排列组合与概率(新)

专题三： 排列、组合及二项式定理

一、排列、组合与二项式定理

【基础知识】

1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.

2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =???.

3.排列数公式 m

n A =)1()1(+--m n n n =

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且m ≤n)．

4.组合数公式 m n C =m n m m

A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N *

，且m ≤n).

5.组合数的两个性质： (1) m n C =m n n

C - ; (2) m

n C +1

-m n

C =m

n C 1+

（3）1

121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 6.排列数与组合数的关系是：m m

n n A m C =?！ .

7.二项式定理：n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式：r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.

【题例分析】

例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？

解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有4

4A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －3

3A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －23

3A ＋2

2A ）

种，故共有252种．

点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．

例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：

(1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表．

(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．

(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．

解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有5

5A 种,共有5

513452335

)(A C C C （C

+＝5400种．

(2)除去该女生后先取后排：8404

447=A C 种．

(3)先取后排,但先安排该男生：33604

41447=A C C 种．

(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C 种,再安排该男生有1

3C 种,其余3人全排有3

3A 种,共3

31

33

6A C C =360种．

例3、、有6本不同的书

（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ （2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？

（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？

（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？ （5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ （6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？ 解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，

共有902

22426=??C C C （种）。

（2）6本书平均分成3堆，用上述方法重复了33

A 倍，故共有153

3

2

4

26=?A C C （种）。 （3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，

共有603

32516=??C C C （种）

（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有3603

3332516=???A C C C （种）。

（5）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有152

21

5

16=?A C C （种）。 （6）本题即为6本书放在6个位置上，共有7206

6=A （种）。

例4、如果在n

x x ????

?

?+4

21 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。

解：展开式中前三项的系数分别为1，2

n

，8)1(-n n ，

由题意得：2×

2

n

=1+8)1(-n n 得n =8。

设第r+1项为有理项，4

3168

12

1r r r r x

c T -+??=，则r 是4的倍数，所以r=0，4，8。

有理项为2

954

12561

,835,x

T x T x T ==

=。 【巩固训练】

一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.

1、设k =1，2，3，4，5，则（x +2）5的展开式中x k

的系数不可能是 A 10 B 40 C 50 D 80.

2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 A 3种 B 4种 C 5种 D 6种. 二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.

3、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒

内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答） 4、设()()

()()()

9

92

2105

4

33321+++++++=++x a x a x a a x x

则

()2

86420

a a a a a

++++―

()=++++2

9753

1a a a a

a 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)

5、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？

6、若

()4

32-x =44332210

x a x a x a x a a

++++，求（1）()2420a a a ++―()2

31a a +的值。（2）3210a a a a +++的值。

二、等可能事件的概率

【基础知识】

等可能性事件的概率()m

P A n

=. 【题例分析】

例1、 某班有学生36人，血型分别为A 型12人,B 型10人,AB 型8人,O 型6人，现从中抽出2

人，求这两人血型不相同的概率.

解:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A 型)＋P(两人血型均为B 型)＋P(两人血型均为AB 型)＋P(两人血型均为O 型)＝

45

112

36

26

28210212=

+++C C C C C . 所以，P(两人血型不同)＝1－

45

34

4511=

. 点拨:从四种血型中抽出2种有C 2

4＝6种，依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便.

例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,如果选得同性委员的概率等于

2

1

，求男、女相差几名？ 解：设男生有x 名，则女生有36－x 名，选得2名委员都是男性的概率为236

2C C x ＝

35

36)

1(?-x x .选得两名委员都是女性的概率为

236

236C C x -＝

35

36)

35)(36(?--x x .

以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和. 依题意

3536)1(?-x x ＋35

36)

35)(36(?--x x ＝21.解得x ＝15或x ＝21.

即该班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，

总之，男女相差6名.

例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n 个红色，5个蓝色,10个黄色，其余为白色，求：

(1)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球不相邻的排法有多少种？

(2)如果从袋中取出3个都是颜色相同的彩球（不含白色）的概率是

406

13

，且n ≥2，计算红球有几个？

(3)根据(2)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个红球的概率？

解：(1)将5个黄球排成一排共有A 5

5种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空位上，有A 36种排法.∴所求的排法为A 55·A 3

6＝14400（种）.

