高一5月月考数学试题Word版附答案

姓名，年级：时间：高一阶段检测数学试卷一、选择题.(每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题）1．设集合{}1,2,3A =,{}220Bx x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ )A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}32．某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人,则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，50B ．100，1250C ．200，50D ．200，12503.已知θ是第四象限角,且sin （θ+π4)=35，则tan （θ–π4）= ( ）A ．43-B ．43C ．34D ．34-4.设,,a b c 分别是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直5．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =,若DE AB BC λμ=+，则λμ+=（ )A ．56-B ．16-C ．16D ．566．设a ,b ，c 均为正数，且11232112log ,()log ,()log 22ab c b c a ===，则（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>7．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点,线段AB 的中点为M （1，－1），则直线l 的斜率为（ ）A ．32B ．23C ．32-D ．23-8．如图，已知A(4,0)、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( ）A ．25B ．33C ．6D ．2109．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A ．32 B ．105C ．155D ．3310.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，则cos sin A C +的取值范围是( ） A 。

铜陵一中高一月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令故A错，故B错，故C错，故选D2. 不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知：，3. 设的等比数列，且公比，为前项和，已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由等比数列性质可知：得，由得故4. 在数列中，，，则（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】由题可知：……故的周期为3，所以5. 已知正数，的等比中项是2，且，，则的最小值是（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】由正数，的等比中项是2得mn=4,当且仅当m=n时取得等号6. 下列命题中真命题的是（）A. 若，则B. 实数，，满足，则，，成等比数列C. 若，则的最小值为D. 若数列为递增数列，则【答案】D【解析】若c=0则A不成立，实数，，满足，则，，成等比数列，要求a，b，c不为0,故B错，若，则的最小值为取等号的条件为显然等式不成立故C错误，综合得选D7. 已知正实数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可知：，表示其可行域中的点到原点的距离的平方，作如图所示可行域：，故当原点到直线的距离最小d=，所以，点B离原点最远故8. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知：，则=9. 某校组织学生参加研学拓展活动，需要租用客车安排600名师生乘车，旅行社有甲乙两种型号的客车，载客量分别为24人/辆和40人/辆，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，学校要求租车不超过21辆，且乙型号客车不多于甲型号客车7辆，则租金最少为（）A. 31200B. 36000C. 36800D. 38400【答案】C【解析】由题可得：设需甲车辆x，乙车辆y，则得可行域如图：目标函数取点B（5,12）时目标函数取到最小值3680010. 已知正实数，满足，若且的最小值为3，则（）A. 2B. 4C. 3D.【答案】B【解析】由题可知：，故m=311. 等差数列的前项和为，，给出下列命题：①数列为递减数列；②；③最大值为；④满足的最大值为16.其中正确的命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】由所以为递减数列，又，因为d<0且，故前8项的和最大即最大值为，由可得即而故满足的最大值为16综合得选D点睛：根据等差数列得性质可得，当公差大于零则数列递增，反之递减，根据正负数和的关系可得，求和的最大值则只需找出所有正数项即可，求解和大于零的最大n则需找出前多少项和大于零钱多少项和刚好小于零从而确定结论12. 已知，满足，当目标函数（，，）在该约束条件下取到最小值2时，的最小值为（）A. 2B.C.D. 1【答案】A点睛：现根据题意作出可行域找出目标函数取最小值时的最优解，然后根据基本不等式即可求得结论第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．【答案】3【解析】作出如图可行域当目标函数过点E时取到最小值故的最小值为314. 若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】由题可知-1,2为方程的根，故又的解集为故a<0,则得即所以解集为15. 已知数列的首项，且，则__________．【答案】【解析】由题可知由累加法得得点睛：当有相邻两项相减为关于n的代数式时则需用累加法求通项16. 已知数列的前项和为，，，若存在唯一的正整数使得不等式（）成立，则正实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当n》2时，又，故,所以设，又则正实数的取值范围为点睛：先根据题意利用求解出通项，然后根据零点定理分析可得从而得结论三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知，，且.（1）求的最小值；（2）求的最小值.【答案】（1）9（2）6【解析】试题分析：（1）根据基本不等式将得；（2）将原式可变形为解出范围即可试题解析：解：（1），解得（负舍），故；（2），解得（负舍），故.18. 已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）试题解析：解：（1）；（2）当且时，，当且时，，综上，19. 已知函数.（1）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）对于函数恒成立问题首先要注意函数是否为二次函数则当时和当时分类讨论即可（2）可根据题意先分离参数得.在根据x的正负取值分离变量，借助基本不等式即可求解试题解析：解：（1）当时，，符合；当时，，解得，综上，.（2）化简得：.当时，恒成立，即，当时，，因为，所以，即，综上，.20. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意可将原式退一项得，再和原式两式相减即得（2）根据错位相减即可求和试题解析：解：（1）当时，，当时，①②①-②得：（）因为也符合上式，所以.（2），由错位相减法得，.21. 解关于的不等式：，其中.【答案】见解析【解析】试题分析：先将原式进行分解因式然后根据二次函数开口和根的大关系逐一讨论即可求解试题解析：解：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，；⑤当时，.点睛：对于一元二次不等式解法，尤其要注意方程的开口，然后分解因式根据根的大小关系进行讨论，同时要注意开口方向确定解集形式从而得出正确结论22. 已知数列中，，（），. （1）证明：数列为等差数列，并求出数列通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证数列为等差数列则只需说明为常数即可然后根据等差通项可求得（2）先将进行列项分解，然后求和即可得得证试题解析：解：（1）证明：，为等差数列，；（2），，因为，所以.点睛：对于数列问题，首先要明确做题思路，熟悉等差等比的定义和通项公式，找准方法对应做题，求和时则通常是利用：列项相消法，错位相减法，分组求和。

高一下学期阶段性考试（二）数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知等差数列，，则公差（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可得公差的值．【详解】已知等差数列，，则故故选A.【点睛】本题考查等差数列的性质，属基础题.2. 若，则下列各式一定成立的是（）．．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用不等式的可加性，可判断A；由反比例函数的单调性，可判断D；由，可判断C；由二次函数的单调性可判断B．【详解】对于A，若，则，故A项错误；对于D，函数在上单调递减，若，则，故D项正确；对于C，当时，，即不等式不成立，故C项错误；对于B，函数在上单调递减，若，则，故B项错误，故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．3. △ABC中，若，则△ABC的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】由余弦定理得，则，解得，所以的形状为等腰三角形，故选B.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4. 下列各式中，最小值为的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】项，没有最值，故项错误；项，令，则，，由于函数在上是减函数，所以，故项错误；项，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为，故项正确；项，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为，故项错误．综上所述．故选．点睛：利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.5. 在等差数列{a n}中，若a4＋a6＝12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9的值为( )A. 48B. 54C. 60D. 66【答案】B【解析】试题分析：.考点：等差数列的性质与前n项和公式.6. 不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是( )A. 10B. －10C. －14D. 14【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，那么说明了是ax2＋bx＋2=0的两个根，然后利用韦达定理可知则a＋b的值是-14，故选C.考点：一元二次不等式的解集点评：主要是考查了二次不等式的解集的运用，属于基础题。

智才艺州攀枝花市创界学校上杭一中二零二零—二零二壹第二学期5月月考高一数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.每一小题给出的四个选项里面，有且只有一个是正确的，请将你认为正确答案序号填涂在答题卡相应位置上〕21x >的解集是〔〕A.{}1x xB.{}|1x x >±C.{}|11x x -<<D.{1x x 或者}1x <- 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式求解即可 【详解】不等式x 2>1， 移项得：x 2﹣1>0，因式分解得：〔x +1〕〔x ﹣1〕>0， 那么原不等式的解集为{x |x ＜-1或者x>1}． 应选：D ．【点睛】此题考察了一元二次不等式的解法，考察了转化的思想，是一道根底题，也是高考中常考的计算题．ABC ∆中，2a =，那么cos cos b C c B +=〔〕A.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】通过余弦定理把cos,cosC B用三边表示出来代入待求值式化简即可．【详解】b cos C＋c cos B＝b·2222a b cab+-＋c·2222c a bac+-＝222aa＝a＝2.【点睛】在边角混合出现的式子中，可用正弦定理或者余弦定理化边为角或者化角为边，然后用相应的公式化简变形．3.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头〔最少一层〕几盏灯？〞〔〕A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【详解】设塔顶的1a盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7=381=71121-2a，解得13a=．应选：D．【点睛】此题考察等比数列的首项的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和公式的合理运用．l 是直线，α，β是两个不同的平面〔〕A.假设l α，l β，那么αβB.假设l α，l β⊥，那么αβ⊥C.假设αβ⊥，lα⊥，那么l β D.假设αβ⊥，lα，那么l β⊥【答案】B 【解析】【分析】.【详解】对于A ．假设l∥α，l∥β，那么α∥β或者α，β相交，故A 错；对于B ．假设l∥α，l⊥β，那么由线面平行的性质定理，得过l 的平面γ∩α＝m ，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的断定定理，得α⊥β，故B 对；对于C ．假设α⊥β，l⊥α，那么l∥β或者l ⊂β，故C 错；对于D ．假设α⊥β，l∥α，假设l 平行于α，β的交线，那么l∥β，故D 错． 应选:B ． 【点睛】5.圆心和圆上任意两点可确定的平面有〔〕 A.0个 B.1个C.2个D.1个或者无数个 【答案】D 【解析】 【分析】按三点是否一共线讨论，利用平面的根本性质及推论能求出结果． 【详解】假设圆心和圆上两点一共线，那么可确定无数个平面假设圆上任意三点不一共线，∴由不一共线三点确定一个平面，得圆上任意三点可确定的平面有且只有1个． 应选：D ．【点睛】此题考察平面个数确实定，是根底题，解题时要认真审题，注意平面的根本性质及推论的合理运用．{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，那么10a =〔〕A.2ln10+B.29ln10+C.210ln10+D.11ln10+【答案】A 【解析】 【分析】由得a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭由此利用累加法能求出a n ,那么10a 可求 【详解】在数列{a n }中，a 1＝2，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++⎪⎝⎭∴a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭∴a n ＝a 1+〔a 2﹣a 1〕+〔a 3﹣a 2〕+…+〔a n ﹣a n ﹣1〕＝2+ln 2+33lnln2ln 22121n n n n ⎛⎫++=+⨯⨯⨯⎪--⎝⎭＝2+lnn ，故10a =2+ln10应选：A【点睛】此题考察数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．ABC ∆中，假设22cos 2Ab bc =+，那么ABC ∆为〔〕 A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰或者直角三角形D.直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简整理后表示出cos A ，再利用余弦定理表示出cos A ，整理后得到a 2+c 2＝b 2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．【详解】∵22cos2A b c b += ∴1cos 1cA b+=+,∴cos A=c b，又根据余弦定理得：cos A=2222b c a bc+-，∴b 2+c 2﹣a 2＝2c 2，即a 2+c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形． 应选：D ．【点睛】此题考察了三角形形状的判断，考察二倍角的余弦公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；纯熟掌握公式及定理是解此题的关键．x ，y 满足211x y+=，且不等式2220x y m m +--<有解，那么实数m 的取值范围为〔〕 A.(,2)(4,)-∞-⋃+∞ B.(,4)(2,)-∞-+∞C.(2,4)-D.(4,2)-【答案】B 【解析】 【分析】 由题222x ym m <++有解，利用根本不等式求x+2y 的最小值即可求解【详解】由题222x ym m <++有解()21422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y=2,x=4等号成立那么228m m +>，解得实数m 的取值范围为(,4)(2,)-∞-+∞应选：B【点睛】此题考察根本不等式的应用，考察不等式有解问题，二次不等式解法，准确计算是关键，是根底题A 点，两个观察所分别位于C ，D 两点，ACD ∆为等边三角形，且DC =，当目的出如今B 点〔A ，B 两点位于CD 两侧〕时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，那么炮兵阵地与目的的间隔约为〔〕 A.1.1km B.2.2kmC.2.9kmD.3.5km【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理得出∠CBD ＝60°，在△BCD 中，由正弦定理得出BD ，再在△ABD 中利用余弦定理解出AB 即可． 【详解】如下列图：∠CBD ＝180°﹣∠CDB ﹣∠BCD ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，在△BCDsin 75BD ︒=故BD=2sin 75 在△ABD 中，∠ADB ＝45°+60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos105° ∴5232.9km ．故炮兵阵地与目的的间隔为2.9km 应选：C【点睛】此题考察解三角形的实际应用，考察正余弦定理的灵敏运用，准确运算是关键，是中档题P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，那么异面直线PA 与BE 所成角为〔〕A.90B.60C.45D.30【答案】C 【解析】 试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB∠即为异面直线PA与BE 所成的角．因为四棱锥CDP -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45应选C ．考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】此题考察异面直线所成角，直线与平面所成的角，考察线面垂直，比较根底连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，以下结论中，正确结论的序号是____〔把所有正确结论序号都填上〕. ①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11B D ∥平面EFG ； ③1BD ⊥平面1ACB ；④二面角1D AC D --；⑤四面体11ACB D 的体积等于312a .A.①④B.①③C.③④D.③⑤【答案】B 【解析】 【分析】 逐项分析即可【详解】对①，截面为如下列图的正六边形，故正确；对②11B D 与平面1ACB 相交，故错误；对③，由题1BD ⊥,AC 又1AB ⊥面11A D B ，故1BD ⊥1AB ，所以1BD ⊥平面1ACB ，正确；对④，取AC 中点O,连接11,,,,D O DO D OAC DO AC ⊥⊥故1D OD ∠为二面角的平面角，又112,,tan 22D D a DO D OD ==∴∠=，故错误 对⑤，四面体11ACB D 的体积V=1111111123314323A AB DC CBD D CAD B CAB a a V V V V V a a 正方体--------=-⨯⨯=，故错误应选：B【点睛】此题考察空间几何体的性质，线面平行与垂直的断定，考察推理与计算才能，是中档题{}n a 满足：12a =，111n na a+=-，记数列{}n a 的前n 项之积为n P .，那么2021P =〔〕A.12-B.12C.1D.-1【答案】D 【解析】根据递推公式，考虑数列的周期性，通过详细计算前几项，发现周期性并利用．【详解】12a =，111n na a +=-,得2341,1,22a a a ==-= 数列的项开场重复出现，呈现周期性，周期为3． 且31P =-，2021＝3×673+2，所以2021P =〔﹣1〕673121a a ⨯=-应选：D ．【点睛】此题考察数列的递推公式，数列的函数性质﹣﹣周期性．发现周期性并利用是此题的关键． 二.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请将最简答案填写上在答题卡相应位置上〕ABD 中，60A ∠=︒，3AB =，2AD =，那么sin ABD ∠=______【答案】7【解析】 【分析】由余弦定理可得BD 的值，由正弦定理可得sin∠ABD 的值．【详解】由余弦定理可得：BD ==∴由正弦定理可得：sin∠ABD AD sin DAB BD ⋅∠==【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．{}n a 的前n 项2nSn n =+，假设(5)n n b n a =-，那么n b 的最小值为______【解析】 【分析】先由2n S n n =+求得n a ，再利用二次函数求n b 的最小值【详解】当12,2n n n n a S S n -≥=-=，当n=1,12a =满足上式，故n a =2n,(5)n n b n a =-=()25n n -,对称轴为n=52,故n=2或者3时，n b 最小值为-12故答案为-12【点睛】此题考察由n S 求数列通项，考察数列最值，考察计算才能，是根底题，注意n 为正整数，是易错题P 的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，那么垂足H 是三角形ABC 的__心【答案】垂直 【解析】 【分析】根据PA ，PB ，PC 两两垂直得线面垂直，最后由线面垂直可证明线线垂直，得垂足H 是△ABC 的垂心．从而选出答案．【详解】∵PH ⊥平面ABC 于H ， ∴PH ⊥BC ， 又PA ⊥平面PBC ， ∴PA ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAH ，∴BC ⊥AH ，即AH 是三角形ABC 的高线， 同理，BH 、CH 也是三角形ABC 的高线，∴垂足H 是△ABC 的垂心．故答案为垂【点睛】此题主要考察了三角形五心，以及空间几何体的概念、空间想象力，线面垂直的判断，属于根底题．P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，那么它的外接球的外表积为______. 【答案】412π 【解析】【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积．【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，那么x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9，∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为2R== ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积为24142R ． 故答案为：412π． 【点睛】此题考察球内接多面体，考察学生的计算才能，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 1111ABCD A B C D -.〔1〕假设1AD AA =，求异面直线1BD 和1B C 所成角的大小；〔2〕假设三个相邻侧面的对角线长分别为1，求外接球的外表积. 【答案】〔1〕2π；〔2〕3π 【解析】【分析】〔1〕连接1BC 证明1B C ⊥面11BD C 即可求解〔2〕利用长方体外接球心在体对角线中点求解即可【详解】〔1〕连接1BC ，因为1AD AA =，那么1B C ⊥1BC ，又11C D ⊥面11BCC B 故11C D ⊥1B C ，又1111C D BC C ⋂=，故1B C ⊥面11BD C ，所以1B C ⊥1BD∴异面直线1BD 和1B C 所成角的大小为2π； 〔2〕设长方体的棱长分别为a,b,c,那么222222123a b c b a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩那么2223a b c ++=，那么2R=，那么外接球的外表积为243R ππ=【点睛】此题考察异面直线的夹角，线面垂直的断定，长方体的外接球，考察空间想象才能，是根底题 〔1〕解关于x 的不等式()42f x a ≤-；〔2〕假设对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕答案不唯一，详细见解析.〔Ⅱ〕4a ≤【解析】【分析】〔Ⅰ〕将原不等式化为()20x a x （）--≤，分类讨论可得不等式的解.〔Ⅱ〕假设1x =那么a R ∈；假设(]1,4x ∈，那么参变别离后可得411a x x ≤-+-在(]1,4恒成立，利用根本不等式可求411x x -+-的最小值，从而可得a 的取值范围. 【详解】〔Ⅰ〕()24f x a ≤-+即()2220x a x a -++≤，∴()20x a x （）--≤，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2x x =； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； 〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤.〔Ⅱ〕对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，14x <≤，∴013x <-≤，∴4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=〞,4a ∴≤. 综上4a ≤. 【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变别离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或者根本不等式来求.ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 22cos 2A A +=. 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围.【答案】〔1〕3A π=；〔2〕(2,3]l ∈【解析】【分析】〔1〕运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到A ；〔2〕运用正弦定理，求得b ，c ，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．【详解】〔1〕根据二倍角公式及题意得212cos 2cos 2A A +=，即24cos 4cos 10A A -+=， ∴2(2cos 1)0A -=，.∴1cos 2A =.又∵0A π<<，∴3A π=. 〔2〕根据正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==，得b B =，c C =. ∴11sin )l b c B C =++=++，∵3A π=，∴23B C π+=， ∴21sin sin3l B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴(2,3]l ∈. 【点睛】此题考察三角函数的化简和求值，考察正弦定理和二倍角公式及两角和差的正弦公式，考察正弦函数的图象和性质，考察运算才能，属于中档题．20.如图，ABC ∆1AE =，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD CD =，且BD CD ⊥.〔1〕求证：AE 平面BCD ；〔2〕求证：平面BDE ⊥平面CDE .【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，由平面BCD ⊥平面ABC ，得DM ⊥平面ABC ，再证AE DM 即可证明〔2〕证明CD ⊥平面BDE ，再根据面面垂直的断定定理从而进展证明．【详解】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，因为BD CD =，且BD CD ⊥，2BC=. 所以1DM=，DM BC ⊥.又因为平面BCD ⊥平面ABC ， 所以DM⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE DM 又因为AE ⊄平面BCD ，DM ⊂平面BCD ，所以AE平面BCD . 〔2〕连接AM ，由〔1〕知AE DM ， 又1AE =，1DM =，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE AM .又ABC ∆是正三角形，M 为BC 的中点，∴AM BC ⊥， 因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，所以DE CD ⊥.因为BD CD ⊥，BD DE D ⋂=，所以CD⊥平面BDE . 因为CD ⊂平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .【点睛】此题考察了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的断定定理，考察空间想象和推理才能，熟记定理是关键，是一道中档题．{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有23n n S a n =-.〔1〕求数列{}n a 的通项公式.〔2〕求数列13n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】〔1〕323n na =⋅-；〔2〕1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+- 【解析】【分析】〔1〕利用a n +1＝S n +1﹣S n 即可得到a n +1＝2a n +3，转化为a n +1+3＝2〔a n +3〕，利用等比数列的通项公式即可得出其通项；〔2〕由123n n na n n =⋅-，利用错位相减法求{}2n n ⋅的和即可求解 【详解】〔1〕∵23nn S a n =-，∴1123(1)n n S a n ++=-+ 两式相减，得1123(1)23n nn n S S a n a n ++-=-+-+ ∴11223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+， 即1323n n a a ++=+1123S a =-即1123a a =-，∴13a = ∴首项136a +=，公比2q .∴1623323n n n a -=⋅-=⋅- 〔2〕∵123n n na n n =⋅-， ∴()231222322(123)n n S n n =⋅+⋅+⋅++⋅-++++，()2341212223222(123)n n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅-++++， ()23122222(123)n n n S n n +-=++++-⋅+++++， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+-. 【点睛】此题综合考察了递推关系求等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法〞、“分组求和〞、等差数列求和，准确计算是关键，属于中档题．22.如图，四边形ABCD 是正方形，PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点.〔1〕求证：AF EF ⊥： 〔2〕在平面AEF 中，是否总存在与平面PAD 平行的直线？假设存在，请作出图形并说明：假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕证明AF ⊥平面PBC 即可证明〔2〕取AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，得平面FGH平面PAD ，由线面平行的性质定理可求 【详解】〔1〕证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =，∴AF PB ⊥. ∵PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴PA AD ⊥，PA AB ⊥. ∵AD AB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD∵BC⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥.∵四边形ABCD 是正方形， ∴BCAB ⊥.∵PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .∵AF ⊂平面PAB ，∴BC AF ⊥. ∵PB BCB ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AF ⊥平面PBC . ∵EF ⊂平面PBC ，.∴AF EF ⊥.AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，那么平面FGH平面PAD 设AE GH M ⋂=，连接MF ，因为平面FGH 平面PAD ，那么PD ∥平面FGH ，那么PD MF那么直线MF 即为所求直线.【点睛】此题考察线面垂直的断定定理及性质，面面平行的断定及性质定理，熟记定理，准确推理是关键，是根底题。

