任意项级数敛散性判断练习及 答案

lim u n lim
n
n ln n
lim
x
lim
x
1
x ln x x
0
综上所述原级数条件收敛.
x
(4)
n1
对于级数 当 当
x 1 x 1

x
n
lim
n
n1 x

n1
n
n
lim
n n1
n
x x
n
时 时
原级数 原级数
(B) 条件收敛 (D) 敛散性与 有关
例5 设常数
k 0,
(A)发散
则级数 ( 1) 2 n n 1 (B) 条件收敛
n

k n
(
)
(C) 绝对收敛
(D) 敛散性与 k 有关
正 项 与极限形式 级 数 n n 适用 u n 为 a , P ( n ), n ! , n 比值判别法 的积、商的级数.
n
发散,
n1
从而 ( 1 )
n1

n1
n! 5
n
发散.
( 3 )

( 1)
n1
n1
n ln n

解：对于级数 因 n ln n 再考察
un 1 n ln n

1 n ln n
n1
1
1 n
且
n1

1 n
n1
发散 故

1 n ln n
n
n
un l
N,
故对 当 即

存在正整数
un l
n
n N

∞
n =1
∑ v n 发散
∞
2 条件收敛性 n 递减、趋于零 分析 需判定 un = n + 10
n 令 x un = ( x > 0) = f (n), f ( x ) = n + 10 x + 10
1 Q f ′( x ) = 2 x ( x + 10 ) ( x + 10 )2 x
o
10 x = 2 x ( x + 10)2
2 关系
n =1
∑ un 发散 ∑ un 发散 （一般地）
n =1
n =1 ∞
∑ un 收敛 ∑ un收敛 √
n =1 ∞理 设任意项级数 ∑ un满足
n =1
∞
un + 1 lim = ρ>1 n → ∞ un
∞ ∞ n =1 n =1
(或 lim
n
n→ ∞
un = ρ > 1)
2 + (1)n 反例：对于 ∑ (1)n1 ， n 2 n =1
2 + (1)n un = >0 n 2
虽然 {un }不单调， 事实上，
3 2 u2k1 = 2k1 = < u2k = 2k , 2k 2 2 2 3 1 u2k = 2k > u2k+1 = 2k+1 2 2
∞
1
2 + (1)n un = 2n
n1 ∞
2. 证明 ∑
∞
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 . 绝对收敛 .
n→ ∞
3. 证明 ∑ (1)
n=1
n2 n e
n
4. 设un ≠ 0 (n = 1, 2, 3,L), 且 lim n = 1,

数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。

1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？⑴11(1)n n ∞-=-∑；【解】级数11(1)n n ∞-=-∑属于交错级数，它满足关系1n n u u +=>=（1,2,3,n =L）且lim 0n n n u →∞==，即由莱布尼兹定理知，级数11(1)n n ∞-=-∑收敛，但11(1)n n ∞-=-∑1n ∞==是112p =<的P 级数，发散，综上知，级数1(1)n n ∞-=-∑条件收敛。

⑵111(1)3n n n n∞--=-∑； 【解】级数111(1)3n n n n∞--=-∑属于交错级数， 由于111(1)3n n n n ∞--=-∑113n n n∞-==∑， 因为111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<，由正项级数的比值判别法知，级数113n n n∞-=∑收敛， 综上知，级数111(1)3n n n n∞--=-∑绝对收敛。

⑶11ln (1)n n nn∞-=-∑； 【解】级数11ln (1)n n nn∞-=-∑属于交错级数，由于函数ln x y x =有21ln '0xy x -=>当x e >时恒成立， 知ln xy x=当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1ln lim lim lim 01n n n n nn u n →∞→∞→∞===，即由莱布尼兹定理知，级数11ln (1)n n nn∞-=-∑收敛， 但由于11ln (1)n n n n ∞-=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11n n∞=∑为调和级数，发散， 综上知级数11ln (1)n n nn∞-=-∑条件收敛。

⑷111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；【解】级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑属于交错级数，它满足关系111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++（1,2,3,n =L ）且1lim lim0ln(1)n n n u n →∞→∞==+，即由莱布尼兹定理知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑收敛，但由于1limn n nu u +→∞1ln(1)lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 11n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞=+∑21n n∞==∑为调和级数，发散，即由比较判别法的极限形式知，级数11ln(1)n n ∞=+∑发散， 综上知，级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛。

x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章 第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节 任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义： 如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1

