1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
⑴
1
1
(1)n n ∞
-=-∑；
【解】级数
1
1
(1)n n ∞
-=-∑属于交错级数，
它满足关系1n n u u +=
>=（1,2,3,n =L
）且lim 0n n n u →∞==，
即由莱布尼兹定理知，级数
1
1
(1)n n ∞
-=-∑收敛，
但
1
1
(1)
n n ∞
-=-
∑1n ∞
==是112p =<的P 级数，发散，
综上知，级数
1
(1)n n ∞
-=-∑条件收敛。 ⑵
1
11
(1)
3
n n n n
∞
--=-∑； 【解】级数
1
1
1(1)3n n n n
∞
--=-∑属于交错级数， 由于
1
11
(1)
3n n n n ∞
--=-∑1
13n n n
∞
-==∑， 因为111113lim lim lim 1333
n n n n n n
n n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<，
由正项级数的比值判别法知，级数
11
3n n n
∞
-=∑收敛， 综上知，级数
1
1
1
(1)3n n n n
∞
--=-∑绝对收敛。 ⑶
1
1
ln (1)n n n
n
∞
-=-∑； 【解】级数
1
1
ln (1)n n n
n
∞
-=-∑属于交错级数，
由于函数ln x y x =有2
1ln '0x
y x -=>当x e >时恒成立， 知ln x
y x
=
当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1
ln lim lim lim 01
n n n n n
n u n →∞→∞→∞===，
即由莱布尼兹定理知，级数
1
1
ln (1)
n n n
n
∞
-=-∑收敛， 但由于
1
1
ln (1)
n n n n ∞
-=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11
n n
∞
=∑为调和级数，发散， 综上知级数
1
1
ln (1)
n n n
n
∞
-=-∑条件收敛。 ⑷
1
1
1
(1)ln(1)
n n n ∞
-=-+∑；
【解】级数
1
1
1
(1)ln(1)
n n n ∞
-=-+∑属于交错级数，
它满足关系111
ln(1)ln(2)
n n u u n n +=
>=++（1,2,3,n =L ）
且1
lim lim
0ln(1)
n n n u n →∞
→∞==+，
即由莱布尼兹定理知，级数
1
1
1
(1)ln(1)
n n n ∞
-=-+∑收敛，
但由于1lim
n n n
u u +→∞1
ln(1)
lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 1
1
n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞
=+∑21
n n
∞
==∑为调和级数，发散，
即由比较判别法的极限形式知，级数
1
1
ln(1)n n ∞
=+∑发散， 综上知，级数
1
1
1
(1)ln(1)
n n n ∞
-=-+∑条件收敛。
⑸2
11
2(1)!n n n n ∞
-=-∑；
【解】级数
2
1
1
2
(1)
!
n n n n ∞
-=-∑为交错级数， 注意函数2x y x =，由于22ln 22'x x x y x ?-=2
2(ln 21)
x x x
-=， 易见，当2x >时，ln 22ln 2ln 41x >=>，使得此时'0y >，
即知当2x >时，2x
y x
=为增函数，
即有()(2)y x y >2222
=
=，亦即当2n >时，22n
n >， 于是当2n >时，有
1
n n
u u +2
2
(1)
2(1)!2
!
