备战中考数学二轮专题归纳提升真题二次函数存在性问题(1)—与三角形相关(解析版)

专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关

【典例分析】

【例1——最值存在性问题】

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．

（1）求a、b、c的值；

（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；

【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；

（2）当m时，S△PAC最大.

【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，

解得：

∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；

（2）如图，过点P作PE∥y轴，交AC于E，

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴直线AC的解析式为y＝x+3，

由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），

∴S△ACP PE•（x C﹣x A）[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）（m2﹣3m）（m ）2，

∴当m时，S△PAC最大.

【练1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B 与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．

（1）求二次函数解析式；

（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；

【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）当m时，S最大.

【解析】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，

得，解得，

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）S有最大值．

如图1，设直线BM的解析式为y＝kx+a，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴该抛物的顶点坐标为M（1，4），

把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得，解得，

∴y＝﹣2x+6，

∵D（m，0），

∴P（m，﹣2m+6）；

由S△PCD PD•OD，

得S m（﹣2m+6）＝﹣m2+3m；

∵当点P与点B重合时，不存在以P、C、D为顶点的三角形，

∴1≤m＜3，

∴S不存在最小值；

∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，

∴当m时，S最大，

∴S的最大值为．

【练2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当x为多少时，线段PQ长度有最值。

【答案】（1）y＝x2﹣5x+4

（2）当x＝2时，PQ的最大值为4

【解析】解：（1）由题意得：，解得，

故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；

（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，

故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），

设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，

故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，

设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），

则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，

故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4

【练3】如图，直线y x+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线y x2+bx+c 经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的最大值．

【答案】（1）

（2）△ABM的面积的最大值；

【解析】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入抛物线，

∴

解得，

∴抛物线的函数解析式为：；

（2）∵M是x轴的下方的抛物线上一动点，且△ABM的面积最大，

∴点M为抛物线的顶点，

∴M（﹣1，﹣2），

∴△ABM的面积的最大值；

【例2——二次函数中等腰三角形存在性问题】

如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？

若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；

（2）m的值为﹣3，﹣4，﹣5

【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，

得，

解得，

∴y＝x2+4x﹣1；

（2）存在点P，

∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），

∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，

设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），

∵∠BMP＝45°，

当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，

有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，

若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，

若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，

∴m2+4m﹣1＝﹣1，

解得m＝0（舍）或m＝﹣4，

∴m＝﹣4，

若45°为顶角，

即MP＝MB，

∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，

∴﹣m2﹣5m m，

解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，

∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．

【练1】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A(2，t)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】（1）y＝x2

（2）P点坐标为(－25，0)(25，0)或(4，0)；

【解析】解：(1)把A(2，t)代入y＝2x中，得t＝4，

∴A(2，4)，

把A(2，4)代入y＝ax2中，得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2；

(2)设P点的坐标为(m，0)，

当OA＝OP时，有m2＝22＋42，

解得，m＝25，或m＝－25，

∴此时P点的坐标为P(－25，0)，(25，0)；

当OA＝PA时，有(m－2)2＋42＝22＋42，

解得，m＝0(舍)，或m＝4，

∴此时P点坐标为(4，0)，

综上，在x轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，其P点坐标为(－25，

0)(25，0)或(4，0)；

【练2】如图，直线y x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．

（1）求B，C两点的坐标．

（2）求该二次函数的解析式．

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）B（4，0），C（0，2）．

（2）y（x﹣4）（x+1）x2x+2．

（3）存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．【解析】解：（1）对直线y x+2，当x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝4，

