上海市松江区2011届高三5月月考理科数学试题

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第2部分：常用逻辑、选择题:15. Lt海市黃浦区2011年理月高苇二模试題理科)已知心沦I恳|A-1|<1.若◎是Q的必要非充分条件，则礫厲的取值范围是[答1( B )A. a>0.B.C. a>2.D. a <2.IS.(上海市黄浦区20U年好月高考二模试題理科)现给出如下命题：(“若直线J与平面疣内无穷多条直娃都垂直，则直线J丄平面血⑴空间三点确定Y平面；〔3]先后抛两枚礎币，用事件佥表示*第一次抛出现正面向上％用事件B表示“第二次抛出现反面向上3则事件A和E相互独立且尸=1X1=1；2 2 4〔4；样本数据7-14,1的标准差是1.则其中正确命题的序号是______________ [§]( D )A.(1)、(4).B. {lh (3).C. {3卜(4\D.(为、(4).15.(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)已知「：x_a , 1： |X-1|：：: 1 .若〉是]a的取值范围是的必要非充分条件，则实数答］(B )[B . a _0.18. (上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)现给出如下命题:(1)若直线I与平面〉内无穷多条直线都垂直，则直线I _平面：•；(2)已知z C ,则| z2戶z2；⑶某种乐器发出的声波可用函数y =0.001sin 400二t(t • R )来描述，则该声波的频率是200赫兹；⑷样本数据-1, -1,11的标准差是1.则其中正确命题的序号是________________ [ 答](D )A. (1)、(4) .B. (1)、(3) . C . (2)、(3)、(4) . D . (3)、(4).15、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)给定空间中的直线l及平面〉，条件"直线l与平面〉垂直”是"直线l与平面:-内无数条直线垂直”的( B )A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件15.(上海市五校2011年联合教学调研理科a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7 平行的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件16. （上海市十三校2011年高三第二次联考理科）“函数f （x ）在［a,b ］上为单调函数”是“函 数f （x ）在［a, b ］上有最大值和最小值”的（ A ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）非充分非必要条件一1 1 15.（上海市闵行区 2011届高三下学期质量调研文科 ）“ sin ”是“ cos2 ”的22［答］（A ）（A ）充分不必要条件. （B ） 必要不充分条件. （C ）充要条件.（D ）既不充分也不必要条件.15、 （上海市奉贤区 2011年4月高三调研测试）在厶ABC 中，“ CCOSB 二bCOSC ”是“△ ABC 是等腰三角形”的（A ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16、 （上海市徐汇区 2011年4月高三学习诊断文科）设是首项大于零的等比数列，则a 1心2 ”是“数列是递增数列”的（C ）必要不充分条件 既不充分又不必要条件n ”是“函数f （x ）二sin （x 亠仃）是奇函必要非充分条件 既非充分又非必要条件年联合教学调研理科已知数列A: a],a 2J11, a n0 _ a ： a 2： 111 : a n, n _ 3 具有性质 p ：对任意 i, j 1 < Hi j < n ,a j - a i 与a 」-a i两数中至少有一个是该数列中的一项•现给出以下四个命题:① 数列0,1,3,5,7 具有性质P ; ② 数列0,2,4,6,8具有性质P ;③ 若数列A 具有性质P ，则a 10 ；④ 若数列 a 「a 2 ,a 3, a 4,a 5 （0 ^a 1 ::: a 2 ::: a 3 ::: a 4 ::: a 5）具有性质 P ，则 a 1 a^2a 2。

2010学年上海市嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（理科）2011.5一．填空题（本大题共有14题，每小题4分，满分56分）将结果填写在题目的横线上． 1．设集合}35{<<-=x x A ，}42{<<-=x x B ，则=B A ___________．2．已知向量)cos ,(sin x x a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=x tan _________．3．函数xxy 21lg -=的定义域是______________．4．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是 _________________．５．在等差数列}{n a 中，若公差0≠d ，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则公比=q ________．６．若关于x 的方程0122=--ax ax 有且仅有一个实数根，则实数=a ________．７．设*N n ∈，n x )12(+展开式各项系数之和为n a ，nx )13(+展开式各项系数之和为n b ，则=++++∞→1132limn n nn n b a b a __________．8．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 4cos )(ππx x x f 的图像上相邻两个对称中心的距离是___________．9．