1＝－2（不合题意，舍去），m2＝10，△E（10，－13）. ②当点B为直角顶点时，有AB2＋BE2＝AE2， 即32＋（m－2）2＋（ 1 4 -m2＋m＋2－3）2 ＝（m＋2）2＋（ 1 4 -m2＋m＋2＋1）2，
2022年春苏科版九年级数学中考复习《二次函数点的存在性综合压轴题》 题型分类训练（附答案） 一．平行四边形找点3定1动 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上C，D两点之间的距离是； （3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值； （4）平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 2．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当m＝﹣1时，在x轴上找一点P，使PE+PC的值最小，求出此时点P的坐标； （3）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，点D的坐标是； （4）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过 A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）探究1：在抛物线上直线AB下方是否存在一点P，使△ABP面积最大？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）探究2：平面内是否存在一点M使以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由． 二．平行四边形找点2定2动 4．如图，抛物线的图象经过B，D两点，与x轴的另一个交点为A，与y 轴相交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，求四边形OBMC的面积； （3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
专题17 二次函数与实际问题：图形运动问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x bx c =-++与直线1y x =-+相交于点()0,1A 和点()3,2B -，交x 轴于点C ，顶点为点F ，点D 是该抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点D 在直线AB 上方的抛物线上，求DAB ∆的面积的最大值以及此时点D 的坐标； （3）如图2，若点D 在对称轴左侧的抛物线上，点()1,E t 是射线CF 上一点，当以C 、B 、D 为顶点的三角形与CAE ∆相似时，直接写出所有满足条件的t 的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过点A （4，0），B （－1，0），交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）点D 是直线AC 上一动点，过点D 作DE 垂直于y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点D 的坐标； （3）在AC 上方的抛物线上是否存在点P ，使得△ACP 是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，直线y ＝﹣x ＋n 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．
（1）求抛物线的解析式； （2）E （m ，0）为x 轴上一动点，过点E 作ED ⊥x 轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． ①点E 在线段OA 上运动，若△BPD 直角三角形，求点E 的坐标； ②点E 在x 轴的正半轴上运动，若∠PBD ＋∠CBO ＝45°．请直接写出m 的值． 4．在平面直角坐标系中，抛物线22y x kx k =--（k 为常数）的顶点为N ． （1）如图，若此抛物线过点()3,1A -，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线与y 轴交于点B ， ①求ABO ∠的度数； ①连接AB ，点P 为线段AB 上不与点A ，B 重合的一个动点，过点P 作//CD x 轴交抛物线在第四象限部分于点C ，交y 轴于点D ，连接PN ，当BPN BNA △△时，线段CD 的长为___． （3）无论k 取何值，抛物线都过定点H ，点M 的坐标为()2,0，当90MHN ∠=︒时，请直接写出k 的值． 5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y ＝x+m 的图象与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（3，4），B 点在y 轴上． （1）求m 的值及这个二次函数的解析式；