∴B（4，0），C（0，2）．

（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），

∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），

∴y＝a（x﹣4）（x+1），

把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：

a（0﹣4）（0+1）＝2，

解得：a，

∴y（x﹣4）（x+1）x2x+2．

（3）∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），

∴对称轴为x，

∴D（，0），

∵C（0，2），

∴CD，

①如图1，当CD＝PD时，

PD，

∴P1（），P2（），

②如图2，当CD＝CP3时，过点C作CH⊥DP3于点H，

∵CD＝CP3，CH⊥DP3，

∴DH＝P3H，

∵C（0，2），

∴DH＝2，

∴P3H＝2，

∴P3D＝4，

∴P3（，4），

综上所述：存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．

【练3】如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；

（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；

（2）点D不在抛物线上；

（3）m的值为﹣3，﹣4，﹣5．

【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，

得，

解得，

∴y＝x2+4x﹣1；

（2）如图，作AC⊥y轴于点C，作DH⊥y轴于点H，

∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，

∴∠CAB＝∠HBD，

在△ABC和△DBH中，

，

∴△ABC≌△DBH（AAS），

∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，

∴OH＝2，

∴D（﹣3，2），

把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，

得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，

∴点D不在抛物线上；

（3）存在点P，

∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），

∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，

设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），

由（2）知：∠BMP＝45°，

当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，

有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，

若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，

若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，

∴m2+4m﹣1＝﹣1，

解得m＝0（舍）或m＝﹣4，

∴m＝﹣4，

若45°为顶角，

即MP＝MB，

∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，

∴﹣m2﹣5m m，

解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，

∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．

【例3——二次函数中直角三角形存在性问题】

如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．

（1）点A的坐标为，点B的坐标为；

（2）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．

【解析】解：（1）令抛物线y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

故答案为：（﹣1，0），（3，0）；

（2）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，

∴有两种情况：

①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D，

∵B（3，0），C（0，3），

∴OB＝OC＝3，

∴∠BCO＝∠OBC＝45°．

∵P1C⊥BC，

∴∠DCB＝90°，

∴∠DCO＝45°，

又∵∠DOC＝90°，

∴∠ODC＝45°＝∠DCO，

∴OD＝OC＝3，

∴D（﹣3，0），

∴直线P1C的解析式为y＝x+3，

联立，

解得或（舍）；

∴P1（1，4）；

②点B为直角顶点，

如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，

∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，

∴P1C∥BP2，

∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，

将B（3，0）代入，得0＝3+b，

∴b＝﹣3，

∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，

联立，

解得或（舍），

∴P2（﹣2，﹣5）．

综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．

【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；

（2）点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，

解得：

∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；

（2）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．如图，

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴OA＝OC＝3，

∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线对称轴为x＝﹣1，

设点Q（﹣1，n），

则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，

∵△QAC为直角三角形，

∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，

①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，

∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，

解得：n＝﹣2，

∴Q1（﹣1，﹣2）；

②当∠ACQ ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ 2+AC 2＝AQ 2

， ∴n 2

﹣6n +10+18＝n 2

+4， 解得：n ＝4， ∴Q 2（﹣1，4）；

③当∠AQC ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ 2

+AQ 2

＝AC 2

， ∴n 2

﹣6n +10+n 2

+4＝18， 解得：n 1

，n 2

，

∴Q 3（﹣1，），Q 4（﹣1，）；

综上所述，点Q 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．

【练2】已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y 轴交于点C(0，－3)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，点P 在直线BC 下方的抛物线上，点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫3，－15

4作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y ＝1

4

x 2－x －3；

（2）当△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为(3，6)或(3，－9)或⎝⎛⎭⎫3，－352－32或⎝⎛⎭⎫

3，352－32.

【解析】解：(1)将点A(－2，0)、B(6，0)、C(0，－3)代入y ＝ax 1＋bx ＋c ， 得{4a －2b ＋c ＝0，36a ＋6b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩

⎨⎧

a ＝14，

b ＝－1，

c ＝－3，

∴y ＝1

4

x 2－x －3；

(2)∵P ⎝⎛⎭⎫3，－15

4，D 点在l 上， 如图2，当∠CBD ＝90°时，

过点B 作BH ⊥x 轴，过点D 作DGH ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作DG ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，

∴∠DBG ＋∠GDB ＝90°，∠DBG ＋∠CBH ＝90°， ∴∠GDB ＝∠CBH ， ∴△DBG ∽△BCH ， ∴DG BH ＝BG CH ，即33＝BG

6， ∴BG ＝6，∴D(3，6)； 如图3，当∠BCD ＝90°， 过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，

∵∠KCD ＋∠OCB ＝90°，∠KCD ＋∠CDK ＝90°， ∴∠CDK ＝∠OCB ， ∴△OBC ∽△KCD ， ∴OB KC ＝OC KD ，即6KC ＝33， ∴KC ＝6，∴D(3，－9)； 如图4，当∠BDC ＝90°时，

线段BC 的中点T ⎝⎛⎭⎫3，－3

2，BC ＝35， 设D(3，m)，∵DT ＝1

2BC ，

∴|m ＋32|＝352，

∴m ＝

352－32或m ＝－352－3

2

， ∴D ⎝⎛⎭⎫3，352－32或D ⎝

⎛⎭⎫3，－352－32； 综上所述：当△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为(3，6)或(3，－9)或⎝

⎛⎭⎫

3，－352－32或

⎝

⎛⎭⎫3，352－32.