在极坐标系中，将圆θρcos 2a =（0>a ）的圆 心绕极点按逆时针方向旋转2π，所得圆的极坐标方程 为___________________．10．执行如图所示的程序框图，若输入的5.10-=x ， 则输出y 的结果为 ．11．已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．12．某班从5名班干部（其中男生3人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，则随机变量ξ的方差=ξD ___________．13．椭圆12922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若4||1=PF ，则=⋅21PF PF ________________．14．已知集合M 是满足下列两个条件的函数)(x f 的全体：①)(x f 在定义域上是单调函数；②在)(x f 的定义域内存在闭区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ．若函数第10题图m x x g +-=1)(，M x g ∈)(，则实数m 的取值范围是________________．二．选择题（本大题共有4题，每小题5分，满分20分）请将正确选项的字母填写在题后括号内．15．若函数)(x f 的定义域是R ，则“0)0(=f ”是“)(x f 为奇函数”的…………（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 16．抛物线2x y =的焦点坐标是…………………………………………………………（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,41 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,0 17．已知M 是△ABC 内的一点，且32=⋅AC AB ，030=∠BAC ，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为21，x ，y ，则y x 41+的最小值是…………………（ ）A ．20B ．18C ．16D ．918．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=4,24140,|log |)(4x x x x x f ，若a 、b 、c 的值互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是……………………………………………（ ）A ．)4,1(B ．)5,2(C ．)6,3(D ．)8,4(三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．设复数i z +=αsin 1，i m m z )cos (2α-+=，其中i 为虚数单位，)2,0[πα∈，R m ∈且21z z =．（1）求α的值；（2）设ααsin cos i t +=，求121)(-++++=n t t t t f （*N n ∈）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 在三棱锥BCD A -中，⊥AD 面BCD ，CD BD ⊥，2==BD AD ，32=CD ，E 、F 分别是AC 和BC 的中点． （1）求三棱锥CDF E -的体积；（2）求二面角C DF E --的大小（用反三角函数值表示）．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分火山喷发后，会在喷发区及周边地区地面上堆积起大量火山灰．在一次火山喷发停止后对地面火山灰的堆积量进行测量，设定距离喷口中心50m 内的圆形区域为第1区，距离喷口中心50m 至100m 的圆环形区域为第2区，距离喷口中心100m 至150m 的圆环形区域为第3区，…，距离喷口中心)1(50-n m 至n 50m 的圆环形区域为第n 区…．测得第1区火山灰堆积重量平均为1000kg 2/m ，第2区火山灰每平方米的平均重量比第1区减少%2，第3区比第2区又减少%2，…，依此类推（题中*N n ∈,m 表示长度单位米，kg表示重量单位千克）．（1）若第n 区平均每平方米火山灰的堆积重量为n a （kg ），写出n a 的表达式； （2）第几区内的火山灰的总重量最大？E DABF22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分如图，已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的下顶点为A ，点P 是椭圆上任意一点，圆M 是以2PF 为直径的圆．（1）若圆M 过原点O ，求圆M 的方程；（2）当圆M 的面积为8π时，求PA 所在直线的方程；（3）写出一个定圆的方程，使得无论点P 在椭圆的什 么位置，该定圆总与圆M 相切．请写出你的探究过程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分5分，第3小题满分7分已知R k ∈，0>a 且1≠a ，0>b 且1≠b ，函数xxb k a x f ⋅+=)(．（1）如果实数a 、b 满足1>a ，1=ab ，试判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）设01>>>b a ，0≤k ，判断函数)(x f 在R 上的单调性并加以证明； （3）若2=a ，21=b ，且0>k ，问函数)(x f 的图像是不是轴对称图形？如果是，求出函数)(x f 图像的对称轴；如果不是，请说明理由．嘉定区2010学年高三年级第三次质量调研数学试卷（理科）参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有14题，每小题4分，满分56分） 1．}32{<<-x x ；2．2；3．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0；4．⎩⎨⎧==12y x ；５．3；６．