（2）取3个球的种数为C 3

30＝4060，设“3个球全是红色”为事件A ，“3个球全是蓝色”为事件B.“3个球都是黄色”为事件C ，则P(B)＝

406010330

3

5=C C ，P(C)＝4060120

330

310=C C . ∵A 、B 、C 彼此互斥，∴P(A ＋B ＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，

即

40613＝P(A)＋4060

120

406010+.∴P(A)＝0，即取3个球，是红球的个数小于或等于2. 又∵n ≥2，故n ＝2.

（3）记“3个球至少有一个是红球”为事件D ，则D 为“3个球中没有红球”，则 P(D)＝1－P(D )＝1－

330

3

28C C ＝

145

28. 例4、一种电器控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等

品和两件一等品装入一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试.

（1）求前两次取出都是二等品的概率； （2）求第二次取出的是二等品的概率；

解：（1）四件产品逐一取出方式共有A 4

4种不同方式.

前两次取出都是二等品的方式共有A 2

2·A 2

2种不同方式.

所以前两次取出都是二等品的概率为： 61

4

4

2

222=A A A

（2）第二次取出是二等品共有：3

312A C ，

所以第二次取出是二等品的概率是：21

4

4

3

312=A A C

【巩固训练】

一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.

1、数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位

数字之和等于9的概率为（ ）

125

19D 12518C 12516B 12513A 、 、 、 、　

2、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体

玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 (A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)91216

二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.

3、袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .

4、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________

三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)

5、8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：

(1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；

(2)A组中至少有两支弱队的概率．

6、有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了1000个小正方体,将这些正方体混合后，放入一个口袋内.

(1)从该袋中任抽取一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是多少?

(2)从袋中任取两个正方体，其中至少有一个面上有红色的概率是多少?

三、互斥事件的概率

【基础知识】

1、 (1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.

(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.

2.重点公式

(1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P（A+B）=P（A）+P（B），推广:P（A1+A2+…+A n）=P（A1）+P（A2）+…+P（A n）.

(2)对立事件的概率和等于1.

P(P)+P(A)=P（A+A）=1.

【题例分析】

例1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人各抽一题：

（1）求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；

（2）求甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率.

解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有C1

6·C1

4

个，又甲、乙依次抽到一

题的可能结果有C1

10C1

9

个，所以，所求概率为：

1

9

9

10

1

4

1

6

C

C

C

C

=

15

4

.

（2）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为

19

1101314C C C C ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选

择题的概率为:1-

19

1101

314C C C C =1-

9012=1-152=15

13

. 例2、某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环

的概率是0.29.计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.

解：设这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A ，命中10环、9环、8环以及不够8环的事件分别记为A 1、A 2、A 3、A 4.

∵A 2、A 3、A 4彼此互斥，

∴P （A 2+A 3+A 4）=P(A 2)+P(A 3)+P(A 4)=0.28+0.19+0.29=0.76.

又∵A 1=432A A A ++，∴P(A 1)=1-P （A 2+A 3+A 4）=1-0.76=0.24.

∵A 1与A 2互斥，

∴P （A ）＝P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=0.24+0.28＝0.52. 故这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率为0.52.

例3、袋中放有3个伍分硬币，3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总值超过8分的概率.

解：记“总值超过8分”为事件A ，它应有四种情况： （1）“取到3个伍分硬币”为事件A 1；

（2）“取到2个伍分和一个贰分硬币”为事件A 2； （3）“取到2个伍分和一个壹分硬币”为事件A 3； （4）“取到一个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件A 4.

