任意项级数_绝对收敛与条件收敛
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条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与绝对收敛定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。
n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。
(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。
n 1由级数(1)可看出反之不成立。
n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。
n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。
解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。
数学分析课件：9_5绝对收敛与条件收敛
2011年12月21日
§9.5 绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 任意项级数的各项取绝对值
任意项级数
正项级数
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
一、绝对收敛
⒈ 若 an 收敛,则 an也收敛.
反之不真
n1
n1
证法1：
an 收敛，
0,N ,n
N时，
n1
n p
1 102 k 1
1 102k
)
10 9
1 22m
1 9 104m
误差：
R6m
S
S6m
1 23m
1 9 103m
R6' m
S
S6' m
1 22m
1 9 104m
R6' m 2n
R6m
第一种方法要收敛快得多！
计算实例：
S 10 1.111 9
6m
6
2m
k 1
(
1 2k
1 102 k 1
同样，将 an看成是 bn更序所得，知S B.
S B
⑵ 对任意级数 an
①
记a
n
an
2
an
an 0
an 0 ,
an 0
正部
an 显然：0
an
2
an
an 0
an an ，0 an
an 0 负部
an an
0 ，且 an
an
an an an an
an收敛 an， an收敛.
⑶
(
1)n(1
1 )n2
n1 2
n
an
1 2n
(1
1 )n2 n
§9.5 绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 任意项级数的各项取绝对值
任意项级数
正项级数
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
一、绝对收敛
⒈ 若 an 收敛,则 an也收敛.
反之不真
n1
n1
证法1：
an 收敛，
0,N ,n
N时，
n1
n p
1 102 k 1
1 102k
)
10 9
1 22m
1 9 104m
误差：
R6m
S
S6m
1 23m
1 9 103m
R6' m
S
S6' m
1 22m
1 9 104m
R6' m 2n
R6m
第一种方法要收敛快得多！
计算实例：
S 10 1.111 9
6m
6
2m
k 1
(
1 2k
1 102 k 1
同样，将 an看成是 bn更序所得，知S B.
S B
⑵ 对任意级数 an
①
记a
n
an
2
an
an 0
an 0 ,
an 0
正部
an 显然：0
an
2
an
an 0
an an ，0 an
an 0 负部
an an
0 ，且 an
an
an an an an
an收敛 an， an收敛.
⑶
(
1)n(1
1 )n2
n1 2
n
an
1 2n
(1
1 )n2 n
绝对收敛与条件收敛
sinn n 1 n ( 2 ). ( 1 ) (1). ( 3 ). n ! x n 1 2 3 n n 1 n 1 n 1 1 1 sin n 解 (1). | un | 2 因 2 收敛, 故原级数绝对收敛. 2 n n n 1 n n1 n un1 n1 1 3 ( 2). lim lim lim 1 故原级数绝对收敛. n u n n 3n n 3 n n 1 3 (3).当x 0时，级数显然收敛于 0；当x 0时 un1 ( n 1)!| x |n1 lim lim lim( n 1) | x | 原级数发散. n n u n n n!| x | n
例如,
( 1 )
n1
1 条件收敛. n
1 ( 1 ) 3 绝对收敛. n n 1
n
定理7
若级数
u
n 1
n
绝对收敛, 则级数
u
n 1
n
必定收敛.
1 证 设 | un | 收敛, 令 vn (un | un |) (n 1,2,) 2 n 1
un 2vn | un | 由性质知, un 收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
1、任意项级数：
u ,
n 1 n
un 为任意实数.
2、绝对收敛、条件收敛.
1).若 2).若
| u u
n 1 n 1 n
n
| 收敛, 则称 un 为绝对收敛.
n 1
n
收敛, 但
n1
| u
n 1
| 发散, 则称 un 为条件收敛.
任意项级数绝对收敛与条件收敛
n
lim u n 0
n 1 ( 1 ) un 收敛 则交错级数 n 1
15
思考题
设正项级数
un 收敛 , 能否推得
n 1
n 1
2 un
收敛 ?