1-；７．43； 8．2π；9．θρsin 2a =；10．3；11．π6；12．259；13．4-；14．⎥⎦⎤⎝⎛21,0．二．选择题（本大题共有4题，每小题5分，满分20分） 15．B ； 16．C ； 17．B ； 18．D ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 解：（1）因为21z z =，所以αsin =m ，1cos =-αm ，即1cos sin =-αα，……（2分）所以224sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，……（3分） 由)2,0[πα∈得⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈-47,44πππα，所以44ππα=-或434ππα=-，即2πα=或πα=．……（5分）（2）①当2πα=时，i t =，i i i i i t f n n--=++++=111)(2 ，……（8分）k n 4=（*N n ∈）时，0)(=t f ；14+=k n 时，1)(=t f ；当N n ∈，24+=k n 时，i t f +=1)(；当34+=k n 时，i t f =)(．……（9分）（此处分类讨论不做扣1分）②当πα=时，1-=t ，2)1(1)1(1111)(1n n t f --=-++-+-=- ，……（12分）当n 为奇数时，1)(=t f ；当n 为偶数时，0)(=t f ．（此处分类讨论不做不扣分） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分解：（1）以D 为原点，以DB 、DC 、DC 所在直线 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．则)0,0,0(D ，)2,0,0(A ，)1,3,0(E ，……（2分）)0,3,1(F ，因为⊥AD 平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量为)1,0,0(=n，……（3分）)1,3,0(=DE ，设点E 到平面BCD 的距离为d ，则1==d ， 即三棱锥CDF E -的高为1，……（4分）EDCABF因为点F 是BC 的中点，所以S △S CDF 21=△3=BCD ，……（5分） 所以三棱锥CDE E -的体积S V ⋅=31△33=⋅d CDF ．……（7分）（2）)1,3,0(=DE ，)0,3,1(=DF ，设平面DEF 一个法向量为),,(1z y x n =，则DE n ⊥1 ，DF n ⊥1 ，从而01=⋅DE n ，01=⋅DF n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z y ，……（9分）取3-=y ，则3==z x ，)3,3,3(1-=n．……（10分） 设二面角C DF E --的大小为θ，由图形可知θ是锐角，所以721||||||cos 11=⋅=n n n n θ．……（11分）因此，二面角C DF E --的大小为721arccos．……（12分） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 解：（1）由题意，{}n a 组成以1000为首项，以98.002.01=-为公比的等比数列，……（4分）所以198.01000-⨯=n n a ．……（6分）（2）设第n 区的面积为n b 2m ，则)12(2500})]1(50[)50{(22-⋅=--⋅=n n n b n ππ，……（8分）则第n 区内火山灰的总重量为1)98.0()12(25001000-⋅-⋅=⋅n n n n b a π，……（10分） 设1)98.0()12(-⋅-=n n n c ，若n c 最大，则有⎩⎨⎧≥≥+-11n n n n c c c c ，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅+≥⋅-⋅-≥⋅----nn n n n n n n )98.0()12()98.0()12()98.0()32()98.0()12(121，解得2101299≤≤n ， 即5.505.49≤≤n ，……（13分）所以50=n ．即第50区内的火山灰总重量最大．……（14分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 解：（1）解法一：因为圆M 过原点O ，所以2OF OP ⊥，所以P 是椭圆的端轴顶点，P 的坐标是)1,0(或)1,0(-，于是点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21或⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21， …………（2分）圆M 的方程为21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ． ……（4分）解法二：设),(11y x P ，因为圆M 过原点O ，所以2OF OP ⊥，所以02=⋅OF OP ，所以01=x ，11±=y ，点)1,0(±P ………（1分） 于是点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21或⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21， …………（2分）圆M 的方程为21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ． ……（4分）（少一个解扣1分）（2）设圆M 的半径为r ，由题意，82ππ=r ，42=r ，所以22||2=PF …（5分） 设),(11y x P ，则22)1(2121=+-y x ． ………………………………………（6分） 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1221)1(21212121y x y x ，解得11=x （31=x 舍去）， ……………………（7分）所以点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1P 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,1P ． ………………………（8分） 所以221+=PA k 或221-=PA k ， …………………………（9分）所以直线PA 的方程为1221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 或1221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ………………（10分） 注：直线方程也可写成其他形式，如：022)22(=--+y x 与022)22(=---y x 等．