高一数学一、选择题：每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知点(4,1),(1,3)A B -，则与向量AB方向相同的单位向量是（ ）A ．34(,)55-B ．43(,)55-C ．34(,)55-D ．43(,)55- 2.判断下列命题中正确的个数（ ）（1）||||||a b a b ∙=；（2）若//a b ，//b c ，则//a c ；（3）00a ∙= ；（4）若θ是两个向量的夹角，则[0,]θπ∈.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3.在ABC ∆中，2C π∠=，(2,2)BC k =- ，(2,3)AC =，则实数k 的值是（ ）A ．5B ．-5C ．32D ．32-4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(,)m a c a b =+- ，(,)n b a =，且//m n ，则角C 为（ ） A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π5.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,4),(1,2)e e ==C ．12(1,2),(3,7)e e =-=D ．123(3,4),(,2)2e e =-=-6.在ABC ∆中，若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等比三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形7.在ABC ∆中，3A π=，3,a b =，则B =（ ）A ．6π或56πB ．3πC ．6πD ．56π8.在ABC ∆中，,24A a b π===，则这个三角形解的情况为（ ）A ．有一组解B ．有两组解C ．无解D ．不能确定9.在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ∙≥∙，则（ ）A ．090ABC ∠=B ．90BAC ∠= C ．AC BC =D ．AB AC =10.已知P 是ABC ∆所在平面上的一点，且点P 满足：0aPA bPB cPC ++=，则点P 为三角形的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知(4,2),(2,6)a b =-=-，则a 与b 的夹角为.12.在ABC ∆中，3,5,7a b c ===，则ABC ∆的面积为.13.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2,,26a B c π===，则ABC∆外接圆的半径为.14.已知函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +∙=.15.已知AB AC ⊥ ，1||||AB AC t=，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ∙ 的最大值为. 三、解答题 （每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，求AB 在CD方向上的投影.17.已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()b b a c a c =-+，且B ∠为钝角.（1）求角A 的大小；（2）若12a =，求b 的取值范围. 18.（1）已知向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ，且a c ⊥ ，//b c ，求||a b +；（2）已知O 是ABC ∆的外心，已知2,4AB AC ==，求AO BC ∙.19.在平面直角坐标系xOy 中，点(cos )A θθ，(sin ,0)B θ，其中R θ∈.（1）当23πθ=时，求向量AB 的坐标；（2）在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+ ，其中01x ≤≤，01y ≤≤，求动点P 的轨迹所覆盖的面积.参考答案CBABCDCBDC11.34π 13.2 14.6 15.1317.（1）由题意可得222b ac =-，222b c a +-=，∴c o s A =∴6A π=.（2）由正弦定理可得sin ,sin b B c C ==，∵B ∠为钝角，∴2A C π+<，∴03C π<<.∴1sin()cos cos()623b C C C C C ππ=+==+，18.解：（1（2）AO BC AO AC AO AB ∙=∙-∙，过O 作,OM AB ON AC ⊥⊥，因为O 是ABC ∆的外心，∴,M N 分别是边,AB AC 的中点，∴24126AO BC AO AC AO AB AN AC AM AB ∙=∙-∙=∙-∙=⨯-⨯=.19.解：（1）AB =（2）OP xOA yOB =+，其中01x ≤≤，01y ≤≤，所以点P 的轨迹所构成的图形为以,OA OB 为邻边的平行四边形，在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，由2222cos a b c bc A =+-，可得2512650c c --=，∴(5)(513)0c c -+=，∴5c =或135c =-（舍），∴1sin 2ABC S bc A ∆==ABC ∆的内接圆的半径23ABC S r a b c ∆==++O 作OM AB ⊥.∵O 是ABC ∆的内心，∴OM r =，∴152ABC S ∆=⨯=，∴平行四边形OADB 的面积S =.。

高一年级5月月考数学试题一、单选题（每题5分，共12题）1. 已知向量，，则（ ）()1,2a =r ()0,1b = a b -=A. B.C.D.()1,3()3,1()1,1()1,1--【答案】C 【解析】【分析】由向量减法的坐标运算求解．【详解】由题设，．(1,2)(0,1)(1,1)a b -=-=故选：C ．2. 已知向量，，且，则（ ）()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥2a b += A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】由，可得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出a b ⊥1220m -+=m 2a b + 2a b +【详解】解：因为向量，，且，()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥所以，解得， 1220m -+=32m =所以，()2,1b =r所以，2(1,2)2(2,1)(3,4)a b +=-+=所以，25a b +== 故选：A3. 若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）a b ()2a b a -⊥ a b A.B.C.D.6π3π2ππ【答案】B 【解析】【分析】先求出，然后用夹角公式求解.12a b ⋅= 【详解】由，得，()2a b a -⊥()20a b a -⋅=r r r所以，所以， 12a b ⋅= 1cos ,2||||a b a b a b ⋅==⋅又，所以.[],0,a b π∈,3a b π=r r 故选：B.4. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（）A. B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，1OB O B ''==，故面积为.2OAO A ''==OAOB ⋅=方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为， 111⨯=故原图的面积为1=故选：A5. 在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为1111ABCD A B C D -M ABCD 1A D 1B M （ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A 【解析】【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线1B C MC MB 1CB M ∠1A D 所成角大小.1B M 【详解】设正方体的棱长为，连接，，，2a 1B C MC MB 因为，故或其补角为直线与直线所成角. 11//B C A D 1CB M ∠1A D 1B M而，，，1B C =MC =1B M ===故，所以，22211B C B M CM =+1MB CM ⊥所以为锐角，故， 1cos CB M ∠==1CB M ∠130CB M ∠=︒故选：A.6. 在中，角所对的边分别为．若，则ABC A A B C ，，a b c ，，1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-ABC A 为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理，化简得，进而对进行分类讨论，分为①sin cos sin cos 0A C B C -=cos C ；②两种情况进行求解，即可得到答案.cos 0C =cos 0C ≠【详解】，利用正弦定理，可得， 1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，1111sin sin sin sin sin tan sin tan C A C B B A A B -=-，11cos cos sin sin sin sin sin sin A BC A C B B A--=，sin sin sin cos sin cos B A C A C B -=-，sin()sin()sin cos sin cos A C B C C A C B +-+=-，sin cos sin cos 0A C B C -=①时，有等式成立，此时；cos 0C =2C π=②时，有，因为，所以，.cos 0C≠sin sin A B =0,0A B ππ<<<<A B =故为等腰或直角三角形. ABC A 故选：D7. 如图，△ABC 是简易遮阳棚，A ，B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（ ）A. 75°B. 60°C. 50°D. 45°【答案】C 【解析】【分析】作出遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，再借助正弦定理推理、计算作答. 【详解】过C 作平面于E ，连DE 并延长交AB 于O ，连CO ，如图，CE ⊥ABD依题意，，而，，则平面，又平面，有⊥DO AB CE AB ⊥CE DO E ⋂=AB ⊥COD CO ⊂COD ，CO AB ⊥因此，是遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，令，而， COD ∠COD α∠=40CDO ∠= 由于AB 长一定，要使遮阴影面ABD 面积最大，当且仅当最长，DO在中，长是定值，由正弦定理得：，当且仅当COD △CO sin(40)sin 40sin 40CO COOD α+=≤，即取“=”， sin(40)1α+= 50α= 所以遮阳棚ABC 与地面所成的角应为. 50 故选：C8. 锐角中，已知，则取值范围是（ ）ABC ∆3a A π==223b c bc ++A. B.C.D.(]5,15(]7,15(]7,11(]11,15【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则223b c bc +=+2sin ,2sin b B c C ==4sin sin bc B C =，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果. bc 【详解】，由余弦定理得：，即，3a A π==∴2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+由正弦定理得：，， 2sin sin sin a b cA B C===2sin ,2sin b B c C ∴==，4sin sin 4sin sin 2sin 2136bc B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴==+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由得：，， 022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩62B ππ<<52,666B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 1sin 21,2326B bc π⎛⎫∴<-≤∴<≤ ⎪⎝⎭.(]2234311,15b c bc bc ∴++=+∈故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角函数的性质，解题的关键是将边化角转化为三角函数的值域求解.二、多选题（每题选全得5分，错选不得分，漏选得2分）9. 已知a ，，，，则下列说法正确的是（ ）b ∈R ()1i 32i a b --=-()1i a bz -=+A. z 的虚部是B.2i 2z =C. D. z 对应的点在第二象限2i z =-【答案】BC 【解析】【分析】根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.【详解】由复数相等可得解得所以，3,12,b a -=⎧⎨-=-⎩1,3,a b =-⎧⎨=-⎩2(1i)(1i)2i a bz -=+=+=对于A ，的虚部是2，故A 错误； z 对于B ，，故B 正确； |||2i |2z ==对于C ，，故C 正确；2i z =-对于D ，对应的点在虚轴上，故D 错误. z 故选：BC10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，）.a b2a b ==a b +=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C.D. 在上的投影向量为a b a b -<+ a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,2a b ==a b += ,解得,故A 错误22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+2⋅= a b ,，·cos ,2a b a b a b ⋅== 1cos ,2a b a b a b ⋅==由于，与的夹角为，故B 正确, ()0π，，a b ∈a ∴r bπ3故C 正确2a b a b -====<+=在上的投影向量为，故D 错误, a b - b()21··22b a b b a b b b b b b b b b⋅-⋅-==-=-故选：BC11. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） m n αβA. 若，，则 B. 若，，则//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n C. 若，，则 D. 若，，，则//m αm β⊂//αβm α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若，，则或与相交或与异面，故选项A 错误； //m α//n α//m n m n m n 对B ：若，，则，故选项B 正确；m α⊥n α⊥//m n 对C ：若，，则或与相交，故选项C 正确； //m αm β⊂//αβαβ对D ：若，，，则，故选项D 正确. m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥故选：BD.12. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段V ABC -AB BC =90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒P VC 的中点.则（ ）A. 与垂直 PB ACB. 与平行PB VA C. 点到点，，，的距离相等P A B C V D. 与平面，与平面所成的角可能相等 VB ABC PB ABC 【答案】AC 【解析】 【分析】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为VA ⊥ABC AC H //PH VA PB AC ⊥H 外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距Rt ABC A P ,,A B C P Rt VAC △P A B C V离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等 VB ABC PB ABC 【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.P PH AC ⊥H BH H AC 因为，所以，所以平面，所以，从而A 正确； AB BC =BH AC ⊥AC ⊥PBH AC PB ⊥由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B 错误； //PH VA PH PB PB VA 点是的外心，所以到，，的距离相等，P Rt VAC △P V A C 根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到VA ⊥ABC PH ⊥ABC H Rt ABC △P A ，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C 正确； B C P A B C V 与平面所成的角即，与平面所成的角即，，VB ABC VBA ∠PB ABC PBH ∠tan VAVBA AB∠=，所以两个角不可能相等，D 错误.tan tan PH PBH VBA BH ∠===<∠故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法： （1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.三、填空题（13、14五分，第一空2分，第二个空3分） 1516、13. 已知，若向量与共线，则____________．(1,),(3,1)a b λ== a b 2a = 【答案】## 109119【解析】【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再根据向量数量积的坐标运算计算可得； λ【详解】解：因为且，所以，解得， (1,),(3,1)a b λ==//a b r r113λ⨯=13λ=所以，所以; 11,3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 222110139a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭故答案为：10914. 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________. 【答案】 【解析】【分析】将此三棱锥放入正方体中，即转化为正方体的外接球的问题，而正方体的体对角线即为相应的外接球的球直径，进而可以求得体积.【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为， 2所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球， 求出正方体的对角线的长为，2所以球的直径是.343π⨯=故答案为：.15. 在中，，D 是AC 中点，，试用表示为___________，若ABC A ,CA a CB b == 2CB BE = ,a bDE ，则的最大值为____________AB DE ⊥ACB ∠【答案】 ①. ②.3122b a - 6π【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由DE{},a b ,A B D E 可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．AB DE ⊥2234b a b a +=⋅法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点E (0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y AB DE ⊥A 的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，(1,0)M -2r =22(1)4x y ++=当且仅当与相切时，最大，即求出． CA M A C ∠【详解】方法一：，，31=22DE CE CD b a -=- ,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，当且仅当2234b a a b +=⋅223cos 4a b b a ACB a b a b ⋅+⇒∠==≥ a = 而，所以．0πACB <∠<(0,]6ACB π∠∈故答案为：；．3122b a - 6π方法二：如图所示，建立坐标系：，，(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y 3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=--，所以点的轨迹是以为圆心，以23(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=A (1,0)M -为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 2r =CA M A C ∠21sin ,426r C C CM π===∠=故答案为：；．3122b a - 6π16. 已知是虚数单位.若为实数，则___________，的最小值为,, a b R i ∈(2)(1)z a i bi =-+ab =||z ___________. 【答案】 ①. 2②. 4【解析】【分析】由题设条件计算出复数z ,再由复数是实数的条件即可得ab 值；计算出|z |，配方即可得解. 【详解】，则，而，所以，即2；,a b R ∈(2)(2)z a b ab i =++-z R ∈20-=ab ab =，，当且仅当a =2b ，即2z a b =+|||2|4z a b =+===≥a =2，b =1时取“=”，所以的最小值为4.||z 故答案为：2；4四、解答题（17题10分，其它五题每题12分）17. 已知△的内角，，的对边分别为，，，若．ABC A B C a b c sin cos a C A =（1）求角．A（2）若，求△的面积．a =2c =ABC【答案】（1）；（23A π=【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角． sin A A =A （2）由余弦定理得求b ，再利用三角形面积公式求△的面积．2230b b --=ABC【详解】（1）由正弦定理，，又，sin sin cos A C C A =sin 0C ≠，即，由，得. sin A A ∴=tan A =(0,)A π∈3A π=（2）由余弦定理知：，2222cos a b c bc A =+-∴，解得，2230b b --=3b =1sin 2ABC S bc A ∴==A 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，-P ABC D E ，AB PB ，EB EA =PA AC ⊥．求证：平面．PC BC ⊥BC ⊥PAC【答案】证明见解析.【解析】【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然PA AB ⊥PA ⊥ABC PA BC ⊥后利用线面垂直的判定定理即得.【详解】∵在中，D 是AB 的中点，，AEB △EB EA =∴,ED AB ⊥∵E 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴，ED PA ∥∴，PA AB ⊥又，，平面，平面， PA AC ⊥AB ACA ⋂=AB ⊂ABC AC ⊂ABC ∴平面，PA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，PA BC ⊥又，，平面，平面，PC BC ⊥PA PC P = PA ⊂PAC PC⊂PAC ∴平面． BC ⊥PAC 19. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD ，，E 是PD 的中点． P ABCD -//BC 12BC AD =（1）求证：；//BC AD （2）线段AD 上是否存在点N ，使平面平面PAB ，若不存在请说明理由：若存在给出证明．//CEN 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.N AD 【解析】【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证；（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 分别证得平面和平N AD //CEN PAB //EN PAB //CN 面，由面面平行判定定理可证得结论.PAB 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以//BC PAD BC ⊂ABCD PAD ⋂ABCD AD =；//BC AD （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：N AD //CEN PAB 因为、分别是、的中点，所以，E N PD AD //EN PA 又平面，平面，所以平面.EN ⊄PAB PA ⊂PAB //EN PAB 由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平//BC AN N AD 12BC AD =BC AN =ABCN 行四边形，从而，//CN BA 又平面，平面，所以平面.CN ⊄PAB BA ⊂PAB //CN PAB 又因为，所以，平面平面 CN EN N = //CEN PAB【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明平面.//CN PAB20. 某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发A B D 出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B 点北偏西，这时位于点南偏西且与相D A 45 75 B 45 B 距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.80C 35（1）求点到点的距离；B D BD （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.C D D 【答案】（1）海里；（2）小时502【解析】【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；ADB ∠ABD △（2）求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的的时间.CBD ∠BCD △CD 【详解】（1）由题意知：，，，AB =907515DBA ∠=-= 904545DAB ∠=-= 所以，1804515120ADB ∠=--= 在中，由正弦定理可得：即， ABD△sin sin BD AB DAB ADB =∠∠sin 45BD = 所以海里，50BD ===（2）在中，，，，BCD △180754560CBD ∠=--= 80BC =50BD =由余弦定理可得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠， 1640025002805049002=+-⨯⨯⨯=所以海里，70CD =所以需要的时间为小时， 70235=所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.B D 50BD =D 221. 如图，在正三棱柱中，分别为，的中点.ABC A B C '''-22,,AC AA E F ='=BC A C ''（1）证明：平面.EF A ABB A ''（2）求直线与平面所成角的正切值.EF ACC A ''【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明平面；EF A ABB A ''（2）先作出直线与平面所成角，再求其正切值即可解决.EF ACC A ''【小问1详解】如图，取的中点，连接.A B ''M ,FM BM 为的中点，，且. F A C ''MF B C ∴''∥12MF B C =''，且，，且， BE B C ''∥ 12BE B C =''MF BE ∴∥MF BE =四边形是平行四边形，.∴BEFM EF BM ∴∥平面，平面平面.BM ⊂ ABB A ''EF ⊄,//ABB A EF '∴'ABB A ''【小问2详解】取的中点的中点，连接.AC ,N CN D ,,,BN DE DF NF 平面平面，平面平面，ABC ⊥ACC A ''ABC ⋂,ACC A AC BN AC ''=⊥平面.BN ∴⊥ACC A ''平面，//,DE BN DE ∴⊥ ACC A ''直线与平面所成的角为.∴EF ACC A ''DFE ∠， 12DE BN DF ====tan DE DFE DF ∠∴==22. 在中，角，，的对边分别为，，，． ABC A A B C a b c 22sin1sin 2B C A +=+（1）求； A ∠（2）再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求． ABC A c 条件①：，；2a =3b =条件②：；cos B ab ==【答案】（1）4A π=（2）1c =【解析】【分析】（1）根据已知条件代入二倍角的余弦公式，化简可得，即可求解；tan 1A =（2）若选条件①：根据余弦定理得到，则，无解；250c -+=182020∆=-=-<c 若选条件②：根据，，得到，又根据正弦定理得到，解得cos B =0B π<<1sin 3B=a =a ，后代入正弦定理即可求解．b 【小问1详解】解：因为，所以， 22sin 1sin 2B C A +=+()1cos 1sin B C A -+=+所以，则， 1cos 1sin A A +=+sin tan 1cos A A A ==又，；0A π<<4A π∴=【小问2详解】 若选条件①：因为， 222cos 2b c a A bc +-=222326c c+-=所以，则，250c -+=182020∆=-=-<故无解；c 若选条件②：因为，又，所以， cos B =0B π<<1sin3B =由正弦定理得：，sin sin a b A B =13b =所以，又，，a =ab =3a=b =因为，()1sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+==所以. sin 1sin a C c A ===+。

