任意项级数绝对收敛与条件收敛

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条件收敛与绝对收敛

第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛定义对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。

n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。

(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。

并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。

大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。

下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。

定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。

n 1由级数(1)可看出反之不成立。

n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。

n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。

解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。

第12章(2)2数项级数的绝对收敛与条件收敛

n 0
n 0
unvn 之间的关系，注意到由( un vn )2 0 可推得
un 2 vn 2 2 unvn unvn
n 0
从而可推得结论．
证明
2 2 vn 2 | unvn |，由 ( un vn )2 0 得 un

因级数 un 2 和 vn 2 收敛，必有级数 ( un 2 vn 2 ) 收敛，
有关级数的敛散性判定准则：拿到一个级数，先看通项的极限是否为0 ；再看是什么类型的级数（正项，交错，任意项）： 1、正项级数的收敛就是绝对收敛； 2、交错级数可能发散，可能条件收敛也可能是绝对收敛； 3、对于任意项级数，先将通项取绝对值再分析对应的级数的敛散性，取绝对值后的级数收敛即为绝对收敛；取绝对值后的级数发散，但还要看原级数可能收敛（比如是交错级数可看其是否满足莱布尼兹判别法）。如果是用正项级数的比值审敛法分析的发散就一定发散； 4、条件收敛与绝对收敛都是收敛。
2n n ! 练习：1、证明：lim n 0 n n
2、判别级数的敛散性
an (1) (a 0)敛散性 2n n 1 1 a

2n n ! lim n 0 练习： 1、证明： n n 2n n ! 证明：设 un n , n un1 2n1 (n 1)! 2n n! lim lim / n lim n 1 n u n (n 1) n n n
再由比较收敛法知原级数也是收敛的。
定理5. *根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数, 且 lim n un , 则
n
1 例如, 设级数 n , n1 n

1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n

绝对收敛与条件收敛

sinn n 1 n ( 2 ). ( 1 ) (1). ( 3 ). n ! x n 1 2 3 n n 1 n 1 n 1 1 1 sin n 解 (1). | un | 2 因 2 收敛, 故原级数绝对收敛. 2 n n n 1 n n1 n un1 n1 1 3 ( 2). lim lim lim 1 故原级数绝对收敛. n u n n 3n n 3 n n 1 3 (3).当x 0时，级数显然收敛于 0；当x 0时 un1 ( n 1)!| x |n1 lim lim lim( n 1) | x | 原级数发散. n n u n n n!| x | n

例如,
( 1 )
n1
1 条件收敛. n
1 ( 1 ) 3 绝对收敛. n n 1
n

定理7

若级数
u
n 1

n
绝对收敛, 则级数
u
n 1

n
必定收敛.
1 证设 | un | 收敛, 令 vn (un | un |) (n 1,2,) 2 n 1

un 2vn | un | 由性质知, un 收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
1、任意项级数：

u ,
n 1 n

un 为任意实数.

2、绝对收敛、条件收敛.
1).若 2).若

| u u
n 1 n 1 n
n
| 收敛, 则称 un 为绝对收敛.
n 1
n
收敛, 但
n1
| u
n 1

| 发散, 则称 un 为条件收敛.

5绝对收敛级数和条件收敛级数的性质(精)

n 1

于是得知 wn 亦必为收敛.又由于 un vn wn ,所以
n 1

得知级数
u
n 1

u
n 1
n

n

v
n 1

n
wn
n 1

vn wn 两个级数和都发散. n 1 n 1
绝对收敛 ,此与已知条件矛盾,因此证明了
定理2
绝对收敛级数
n 1

证明
(i)若级数 u n 绝对收敛,由于
n 1

0 vn un ,0 wn un ,
按比较判别法,级数 vn 和级数 wn 都收敛.
un (ii)若为条件收敛,用反证法证明定理的第二结论. n 1

n 1 n 1

假设级数 vn 和级数 wn 中至少有一个是收敛的,不妨 n 1 n 1 假设 vn 为收敛级数,那么,由于 w n v n un
' n 1 n 1 n 1

而 u ' n v' n w' n ,所以
' ' ' u v w n n n V W un . n 1 n 1 n 1
这样就证明了定理. 若级数 u n 和 vn 都绝对收敛,其 n 1 n 1 和分别为 U 和 K ,则它们各项之积 ui vi i, k 1,2,3, 按照任何方法排列所构成的级数绝对收敛,且其和为 UV . 定理3(柯西定理)
所以,取 n 大于所有下标 n1 , n2 ,, nk 后,显然有
' 1

