第十章 无穷级数 3 任意项级数

新级数,先证明新级数收敛,再利用新级数证
明原级数收敛.
2. 绝对收敛与条件收敛
定义:对于任意项级数 un ,
n1
若级数 un 收敛,则称级数 un 绝对收敛.
n1
n1
若级数 un收敛但级数 un 发散,则称级数
n1
n1
un 条件收敛.
n1
例如,
n1
(
1)n1 n2
,
(1)n1 .
n1 n
M 0, s.t. Bn M;
则级数 akbk .收敛. k 1
Abel判别法
考虑级数 akbk . 若 k 1 (1) 序列 ak源自文库单调有界; (2) 级数 bk 收敛; k 1
则级数 akbk .收敛. k 1
例5
讨论级数
sin nx np
n1
(0 x , p 0)
的绝对收敛性和条件收敛性.
的部分和 Bn 满足不等式
n
Bn k M k 1
其中常数 M 0 ,则有不等式
(n 1,2,, m),
m
k k M (1 2m ).
k 1
Dirichlet判别法
考虑级数 akbk . 若 k 1
(1)
序列 ak 单调且
lim
k
ak
0
;
(2) 级数 bk 的部分和序列Bn有界,即 k 1
vk
1
,
lim
k
vk
0,故级数 (1)k1vk 收敛.
k 1
(并未结束!证完新级数还需证原级数!)
用
S
和
n
分别表示原级数与
n
(1)k1vk 的前 n项
k 1
部分和,则有 n S3n .而级数 (1)k1vk 收敛,故
k 1
Sn 的子序列S3n有极限,设极限为 S,即
lim
n
S3n
S.
于是,
两种方法:
直接判断绝对值后的,若收敛,绝对收敛; 否则判断原级数,若收敛,条件收敛;
否则,发散. (高明!)
例3
讨论级数
n1
(1)n1 n ln n
的敛散性.若收敛,是绝对收敛
还是条件收敛?
解: (1)n1 1 1 , 而 1发散,由比较判别法,
n ln n n ln n n n1 n
n1
1 np
收敛.
例2
判断级数 (1)n n 的收敛性. n2 n 1
解:令 f ( x) x , 则 f ( x)
x1
2
x1 x( x 1)2
0,
故 f ( x)单调递减,则有 un un1,
又 lim n 0, 由Leibniz判别法,
n n 1
级数 (1)n n 收敛. n2 n 1
若交错级数 (1)n1 un 满足下列条件: n1
(1) un un1 (n 1,2,);
(2)
lim
n
un
0,
则级数 (1)n1 un 收敛. n1
例1
判断级数
(1)n1
n1
1 np
的收敛性.
(
p
0)
解:
1 np
(n
1 1) p
;
1
lim
n
n
p
0,
由Leibniz判别法知,级数
(1)n1
收敛.又(1
1 n
)n
单调递增有上界,由Abel判别法知,
(1)n
1
(1 1)n 收敛.又5 arctan n单调递减有
n2
ln n n
下界,由Abel判别法知,
n2
(1)n
1 ln n
(1
1 )n n
(5
arctan
n)
收敛.
本节小结
❖ 交错级数及Leibniz判别法. ❖ 绝对收敛与条件收敛. ❖ Dirichlet判别法与Abel判别法.
cos(k
12 ) x
2
cos
x 2
cos n
2sin x
1 2
x
2
1 sin
x
2
由Dirichlet判别法知,级数收敛.
另一方面,
sin nx np
sin2nx np
1 cos 2nx 2n p
1 2n p
cos 2nx 2n p
,
而级数
n1
1 2n p
发散,级数
n1
cos 2nx 2n p
例 3(难!)
判断级数
1 1 1 1 1 1 1 1 1 23456789
的收敛性.
解:从第一项开始每三项加一个括号,则成为一个
交错级数 (1)k1vk ,其中
k 1
v1
1
1 2
1 3
,
v2
1 4
1 5
1 6
,
vk
1 1 1, 3k 2 3k 1 3k
k 1,2,.
显然 vk
定理 2 :对于任意项级数 un ,
n1
若其各项取绝对值后所成的正项级数
un
n1
收敛,则级数 un收敛.
n1
Remark:显然, 定理的逆命题不成立.
总之: 绝对收敛强于条件收敛.
例3
讨论级数
n1
(1)n1 n ln n
的敛散性.若收敛,是绝对收敛
还是条件收敛?
先判断原级数是否收敛,再判断绝对值后.
原级数不是绝对收敛的.
1
1
, lim 1 0,由Leibniz,
n ln n n 1 ln(n 1) n n ln n
原级数收敛.因此原级数是条件收敛的.
例4
讨论级数
an
n1 1 a2n
(a为常数 )
何时绝对收敛,何时发散.
绝对收敛级数的运算性质
命题 1 一个绝对收敛的级数的和数,等于它的所有的正项组成 的级数的和数加上它的所有的负项组成的级数的和数.
命题 2
收敛的正项级数经过重排后仍然收敛且其和不变.
定理 3
(1)n1
n1 n
绝对收敛级数的各项重新排列次序后的新级数仍然
绝对收敛,且其和不变. (对条件收敛级数不成立!)
Remark
实际上:
对于任意一个条件收敛的级数 与un 任意给定的
n1
一个数A,总可以通过重新排列级数 中un的项而
n1
得到一个新级数 ,u使n 得后者收敛于 . A
解:(1)
当
p 1时,
sin nx np
1 np
,而
n1
1 np
收敛,故
sin nx np
n1
绝对收敛.
(2)
当0
p
1时,数列
1
n
p
单调且趋于0,又
n sin kx
k 1
1 sin x
n
sin kx sin
k 1
x 2
2
与n无关!
1 sin
x
n k 1
1 2
cos(k
1)x 2
n1
3. Dirichlet判别法与Abel判别法
Abel求和公式
设有两组数1,2 ,,m与 1, 2 ,, m , 则
m
m1
k k ( kk1 )Bk m Bm .
k 1
k 1
j
其中, Bj k , j 1,2,, m. k 1
Abel引理
若数组k(k 1,2,, m)是单调的;又数组k(k 1,2,, m)
S3n1
S3n
u3n1
S3n
(1)n
1 3n
1
S
(n
)
S3n2 S3n u3n1 u3n2
S3n
(1)n( 1 3n
1
1 3n
) 2
S
(n
)
综上,
lim
n
Sn
S,
因此,原级数收敛.
Remark
1.交错级数比正项级数容易收敛.例: 1 , (1)n 1.
n n1 n1
n
2.这是一种常用方法,即将原级数加括号成为
收敛.(证法如本题)
由正项级数的比较法知,级数
n1
sin nx np
发散.
即当 0
p
1
时,级数
n1
sin nx np
条件收敛.
例6
判断级数
(1)n
1
(1 1)n(5 arctan n) 的收敛性.
n2
ln n n
解:
1
单调递减趋于0,由Leibniz判别法知, (1)n
1
ln n
n2
ln n
数学分析II
第十章 无穷级数
§3 任意项级数
生物数学教研室
1. 交错级数
任意项级数:
既有无穷多个正项又有无穷多个负项的级数.
交错级数:
正负项交错排列的级数;可写成
(1)n un 或 (1)n1 un ,其中 un 0 (n 1,2,).
n1
n1
交错级数收敛性判别法
定理 1 (Leibniz判别法)