习题 9-21.判断下列级数的敛散性.<1）； <2）； <3）；<4）； <5）； <6）<）．解：<1）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较判别法，得级数发散。

方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。

<2）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数收敛。

方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。

<3）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为<），且调和级数发散；则由正项级数的比较判别法，得级数发散。

方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而，所以，即，又调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。

<4）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论），由正项级数的比较判别法，得级数收敛。

方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。

<5）；因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。

注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。

<6）<）．当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，且级数是公比为<）的等比级数，是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。

由 条 件 ( 1 ) 可 知 , u2k1u2k,所以{S2m}单调不减；
另一方面, S 2 m u 1 (u 2 u 3 ) (u 4 u 5 ) (u 2 m 2 u 2 m 1 ) u 2 m
u 1 , 即 {S 2m } 有 上 界 ,
故 {S2m } 收敛,记 mlimS2m S ,显然有 Su1 .
解
因为 si nn
n2
1 n2
,而
n1
1 n2
收敛,
故原级数绝对收敛.
例2
判定
(1)n
n1
1 3n
(11)n2 n
是绝对收敛、条件
收敛还是发散.
解
n
un
1(11)n 3n
1 n3 e
1
，
绝对收敛.
5
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un (其中 un0)
n1
定理(莱布尼兹判别法) 如果交错级数满足条件
判 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散
别 3. 按基本性质;
4.充要条件
法 5.比较法
4.绝对收敛 5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼兹定理)
16
思考题
设 正 项 级 数un收 敛 ,能 否 推 得un 2 收 敛 ?
n1
n1
反 之 是 否 成 立 ? 若 是 任 意 项 级 数 呢 ?
（ 1 ） u n u n 1 , 即 { u n } 单 调 减 少 ；
（ 2）ln im un0,
称莱布尼茨 型级数
则 交 错 级 数 (1)n1un收 敛 ,且 其 和 Su1.
n1
6
证 S 2 m ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,