则P(A 1)=

310

33C C =1201. P(A 2)=3101323C C C =403

. P(A 3)=

310

1

423C C C =101. P(A 4)=310

2

313C C C =403

. 依题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥， ∴P(A)=P(A 1+A 2+A 3+A 4)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)+P(A 4)=

120

31 例

（Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

解：（I ）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过

20人排队结算的概率是0.75. （Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为：0.25+0.2+0.05=

2

1

，

一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为7

7)2

1(C ；

一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为61

7)21)(21(C ；

一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5

227)2

1()21(C ；

所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：

75.0128

99])21()21()21)(21()21([15

227617707>=++-C C C ，

所以，该商场需要增加结算窗口.

【巩固训练】

一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.

1、如果A 、B 两个事件互斥，那么（ ）

A.A+B 是必然事件

B.A +B 是必然事件

C.A 与B 一定互斥

D.A 与B 一定不互斥

2、在第

3、6、16路公共汽车的一个停靠站，假定这个车站只能停靠一辆汽车，有一位乘客需5分钟之内赶到厂里，他可乘3路或6路车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟内到此车站的概率分别为0.2和0.6，则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为（ ）

A.0.2

B.0.6

C.0.8

D.0.12 二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上. 3、甲、乙两人下成和棋的概率为

21，乙获胜的概率为3

1

，则乙不输的概率为_______. 4、有两个口袋，甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，

9只黑球，现从两袋中各取一只球,则两球颜色相同的概率为_______. 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)

5、已知袋中装有红色球3个、蓝色球2个、黄色球1个,从中任取一球确定颜色后再放回袋中，取到红色球后就结束选取，最多可以取三次，求在三次选取中恰好两次取到蓝色球的概率.

6、掷两个骰子，出现点数之和为4点或5点或偶数点的概率是多少？

四、独立事件的概率

【基础知识】

1.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).

2.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．

3.（不要求记忆）n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k

n n P k C P P -=-

【题例分析】

例1、某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次口

错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率.

解：有两种可能：将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中1件错误地鉴定为次品;将原1件次品错误地鉴定为正品，原3件正品中的2件错误地鉴定为次品. 概率为

P ＝9.01.02.09.01.08.02

23213???+???C C ＝0.1998

例2、已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标

7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）

解. 甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7/10=0.7

乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为6/10=0.6 (1)甲运动员向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是

44.0)7.01(7.01223=-??c

(2)乙运动员各向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是

[][]

19.0)6.01(6.0)7.01(7.0122

3122

3=-???-??c c

例3、冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，

取用甲种或乙种饮料的概率相等.

（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；

（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率. 解：（I ）128

21

)1()5(2

5

5

77=

-=P P C P . （II ）P 6(5)+P 5(5)+P 4(4) =C 65P 5(1－P)+C 55P 5+C 44P 4=

16

3 例4、有一批产品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂，已知每项指标抽检是相互独立的，每项指标抽检出现不合格品的概率都是0.2。

（１）求这批产品不能出厂的概率（保留三位有效数学）

（２）求直至五项指标全部检验完毕，才能确定该批产品是否出厂的概率（保留三位有效数学）

解答： （1）这批产品不能出厂的概率是：514

510.80.80.20.263P C =--??=

五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：13

140.20.80.8P C =??? 五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：13

240.20.80.2P C =???

由互斥事件有一个发生的概率加法可知：五项指标全部检验完毕才能确定这批产品

是否可以出厂的概率是13

1240.20.80.4096P P P C =+=??=

【巩固训练】

一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.

1. 一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的

自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ( ) （A ）0.1536 （B ） 0.1808 （C ） 0.5632 （D ） 0.9728

2、种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为 ( )

(A) p+q －2p q (B) p+q －pq (C) p+q (D) pq

二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.

3、某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9；

②他恰好击中目标3次的概率是0.93

×0.1；

③他至少击中目标1次的概率是1-0.14

.

其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）

4、某健美中心对第一期60人进行减肥训练，结果40人达到减肥标准目的，按此比率，现有5人参加第二期该训练，求：至少有4人没有达到减肥目的的概率. 。 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)

5、 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列

事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.

6、设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，试求：

（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；

（2）若今有一飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99％的概率命中它？

五、概率与期望

【基础知识】

1、离散型随机变量的分布列的两个性质： （1）0(1,2,

)i P i ≥=;（2）121P P ++

=.