绝对收敛与条件收敛

可得 un+1 > un (n > N ),
于是从而
lim
n→∞
un
≠ 0,
lim
n→∞
un
≠
0,
∞
故 ∑ un发散 .
n=1
说明:
∞
∑
un 发散（用比值法或
⇒
∞
∑ un发散
n=1
根值法判） n=1
例4 级数
∞
∑
(−
n)n
是绝对收敛、条件收敛还是发散？
n=1 n !
解
Q
∞
∑
(−
n )n
=
∞
∑
n
n=1 n !
*3. 绝对收敛级数性质
*性质1 (交换律) 绝对收敛级数不因改变项的位置
而改变其和.
∞
∞
*性质2 (分配律) 设 ∑ un与 ∑ vn 都绝对收敛, 其和
n=1 n=1
分别为S,σ, 则逐项相乘 uiv j ，并按任意顺序排列
∞
得到的级数 ∑ wn 也绝对收敛, 其和为 Sσ .
n=1
∞
∑
(− 1)n sin
x
(x
>
0) 的敛散性
.
n=1
n
解
因
un
=
(− 1)n sin x
n
= sin x n
~ x (n → ∞) n
而
∞
∑
x 发散，由比较法知
n=1 n
∞
∑ un
n=1
发散，
故原级数非绝对收敛 .
又 sin x > sin x
n
n+1
⎜⎛ n > 2 x ⎟⎞ ⎝ π⎠

第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质

也得一个新的正项级数，记为 n .

un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛，其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B，则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1

n 1

n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ，考虑它的更序级数 un

un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1

* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1

(2).若级数 un条件收敛,

级数的条件收敛和绝对收敛

级数的条件收敛和绝对收敛级数是数学中一种重要的数列求和形式，它在许多数学分支中都扮演着重要的角色。

在研究级数的性质时，我们常常关注两个重要的概念：条件收敛和绝对收敛。

我们来讨论条件收敛。

一个级数在条件收敛时，指的是当级数的各项按照某种次序相加时，其和存在但可能不收敛。

换句话说，条件收敛是指级数的各项次序的排列方式对级数的和有影响。

为了更好地理解条件收敛，我们来看一个例子：调和级数。

调和级数是指级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，它的和是发散的。

然而，当我们改变级数的次序时，例如将正项和负项交替相加，即1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...，这个级数的和却是收敛的，而且和为ln2。

这就是条件收敛的一个例子。

接下来，我们来讨论绝对收敛。

一个级数在绝对收敛时，指的是当级数的各项按照任意次序相加时，其和都是收敛的。

换句话说，绝对收敛是指级数的各项次序的排列方式对级数的和没有影响。

为了更好地理解绝对收敛，我们再来看一个例子：幂级数。

幂级数是指形如Σan*x^n的级数，其中an是系数，x是变量。

对于幂级数，当其收敛半径大于0时，它是绝对收敛的。

也就是说，无论我们如何排列幂级数的各项次序，只要收敛半径大于0，级数的和都是收敛的。

这就是绝对收敛的一个例子。

条件收敛和绝对收敛的区别在于级数项次序的影响。

条件收敛的级数的和在不同的项次序下可能会收敛到不同的值，而绝对收敛的级数的和在任意项次序下都是收敛到同一个值。

那么，为什么条件收敛和绝对收敛如此重要呢？这是因为在实际应用中，我们常常需要对级数进行求和。

如果一个级数是绝对收敛的，我们可以放心地任意改变级数的项次序，而不用担心和的变化。

然而，如果一个级数只是条件收敛的，我们在改变项次序时就需要小心，因为和可能会发生变化。

绝对收敛还有一个重要的性质：绝对收敛的级数的部分和序列是一个柯西序列。

柯西序列是指序列的任意两个元素之间的差可以任意小。

11-03 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-下13

n1
对收敛；若
un
发散,
但
n1
un
收敛,
则称n1 un 为
n1
n1
n1
条件收敛.
今后对任意项级数，必须注明绝对收敛还是条件收敛.
微积分十一 ④
任意项级数敛散性判断思考过程：
任意项级数 un n1
？ un 0
否
是
un 收敛否?
n1
是
绝对收敛
否
否
un收敛否?
n1
是
条件收敛
微积分十一 ④
14/34
n1
ln( n 1)
n1
0 1
解:⑴
lim
n
vn
lim
n
ln(n 1)
vn
1 ln(n 1)
1 ln(n 2) vn1 原级数收敛.
⑵
lim
n
vn
lim(
n
1 vn n 1
n1
n
n) lim n 1
n 2
1 0
n1 n n 1 vn1
原级数收敛.
微积分十一 ④
7/34
例4
发散
15/34
例1. 判别下列级数的敛散性
(1)
(1)n
n1
1 n2
,
( 2)
(1)n
1
n1
n
解：
n1
(1)n
1 n2
1
n1
n2
是 p=2>1 的 p-级数, 收敛.
故级数
(1)n
n1
1 n2
绝对收敛
(2)
lim
n
vn
lim
n