无穷级数部分练习题参考解答1、 判断级数()()31ln ln ln pqn n n n ∞=∑的敛散性.解：考察反常积分()()3ln ln ln p q dx x x x +∞⎰()ln3ln tx eq pdt t t =+∞=⎰当1p >时，取充分小的0ε>，使1p ε->，则有()1lim 0ln p q p t tt t ε-→+∞=，从而()ln3ln q p dt t t +∞⎰收敛. 当1p <时，取充分小的0δ>，使1p δ+<，则有()1lim ln p q p t tt t δ+→+∞=+∞，从而()ln3ln q p dt t t +∞⎰发散.当1p =时，()ln3ln ln3ln ut eq qdt dt u t t =+∞+∞=⎰⎰，知1q >时，()ln3ln q dt t t +∞⎰ 收敛，1q ≤时()ln3ln q dt t t +∞⎰发散.又显然函数()()()1ln ln ln pqf x x x x =在()3,+∞上非负递减，于是由积分判别法知：当1p >或1p =且1q >时级数收敛，其余情况级数发散. 2、讨论级数111(1)n p n n-∞+=-∑的敛散性，如果收敛，讨论是绝对收敛还是条件收敛.解：当0p ≤时，通项不趋于零，发散；当1p >时，111p p n n n+<，原级数绝对收敛；当01p <≤时，11(1)n p n n -∞=-∑收敛，11nn 单调有界，由Abel 判别法知原级数收敛. 又 11(1)lim11n p nn pnn -+→∞-=，知111(1)n p n nn-∞+=-∑发散. 故原级数条件收敛.3、已知1221(1)12n n n π-∞=-=∑，计算10ln(1)x dx +⎰. 解：函数ln(1)x +在0x =点的Taylor 级数为123(1)ln(1)23n n x x x x x n--+=-+-++ ，(1,1)x ∈- 112ln(1)(1)123n n x x x x x n --+-=-+-++ ，1232220ln(1)(1)23n n x t x x x dt x t n -+-=-+-++⎰ 10ln(1)x dx x +⎰1232222011ln(1)(1)lim lim 1223n n x x x t x x x dt x t n π-→→+-⎛⎫==-+-++= ⎪⎝⎭⎰ . 4、证明（1）方程10nx nx +-=（n 为正整数）存在唯一正实根n x ；（2）级数1n n x α∞=∑当1α>时收敛.证：（1）令()1nn f x x nx =+-,[]0,1x ∈ 则()01n f =-，()10n f n =>，∴()0n f x =在()0,1内有根n x .由()10n n f x nx n -'=+>知()1n n f x x nx =+-在()0,+∞ .∴ ()0n f x =即10nx nx +-=存在唯一正实根n x .（2）由10nnn x nx +-=， 110nn n x x n n -<=<，当1α>时，10n x nαα<<， 而11n n α∞=∑是1p α=>的p 级数，收敛. ∴ 级数1nn x α∞=∑收敛.5、用多种方法求级数1212nn n∞=-∑的和S.解法1： 2n n n S S S =-=121111212121112122212n n n n n n -----++++-=+-- ，∴ lim 3n n S S →∞==. 解法2： ()112121222n n n n n n n ∞∞==-=-∑∑，而111211212n ∞===-∑；对12n n n ∞=∑：1211(1)n n nx x ∞-==-∑. 21,1(1)nn x n x x x ∞==<-∑.12x =时，12n n n ∞=∑＝2 . ∴ 1214132n n n ∞=-=-=∑.解法3：考虑级数()()2021nn n xs x ∞=+=∑，从0到x 逐项积分，得()2121xn n x s t dt x x ∞+===-∑⎰，1x <.再求导,得()()22211x s x x +=-,1x <.令()1,1x =- 得()201121262112n n n s ∞=++===-∑ ∴ 1212nn n ∞=-∑= 100211213222n n n n n n ∞∞+==++==∑∑.6、证明函数项级数1(1)cos n n n x∞=-+∑在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上一致收敛.证法1：记1()(1),()c o s nn n a x b x n x =-=+.显然1()n n a x ∞=∑的部分和函数列在[,22ππ-]上一致有界，{}()n b x 关于n 单调递减趋于零，且[,]22lim sup()00n n x b x ππ→∞∈--=.即,22()0n b x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦−−−−→−−−−→.由Dirichlet 判别法知()()1n n n a x b x ∞=∑在[,22ππ-]上一致收敛.证法2：记(1)(),()cos n n n n a x b x n n x -==+.1()n n a x ∞=∑是收敛的数项级数，当然在[,22ππ-]上一致收敛；{}()n b x 关于n 单调，且在[,22ππ-]上一致有界.由Abel 判别法知()()1n n n a x b x ∞=∑在[,22ππ-]上一致收敛.7、证明：① 1ln nn x x ∞=∑在(]0,1不一致收敛；② 2101ln 16n n x x dx π∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑⎰.证：① 级数1ln nn x x ∞=∑的每一项在(]0,1都连续，容易求出其和函数()()ln ,0,110,1x x x x S x x ⎧∈⎪-=⎨⎪=⎩由()10lim 1x S x →-=，知()S x 在(]0,1不是处处连续，所以1ln nn xx ∞=∑在(]0,1不一致收敛.② 对01x δ∀<<<，易知ln ln 1nn t tt t∞==-∑在[],x δ上一致收敛，有()110000ln ln ln 1x x nnxn n t dt t tdt t tdtt δδδ∞∞====---∑∑⎰⎰⎰⎰⎰ （*）∵ ()1201ln 1nt tdt n =-+⎰， ∴ 2100ln 6n n t tdt π∞==-∑⎰.又∵ ()21ln 1nt tdt n δ≤+⎰，()121ln 1n xt tdt n ≤+⎰∴ln nn t tdt δ∞=∑⎰和1ln n xn t tdt ∞=∑⎰分别在01δ≤≤和01x ≤≤上一致收敛.在（*）式两端令0,1x δ→→，得 210ln t dt π=-⎰，或 2101ln 16n n x x dx π∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑⎰. 8、给出1sinpn nx n∞=∑(0)p >一致收敛的区间，并证明之.证：当1p >时，sin 1p p nx n n ≤，(,),1,2,x n ∈-∞+∞= ，且11p n n∞=∑收敛. 由Weierstarss 判别法,知1sinpn nx n∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛.当01p <≤时，因对n N ∀∈，有 1212sin sin cos cos 222nk x n x kx x =+-=-∑.对(0,)επ∀∈，[,2]x επε∈-，有 121cos cos 2211sin 2sin 2sin sin 222nk n xx kx x x ε=++≤≤≤∑ 由Dirichlet 判别法知：1sinpn nx n∞=∑在[,2]επε-上一致收敛，即在(0,2)π上内闭一致收敛.同理可证：1sinpn nx n∞=∑在任意不包含2,0,1,2,k k π=±± 的闭区间上一致收敛.。