高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．若复数为纯虚数，则实数x 的值为（ ）()2100(10)i z x x =-+-A ． B ．10 C ．100 D ．或1010-10-【答案】A【分析】根据复数为纯虚数知虚部不为0，实部为0求解即可. 【详解】为纯虚数， z 同时21000x ∴-=100x -≠，10x ∴=-故选：A2．某学校共有老、中、青职工人，其中有老年职工人，中年职工人数与青年职工人数相20060等．现采用分层抽样的方法抽取部分职工进行调查，已知抽取的老年职工有人，则抽取的青年职12工应有（ ） A ．人 B ．人 C ．人 D ．人12141620【答案】B【分析】利用分层抽样的性质求解. 【详解】由题意知： 抽取的青年职工应有：人 . 1220060(14602-⨯=故选：B.3．在中，，则边上的高为（ ） ABC A ,3,43A AB AC π===BCA ．BC ．D 2【答案】B【分析】利用余弦定理可求，利用等积可求边上的高.BC BC【详解】由余弦定理可得，故，22234234cos133BC π=+-⨯⨯⨯=BC =设边上的高为，故BC h 113422h ⨯=⨯⨯h =故选：B.4．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）BC a =BA b = 3BE EF = BFA ．B ．1292525a b + 16122525a b +C ．D ．4355a b + 3455a b + 【答案】B【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，BC a =，，BA b = 3BE EF =则34BF BC CF BC EA =+=+ 3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ ，解得，所以. 93164BC BF BA =-+ 16122525BF BC BA =+ 16122525a b BF =+故选：B5．在中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）ABC A 150,15ABC BAC ∠=︒∠=︒BABC A ． BC ．D ．12BC12BC - BC 【答案】D【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】由题意：||||BA BC =在方向上的投影向量为:BA ∴ BC .||cos ,cos150||BCBA BA BC BC BC →→→→→→→⋅<>⋅=︒⋅=6．已知直线a ，b ，平面α，β，，，，那么“”是“”的（ ）b αβ= //a αa b ⊥r ra β⊥αβ⊥A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】过直线作平面，交平面于直线，，，，由可推出a γαa '//a α //a a '∴ab '∴⊥a β⊥，由可推出，故“”是“”的充要条件．αβ⊥αβ⊥a β⊥a β⊥αβ⊥【详解】解：若，a β⊥过直线作平面，交平面于直线，，， a γαa '//a α //a a '∴又，， a β⊥a β'∴⊥又，， a α'⊆ αβ∴⊥若，αβ⊥过直线作平面，交平面于直线，，， a γαa '//a α //a a '∴，，a b ⊥Q a b '∴⊥又，，αβ⊥Q b αβ= ，，a β'∴⊥a β∴⊥故“”是“”的充要条件， a β⊥αβ⊥故选：．C7．如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB 的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原x 'y '图形△AOB 的周长是（ ）A ．B ．C ．D ．4444【答案】B【分析】根据所给斜二测画法的直观图，判断原三角形为等腰三角形且高为16，底为4即可求解.【详解】由直观图可知，原图形△AOB 是等腰三角形，且底边上的高为16，由勾股定理可得，△AOB 的周长为. =44=故选：B8．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为，，，n n 1x 2x L ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）n x A ．，，，的平均数 B ．，，，的标准差 1x 2x L n x 1x 2x L n x C ．，，，的众数 D ．，，，的中位数1x 2x L n x 1x 2x L n x 【答案】B【分析】利用平均数，标准差，众数，中位数的定义和意义直接求解．【详解】解：平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A 不可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故A 选项错误，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B 可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故B 选项正确，众数表示一组数据中出现次数最多的数，故C 不可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故C 选项错误，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D 不可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故D 选项错误． 故选：B ．二、多选题9．甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则（ ） A ．甲的10次成绩的极差为4 B ．甲的10次成绩的75%分位数为8 C ．甲和乙的20次成绩的平均数为8 D ．乙比甲的成绩更稳定【答案】ACD【分析】根据给定数据，计算极差、75%分位数、平均数、方差判断各选项作答. 【详解】甲的极差为，A 正确；1064-=将甲的10次成绩由小到大排列为： 6，7，7，7，8，8，8，9，10，10，而，1075%7.5⨯=所以甲的10次成绩的75%分位数为9，B 不正确；甲的10次成绩的平均数为8，而乙的10次成绩的平均数为8，则甲和乙的20次成绩的平均数为，C 正确；108108820⨯+⨯=甲的10次成绩的方差， 222221[(68)3(78)3(88)(98)2(108)] 1.610-+⨯-+⨯-+-+⨯-=显然，乙比甲的成绩更稳定，D 正确. 1.60.4>故选：ACD10．在中，，，下述四个结论中正确的是（ ）ABC A 2A π=2AB AC ==A ．若为的重心，则G ABC A 1331AG AB AC =+B ．若为边上的一个动点，则为定值2P BC ()AP AB AC ⋅+C ．若，为边上的两个动点，且的最小值为M N BC MN =AM AN ⋅ 32D ．已知为内一点，若，且，则的最大值为2 P ABC A 1BP =AP AB AC λμ=+λ+【答案】AC【分析】A.以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由为G 的重心，结合向量的数乘运算判断；B.设，把用含t 的代ABC A ()01BP tBC t =≤≤()AP AB AC ⋅+数式表示判断；C.不妨设M 靠近B ，，求得M ，N 的坐标，得到关于x ,0BM x x =≤≤AM AN ⋅的函数，利用二次函数求值判断；D. 由结合BP =1，得到，再令AP AB AC λμ=+ ()22114λμ-+=，转化为，利用三角111sin ,cos ,,2242ππλθμθθ⎛⎫-==∈ ⎪⎝⎭)1sin 1cos 126πλθθθ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭函数的性质求解判断.【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则，因为为的重心，所以，则()()()()()0,0,2,0,0,2,2,0,0,2A B C AB AC == G ABC A 22,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以 ，所以，故A 正确； 112222,00,,333333AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1331AG AB AC =+ 设，则，则()01BP tBC t =≤≤ ()1AP AB BP AB tBC t AC t AB =+=+=+-，()()()()1AP AB AC t AC t AB AB AC ⋅+=+-⋅+ ，故B 错误； ()()()22114414t AC AB t AC t AB t AB AC t t =⋅++-+-⋅=+-=不妨设M 靠近B ，,0BM x x =≤， 2,21,1M N x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则，当的最小值为22112AM AN x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ x =AM AN ⋅ 32：故C 正确；由，且P 为内一点，BP =1，则AP AB AC λμ=+ABC A，即，()11BP AP AB AB λμ=-=-+ ()22114λμ-+=令，则，111sin ,cos ,,2242ππλθμθθ⎛⎫-==∈ ⎪⎝⎭)1sin 1cos 126πλθθθ⎛⎫+=-+=++ ⎪⎝⎭因为，则，所以， ,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭52,6123πππθ⎛⎫+∈⎪⎝⎭1cos 62πθ⎛⎛⎫+∈- ⎪ ⎝⎭⎝所以的范围是，故D 错误. λ1,12⎛+ ⎝故选：AC11．已知中，，M 在线段BC 上，AM ＝2，∠BAM ＝ABC A sin sin cos B C A ＝tan A =∠CAM ，则下列说法正确的是（ ） A ．△ABC 是直角三角形 B ．sin A =C ．BM ＝6CMD ．△ABM 的面积为【答案】ABD【分析】根据内角和公式化简由此判断A ，再由sin sin cos B C A ＝tan A =sin A 由此判断B ，结合三角形面积公式判断C ，D.【详解】因为，故，即sin sin cos B C A ＝()sin sin cos A C C A +=sin cos cos sin sin cos A C A C C A +=，则，因为，则cos C ＝0，，故是直角三角形，故A 正确；sin cos 0AC =sin 0A ≠2C π=ABC A 因为，，解得故B 正确；22sin tan cos sin cos 1,A A A A A⎧==⎪⎨⎪+=⎩0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 1cos ,8A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则， 11sin 2211sin 22ACM ABM CM AC AM AC CAM S S BM AC AB AM BAM ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠△△1cos 8CM AC A BM AB ===故C错误；，，解得，AB ＝12，212cos 18CAM ∠-=3coscos 4CAM BAM ∠==∠32AC =在△ABM 中，sin BAM ∠=所以D 正确，11sin 21222ABM S AM AB BAM =⋅⋅∠=⨯⨯=△故选：ABD ．12．如图,正方形中,分别是的中点将分别沿ABCD E F 、AB BC 、,,ADE CDF BEF ∆A A DE DF EF 、、折起,使重合于点.则下列结论正确的是、、A B C PA ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角的余弦值为P EF D --13D ．点在平面上的投影是的外心 P DEF DEF ∆【答案】ABC【分析】对于A 选项，只需取EF 中点H ，证明平面；对于B 选项，知三EF ⊥PDH ,,PE PF PD 线两两垂直，可知正确；对于C 选项，通过余弦定理计算可判断；对于D 选项，由于，可判断正误.PE PF PD =≠【详解】对于A 选项，作出图形，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知和为等腰BEF ∆DEF ∆三角形，故,，所以平面，所以，故A 正确；根据折起前PH EF ⊥DH EF ⊥EF ⊥PDH PD EF ⊥后，可知三线两两垂直，于是可证平面，故B 正确；根据A 选项可知 ,,PE PF PD PDE PDF ⊥平面为二面角的平面角，设正方形边长为2，因此，，PHD ∠P EF D --1PE PF ==PH =，由余弦定理得：DH ==2PD ==，故C 正确；由于，故点在平面上的投影2221cos 23PH HD PD PHD PH HD +-∠==⋅PE PF PD =≠P DEF 不是的外心，即D 错误；故答案为ABC.DEF ∆【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大.三、填空题13．若复数，且满足，则点所围成的图形面积为__________. i(,)z x y x y =+∈R i 1z -=(,)x y 【答案】π【分析】在复平面中，表示复数对应点之间的距离． 1||2z z -12z ,z 12Z ,Z 【详解】由可知到的距离为1， i 1z -=(,)Z x y (0,1)即点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， Z (0,1)点所围成的图形面积为． (,)x y π故答案为：．π14．在某个位置测得一旗杆的仰角为，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗杆仰角为原来θ的2倍，继续在平行地面上前进4倍，则该旗杆的高度为______米．【答案】30【分析】在中，由余弦定理求得，得到，结合，EBC A 1cos 2ECB ∠=-60ECD ∠= sin 60DE EC = 即可求解.【详解】如图所示，在中，，EBC A 60,EB AB BC EC ====由余弦定理得， 1cos 2ECB ∠==-可得，， 120ECB ∠= 60ECD ∠=所以. sin 6030DE EC === 故答案为：.3015．如图，一块边长为4的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积与表面积之比为______．【答案】16【分析】设正方形纸片为，其内的小正方形为，取，的中点分别为，1111D C B A ABCD 11D C AD ,H G 连接，对称性可知，从而求出的长，从而得到正四棱锥中的斜高，从而可求1,D G DH 1DH =1DG 出其高，得到体积与表面积. 【详解】如图，设正方形纸片为，其内的小正方形为，做成的正四棱锥为 1111D C B A ABCD P ABCD -取，的中点分别为，连接11D C AD ,H G 1,D G DH 由题意，,由对称性可知，112,4BD A D ==1DH =12D H =所以 1DD =1D G ====即在正四棱锥中，，又 P ABCD -PG ==12OG AB ==所以2PO ===所以正四棱锥的体积为， P ABCD -21142333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=表面积 ,2281422S AD PG AD =⨯⋅+==⋅所以,41386V S ==故答案为：1616．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】578【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号． 【详解】根据题意第六行第六列的数是8，从8开始向右读，得到一个三位数808，由于808>600，将它去掉，继续向右读，得到436，436<600说明它在总体内，将它取出，继续向右读，得到789，789>600，将它去掉，再向右读，得到535，535<600，将它取出，按此方法向右读，直到取到第六个样本为止，获得6个样本的编号依次为：436，535，577，348，522，578，因此第6个样本编号为578. 故答案为：578.【点睛】本题考查随机数表法，属于基础题．四、解答题17．已知复数，，其中是实数． ()21i z a =-243i z =-a (1)若，求实数的值；12i z z =a (2)若是纯虚数，是正实数，求．12z z a 231003111122224444z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】(1) 2-(2) 1-【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解； （2）利用为纯虚数求，从而得，然后通过复数的周期性进行求解即可. 12z z a 124i z z =-【详解】（1）∵，， ()21i z a =-243i z =-12i z z =∴()22i i 12i 34a a a ==---+从而，解得，21324a a ⎧-=⎨-=⎩2a =-所以实数a 的值为．2-（2）依题意得： ()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z --+==--+()()()()2222223222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i aa a a a a -++-++-+==---()()22464383i25a a a a +-+--=因为是纯虚数，所以：，从而或；12z z 2246403830a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩2a =-12a =又因为a 是正实数，所以． 12a =当时，，所以， 12a =2113()24i i z =-=--12434i i 43i z z --==--因为，，，，……，，，，，（）1i i =2i 1=-3i i =-41i =41i i n +=42i 1n +=-43i i n +=-4i 1n =n N ∈所以231003111122224444z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2341003(i)(i)(i)(i)i （）=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-5678100110021003(i 1i 1)(i)(i)(i)(i)(i)(i)(i)⎡⎤⎡⎤=--+++-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-⎣⎦⎣⎦ 00(i 1i)=++⋅⋅⋅+--+1=-所以.2310031111222244441z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，，，O ()1,1OA =()2,3OB =- ()6,OC k =- (1)当时，试判断，，三点是否共线，写出理由； 29k =A B C (2)若，，三点构成直角三角形，求实数的值 A B C k 【答案】(1)共线，理由见解析(2)或34-5-【分析】（1）利用向量共线的条件进行运算求解即可； （2）分三种情况分别计算数量积为0时，实数k 的值即可.【详解】（1）因为,()()()2,31,11,4AB OB OA =-=--=- ,()()()6,291,17,28AC OC OA =-=--=-所以，且有公共点A ,故，，三点共线.7AC AB =-A B C （2）由(1)知，，，()1,4AB =- ()()()6,1,17,1AC OC OA k k =-=--=--，()()()6,2,38,3BC OC OB k k =-=---=-+若，则，即，.90A ∠=︒0AB AC ⋅= ()()17410k ⨯---=34k =-若，则，即，90B Ð=°0BA BC ⋅=u u r u u u r()()()18430k -⨯-++=5k =-若，则，即，，无实根. 90C ∠=︒0CA CB ⋅=()()()()78130k k -⨯-+-+=22530k k ++=故实数的值为或.k 34-5-19．在中，角，，的对边分别为，，，． ABC A A B C a b c sin cos C c A =3a =(1)求大小；A(2)若，求的面积． BC ABC A 【答案】(1) π6A =【分析】(1)由正弦定理化边为角，化简求解；(2)由余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求bc 面积.【详解】（1，sin cos C c A =，因为， sin sin cos A C C A =sin 0C ≠所以，所以，tan A =()0,πA ∈π6A =（2）设边上的中线为，在中，由余弦定理得：，BC AD ABC A 2222cos a b c bc A =+-即①．229b c =+在和中，，ADC △ADB A cos cos 0ADC ADB ∠+∠=所以，即222222022AD CD b AD BD c AD CD AD BD +-+-+=⨯⨯()22222=AD CD b c ++化简， 2215b c +=代入①式得bc =所以的面积 ABC A 111sin 222S bc A ==⋅=20．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A 和球，圆柱的()B底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球2.B(1)求球A 的体积；(2)求圆柱的侧面积与球B 的表面积之比. 【答案】(1)4π3【分析】（1）根据圆柱的轴截面分析即可；（2）直接利用球表面积、圆柱的侧面积公式计算即可．【详解】（1）设圆柱的底面半径为R ，小球的半径为r ，且， r R <由圆柱与球的性质知，2222(2)(22)(22)AB r R r R r ==-+-即，22420r Rr R -+=，r R <((22 1.r R ∴===球A 的体积为∴344ππ.33V r ==（2）球B 的表面积，214π4πS r ==圆柱的侧面积，22π24π(6πS R R R =⋅==+2圆柱的侧面积与球B∴21．由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地AOB OMPN 摊”区域，点P 在弧上，点M 和点N 分别在线段和线段上，且米，AB OA OB 90OA =3AOB π∠=．记．POB θ∠=(1)当时，求；4πθ=OM ON ⋅(2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大OMPN S θθS 值．【答案】(1)；)13501(2)；当时，取得最大值.S 26πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π0θ3<<6πθ=S【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果；OPM ,PM OM （2）在△中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据OPM θ,PM OM 三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.θ【详解】（1）根据题意，在△中，，又， OPM 2,,1234MOP PMO MPO πππ∠=∠=∠=90OP =故由正弦定理sin sin sin OP PM OMPMO MOP MPO==∠∠∠==解得，，45PM ON ==OM=故.OM ON ⋅)1cos 45135012OM ON AOB =⨯⨯∠=⨯=即.OM ON ⋅)13501=-（2）由题可知，在△中，， PMO 290,,,33OP PMO MPO MOP ππθθ=∠=∠=∠=-则由正弦定理， sin sin sin OP OM PMPMO MPO MOP ==∠∠∠sin sin3OM PMπθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭故可得，,3OM PM πθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故 1sin 23PMO S PMO MP MOπθθ⎛⎫=∠⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭A 21sin cos sin 32πθθθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ 112cos 244θθ⎫=+-⎪⎪⎭11sin 2264πθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦26πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)3πθ<<即.22)63PMO S S ππθθ⎛⎫==+-<< ⎪⎝⎭A 当时，，此时取得最大值.6πθ=sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭S 22．在正方体中，棱长，M ，N ，P 分别是，，的中点．1111ABCD A B C D -2AB =1C C 11B C 11C D(1)直线交PN 于点E ，直线交平面MNP 于点F ，求证：M ，E ，F 三点共线． 11A C 1AC (2)求三棱锥的体积． D MNP -【答案】(1)证明见解析 (2) 12【分析】（1）本意利用点线面位置关系的额相关知识，先证平面平面，再证11AA C C PMN ME =平面PMN ，平面； F ∈F ∈11AAC C （2）利用转换顶点处理即． D MNP N MDP V V --=【详解】（1）证明：，11A C PN E = ，，11E A C ∴∈E PN ∈则平面，平面MPN E ∈11AAC C E ∈又，1M CC ∈ 平面， M ∴∈11AAC C 又平面PMN ，M ∈平面平面，∴11AA C C PMN ME =平面，1AC MPN F =平面PMN ，平面，F ∴∈F ∈11AAC C 点F 在直线ME 上，则M ，E ，F 三点共线．∴（2）解：， 113D MNP N MDP MDP V V S NC --==⋅A 又，1113222111212222MDP S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=A1311.322D MNP V -∴=⨯⨯=。