【练3】如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B （3，0）．C （0，3），点M 是抛物线的顶点．点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，若OD ＝m ． （1）求二次函数解析式；

（2）在MB 上是否存在点P ，使△PCD 为直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3． （2）点P 的坐标为（，3）或（

，

）．

【解析】解：（1）把B （3，0）、C （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，

得，解得，

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．

若∠DPC＝90°，如图2，则PC∥x轴，

∴P（m，3），且在直线y＝﹣2x+6上，

∴﹣2m+6＝3，

解得m，

∴P（，3）；

若∠PCD＝90°，如图3，则PC2+CD2＝PD2，

∴m2+（﹣2m+6﹣3）2+m2+32＝（﹣2m+6）2，

整理得m2+6m﹣9＝0，

解得m1＝（，m2（不符合题意，舍去）；

∴P（，）；

若∠PDC＝90°，则CD2+PD2＝PC2，

∴m2+32+（﹣2m+6）2＝m2+（﹣2m+6﹣3）2，

整理得12m＝36，解得m＝3，此时不存在以P，C，D为顶点的三角形，∴m＝3舍去．

综上所述，点P 的坐标为（，3）或（，）．

【例4——二次函数中全等或相似三角形存在性问题】

如图，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋3(a ≠0)x 轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D. (1)求抛物线的解析式；

(2)点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED 上，若以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与△BOC 相似，请直接写出点P 的坐标．

【答案】（1）y ＝－x 2

－2x ＋3；

（2）点P 的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).

【解析】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋3过点A(1，0)，B(－3，0)， ∴{a ＋b ＋3＝0，9a －3b ＋3＝0， 解得{a ＝－1，b ＝－2，

∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2

－2x ＋3； (2)令x ＝0，y ＝3，

∴OC＝OB ＝3，即△OBC 是等腰直角三角形， ∵抛物线的解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3， ∴抛物线对称轴为：x ＝－1， ∵EN∥y 轴， ∴△BEN∽△BCO， ∴BN BO ＝EN

CO ， ∴23＝BN 3， ∴EN＝2，

①若△PQE∽△OBC，如图所示，

∴∠PEH＝45°，

过点P作PH⊥ED垂足为H，

∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，

∴PH＝HE，∴设点P坐标(x，－x－1＋2)，

∴代入关系式得，－x－1＋2＝－x2－2x＋3，

整理得，x2＋x－2＝0，

解得，x1＝－2，x2＝1(舍)，∴点P坐标为(－2，3)，

②若△PEQ∽△CBO，如图所示，

设P(x，2)，

代入关系式得，2＝－x2－2x＋3，

整理得，x2＋2x－1＝0，

解得，x1＝－1－2，x2＝－1＋3(舍)，

∴点P的坐标为(－1－2，2)

综上所述点P的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).

【练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．

【答案】（1）解析式：y ＝－x 2

＋3x ＋4；D 点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，254.

（2）当△PQC 与△ABC 相似时，△PQC 的面积576125或605

128

.

【解析】解：(1)解析式：y ＝－x 2

＋3x ＋4；D 点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，254.

(2)由B 、C 两点坐标易求直线BC 解析式：y ＝－x ＋4，

不难得出∠CPQ＝∠BCO＝∠OBC，即在△CPQ 和△ABC 中，∠CPQ＝∠ABC. 接下来求角两边对应成比例：

表示点：设P 点坐标为(0

＋3m ＋4)， 表示线段：PC ＝2m ，PQ ＝－m 2

＋4m. 如图所示，分类讨论

情况一：当△CPQ∽△ABC 时，则CP AB ＝PQ

BC

，

代入得：2m 5＝－m 2

＋4m 42

，解得：m 1＝125，m 2＝0(舍)，对应P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，85，PQ ＝9625， S △PCQ ＝12×125×9625＝576

125

情况二：当△CPQ∽△CBA 时，则CP CB ＝PQ

BA

，

代入得：2m

42＝－m 2

＋4m 5，解得：m 3＝11

4，m 4＝0(舍)，

对应P 点坐标为⎝

⎛⎭

⎪⎫114，54，PQ ＝5516，

备战中考数学二轮专题归纳提升真题二次函数存在性问题(1)—与三角形相关(解析版)

专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关 【典例分析】 【例1——最值存在性问题】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点． （1）求a、b、c的值； （2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值； 【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3； （2）当m时，S△PAC最大. 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴， 解得： ∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3； （2）如图，过点P作PE∥y轴，交AC于E， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3）， ∴S△ACP PE•（x C﹣x A）[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）（m2﹣3m）（m ）2， ∴当m时，S△PAC最大. 【练1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B 与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m． （1）求二次函数解析式； （2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由； 【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）当m时，S最大. 【解析】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得，解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）S有最大值． 如图1，设直线BM的解析式为y＝kx+a， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物的顶点坐标为M（1，4）， 把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得，解得，

中考专题：二次函数函数的存在性问题(相似三角形)

二次函数函数的存在性问题（相似三角形） 1、）如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 2、）矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ， ，(03)C -，， 直线3 4 y x =- 与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标； （2）若抛物线2 9 4 y ax x =- 经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形 与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．

