数项级数习题课完整版

数项级数经典例题大全（1）第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||q-11( 注意n 从0开始 ).2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 ,=n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--?-=+n n n ,) (∞→n . ? n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当2≥n 时,有∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11s i n n n n 的敛散性.(验证0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-?>+- 9、判断级数()()+-+??-+??+++??+)1(41951)1(32852951852515212n n 的敛散性.解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ?∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+?+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<="">∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ?∑+∞<. 13、判断级数∑??+21n n n 和∑??+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<="" p="" 判别法="" 时,="" 由leibniz=""> 收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈?x 收敛.证 ++??? ??-+=??+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21sin() 21sin() 21 sin(+=??--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ?∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。

丄，Sn=1」+ —-+_—=1——T 1(n T^(n +1! 2! 2! 3! n! (n +1 ) (n +1)第九讲：无穷级数 一、 常数项级数1、概念与性质： （1） 数列t u j 中的各项用加号连接的形式： U1+U 2 +■…□c+ u n +…=2 U n 称为无穷项n 二1数项级数，第n 项称为一般项（通项）。

n oc数列s n =送U n 称为级数s U n 的前n 项之和 （部分和），若n ms n = S ，则称级数Z U n 的和为S ，级数艺U n 收敛；若lim S n 不存在, n£ ni F 则称级数 送U n 发散。

n4oC oC若级数2 U n 收敛，r n =S-S n 称为级数送U n n 二 n 二 的余项，lim r n =0。

n _jpc例1判定下列级数的敛散性: 解：U n =ln 1 中一1 = 1 n (n +1 )-|n n ， V n 丿 S n = In2-In1+In 3- I n2+…+ln (1+n )-lnn =ln (1 + n l 处(n T 处故S In nd ：〔1+1 ］发散; V n 丿解: U n□c故 2(n +1! 收敛;③调和级数：2 1；n# nn!(2) 性质:ii 、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性;□C OC推论：送U n 与无U n 同敛散;n=1n =N +边 1巳― +[(2k -1 2(2k 门1—Lh . J , I k#(2k-1f 4+1Q1 < 1解：由一 >1 n |1 + — 1 = 1 n (n+1 )_|n n , n I n 丿 1 1S^ =1 +- +…+— >1 n2 - In1 + ln 3-1 n2 +…+ln (n +1)—1 n n = ln (n + 1 □C 1（n T 处），故级数2 —发散。

n4 n④几何级数: Z aqnA4-q' 发散,d e q >1⑤p —级数: £1-n 吕n P (p >0 冶［收敛，p A 1 改散,p 兰1i 、设a 、P 为常数,□c若送U nn =1oCoCZ V n 收敛，则送(a U nn=1P V n ）也收敛，且n=3推论: 比如: □C 2 (a U n + Pv n ) = aZ ni□c常数 k H 0 , 2 ku n n z!证明级数2： 2发散心n □CU nn 二□c与S u n 同敛散;n=1处2 处：因为£ -与送-同敛散，又心n 心n比1 处2 Z 1发散，故级数£ -发散; nT n 心 n注意: 至2 处1处Z 2工22 1, Z心门 n^n nd ： o ’1 比 1+丄 Hy 1+y —2 厶厶 2iii 、收敛级数“加括号” 则原级数必发散）后所得的级数仍收敛于原来的和;（“加括号”后所得的级数发散,□Civ 、若级数W U n 收敛，则n z1□C 1则送沪发散。