高一下5月月考卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1. 已知复数（是虚数单位），的共轭复数记作，则（ ）z i =iz z z z=A.B.C. D.2i-2i 2i -2i【答案】A 【解析】【分析】利用复数的模长公式、共轭复数的定义可求得复数. zz【详解】，则，，因此，. z i =+ 2z ==z i =-12z i z =-故选：A. 2. 已知,则的值为( ) sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2αA. B.C.D. 2425-2425125125-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式，以及二倍角公式，即得解. sin 2cos[2(4παα=-212sin (4πα=--【详解】由诱导公式：，sin 2sin[2()+cos[2(424πππααα=-=-再由二倍角公式： 2cos[2()]12sin (44ππαα-=--=2425故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.3. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） abc220a b c +-=b c ⋅=A.B.C.D.38587898【答案】C 【解析】【详解】由题意知：，则22c b a -=222448c b b c a +-⋅= 即，得：.881b c -⋅=78b c ⋅= 故选:C .4. 在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的1111ABCD A B C D -1A B 60 条数为（ ） A. B. C. D.2456【答案】B 【解析】【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把符合题意的异面直线列出来即可求解. 【详解】在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，1111ABCD A B C D -连接，，则是等边三角形，可得，11AC 1BC 11A BC V 111160C A B C BA ∠=∠=因为，所以与夹角成且异面，11//AC AC AC 1A B 60 因为，所以与夹角成且异面， 11//AD BC 1AD 1A B 60 同理可得，与夹角成且异面，11D B 1B C 1A B 60 所以与直线异面且夹角成的直线有：，，， 共条， 1A B 60 1AD AC 11D B 1B C 4故选：B ．5. 如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．直线与l αβ--60︒AB α⊂B l ∈AB l 30︒AB 平面所成的角的正弦值是（ ）βA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线．垂足为连接，由三垂线定A βC βC l D AD 理可知，故为二面角的平面角为，在即可得到答案； AD l ⊥ADC ∠l αβ--60︒ABC 【详解】解：过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线．垂足为连接， A βC βC l D AD 由三垂线定理可知，故为二面角的平面角为 AD l ⊥ADC ∠l αβ--60︒又由已知，30ABD ∠=︒连接，则为与平面所成的角， CB ABC ∠AB β设，则，，2AD =AC =1CD =4sin 30ADAB ==︒直线与平面所成的角的正弦值． ∴AB βsin AC ABC AB∠==故选：．A6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ，∠ABC 的平分线交AC 于点120ABC ∠=︒D ，且BD ＝1，则 的最小值为（ ） 4a c +A. 8 B. 9C. 10D. 7【答案】B【解析】【分析】根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即111a c +=4a c +11(4)(a c a c++可求得答案.【详解】由题意得 ， 111sin120sin 60sin60222ac a c =+ 即 ，得，ac a c =+111a c+=得 ， 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥5459=+=当且仅当，即时，取等号， 4c aa c=23c a ==故选：B ．7. 如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O 为底面圆心，OA ，OB 为底面半径，且∠AOB =2,3πM 是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M 到B 的路径中，最短路径的长度为（ ）A.B.-1C.D.+1【答案】A 【解析】【分析】画出圆锥侧面展开图，求得，再求出，即可利用余弦定理求解.AB APB ∠【详解】如图为圆锥的侧面展开图，, 22133AB ππ=⨯=，则，2PA == 3AB APB PAπ∠==在中，，PMB △1,2PM PB ==则，22221221cos33MB π=+-⨯⨯⨯=M 到B 的路径中，最短路径的长.MB ∴=故选：A.8. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则ABC A B C a b c 4cos a b C b a +=tan tan tan tan C C A B+=（ ）A. B.C. D.11242【答案】D 【解析】 【分析】利用正、余弦定理角化边，运用同角三角函数关系切化弦，化简解出即可 【详解】锐角中，ABC ， 4cos b aC a b+= 由余弦定理可得， 2222242a b a b c ab ab++-=⨯化简得：， 2222a b c +=又tan tan sin cos sin cos tan tan cos sin cos sin C C C A C BA B C A C B +=+ sin sin cos cos sin cos sin sin C B A B A C A B+= 22sin sin sin cos cos C c A B C ab c ==⋅． 22222222222c ab c ab a b c c c=⋅==+--故选：D9. 下列关于复数的四个命题，真命题的为（ ） z A. 若，则 B. 若，则 1R z∈z R ∈2z ∈R z R ∈C. 若，则的最大值为 D. 若，则1z i -=z 2310z -=1z =【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的运算可判断AB 选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C 选项的正误，解方程，可判断D 选项的正误.310z -=【详解】对于A 选项，设，则，(),z a bi a b R =+∈220a b +>，，则，从而， ()()222211a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -===-++-++1R z∈ 0b =z R ∈A 选项正确；对于B 选项，取，则，但，B 选项错误；z i =21z R =-∈z R ∉对于C 选项，由复数模的三角不等式可得，C 选项正确； ()2z z i i z i i =-+≤-+=对于D 选项，由，可得或，()()321110z z z z -=-++=1z =210z z ++=由，则，解得或，22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭221324z ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12z =-12z =-+D 选项错误. 故选：AC.10. 已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）a b c ABC A B C A. 若，则是锐角三角形 tan tan tan 0A B C ++>ABC B. 若，则是等腰直角三角形 cos cos a A b B =ABC C. 若，则是直角三角形 cos cos b C c B b +=ABC D. 若，则是等边三角形 cos cos cos a b cA B C==ABC 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，化简得，然后即可判断选项A 正确 0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ++=>对于B ，通过倍角公式，化简为，然后即可判断选项B 错误22sin A sin B =对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，，然后即可判断选项C 错误sin sinB A =对于D ，利用正弦定理，把化简为，即可判断选项D 正确 cos cos cos a b cA B C==tanA tanB tanC ==【详解】对于A ，，()(1)tanA tanB tan A B tanAtanB +=+- ()(1)tanA tanB tanC tan A B tanAtanB tanC++=+-+∴，()10tanC tanAtanB tanC tanAtanBtanC =--+=>又由A ，B ，C 是的内角，故内角都是锐角，故A 正确ABC ∆对于B ，若，则，则，则cos cos a A b B =sinAcosA sinBcosB =22sinAcosA sinBcosB =，则或，是等腰三角形或直角三角形,故B 错误22sin A sin B =A B =90A B ︒+=ABC ∆对于C,，，即，则cos cos b C c B b +=sinB =cos sin()sin sinBcosC sinC B B C A +=+=A B =是等腰三角形，故C 不正确ABC 对于D ，若，则，则， cos cos cos a b c A B C ==sin sin sin cos cos cos A B CA B C==tanA tanB tanC ==，即是等边三角形，故D 正确A B C ==ABC 故选：AD【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理的使用，属于简单题11. 如图，正方体的棱长为1，点P 是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法1111ABCD A B C D -1CC 不正确的是（ ）A. 存在点P ，使面 //DP 11AB DB. 二面角的平面角为60° 1P BB D --C. 1PB PD +D. P 到平面11AB D 【答案】BD【分析】当与点重合时， 面，A 正确，二面角的平面角为，P 1C DP 11AB D 1P BB D --45CBD ∠=︒B 错误， ，C 正确，当与点重合时，P 到平面D 错误，得到答11D PB PD B '≥+P C 11AB D 案.【详解】当与点重合时，，平面，不在面故面，P 1C 1DP AB ∥1AB ⊂11AB D DP 11AB D DP 11AB D A 正确；二面角即二面角，平面角为，B 错误； 1P BBD --1C BB D --45CBD ∠=︒如图所示：共线时等号成立，C 正确；111PB PD PB B PD D '++'=≥=1,,D P B '，得到平面，故，同理可得平面，设1111D B AC ⊥1111D B C C ⊥11D B ⊥11A C C 111D B AC ⊥1A C ⊥11D BA 交平面于，1AC 11D B AH 则，当与点重合时，P到平面的距离11cos AC AH AC ACA AC AC =⋅=⋅==P C 11AB D D 错误. 故选：BD.12. 已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），AB ＝3，DC ＝1，∠BAD ＝45°，DE ⊥AB .将△ADE 沿DE 折起，使得AE ⊥EB （如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（ ）B. 点E 到平面AMC 的距离为C. EM ∥平面ACDD. 四面体ABCE 的外接球表面积为5π 【答案】BD 【解析】【分析】对选项A ，在图1中，过作，连接，易证平面，假设，C CF EB ⊥CE BC ⊥AEC BC AD ⊥得到平面，与已知条件矛盾，故A 错误；对选项B ，设点到平面的距离为，根据BC⊥AED E AMC h 求解即可；对选项C ，假设平面，从而得到平面平面，与已A BCE E ABC V V --=//EM ACD //AEB ACD 知条件矛盾，故C 错误；对选项D ，连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球MC M ABCE 表面积即可。