少一个解，得4分．（3）以原点为圆心，2为半径的定圆始终与圆M 相内切．定圆的方程为222=+y x ． ……………………………………（12分） 探究过程为：设圆M 的半径为r ，定圆的半径为R ， 因为r PF PF PF MO -=-=-==2||212|)|22(21||21||121，所以当原点为定圆圆心，半径2=R 时，定圆始终与圆M 相内切． ……………………………（16分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分5分，第3小题满分7分 解：（1）由已知，ab 1=，于是x x a k a x f -⋅+=)(，则xx a k a x f ⋅+=--)(，……（1分） 若)(x f 是偶函数，则)()(x f x f -=，即x x xxa k a a k a ⋅+=⋅+--，所以0))(1(=---xxaa k 对任意实数x 恒成立，所以1=k ．……（3分）若)(x f 是奇函数，则)()(x f x f -=-，即)(x x x xa k a a k a --⋅+-=⋅+，所以0))(1(=++-xxaa k 对任意实数x 恒成立，所以1-=k ．……（5分）综上，当1=k 时，)(x f 是偶函数；当1-=k 时，)(x f 奇函数，当1±≠k ，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．………………（6分）（2）因为1>a ，10<<b ，所以函数xa y =是增函数，xb y =减函数，由0≤k 知，0=⋅=x b k y 或是增函数，所以函数)(x f 在R 于是增函数．……（8分）证明如下：设1x 、2x R ∈且21x x <，则1122)()(12x x x x b k a b k a x f x f ⋅--⋅+=-)()(1212x x x x b b k a a -+-=因为1>a ，10<<b ，21x x <，0≤k ，所以012>-x x a a，0)(12≥-x x b b k ，所以0)()(12>-x f x f ，所以函数)(x f 在R 是增函数．…………（11分） （3）xxk x f -⋅+=22)(，若函数)(x f 的图像是轴对称图形，且对称轴是直线m x =，则函数)(m x f +是偶函数，即对任意实数x ，)()(x m f x m f +=-，……（14分）)()(2222x m x m x m x m k k +-+---⋅+=⋅+，化简得0)22)(22(=⋅----m m x x k ，……（16分）因为上式对任意R x ∈成立，所以022=⋅--mmk ，k m 2log 21=．……（17分） 所以，函数)(x f 的图像是轴对称图形，其对称轴是直线k x 2log 21=．……（18分）。

试卷类型：B2011届高三原创月考试题二数学适用地区：大纲地区 考查范围：集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数 建议使用时间：2010年9月底一选择题(本大题共12小题，每小题5分)1. (理)（2010·兰州一中高考冲刺模拟测试）设集合M ={x|x 2≤2x }，N ={x |y =ln(2-| x | )}，则 M∩N 为 （ ） A ．[0,2] B ．(0,2) C ．[0,2) D ．(-1,0]（文）（2010·兰州一中高考冲刺模拟测试）若{1,2,3,4}U =，{1,2}M =，{2,3}N =，则(()UM N =（ ）A ．{2}B ．{4}C ．{1，2，3}D ．{1，2，4}2.（2010··蚌埠三检）等差数列46810129111{},120,3n a a a a a a a a ++++=-中若则的值是 （ ） A ．14B ．15C ．16D ．173.（2010··南开中学高三5月月考）已知函数()()2log (1),1,x x f x x c x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则“1c =-”是“函数()f x 在R 上递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.（2010·唐山一中高考冲刺试卷）定义行列式运算：12142334,a a a a a a a a =-将函数cos ()sin xf x x=的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 （ ）A ．2π3B ．π3C ．π8D ．5π65.（2010·庄浪二中五月适应性考试）已知数列{n a }满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是（ ）A ．5-B ．15-C ．5D ．156. （理）（2010·兰州一中高考冲刺模拟测试）函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象大致是（ ）（文）（2010·兰州一中高考冲刺模拟测试）过曲线3:3S y x x =-上一点A （2，—2）的切 线方程为 （ ）A ．2y =-B ．2y =C ．9160x y +-=D ．