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1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？⑴11(1)n n ∞-=-∑；【解】级数11(1)n n ∞-=-∑属于交错级数，它满足关系1n n u u +=>=（1,2,3,n =L）且lim 0n n n u →∞==，即由莱布尼兹定理知，级数11(1)n n ∞-=-∑收敛，但11(1)n n ∞-=-∑1n ∞==是112p =<的P 级数，发散，综上知，级数1(1)n n ∞-=-∑条件收敛。
⑵111(1)3n n n n∞--=-∑； 【解】级数111(1)3n n n n∞--=-∑属于交错级数， 由于111(1)3n n n n ∞--=-∑113n n n∞-==∑， 因为111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<，由正项级数的比值判别法知，级数113n n n∞-=∑收敛， 综上知，级数111(1)3n n n n∞--=-∑绝对收敛。
⑶11ln (1)n n nn∞-=-∑； 【解】级数11ln (1)n n nn∞-=-∑属于交错级数，由于函数ln x y x =有21ln '0xy x -=>当x e >时恒成立， 知ln xy x=当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1ln lim lim lim 01n n n n nn u n →∞→∞→∞===，即由莱布尼兹定理知，级数11ln (1)n n nn∞-=-∑收敛， 但由于11ln (1)n n n n ∞-=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11n n∞=∑为调和级数，发散， 综上知级数11ln (1)n n nn∞-=-∑条件收敛。
⑷111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；【解】级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑属于交错级数，它满足关系111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++（1,2,3,n =L ）且1lim lim0ln(1)n n n u n →∞→∞==+，即由莱布尼兹定理知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛，但由于1limn n nu u +→∞1ln(1)lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 11n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞=+∑21n n∞==∑为调和级数，发散，即由比较判别法的极限形式知，级数11ln(1)n n ∞=+∑发散， 综上知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛。
大学数学易考知识点级数的收敛性和求和在大学数学中，级数是一个重要的概念，涉及到级数的收敛性和求和运算。
理解和掌握级数的收敛性以及求和的方法对于数学学科的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍级数的概念，讨论级数的收敛性判定方法，并介绍几种常见的求和方法。
一、级数的概念级数是由一列数的和构成的数列，通常以∑表示。
级数的一般形式可以表示为：∑(n=1 to ∞) an = a1 + a2 + a3 + ...其中，an表示级数的通项，n表示求和的下标，∑表示求和符号。
根据不同的通项an，级数可以分为不同的类型。
二、级数的收敛性判定方法1. 正项级数收敛性判定法正项级数是指级数的通项an都是非负数，即an ≥ 0。
对于正项级数，我们可以使用以下方法进行收敛性判定：(1) 比较判别法：将待确定的级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较。
(2) 比值判别法：计算级数的通项an+1与an的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
(3) 根值判别法：计算级数的通项an的n次方根与1的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
2. 任意项级数的收敛性判定法对于任意项级数，我们需要使用更加复杂的方法进行收敛性判定：(1) 莱布尼兹判别法：用于交错级数的判定，即级数的通项an交替出现正负号。
(2) 绝对收敛和条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；反之，如果一个级数收敛但它的绝对值级数发散，则称此级数为条件收敛。
三、级数的求和方法1. 部分和求和对于级数∑(n=1 to ∞) an，我们可以通过计算部分和Sn = a1 + a2 + ... + an来求得级数的近似值。
2. 等比级数求和等比级数是指级数的通项满足an+1 = r * an，其中r为常数。