第9章数项级数§1数项级数的收敛性一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项(一般项,第n 项),前n 项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为∑n u .2.级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时,) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn .级数收敛; 当1||>q 时,, =n S 级数发散;当1=q 时,+∞→+=1n S n ,) (∞→n ,级数发散;当1-=q 时,()n n S )1(121-+=,) (∞→n ,级数发散. 综上,几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛,且和为q-11(注意n 从0开始).例2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.例3讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n ,) (∞→n .⇒n S →2,) (∞→n .因此,该级数收敛. 例4讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+,) (∞→n .级数发散.3. 级数与数列的关系: ⑴设∑nu对应部分和数列{n S },则∑nu收敛⇔{n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4.级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu,其中⎰+=1n nn f u .无穷积分可化为级数;⑵对每个级数,定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n ,易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f .即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二级数收敛的充要条件——Cauchy 准则：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1(Cauchy 准则)∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论(级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒0lim =∞→n n u .例5证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛. 证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =,则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注:应用Cauchy 准则时，应设法把式|∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证)证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ .即得+∞→n S ，) (∞→n .)注:此例为0→n u 但级数发散的例子.三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3若级数∑nu收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.(收敛数列满足结合律)例8考查级数∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该例的结果说明什么问题?§3正项级数一.正项级数判敛的一般原则:1.正项级数:n n S u , 0>↗;任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th1设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n .(证)正项级数敛散性的记法. 3. 正项级数判敛的比较原则: Th2设∑nu和∑nv是两个正项级数,且N n N >∃ , 时有n n v u ≤,则ⅰ>∑nv<∞+,⇒∑nu<∞+;ⅱ>∑nu=∞+,⇒∑nv=∞+.(ⅱ>是ⅰ>的逆否命题)例1考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2设)1( 0π><<q q p .判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1(比较原则的极限形式)设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ>当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散;ⅱ>当0=l 时,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+; ⅲ>当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+.(证)推论2设∑nu和∑nv是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若n u ～n v ,) (∞→n ，则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ;(n n -21～n 21);⑵∑∞=11sin n n ;⑶∑∞=+12) 11 ln(n n .二正项级数判敛法:1．比值法：亦称为D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th3设∑nu为正项级数,且0 N ∃及0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ>若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ>若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+. 证ⅰ>不妨设1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立,有 , , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤-依次相乘⇒11-≤n n q u u ,即 11-≤n n q u u .由10<<q ,得∑<n q ∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ>可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论(比值法的极限形式)设∑n u 为正项级数,且q u u nn n =+∞→1lim .则ⅰ>当q <1⇒∑nu<∞+;ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+.(证)注:⑴倘用比值法判得∑nu=∞+,则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数,特别是n u 中含有因子!n 者. 例4判断级数()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此,当10<<x 时,∑+∞<;1>x 时,∑+∞=;1=x 时,级数成为∑n ,发散.例6判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+n n u u ，其敛散性不能确定.例如对级数∑n 1和∑21n,均有11<+nn u u ，但前者发散,后者收敛.2.根值法(Cauchy 判别法):也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th4设∑nu为正项级数,且0 N ∃及0>l ,当0N n >时,ⅰ>若1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ>若1 ≥n n u ⇒∑nu=∞+.(此时有 , 0→/n u ) (∞→n .)(证) 推论(根值法的极限形式)设∑nu为正项级数,且l u nn n =∞→lim.则ⅰ>当1 <l 时⇒∑nu<∞+;ⅱ>当1 >l 时⇒∑nu=∞+.(证)注:根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法.(参阅[1]P 12)例7研究级数∑-+nn2) 1 (3的敛散性.解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 例8判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性.解前者通项不趋于零,后者用根值法判得其收敛. 3．积分判别法：Th5设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘.则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀且⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( .例9讨论-p 级数∑∞=11n pn的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减.积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛,10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/p n,级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10讨论下列级数的敛散性:⑴∑∞=2) ln ( 1n p n n ;⑵∑∞=3) ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .§4任意项级数一.交错级数:交错级数,Leibniz 型级数.Th1(Leibniz)Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同,并有1 ||+≤n n u r . 证(证明部分和序列} {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限.为此先证明} {2n S 递增有界.))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S≥n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗;又1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- ,即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理,数列} {2n S 收敛.设)( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见,∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u .