2、数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++

3、数学期望的性质：

（1）E （a ξ+b ）=aE(ξ)+b ；（2）若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np.（二项分布）

（3）若ξ服从几何分布，且P （ξ=k ）=g(k,p), E ξ=1/p. 4、方差:()()()22

2

1122n n D x E p x E p x E p ξ

ξξξ=-?+-?+

+-?+

5、标准差:σξ=ξD .

6、方差的性质:

(1)()2D a b a D ξξ+= （2）ξ～B （n ，p ），则D ξ=np （1-p ）.

(3) 若ξ服从几何分布，且P （ξ=k ）=g(k,p), D ξ=q/p 2

.

7、 抽样方法

(1)简单随机抽样：概率N

n

P = 其中n 为样本容量， N 为个体总数 (2)分层抽样：

N

n

N n =11 其中n 为样本容量， N 为个体总数 n 1为分层样本容量， N 1为分层个体总数 【题例分析】

例1：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中

的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：

甲答对试题数ξ的数学期望5

9

61321210313010=?+?+?+?

=ξE （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则

15

14

120

56

56

)

(

3

2

120

20

60

)

(

3

10

3

8

1

2

2

8

3

10

3

6

1

4

2

6

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

C

C

C

C

B

P

C

C

C

C

A

P

因为事件A、B相互独立，

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

45

1

)

15

14

1

)(

3

2

1(

)

(

)

(

)

(=

-

-

=

=

?B

P

A

P

B

A

P

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

45

44

45

1

1

)

(

1=

-

=

?

-

=B

A

P

P

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

45

44

.

例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0

解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。

若，则表明他前次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分

布列为

用倍差法，可求得

所以

例3 、9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0 5，若一个坑内

至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这

个坑需补种假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望 （精确到0 01）

解：某坑需补种的概率为81)2

1(3

=

，不需补种的概率为8

7811=-

,

512

1

)81()30(,

512

21

87)81()20(512

147)87(81)10(,

512

343

)87()0(32232

133=======

=====ξξξξP C P C P P

ξ∴的分布列为：

ξ 0

10 20 30

P

512343 512

147

51221

512

1 ∴E ξ=0×512+10×512+20×512+30×512

=3 75

例4、．有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机投掷一次，所得点数较大者获胜

⑴分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；

⑵投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？

⒙解：⑴红色骰子投掷所得点数为1ξ是随即变量，其分布如下： 1ξ 8

2

P 31 3

2 E 1ξ＝8·

31＋2·3

2

＝4 蓝色骰子投掷所得点数2ξ是随即变量，其分布如下：

2ξ 7 1

P

21 2

1 E 2ξ=7·

21+1·2

1

=4 【巩固训练】

一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.

1、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120

个、180 个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个 销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①：在丙地区中有20 个特大型销焦点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这 项调查为，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是

（A ）分层抽样，系统抽样法 （B ）分层抽样法，简单随机抽样法 （C ）系统抽样法，分层抽样法 （D ）简随机抽样法，分层抽样法 二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上.

3、某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件。那么此样本的容量n= 。

4、设随机变量ξ的概率分布为,5)(k

a

k P =

=ξa 为常数，k ＝1,2，

、、、，则a= 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)

5、蓝球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次得分ξ的期望、方差、标准差分别是多

少？

6、从一批有5个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各个产品被抽到的可能性相同.记ξ为直到取出的是合格品为止时所需抽取的次数,分别在下列三种情形下求出:(1) 每次抽取的产品都不放回到这批产品中的ξ的分布列和所需平均抽取的次数; (2) 每次抽取的产品都立即放回到这批产品中,然后再抽取一件产品的ξ的分布列; (3) 每次抽取一件产品后,总将一件合格品放入这批产品中的ξ的分布列.