对于等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n，可以通过以下公式求和：S = a / (1 - r)其中，S为级数的和。
3. 幂级数求和幂级数是指级数的通项可以表示为an = cr^n，其中c为常数，r为变量。
![数学分析习题课级数的收敛、求和与展开[1]共31页](https://uimg.taocdn.com/dc13803bf121dd36a32d82be.webp)
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：(1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4)若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7）函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2。
求下列极限： （1)xy xy y x 42lim0+-→→（2)x xyy x sin lim0→→(3）22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→3。
证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0,0)处是否连续？为什么习题8—2偏导数及其在经济分析中的应用1。
填空题 (1)设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （2)设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4)设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ； （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在(1,1）点的二阶偏导数4。
第四节 条件收敛与绝对收敛对于任意项级数∑∞=1n n a ,我们已经给出了其收敛的一些判别方法,本节我们讨论任意项级数的其他性质 — 条件收敛与绝对收敛;定义 对于级数∑∞=1n n a ,如果级数∑∞=1||n n a 是收敛的,我们称级数∑∞=1n n a 绝对收敛;如果∑∞=1||n n a 发散,但∑∞=1n n a 是收敛的, 我们称级数∑∞=1n n a 条件收敛;条件收敛的级数是存在的,如∑∞=+-11.)1(n n n收敛级数可以看成是有限和的推广,但无限和包含有极限过程;并不是有限和的所有性质都为无限和所保持;大体说来,绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质,条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大;下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质;定理 绝对收敛级数必为收敛级数,反之则不然.证明：设级数∑∞=1n n a 收敛,即∑∞=1||n n a 收敛,由Cauchy 收敛准则,对0>∀ε, 存在N,当n >N 时,对一切自然数p , 成立着ε<++++++||||||21p n n n a a a于是:≤++++++||21p n n n a a a ε<++++++||||||21p n n n a a a再由Cauchy 收敛准则知∑∞=1n n a 收敛;由级数∑∞=+-11)1(n n n 可看出反之不成立;注：如果正项级数∑∞=1||n n a 发散,不能推出级数∑∞=1n n a 发散;但如果使用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法判定出∑∞=1||n n a 发散,则级数∑∞=1n n a 必发散,这是因为利用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法来判定一个正项级数∑∞=1||n n a 为发散时,是根据这个级数的一般项|a n |当+∞→n 时不趋于0,因此对级数∑∞=1n n a 而言,它的一般项也不趋于零,所以级数∑∞=1n n a 发散;例 讨论级数∑∞=+++-11112)1(n p n nn n 的敛散性,如收敛指明是条件收敛或绝对收敛;解,当0≤p 时,由于∞→n lim ,0112≠++p nn n 所以级数发散. 当2>p 时, 因为∞→n lim 1/1112=++p pn n n n 而∑∞=11n pn收敛,所以原级数绝对收敛;当20≤<p 时,因u n –u n +1=ppn n n nn n )1()2(3)1(2+++-++=222222)1()2)(1()34()1)(44(p p p p n n n n nn n n n n +++++-+++>222222)1()2)(1()34()44(p p p p n n n n nn n n n n +++++-++=0)1()2)(1(222>+++p p p n n n n n故{u n }单调减少, 且∞→n lim0112=++p nn n 由Leibniz 判别法知∑∞=+++-11112)1(n p n nn n 收敛,显然∑∞=++1112n p nn n 发散,所以当20≤<p 时级数条件收敛; 