反之是否成立 ? 若是任意项级数呢 ?
16
un lim un 0 ， 解答 设 un 是正项级数， lim n u n n n1
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
若 x 1 , 该级数的通项不趋于 0， 级数发散；
13
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛法
必要条件 lim u n 0
n
满足
不满足
发 散
un 1 比值判别法 lim u r n n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
5
定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义 若
| u
n 1
n
| 收敛,则称 un 绝对收敛；
n1
n
若
un 收敛,但 | u
u1 .
1
(1)
n 1
n 1
un (其中un 0)
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
（1） un un1 ,即 {un } 单调递减；
（ 2 ） lim un 0 ,
n
则交错级数
lim u n 0
n 1 ( 1 ) un 收敛 则交错级数 n 1
15
思考题
设正项级数
un 收敛 , 能否推得
n 1
n 1
2 un
收敛 ?
反之是否成立 ? 若是任意项级数呢 ?
16
un lim un 0 ， 解答 设 un 是正项级数， lim n u n n n1
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
若 x 1 , 该级数的通项不趋于 0， 级数发散；
13
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛法
必要条件 lim u n 0
n
满足
不满足
发 散
un 1 比值判别法 lim u r n n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
5
定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义 若
| u
n 1
n
| 收敛,则称 un 绝对收敛；
n1
n
若
un 收敛,但 | u
u1 .
1
(1)
n 1
n 1
un (其中un 0)
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
（1） un un1 ,即 {un } 单调递减；
（ 2 ） lim un 0 ,
n
则交错级数
高等数学 上下册10_3 绝对收敛和条件收敛
定理 3 设 un 为任意项级数，如果 n1
lim un1
u n n
则当
1时，级数 un n1
绝对收敛，当
1
或lim un1 u n
n
时，级数un 发散.
n1
例 3 判 定 级 数 n 1 ( 1 ) n 1 n 1 3 n 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 .
解 由例2知， 交错级数n 1(1)n1n13n 是收敛的. 现利用定理3判定它是否绝对收敛.
u1u2u3u4(1)n1un,其中un(n1,2,) 都是正数.现给出交错级数的一个重要的审敛法.
定 理 1 （ 莱 布 尼 茨 （ L e i b n i z） 准 则 ） 若 交 错 级 数
( 1 )n 1 un满 足 条 件 ：
n 1
（1）un un1(n 1, 2,)
（2）lim n
第三节 绝对收敛与条件收敛
这一节讨论 n1
通常称为任意项级数.若级数 un 的项是正负相间的，这种 n1
级数称为交错级数.首先研究交错级数的审敛法，然后再讨 论任意项级数的审敛法，并给出绝对收敛与条件收敛的概 念.
一、交错级数及其审敛法
各项是正负相间的级数称为交错级数， 可以写成以下 形式：
un
0;
则 级 数 收 敛 ， 且 其 和 su 1,其 余 项 rn 的 绝 对 值 不 超 过 u n 1，
即 rnu n 1
证 明 从 略 .
例 1 判 断 交 错 级 数 1 1 1 1 ( 1 ) n 1 1 的 收 敛 性
2 3 4
n
解 un 1n,满足un un1，且lni munlni m1n 0, 所以级数
2n1 所以级数是发散的.