专题三答案： 一、排列与组合 5解：（1）如果按指标的个数进行分类，讨论比较复杂，可构造模型，即用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即5

9C 即为所求。

（2）先拿3个指标分别给二班1个，三班2个，则问题转化为7个优秀名额分给三个班，每班至少一个，同（1）知26C 即为所求。

6、、【解析】：（1）在使用赋值法前，应先将()

2

420a a a ++()231a a +变形为：

()2420a a a ++―()231a a +=()43210a a a a a ++++()43210a a a a a +-+-

才能发现x 应取什么特殊值：

令x = ―1，则()43210a a a a a +-+-=()

4

32+ 令x =1则()43210a a a a a ++++=(

)

4

3

2-

因此：()2

420a a a ++―()2

31a a +=()4

32+·()432-=(

)()[]43232-?+=1

（2）因为43210a a a a a ++++=()43210a a a a a +-+-=

()

4

32+，而

1624

4==a 所以，3210a a a a +++=

()4

32+―16

二、等可能事件的概率

5、（Ⅰ）解法：三支弱队在同一组的概率为 .7

1

481

54815=+C C C C

故有一组恰有两支弱队的概率为.7

6711=-

（Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21

4

8

1

533482523=+C C C C C C 6、(1)从口袋中任取一个正方体，恰有两面涂有红色的概率是P ＝125

12

10001218=

C . （2）从口袋中任取两个正方体，两个正方体表面都未涂有红色的概率为21000

2512C C ，故

其中至少有一个面上涂有红色的概率为P ＝1－

21000

2512C C ＝0.738.

三、互斥事件的概率

5、解:设A 为取到两个蓝色球和一个黄色球的事件,B 为先取到两个蓝色球，第三次取到红色球的事件，A 、B 互斥. ∴P(A+B)=P(A)+P(B)=

36

132236

23A A A A A +

=

101,即所求概率为10

1 6、解:设出现4点为事件A ，出现5点为事件B ，出现偶数点为事C,则P(A)=363

=12

1，P(B)=

364=91，P(C)=3618=2

1.A 、B 、C 并非彼此互斥，4点是偶数之一，故A+C=C ，而B 与C 互斥，∴A+B+C=B+C.

∴P(A+B+C)=P(B+C)=P(B)+P(C)=91+21=18

11

. 四、独立事件的概率 4、243

11)321(32)

3

21(55

54

4

52=

-+-=C C P 5、（Ⅰ）Ｐ（两人都投进两球）＝0222)6.0()4.0(C 202

2)6.0()4.0(C

=.0576.036.016.0=?

（Ⅱ）P （两人至少投进三个球）＝3072.01728.00768.00576.0=++

6、解：（1）P=0.84 （2）设需要n 门高射炮才能达目的，用A 表示“命中飞机”这一事件，用A i 表示“第i 门高射炮命中飞机”，则A 1、A 2…A n 相互独立，故n A A A ,,21也相互独立，故P （A ）=1－P(A )=1－P(n A A A 21?)=1－P(1A )P(2A )…P(n A )=1－n

)6.01(-.据题意P(A)≥0.99,∴1－n

)6.01(-≥99％,得n ≥5.02.