探索级数与收敛性级数收敛与发散判断练习题在数学中，级数是由一系列项组成的无穷序列的和。

级数的收敛性与发散性是在数学分析领域中的重要概念。

本文将通过一些练习题来探索级数的性质，并判断它们的收敛性或发散性。

练习题 1：考虑以下级数：1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ...这是一个等比级数，公比为0.5。

我们知道，等比级数收敛的条件是公比的绝对值小于1。

因此，在这个练习题中，公比的绝对值为0.5，小于1。

因此，这个级数收敛。

练习题 2：考虑以下级数：1 + 2 + 3 + 4 + ...这是一个等差级数，差为1。

我们知道，等差级数是发散的，因为它的项随着索引的增长而线性增长。

因此，这个级数发散。

练习题 3：考虑以下级数：1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...这是一个交错级数，它的每一项交替正负。

解决这类级数的方法是通过部分求和。

我们可以发现，当部分求和的项数是偶数时，它的和是0；当部分求和的项数是奇数时，它的和是1。

因此，这个级数是发散的。

练习题 4：考虑以下级数：1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ...这个级数在练习题 1 中已经出现过了。

这个级数是一个等比级数，公比为0.5。

我们已经知道，这个级数收敛。

练习题 5：考虑以下级数：1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...这个级数是一个阶乘级数。

我们知道，阶乘级数收敛的条件是项趋于零。

这是因为阶乘的增长速度非常快，因此项会随着索引的增大而趋于零。

因此，这个级数收敛。

练习题 6：考虑以下级数：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...这个级数是一个几何级数，公比是1/2。

几何级数收敛的条件是公比的绝对值小于1，而在这个级数中，公比的绝对值是1/2，小于1。

因此，这个级数收敛。

练习题 7：考虑以下级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...这个级数是一个调和级数。

调和级数是发散的，这是因为当 n 趋于无穷大时，调和级数的部分和趋近于无穷大。

第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。

由根值判别法知
n1
n3 2n
收敛,
所以原级数收敛.
问题 : 若 un 发散， un如何？ 不确定!
n1
n1
如 (1)n1 1 ,
n1
n
1 发散, (1)n1 1 收敛.
n1 n
n1
n
如 (1)n1
n
,
n
发散,
(1)n1
n
发散.
n1
n 1 n1 n 1
n1
n1
定义8.3 若| un | 收敛，则称级数 un绝对收敛.
1
lim
x
10x
ln 10
0
由莱布尼兹判别法级数收敛.
例3.判断交错级数 (1)n1
1
的敛散性.
n1
n ln n
1
解：un
1 , lim 1 lim 1 lim x n ln n n n ln n x x ln x x 1 ln x
0
x
设f ( x) 1 , x ln x
un f (n),
注2：在证明 un 0时, 要会把数列极限转化为函数极限， 再利用洛必达法则等方法.
注3：若交错级数不满足 un 0 时, 该级数一定发散.
!! 注4：若交错级数不满足 un 时, 该级数不一定发散.
二、任意项级数 un (转化为正项级数讨论) n1
定理8.8 设 un为任意项级数，若| un | 收敛，则 un也收敛.
1 n n1 3
是交错级数，能否用莱布尼兹判别法？
n1
2n
n3
n3
x3
un 2n ,
lim
n
2n
lim
x
2x