前面已经指出,一个收敛级数不论是绝对收敛或条件收敛,将其项任意加括号后,得到的新级数仍收敛,这个性质称为收敛级数满足结合律;下面我们讨论收敛级数的交换律;设∑∞=1n n a 是一个级数,将级数项任意交换顺序,得到的新级数记为∑∞=1/n n a ,我们有下列定理:定理 设级数∑∞=1n n a 绝对收敛,则重排的级数∑∞=1/n n a 也是绝对收敛的,且其和不变;证明：先设∑∞=1n n a 是正项收敛的级数,此时有∑=mn na1/≤∑∞=1n n a =M , 对m =1,2,…, 均成立即正项级数∑∞=1/n na 的部分和数列有界,从而∑∞=1/n n a 收敛,且∑∞=1/n n a ≤∑∞=1n na而正项级数∑∞=1n n a 也可看成是∑∞=1/n n a 的重排, 从而也有∑∞=1/n na≤∑∞=1n na所以∑∞=1/n n a =.1∑∞=n n a对一般项级数∑∞=1n n a ,设∑∞=1||n n a 收敛记 u n =2||n n a a +, v n =2||nn a a -, n =1,2,…, 显然有 0||n n a u ≤≤, 0||n n a v ≤≤, ,,2,1 =n由比较判别法知正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均收敛;因而重排后的级数∑∞=1/n n u 与∑∞=1n n v 也收敛,且有∑∞=1/n nu =∑∞=1n n u∑∞=1/n nv =∑∞=1n n v从而,级数∑∞=1/||n na =∑∞=+1//)(n nnv u 也收敛,即∑∞=1/n n a 绝对收敛,且有∑∞=1/||n na=∑∞=-1//)(n nnv u =∑∞=-1/n nu ∑∞=1/n n v=∑∞=1n n u –∑∞=1n n v =∑∞=-1)(n n n v u=∑∞=1n n a下面我们讨论条件收敛级数的重排: 定理Riemann 设∑∞=1n n a 是条件收敛级数, 则1 对任意给定的一个ξR ∈,必存在∑∞=1n n a 的一个重排∑/na使得∑∞=1/n n a =ξ;2 存在∑∞=1n n a 的重排级数∑∞=1/n n a 使∑∞=1/n n a =∞+或∞-证明：记 u n =2||n n a a +, v n =2||n n a a -n =1,2,…显然∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都是正项级数,且有∞→n lim u n =∞→n lim v n =0易证得∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均发散请读者自行证明现考察序列a 1, a 2,…, a n , …,用p m 表示数列中第m 个非负项,用Q m 表示其中的第m 个负项的绝对值;显然{p m }是{u n }的子列,{Q m }是{v n }的子列,{p m }为{u n }中删去了一些等于零的项后剩下的数列,因此 ∞→n lim p m =∞→n lim Q m =0=∑∞=1n n p +∞=∑∞=1n n Q我们依次考察p 1,p 2,…中的各项,设1m p 为其中第一个满足以下条件的项p 1+p 2+…+1m p >ξ再依次考察Q 1,Q 2…中的各项,设1n Q 是其中第一个满足以下条件的项;p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ再依次考察 11+m p +21+m p +…中的各项,设2m p 是其中第一个满足以下条件的项;p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–… –1n Q +11+m p +21+m p +…+2m p >ξ照此下去,我们得到∑∞=1n n a 的一个重排∑∞=1/n n a 如下p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q+11+m p +21+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q +12+m p +…再分别用R k 与L k 表示级数∑∞=1/n n a 的末项为k m p 的部分和与末项为k n Q 的部分和,则有|R k –ξ|≤k m p , k =2,3,… 否则与k m p 的选取有矛盾; 同理有|L k –ξ|≤k n Q , k =1,2,3,…因为 ∞→k lim k m p =∞→k lim k n Q =0∴ ∞→k lim R k =∞→k lim L k =ξ因为级数∑∞=1/n n a 的任一部分和/n s 必介于某一对L k 与R k 之间,所以也应有∞→n lim /n s =ξ即 ∑∞=1/n n a =ξ2首先,任意选取一个严格单调上升并趋于+∞的实数,列{ξk }例如, 可选ξk =k ,k =1,2,…. 