答：至少需6门高射炮才能以99％的概率命中。

五、概率与期望

5、解：ξ的所有可能取值为0、1，并且有()3.00==ξP ，()7.01==ξP ，

所以ξE 7.07.013.00=?+?=

ξD ()()21.07.07.013.07.0022=?-+?-=，

σξ.10

2121.0=

==ξD 6、解析：（1）ξ的所有可能取值为1、2、3、4，并且有

()851=

=ξP ；();561575832=?==ξP ();565

6572833=??==ξP ();561

556172834=???==ξP

所以满足（1）的ξ的分布列如下：

(2) ()81==ξP ;();64882=?==ξP ();8

)8(88832?=??==ξP

();85)83(43?==ξP …;();8

5

)83(1?==-k k P ξ

所以满足（2）的ξ的分布列为

（3）ξ的所有可能取值为1、2、3、4，并且有

()851=

=ξP ；();32986832=?==ξP ();25621

8782833=??==ξP ();256

3

888182834=???==ξP

所中（3）的ξ分布列如为

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

在概率的计算中的排列组合

预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。 这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。 一. 两个原理 1. 乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤，第一步有1n 种方法，第二步有2n 种方法，…， 第m 步有m n 种方法，且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤， 则完成该项工作一共有 1n 2n …m n 种方法，这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式，第一种方式有1n 种方法，第二种 方式有2n 种方法，…，第m 种方式有m n 种方法，且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有 1n +2n +…+m n 种方法，这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n 个元素里每次取出r 个元素，按一定顺序排成一列，称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列，这里n 和Z 。均为正整数(以 下同)。 当这n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我 们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。 对于无重复排列，要求当 时 r n 称为选排列，而当 r ＝n 时称为全排列。我们记排列数分别为 即将全排列看成选排列的特例。 利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义

由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素 都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可 以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl 成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记 作，由乘法原理得 显然，此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几 种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信； 2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为 2)是可重复排列问题，投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元 素里每次取出r个元素的组合。 设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作 将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为 ， 所有组合中的元素作全排列，共有 个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为 故有

高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2)从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数，则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 == =，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 （3）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生 不能全排在一起，则不同的排法数有 （A ）3600（B ）3200（C ）3080（D ）2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4 ）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项（B ）17项（C ）16项（D ）15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L

Session 3-permutaiton combination probability 排列组合和概率

1. PERMUTATION Suppose n objects are to be ordered from 1st to nth, each order is called a permutation. Apply the multiplication principle to count the number of permutations of n objects, i.e. n(n-1)(n-2)(n-3)....(3)(2)(1), or n!, called n factorial. e.g. Suppose that 10 students are going on a bus trip, and each of the students will be assigned to one of the 10 available seats. What is the number of possible different seating arrangements of the students on the bus? Notice: n objects should be distinguishable and they are always ordered in a line. If the objects are not ordered in a line but in other shapes, such as a circle or a square, how to calculate the number of permutations? e.g. Five students are going to sit around a table, how many arrangement can there be? (If the relative position of two students is the same, then we view it as one arrangement.) formula: (n-1)! If there are some objects are exactly the same, the number of permutations should be calculated in another way. e.g. How many different five-letter words can be formed when all letters in the word ENTER are used each time. formula: n!/(number of repeated objects)! Suppose that k objects will be selected from a set of n objects, where k<=n, and the k objects will be placed in order from 1st to kth. The number of permutation is n(n-1)(n-2)....(n-k+1). e.g. How many different five-digit positive integers can be formed using the digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, and 7 if none of the digits can occur more than once in the integer? 2. Combination Given the five letters A, B, C, D, and E, determine the number of ways of selecting 3 of the 5 letters, but unlike before, you do not want to count different orders for the 3 letters. i.e. Note that n choose k is always equal to n choose n-k

高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)

高中数学选修2-3基础知识归纳（排列组合、概率问题） 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。

四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路： ①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原

理得出结论。 注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； 例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公 益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48． 例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少

高中数学排列组合概率练习题

高中数学排列组合概率练习题 1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （A ） 37 （B ） 47 （C ） 114 （D ） 1314 答案：D 解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是3 9C ．所以3 9 613114 C - = ． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种 答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法． 3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 （A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个 答案：A 解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302 32 5=?C C 个，于是最多有30个交点． 推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有2 2 m n C C ?个 变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点． 答案：4 12C 4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ） 15 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 45 111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ???

高中数学竞赛_排列组合与概率【讲义】

第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用 m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地 0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为 n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---222110.其