条件收敛与绝对收敛 -回复
条件收敛与绝对收敛 -回复条件收敛与绝对收敛是数学分析中常见的两个概念。
它们关注的是级数的收敛性质。
我们来看条件收敛。
一个数项级数称为条件收敛，如果它的部分和序列收敛但不绝对收敛。
所谓部分和序列，即将级数的前n个项相加而得到的数列。
具体来说，设数项级数为∑a_n，其部分和数列为S_n。
如果S_n收敛，但∑|a_n|发散，则称∑a_n为条件收敛。
而绝对收敛则是更强的收敛性质。
一个数项级数称为绝对收敛，如果它的部分和序列和绝对值级数都收敛。
换句话说，对于∑a_n来说，若∑|a_n|和∑a_n都收敛，则称∑a_n 是绝对收敛的。
条件收敛和绝对收敛之间存在一定的关系。
具体来讲，绝对收敛必定导致条件收敛，但条件收敛不一定导致绝对收敛。
可以举一个例子来说明这一点。
考虑一个经典的级数——调和级数∑1/n。
在这个级数中，部分和序列S_n等于调和数H_n，即H_n=1+1/2+1/3+...+1/n。
根据调和级数的性质，我们知道H_n是发散的。
这个级数是条件收敛的但不是绝对收敛的。
绝对收敛在数学分析中具有较强的性质。
绝对收敛的级数是可以任意重新排列其项的，而不改变其和的。
这个性质称为绝对可互换性。
而对于条件收敛的级数，重新排列项后的级数不一定具有相同的和，这个性质称为条件不可互换性。
这是因为条件收敛级数的和可能受到正项和负项之间的抵消效应的影响。
绝对收敛和条件收敛在数学分析中都有重要的应用和研究价值。
它们不仅在级数理论中起着重要的角色，也与函数项级数、幂级数、傅里叶级数等相关内容息息相关。
在实际应用中，对于级数的收敛性质的研究和判定，条件收敛和绝对收敛都有其独特的应用场景和方法。
条件收敛与绝对收敛是数学分析中两个重要的概念，它们对于级数的收敛性质有着不同的描述和解释。
了解和掌握这两个概念，有助于我们深入理解级数的性质和其在数学及其他科学领域中的应用。
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
也得一个新的正项级数，记为 n .
un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1
n 1
n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un
un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1
* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1
(2).若级数 un条件收敛,
un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1
n 1
n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un
un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1
* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1
(2).若级数 un条件收敛,
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
（ u u u ）（ v v v ） 1 2 1 2
U* V*，
* 即 S 有界，这证明了级数 绝对收敛 . n n n 1
2019/2/12
17
再 应 用 定 理 2 , 也 的 更 序 级 数 绝 对 收 敛 , 且 它 们 和 相 同 ,
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
2019/2/12
1
一.绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1
定理1: 若对级数 un， 将 它 所 有 正 项 保 留 而 负 项 换 为 0 ， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
由 定 理知 1 ，
这 两 个 级 数 都 收 敛 .
设 它 们 的 和 分 别 为 V 和 W , 则 有
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8
u V W. 由 ( 1 ) 知 u 的更序级数 u 有 u V W , 绝对收敛 即更序级数 u .
n 1 n
u
V W ,
18
以下再证明这个和数恰 为UV.
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a u v （ u v u v u v ）
n 1 n 11 12 22 21
（ u v u v u v u v u v ） ， 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1
* V v v v ， 即的 v 分 和 . 1 2 n 部 n 1
绝对收敛与条件收敛
∞ n2 n2 故 ∑ ( 1 ) n n 收敛, 因此 ∑ ( 1 ) n n 绝对收敛. e e n=1 n =1
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解 因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解 因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S
11-03 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-下13
n1
对收敛；若
un
发散,
但
n1
un
收敛,
则称n1 un 为
n1
n1
n1
条件收敛.
今后对任意项级数，必须注明绝对收敛还是条件收敛.
微积分十一 ④
任意项级数敛散性判断思考过程：
任意项级数 un n1
？ un 0
否
是
un 收敛否?
n1
是
绝对收敛
否
否
un收敛否?
n1
是
条件收敛
微积分十一 ④
14/34
n1
ln( n 1)
n1
0 1
解:⑴
lim
n
vn
lim
n
ln(n 1)
vn
1 ln(n 1)
1 ln(n 2) vn1 原级数收敛.
⑵
lim
n
vn
lim(
n
1 vn n 1
n1
n
n) lim n 1
n 2
1 0
n1 n n 1 vn1
原级数收敛.
微积分十一 ④
7/34
例4
发散
15/34
例1. 判别下列级数的敛散性
(1)
(1)n
n1
1 n2
,
( 2)
(1)n
1
n1
n
解：
n1
(1)n
1 n2
1
n1
n2
是 p=2>1 的 p-级数, 收敛.