高一年级5月联考数学试题一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 复平面内复数所对应的点为，则（）z ()2,1-i z +=A. 2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的几何意义以及共轭复数的定义，根据模长公式即可求解.【详解】由题意可知，所以，进而2i z =-2i z =+i 22i z +=+==故选：C2. 已知点，，，若与共线，则在上的投影向量的坐标为()1,3A ()5,1B m -()3,1C m +ABACABAC（ ） A. B.C.D.()2,2-()2,2-()2,2()2,2--【答案】D 【解析】【分析】求向量的坐标，根据向量共线的坐标表示求，结合投影向量的定义求在上的,AB AC m AB AC投影向量的坐标.【详解】因为，，，()1,3A ()5,1B m -()3,1C m +所以，()()6,2,2,2AB m AC m =--=-因为与共线，AB AC所以，()()()62220m m -⨯---⨯=所以，，，4m =()2,2AB =-- ()2,2AC =所以在上的投影向量为， AB AC AB AC AC AB AC AB AC AC ⋅⋅⋅==-所以在上的投影向量的坐标为. ABAC()2,2--故选：D.3. 已知，，，则，的夹角为（ ）3a b ⋅=2a = 22a b -= a bA.B.C.D.π3π62π35π6【答案】B 【解析】【分析】由条件结合数量积的运算性质求，再由向量夹角公式求，的夹角.b a b【详解】因为，22a b -=所以，故，224a b -= 444a a a b b b ⋅-⋅+⋅=又，， 3a b ⋅=2a = 所以b =所以，又，cos ,a b a b a b⋅===⋅[],0,πa b ∈ 所以，即，的夹角为，π6,a b = ab π6故选：B.4. 某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的，如图所示，若被截正方体石块棱长为，则该石凳的体积为（ ）（单位）60cm 3cmA. 180000B. 160000C. 140000D. 120000【答案】A 【解析】【分析】利用割补法，结合几何体的体积公式运算求解. 【详解】正方体的体积为， 3606060216000cm ⨯⨯=切去的每个四面体的体积为， 3113030304500cm 32⨯⨯⨯⨯=所以该石凳的体积为. 321600084500180000cm -⨯=故选：A.5. 在中，角、、的对边分别是，，，已知，且ABC A A B C a b c sin cos 2sin cos A C C A =222a c b -=，则（ ）b =A. 9B. 6C. 3D. 18【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理将条件转化为边的关系，解方程求即可. b 【详解】设的外接圆半径为， ABC A R 因为，sin cos 2sin cos A C C A =所以， 22222222222a a b c c c b a R ab R cb+-+-⨯=⨯⨯所以， 222222222a b c c b a +-=+-所以，又， 22233a c b -=222a c b -=所以，260b b -=所以或（舍去）， 6b =0b =故选：B .6. 如图，现有，，三点在同一水平面上的投影分别为，，，且，A B C 1A 1B 1C 11130AC B ∠=︒，由点测得点的仰角为，与的差为10，由点测得点的仰角为11160A B C ∠=︒C B 45︒1BB 1CC B A 45︒，则，两点到水平面的高度差为（ ）A C 111ABC 11AA CC -A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】A 【解析】【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，由条件解三角形求可得C 1CE BB ⊥E B 1BF AA ⊥F AF结论.【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为， C 1CE BB ⊥E B 1BF AA ⊥F 则，1111,CE C B BF B A ==设，11A B x =在中，由，，可得，111A B C △11130AC B ∠=︒11160A B C ∠=︒11190C A B ∠=所以，112B C x =因为与的差为10，所以，1BB 1CC 10BE =在中，，，， CEB A 90CEB ∠=o 10BE =45BCE ∠=o 所以，10CE =故，所以，210x =5x =在中，，，， AFB △90AFB ∠= 5BF =45ABF ∠=o 所以，5AF =所以，两点到水平面的高度差， A C 111A B C 1115AA CC BE AF -=+=故选：A.7. 在中，，，为的中点，于，是线段上的动点，则ABC A 2BA =4BC =D AC BE AC ⊥E H BE （ ）HD CA ⋅=A.B. 8C.D. 68-6-【答案】C 【解析】【分析】利用向量的线性运算,结合数量积的运算律,即可化简求解.【详解】法一： ()()()12HD CA HB BD CA HB CA BD CA BD CA BA BC BA BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=+⋅-. ()()2211416622BA BC ==-=-- 法二：将特殊到，则 H B ()()12HD CA BD CA BA BC BA BC ⋅=⋅=+⋅-. ()()2211416622BA BC ==-=--故选：C8. 在中，已知，，点在边上，且，，则ABC A 30B =︒3AC =D AB 3BD =DA DC =A ∠=（ ） A.B.C.或 D.或 π3π6π3π9π6π18【答案】C 【解析】【分析】由三角形的内角和以及正弦定理可得，进而结合三角函数的性335π2cos 2sin 26CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭质，由角的范围即可得关系式求解.【详解】设，∴，，， A θ∠=DCA θ∠=2BDC θ∠=5π26BCD ∠θ=-则，0520,512206πθπθπθ⎧<<⎪⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪->⎪⎩中，BDC A 33π5π5πsin sin 22sin 2666CD CD θθ=⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，ADC △()33sin 3sin sin π2sin22cos CD CD θθθθθ=⇒==-故， 335ππ5πcos sin 2sin sin 25π2cos 6262sin 26CD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=-⇒-=- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭又，， πππ,2122θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭5π5π20,66θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴或，则或， π5π226θθ-=-π5π2π26θθ-+-=π3θ=π9故选：C二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 将向量替换为复数，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是（ ）az A. 由，类比为：a a -=z z -=B. 由，类比为：a b a b +≤+1212z z z z +≤+C. 由，类比为22a a = 22z z =D. 由，类比为：a b a b ⋅≤⋅1212z z z z ⋅≤⋅【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的模的性质和运算性质判断各命题的对错即可. 【详解】设，，则， i z x y =+,R x y ∈i z x y -=--所以，A 正确；z -==z =，，C 错误；()2222i 2i z x y x y xy =+=-+2222z x y ==+设，12i,i z a b z c d =+=+所以，，()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++12z z =因为复数与实数不能比较大小，故D 错误，，()()22222221222z z a c b d a b c d ac bd +=+++=+++++，()2222212zz a b c d +=++++因为，(()2222222224a c a d b c b d =+++，()()222222242ac bd a c b d abcd +=++由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 22222a d b c abcd +≥ad bc =所以，22ac bd ≥+故，又，()()221212z z zz +≤+12120,0z z z z +≥+≥所以，B 正确； 1212z z z z +≤+故选：AB.10. 在中，角、、的对边分别是，，，下列说法正确的是（ ） ABC A A B C a b c A. “”是“是等腰三角形”的充分不必要条件 sin2sin2A B =ABC A B. “”是“”的充要条件sin sin A B >A B >C. 若，，则60A =︒2a =ABC AD. 若，，则周长的最大值为6 60A =︒2a =ABC A 【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角函数的性质即可判断A ，由正弦定理边角化即可判断B,由余弦定理,结合不等式即可求解CD.【详解】对于A,在中由可得或，所以或ABC A sin2sin2A B =22A B,=22πA B +=,A B =π2A B +=，所以为等腰三角形或者为直角三角形，故“”是“是等腰三角形”的既不充ABC A sin2sin2A B =ABC A 分也不必要条件，故A 错误，对于B,由正弦定理可得,故“”是“”的充要条件，故sin sin A B >⇔a b >⇔A B >sin sin A B >A B >B 正确，对于CD,，时,则由余弦定理得，则，当且仅60A =︒2a =224=c b bc +-224=24bc c b bc bc ++³Þ£当时取等号，故故C 正确， b c =11sin 422bc A £´=又，当且仅当()()()()2222224==34=34344b c c b bc b cbc b c bc b c b c ++-+-Þ+-Þ+-£Þ+£时取等号，故，故D 正确，b c =6a b c ++≤故选：BCD11. 矩形中，，，动点满足，，，则下ABCD 2AB =4=AD P AP AB AD λμ=+[]0,1λ∈[]0,1μ∈列说法正确的是（ ）A. 若，则的最小值为41λ=DPB. 若，则的面积为定值 1μ=ABP AC. 若，则满足的点不存在 12μ=PA PB ⊥ P D. 若，，则的面积为 13λ=23μ=ABP A 83【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定点的坐标，依次判断各选项即可.P 【详解】以点为原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系，A ,AB AD,x y 则，()()()0,0,2,0,0,4A B D 所以，()()2,0,0,4AB AD ==因为，AP AB AD λμ=+ 所以，故点的坐标为，()2,4AP λμ=P ()2,4λμ对于A ：因为，所以点的坐标为，，1λ=P ()2,4μ[]0,1μ∈所以，()2,44DP μ=-所以，当且仅当时取等号，2DP =≥1μ=所以当时，取最小值，最小值为2，A 错误；1μ=DP对于B ，因为，所以点的坐标为， 1μ=P ()2,4λ所以点到边的距离为， P AB 4所以的面积，B 正确； ABP A 12442S =⨯⨯=对于C ，因为，所以点的坐标为， 12μ=P ()2,2λ所以，， ()2,2PA λ=-- ()22,2PB λ=--若，则，化简得，PA PB ⊥24440λλ-++=210λλ-+=方程无实数根，即满足的点不存在，C 正确；210λλ-+=PA PB ⊥P 对于D ，因为，，所以点的坐标为， 13λ=23μ=P 28,33⎛⎫ ⎪⎝⎭所以的面积为，D 正确； ABP A 1882233⨯⨯=故选：BCD.12. 已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） 18πA. 该圆锥的体积为B. 该圆锥的内切球的体积为C. 该圆锥的外接球的表面积为D. 该圆锥的内接正方体的棱长为48π18-【答案】AC 【解析】【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解底面圆半径，由体积公式即可判断A,由内切球以及外接球的几何性质,结合勾股定理,相似,即可判断BCD.【详解】对于A ：设圆锥底面半径为，母线为,则侧面积为， r l 12π618π32r r ⋅⋅=⇒=，故圆锥体积为，故A正确；=21π33V =⨯⨯=对于B ：由于,所以,62l r ==60ABO ∠= 如图，内切球和圆锥侧面和底面分别切于,,故内切球半径，,C O OO BCO B ¢¢@A A 3tan30r '=⋅︒=故内切球的体积为，故B 错误；34π3⨯=对于C ：外接球的球心为半径, ,MR 则满足：，∴，故C 正确；()2223R RR =+⇒=(24π48πS =⨯=对于D ：以圆锥的顶点以及正方体的一条面对角线作截面如下，设内接正方体的棱长为，a，故D 错. a =⇒=-故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数为纯虚数，则复数的虚部为______. ()()221i z m m m m =-+-∈R 1iz+【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】根据纯虚数的定义可得，进而利用复数的除法运算即可化简求解.0m =【详解】为纯虚数，则且，故，()()221i z m m m m =-+-∈R 2=0m m -210m -≠0m =则，所以，故的虚部为， i z =-()()()i 1i i 1i ===1i 1i 1i 1i 2z -----+++-1i z+12-故答案为： 12-14. 中，，，，则______. ABC A π6B ∠=AB =2AC =BC =【答案】2或4 【解析】【分析】利用余弦定理解三角形可得结论.【详解】由余弦定理可得， 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅又，，， π6B ∠=AB =2AC =所以，2680BC BC -+=所以或，满足构成三角形. 2BC =4BC =故答案为：2或415. 将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的3π表面积为______. 【答案】 2π23+【解析】【分析】确定几何体的结构特征，计算各面的面积相加即可. 【详解】由已知可得该几何体为底面半径为，高为的圆柱的，如下图： 1116所以该几何体的表面积， 2112π22π12π12663S =+⨯⨯⨯+⨯⨯=+故答案为：. 2π23+16. 如图所示，中，，以的中点为圆心，为直径在三角形的ABC A AB AC ==2BC =BC O BC 外部作半圆弧，点在半圆弧上运动，设，，则当取最大值时，BC P BOP θ∠=[]0,πθ∈PA PB ⋅______.cos θ=【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，利用单位圆以及向量数量积的坐标运算，结合辅助角公式即可求解.或者利用向量的线性运算，由数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】法一：如图建立平面直角坐标系，得，，，()0,2A -()10B ,()cos ,sin P θθ()()cos ,2sin 1cos ,sin 12sin cos PA PB θθθθθθ⋅=---⋅--=+-∴为锐角且，()1sin cos 11PA PB θθθϕ⋅=+=+-≤ ϕ1tan 2ϕ=此时πcos sin 2θϕθϕ-=⇒=-==法二：()()11PA PB PO OA PO OB PO OB OA PO OP OB OA OP ⋅=+⋅+=+⋅+⋅⋅=--⋅，以下同上.π1cos 12cos 2θθ⎛⎫=++⋅⋅+ ⎪⎝⎭12sin cos θθ=+-故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，，，.(),2a m =- ()4,b m m =-)c = m ∈R （1）若，且方向相反，求实数的值；a b ∥m （2）若与的夹角为，求实数的值.a c120︒m 【答案】（1）2 （2）0【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标运算即可求解，（2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【小问1详解】由与平行得：，a b ()224280m m m m m ⋅=-⋅-⇒+-=∴或，()()2402m m m -+=⇒=4m =-当时，，，与平行，且方向相反，满足要求；2m =()2,2a =- ()2,2b =- a b当时，，，方向相同，不满足要求；4m =-()4,2a =-- ()8,4b =--故. 2m =【小问2详解】，22cos120a c⋅=-=⨯︒，平方得：， 2-=2223440m m m -+=+⇒-=∴或，0m=m =,所以不符合要求,故舍去； 20-<m =∴0m =18. 某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆40cm 100cm 40cm 柱孔的底面半径为.计算时取3.14.10cm π（1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，27000cm 请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数） 【答案】（1）3195440cm （2）4升 【解析】【分析】（1）由台体体积公式求正四棱台的体积，再求所挖去的圆柱的体积，相减可得几何体的体积； （2）计算该几何体的表面积，由此计算所需购买保护液的体积. 【小问1详解】由已知正四棱台的上底面积，下底面积，高，21401600S ==2210010000S ==40h =所以正四棱台的体积； (221140401002080003V =⋅⋅+=由已知圆柱的底面半径，高，10r =40h '=所以圆柱的体积；22π10404000π4000 3.1412560V =⋅⋅=≈⨯=故该预制件的体积 320800012560195440cm V =-=故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土. 3195440cm 【小问2详解】作该几何体的截面，过点作，垂足为，如下：A AM CD ⊥M由已知，， 10040302DM -==40AM =， 50=故该预制件的表面积，()22240100504010042π102π104025600600π2S +⨯=++⨯-⋅+⨯⨯=+∴，225600600 3.1427484cm S ≈+⨯=，274847000 3.94÷≈≈所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.19. 已知，是夹角为的两个单位向量.1e 2e60︒（1）若，求实数的值；()()1212423e ke ke e +⊥-k （2）若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.12e e λ- 122e e +λ【答案】（1）或；1k =6k =-（2） 115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据向量垂直的性质列方程，利用数量积运算化简方程求的值； k （2）结合向量夹角公式列不等式求的取值范围. λ【小问1详解】因为，()()1212423e ke ke e +⊥- 所以，又，是夹角为的两个单位向量.()()12124230e ke ke e +⋅-= 1e 2e 60︒所以，化简得 ()21832121102k k k -+-⨯⨯⨯=2560k k +-=所以， ()()160k k -+=所以或； 1k =6k =-【小问2详解】因为两向量与的夹角为钝角，12e e λ- 122e e +所以，且向量与不共线，()()121220e e e e λ-⋅+< 12e e λ- 122e e +由，可得，()()121220e e e e λ-⋅+< ()12211102λλ-+-⨯⨯⨯<所以， 54λ<当向量与平行时，， 12e e λ- 122e e + ()121212122t e e t e e tλλλ=⎧-=+⇒⇒=-⎨-=⎩ 实数的取值范围是. λ115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足ABC A A B C a b c ()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅=．（1）求角；A（2）若为的中点，且，的角平分线交于点，且，求边长． D BC AD =BAC A BC E 43AE =a 【答案】（1）2π3（2） 【解析】【分析】（1）利用向量的夹角公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取cos A A 值范围可得出角的值；A （2）根据为的中点，有，从而得到，再根据D BC ()12AD AB AC =+ ()2312b c bc +-=，从而得到，再结合余弦定理即可求得的值． ABE AEC ABC S S S =+A A A ()43bc b c =+a 【小问1详解】由，()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅=则，所以，()2cos cos 0b c bc A b ac B +⋅+⋅=()2cos cos 0b c A a B ++=则由正弦定理得，即， ()sin 2sin cos sin cos 0B C A A B ++=sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B ++=所以，即， ()sin 2sin cos 0A B C A ++=sin 2sin cos 0C C A +=又，则，所以，得， ()0,πC ∈sin 0C ≠12cos 0A +=1cos 2A =-又，所以． ()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由为的中点，则，即，D BC ()12AD AB AC =+12AD AB AC =+ 所以，即，即，222242cos π3AD b c bc =++⋅ ()222123b c bc b c bc =+-=+-()2312b c bc +-=由是的角平分线，所以， AE BAC ∠π3BAE CAE ∠=∠=又，则， ABE AEC ABC S S S =+A A A 12π1π1πsin sin sin 232323bc c AE b AE ⋅=⋅⋅+⋅⋅所以，得， ()bc AE b c =⋅+()43bc b c =+所以，解得，()()2412b c b c +-+=6b c +=8bc =由余弦定理得， ()22222π2cos 368283a b c bc b c bc =+-⋅=+-=-=故a =21. 在正三棱柱中，，为线段上的动点，设，111ABC A B C -AB =12AA =F 11A B 111A F A B λ=.[]0,1λ∈（1）当时，求三棱锥的体积； 12λ=1F ACC -（2）求的最小值，并求取最小值时的值. 1AF FC +λ【答案】（1 （2）7， 213λ=【解析】【分析】（1）根据锥体体积公式求解即可；（2）将矩形沿展开，使之与共面，利用余弦定理求，即得的最小11A B BA 11A B 111A B C 1AC 1AF FC +值，利用正弦定理求，再求，由此的值. 11sin A AC ∠1A F λ【小问1详解】 当时，得出为的中点，则 12λ=F 11A B(1111111121112223F ACC F AC A A FC A A B C A V V V V ----====⨯⨯=【小问2详解】将矩形沿展开，与共面，11A B BA 11A B 111A B C如图所示，，11150C A A ∠=︒∴，17AC ==故的最小值为71AF FC +中，由正弦定理得：11C A A △11111117sin 1sin150sin 2C A C A A AC A AC ∠∠=⇒=⇒=︒因为， ()110,30A AC ∠∈∴， 1113cos 14A AC ∠==所以11tan A AC ∠=∴， 1112tan A F A AC ∠=⋅=则. 111213A F AB λ===22. 已知在中，为边上的点，且，.ABC A D AB 13AD DB =2BC =（1）若，，求边的长； 4AB =2sin 3CDB ∠=AC （2）若，设，，试将的面积表示为的函数，并求函数23CD DB =CDB θ∠=()0,πθ∈ABC A S θ最大值.()y S θ=【答案】（1（2），；16sin 1312cos y θθ=-()0,πθ∈165【解析】【分析】（1）由条件求，根据正弦定理求，由此可求，再由余弦定理求DB sin DCB ∠cos DBC ∠AC ；（2）设，根据余弦定理用表示，结合三角形面积公式用表示的面积， 3DB t =θ2t θABC A 方法一：利用正弦函数的范围求函数的最大值，()y S θ=方法二：利用二倍角公式和同角关系化简可得，结合基本不等式求其最大值.232tan225tan12y θθ=+【小问1详解】由，，则，13AD DB =4AB =3DB =在中，， BCD △23sin 12sin sin sin 3BC DB DCB CDB DCB DCB ∠∠∠∠=⇒=⇒=∵，∴， ()0,πDCB ∠∈π2DCB ∠=∴； 2cos sin 3DBC CDB ∠∠==在中，由余弦定理得：ABC A AC ==【小问2详解】由，设，则， 23CD DB =3DB t =2CD t =∵，∴，13AD DB =AD t =在中，由余弦定理得：，BCD △2224449223cos 1312cos t t t t t θθ=+-⋅⋅⋅⇒=-的面积， ABC A 244116sin 23sin 4sin 3321312cos BCD S S t t t θθθθ==⨯⨯⨯⨯==-A ∴，.16sin 1312cos y θθ=-()0,πθ∈法一：（※）16sin 16sin 12cos 131312cos y y y θθθθ=⇒+=-，其中，()13y θϕ⇒+=cos ϕ=sin ϕ=∴(222sin 16916144y y θ+⇒≤+∴，又，所以，当且仅当时等号成立， 222516y ≤0y >1605y <≤()sin 1θϕ+=所以当时， 512sin cos ,cos sin 1313θϕθϕ====函数取最大值，最大值为16sin 1312cos y θθ=-165故函数最大值为. ()y S θ=165法二：∴ 222232sin cos16sin 221312cos 13sin 13cos 12cos 12sin 2222y θθθθθθθθ==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又，22232sin cos32tan22225sincos25tan1222θθθθθθ==++()0,πθ∈所以，32161525tan2tan2y θθ=≤=+当且仅当，即，即取最大值，125tan2tan2θθ=1tan25θ=5tan 12θ=故函数最大值为. ()y S θ=165【点睛】.。

2016—2017—2高一年级5月阶段性试题数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}|10M x x x =-=，那么A.0M ∈B. 1M ∉C. 1M -∈D. 0M ∉2.已知向量()()1,2,,4a b x ==-，若//a b ，则a b ⋅等于A. -10B. -6C. 0D. 63.若tan 0α>，则A. sin 0α>B. cos 0α>C. cos 20α>D. sin 20α>4.不等式12x x-≥的解集为 A.[)1,0- B. [)1,-+∞ C. (],1-∞- D. (][),10,-∞-+∞ 5.已知函数()0cos ,0x f x x x ≥=<⎪⎩，则3f f π⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A. 1cos 2B. 1cos 2-C. 2D.2± 6.设函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论错误的是 A.()D x 的值域为{}0,1 B. ()D x 是偶函数C. ()D x 不是单调函数D. ()D x 不是周期函数7.函数222cos 1y x x =+-的值域是A. []1,2-B. []2,2-C. []1,3-D.[]0,48.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是 A. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. (]0,2 D. 15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知()()33sin ,cos 55αβαβ-=+=-，且,,,22ππαβπαβπ⎛⎫⎛⎫-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2β的值为 A.1 B. 2425 C. -1 D. 45- 10.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b=+的图象是11.已知函数()f x 是定义在[)(]3,00,3-上的奇函数，当(]0,3x ∈时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式()21x f x ≥-的的取值范围是A. []2,1-B. [](]3,20,3-- C. [](]2,01,4- D. [][]3,02,5-12.已知不等式()222cos 54sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是 A. 04m ≤≤ B.14m ≤≤ C.4m ≥ 或 0m ≤ D. 1m ≥或 0m ≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为 .14.已知数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q = .15.已知{}n a 等比数列是递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式为 .16.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n a =，设c 为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数,,m k n ，不等式m n k S S cS +>恒成立，则实数c 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设全集为实数集R,{}{}2|2730,|0.A x x x B x x a =-+≤=+< （1）当2a =-时，求A B ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）设()2sin cos cos .4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ （1）求()f x 的单调区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值.19.（本题满分12分）已知向量()()sin ,1,1,cos ,.22a b ππθθθ==-<< （1）若a b ⊥，求θ；（2）求a b +的最大值.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前三项的和为-3，前三项的积为8.（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若231,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和.21.（本题满分12分）某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60,40,AD m AB m ==且在EFG ∆中，90EGF ∠=经测量得到10,20AE m EF m ==，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设设一个保护栏你，设计时经过点G 作一直线分别交,AB DF 于,M N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设()DN x m =.（1）将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；（2）当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积.22.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足2n n a qa +=（q 为实数，且1q ≠）n N *∈，且121,2a a ==，233445,,a a a a a a +++成等差数列.（1）求q 的值和{}n a 的通项公式；（2）设2221log ,n n n a b n N a *-=∈，求数列{}n b 的前n 项和.。