3、）如图，已知抛物线y ＝ 34 x 2 ＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0）过点C 的直线y ＝ 3 4t x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ， 且0＜t ＜1． （1）填空：点C 的坐标是_ _，b ＝ _，c ＝_ _；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）； （3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值； 若不存在，说明理由． 4、）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线2 14 y x = 上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、． （1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥； （3）点P 是抛物线2 14 y x = 对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

专题03 二次函数中的存在性问题之等边三角形(19成都)(解析版)

专题03 二次函数中的存在性问题之等边三角形 【典例1】（2019?成都）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，5），与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿直线BD 翻折得到△BC 'D ，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标； （3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式． 【点拨】（1）根据待定系数法，把点A （﹣2，5），B （﹣1，0），C （3，0）的坐标代入y ＝ax 2+bx +c 得到方程组求解即可； （2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为（1，0），BH ＝2，由翻折得C ′B ＝CB ＝4，求出C ′H 的长，可得∠C ′BH ＝60°，求出DH 的长，则D 坐标可求； （3）由题意可知△C ′CB 为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P 在x 轴的上方时，点Q 在x 轴上方，连接BQ ，C ′P ．证出△BCQ ≌△C ′CP ，可得BP 垂直平分CC ′，则D 点在直线BP 上，可求出直线BP 的解析式，②当点P 在x 轴的下方时，点Q 在x 轴下方．同理可求出另一直线解析式． 【解答】解：（1）由题意得：{4a ?2b +c =5，a ?b +c =09a +3b +c =0， 解得{a =1b =?2c =?3 ，

∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3． （2）∵抛物线与x 轴交于B （﹣1，0），C （3，0）， ∴BC ＝4，抛物线的对称轴为直线x ＝1， 如图，设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为（1，0），BH ＝2， 由翻折得C ′B ＝CB ＝4， 在Rt △BHC ′中，由勾股定理，得C ′H =2?BH 2=√42?22=2√3， ∴点C ′的坐标为（1，2√3），tan ∠C′BH =C′H BH =2√3 2 =√3， ∴∠C ′BH ＝60°， 由翻折得∠DBH =12 ∠C ′BH ＝30°， 在Rt △BHD 中，DH ＝BH ?tan ∠DBH ＝2?tan30°=2√3 3 ， ∴点D 的坐标为（1， 2√33 ）． （3）解：取（2）中的点C ′，D ，连接CC ′，

二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)

等腰三角形直角三角形存在性问题 典例1，如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B两点,且A点坐标为,与y轴交于点. (1)求出这个二次函数的解析式; (2)直接写出点B的坐标为 (3)在x轴是否存在一点P,使是等腰三角形?若存在,求出满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由; (4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?若存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由. 答案详解 解:(1)的图象经过,, ,, 所求解析式为:, 答:这个二次函数的解析式是.

(2)解:, 故答案为:. (3)解:在中, ,,, ,①当时在x轴的负半轴),; ②当时在x轴的正半轴),; ③当时在x轴的正半轴),; ④当时在x轴的正半轴), 在中,设,则 解得:, ; 答:在x轴存在一点P,使是等腰三角形,满足条件的P点坐标是 或或或. (4)解:如图,设Q点坐标为,因为点Q在上, 即:Q点坐标为, 连接OQ, ,

, , , Q点坐标为, 答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标是,面积的最大值是. 解析: (1)因为的图象经过,,代入求出c、a的值,即可得到答案; (2)把代入求出x的值,即可得到答案; (3)在中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当 时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x轴的正半轴),,即可得出答案; (4)设Q点坐标为,因为点Q在上,得出Q点坐标为 ,连接OQ,根据 ,代入求出即可. 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.题型较好,综合性强.

中考数学二轮专题复习专题八数学存在性问题教案

专题八—数学存在性问题 中考数学试题也不断推旧出新，“选拔性”和“能力性”兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省。存在性问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和 ,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算,对基础知识,基本技能要求较高,并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一次全面的考验. 所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论，存在性问题可抽象理解为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设Q存在，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在，此类问题的叙述通常是“是否存在……若存在，请求 定性分类： 1.肯定型存在性问题； 2.否定型的存在性问题。 ?定量分类： 1.数值存在性问题； 2.定值存在性问题； 3.极值存在性问题； 4.点存在性问题； 5.直线存在性问题； 6.三角形存在性问题； 7.平行四边形存在性问题； 8.圆的存在性问题； 9.时间存在性问题； 10.位置存在性问题； 11.变化存在性问题； 分类讨论思想、特殊到一般的思想 根据点的坐标特征，挖掘发现特殊角或线段比 找出特殊位置，分段分类讨论 ?逆向思维 ?两头架线中间碰火的思维 【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析. (1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题,进行求解,进而从有解或