故级数
(1)n
n1
1 n2
绝对收敛
(2)
lim
n
vn
lim
n
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又 lim u n lim
n
n n1
n
0,
所以级数收敛.
5
用Leibnitz 定理判别下列级数的敛散性:
1)2)13) ( 1) 收敛 n 1 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n n 1 1 ( 1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n ( 1) 收敛 n 10 102 103 104 10
n
n
u n l 上述结论仍然成立。 10
1 1 例4 判定 ( 1 ) n 1 3 n n1
n
n
2
的绝对收敛,条件
收敛或发散性.
解
n
un
1 3
(1
1 n
) n
n
1 3
e 1 ， 绝对收敛.
11
例5 解
设 p 0, 0 , 讨 论
而
S 2m 1 S 2m u2m 1 , 由 条 件 (2)可 知 ,
m
lim S 2 m 1 S ,
得
lim S n S ,
n
2
即 原 级 数 收 敛 , 且 其 和 S u1 .
( 1)
n1
n1
un
( 其中 u n 0 )
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
0,
4
所以级数收敛。
例2
判别级数
设 f (x)
( 1)
n
n
n2
n1
的敛散性.
(1 x ) 2 x ( x 1)
2
解
x x1
, 则 f ( x )
0,
( x 2)
故函数
x x1
在 x 2时 单调递减 ,
n 所以数列 单调递减, n1
n1
n1
u n 收敛,
且 其 和 S u1 .
1
证
S 2 m ( u1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,
由 条 件 ( 1 ) 可 知 , u2k 1 u2k ,
所以 { S 2 m } 单调递增；
另一方面,
p
n
,
n1
因 此 当 p 1 时 绝 对 收 敛 ；当 0 p 1 时 条 件 收 敛 .
12
例6 讨论级数
解
lim un1 un
n
x
n
的敛散性.
x
n1
n1
n
n1 n x
n
lim
n
lim
n n1
n
x x
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
r 1
不定
根值判别法
r 1
lim
n
n
un r
用它法判别
比较判别法 部分和极限 积分判别法
r 1
收 敛
发 散
15
3. 任意项级数收敛法
概念: 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz定理: (1)
n 1 n 1
un
un un 1 0
第三节 任意项级数,绝对收敛与条件收敛
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
( 1)
n1
n1
un
( 其中 u n 0 )
定理(莱布尼茨定理)
如果交错级数满足条件
（1） u n u n 1 ,即 { u n } 单调递减；
（ 2 ） lim u n 0 ,
n
则交错级数 ( 1 )
p
( ) n
p
n
的 收 敛性.
n1 n
n1
lim
u n1 un
n
lim
n
p
( )
n
( n 1)
( )
,
若 1 ,则 原 级 数 绝 对 收 敛 ；
若 1 ,则 原 级 数 发 散 ；
若 1 ,原 级 数 为
( 1) n
n
sin n n
2
的绝对收敛,条件收敛或发散性.
n1
因为
sin n
2
1 n
2
,而
1 n
2
收敛,
n1
故原级数绝对收敛.
9
定理：如果任意项级数
u
n1
n
u1 u 2 u n
满足条件
lim un1 un
n
l , 则当 l 1 时级数绝对收敛， 1 时级数发散。 l
证明
即
令
un , un 0 u (| u n | u n ) ，n 1 , 2 , 2 un 0 0,
1
un 为
n1
u
n1
n
的 所 有 非 负 项 组 成 的级数,
显然
u n | u n | , 由正项级数的比较判别法可知,
由
un 收 敛 , 而 un 2un | un | ,
n
lim u n 0
则交错级数
(1)
n 1
n 1
u n 收敛
16
思考题
设正项级数
un
n1
收 敛 , 能 否推得
n1
2 un
收敛 ?
反之是否成立? 若是任意项级数呢?