的敛散性.
当 0 p 1 时，原级数为交错级数，由于
vn 1 n
p
, v n1
1 ( n 1)
p
v n v n1
lim v n 0
n
原级数条件收敛
综上可知：
微积分七 ③
( 1)
n1

n1
发散， p 0 1 绝对收敛， p 1 p n 条件收敛， 0 p 1

n
解： a n
1 3
n
lim
n
an 1 an
lim
n
3 3
n
n 1
1/ 3
根据系数的表达式，也可以
lim an lim
n n
所以收敛半径 R=3
1 3
n
n
n
1/ 3
例2 求下列幂级数的收敛区间
(1) ( 1)
n 1 n
n
的敛散性.
1 3 1 3 x 1 3 x 1 3 ,x 1 3
绝对收敛 n n 3 x n ( 1) 发散 n n1 条件收敛
x
微积分七 ③
13/26
正项级数
1.
若 S n S , 则级数收敛 ;
任意项级数
判 别 法
8/26
练习: 判断级数
(1)
n 1

n 1
n 2
3
n
的敛散性

解：将级数的各项取绝对值得正项级数
n 1
n 2
3
n
( n 1) lim un 1 un
n
3

n 1


(c n a n ) a n 收敛
n 1
n 1
例2. 判别下列级数的敛散性:
1
提示: (1)

lim
n
nn
1 n
n

lim
n
1 nn
据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .
(3)
n1
n
cos 2 2n
nπ 3
:
, 原级数发散
0

n
cos 2 2n
(1 x 1)
例8
将 f(x)
x
展开成麦克劳林级数.
(x 1)(1 x)2
解
f
(x)

1 4(1 x)

1 4(1
x)

1 2(1
x)2
1 x n 1 (1)n x n 1 1 '
4 n0
4 n0
21 x
1 (1 (1)n )x n 1 nx n1
2
x 3n2 |
2 | x |3
n | un ( x) |
n
n
| n2 2 x 3n1 |
收敛域为 1 x 1 ,
62
62

n

xS( x) n2 2 x 3n n( 2x 3 )n
n1
n1
2x2
S(x) (1
2x 3 )2
x ( 1 , 1 ) 62 62
例5

求级数
x 2n 收敛域及和函数.
n0 (2n)!
解 lim | un1 ( x) | lim x 2n2 (2n)! 0 n | un ( x) | n (2n 2)! x 2n

级数敛散性判断习题
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 Nhomakorabea亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

任意项级数敛散性判断之答禄夫天创作下列级数是否收敛,说明是绝对收敛还是条件收敛1、()∑∞=--1111nnn2、()∑∞=--1131nnn n3、()∑∞=+121sinn nna4、()()11>-∑∞=anannn5、∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+2ln1 sinn nnπ6、+-+-+-33221032110321103217、()()()∑∞=+-+-+11221212121nnnn n8、 ()()[]()01111>-+-∑∞=-p n n p nn答解：1、()∑∞=--1111n n n取绝对值()∑∑∞=∞=-=-11111n n n n n>∞（21=p 的p 级数） 而原级数是交错级数且： 01lim 1111==<+=∞→+n u n n u n nn由莱布尼兹定理,原级数收敛.所以是条件收敛.2、()∑∞=--1131n n nn绝对值级数 ()∞<-∑∞=-1131n n nn所以原级数绝对收敛3、()∑∞=+121sinn nna ()∑∞=+12 11n n是p=2 的p 级数.收敛！所以由比力判别法,原级数绝对收敛4、()()11>-∑∞=anannna>1 时原级数绝对收敛0<a<1 时()1limlim≠-=∞→∞→nnnnn nau级数发散（ln1limlimlim=-==-∞→∞∞-∞→∞→aaannannnnnna=1 时()∑∞=-11nnn满足莱布尼兹定理,原级数条件收敛5、∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+2ln1 sinn nnπ因为当xyx sin2,0=⎪⎭⎫⎝⎛∈π单调递增且()n nnunnun=<+==+∞→ln1sin1ln1sinln1sinlim1所以原级数条件收敛6、+-+-+-3322103211032110321设：nnnnvu10321==所以原级数绝对收敛7、()()()∑∞=+-+-+11221212121nnnn n所以原级数绝对收敛8、()()[]()01111>-+-∑∞=-pnnpnnp>1 原级数绝对收敛p≦1 原级数发散。