数学人教版九年级上册专题 二次函数存在性问题 --等腰三角形

《二次函数存在性问题-等腰三角形》 教学设计 一、教学内容： 《二次函数存在性问题-等腰三角形》是人教版九年级上册教科书第22.3课《实际问题与二 次函数》的拓展，属于函数与几何综合题，本课安排在该教材中二次函数综合第3节课时。《二次函数存在性问题-等腰三角形》是“动态几何中的二次函数问题”，以图形的运动变化 为背景，其背景图形是等腰三角形，其运动方式是单个动点。解决其问题的核心是：探索变 量之间的对应关系（变化规律），掌握等腰三角形两腰相等的线段长度在二次函数图形变化 中的计算方法是解决动态问题的杀手锏。 二、学生分析： 一方面，纵观广东省近八年中考数学压轴题都是“动态几何中的函数问题”,中考第二轮复习 时基本都是采用专题方式推进，初中数学专题复习课往往是针对某一类重点题型、重要知识 板块或者某一种比较突出的思想方法等组织展开专题复习、专题研究. 培养学生思维的灵活 性和发散性，进而提高学生综合运用知识的能力. 另一方面，解决这类问题需要灵活运用数学思想方法，培养学生数形结合思想、分类讨论思 想、转化思想。存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题.这类问题的知识 覆盖面广，综合性强，题意构思巧妙，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要 求都比较高。 三、教学思想： 二次函数的存在性问题—等腰三角形属于中考压轴题中的经典题型，作为专题课非常有 探讨价值.结合现阶段学生的实际情况，基于对该内容题型特点的分析，并立足于学生的整 体水平提升，我将设计教学思想运用为：数形结合思想、数学建模思想、分类讨论思想、 转化思想、函数与等腰三角形思想。 四、教学目标： 1．知识与技能： 通过对二次函数存在性问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义， 拓宽学生的思维和视野；提高学生综合运用知识的能力.考核学生中考优秀数学素养的必备 环节。 2．数学思考： 学生能对图形情境中的数学信息作出合理的分析，能用二次函数、等腰三角形来描述和刻画 现实事物间的函数关系与几何图形的动态问题. 3．解决问题： 体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题 “数学化”的过程. 4．情感与态度： 通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会， 同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识 .五、教学重点和难点 1、教学重点：二次函数存在性问题与等腰三角形的综合运用、。 2、教学难点：如何在动态几何中的二次函数问题，探索变量之间的对应关系（变化规律）、

2022-2023学年人教版中考数学复习《二次函数存在性问题》压轴题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年人教版中考数学复习《二次函数存在性问题》压轴题专题提升训练（附答案）1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+1与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，连AB，点P在y轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y ＝ax2﹣3x+c的对称轴是直线x＝． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE＝PF，求证PE⊥PF． （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE ⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使得四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值． （2）如图2，在x轴上是否存在一点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点

M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在x轴上是否存在一点M，使得△ACM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，点P为抛物线对称轴上一点（P在x轴上方），抛物线上是否存在点Q，使得△PBQ是以线段PB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． （5）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点Q，使以点P，B，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（6）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点P，B，C，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（7）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点Q，使得四边形PBCQ是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式； （3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213 222y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧）， 与y 轴交于点C ． (1)写出点A 、B 、C 的坐标； (2)过动点(0,)H m 作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数213 222y x x =-++的图象相交于点D ，E ． ①若0m >，以DE 为直径作Q ，当Q 与x 轴相切时，求m 的值； ①直线l 上是否存在一点F ，使得ACF △是等腰直角三角形？若存在，请直接写出．．．．m 的值：若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B 与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ． (1)求抛物线的表达式． (2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标． (3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x -，且经过1,0A ，()0,3C 两点，与x 轴的 另一个交点为B ．

(1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线y mx n =+经过B ，C 两点，求直线BC 的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴=1x -上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标； (4)设点P 为抛物线的对称轴=1x -上的一个动点，求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标． 4．已知：如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -与y 轴交于点A ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交线段AB 、x 轴于点D 、E ．设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PD 的长； ①连接PA 、PB ，是否存在点P ，使得BPA △的面积最大？若存在，请求出BPA △的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P 为x 轴上方抛物线上的一个的动点，点F 为y 轴上的动点，是否存在这样的点P 和点F ，使得以BP 为腰的等腰直角PBF △？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,02,0A B -，两点，与y 轴交于点C ，直线y x m =+经过点B ，与y 轴交于点D ．

二次函数-存在性问题-备战2023年中考数学考点微专题

考向3.9 二次函数-存在性问题 例1、（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数3 33 y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数2 33 y x bx c = ++图象过A 、B 两点． （1）求二次函数解析式； （2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）对于3 3y x = ：当x =0时，3y = 当y =0时， 3 303 x -=，妥得，x =3 ∴A （3，0），B （0，3- 把A （3，0），B （0，3-2 3y bx c ++得： 33+3+=0 3b c c ⎧⎪⎨ =-⎪⎩ 解得，23 3b c ⎧=⎪⎨ ⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为：23233y = -