17
解答
设
u n 是 正 项 级 数 ， lim
n1
un
2
n
un
un
lim u n 0 ，
若
un
n1
收 敛 ,但
|u
n1
n
| 发 散 ,则 称 u n 条 件 收 敛 .
n1
例如, ( 1 )
n1
n1
1 n
2
绝对收敛,
而 ( 1)
n1
n1
1 n
条件收敛.
7
定理： 若 | un | 收敛,则 un 收敛.
n 1
n
n 1
n
1 n
) x x
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
若 x 1 , 该级数的通项不趋于 0， 级数发散；
14
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛法
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
u n 1 比值判别法 lim u r n n
n1
|u
n1
n
|的 收 敛 性可知,
u
n1
n
收敛.
8
说明:
(1) 定理不可逆, 如 ( 1 )
n1
1 n
收敛, 但
n
1 n
发散;
n1
n1
(2) 若 | u n | 发散, 不 能 推 出
n1
u
n1
发 散,
如上例；
(3)凡是用于判定正项级数敛散性的定理，都可以用来 判别级数是否绝对收敛； 例3 判定 解
n1
n1
1 n
1
1 2
1 3
1 4
这是交错级数,
1 单调递减, n
且
lim
1 n
n
0,
由莱布尼茨定理知，级数收敛。 一般地， ( 1 )
n1 n1
1 n
p
称为交错 p—级数.
lim 1 n
p n
1 当 p 0 时 ， p 单调递减且 n
19
n
若
u n 收 敛 ，由比较判别法知
n1
2
收敛.
1 n
n1
反之不成立. 例如：
1 n
2
n1
收敛,
发散.
n1
若为任意项级数,则由
如
un
收敛不能推出
n1
un
2
收敛.
n1
( 1) n
n
收敛, 但
n1
1 n
发散.
18
n1
作业 :
P310 311 7 ( 1 )( 3 ), 8 ( 1 )( 3 )( 5 )
若 x 1,
1 n
调和级数发散； 若 x 1 ,
n1
n1
( 1) n
n
n1
( 1) n
条件收敛。
n1
13
例7 讨论级数 nx
n1
n1
的敛散性.
n
解
lim
un1 un
n
lim
( n 1) x n x
n1
n
lim ( 1
n
n n1
n
0,
所以级数收敛.
5
用Leibnitz 定理判别下列级数的敛散性:
1)2)13) ( 1) 收敛 n 1 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n n 1 1 ( 1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n ( 1) 收敛 n 10 102 103 104 10
n
n
u n l 上述结论仍然成立。 10
1 1 例4 判定 ( 1 ) n 1 3 n n1
n
n
2
的绝对收敛,条件
收敛或发散性.
解
n
un
1 3
(1
1 n
) n
n
1 3
e 1 ， 绝对收敛.
11
例5 解
设 p 0, 0 , 讨 论
而
S 2m 1 S 2m u2m 1 , 由 条 件 (2)可 知 ,
m
lim S 2 m 1 S ,
得
lim S n S ,
n
2
即 原 级 数 收 敛 , 且 其 和 S u1 .
( 1)
n1
n1
un
( 其中 u n 0 )
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
0,
4
所以级数收敛。
例2
判别级数
设 f (x)
( 1)
n
n
n2
n1
的敛散性.
(1 x ) 2 x ( x 1)
2
解
x x1
, 则 f ( x )
0,
( x 2)
故函数
x x1
在 x 2时 单调递减 ,
n 所以数列 单调递减, n1
n1
n1
u n 收敛,
且 其 和 S u1 .
1
证
S 2 m ( u1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,
由 条 件 ( 1 ) 可 知 , u2k 1 u2k ,
所以 { S 2 m } 单调递增；
另一方面,
p
n
,
n1
因 此 当 p 1 时 绝 对 收 敛 ；当 0 p 1 时 条 件 收 敛 .