其次,用p k 表示序列{n a }中的第k 个非负项,用Q k 表示序列{n a }的第k 个负项,设p m 是p 1,p 2,…中第一个满足以下条件的项p 1+p 2+…+1m p >ξ1设1n Q 是Q 1,Q 2 ,…中第一个满足以下条件的项 p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ1再依次考察11+m p +21+m p +…中的各项,设2m p 是其中第一个满足以下条件的项p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p >ξ2再依次考察11+n Q ,21+n Q …中各项,设2n Q 是其中第一个满足以下条件的项,p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q >ξ2依次做下去,我们得到∑∞=1n n a 的一个重排∑∞=1/n n a , 这个重排级数满足条件.1/+∞=∑∞=n n a同样可以得到一个重排,使得.1/-∞=∑∞=n n a下面我们考察两个级数的乘积; 设∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 是两个级数,将∑∞=1n na ∑∞=1n n b 定义为下列所有项的和44342414433323134232221241312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a由于级数运算一般不满足交换律与结合律;所以这无穷多项如何排序是我们需要考虑的一个问题;事实上,上述无穷多项有很多的排序方式,下面我们介绍两种最常用的排序方式 对角线排序法和正方形排序法; 定义a 1b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 1b 4 … a 2b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………令c 1= a 1b 1, c 2= a 1b 2+ a 2b 1, c 3= a 1b 3+ a 2b 2+ a 3b 1, …… c n ==∑+=+1n j i j i b a a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1…………我们称∑∞=1n n c =∑∞=1(n a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1为级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 的Cauchy 乘积;a 1b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 1b 4 … a 2b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………令 d 1= a 1b 1, d 2= a 1b 2+ a 2b 2+ a 2b 1……………d n = a 1b n + a 2b n +…+ a n b n + a n b n -1+…+ a n b 1 ……………则级数∑∞=1n n d 称为级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 按正方形排列所得的乘积.定理 如果级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 均收敛,则按正方形排序所得的乘积级数∑∞=1n n d 总是收敛的,且∑∞=1k k d =∑∑∞=∞=11)()(k k k k b a证明：因为s n =∑=nk k d 1=∑=nk 1(a 1b k + a 2b k +…+ a k b k +a 2b k-1+…+a k b 1=∑=nk ka 1∑=nk k b 1=bn a n s s其中{a ns }与{b ns }分别为∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 的部分和,当记∞→n lim a n s =a s ,∞→n lim bn s =b s 时,有∞→n lim n d =a s b s所以级数∑∞=1n n d 收敛,且∑∞=1n n d =∑∞=1n na ∑∞=1n n b .但是两个收敛级数的Cauchy 乘积却不一定是收敛的;例如∑∞=1n n a =∑∞=+-1211)1(n n n与∑∞=1n n b =∑∞=+-1211)1(n n n这两个级数显然都是收敛,但它们的Cauchy 乘积的一般项为c n =－1n+1∑+=+11n j i ij显然 ≤ij 2j i +=21+n从而∑+=+11n j i ij≥∑+=++112n j i n >n n ⋅+12所以∞→n lim ,0≠n c 故∑∞=1n n c 发散.定理 如果级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都绝对收敛,则它们的Cauchy 乘积∑∞=1n n c 和正方形排列所得的乘积∑∞=1n n d 都是绝对收敛的,且∑∞=1n n c =∑∞=1n n a ∑∞=1n n b证明: 设s n =∑=nk k c 1||=∑=nk 1|a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1|≤∑=nk k a 1||∑=nk k b 1||≤∑∞=1||k k a ∑∞=1||k k b由正项级数∑∞=1||k k c 的部分和数列有界知∑∞=1||k k c 收敛,又因为绝对收敛级数有交换律和结合律; 同理可证,∑∞=1n n d 绝对收敛所以∑∞=1n n c =∑∞=1n n d =∑∞=1n na ∑∞=1n n b .