公务员考试排列组合与概率问题重难点讲解

2013国家公务员考试行测暑期向前冲数学运算：排列组合与 概率问题重难点讲解 排列组合与概率问题在国家公务员考试中出现频率较大，几乎每年都会考查该类题型。公务员的日常工作更多涉及到统计相关知识，因此这部分题型会愈加被强调。 在现实生活中我们经常会遇到排座次、分配任务等问题，用到的都是排列组合原理，即便是最简单的概率问题也要利用排列组合原理计算。与此同时，排列组合中还有很多经典问题模型，其结论可以帮助我们速解该部分题型。 一、基础原理 二、基本解题策略 面对排列组合问题常用以下三种策略解题： 1.合理分类策略 ①类与类之间必须互斥（互不相容）；②分类涵盖所有情况。 2.准确分步策略 ①步与步之间互相独立（不相互影响）；②步与步之间保持连续性。 3.先组后排策略 当排列问题和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。 【例题1】班上从7名男生和5名女生中选出3男2女去参加五个竞赛，每个竞赛参加一人。问有多少种选法？

A．120 B．600 C．1440 D．42000 中公解析：此题答案为D。此题既涉及排列问题（参加五个不同的竞赛），又涉及组合问题（从12名学生中选出5名），应该先组后排。 三、概率问题 概率是一个介于0到1之间的数，是对随机事件发生可能性的测度。概率问题经常与排列组合结合考查。因此解决概率问题要先明确概率的定义，然后运用排列组合知识求解。 1.传统概率问题 2.条件概率 在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即A在B条件下的概率。

P（AB）为AB同时发生的概率，P（B）为事件B单独发生的概率。 【例题3】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？ 四、排列组合问题特殊解法 排列组合问题用到的方法比较特殊，缘于这些方法都是在对问题进行变形，把不容易理解的问题转化为简单的排列组合问题。 1.捆绑法 排列时如要求几个元素相邻，则将它们捆绑起来视为一个整体参与排列，然后再考虑它们内部的排列情况。 【例题4】某展览馆计划4月上旬接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。问：参观的时间安排共（）种。 A.30 B.120 C.2520 D.30240

高中数学竞赛标准讲义---排列组合与概率

高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计

例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 184 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ） 511 （B ）681 （C ）3061 （D ）408 1 例11、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4 5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A.16 625 B. 96625 C. 192625 D. 256625

排列组合概率专题讲解

专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有 多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特 别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 6． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1． 知识体系： 2．知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。 （4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。

排列组合与概率原理及解题技巧

排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元 素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 推论2 从n 个不同元素中任取m 个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的m 可重组合，其组合数为.1m m n C -+ 8．二项式定理：若n ∈N +,则(a+b)n =n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C +++++---2221 10.其中第r+1

排列组合与概率

专题三： 排列、组合及二项式定理 一、排列、组合与二项式定理 【基础知识】 1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =???. 3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n = ！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m ≤n)． 4.组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N * ，且m ≤n). 5.组合数的两个性质： (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1+ （3）1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 6.排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =?！ . 7.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 【题例分析】 例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？ 解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有4 4A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －3 3A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －23 3A ＋2 2A ） 种，故共有252种． 点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． 例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表． 解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有5 5A 种,共有5 513452335 )(A C C C （C +＝5400种． (2)除去该女生后先取后排：8404 447=A C 种．

GRE数学排列组合和概率题目

GRE数学排列组合和概率题目 考生在答新gre数学试题时，一定要细心认真，把握好时间，最好有做完检查的时间，尽量在新gre数学部分获取高分。 1、15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法? C155 –C122 2、7人比赛，A在B的前面的可能性有多少种 P77 / 2 A在B前的次数与在其后的次数相等 3、3对人分为A,B,C三组，考虑组顺和组中的人顺，有多少种分法? P33 ×(P22 )3 先考虑组顺，再考虑人顺 4、17个人中任取3人分别放在3个屋中，其中7个只能在某两个屋，另外10个只能在另一个屋，有多少种分法? P72 P101 5、A,B,C,D,E,F排在1，2，3，4，5，6这六个位置，问A不在1，B不在2，C不在3的排列的种数? P66 -3P55 +3P44 -P33 (先取总数，后分别把A放1，B放2, C放3,把这个数量算出，从总数中减去即可，建议用三个同样的环相互交错取总数的方法计算) 6、4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，有多少种排法? 2P33 7、5辆车排成一排，1辆黄色，1两蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法? P55 /P33 如果再加一个条件2辆不可分辨的白色车，同理：P77 /P33 P22 8、4对夫妇，从中任意选出3人组成一个小组，不能从任一对夫妇中同时选择两人，问符合选择条件的概率是多少? (C83 –C61 C41 )/C83 9、从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。 C61 C52 C21 C21 /C124 10、3个打字员为4家公司服务，每家公司各有一份文件录入，问每个打字员都收到文件的概率? (C42 C21 )C31 /34 先把文件分为2，1，1三堆，然后把这三堆文件分给三个打字员。 虽然新版gre数学部分难度系数有所提高，但相信我们国内考生能够从容应对，以上即是搜索整理的有关新gre数学排列组合和概率题目解析，希望能对广大考生有所帮助。