（2）抛物线的对称轴为直线23 3123 23 b x a - =-=-=⨯ 故设P （1，p ），Q （m ，n ） ①当BC 为菱形对角线时，如图， ∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直， ∴∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴 ∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ ∴PQ ⊥x 轴 ∵点P 在x =1上， ∴点Q 也在x =1上， 当x =1时，232343 113=333 y =⨯-⨯-- ∴Q （1，433 - ）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图， ∴BC //PQ ，且BC =PQ ∵BC //x 轴， ∴令3y =23233=3y

解得，120,2x x == ∴(2,3)C - ∴PQ =BC =2 ∵22(3)12+= ∴PB =BC =2 ∴迠P 在x 轴上， ∴P (1,0) ∴Q (3，0)； 若点Q 在点P 的左侧，如图， 同理可得，Q （-1，0） 综上所述，Q 点坐标为（1，43 3 - ）或(3，0)或（-1，0） 1、存在性问题的解题思路:假设存在,推理论证,得出结论； 2、解決线段存在性问题的方法:将军饮马问题、垂线段问题、三角形三边关系、函数最值等； 3、本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．同时注意用分类讨论思想解决问题。 1．（2021·四川·江油外国语学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点左侧，B 点的坐标为（4，0），与y 轴交于C （0，﹣4）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式；

专题01 二次函数中的存在性问题之相似三角形(19攀枝花、19泸州)(解析版)

专题01 二次函数中的存在性问题之相似三角形 【典例1】（2019•攀枝花）已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，其图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C （0，3）． （1）求b ，c 的值； （2）直线1与x 轴相交于点P ． ①如图1，若l ∥y 轴，且与线段AC 及抛物线分别相交于点E ，F ，点C 关于直线x ＝1的对称点为点D ，求四边形CEDF 面积的最大值； ②如图2，若直线1与线段BC 相交于点Q ，当△PCQ ∽△CAP 时，求直线1的表达式． 【点拨】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y 轴的交点坐标可求出b 、c 的值； （2）由题意先求出D 点坐标为（2，3），求出直线AC 的解析式，设F （a ，﹣a 2+2a +3），E （a ，﹣a +3），则EF ＝﹣a 2+3a ，四边形CEDF 的面积可表示为1 2EF ⋅CD ，利用二次函数的性质可求出面积的最大值； （3）当△PCQ ∽△CAP 时，可得∠PCA ＝∠CPQ ，∠P AC ＝∠PCQ ＝∠OCA ＝45°，则PQ ∥AC ，∠BCO ＝∠PCA ，过点P 作PM ⊥AC 交AC 于点M ，可求出PM 、P A 、OP 的长，用待定系数法可求出函数解析式． 【解答】解：（1）由题意得：{b 2=1c =3 ， ∴b ＝2，c ＝3， （2）①如图1，∵点C 关于直线x ＝1的对称点为点D ， ∴CD ∥OA ， ∴3＝﹣x 2+2x +3，

解得：x 1＝0，x 2＝2， ∴D （2，3）， ∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3， ∴令y ＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴B （﹣1，0），A （3，0）， 设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴{3k +b =0b =3，解得：{k =−1b =3， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +3， 设F （a ，﹣a 2+2a +3），E （a ，﹣a +3）， ∴EF ＝﹣a 2+2a +3+a ﹣3＝﹣a 2+3a ， 四边形CEDF 的面积＝S △EFC +S △EFD =12EF ⋅CD =12×(−a 2+3a)×2=−a 2+3a =−(a −32)2+9 4， ∴当a =3 2 时，四边形CEDF 的面积有最大值，最大值为9 4 ． ②当△PCQ ∽△CAP 时， ∴∠PCA ＝∠CPQ ，∠P AC ＝∠PCQ ， ∴PQ ∥AC ， ∵C （0，3），A （3，0）， ∴OA ＝OC ，

中考数学总复习《二次函数与三角形》综合题(含答案)

二次函数与三角形 一 、填空题（本大题共2小题） 1.已知二次函数交轴于,两点，交轴于点，且是等 腰三角形，请写出一个符合要求的二次函数的解析式 ． 2.二次函数的图象的顶点为，与轴正方向从左至右依次交于, 两点， 与轴正方向交于点，若和均为等腰直角三角形（为坐标原点），则 ． 二 、解答题（本大题共9小题） 3.如图，抛物线与轴交与，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明 理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？，若存在，求出点的坐标及的面积最大值.若没有，请说明理由. 4.如图，已知二次函数的图象经过点、和原点．为二次函数 图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． 2y ax bx c =++x A B y C ABC △2y x bx c =++D x A B y C ABD △OBC △O 2b c +=2y x bx c =-++x ()10A ，()30B -，y C Q QAC △Q P PBC △P PBC △ ()33A ，()40B ，O P P x ()0D m ，OA C