我们可以将上定理的条件适当放宽定理Mertens 设级数∑∞=1n n a 绝对收敛,级数∑∞=1n n b 收敛,记∑∞=1n n a =A, ∑∞=1n n b =B则它们的Cauchy 乘积∑∞=1n n c 也收敛, 且∑∞=1n n c =AB证明: 记A n =∑=n k k a 1, B n =∑=nk k b 1c n =a 1b n +a 2b n-1+…+a n b 1前n 项部分和s n =∑=nk 1(a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1= a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1当令n β=B －B n 时, n =1,2,… s n = a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1= a 1B –n β+a 2B –1-n β+…+a n B –1β = A n B –a 1n β +a 21-n β+…+a n 1β = A n B –R n下面我们估计R n = a 1n β+a 21-n β+…+a n 1β 因为序列{k β}趋于0,可设 |k β|≤M , ∈∀k N 取k 充分大使 |k β|<D2ε这里D>.||1∑∞=n n a 再取m 充分大,使∑∞+=1||m k k a <M 2ε,于是当N 充分大时,对上面取定的m 有|R n |≤|a 1||n β|+…+|a m ||1+-m n β|+|a m +1||m n -β|+…+|a n ||1β| <D D2ε⋅+M M2ε⋅=ε所以 n n R ∞→lim =0从而 AB B A s n n n n ==→∞→∞lim lim . 证毕. 定理Abel 定理设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛,且∑∞=1n n a =A,∑∞=1n n b =B,∑∞=1n n c 是它们的Cauchy 乘积,如果∑∞=1n n c 收敛,其和为c ,则必有c B证明：在数列极限理论中,我们已经证明 如 n n A ∞→lim =A, n n B ∞→lim =B,n n c ∞→lim =c , 则AB nB A B A B A n n n n =+++-∞→1121lim当记∑==nk n n c s 1时,有c s n n =∞→lim 所以 c =∞→n limn1∑=nk ns1=∞→n lim n1 A 1B n +A 2B n-1+…+A n B 1 =AB.习题1、设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 均绝对收敛,则它们的任意排序方法除了对角线方法与正方形方法得到的乘积级数∑n h也绝对收敛,且∑∞=1nnh=∑∞=1nna∑∞=1nnb2、设|x|<1,|y|<1, 求证: ∑∞=1(n x n-1+ x n-2y++y n-1=)1)(1(1yx--3、求证: ∑∞=0!nnnx∑∞=0!nnny=∑∞=+!)(nnnyx4、求证: ∑∞=0! 1n n∑∞=-!)1(nnn=15、求证: ∑∞=0nnq∑∞=0nnq=).1|(|)1(1)1(2<-=+∑∞=qqqnnn。
1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？⑴11(1)n n ∞-=-∑；【解】级数11(1)n n ∞-=-∑属于交错级数，它满足关系1n n u u +=>=（1,2,3,n =L）且lim 0n n n u →∞==，即由莱布尼兹定理知，级数11(1)n n ∞-=-∑收敛，但11(1)n n ∞-=-∑1n ∞==是112p =<的P 级数，发散，综上知，级数1(1)n n ∞-=-∑条件收敛。
⑵111(1)3n n n n∞--=-∑； 【解】级数111(1)3n n n n∞--=-∑属于交错级数， 由于111(1)3n n n n ∞--=-∑113n n n∞-==∑， 因为111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<，由正项级数的比值判别法知，级数113n n n∞-=∑收敛， 综上知，级数111(1)3n n n n∞--=-∑绝对收敛。
⑶11ln (1)n n nn∞-=-∑； 【解】级数11ln (1)n n nn∞-=-∑属于交错级数，由于函数ln x y x =有21ln '0xy x -=>当x e >时恒成立， 知ln xy x=当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1ln lim lim lim 01n n n n nn u n →∞→∞→∞===，即由莱布尼兹定理知，级数11ln (1)n n nn∞-=-∑收敛， 但由于11ln (1)n n n n ∞-=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11n n∞=∑为调和级数，发散， 综上知级数11ln (1)n n nn∞-=-∑条件收敛。