9160x y +-=或2y =-7. （理）（2010·滦县一中月考）在斜△ABC 中，sin A =－cos B cos C 且tan B tan C =1－3，则 角A 的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．3π2 D ．6π5 （文）（2010·重庆市四月考）已知π3cos 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,πx ∈，则sin x 的值为 （ ）A.310- B. 310 C. 12D. 2 8. （2010·丰台一模）已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,59.（2010·隆尧一中四月模拟）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1200920a OA a OB OC ++=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点），则2009S =（ ）A. 2009B. 2010C. -2009D. -2010 10.（2010··铜鼓中学五月月考）函数y ＝sin x |cot x |（0＜x ＜π）的图像的大致形状是 （ ）11. （2010·东城一模）已知数列{}n a 的通项公式3log ()1n na n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的最小自然数n 等于（ ）A ．83B ．82C ．81D ．8012. （理）（2010·湖南师大附中第二次月考）函数()sin (sin cos )f x x x x =-的单调递减区间是 （ ） A.52,2(Z)88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B. 5,(Z)88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.32,2(Z)88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D.3,(Z)88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（文）（2010·蚌埠三检）下列命题正确的是 （ ）A ．函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增 B ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πC ．函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像是关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称的图形D ．函数πtan 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像是关于直线π6x =成轴对称的图形 二填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13. （2010·绵阳南山中学热身考试）函数2sin 2cos2xy x =+的最大值是 14. （2010·黄冈中学5月模拟考试）在等比数列{}n a 中，若78910158a a a a +++=，8998a a =-，则789101111a a a a +++= 。

数 学一、填空题1.已知集合[){}4,,2,4,6,8A B =+∞=，则A B ⋂=______________2.若4sin 5α=，则cos 2α=______________3.函数()lg 31y x =++____________4.在ABC 中，设角A 、B 及C 所对的边长分别为,a b 及c ，若54,6a b c π===，则边长c =__________5.若复数z 满足23i z i ⋅=+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =___________6.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的高为____________7.已知()4234012342x a a x a x a x a x +=++++，则1234a a a a +++=____________8.已知数列{}n a 是等比数列，若3221244log log 3,3,2264aa a a a +==⋅=，则10a =_____________9.已知函数()y f x =的表达式为()3,01,03x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()2f m f m ≥+的实数m 的最大值为______________10.已知点P 为椭圆22143x y +=上任意一点，EF 为圆()22:14N x y −+=的任意一条直径，则PE PF⋅的取值范围是______________11.已知平面向量a 与b 的夹角为θ，b a −与a 的夹角为3,1a θ=，a 和b a −在b 上的数量投影分别为,x y ，则()sin x y θ+的取值范围是______________12.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关，根据路况不同，道路的限定速度一般在30千米/小时至70千米/小时之间，由相关数据，驾驶员反应距离1s （单位：米）关于车速v （单位：米/秒）的函数模型为：10.7584s v =；刹车距离2s （单位：米）关于车速v （单位：米/秒）的函数模型为：220.072s v =，反应距离与刹车距离之和称为停车距离，已知某个十字路口宽度为30米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，则该路口黄灯亮的时间最多为______________秒（结果精确到0.01秒）2025届上海市高考松江区一模考试试卷二、选择题13.