（1）求出二次函数的解析式； （2）当点在直线的上方时，求线段的最大值； （3）当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由． 5.已知二次函数22(2)4y m x mx n =--+的图象的对称轴是直线2x =，且它的最高点 在直线 1 12 y x =+上． ⑴ 求此二次函数的解析式； ⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线112 y x =+上移动到M 点时，图象与x 轴恰好交于A 、B 两点，且8ABM S ∆=，求这时的二次函数的解析式． 6.已知二次函数21 2 y x bx c =++的图象经过点(36)A -，并且与x 轴相交于点 (10)B -，和点C ，顶点为P （1）求二次函数的解析式； （2）设D 为线段OC 上一点，满足DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标 P OA PC m ＞0P PCO △P

【中考数学压轴题专题突破12】二次函数中的直角三角形存在性问题

【中考压轴题专题突破】 二次函数中的直角三角形存在性问题 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标． （2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系． （3）连接P A、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？ （4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点． （1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式． （2）在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ＝ ）．

3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为M．（1）求抛物线的解析式和点M的坐标； （2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设△BEC的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【中考压轴必刷50题】专题1：二次函数与直角三角形

二次函数与直角三角形 分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置 例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况 （1）当为直角时， （2）当为直角时， （3）当为直角时， 1 .已知，抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1，0)和C(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小?如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐 标． 【答案】（1）；（2）存在，当的值最小时，点的坐标 为；（3）点的坐标为、、或 【解析】 【分析】 （1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标；

（3）设点的坐标为，则， ，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【详解】 解：（1）将、代入中， 得：，解得：，抛物线的解析式为． （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所 示． 当时，有， 解得：，，点的坐标为．抛物线的解析式为 ，抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：，直线的解析式为．当时，，当的值最小时，点的坐标为． （3）设点的坐标为， 则，， ． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，，点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：，点的坐标为；

2022年中考数学二次函数压轴题专题11 等腰直角三角形存在性问题(学生版+解析版)

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题 第11节等腰直角三角形的存在性 方法点拨 第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB （AAS）所以，AB=CE，AD=CB 第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。 例题演练 1．如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）当a＝﹣时， ①求点A、B、C的坐标； ②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜 边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标； （2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a 的值．

2．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．（1）求该抛物线的解析式； （2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标； （3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）， 平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标； （3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．

2023年中考数学二轮专题复习——专题 二次函数综合题 学案(含答案)

专题辅导——二次函数综合题 【题型解读】二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等. 类型一线段问题 方法总结 1. 确定线段长 两点之间的距离可以根据两点坐标表示线段长度，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），则AB= .在求这类问题时首先应该明白与x 轴平行的直线上的点的纵坐标都相同，且两点间的距离是横坐标相减的绝对值；与y轴平行的直线上的点的横坐标都相同，且两点间的距离是纵坐标相减的绝对值. 2. 线段数量关系问题 根据前面所得的线段长，结合题干中线段间的数量关系，利用勾股定理或相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可.（注意排除不符合题意的数值） 3. 求线段最大值问题 根据前面所得的线段长的关系式，构建二次函数模型，利用二次函数性质求最值，可得到线段长的最大值（注意自变量的取值范围）；求两条线段和的最小值时，常用“将军饮马”模型. 考点例析 例1如图1，抛物线y=x2+2x-8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C. （1）求A，B，C三点的坐标； （2）连接AC，直线x=m（-4

2020中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形问题(含答案)

1.已知抛物线过A(－2，0)，B(0，2)，C(，0)三点．一动点P从原点出发以1个单位/ (2)当BQ＝AP时，求t的值； ∵抛物线经过A(－2，0)，B(0，2)，C(，0)三点， ⎪⎩9a＋3b＋c＝0⎩c＝2 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2. ⎪ 2 2020中考数学三轮培优冲刺二次函数与特殊三角形问题（含答案） 3 2 秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间为t秒． (1)求该抛物线的解析式； 1 2 (3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M△，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋b x＋c(a≠0)， 3 2 ⎧4a－2b＋c＝0⎧a＝－3 ∴ ⎨c＝2，解得⎨b＝－1， 3 42 21 33 (2)如解图①，当t≤2时，点Q在点B下方， 第1题解图① ∵AQ⊥PB，BO⊥AP， ∴∠AOQ＝∠BOP＝90°，∠P AQ＝∠PBO，