2014-2015学年湖南省益阳市南县一中高一（下）5月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置）．1．sin50°sin70°﹣cos50°sin20°的值等于（）A．B．C．D．2．函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，23．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：则下列结论正确的是（）甲：881009586959184749283乙：93 898177967877858986．A．甲＞乙，s甲＞s乙B．\overline{x}甲＞乙，s甲＜s乙C．\overline{x}甲＜乙，s甲＞s乙D．\overline{x}甲＜乙，s甲＜s乙4．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y=xαx∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．5．某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样6．设=4，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和的夹角等于（）A．B．C．D．或7．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若•=0，则函数f（x+1）是（）A．周期为4的奇函数B．周期为4的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数8．如图所示，下列结论正确的是（）①=+；②=﹣﹣；③=﹣；④=+．A．①② B．③④ C．①③ D．②④9．已知A，B均为锐角，sinA=，sinB=，则A+B的值为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．化简=．12．已知，则的值为．13．若=3，tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）=．14．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．15．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015春•北京校级期中）已知cosθ=，θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ的值；（Ⅱ）求cos2θ的值；（Ⅲ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．17．（12分）（2010•雨湖区校级三模）已知点A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ，sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．（1）若||=，求sin2θ的值；（2）若实数m，n满足m+n=，求（m﹣3）2+n2的最大值．18．（12分）（2015春•南县校级月考）如图所示，□ABCD中，=，=，BM=BC，AN=AB，（1）试用向量，来表示，．（2）AM交DN于O点，求AO：OM的值．19．（12分）（2015春•南县校级月考）从高一年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．利用频率分布直方图估计：（1）这50名学生的众数P与中位数M（精确到0.1）；（2）若在第3、5组的学生中，用分层抽样抽取11名学生参加心理测试，请问：在第3、5组各应抽取多少名学生参加测试；（3）为了进一步获得研究资料，学校决定再从第1组和第2组的学生中，随机抽取3名学生进行心理测试，列出所有基本事件，并求㈠第1组中的甲同学和第2组中的A同学都没有被抽到的概率；㈡第1组中至多有一个同学入选的概率．21．（13分）（2015春•建瓯市校级期末）已知a≥1，函数f（x）=（sinx﹣a）（a﹣cosx）+a．（1）当a=1时，求f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[0，π]内有且只有一个零点，求a的取值范围．22．（12分）（2015春•南阳期末）已知向量=（sin x，1），=（4cos x，2cosx），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数f（x），x∈[﹣π，π]的单调递增区间．（3）设函数h（x）=f（x）﹣k（k∈R）在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围．23．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．24．已知函数，且ω≠0，ω∈R．（Ⅰ）若函数f（x）的图象经过点，且0＜ω＜3，求ω的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数g（x）=mf（x）+n（m＞0），当时，函数g（x）的值域为[﹣2，1]，求m，n的值；（Ⅲ）若函数在上是减函数，求ω的取值范围．25．（12分）（2015春•河南校级期中）已知点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（0，π），且||=||，求α的大小；（2），求．26．（13分）（2013•济南二模）设函数（其中ω＞0），且函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为．（1）求ω的值；（2）将函数y=f（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求函数g（x）在区间的最大值和最小值．27．（12分）（2015春•河南校级期中）函数f（x）=sin2x﹣﹣（1）若x属于[，]，求f（x）的最值及对应的x值；（2）若不等式[f（x）﹣m]2＜1在x上恒成立，求实数m的取值范围．28．（12分）（2015春•南县校级月考）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设c=（0，1），若+=c，求α，β的值．29．（14分）（2015春•菏泽期中）已知函数，其最小正周期为．（1）求f（x）的表达式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．30．（13分）（2015春•甘肃校级期末）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．31．（10分）（2014秋•亭湖区校级期末）设两个非零向量与不共线．（1）若+，，，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．2014-2015学年湖南省益阳市南县一中高一（下）5月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置）．1．sin50°sin70°﹣cos50°sin20°的值等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式五可得sin70°=cos20°，进而利用两角差的正弦公式，可得答案．解答：解：sin50°sin70°﹣cos50°sin20°=sin50°cos20°﹣cos50°sin20°=sin（50°﹣20°）=sin30°=，故选：C．点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数公式，其中将sin70°转化为cos20°，是解答的关键．2．函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．3．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：则下列结论正确的是（）甲：881009586959184749283乙：93 898177967877858986．A．甲＞乙，s甲＞s乙B．\overline{x}甲＞乙，s甲＜s乙C．\overline{x}甲＜乙，s甲＞s乙D．\overline{x}甲＜乙，s甲＜s乙考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数的定义分别求出甲乙的平均数，即可比较大小，再根据甲乙的极值来看出谁的波动大，谁的方差就越大．解答：解：=（88+100+95+86+95+91+84+74+82+83）=88.8，=（93+89+81+77+96+78+77+85+89+86）=85.1，∴甲＞乙，∵甲的极差为100﹣74=26，乙的极差为96﹣77=19，∴甲的波动比乙大，∴s2甲＞s2乙，∴s甲＞s乙，故选：A．点评：本题考查了平均数和方差的问题，属于基础题．4．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y=xαx∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：图表型．分析：先根据流程图进行逐一进行运行，求出集合A，再求出基本事件的总数，然后讨论满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可．解答：解：由框图可知A={3，0，﹣1，8，15}，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”为事件E，当函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0事件E包含基本事件为3，则．故选C．点评：本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，算法与其他知识结合在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样考点：简单随机抽样；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样和系统抽样的定义进行判断．①中数据相差30，符合系统抽样，也可能是分层抽样．②中数据排列没有规律．③中数据相差30，符合系统抽样的定义，也可能是分层抽样．④中数据相差30，但第一个数据大于30，不可能是系统抽样．解答：解：在系统抽样中，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．则每一段的号码数为30．①中数据为7，37，67，97，127，157，187，217，247，277，数据相差30，所以①为系统抽样或分层抽样．②中数据5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；数据排列没有规律，可能为分层抽样．③中数据11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；数据相差30，所以③为系统抽样或分层抽样．④中数据31，61，91，121，151，181，211，241，271，300，数据相差30，但第一个数据大于30，所以④不可能是系统抽样．故D正确．故选D．点评：本题主要考查抽样方法的应用，要求熟练掌握分层抽样和系统抽样的定义和区别．6．设=4，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和的夹角等于（）A．B．C．D．或考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设和的夹角为θ，运用向量的数量积的定义和投影的概念，解方程可得cosθ=，进而得到夹角．解答：解：设和的夹角为θ，由=4，可得||•||cosθ=4，若在方向上的投影为，则||cosθ=，在方向上的投影为3，则||cosθ=3，综上可得cosθ=，由于0≤θ≤π，则θ=．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和投影的概念，考查特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．7．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若•=0，则函数f（x+1）是（）A．周期为4的奇函数B．周期为4的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象求出函数周期，表示出A，B的坐标，结合向量•=0求出ω，求出f（x+1）的表达式进行判断．解答：解：函数的周期T=，则A点的横坐标为T=×=，B点的横坐标为T=×=，即A（，），B（，），∵•=0，∴（，）•（，）=0，即﹣3=0，解得ω=，即f（x）=sin x，则f（x+1）=sin（x+1）=sin（x+）=cos x，为偶函数，周期T==4，故选：B．点评：本题主要考查三角函数解析式的求解，利用向量数量积的关系求出ω是解决本题的关键．8．如图所示，下列结论正确的是（）①=+；②=﹣﹣；③=﹣；④=+．A．①② B．③④ C．①③ D．②④考点：向量的加法及其几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量的加法、减法法则，分别判断，即可得出结论．解答：解：①根据向量的加法法则，可得=+，故正确；②根据向量的减法法则，可得=﹣，故不正确；③=+=+﹣2=﹣，故正确；④=+=+﹣=+，故不正确．故选：C．点评：本题考查向量的加法、减法法则，考查学生的计算能力，比较基础．9．已知A，B均为锐角，sinA=，sinB=，则A+B的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得cosA 和cosB的值，可得cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB 的值，再根据A+B的范围，求得A+B的值．解答：解：∵A，B均为锐角，sinA=，sinB=，∴cosA==，cosB==，A+B∈（0，π）．再根据cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣=，∴A+B=，故选：D．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题．10．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．化简=﹣1．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：分类讨论，利用诱导公式，即可得出结论．解答：解：k是偶数时，==﹣1；k是奇数时，==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查诱导公式的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，比较基础．12．已知，则的值为．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：利用同角三角函数的基本关系求得cos（﹣x）的值，利用诱导公式可得==，从而求得所求式子的值．解答：解：∵，∴cos（﹣x）=，∴===2cos（﹣x）=，故答案为．点评：本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式的应用的应用，求出cos （﹣x）的值，是解题的关键．13．若=3，tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知的第1个等式左边的分子分母都除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanα的方程，即可求出tanα的值，然后把所求的式子中的角β﹣2α变换为（β﹣α）﹣α后，利用两角差的正切函数公式化简，将求出的tanα的值和已知的tan（α﹣β）=2代入即可求出值．解答：解：∵==3，∴tanα=2．又tan（α﹣β）=2，∴tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道综合题．本题的突破点是将所求式子的角β﹣2α变换为（β﹣α）﹣α的形式．14．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．15．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①②③①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：综合题；压轴题；整体思想．分析：把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x=x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．解答：解：①、把代入得，，故①正确；②、把x=代入得，，故②正确；③、当时，求得，故③正确；④、有条件得，，故④不正确．故答案为：①②③．点评：本题考查了复合三角函数图象的性质和图象的变换，把作为一个整体，根据条件和正弦函数的性质进行求解以及判断，考查了整体思想．三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015春•北京校级期中）已知cosθ=，θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ的值；（Ⅱ）求cos2θ的值；（Ⅲ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinθ的值．（Ⅱ）由条件利用二倍角的余弦公式，求得cos2θ的值．（Ⅲ）由条件求得cos（θ﹣φ）的值，再根据cosϕ=cos[θ﹣（θ﹣ϕ）]=cosθcos（θ﹣ϕ）+sinθsin （θ﹣ϕ），计算求的结果．解答：解：（Ⅰ）由cosθ=，θ∈（0，），可得．（Ⅱ）．（Ⅲ）∵，，∴，结合，∴，∴cosϕ=cos[θ﹣（θ﹣ϕ）]=cosθcos（θ﹣ϕ）+sinθsin（θ﹣ϕ）==．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和差的余弦公式，属于基础题．17．（12分）（2010•雨湖区校级三模）已知点A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ，sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．（1）若||=，求sin2θ的值；（2）若实数m，n满足m+n=，求（m﹣3）2+n2的最大值．考点：正弦函数的定义域和值域；向量的模；同角三角函数间的基本关系．分析：（1）根据向量的坐标计算（终点坐标减始点坐标）求出，然后再根据向量减法和模的坐标计算结合条件||=得出sinθ+cosθ=再两边平方即可得解．（2）根据向量相等和条件m+n=求出然后再代入（m﹣3）2+n2中可得（m﹣3）2+n2=﹣3（sinθ+cosθ）+10再结合辅助角公式可得（m﹣3）2+n2=﹣6sin（θ+）+10从而可得出当sin（θ+）=﹣1时，（m﹣3）2+n2取得最大值16．解答：解：（1）∵|﹣|=||，A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ，sinθ）∴=（cosθ﹣1，sinθ﹣1）∴||2=（cosθ﹣1）2+（sinθ﹣1）2=﹣2（sinθ+cosθ）+4．∴﹣2（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=，两边平方得1+sin2θ=，∴sin2θ=﹣．（2）由已知得：（m，m）+（n，﹣n）=（cosθ，sinθ），∴解得∴（m﹣3）2+n2=m2+n2﹣6m+9，=﹣3（sinθ+cosθ）+10=﹣6sin（θ+）+10，∴当sin（θ+）=﹣1时，（m﹣3）2+n2取得最大值16．点评：本题主要考察了向量的坐标计算、减法、模的坐标计算以及三角函数的化简求值，属常考题型，较难．解题的关键是掌握常用的变形技巧：通过sinθcosθ两边平方求出sin2θ：通过辅助角公式可将﹣3（sinθ+cosθ）+10化为﹣6sin（θ+）+10！18．（12分）（2015春•南县校级月考）如图所示，□ABCD中，=，=，BM=BC，AN=AB，（1）试用向量，来表示，．（2）AM交DN于O点，求AO：OM的值．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据条件便可得到，由向量加法、减法的几何意义即可得到，；（2）由D，O，N三点共线，便有=，从而有，同理可得，这便可得到，可解出，这样便能得出AO：OM=3：11．解答：解：（1）；∴；∴=；；∴；∴=；（2）D，O，N三点共线，则共线，存在实数λ，使；∴=；同理，A，O，M三点共线，存在μ，=；∴；解得，；∴；∴AO：OM=3：11．点评：考查共线向量基本定理，向量加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，数乘的几何意义．19．（12分）（2015春•南县校级月考）从高一年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．利用频率分布直方图估计：（1）这50名学生的众数P与中位数M（精确到0.1）；（2）若在第3、5组的学生中，用分层抽样抽取11名学生参加心理测试，请问：在第3、5组各应抽取多少名学生参加测试；（3）为了进一步获得研究资料，学校决定再从第1组和第2组的学生中，随机抽取3名学生进行心理测试，列出所有基本事件，并求㈠第1组中的甲同学和第2组中的A同学都没有被抽到的概率；㈡第1组中至多有一个同学入选的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图与众数、中位数的定义求出P=75，M=70；（2）根据第三与第五组的频率，求出第三与第五组的人数，按比例计算可得；（3）先求出第一、第二组的人数，再写出从中抽取3人的所有基本事件，分别找出符合（一），（二）的基本事件，利用古典概型求概率．解答：解：（1）由频率分布直方图知：众数P=75；中位数M=70，（2）第3组共有学生50×0.02×10=10（人）；第5组共有学生50×0.024×10=12（人）抽取比例为=，∴第3组抽5人；第5组抽6人．（3）第1组共50×0.004×10=2人，用甲、乙表示；第2组共50×0.006×10=3人用A、B、C表示，则从这5名学生中随机抽取3名的所有可能为：（甲，乙，A）（甲，乙，B）（甲，乙，C）（甲，A，B）（甲，A，C）（甲，B，C）（乙，A，B）（乙，A，C）（乙，B，C）（A、B、C）共10个．（一）事件S={第1组中的甲同学和第2组中的A同学都没有被抽到}其有（乙，B，C）共1个，所以．（二）事件T={第1组中至多有一个同学入选}其有（甲，A，B）（甲，A，C）（甲，B，C）（乙，A，B）（乙，A，C）（乙，B，C）（A、B、C）共有7个，所以．点评：本题考查了利用频率分布直方图求众数、中位数；考查了分层抽样方法；考查了古典概型的概率计算，综合性较强．21．（13分）（2015春•建瓯市校级期末）已知a≥1，函数f（x）=（sinx﹣a）（a﹣cosx）+a．（1）当a=1时，求f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[0，π]内有且只有一个零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，化简函数f（x）的解析式为f（x）=，t∈[﹣，]，再利用二次函数的性质求得它的值域．（2）化简函数的解析式f（x）=，在内有且只有一个零点，在上无零点，利用二次函数的性质求得a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，=，令t=sinx+cosx，则，f（x）=．当t=1时，，当时，．所以，f（x）的值域为．（2）=，令u=sinx+cosx，则当x∈[0，π]时，，f（x）=，f（x）在[0，π]内有且只有一个零点等价于h（u）在内有且只有一个零点，在上无零点．因为a≥1，所以h（u）在[﹣1，1）内为增函数．①若h（u）在[﹣1，1）内有且只有一个零点，内无零点．故只需，即，求得．②若为h（u）的零点，内无零点，则，得．经检验，符合题意．综上：或．点评：本题主要考查三角恒等变换，函数零点的判断，二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（12分）（2015春•南阳期末）已知向量=（sin x，1），=（4cos x，2cosx），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数f（x），x∈[﹣π，π]的单调递增区间．（3）设函数h（x）=f（x）﹣k（k∈R）在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；根的存在性及根的个数判断；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数f（x）的解析式．（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，再结合x∈[﹣π，π]可得函数的增区间（3）由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得结论．解答：解：（1）函数f（x）=•=4sin cos+2cosx=2sinx+2cosx=4sin（x+）．（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈z．再结合x∈[﹣π，π]可得函数的增区间为[﹣，]．（3）∵函数h（x）=f（x）﹣k（k∈R）在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，即函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得：当k＞4，或k＜﹣4时，n=0；当k=4，或k=﹣4时，n=1；当﹣4＜k＜﹣2，或﹣2＜k＜4时，n=2；当k=﹣2时，n=3．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，方程根的存在性及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．23．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得它的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的减区间求得函数f（x）的递减区间．（Ⅲ）由条件利用f（x）的单调性求得函数g（x）=f（x）﹣k在上有两个不同的零点时k的范围．解答：解：（Ⅰ）由，可得f（x）的最小正周期为=π．（Ⅱ）由，求得，所以函数f（x）的递减区间为．（Ⅲ）由，得，而函数f（x）在上单调递增，；在上单调递减，，所以若函数g（x）=f（x）﹣k在上有两个不同的零点，则．点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，单调性，周期性，属于基础题．24．已知函数，且ω≠0，ω∈R．（Ⅰ）若函数f（x）的图象经过点，且0＜ω＜3，求ω的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数g（x）=mf（x）+n（m＞0），当时，函数g（x）的值域为[﹣2，1]，求m，n的值；（Ⅲ）若函数在上是减函数，求ω的取值范围．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）把点的坐标代入f（x）的解析式，结合ω的取值范围，求出ω的值；（Ⅱ）根据g（x）的解析式以及g（x）在[﹣2π，﹣]上的值域，列出方程组，求出m、n 的值；（Ⅲ）求出h（x）的解析式，根据h（x）在上的单调性，列出不等式组，求出ω的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，所以，…（1分）所以，…（2分）所以；因为0＜ω＜3，所以，所以k=0，；…（3分）（Ⅱ）因为，所以；因为，所以；所以，…（4分）所以﹣2m+n≤g（x）≤m+n；因为函数g（x）的值域为[﹣2，1]，所以；…（5分）解得m=1，n=0；…（6分）（Ⅲ）因为，所以；…（7分）因为函数h（x）在上是减函数，所以函数h（x）=2sinωx的图象过原点，且减区间是；所以；…（8分）解得，所以ω的取值范围是．…（9分）点评：本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了方程与不等式的解法与应用问题，是综合性题目．25．（12分）（2015春•河南校级期中）已知点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（0，π），且||=||，求α的大小；（2），求．考点：三角函数的化简求值；向量的模．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用||=||，列出方程求出α的正切函数值，然后求解α的大小；（2）通过，得到α的三角函数值，化简求解即可．解答：解：（1）点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．α∈（0，π），且||=||，可得：（3cosα﹣4）2+（3sinα﹣0）2=（3cosα）2+（3sinα﹣4）2，可得：﹣24cosα=﹣24sinα，即tanα=1，∴α=（2）=（3cosα﹣4，3sinα），=（3cosα，3sinα﹣4），，可得：9cos2α﹣12cosα+9sin2α﹣12sinα=0，sinα+cosα=．∴1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα===2sinαcosα=点评：本题考查两角和与差的三角函数，弦切互化，三角函数的化简求值，考查计算能力．26．（13分）（2013•济南二模）设函数（其中ω＞0），且函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为．（1）求ω的值；（2）将函数y=f（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求函数g（x）在区间的最大值和最小值．考点：复合三角函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得ω的值．（2）由（1）得f（x）=，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=，由x∈，根据正弦函数的定义域和值域求得函数g （x）在区间的最大值和最小值．解答：解：（1）由于=．…（3分）∵函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为，∴．…（5分）∴ω=2．…（6分）。

2021-2022年高一下学期5月月考数学含答案考生注意：1、试卷所有答案都必须写在答题卷上。

2、答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3、考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

一、选择题：（本大题共有10 题，每题5分，共50分）1. 下列语句中，是赋值语句的为（）A. m+n=3B. 3=iC. i=i²+1D.i=j=32. 已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是（）A.M>NB. M<NC. M=ND. 无法确定3. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是（）A．X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定B．X甲>X乙；甲比乙成绩稳定C．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定D．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定4. 将两个数a=5，b=12交换为a=12，b=5，下面语句正确的一组是（）A. B. C. D.5. 将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500. 采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且样本中含有一个号码为003的学生，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为（）A. 20,15,15B. 20,16,14C. 12,14,16D. 21,15,146. 如图给出的是计算+++…+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A. i>10B. i<10C. i>11D. i<117. 设a、b是正实数，给定不等式：①＞；②a＞|a-b|-b；③a2+b2＞4ab-3b2；④ab+＞2，上述不等式中恒成立的序号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④8．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2 cd的最小值是( )．9. 在△ABC中，三边a、b、c成等比数列，角B所对的边为b，则cos2B+2cosB 的最小值为（）A. B.-1 C. D. 110. 给出数列，，，，，，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是（）A.4900B.4901C.5000D.5001二、填空题：（本大题共有5 题，每题5分，共25分）11. 已知x、y的取值如下表：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.712. 已知函数f（x）＝，则不等式f（x）≥x2的解集是13. 如果运行下面程序之后输出y的值是9，则输入x的值是输入xIf x＜0 Theny=（x+1）*（x+1）Elsey=（x-1）*（x-1）End if输出yEnd14. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（b-c）cosA=acosC，则cosA=15. 设a+b=2，b＞0，则+ 的最小值为三、解答题（本大题共有6 题，共75 分）16. 已知关于x的不等式x2-4x-m＜0的解集为非空集{x|n＜x＜5}（1）求实数m和n的值（-nx2+3x+2-m）＞0的解集．（2）求关于x的不等式loga17. 某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值作为代表（例如区间[70，80）的中点值是75），试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．18. 根据如图所示的程序框图，将输出的x，y依次记为x1，x2，…，xxx，y1，y2…yxx，（1）求出数列{xn }，{yn}（n≤xx）的通项公式；（2）求数列{xn +yn}（n≤xx）的前n项的和Sn．19. 在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC= ，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．20. 某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，问应该派多少消防员前去救火，才能使总损失最少？21. 各项为正数的数列{an }满足＝4Sn−2an−1（n∈N*），其中Sn为{an}前n项和．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）是否存在正整数m、n，使得向量=（2an+2，m）与向量=（−an+5，3+an）垂直？说明理由．1~5 CAADB 6~10 ADDCB11. 2.6 12. [-1,1] 13.-4或4 14. 15.16.解：（1）由题意得：n和5是方程x2-4x-m=0的两个根（2分）（3分）∴（1分）（2）1°当a＞1时，函数y=logax在定义域内单调递增由loga（-nx2+3x+2-m）＞0得x2+3x-3＞1（2分）即 x2+3x-4＞0x＞1 或 x＜-4（1分）2°当0＜a＜1时，函数 y=logax在定义域内单调递减由：loga（-nx2+3x+2-m）＞0得：（2分）即4132132122xx x-<<⎧⎪⎨---+<>⎪⎩或（1分）（1分）∴当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），当0＜a＜1时原不等式的解集为：321321(4,,1)22---+-)(（1分）17. 解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y由题设得，第四组的频数是0.024×10×50=12则x2=12y，又x+y=50-（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9 ∴x=6，y=3补全频率分布直方图（2）该校高一学生历史成绩的平均分＝10(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：500×（0.024+0.012+0.006）×10=21018. 解：（1）由程序框图可得到数列{xn}是首项为2，公差为3的等差数列，∴xn=3n-1，（n≤xx）．数列{yn+1}是首项为3公比为2的等比数列，∴yn +1=3•2n-1，∴yn=3•2n-1-1，（n≤xx）．（Ⅱ）∵xn +yn=3n-1+3•2n-1-1=，（n≤xx）．∴Sn=（2+5+…+3n-1）+（3+6+…+3•2n-1）-n=+3•2n-3-n=3•2n+（n≤xx）．19.解：（1）由cosC＝得sinC＝sinA＝sin(180°−45°−C)＝(cosC+sinC)＝由正弦定理知BC＝•sinA＝1022•＝3（2）AB＝•sinC＝1022•＝2, BD＝AB＝1由余弦定理知CD＝222cosBD BC BD BC B+-=＝20. 解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t==，y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费=125tx+100x+60（500+100t）=125x•+100x+30000+y=1250•+100（x-2+2）+30000+=31450+100（x-2）+≥31450+2=36450，当且仅当100（x-2）=，即x=27时，y有最小值36450．答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元.21. 解：（1）当n=1时，＝4S1−2a1−1，化简得(a1−1)2＝0，解之得a1=1当n=2时，＝4S2−2a2−1=4（a1+a2）-2a2-1将a1=1代入化简，得a22−2a2−3＝0，解之得a2=3或-1（舍负）综上，a1、a2的值分别为a1=1、a2=3；（2）由＝4Sn −2an−1…①，＝4Sn+1−2an+1−1…②②-①，得−＝4an+1−2an+1+2an＝2(an+1+an)移项，提公因式得（an+1+an）（an+1-an-2）=0∵数列{an }的各项为正数，∴an+1+an＞0，可得an+1-an-2=0因此，an+1-an=2，得数列{an}构成以1为首项，公差d=2的等差数列∴数列{an }的通项公式为an=1+2（n-1）=2n-1；（3）∵向量=（2an+2，m）与向量=（-an+5，3+an）∴结合（2）求出的通项公式，得=（2（2n+3），m），=（-（2n+9），2n+2）若向量⊥，则•=-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0化简得m=4（n+1）+16+∵m、n是正整数，∴当且仅当n+1=7，即n=6时，m=45，可使⊥符合题意综上所述，存在正整数m=45、n=6，能使向量=（2an+2，m）与向量=（-an+5，3+an）垂直．38420 9614 阔40291 9D63 鵣\Up30830 786E 确•30468 7704 眄21622 5476 呶36719 8F6F 软9c27258 6A7A 橺1。