n n
n n ++=22
(1)21n n n +-=+2121n n +=+1
221n n n +=?+221n
≥?>， 可知，当2n >时，1n n u u +>，不满足交错级数收敛条件⑴，
从而可知，交错级数2
11
2(1)!n n n n ∞
-=-∑发散。
⑹
2
1sin n n
n
∞
=∑。 【解】级数
21
sin n n
n ∞
=∑为任意项级数， 由于
2
1
sin n n n ∞
=∑
211n n ∞=≤∑，而211n n
∞
=∑为21p =>的P 级数，收敛， 即由比较判别法知，级数
21
sin n n
n ∞
=∑绝对收敛。 *
2．判定级数2
1
11(1)(1)2n
n n n n ∞
=-+∑的敛散性。
【解】级数
21
11(1)(1)2n
n n n n
∞
=-+∑为交错级数，
观察211lim lim (1)2n n n n n u n →∞→∞=+11lim[(1)]2n n
n n
→∞=+，
由于11lim (1)2n n n
→∞+1
12e =>，可知lim n n u →∞=∞，
即由莱布尼兹定理知，级数
2
1
11(1)(1)2n
n n n n
∞
=-+∑发散。 3．判别级数
1
2
1(1)
sin
1
n n n
n ∞
-=-+∑的敛散性。 【解】级数
121
(1)sin
1
n n n
n ∞
-=-+∑为交错级数， 由2
(1)0n -≥得2
12n n +≥，亦即210122
n n π
<
≤<+， 考察函数21x y x =+，有2
22
1'0(1)
x y x -=<+在1x >时恒成立， 可知数列
21n n +是减函数，其值域为
1
(0,)2
从而由于函数sin y x =在1(0,)(0,)22π?上是增函数，而知数列2sin 1
n
n +是递减
的，
再者，有2limsin
1n n
n →∞
+2
1limsin sin 001
1n n
n →∞===+， 即由莱布尼兹定理知,级数
1
2
1
(1)
sin
1
n n n
n ∞
-=-+∑是收敛级数， 再因22
sin
1lim 11
x n
n n n →∞+=+，由比较判别法的极限形式知，级数21
sin 1n n n ∞=+∑与级数
2
11n n n ∞
=+∑具有相同的敛散性，而由211111n n n n n =>+++，以及调和级数11
1n n ∞
=+∑发散而知道级数211n n n ∞
=+∑发散，从而知道级数21
sin 1n n
n ∞
=+∑发散，
综上知，级数
2
2
(1)sin
1
n n n
n ∞
=-+∑条件收敛。
4．级数
2
1
(1)
sin
ln n
n n
∞
=-∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 【解】级数
2
1
(1)sin
ln n n n
∞
=-∑为交错级数， 考察函数1sin ln y x =，由于2111'cos 0ln ln y x x x -=??<当1x >时恒成立， 知函数1sin ln y x
=是(1,)+∞上的减函数，亦即数列1
sin ln n 是递减数列，
再者，有1
lim sin 0ln n n
→∞=，
即由莱布尼兹定理知,级数
2
1
(1)sin
ln n n n
∞
=-∑收敛， 再因1
sin
ln lim 11ln x x x
→∞=，由比较判别法的极限形式知，级数21sin
ln n n ∞=∑与级数21ln n n
∞
=∑具有相同的敛散性，而由11ln n n >，以及调和级数21n n ∞=∑发散而知道级数2
1
ln n n ∞
=∑
发散，从而知道级数
2
1
sin
ln n n
∞
=∑发散， 综上知，级数
2
1
(1)sin
ln n n n
∞
=-∑条件收敛。 5．设
2
n
n u
∞
=∑和
2
n
n v
∞
=∑绝对收敛，证明
2
()n
n n u
v ∞
=+∑也绝对收敛。
【证明】由题设
2
n
n u
∞
=∑和
2
n
n v
∞
=∑绝对收敛，知级数
2
n
n u
∞
=∑和
2
n
n v
∞
=∑收敛，
即由收敛级数性质7.1.2知，级数
2
()n
n n u
v ∞
=+∑也收敛，
再由绝对值不等式a b a b +≤+得n n n n u v u v +≤+，（1,2,3,n =L ） 可由正项级数收敛的比较判别法得知，级数
2
n
n n u
v ∞
=+∑收敛，
从而知，级数
2
()n
n n u
v ∞
=+∑绝对收敛。证毕。
正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。
1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ ⑴ 1 1 (1)n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑属于交错级数， 它满足关系1n n u u += >=（1,2,3,n =L ）且lim 0n n n u →∞==， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑收敛， 但 1 1 (1) n n ∞ -=- ∑1n ∞ ==是112p =<的P 级数，发散， 综上知，级数 1 (1)n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑵ 1 11 (1) 3 n n n n ∞ --=-∑； 【解】级数 1 1 1(1)3n n n n ∞ --=-∑属于交错级数， 由于 1 11 (1) 3n n n n ∞ --=-∑1 13n n n ∞ -==∑， 因为111113lim lim lim 1333 n n n n n n n n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<， 由正项级数的比值判别法知，级数 11 3n n n ∞ -=∑收敛， 综上知，级数 1 1 1 (1)3n n n n ∞ --=-∑绝对收敛。 ⑶ 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑属于交错级数，
由于函数ln x y x =有2 1ln '0x y x -=>当x e >时恒成立， 知ln x y x = 当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1 ln lim lim lim 01 n n n n n n u n →∞→∞→∞===， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑收敛， 但由于 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11 n n ∞ =∑为调和级数，发散， 综上知级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑷ 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑； 【解】级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑属于交错级数， 它满足关系111 ln(1)ln(2) n n u u n n += >=++（1,2,3,n =L ） 且1 lim lim 0ln(1) n n n u n →∞ →∞==+， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑收敛， 但由于1lim n n n u u +→∞1 ln(1) lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 1 1 n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞ =+∑21 n n ∞ ==∑为调和级数，发散， 即由比较判别法的极限形式知，级数 1 1 ln(1)n n ∞ =+∑发散， 综上知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑条件收敛。