条件收敛与绝对收敛

第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判n =1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。

定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称n =1n =1级数v a n绝对收敛。

n d如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1敛。

n 1条件收敛的级数是存在的，如、口n=1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。

并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。

大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。

下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。

n 丄n 1由级数-可看出反之不成立。

n=i n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数】a n 发散。

9.3绝对收敛与条件收敛

例 6 判别级数 sin n 2 1 的敛散性.
n 1

例7
xn n ( x 0) 的敛散性. 判别级数 ( 1) n n 1

1 练习：1.判别级数 n ( x 0) 的收敛性. n 1 lg x
( 1)n an 发散，练习： 2.设正数列{an}单调下降，且
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 1 1 2) ; 1) ; n 1 n ! n 1 n
发散收敛
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 一般项为任意实数的级数称为任意项级数.
2、定理若 | an |收敛,则 an 收敛.
n1 n1
1 证明令 vn (an | an |) ( n N ), 则 vn 0, 且 vn | an |, 2
lim n 2 un 存在,证明:级数 un 收敛 . 二、若
n
n 1
b 3n 0. 三、证明:lim n n! a n
n

例2 讨论下列级数的敛散性 : 1 (4) ( 1) p n n 1
n
sin na (5) 2 n n 1 1 n (6) sin 2 n 1 n

如何判别任意项级数 an 的敛散性？
若收敛, 要指出是条件收敛还是绝对收敛. 一般步骤如下：1. lim an 0, 则级数发散. n 否则：判别
n 1
(2) 当 1 时, 级数发散；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
例2 讨论下列级数的敛散性 : n 1 (1) (1) ln n n 1
n
(n 1)! (2) ( 1) n 1 n n 1

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n
lim u n 0
n 1 ( 1 ) un 收敛则交错级数 n 1

15
思考题
设正项级数
un 收敛 , 能否推得
n 1

n 1
2 un
收敛 ?
反之是否成立 ? 若是任意项级数呢 ?
16
un lim un 0 ，解答设 un 是正项级数， lim n u n n n1
若 x 1 , 级数绝对收敛；若 x 1 ,级数发散；
若 x 1 , 该级数的通项不趋于 0，级数发散；
13
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛法
必要条件 lim u n 0
n
满足
不满足
发散
un 1 比值判别法 lim u r n n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛
5

定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义若

| u
n 1

n
| 收敛,则称 un 绝对收敛；
n1
n

若
un 收敛,但 | u
u1 .
1
(1)
n 1

n 1
un (其中un 0)
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
（1） un un1 ,即 {un } 单调递减；
（ 2 ） lim un 0 ,
n
则交错级数
n 1 ( 1 ) un 收敛, 且其和 S u1 . n 1
即
u n 为 un 的所有非负项组成的级数, n1 n 1
显然 un | un | , 由正项级数的比较判别法可知,
收敛 , u 而 un 2un | un | , n n 1
由
| u
n 1
n
| 的收敛性可知,
u
n 1

n
收敛 .
根值判别法
r 1
lim n un r
n
比较判别法 r 1 不定部分和极限用它法判别积分判别法
r 1
收敛
发散
14
3. 任意项级数收敛法
概念: 为收敛级数绝对收敛条件收敛 Leibniz定理:
n 1 ( 1 ) un n 1
un un 1 0

1 发散 . n 1 n
17

作业 :
P310 311 7(1)(3),8(1)(3)(5)
18
n1
n 1
| 发散,则称 un 条件收敛.
n1

例如,

(1)
n 1

n 1
1 绝对收敛, 2 n
而
(1)
n 1
n 1
1 条件收敛. n
6
定理：若
| u
n 1
n

n
| 收敛 , 则 un 收敛.
n 1

1 un , un 0 证明令 u (| un | un ) n 1,2, ， 2 0, un 0
sinn 例3 判定的绝对收敛,条件收敛或发散性. 2 n n 1