高一5月月考数学试题_(有答案)一、选择题：每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(4,1),(1,3)A B -，则与向量AB 方向相同的单位向量是（ ）A ．34(,)55-B ．43(,)55-C ．34(,)55-D ．43(,)55-2.判断下列命题中正确的个数（ ） （1）||||||a b a b ∙=；（2）若//a b ，//b c ，则//a c ；（3）00a ∙=；（4）若θ是两个向量的夹角，则[0,]θπ∈. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3.在ABC ∆中，2C π∠=，(2,2)BC k =-，(2,3)AC =，则实数k 的值是（ ）A ．5B ．-5C ．32D ．32- 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(,)m a c a b =+-，(,)n b a =，且//m n ，则角C 为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π 5.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,4),(1,2)e e ==C ．12(1,2),(3,7)e e =-=D ．123(3,4),(,2)2e e =-=-6.在ABC ∆中，若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等比三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形7.在ABC ∆中，3A π=，3,a b ==，则B =（ ） A ．6π或56π B ．3π C ．6π D ．56π8.在ABC ∆中，,24A a b π===，则这个三角形解的情况为（ ）A ．有一组解B ．有两组解C ．无解D ．不能确定9.在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ∙≥∙，则（ ）A ．090ABC ∠=B ．90BAC ∠= C ．AC BC =D ．AB AC =10.已知P 是ABC ∆所在平面上的一点，且点P 满足：0aPA bPB cPC ++=，则点P 为三角形的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知(4,2),(2,6)a b =-=-，则a 与b 的夹角为 .12.在ABC ∆中，3,5,7a b c ===，则ABC ∆的面积为 .13.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2,,6a B c π===，则ABC ∆外接圆的半径为 .14.已知函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +∙= .15.已知AB AC ⊥，1||||AB AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB AC AP AB AC =+，则PB PC ∙的最大值为 .三、解答题 （每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，求AB 在CD 方向上的投影.17.已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()b b a c a c =-+，且B ∠为钝角.（1）求角A 的大小；（2）若12a =，求b 的取值范围. 18.（1）已知向量(,1),(1,),(2,4)a x b yc ===-，且a c ⊥，//b c ，求||a b +；（2）已知O 是ABC ∆的外心，已知2,4AB AC ==，求AO BC ∙.19.在平面直角坐标系xOy 中，点(cos )A θθ，(sin ,0)B θ，其中R θ∈.（1）当23πθ=时，求向量AB 的坐标； （2）在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01x ≤≤，01y ≤≤，求动点P 的轨迹所覆盖的面积.参考答案CBABCDCBDC11. 34π 13.2 14.6 15.1316. 217.（1）由题意可得222b a c =-，222b c a +-，∴cos 2A =，∴6A π=. （2）由正弦定理可得sin ,sin b B c C ==，∵B ∠为钝角，∴2A C π+<，∴03C π<<.∴1sin()cos cos()6223b C C C C C ππ=+=-=+，18.解：（1（2）AO BC AO AC AO AB ∙=∙-∙，过O 作,OM AB ON AC ⊥⊥，因为O 是ABC ∆的外心，∴,M N 分别是边,AB AC 的中点，∴24126AO BC AO AC AO AB AN AC AM AB ∙=∙-∙=∙-∙=⨯-⨯=.19.解：（1）31(,22AB =- （2）OP xOA yOB =+，其中01x ≤≤，01y ≤≤，所以点P 的轨迹所构成的图形为以,OA OB 为邻边的平行四边形，在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，由2222cos a b c bc A =+-，可得2512650c c --=，∴(5)(513)0c c -+=，∴5c =或135c =-（舍），∴1sin 2ABC S bc A ∆==ABC ∆的内接圆的半径2ABC S r a b c ∆==++O 作OM AB ⊥. ∵O 是ABC ∆的内心，∴OM r =，∴15233ABC S ∆=⨯⨯=，∴平行四边形OADB 的面积S =.。

5月联合质量测评试题高一数学考试用时120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某学校高一年级学生中对数学非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数分别为600、300、100，为了了解数学兴趣对数学成绩的影响，现通过分层抽样的方法抽取容量为的样本进行调查，其中非常喜欢的n 有18人，则的值是（ ） n A. 20 B. 30C. 40D. 50【答案】B 【解析】【分析】按分层抽样的定义，建立比例关系可得答案.【详解】非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数比为， 600:300:1006:3:1=按分层抽样方法，其中非常喜欢的有18人可得， 61810n ⨯=解得. 30n =故选：B.2. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形,,a b c ABC ,,A B C π,4,3A c a ===个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 1或2【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果. π4C =5π12B =【详解】因为，由正弦定理，所以π,4,3A c a ===sin sin a c A C =4sin C =， sin C =又因为，故，. 2π(0,3C ∈π4C =5π12B =故选：B.3. A ，B ，C 表示不同的点，n ，l 表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法正确的是（ ） αβA. 若，，，则 l αβ= n α∥n β∥n l ∥B. 若A ，，A ，，则B l ∈B α∉l α∥C. 若A ，，A ，B ，，，则 B α∈C β∈l αβ= C l ∈D. 若，，，则αβ∥l ⊂αn β⊂l n ∥【答案】A 【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：选项A ，因为，，，所以，故A 正确； l αβ= n α∥n β∥n l ∥选项B ，因为A ，，A ，，所以或l 与相交，故B 不正确；B l ∈B α∉l α∥α选项C ，A ，，A ，B ，，，此时点C 不一定在平面a 内，所以不正确，故B α∈C β∈l αβ= C l ∈C 不正确；选项D ，由，，，则l 与n 可能平行，也可能异面，故D 不正确．αβ∥l ⊂αn β⊂故选：A.4. 已知向量的夹角为，且，则（ ）,a b 56π||1,||a b == (2)()a b a b -⋅+=A. B.C.D. 1-127252-【答案】D 【解析】【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.【详解】. ()()225522cos 21362a b a b a a b b π⎛-⋅+=+⋅-=+-=- ⎝ 故选：D.5. 在中，角的对边分别为，已知，则的外接圆面积为ABC ,,A B C ,,a bc π3,4a c B ===ABC （ ） A.B. C.D.5π210π5π47π2【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理及正弦定理求得结果. 【详解】已知， π3,4a c B===由余弦定理可得，(22222π2cos 323cos54b ac ac B =+-=+-⨯=由正弦定理可得2sin b R B ===R =则的外接圆面积. ABC 25ππ2S R ==故选：A .6. 如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与1111ABCD A B C D -11,2AB AD AA ===E 1DD 1BD 所成角的大小为（ ）AEA.B.C.D.π3π4π65π6【答案】C 【解析】【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在1CC F 1BD AE 1BD AF1D BF ∠1D BF中由余弦定理可得答案.【详解】取的中点，连接，所以， 1CC F 1D F BF 、//AE BF 直线与所成角即为直线与所成的，1BD AE 1BD AF1D BF ∠所以，，22211112D F D C FC =+=2222BF BC CF =+=，222221*********D B D C D A D D =++=++=在中由余弦定理可得, 1D BF2221111cos 2D B BF D F D BF D B BF +-∠===⨯因为，所以.1π0,2D BF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦1π6D BF ∠=故选：C.7. 已知分别为三个内角的对边，且满足,,a b c ABC ,,A BC 2cos ,(cos )a b C b c a C C =+=+，则的形状为（ ） ABC A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】分别利用正弦定理和余弦定理即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，(cos )b c a C C +=+，sin sin sin (cos )sin cos sin B C A C C A C A C +=+=因为，所以，πA B C ++=π()B A C =-+则有，sin()sin sin cos sin A C C A C A C ++=+即，sin cos cos sin sin sin cos sin A C A C C A C A C ++=所以，因为，所以，cos sin sin sin A C C A C +=(0,π)C ∈sin 0C≠，即，因为，cos 1A A -=π1sin()62A -=(0,π)A ∈所以或，则或（舍去）.ππ66A -=π5π66A -=π3A =πA =又因为，由正弦定理可得， 2cos a b C =sin 2sin cos A B C =因为，所以，πA B C ++=π()A B C =-+则，化简整理可得，， sin()2sin cos B C B C +=sin()0B C -=所以，又因为，所以为等边三角形， B C =π3A =ABC 故选：C.8. 已知梯形，且为平面内一点，则,ABCD AB CD ∥22,1,,AB CD AD AB AD P ===⊥ABCD 的最小值是（ ）()PC PB PC ⋅+A. B. C. D. 214-12-32-【答案】A 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出和的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结PC PB PC +果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，因为，则，，设，22,1AB CD AD ===(1,1)C (2,0)B (,)P x y 所以，，故，(1,1)PC x y =-- (2,)PB x y =-- (32,12)PB PC x y +=--所以2222531()(1)(32)(1)(12)225342[((]444PC PB PC x x y y x y x y x y ⋅+=--+--=+--+=-+--，又为平面内一点，故当时，取到最小值.P ABCD 53,44x y ==()PC PB PC ⋅+ 14-故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） 20231ii z +=i A. 的虚部是 z 1-B.1i z =--C. 若复数满足，则的最大值是0z 01z z -=0z 1+D. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则 z x 220x x b ++=2b =【答案】BCD 【解析】【分析】化简得到，，的虚部是，A 错误，，B 正确，1i z =-+z =z 11i z =--C 正确，代入计算得到D 正确，得到答案.011z z ≤+=+【详解】，，202331i 1i 1i1i i i iz -+++====-+z =对选项A ：的虚部是，错误； z 1对选项B ：，正确；1i z =--对选项C ：，故 001z z z z -=≥-011z z ≤+=对选项D ：，即，故，正确； ()()21i 21i 0b -++-++=20b --=2b =故选：BCD.10. 已知向量，，，设的夹角为，则（ ）()2,3a b += ()4,1a b -=- ()2,1c = ,a bθA.B.|2|26b a +=ac ⊥C. D. b c∥cos θ=【答案】BD 【解析】【分析】根据向量的坐标运算得到，，计算，A 错误，，()1,2a =- ()3,1b = 2b a += 0a c ⋅=B正确，与不平行，C 错误，计算夹角得到D 正确，得到答案.b c【详解】设，，则， ()11,a x y = ()22,b x y = ()()1212,2,3a b x x y y +=++=，故，，()()1212,4,1a b x x y y -=--=-121224x x x x +=⎧⎨-=-⎩121231y y y y +=⎧⎨-=⎩解得，，故，，1213x x =-⎧⎨=⎩1221y y =⎧⎨=⎩()1,2a =- ()3,1b = 对选项A ：，故，错误； ()21,5b a +=2b a += 对选项B ：，故，正确；()()01,22,1a c =⋅=-⋅ a c ⊥对选项C ：，故与不平行，错误；3112⨯≠⨯b c对选项D ：，正确；cos a b a bθ⋅===⋅ 故选：BD.11. 在中，内角所对的边分别为，已知，ABC ,,A B C ,,a b c 221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++则（ ） A. 23A π=B. 若是底边为为其内心，则ABC N ::NBC NAC NAB S S S =△△△C. 若，则的周长为157,15a bc ==ABC D. 若，则0,2OA OB OC a ++== OBC S ≤△【答案】ACD 【解析】【分析】分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的相关知识进行求解即可. 【详解】由可得，221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++，则，2221sin sin sin sin cos B C B C A =+++222sin sin sin sin sin A B C B C =++由正弦定理可得，，由余弦定理可得，A 为三角形内角， 222a b c bc =++2221cos 22b c a A bc +-==-所以，故选项A 正确； 2π3A =若是底边为的等腰三角形，因为，则， ABC 2π3A =2BC ABAC ===设内切圆圆心为， ABC r 则，故选项B 错误； 111:::::1:1222NBC NAC NAB S S S BC r AC r AB r =⋅⋅⋅= 若，因为，由余弦定理可得， 7,15a bc ==2π3A =2222()a b c bc b c bc =++=+-所以，则的周长为15，故选项C 正确；8+=b c ABC 因为，所以为的重心，则，0OA OB OC ++= O ABC 13OBC ABC S S =△△因为，由余弦定理可得（当且仅当时去等号）， 2π3A =2223a b c bc bc =++≥b c =则，所以，故选项D 正确， 43bc ≤111sin 332OBC ABC S S bc A ==⨯≤ 故选：ACD.12. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球），阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．亦可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比．若已知该比值为的圆锥，其母线长为，底面半径为，轴截面如图所12l r 示，则（ ）A. 若，则1r =3l =B. C. 用过顶点的平面去截圆锥，则所得的截面图形可以为直角三角形AD. 若一只小蚂蚁从点出发，沿着圆锥的侧面爬行一周到达 B G 【答案】ABD 【解析】【分析】先证明圆锥容球定理，写出推导过程，推出其中几何尺寸之间的代数关系，再根据本题的几何特征逐项分析.【详解】如图，O 为内切球的球心，设圆锥的高为，内切球的半径为R ， AD h =则，，()()2222222,,,CE r OD R l r h AO h R R l r ==-==-=+-()l r r h R-∴=又三角形ABC 的面积，， ()1122222S rh l r R =⨯=+()()(),l r R l r r l r R h r R r+-+∴=∴= ①即， 22R l rr l r-=+ ②设内切球的体积为，圆锥的体积为，内切球的表面积为，圆锥的表面积为，1V 2V 1S 2S 则有，将①代入上式得， 3312224π4π31ππ3R V R V r h r h ==()321122224π4ππππV S R R l r R V rl r S rr ===++由题意，，，将②代入上式得：， 21224π1ππ2V R V rl r ==+()28R r l r ∴=+()()28r l r l r -=+即，所以当时，，A 正确；22960,3l r lr l r +-==1r =3l =由②式得：，由式得：，B 正确； 2221,42R r R r r ===①h =sin h ACB l ∴∠==由于圆锥的对称性，过A 点的平面截圆锥所得的图形必定是等腰三角形，其顶角最大为， BAC ∠由于，，C错误； ()()()22222222233,2,AB AC r r BC r AB AC BC +=+=∴+>π2BAC ∠<对于D ，圆锥展开后的扇形如下图：在上图的扇形中，，由前面的计算知：，， 2π2π33r BAC r ∠==2AG r =3AB r =由余弦定理得：，D 正确； 22222cos 19,BG AB AG AB AG BAC r BG =+-∠=∴= 故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中16题第一空2分，第二空3分．13. 已知一组数据1，2，，4，5的平均数为3，则这组数据的方差为__________． m 【答案】2 【解析】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. m 【详解】依题意，所以方差为12453,35m m ++++==.()()()()()22222113233343535⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦[]1411425=⨯+++=故答案为：.214. 已知外接圆的圆心为，且是与方向相同的单ABC O ||||,||||1,AB AC AB AC OA AB e +=-== BC位向量，则在上的投影向量为__________． BABC【答案】12e 【解析】【分析】根据题意结合数量积的运算律分析可得，进而可得，结合投影向量运AB AC ⊥60ABC ∠=︒算求解即可.【详解】因为，即，||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 则，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 整理得，即，则为圆的直径，0AB AC ⋅= AB AC ⊥BC O 又因为，则为等边三角形，即， 1OB OA AB ===u u u r u u r u u u rOAB 60ABC ∠=︒所以在上的投影向量为.BA BC()11cos 122BA ABC e e e ⎛⎫∠=⨯= ⎪⎝⎭u u rr r r 故答案为：. 12e15. 直三棱柱的底面的直观图如图所示，其中，且111ABC A B C -ABC A B C '''2,1A B A C ''''==13AA =，则直三棱柱外接球的表面积为__________．111ABC A B C -【答案】 17π【解析】【分析】根据条件得出底面是等腰直角三角形，将把直三棱柱补成长方体，再利用ABC 111ABC A B C -长方体体对角线长即长方体外接球的直径，从而求出结果.【详解】因为在底面的直观图中，，由斜二测法知，底面中，ABC A B C '''2,1A B A C ''''==ABC ，且，2AB AC ==90CAB ∠=︒如图，把直三棱柱补成长方体，则长方体的体对线长是直三棱柱外接球的111ABC A B C -111ABC A B C -直径，设外接球的半径为，又，，所以，R 13AA =2AB AC ==12AD R ===故直三棱柱外接球的表面积为111ABC A B C -24π17πS R ==故答案为：.17π16. 在中，为的中点，的平分线分别交于点，且，ABC D AC A ∠BC BD 、E O 、2,6AB AC ==，则__________；__________．60BAC ∠=︒AE =cos EOD ∠=【答案】 ①.②. ##【解析】【分析】利用余弦定理求出，并借助三角形面积公式及角平分线求出，再用余弦定理求出；BC BE AE 然后利用向量数量积求出夹角余弦作答. 【详解】在中，由余弦定理得ABCBC ===因为平分，则，有， AE BAC ∠1sin 301213sin 302ABEACEAB AE S BE AB CE S ACAC AE ⋅====⋅14BE BC ==在中，，即有， ABE ABC BAC BAE ∠>∠>∠AE BE >=由，即，解得； 2222cos30BE AB AE AB AE =+-⋅2744AE =+-=AE 显然，则，12BD AC AB =- 2221136426cos 60744BD AC AB AC AB =+-⋅=⨯+-⨯=即，又，||BD =111()(3)444AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 于是2211(3)(2)(6)88AE BD AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+⋅-=-++⋅ ， 19(643626cos 60)84=-⨯++⨯= 因此cos cos ,||||AE BD EOD AE BD AE BD ⋅∠=〈〉===所以，=AE cosEOD ∠=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知复数．若为纯虚数，求的值； ()2256232i,R z m m m m m =-++--∈z m （2）已知复数，若满足，求的值．i(,R)z a b a b =+∈z i 153i z z z ⋅+=+,a b【答案】（1）；（2）或 3m =33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）是纯虚数，则复数实部为0虚部不为0，计算得到答案.z （2）设，代入计算得到，解得答案. i z a b =+22315a a b b =⎧⎨+-=⎩【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得．z 225602320m m m m ⎧-+=⎨--≠⎩3m =（2）设，所以，i z a b =+i z a b =-．22i (i)(i)i(i)i 153i z z z a b a b a b a b b a ⋅+=+-++=+-+=+所以，解得或. 22315a a b b =⎧⎨+-=⎩33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩18. 某高校为了对该校研究生的思想道德进行教育指导，对该校120名研究生进行考试，并将考试的分值（百分制）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．已[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100] 知，分值在的人数为15．2b a c =+[]90,100（1）求图中的值；,,a b c （2）若思想道德分值的平均数、中位数均超过75分，则认为该校研究生思想道德良好，试判断该校研究生的思想道德是否良好．【答案】（1），，0.0275a =0.02b =0.0125c =（2）该学校研究生思想道德良好． 【解析】【分析】（1）根据频率确定，再根据频率和为1计算得到答案. 0.0125c =（2）分别根据公式计算平均数和中位数，比较得到答案.【小问1详解】分值在的人数为15人，所以的频率为，即． [90,100][90,100]15=0.1251200.0125c =，又，所以，2a c b +=(0.030.00750.0025)101a b c +++++⨯=0.06a c b ++=解得，. 0.02b =0.0275a =【小问2详解】 这组数据的平均数为：，450.025550.075650.2750.3850.275950.1257675⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>前组频率和为， 3()100.00250.00750.020.3⨯++=前组频率和为，4()100.00250.00750.020.030.6⨯+++=故这组数据的中位数满足，解得， m 0.50.3(70)0.03m -=-⨯76.775m =>所以该学校研究生思想道德良好．19. 如图，在四棱台中，底面是正方形，侧面底面是ABCD PQSH -ABCD PADH ⊥,ABCD PAD 正三角形，是底面的中心，是线段上的点．N ABCD M PD（1）当//平面时，求证：平面；MN PABQ AM ⊥PCD （2）求二面角的余弦值． P BC A --【答案】（1）证明见解析（2． 【解析】【分析】（1）连接，证得，由底面是正方形，所以，根据面面垂直的PB MN PB ∥ABCD CD AD ⊥性质，证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证CD ⊥PADH CD AM ⊥AM PD ⊥得平面；AM⊥PCD （2）取的中点分别为，连接，证得即为所求二面角的,AD BC ,G O ,,PG PO GO POG ∠P BC A --平面角，在直角中，结合，即可求解. PGO △cos GOPOG PO∠=【小问1详解】 证明：连接，PB 因为平面，平面，且平面平面， //MN PABQ MN ⊂PBD PBD PABQ PB =所以，MN PB ∥又因为在中，是的中点，所以是的中点，PBD △N BD M PD 因为底面是正方形，所以，又因为平面平面， ABCD CD AD ⊥PADH ⊥ABCD 平面平面平面，所以平面， PADH ⋂,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥PADH 因为平面，所以，所以是正三角形， AM ⊂PADH CD AM ⊥PAD 所以，因为，且平面，所以平面．AM PD ⊥PD CD D ⋂=,PD CD ⊂PCD AM ⊥PCD 【小问2详解】解：取的中点分别为，连接， ,AD BC ,G O ,,PG PO GO 所以是正三角形，所以，PAD PG AD ⊥因为平面平面，平面平面，平面， PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PG ⊂PAD 所以平面，PG ⊥ABCD 因为平面，所以，BC ⊂ABCD PG BC ⊥又因为且平面，所以平面，BC GO ⊥,,PG GO G PG GO =⊂ PGO BC⊥PGO 因为平面，所以，则即为所求二面角的平面角， PO ⊂PGO BC PO ⊥POG ∠P BC A --设，则， AD a =,GO a PG ==在直角中，，所以， PGO △PO =cos GO POG PO ∠==即所求二面角． P BC A --20. 已知半圆圆心为，直径为半圆弧上靠近点的三等分点，以为邻边作平行四边O 4,AB C =A ,AO AC 形，且，如图所示，设AODC 2ED CE =,OC a AD b ==（1）若，求的值；OE a b λμ=+λμ+（2）在线段上是否存在一点，使得?若存在，确定点的位置，并求；若不存AC F DF OE ⊥F ||AF 在，请说明理由．【答案】（1）1 （2）存在，为线段靠近的四等分点，AC C 3||2AF = 【解析】【分析】（1）法一：以作为基底向量，利用平面向量的线性运算法则表示向量，结,OC a AD b == OE合平面向量基本定理列方程求得，即可得的值；法二：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标,λμλμ+运算，列方程求解的值，即可得的值；,λμλμ+（2）法一：令，由得数量积为，根据向量的线性运算即可列方程求解即可得答AF t AC = DF OE ⊥0案；法二：根据数量积的坐标运算求解即可. 【小问1详解】法一：因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A60AOC ∴∠=︒又因，则为正三角形且平行四边形为菱形AO CO =AOC AODC2ED CE = 为线段靠近的三等分点E ∴CD C因，令,OC a AD b ==AD OC K ⋂=∴1111151()3332266OE OC CE a CD a KD KC a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ ，则51,66λμ==∴1λμ+=法二：如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系O AB xxOy因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A 且为正三角形、平行四边形为菱形60AOC ∴∠=︒,AOC COD AODC 则(2,0),(2,0),(A B C D --为线段靠近的三等分点2ED CE E =∴CD C ，故13E ⎛∴- ⎝13OE ⎛=- ⎝(a OC b AD ==-==OE a b λμ=+((13133λμλμ⎧-+=-⎪⎛∴-=-+∴ ⎝+=56116λλμμ⎧=⎪⎪∴∴+=⎨⎪=⎪⎩【小问2详解】法一：存在点，使得F DF OE ⊥令因平行四边形为菱形，所以AF t AC = AODC 0,||2,||a b a b ⋅===112()2222t t DF AF AD t AC b t KC KA b t a b b a b -⎛⎫=-=-=--=+-=+ ⎪⎝⎭2251252524120662212121212t t ta t t t DF OE a b a b b ---⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且33||||42AF AC == 法二：存在点，使得F DF OE ⊥令()AF t ACt t ===(3,()(DF DA AF t t ∴=+=-+=-33303t DF OE t -∴⋅=-+-=34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且.33||||42AF AC == 21. 今年“五一”假期，“进淄赶烤”成为最火旅游路线，全国各地游客纷纷涌向淄博，感受疫情后第一个最具人间烟火气的假期．某地为了吸引各地游客，也开始动工兴建集就餐娱乐于一体的休闲区如图，在的长均为60米的区域内，拟修建娱乐区、就餐区、儿童乐园区，其中为了2π,,3BAC AB AC ∠=ABC 保证游客能及时就餐，设定就餐区域中．AEF △π3EAF ∠=（1）为了增加区域的美感，将在各区域分隔段与处加装灯带，若，则灯带AE AF π12CAF ∠=总长为多少米？AE AF +（2）就餐区域的面积最小值为多少平方米？ AEF △【答案】（1）（2）平方米【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理即可求解；（2）利用正弦定理和三角形面积公式求出面积的表达式，然后利用正弦函数的图象和性质即可求解. 【小问1详解】因为为等腰角形，且顶角为，所以， ABC 2π3π6B C ==在中，由，则， AFC △ππ,126CAF C ∠==3π4CFA ∠=由正弦定理， πsin sin6AC AFCFA=∠12AF =中， AF ∴==ABE ππππ,31246BAE B ∠=-==则，由正弦定理可得， 7π12AEB ∠=πsin sin 6AB AEAE AEB=∴==-∠，所以灯带总长为.AE AF ∴+=AE AF +【小问2详解】设，则， CAF θ∠=π3BAE θ∠=-由正弦定理可， 3030,5πcos sin 6AF AE θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭1πsin 23AEF S AE AF ∴=⨯⨯=△=，πππ5π0,2,3666θθ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当即时，，ππ262θ+=π6θ=πsin 216θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭面积最小为AEF S =△所以就餐区域面积最小值为平方米.22. 如图①，在梯形中，，，，将ABCD ,2,60AB CD AB A =∠=︒∥90ABD Ð=°45CBD ∠=︒沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交ABD △BD A BD ' A C '=B A C '于点．,A D A C '',E F（1）求证：平面； BE ⊥A CD '（2）求点到平面的距离． F A BD '【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用线面垂直的判定定理和性质得到，最后CD A D '⊥CD BE ⊥利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）方法一：通过作垂线的方法得到垂线段的长度即为点到平面的距离，然后求距离即FG F A BD '可；方法二：利用等体积的方法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 证明：如图①，，，，， 2AB = 60A ∠=︒90ABD ∠=︒45CBD ∠=︒，，4AD ∴=BD CD ==如图②，∵，，，4A D '=CD =A C '=，222A D CD A C ∴+=''，CD A D '∴⊥，且，平面，CD BD ⊥ A D BD D '= ,A D BD '⊂A BD '平面，CD \^A BD '又平面，，BE ⊂ A BD 'CD BE ∴⊥平面，且平面，，A C '⊥ BEF BE ⊂BEF BE A C '∴⊥又，且平面，平面．A C CD C '⋂= ,A C CD '⊂A CD 'BE ∴⊥A CD '【小问2详解】方法一：过点作，垂足为，由（1）知平面， F FG A D '⊥G BE ⊥A CD '而平面，FG ⊂A CD '，BE FG ∴⊥且，平面，平面， A D BE E '⋂=,A D BE '⊂A CD 'FG ∴⊥A BD '则垂线段的长度即为点到平面的距离．FG F A BD '在中，，，A BC ' 2AB '=BC =A C '=，222A B CB A C ''∴+=，BC A B '∴⊥由已知得，则 BF A C '⊥A F '=由（1）知，，， CD A D '⊥A F FG A C CD '∴='FG ∴=即点到平面． F A BD '方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离， F A BD 'F A BE '由（1）知平面，平面，， BE ⊥A CD 'A D '⊂A CD 'BE AD ∴⊥在直角三角形中，，，，A BD '2AB '=4A D '=BD =由等面积得，， 1122A B BD A D BE ''⨯⨯=⨯⨯即，， A B BD BE A D'⨯=='1A E '∴=平面，且平面，，A C '⊥ BEF EF ⊂BEF EF A C ∴⊥'由（1）知，∽，， CD A D '⊥A FE '∴△A DC ' A F A D A E A C ''∴=''A F '∴=则在直角三角形中， A FE 'EF =设点到平面的距离为， F A BE 'd 在三棱锥中，由等体积得，，F A BE '-F A BE B A EF V V ''--=即 1133A BE A EF d S BE S ''⨯⨯=⨯⨯ △， 11113232d BE A E BE EF A F ''∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， d ∴=即点到平面． F A BD '。