数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法
摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足
无穷级数整理 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ， 若0lim >=∞→l v u n n n ， 那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散.
第10章 无穷级数 【学习目标】 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 【能力目标】 【教学重点】 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 【教学难点】 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法；
3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 【教学方法】 启发式、引导式 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课 §１ 第2 次课 §2 第3 次课 §3 第4 次课 §4 第5次课 §5 第6次课 §6 第7次课 §7 第8次课 §8 第9次课 习题课 10. 1 常数项级数的概念和性质 一、无穷级数的概念 定义10.1 设有无穷序列 123,,, ,, n u u u u ??????, 则由此序列构成的表达式 123 n u u u u +++???++???称为无穷级数, 简称级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 3211 ???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 如果(1,2,...)n u n =都为常数，则称该级数为常数项级数，简称数项级数；如果 (1,2,...)n u n =为变量x 的函数()n u x ，则称该级数为函数项级数. 二、数项级数的敛散性概念 级数的部分和: 作级数∑∞ =1n n u 的前n 项和
无穷级数 1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞ →∞ ==∑存在，称级数收敛。 2.若任意项级数1 n n u ∞=∑收敛，1 n n u ∞=∑发散，则称1 n n u ∞=∑条件收敛，若1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = 3.若有两个级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞=∑，1 1 ,n n n n u s v σ∞∞ ====∑∑ 则 ①1()n n n u v s σ∞ =±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==???? ?=? ? ????? ∑∑。 ②1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞=∑发散，则1 ()n n n u v ∞ =+∑发散。 ③若二者都发散，则1 ()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1 1 1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1 110k ∞ =-=∑收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： a) b) P 级数： c) 对数级数： 5.三个重要结论
6．常用收敛快慢 正整数 由慢到快 连续型由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 11,lim 1,lim 0) 1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞ ?≠?? =??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时） 2. 1,1,1,n n l l l n l μ??=? 收发（当为某次方时）单独讨论 3. ① 代数式 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞ ====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散 ② 极限式 lim n n n u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞ =∑都是正项级数。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞ ∞ ∞ ∞ ====∞∞ ==∞ ∞ ∞ ∞ =====→→
比较几种判定正项级数收敛性的方法 【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析， 找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径. 【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题 一：比较判别法. 1:定义 若从某一项起11n n n n n n a b a kb a b ++≤≤（或者） （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑的收敛性可推出1 n n a ∞ =∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n n a b a b ++≥ 或者 （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑发散可推出1 n n a ∞ =∑发散. 2：比较判别法的极限形势 设lim n n n a b →∞ =λ（+λ∞为有限数或）则： （i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同. （ii ）：1 1 =0b n n n n a λ∞ ∞ ==∑∑时，由收敛可推出收敛. （iii ）：1 1 b n n n n a λ∞ ∞ ===+∞∑∑时,由发散课推出发散. 3:例题 (1):证明：若级数1 n n a ∞ =∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级 数1 n n A ∞ =∑其中 1 1 n n p n i i p A a -+==∑ （11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举 出例子. 证 设级数1 n n A ∞ =∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则