⑷111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；【解】级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑属于交错级数，它满足关系111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++（1,2,3,n =L ）且1lim lim0ln(1)n n n u n →∞→∞==+，即由莱布尼兹定理知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛，但由于1limn n nu u +→∞1ln(1)lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 11n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞=+∑21n n∞==∑为调和级数，发散，即由比较判别法的极限形式知，级数11ln(1)n n ∞=+∑发散， 综上知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛。
⑸2112(1)!n n n n ∞-=-∑；【解】级数2112(1)!n n n n ∞-=-∑为交错级数， 注意函数2x y x =，由于22ln 22'x x x y x ⋅-=22(ln 21)x x x-=， 易见，当2x >时，ln 22ln 2ln 41x >=>，使得此时'0y >，即知当2x >时，2xy x=为增函数，即有()(2)y x y >2222==，亦即当2n >时，22nn >， 于是当2n >时，有1n nu u +22(1)2(1)!2!n nn n ++=22(1)21n n n +-=+2121n n +=+1221n n n +=⋅+221n≥⋅>， 可知，当2n >时，1n n u u +>，不满足交错级数收敛条件⑴，从而可知，交错级数2112(1)!n n n n ∞-=-∑发散。
⑹21sin n nn∞=∑。
【解】级数21sin n nn ∞=∑为任意项级数， 由于21sin n n n ∞=∑211n n ∞=≤∑，而211n n∞=∑为21p =>的P 级数，收敛， 即由比较判别法知，级数21sin n nn ∞=∑绝对收敛。
*2．判定级数2111(1)(1)2nn n n n ∞=-+∑的敛散性。
【解】级数2111(1)(1)2nn n n n∞=-+∑为交错级数，观察211lim lim (1)2n n n n n u n →∞→∞=+11lim[(1)]2n nn n→∞=+，由于11lim (1)2n n n→∞+112e =>，可知lim n n u →∞=∞，即由莱布尼兹定理知，级数2111(1)(1)2nn n n n∞=-+∑发散。
3．判别级数121(1)sin1n n nn ∞-=-+∑的敛散性。
【解】级数121(1)sin1n n nn ∞-=-+∑为交错级数， 由2(1)0n -≥得212n n +≥，亦即210122n n π<≤<+， 考察函数21x y x =+，有2221'0(1)x y x -=<+在1x >时恒成立， 可知数列21n n +是减函数，其值域为1(0,)2从而由于函数sin y x =在1(0,)(0,)22π⊃上是增函数，而知数列2sin 1nn +是递减的，再者，有2limsin1n nn →∞+21limsin sin 0011n nn →∞===+， 即由莱布尼兹定理知,级数121(1)sin1n n nn ∞-=-+∑是收敛级数， 再因22sin1lim 11x nn n n →∞+=+，由比较判别法的极限形式知，级数21sin 1n n n ∞=+∑与级数211n n n ∞=+∑具有相同的敛散性，而由211111n n n n n =>+++，以及调和级数111n n ∞=+∑发散而知道级数211n n n ∞=+∑发散，从而知道级数21sin 1n nn ∞=+∑发散，综上知，级数22(1)sin1n n nn ∞=-+∑条件收敛。
4．级数21(1)sinln nn n∞=-∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 【解】级数21(1)sinln n n n∞=-∑为交错级数， 考察函数1sin ln y x =，由于2111'cos 0ln ln y x x x -=⋅⋅<当1x >时恒成立， 知函数1sin ln y x=是(1,)+∞上的减函数，亦即数列1sin ln n 是递减数列，再者，有1lim sin 0ln n n→∞=，即由莱布尼兹定理知,级数21(1)sinln n n n∞=-∑收敛， 再因1sinln lim 11ln x x x→∞=，由比较判别法的极限形式知，级数21sinln n n ∞=∑与级数21ln n n∞=∑具有相同的敛散性，而由11ln n n >，以及调和级数21n n ∞=∑发散而知道级数21ln n n ∞=∑发散，从而知道级数21sinln n n∞=∑发散， 综上知，级数21(1)sinln n n n∞=-∑条件收敛。
5．设2nn u∞=∑和2nn v∞=∑绝对收敛，证明2()nn n uv ∞=+∑也绝对收敛。
【证明】由题设2nn u∞=∑和2nn v∞=∑绝对收敛，知级数2nn u∞=∑和2nn v∞=∑收敛，即由收敛级数性质7.1.2知，级数2()nn n uv ∞=+∑也收敛，再由绝对值不等式a b a b +≤+得n n n n u v u v +≤+，（1,2,3,n =L ） 可由正项级数收敛的比较判别法得知，级数2nn n uv ∞=+∑收敛，从而知，级数2()nn n uv ∞=+∑绝对收敛。
证毕。
