任意项级数绝对收敛与条件收敛

上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛
5

定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义 若

| u
n 1

n
| 收敛,则称 un 绝对收敛；
n1
n

若
un 收敛,但 | u
sinn 例3 判定 的绝对收敛,条件收敛或发散性. 2 n n 1

1 sinn 1 而 收敛 , 解 因为 , 2 n2 n2 n 1 n
故原级数绝对收敛.
8
定理：如果任意项级数
u
n 1

n
u1 u2 un
满足条件
un 1 lim l , 则当 l 1 时级数绝对收敛， l 1 时级数发散。 n u n
n
lim u n 0
n 1 ( 1 ) un 收敛 则交错级数 n 1

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思考题
设正项级数
un 收敛 , 能否推得
n 1


n 1
2 un
收敛 ?
反之是否成立 ? 若是任意项级数呢 ?
16
un lim un 0 ， 解答 设 un 是正项级数， lim n u n n n1
n 所以数列 单调递减, n1
n 0, 又 lim un lim n n n 1
所以级数收敛.
4
用Leibnitz 定理判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1 1n 1 1) ! 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 n n 收敛 1 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10 n! 1 2 3 4 n 1 n 收敛 3) 2 3 4 (1) 10 10 10 10 10n
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例6 讨论级数
n 1

xn 的敛散性. n
n1
un 1 n x n 解 lim x x lim n lim n u n n 1 n n 1 n x
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
1 调和级数发散； 若 x 1 , 若 x 1, n 1 n
n
un1 np ( ) n1 lim lim , p n n u n ( n 1) ( ) n
若 1 ,则原级数绝对收敛；
若 1 ,则原级数发散；
(1) 若 1 , 原级数为 , p n 1 n
n
因此当 p 1 时绝对收敛；当 0 p 1 时条件收敛.
n1
n 1
| 发散,则称 un 条件收敛.
n1

例如,

(1)
n 1

n 1
1 绝对收敛, 2 n
而
(1)
n 1
n 1
1 条件收敛. n
6
定理： 若
| u
n 1
n

n
| 收敛 , 则 un 收敛.
n 1

1 un , un 0 证明 令 u (| un | un ) n 1,2, ， 2 0, un 0
即
u n 为 un 的所有非负项组成的级数, n1 n 1
显然 un | un | , 由正项级数的比较判别法可知,
收敛 , u 而 un 2un | un | , n n 1
由
| u
n 1
n
| 的收敛性可知,
u
n 1

n
收敛 .

1 发散 . n 1 n
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作业 :
P310 311 7(1)(3),8(1)(3)(5)
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( 1)n ( 1)n1 条件收敛。 n n n 1 n 1


12
例7 讨论级数
n 1 的敛散性. nx n 1
n

un 1 ( n 1) x 解 lim lim n 1 n u n n nx
1 lim (1 ) x x n n
u1 , 即 { S 2 m } 有上界 ,
故 { S2m } 收敛, 记 lim S 2 m S , 显然有 S u1 .
m
而 S2m1 S2m u2m1 , 由条件(2)可知,
m
lim S 2 m 1 S ,
得 lim S n S ,
n
即原级数收敛, 且其和 S
根值判别法
r 1
lim n un r
n
比较判别法 r 1 不定 部分和极限 用它法判别 积分判别法
r 1
收 敛
发 散
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3. 任意项级数收敛法
概念: 为收敛级数 绝对收敛 条件收敛 Leibniz定理:
n 1 ( 1 ) un n 1
un un 1 0
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
若 x 1 , 该级数的通项不趋于 0， 级数发散；
13
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛法
必要条件 lim u n 0
n
满足
不满足
发 散
un 1 比值判别法 lim u r n n
n 1
由莱布尼茨定理知，级数收敛。
n 1
1 1 lim p 0 , 当 p 0 时， p 单调递减且 n n n
所以级数收敛。
3
例2
( 1) n n 判别级数 的敛散性. n1 n 2

x (1 x ) 0, , 则 f ( x ) 解 设 f ( x) 2 x 1 2 x ( x 1) ( x 2) x 故函数 在x 2时单 调 递 减 , x 1
u1 .
1
(1)
n 1

n 1
Βιβλιοθήκη Baidu
un (其中un 0)
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
（1） un un1 ,即 {un } 单调递减；
（ 2 ） lim un 0 ,
n
则交错级数
n 1 ( 1 ) un 收敛, 且其和 S u1 . n 1
证明 利用正项级数的比值判别法，当 l 1 时， un 收敛， 从而

u
n 1

n 1
n
绝对收敛； 而当 l 1 时 ,
n , un 不可能趋于0， 因此 n , un 也不可能
趋于0， 故
n 1 un 1 lim l 改为 limn un l 上述结论仍然成立。 注：将 9 n u n n
2 u 若 un 收敛，由比较判别法知 n 收敛.
n 1

2

n1
1 反之不成立. 例如： 2 收敛, n 1 n
n 1

1 n 发散. n 1
n1 2 un

若为任意项级数,则由 un 收敛不能推出
收敛.
( 1) n 如 收敛, 但 n n 1

注意：莱布尼兹定理所给的条件只是交错级数收敛 的充分条件，而非必要条件.
2
例1 解
(1)
n 1

n 1
1 1 1 1 1 n 2 3 4
1 且 lim 0 , n n
1 p 称为交错 p—级数. n
这是交错级数,
1 单调递减, n
一般地， ( 1)
7
说明:
1 1 (1) 定理不可逆, 如 ( 1) 收敛, 但 发散 ; n n 1 n n 1 (2) 若 | un | 发散, 不能推出 un 发散, 如上例；
n 1
n 1

n 1
(3)凡是用于判定正项级数敛散性的定理，都可以用来 判别级数是否绝对收敛；
u
n
发散。
1 1 例4 判定 ( 1) n 1 的绝对收敛,条件 3 n n 1
n

n2
收敛或发散性.
解
n
1 1 n 1 un (1 ) n e 1 ， 绝对收敛. 3 n 3
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例5 解
( ) 设 p 0, 0 , 讨论 的收敛性. p n n1
证
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) ,
由条件 (1) 可知, u2 k 1 u2 k , 所以 { S2m } 单调递增；
另一方面, S 2 m u1 ( u2 u3 ) ( u4 u5 ) ( u2 m 2 u2 m 1 ) u2 m