第十一讲 无穷级数 一、考试要求 1、 理解（了解）级数的收敛、发散以及收 敛级数的和的概念。 2、 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与P 级数的收敛与发散 的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 3、 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌 握交错级数的莱布尼茨判别法。 4、 掌握（会求）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 5、 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项 积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 6、 掌握e x ,sinx,cosx,ln(1+x)与（1+x)α的麦克劳林展开式，会用它们将简单函 数间接展开成幂级数。 7、 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在 [-L ，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 二、内容提要 1 数项级数 (1) 定义 (2) 性质：1）若∑∞ =1n n u 加括号发散? u n n =∞ ∑1 发散; 2）若u n n =∞∑1 收敛?lim n n u →∞ =0 2 正项级数 (1) 定义 (2) 判敛：1) {}S n 有界；2) 比较法；3) 比值法；4) 根值法 3 交错级数 ()--=∞ ∑111n n n u 4 一般项级数 绝对收敛，条件收敛 5 函数项级数 幂级数: (1) 收敛半径、收敛区间、收敛域 (2) Abel 定理：若已知a x x n n n =∞ ∑-00()在x=a 点收敛（发散），则
第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ） A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ） A ．∑ ∞ =++15312n n n B ．∑ ∞ =--+11)1(1n n n C ．∑ ∞ =-15 1 n n D ．∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4．设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ） A ．∑∞=+1 100n n u B ．∑∞=++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =1 )3(n n u D ．∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ） A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为（ ） A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤＜
第四章 无穷级数 4.1.基本概念与内容提要 级数1 1 n n n n a ca ∞ ∞ ==∑∑与收敛性相同。若级数1 1 n n n n a b ∞ ∞ ==∑∑与都收敛，则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑也收敛， 且1 1 1 ()n n n n n n n a b a b ∞ ∞ ∞ ===±=±∑∑∑。若级数11 n n n n a b ∞ ∞ ==∑∑与都发散，则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑不一定发散。 若级数1 1 n n n n a b ∞∞ ==∑∑收敛，发散，则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑必发散。 由级数1 ()n n n a b ∞=+∑收敛不能得到级数1 1 n n n n a b ∞∞ ==∑∑与收敛。 111 1 1 ,1;11n n n n q q q q q ∞∞ --==<= ≥-∑∑等比级数当时收敛且当时发散。 P 级数11p n n ∞ =∑，当p>1时收敛，当01p <≤发散。其中调和级数11 n n ∞ =∑发散。 级数11 n n k ∞=+∑发散，其中k 为正常数。级数11()n n n a a ∞ +=-∑收敛lim n n a →∞ ?存在。 如果级数1 n n a ∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞ =。如果lim 0n n a →∞ ≠，则级数1 n n a ∞ =∑必发散。 改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。收敛级数 加括号后仍收敛于原级数和。若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。 正项级数审敛法： ()n 1 n 11111.S 2.lim 0,n n n n n n n n n n n n a M a l l b a a b b ∞ =∞∞∞∞ →∞====?≤=>??∑∑∑∑∑正项级数的收敛准则：收敛正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散。 若则收敛收敛；发散发散。 n n 1111111 lim 0,lim ,1 3.0111n n n n n n n n n n n n n n p n n n n a a b a b a b b a p a n ρρρρρ∞∞∞∞ →∞→∞====∞∞ ∞ ====?=+∞?=≤<>=∑∑∑∑∑∑∑若则收敛收敛。若则发散发散。解题时常将级数与级数比较，以判定的敛散性。 根值判别法：设：时，级数收敛；当时， 级数发散；当时，不确定。注意：=0时级数也收敛。 ()[)14.lim 01115.1n n n a a f x ρρρρρ+→∞=≤<>=+∞比值判别法：设：，则当时，级数收敛；当时， 级数发散；当时，不确定。注意：=0时级数也收敛。积分判别法：是在，上单调递减的正项连续函数， ()()1 1 n f n f x dx ∞ +∞ =∑? 则正项级数与广义积分具有相同的收敛性。