高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修 排列 组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1) 已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐标系 中所确定的不同点的个数是C (A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 36 解 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标, 不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标, 不同点的个数为1 1 63P P g 不同点的个数总数是1111 636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2) 从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以得到不同的对数 值的个数为 (A) 64 (B) 56 (C) 53 (D) 51 解 ①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为2 92P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个 ,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 ===，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为2 9287453()C ---=个 （3） 四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同 的排法数有 （A ）3600 （B ）3200 （C ）3080 （D ）2880 解 ①三名女生中有两名站在一起的站法种数是2 3P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是6 6P ，其中的三名女生排在一起的 站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为5 5P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1 5 25P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空7433422 74534522880A A C A A C A --= （4） 由100 +展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项 （B ）17项 （C ）16项 （D ）15项 解 1000100110011r 100r r 100100 100100100100 =C )+C )++C )++C --L L 可见通项式为 :1003100230010010010010023 66 6 100 100 100 100 ) 6 6 6 r r r r r r r r r r r r r r C C x C x C x ---++----===（） 且当r=06121896L ，，，，，时,相应项的系数为有理数,这些项共有17个, 故系数为有理项的共有17个. （5） 设有甲、 乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有2把钥匙，这4把钥匙与不能开这两 把锁的2把钥匙混在一起，从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是 （A ） 4/15 （B ） 2/5 （C ） 1/3 （D ） 2/3 解 从6把钥匙中任取2把的组合数为2 6P ，若从中任取的2把钥匙能打开2把锁，则取出的必是甲锁

(完整版)排列组合概率练习题(含答案)

排列与组合练习题 1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三 个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 答案：D 解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是39C ．所以39613114 C -=． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种 答案：B 解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法． 3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 （A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个 答案：A 解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一 的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302325=?C C 个，于是最 多有30个交点． 推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的 交点最多有22m n C C ?个 变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点． 答案：412C 4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45 答案：B 111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ???

高中数学-公式-排列组合与概率

排列组合、二项式定理 1、分类计数原理：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+……+m n . 分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法……做第n 步又m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1Xm 2X ……Xm n 。 2、排列数公式是：m n A =)1()1(+--m n n n = ！！)(m n n -(m ≤n,m 、n ∈N*)； 当m=n 时，为全排列n n A =n(n-1)(n-2)…3.2.1。 排列数与组合数的关系是：m n m n C m A ?=！ 组合数公式是：m n C =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?（m ≤n ）；)!(!!m n m n A A C m m m n m n -==； 组合数性质：m n C =m n n C -，10==n n n C C ； m n C +1-m n C =m n C 1+ ； ∑=n r r n C 0=n 2； r n rC =11--r n nC ； 1121 ++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ； n.n!=(n+1)!-n!，即n n n n n n A A nA -=++11。 3、二项式定理： n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， = (1)二项式性质：与首末两端等距离的二项式系数相等； 对于n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(的二次项系数：当n 是偶数时，中间的一项2n n C (第2n ＋1项)取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项21-n n C (第21+n 项)、21 +n n C (第2 1+n ＋1项)相等，且同时取得最大值。 n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2，即n n n n n n C C C C 2210=+???+++；且奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即131202 -=???++=???++n n n n n C C C C 。 7.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为)1(f ；奇数项系数和为)]1()1([2 1--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([2 1-+f f 。