已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A .bB.C .2a b +D.14.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄，对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁，如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A .62岁3个月B .62岁4个月C .62岁5个月D .63岁15.抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A 、B 和C ，则下列说法错误的是（ ）A .事件A 、B 和C 两两互斥B .()()()78P A P B P C ++=C .事件A 与事件B C ⋃是对立事件D .事件A B ⋃与B C ⋃相互独立16.设函数()y f x =与()y g x =均是定义在R 上的函数，有以下两个命题：①若()y f x =是周期函数，且是R 上的减函数，则函数()y f x =必为常值函数②若对任意的,a b R ∈，有()()()()f a f b g a g b −≤−成立，且()y g x =是R 上的增函数，则()()y f x g x =−是R 上的增函数，则以下选项正确的是（）A .①是真命题，②是假命题B .两个都是真命题C .①是假命题，②是真命题D .两个都是假命题三、解答题17.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求,,a b c 的值； （2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为123,,x x x ，等级系数为5的2件日用品记为12,y y ，现从12312,,,,x x x y y 这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.18.如图，已知AB ⊥平面ACD ，AB //DE ，ACD 为等边三角形，AD =DE =2AB ，点F 为CD 的中点.（1）求证：AF //平面BCE ；（2）求直线BF 和平面ABC 所成角的正弦值.19.为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =2AD =200m ，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN （底边MN CD ⊥）种植观赏树木，其余区域种植花卉，设,0,2MOB πθθ⎛⎤∠=∈ ⎥⎝⎦. （1）当3πθ=时，求PMN 的面积；（2）求三角形区域PMN 面积的最大值.20.如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线，若双曲线1C与椭圆2C 是“共轴”曲线，且椭圆()222122:103,9x y C b e e b +=<<=12,e e 分别为曲线12,C C 的离心率），已知点M （1,0），点P 为双曲线1C 上任意一点.（1）求双曲线1C 的方程；（2）延长线段PM 到点Q ，且2PM MQ =，若点Q 在椭圆2C 上，试求点P 的坐标；（3）若点P 在双曲线1C 的右支上，点A 、B 分别为双曲线1C 的左、右顶点，直线PM 交双曲线的左支于点R ，直线AP 、BR 的斜率分别为,AP BR k k ，是否存在实数λ，使得AP BR k k λ=? 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21.定义在D 上的函数()y f x =，若对任意不同的两点()()()()()112212,,,A x f x B x f x xx <，都存在()012,x x x ∈，使得函数()y f x =在0x 处的切线l 与直线AB 平行，则称函数()y f x =在D 上处处相依，其中l 称为直线AB 的相依切线，()12,x x 为函数()y f x =在0x 的相依区间，已知()()21f x a x ax =−++.（1）当2a =时，函数()()3F x x f x =+在R 上处处相依，证明：导函数()'y F x =在（0,1）上有零点；（2）若函数()()2ln f x G x x x=+在()0,+∞上处处相依，且对任意实数m 、n ，m >n >0，都有()()1G m G n m n−≤−恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a =时，())()120,,x H x x x x =>为函数()y H x =在01x =的相依区间，证明：122x x +>.参考答案一、填空题1.{4,6,8}2.725−3.1,13⎛⎤− ⎥⎝⎦4.5. 32i+ 6. 4 7. 65 8.164或512 9. 1− 10. []3,5−11. 1,42⎢⎣⎦12.4.96二、选择题13.D 14. C 15. C 16. A三、解答题17.（1）a 的值为0.1，b 的值为0.15，c 的值为0.1 （2）所有可能的结果为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12131112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x x x x x y x y x y x y x y x y x y y y 共10个这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为0.418.（1）证明略 （2）arctan 13FBH ∠=19.（1）)37502 （2）)27500m +20.（1）2219x y −=（2）()3,0P −或(6,（3）存在，λ的值为1221.（1）证明略 （2）14a ≥（3）证明略。