公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S
（2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 ，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
第十一章 无穷级数 §11.1 级数的概念、性质 一、单项选择题 1. 若级数 1 n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A ) 1q =； (B )1q =-； (C )1q <； (D )1q >． 答(D )． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞ =，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim ()0n n n u u +→∞ -=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D )若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞ =∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B )11 n n k u k S ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞ ==∑； (D )11 2 n n n u S v S ∞ == ∑ ． 答(D ). 4. 若级数1 n n u ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 1 1 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D )1 n ∞=∑ 收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B )2S a +； (C)12S a a +-； (D )21S a a +-．答(B). 6. 若级数∑∞ =1 n n a 发散，∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D ) ∑∞ =+1 2 2)(n n n b a 发散. 答(A).
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记 n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞ =1 n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛 散性来定义。显然，级数∑∞=1 n n a 时，有0lim =∞ →n n a 。因此，0lim ≠→∞ n n a 时，必有级数∑∞ =1 n n a 发散。但是 0lim =∞ →n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞ =1 n n a 才收敛。可以证明： 几何级数∑∞ =1 n n q ，当1||p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1 n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1 n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1n n a 发散。可是，马 上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞ =1ln ln ln 1 n n n n 仍然发散级 数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺 子”：n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。 由几何级数的∑∞ =-11n n q 的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n 充分大时，正项级数的后一 项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达
教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。 第一节 常数项级数的概念和性质 一、 概念 常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ? ? ?, u n , ? ? ?, 则由这数列构成的表达式u 1 + u 2 + u 3 + ? ? ?+ u n + ? ? 叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞ =1n n u , 即 3211???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项 u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞=1 n n u 的前n 项和n n i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211 称为级数∑∞ =1 n n u 的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1 n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞ →lim , 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收 敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成 3211 ???++???+++==∑∞ =n n n u u u u u s 如果}{n s 没有极限, 则称