余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号,且1 ||+≤n n u r .例1判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性. 解当10≤<x 时,由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时,通项0→/,∑发散.二.绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛:以Leibniz 级数为例,先说明收敛⇒/绝对收敛.Th2(绝对收敛与收敛的关系)∑∞+< ||na, ⇒∑n a 收敛.证(用Cauchy 准则).注:一般项级数判敛时,先应判其是否绝对收敛. 例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性. 2.绝对收敛级数可重排性: ⑴同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0, 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w则有ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数,且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ>n n n w v u +=||,n n n w v u -=. ⑵同号项级数的性质: Th3ⅰ>若∑||nu +∞<，则∑n v +∞<，∑n w +∞<.ⅱ>若∑nu条件收敛,则∑nv+∞=,∑n w +∞=.证ⅰ>由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤,ⅰ>成立. ⅱ>反设不真,即∑nv和∑nw中至少有一个收敛,不妨设∑nv+∞<.由n u =n v n w -,n w =n v n u -以及∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<,与∑n u 条件收敛矛盾.⑶绝对收敛级数的可重排性:更序级数的概念. Th4设∑'nu 是∑nu的一个更序.若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证ⅰ>若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<,且和相等. ⅱ>对于一般的n u ,∑nu =∑nv ∑-nw⇒∑'nu =∑'n v ∑'-n w . 正项级数∑'nv 和∑'nw 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序.由∑||nu+∞<,据Th1,∑nv和∑nw收敛.由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<,且有∑nv =∑'nv ,∑nw ∑nu =∑'nw ⇒∑n u =∑'nu . 由该定理可见,绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢?回答是肯定的. Th5(Riemann)若级数∑nu条件收敛,则对任意实数s (甚至是∞±),存在级数∑nu的更序∑'nu ,使得∑'nu =s .证以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本,对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律,有如下结果: ⅰ>若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变. ⅱ>设∑'n u 是的一个更序.若N ∈∃K ,使nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,则∑'nu 和∑nu共敛散,且收敛时和相等.三.级数乘积简介:1.级数乘积:级数乘积,Cauchy 积.见教材. 2．级数乘积的Cauchy 定理: Th6(Cauchy)设∑||nu+∞<,||∑n v +∞<,并设∑n u =U ,∑n v =V .则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为UV .(证略) 例3几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的.将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列,得到+++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n nn n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212.四.型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1(分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=.则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证注意到1--=i i i B B b ,有∑∑==-+-=m i mi i iiii b a B Ba b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a mm m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a .分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=babax a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ba x a ba x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ba baxa x df dt t g dt t gb f )()()()(.可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰xadt t g )(,而差i i a a -+1相当于)(x df ,和式相当于积分.引理2(Abel)设i a 、i b 和i B 如引理 1.若i a 单调,又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证不妨设i a ↘.||1∑=m i i i b a ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a) ||2|| ( ||)(1111m m i mi i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1).i b 和i B 如引理1.则有||1∑=mi ii ba 1Ma ≤.(参引理2证明) Th7(Abel 判别法)设ⅰ>级数∑nb收敛,ⅱ>数列}{n a 单调有界.则级数∑nn ba 收敛.证(用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||,由∑nb收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时,对N ∈∀p ,有ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a ba p n n pn n k kk3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑nn b a 收敛.2.Dirichlet 判别法:Th8(Dirichlet)设ⅰ>级数∑nb的部分和有界,ⅱ>数列}{n a 单调趋于零.则级数∑nn ba 收敛. 证设∑==ni nn bB 1,则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀,有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N .此时就有εM a a M ba P n n pn n k kk6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑nn ba 收敛.取n a ↘0,∑nb ∑+-=1)1(n ,由Dirichlet 判别法,得交错级数∑+-n n a 1)1(收敛.可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出Abel 判别法.事实上,由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛,设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n nb a b a a)(,a a n -单调趋于零,n B 有界⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.例4设n a ↘0.证明级数∑nx ansin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时,级数∑kx cos 的部分和有界.由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛.同理可得级数数∑nx a n sin 收敛.。

第十一章 函数项级数习题课一、 主要内容 1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数2、一致收敛性的判别 A 、 函数列{()}n f x 一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：||||sup |()()|0n n f f f x f x -=-→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。

注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。

非一致收敛性的判断 （1）定义（2）Cauchy 收敛准则（3）确界法：存在n x ，使得|()()|n n n f x f x -不收敛于0，或者|()()|n n n n f x f x a -≥不收敛于0，或者0|()()|n n n f x f x ε-≥（4）和函数连续性定理（5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在(,)c c δ-内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。

B 、函数项级数()n u x ∑ 一致收敛性的判断 （1）定义（2）Cauchy 收敛准则（3）转化为函数列（部分和）r x一致收敛于0（4）余项方法：{()}n（5）几个判别法：M-法，Abel法，Dirichlet法注、一般来说，由于不容易计算和函数，函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂，但是，由于判别法并不是很多，因此，对一个题目，在不能准确分析其结构特点，确定相应的判别法时，可以采用逐个试探的方法，确定出一个合适的判别法，但是，不管用哪个判别法，一定要严格验证相应的条件。