高数第九章数项级数-任意项资料

1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？⑴11(1)n n ∞-=-∑；【解】级数11(1)n n ∞-=-∑属于交错级数，它满足关系1n n u u +=>=（1,2,3,n =L）且lim 0n n n u →∞==，即由莱布尼兹定理知，级数11(1)n n ∞-=-∑收敛，但11(1)n n ∞-=-∑1n ∞==是112p =综上知

无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍

任意项级数敛散性的判别

数项级数习题课完整版

任意项级数敛散性判断下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 ()∑∞=--1111n n n2、 ()∑∞=--1131n n nn3、 ()∑∞=+121sin n n na4、 ()()011>-∑∞=a na n nn5、 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2ln 1sin n n n π6、 +-+-+-3322103211032110321 7、 (

上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?1 1) ; n 1 n发散1 2) ; n 1 n !收敛n 3) n . n 1 10收敛5定义：正项和负项任意出现的级数称为

任意项级数(精)

新级数,先证明新级数收敛,再利用新级数证明原级数收敛.2. 绝对收敛与条件收敛定义:对于任意项级数 un ,n1若级数 un 收敛,则称级数 un 绝对收敛.n1n1若级数 un收

十五. 任意项级数收敛性判别法判断∑a n 收敛性的线索: 1°a n 是否→0; 2°是否绝对收敛; 3°是否条件收敛. 绝对收敛判别方法: 对∑| a n | 用正项级数判别法. 注意∑|a n |发散时一般不能得到∑a n 发散, 但|nn a a 1+|或n n a ||≥1时∑| a n |和∑a n 都发散. a n 为连乘积时用检比法,和Raa

p( ) npn的 收 敛性.n1 nn1limu n1 unn limnp( )n ( n 1)( ) ,若 1 ,则 原 级 数 绝 对 收 敛 ；若 1

任意项级数敛散性判断下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、()∑∞=--1111n n n2、 ()∑∞=--1131n n nn3、 ()∑∞=+121sin n n na4、 ()()011>-∑∞=a na n nn5、 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2ln 1sin n n n π6、 +-+-+-3322103211032110321 7、 ()

专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （ ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （ ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减

n都发散， 则 (unn 1 v ) 也发散；n（5）级数un 1n收敛（发散）等价于其部分和数；列{Sn}收敛（发散）n 1rn un1 un2 都是其余项； （6）对

∴ ∑ ( un + | un |)也是收敛级数(正项级数的比较判别法 ).n= n =1 ∞n =1 n =1∞∞从而∑ ( un + | un | − | un

(2n)2 (2n 1)3分析limnun0的敛散性 .a2n1 (2n)21 (2n 1)3a2n1a2n11 (2n 1)3(2n1 2)2a2n2Lebnitze条件是充分的

nnn 1 n 而 lim lim 1 n n 2n 1 2 2n 1 所以级数 1n 1n 1 n 绝对收敛 2n 1 n例2 判别下列级数是否

(2) 当l = 0时,若 vn 收敛 ,n1由定理2 知(3) 当l = ∞时,即un vn由定理2可知, 若 vn 发散 ,n1机动 目录 上页 下页 返回 结束是两个正项级数

注意到 1：用比较法得事先取定一个合适的已知敛 散性的级数；2 2：一个级数的敛散性应与其本身项有关。 常用比值法 根值法 比值法与根值法 比值法 根值法判断 u → 0 速度。n

n =1 n则级数∑ [α fn ( z ) + β g n ( z )] 在区域 D = D1 ∩ D2中一n =1∞致收敛于α S1 ( z ) + β S2