1 sinn 1 而收敛 , 解因为 , 2 n2 n2 n 1 n
故原级数绝对收敛.
8
定理：如果任意项级数
u
n 1

n
u1 u2 un
满足条件
un 1 lim l , 则当 l 1 时级数绝对收敛， l 1 时级数发散。 n u n

注意：莱布尼兹定理所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件.
2
例1 解
(1)
n 1

n 1
1 1 1 1 1 n 2 3 4
1 且 lim 0 , n n
1 p 称为交错 p—级数. n
这是交错级数,
1 单调递减, n
一般地， ( 1)
2 u 若 un 收敛，由比较判别法知 n 收敛.
n 1

2

n1
1 反之不成立. 例如： 2 收敛, n 1 n
n 1

1 n 发散. n 1
n1 2 un

若为任意项级数,则由 un 收敛不能推出
收敛.
( 1) n 如收敛, 但 n n 1
证明利用正项级数的比值判别法，当 l 1 时， un 收敛，从而

u
n 1

n 1
n
绝对收敛；而当 l 1 时 ,
n , un 不可能趋于0，因此 n , un 也不可能
趋于0，故
n 1 un 1 lim l 改为 limn un l 上述结论仍然成立。注：将 9 n u n n
n
un1 np ( ) n1 lim lim , p n n u n ( n 1) ( ) n
若 1 ,则原级数绝对收敛；
若 1 ,则原级数发散；
(1) 若 1 , 原级数为 , p n 1 n
n
因此当 p 1 时绝对收敛；当 0 p 1 时条件收敛.
u1 , 即 { S 2 m } 有上界 ,
故 { S2m } 收敛, 记 lim S 2 m S , 显然有 S u1 .
m
而 S2m1 S2m u2m1 , 由条件(2)可知,
m
lim S 2 m 1 S ,
得 lim S n S ,
n
即原级数收敛, 且其和 S
11
例6 讨论级数
n 1

xn 的敛散性. n
n1
un 1 n x n 解 lim x x lim n lim n u n n 1 n n 1 n x
若 x 1 , 级数绝对收敛；若 x 1 ,级数发散；
1 调和级数发散；若 x 1 , 若 x 1, n 1 n
u
n
发散。
1 1 例4 判定 ( 1) n 1 的绝对收敛,条件 3 n n 1
n

n2
收敛或发散性.
解
n
1 1 n 1 un (1 ) n e 1 ，绝对收敛. 3 n 3
10
例5 解
( ) 设 p 0, 0 , 讨论的收敛性. p n n1
n 1
由莱布尼茨定理知，级数收敛。
n 1
1 1 lim p 0 , 当 p 0 时， p 单调递减且 n n n
所以级数收敛。
3
例2
( 1) n n 判别级数ຫໍສະໝຸດ 的敛散性. n1 n 2
x (1 x ) 0, , 则 f ( x ) 解设 f ( x) 2 x 1 2 x ( x 1) ( x 2) x 故函数在x 2时单调递减 , x 1
7
说明:
1 1 (1) 定理不可逆, 如 ( 1) 收敛, 但发散 ; n n 1 n n 1 (2) 若 | un | 发散, 不能推出 un 发散, 如上例；
n 1
n 1

n 1
(3)凡是用于判定正项级数敛散性的定理，都可以用来判别级数是否绝对收敛；
n 所以数列单调递减, n1
n 0, 又 lim un lim n n n 1
所以级数收敛.
4
用Leibnitz 定理判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1 1n 1 1) ! 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 n n 收敛 1 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10 n! 1 2 3 4 n 1 n 收敛 3) 2 3 4 (1) 10 10 10 10 10n
证
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) ,
由条件 (1) 可知, u2 k 1 u2 k , 所以 { S2m } 单调递增；
另一方面, S 2 m u1 ( u2 u3 ) ( u4 u5 ) ( u2 m 2 u2 m 1 ) u2 m
( 1)n ( 1)n1 条件收敛。 n n n 1 n 1

12
例7 讨论级数
n 1 的敛散性. nx n 1
n

un 1 ( n 1) x 解 lim lim n 1 n u n n nx
1 lim (1 ) x x n n

任意项级数绝对收敛与条件收敛

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条件收敛与绝对收敛

第12章(2)2数项级数的绝对收敛与条件收敛

绝对收敛与条件收敛

5绝对收敛级数和条件收敛级数的性质(精)

绝对收敛与条件收敛

第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质

级数的条件收敛和绝对收敛

11-03 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-下13

条件收敛与绝对收敛

9.3绝对收敛与条件收敛

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