12
例6 讨论级数
解
lim un1 un
n
x
n
的敛散性.
x
n1
n1
n
n1 n x
n
lim
n
lim
n n1
n
x x
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
r 1
不定
根值判别法
r 1
lim
n
n
un r
用它法判别
比较判别法 部分和极限 积分判别法
r 1
收 敛
发 散
15
3. 任意项级数收敛法
概念: 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz定理: (1)
n 1 n 1
un
un un 1 0
第三节 任意项级数,绝对收敛与条件收敛
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
( 1)
n1
n1
un
( 其中 u n 0 )
定理(莱布尼茨定理)
如果交错级数满足条件
（1） u n u n 1 ,即 { u n } 单调递减；
（ 2 ） lim u n 0 ,
n
则交错级数 ( 1 )
p
( ) n
p
n
的 收 敛性.
n1 n
n1
lim
u n1 un
n
lim
n
p
( )
n
( n 1)
( )
,
若 1 ,则 原 级 数 绝 对 收 敛 ；
若 1 ,则 原 级 数 发 散 ；
若 1 ,原 级 数 为
( 1) n
n
sin n n
2
的绝对收敛,条件收敛或发散性.
n1
因为
sin n
2
1 n
2
,而
1 n
2
收敛,
n1
故原级数绝对收敛.
9
定理：如果任意项级数
u
n1
n
u1 u 2 u n
满足条件
lim un1 un
n
l , 则当 l 1 时级数绝对收敛， 1 时级数发散。 l
证明
即
令
un , un 0 u (| u n | u n ) ，n 1 , 2 , 2 un 0 0,
1
un 为
n1
u
n1
n
的 所 有 非 负 项 组 成 的级数,
显然
u n | u n | , 由正项级数的比较判别法可知,
由
un 收 敛 , 而 un 2un | un | ,
n
lim u n 0
则交错级数
(1)
n 1
n 1
u n 收敛
16
思考题
设正项级数
un
n1
收 敛 , 能 否推得
n1
2 un
收敛 ?
反之是否成立? 若是任意项级数呢?
17
解答
设
u n 是 正 项 级 数 ， lim
n1
un
2
n
un
un
lim u n 0 ，
若
un
n1
收 敛 ,但
|u
n1
n
| 发 散 ,则 称 u n 条 件 收 敛 .
n1
例如, ( 1 )
n1
n1
1 n
2
绝对收敛,
而 ( 1)
n1
n1
1 n
条件收敛.
7
定理： 若 | un | 收敛,则 un 收敛.
n 1
n
n 1
n
1 n
) x x
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
若 x 1 , 该级数的通项不趋于 0， 级数发散；
14
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛法
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
u n 1 比值判别法 lim u r n n
n1
|u
n1
n
|的 收 敛 性可知,
u
n1
n
收敛.
8
说明:
(1) 定理不可逆, 如 ( 1 )
n1
1 n
收敛, 但
n
1 n
发散;
n1
n1
(2) 若 | u n | 发散, 不 能 推 出
n1
u
n1
发 散,
如上例；
(3)凡是用于判定正项级数敛散性的定理，都可以用来 判别级数是否绝对收敛； 例3 判定 解
n1
n1
1 n
1
1 2
1 3
1 4
这是交错级数,
1 单调递减, n
且
lim
1 n
n
0,
由莱布尼茨定理知，级数收敛。 一般地， ( 1 )
n1 n1
1 n
p
称为交错 p—级数.
lim 1 n
p n
1 当 p 0 时 ， p 单调递减且 n
19
n
若
u n 收 敛 ，由比较判别法知
n1
2
收敛.
1 n
n1
反之不成立. 例如：
1 n
2
n1
收敛,
发散.
n1
若为任意项级数,则由
如
un
收敛不能推出
n1
un
2
收敛.
n1
( 1) n
n
收敛, 但
n1
1 n
发散.
18
n1
作业 :
P310 311 7 ( 1 )( 3 ), 8 ( 1 )( 3 )( 5 )
若 x 1,
1 n
调和级数发散； 若 x 1 ,
n1
n1
( 1) n
n
n1
( 1) n
条件收敛。
n1
13
例7 讨论级数 nx
n1
n1
的敛散性.
n
解
lim
un1 un
n
lim
( n 1) x n x
n1
n
lim ( 1