专题二十
基础知识
定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n n
u （ ,3,2,1=n ）
满足：
（1）1+≥n n u u （ ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞
→n n u
则
∑∞
=-1
)
1(n n n
u 收敛，且11
)1(u u n n n ≤-∑∞
=。
注：交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n n
u 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。
对于任意项级数
∑∞
=1
n n
u
，引入绝对值级数的概念：级数
∑∞
=1
||n n
u
称为∑∞
=1
n n u 的绝对值级数。
定理2若级数
∑∞
=1
||n n
u
收敛，则∑∞
=1
n n u 亦收敛。
由定理2知收敛级数
∑∞
=1n n
u
分为两种：
（1）条件收敛：要求
∑∞
=1n n
u
收敛，
∑∞
=1
||n n
u
发散。
（2）绝对收敛：要求
∑∞
=1
||n n
u
。
总结：判定级数
∑∞
=1
n n
u
的敛散性，可按如下步骤进行：
（1）首先讨论n n u ∞
→lim 。若n n u ∞
→lim 不存在或0lim ≠∞
→n n u ，级数
∑∞
=1
n n
u
发散；若0lim =∞
→n n u ，
转入第二步。
（2）其次讨论
∑∞
=1
||n n
u
的敛散性，
可运用正项级数的一系列敛散性判别法。若∑∞
=1
||n n u 收敛，则
∑∞
=1
n n
u
绝对收敛；若
∑∞
=1
||n n
u
发散，转入第三步。
（3）最后讨论
∑∞
=1n n
u
的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。若
∑∞
=1
n n
u
收敛，则
∑∞
=1
n n
u
条件收敛；若∑∞
=1
n n
u
发散，当然
∑∞
=1
n n
u
发散。
例题
1. 设α为常数，判定级数
∑∞
=-1
2
]1
sin [
n n
n na 的敛散性。 解：∑∑∑∞=∞
=∞
=-=-1
1212
1
sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12
sin n n na
收敛（绝对收敛），而∑
∑
∞
=∞
==1
2
1
1
11n n n
n
为一发散的p 级数，故
∑∞
=-1
2
]1
sin [
n n
n na 发散。 2. 若级数∑∞
=-+-1
166)2(n n
n n n a
n 收敛，求a 。 解：∑∑∑∞=∞=-∞
=-+-=+-11111666)2(66)2(n n n n n
n n n n n n
a
n n n a n ∑∑∞
=∞=-+-=1111
)31(61n n n n
a
∑∞
=--11)31(n n 收敛（1|31|<-），故∑∑∑∞=∞=-∞=-=--+-111111)31(6166)2(n n n n n n n n a n a n 收敛，而∑∞
=11n n 发散，从而0=a 。（倘若0≠a ，则∑∑∞
=∞
=⋅=111
11n n n a a n
收敛，矛盾）
3. 判定级数
∑∞
=+--1
1)13()
1(n n
n 的敛散性。
解：令13-=n n a ，则0>n a ，且n
e
a n n n 3
ln 3ln ~13
ln =
-=，而n n 13ln >（1≥n ），∑∞
=11n n 发散，故∑∞=13ln n n 发散，由比较判别法的极限形式知∑∞=1n n a 发散，级数∑∞
=+-1
1)1(n n n a 不绝对收敛。级数
∑∞
=+-1
1
)
1(n n n a 为交错级数，}{n a 单调递减且0lim =∞
→n n a ，由交错级数的莱
布尼兹定理知
∑∞
=+--1
1)13()
1(n n
n 收敛。故级数∑∞
=+--1
1)13()1(n n n 条件收敛。
4. 判定级数
∑∞
=+-1
2
1
)!
2()!()
1(n n n n 的敛散性。 解：令)!
2()!()
1(2
1
n n a n n +-=，由于 !
!)!22()!
2()!1()!1(lim
||
lim 1n n n n n n a a n n n n +++=∞→+∞
→ )
22)(12()1(lim 2
+++=∞→n n n n
4
1=
由比值判别法知
∑∞
=1
||n n
a
收敛，故原级数∑∞
=+-1
2
1
)!
2()!()
1(n n n n 绝对收敛。 5. 对常数p ，讨论级数
∑∞
=+-+-1
1
1)1(n p
n n
n
n 何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？ 解：令p
n n n
n a -+=
1，0>n a ，则
p
p n n
n n n n n a )1(1
1++=-+=