漫谈正项级数的收敛性及收 敛速度(总4页) 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记 n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞ =1 n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛 散性来定义。显然，级数∑∞=1 n n a 时，有0lim =∞→n n a 。因此，0lim ≠→∞ n n a 时，必有级数∑∞ =1 n n a 发散。但 是0lim =∞ →n n a 未必有∑∞=1 n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞ =1 n n a 才收敛。可以证 明：几何级数∑∞ =1 n n q ，当1||p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1 时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞ =1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数 ∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1 ，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1 n n a 发 散。可是，马上又面临新问题：无穷小 n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1 ，但是 ∑∞ =1 ln ln ln 1 n n n n 仍然发散级数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺子”： n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。
第四节 条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数∑∞ =1n n a ，我们已经给出了其收敛的一些判 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 - 条件收敛与绝对收敛. 定义10．5 对于级数∑∞ =1 n n a ，如果级数∑∞ =1 ||n n a 是收敛的,我们 称级数∑∞ =1 n n a 绝对收敛. 如果∑∞=1 ||n n a 发散,但∑∞=1 n n a 是收敛的， 我们称级数∑∞ =1 n n a 条件收 敛。 条件收敛的级数是存在的,如∑∞ =+-11 .)1(n n n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来,绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10。1７ 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然． 证明：设级数∑∞ =1 n n a 收敛，即∑∞ =1 ||n n a 收敛，由C ａuc ｈy 收敛准 则，对0>?ε， 存在N ，当n 〉N 时,对一切自然数 p , 成立着 ε<++++++||||||21p n n n a a a 于是：
≤++++++||21p n n n a a a ε<++++++||||||21p n n n a a a 再由Cauchy 收敛准则知∑∞ =1 n n a 收敛。 由级数∑∞ =+-1 1 )1(n n n 可看出反之不成立. 注：如果正项级数∑∞=1 ||n n a 发散，不能推出级数∑∞ =1 n n a 发散。 但如果使用Cauchy 判别法或Ｄ'Ａlembert 判别法判定出 ∑∞=1 ||n n a 发散，则级数∑∞ =1 n n a 必发散,这是因为利用Cauch ｙ判别 法或D ’Ａｌｅｍｂert 判别法来判定一个正项级数∑∞ =1 | |n n a 为发散时，是根据这个级数的一般项｜a n ｜当+∞→n 时不趋于0，因此对级数∑∞ =1n n a 而言,它的一般项也不趋于零，所以级 数∑∞ =1 n n a 发散。 例10.38 讨论级数∑∞ =+++-1 1 1 12)1(n p n n n n 的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。 解,当0≤p 时，由于∞ →n lim ,01 12≠++p n n n 所以级数发散． 当2>p 时， 因为 ∞ →n lim 1/11 12=++p p n n n n 而∑ ∞ =1 1n p n 收敛,所以原级数绝对收敛。
正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 定理12.2.1 正项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?部分和数列{}n S 有界。 证明：由于对n ?，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有 ∑∞ =1 n n u 收敛?{}n S 收敛?{}n S 有界。 定理12-2-2（比较原则） 设∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使 得对 N n >?都有 n n v u ≤， 则 （1）若级数 ∑∞ =1n n v 收敛，则级数 ∑∞ =1n n u 也收敛； （2）若级数 ∑∞ =1 n n u 发散，则级数 ∑∞ =1 n n v 也发散。 证明：由定义及定理12-2-1即可得。 例1、考察 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的收敛性。 解：由于当2≥n 时，有 2 22)1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞ =-22)1(1n n 收敛，故∑∞ =+-1 2 11 n n n 收敛。 推论（比较判别法的极限形式） 设 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 是两个正项级数，若
l v u n n n =∞→lim ， 则 （1） 当+∞< 重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：数项级数收敛方法综述 专业：数学与应用数学 年级：2006级 学号：200606030161 作者：王超 指导老师：杜祥林（教授） 完成时间：2010年5月 目录 摘要 .................................................................... I Abstract ............................................... 错误！未定义书签。1引言. (1) 2 数项级数收敛的定义 (2) 2．1 级数的定义 (2) 2．2 数项级数收敛的定义 (2) 3 数项级数收敛的性质 (3) 4 数项级数的收敛方法 (4) 4．1 数项级数的常用收敛方法 (4) 4．2 正项数项级数的收敛方法 (10) 4．2．1 同号级数的定义 (10) 4．2．2 正项级数的收敛方法 (10) 4．3 交错级数的收敛方法 (28) 4．3．1 变号级数与交错级数的定义 (28) 4．3．2 交错级数的收敛方法 (28) 4．4 一般项级数的收敛方法 (30) 4．4．1 绝对收敛与条件收敛 (30) 4．4．2 一般收敛级数判别法 (30) 5 数项级数的收敛方法的优缺点比较 (34) 5．1 数项级数的收敛方法概述 (34) 5．2 各种收敛方法优缺点比较 (35) 5．2．1 对于级数收敛的判别方法优缺点比较 (35) 5．2．2 对于正项级数收敛的判别方法优缺点比较 (35) 5．2．3 对于一般项级数收敛的判别方法优缺点比较 (37) 致谢 (38) 参考文献 (38)无穷级数收敛方法综述
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