∵BQ ＝ AP , ∴2－t ＝ (2＋t)，解得 t ＝ ； ∵BQ ＝ AP ，∴t －2＝ (2＋t)，解得 t ＝6. 综上，当 t ＝2或 6 时，BQ ＝1AP . ⎪⎩ y ＝－ x 2－ x ＋2 ⎪y ＝1 ⎪y ＝－3 ⎪ ⎪ ∵AO ＝BO ＝2，∴△AOQ ≌△BOP(ASA)， ∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝BO －OQ ＝2－t ，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ， 1 1 2 2 2 3 如解图②，当 t ＞2 时，点 Q 在点 B 上方， 第 1 题解图② 同理可证△AOQ ≌△BOP ， ∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝OQ －BO ＝t －2，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ， 1 1 2 2 3 2 (3)存在，当 t ＝ 3－1 时，抛物线上存在点 M (1，1)，当 t ＝3＋3 3时，抛物线上存在点 M (－3，－3)． 【解法提示】由(2)知 OP ＝OQ △，∴ OPQ 是等腰直角三角形， ∵△MPQ 是等边三角形，∴点 M 在线段 PQ 的垂直平分线上， 由于直线 PQ 的垂直平分线为直线 y ＝x ， 又∵点 M 在抛物线上， ∴联立抛物线与直线 y ＝x 可得, ⎧y ＝x ⎧x ＝1 ⎧⎪x ＝－3 ⎨ 2 1 ，解得⎨ 或⎨ . 3 3 ∴M (1，1)或(－3，－3)． 当 M (1，1)时，如解图③，过点 M 作 MD ⊥x 轴于点 D ，

专题23-二次函数与等边三角形存在问题-2022中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版

专题23 二次函数与等边三角形存在问题 1． （2021·浙江鄞州·中考一模）如图，点A 是二次函数y 2图象上的一点，且位于第 一象限，点B 是直线y 上一点，点B ′与点B 关于原点对称，连接AB ，AB ′，若△ABB ′为等边三角形，则点A 的坐标是（ ） A ．（13 B ．（23 C ．（1 D ．（43 【答案】B 【分析】 连接OA ，作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，根据题意∠ABO ＝60°，AO ⊥BB ′，即可得到tan ∠ABO ＝OA OB 设A （m 2），通过证得△AOM ∽△OBN ，得到B （﹣m 2）， 代入直线y 即可得到关于m 的方程，解方程即可求得A 的坐标． 【详解】 解：连接OA ，作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ， ∵点B ′与点B 关于原点对称， ∴OB ＝OB ′， ∵△ABB ′为等边三角形， ∴∠ABO ＝60°，AO ⊥BB ′， ∴∠BON +∠AOM ＝90°，tan ∠ABO ＝ OA OB ∴OA OB ∵∠BON +∠OBN ＝90°， ∴∠AOM ＝∠OBN ， ∵∠BNO ＝∠AMO ＝90°， ∴△AOM ∽△OBN ，

∴BN ON OB OM AM OA ==， 设A（m2）， ∴OM＝m，AM2， ∴BN，ON＝m2， ∵点A在第一象限内， ∴B（﹣m2）， ∵点B是直线y上一点， （﹣m2）， 解得m＝2 3 或m＝0（舍去）， 当m＝2 3 2 ∴A（2 3 ）， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数上的点的坐标特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 2．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x 轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三

二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选

二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选 【例1】. 已知：如图一，抛物线c bx ax y 2 ++=与x 轴正半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线2x y -=经过A 、C 两点，且AB=2. （1）求抛物线的解析式； （2）若直线DE 平行于x 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线 段BC 于点E 、D ，同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P 运动到原点O 时，直线DE 与点P 都停止运动，连DP ，若点P 运动时间为t 秒 ；设OP ED OP ED s ⋅+=，当 t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值。 （3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似；若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）在y x 2=-中，由x=0得y=－2，∴C （0，－2）。 由 y=0得 x=2，∴A （2，0）。 ∵AB=2，∴B （4，0）。 ∴可设抛物线的解析式为()()y a x 2x 4=--，代入点C （0，－2）得1a 4 =- 。 ∴抛物线的解析式为()()2113 y x 2x 4x x 2442 =- --=-+-。 （2）由题意：CE=t ，PB=2t ，OP=4－2t 。 ∵ED ∥BA ，∴△CED ∽△COB 。 ∴ED CE OB CO =，即ED t 42 =。∴ED=2t 。 ∴()()()22 2t+42t ED OP 41 s ===ED OP 2t 42t 4t +8t t 1+1 -+= ⋅⋅----。 ∴当t=1时，()2 t 1+1--有最大值1。 ∴当t=1时，ED OP s ED OP += ⋅的值最小，最小值是1。