智才艺州攀枝花市创界学校2021~2021高一下学期5月考数学〔文〕试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕的定义域是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】不等式的解集就是函数的定义域.【详解】不等式的解为或者.故函数的定义域为，应选D.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：〔1〕分式的分母不为零；〔2〕偶次根号〔，为偶数〕中，；〔3〕零的零次方没有意义；〔4〕对数的真数大于零，底数大于零且不为1.注意，定义域一般写成集合或者区间的形式.的前n项和为，假设，那么的值是A.2B.3C.2021D.3033【解析】【分析】利用计算.【详解】，应选A.【点睛】数列的通项与前项和的关系式是，我们常利用这个关系式实现与之间的互相转化.3.有以下调查方式：〔1〕为理解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进展座谈；〔2〕一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上，35人在分，10人低于90分如今从中抽取12人座谈理解情况；〔3〕运动会中工作人员为参加400m比赛的6名同学公平安排跑道．就这三个调查方式，最适宜的抽样方法依次为A.分层抽样，系统抽样，简单随机抽样B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C.分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样，系统抽样，简单随机抽样的定义进展判断．【详解】〔1〕是系统抽样，因为各班人数相等，每班抽取2人；〔2〕是分层抽样，因为60人中分数有明显差异；〔3〕是简单随机抽样，因为6名同学中每个同学都是等可能地被安排在相应的赛道上，【点睛】抽样方法一共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样〔1〕简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；〔2〕系统抽样是均匀分组，按规那么抽取〔通常每组抽取的序号成等差数列〕；〔3〕分成抽样就是按比例抽取．，那么下面一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐个检验即可.【详解】因为，所以，故A错；又当时，，故B错；，因为，故，故，所以C错；，因为，故，而，故，所以D正确，应选D.【点睛】此题考察不等式性质，属于根底题.5.中，，那么B等于A. B.或者 C. D.或者【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理计算，注意有两个解.【详解】由正弦定理得，故，所以，又，故或者.所以选D.【点睛】三角形中一共有七个几何量〔三边三角以及外接圆的半径〕，一般地，知道其中的三个量〔除三个角外〕，可以求得其余的四个量.〔1〕假设知道三边或者两边及其夹角，用余弦定理；〔2〕假设知道两边即一边所对的角，用正弦定理〔也可以用余弦定理求第三条边〕；〔3〕假设知道两角及一边，用正弦定理.6.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如下列图，那么A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【答案】C【解析】【分析】从条形图上可以估算平均数、中位数，也可以直观地得到两者的方差的大小关系和极差的大小关系.【详解】从条形图上可以看出甲的平均成绩为，而乙的平均成绩大约为5，故A错；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B错；甲的成绩的方差为0，乙的成绩的方差不为0〔有波动〕，故C正确；甲的成绩的极差为0，乙的成绩的极差为4，故D错误.应选C.【点睛】此题考察统计中条形图，要求能从条形图中直观感知平均数、中位数、方差和极差等统计数据的大小关系，属于基此题.7.执行如下列图的程序框图，假设输入，那么输出的A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】流程图的功能是求数列的前项和，可用裂项相消法求和.【详解】执行第一次判断时，，；执行第二次判断时，，；执行第三次判断时，，，此时终止循环.应选B.【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.a,b满足a+2b=1，那么的最小值为A. B. C.4D.【答案】B【解析】【分析】因为，故可以利用不等式求最小值.【详解】因为，当且仅当时等号成立，应选B.【点睛】应用根本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等〞，假设原代数式中没有积为定值或者和为定值，那么需要对给定的代数变形以产生和为定值或者积为定值的局部构造.求最值时要关注取等条件的验证.之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，那么以下说法错误的选项是A.变量之间呈现负相关关系B.C.可以预测，当x=11时，y约为D.由表格数据知，该回归直线必过点【答案】B【解析】【分析】根据线性回归方程可以知道A、C正确，而线性回归方程所在直线必过，故D也正确，但是时，可以预测，它不是4，从而可得选项.【详解】由得，故呈负相关关系，故A正确；当时，的预测值为，故B错误；当时，的预测值为，故C正确；，故，故回归直线过，故D正确.综上，选B.【点睛】线性回归方程中，的正负表达了是正相关还是负相关，并且我们可以利用该方程预测数据，注意线性回归方程所在直线必过.中，假设是方程的两根，那么的前11项的和为A.22B.C.D.11【答案】D【解析】【分析】前项和，但，从而可得.【详解】因为是等差数列，所以.又，故，所以，选D.【点睛】一般地，假设为等差数列，为其前项和，那么有性质：〔1〕假设，那么；〔2〕且；〔3〕且为等差数列；〔4〕为等差数列.中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且假设，那么的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可以得到，从而，故，故可判断的形状.【详解】因为，所以，也就是，所以，从而，故，为等边三角形.应选C.【点睛】在解三角形中，假设题设条件是边或者角的关系，那么我们可以利用正弦定理或者余弦定理把这种关系式转化为角的三角函数关系式或者边的关系式.的值域是R，那么m的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为值域是，故可取的每一个正数，从而可以得到的取值范围.【详解】令，那么，因为值域为，故可取的每一个正数，所以，故，应选D.【点睛】与对数有关的复合函数的性质讨论，我们可把该函数分解为两个简单函数〔外函数〕及〔内函数〕，通过讨论外函数的性质得到内函数的性质，也可以通过讨论内函数的性质得到外函数的性质.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕满足，那么的前6项和等于______．【答案】126【解析】【分析】可判断为等比数列，从而可求和.【详解】因为，故，所以，故为等比数列，所以前6项和为，故填．【点睛】一般地，判断一个数列是等比数列，可从两个角度去考虑：〔1〕证明；〔2〕证明：且.14.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号号，并分组，第一组号，第二组号，，第十组号，假设在第三组中抽得号码为12的学生，那么在第八组中抽得号码为______的学生．【答案】37【解析】【分析】系统抽样时，各组抽得的号码是公差为5的等差数列，故可求第八组抽得的号码．【详解】设第组的号码记为，根据系统抽样，那么有是公差为5的等差数列．又，故，故填．【点睛】此题考察系统抽样，为根底题，注意系统抽样是均匀分组，按规那么抽取〔通常每组抽取的序号成等差数列〕．，那么判断框中整数的值是__________．【答案】6【解析】，判断是，，判断是，判断是，，判断是，，判断否，输出，故填.，假设，那么的最小值为______．【答案】9【解析】【分析】注意到，可把变形为，展开后可用根本不等式求最小值．【详解】因为，所以，因，故，又，由根本不等式得，当且仅当时等号成立，故的最小值为9，填9．【点睛】应用根本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等〞，假设原代数式中没有积为定值或者和为定值，那么需要对给定的代数变形以产生和为定值或者积为定值的局部构造.求最值时要关注取等条件的验证.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕17.某车间20名工人年龄数据如下表：年龄岁工人数人19 128 329 330 531 432 340 1合计20求这20名工人年龄的众数与极差；以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；〔3〕求这20名工人年龄的方差.【解析】【分析】〔1〕根据表中数据可得众数与极差.〔2〕根据茎叶图的制作方法作出茎叶图.〔3〕根据方差的公式计算方差.【详解】这这20名工人年龄的众数为30，极差为；茎叶图如下：年龄的平均数为：．这20名工人年龄的方差为．【点睛】统计中常有众数、中位数、平均数等，其中众数指出现次数最多的数，中位数指按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数〔假设数的数目是偶数个，那么取中间两数的均值〕，解题中注意区分．的解集是．试求的值；求不等式的解集．【答案】(1)(2)【解析】【分析】〔1〕由解集得到方程的根，利用韦达定理可求．〔2〕利用〔1〕中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．【详解】〔1〕因为不等式的解集是．所以且的解是和．故，解得．〔2〕由〔1〕得，整理得到即，解得，故原不等式的解集为．【点睛】〔1〕一元二次不等式的解集的端点是对应的方程的根，也是对应的二次函数图像与轴交点的横坐标，解题中注意利用这个关系来实现三者之间的转化．〔2〕一般地，等价于，而那么等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.19.从某随机抽取100名学生，将他们的身高单位：厘米数据绘成频率分布直方图如图．Ⅰ由图中数据求a的值；Ⅱ假设要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，那么从身高在内的学生中选取的人数应为多少？【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕2人【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用各矩形面积之和为1可求出．〔Ⅱ〕出三组的频率之比为，故可得内的学生中选取的人数．【详解】〔Ⅰ〕由直方图得，解得，〔Ⅱ〕身高在三组内的学生人数比为，故从身高在内的学生中选取的人数人．【点睛】〔1〕频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是．〔2〕分层抽样就是按比例抽取.的各项均为正数，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设证明：为等差数列，并求的前n项和．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕见解析，【解析】【分析】〔1〕利用及求得，从而得到通项公式．〔2〕利用定义证明等差数列，并利用公式求和．【详解】〔Ⅰ〕设等比数列的公比为，依题意．由得，解得．故．〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕得．故，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以．【点睛】一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：〔1〕证明；〔2〕证明：.中，其中角所对的边分别为．求角A的大小；假设，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理得到边的二次关系式，从而得到的值，也就得到了的大小．〔2〕利用正弦定理可得，利用以及三角变换得到，利用的范围可得的取值范围．【详解】〔1〕由正弦定理得，整理得到，故．又，故,〔2〕因为，，所以，故因为，所以，故，故．【点睛】在解三角形中，假设题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或者余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或者角的关系式.有如下性质：假设常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．假设，函数在上的最小值为4，求a的值；对于中的函数在区间A上的值域是，求区间长度最大的注：区间长度区间的右端点区间的左断点；假设中函数的定义域是解不等式．【答案】(1)(2)(3)或者【解析】【分析】〔1〕单调增区间和减区间是以作为分界点，从而讨论的大小关系后可得最小值，再利用最小值为求出．〔2〕因为且其最小值为，故，在的左端点或者右端点取最大值，故可得左端点或者右端点的值，从而可求出区间长度最长的．〔3〕利用函数的单调性得到关于的不等式组，解之即得解集．【详解】〔1〕由题意得函数在上单调递减，在上单调递增，当时，即时函数在处获得最小值，故，解得，当时，即时，函数在处获得最小值，故，解得不符合题意，舍去．综上可得．〔2〕由〔1〕得，又时函数获得最小值，令，那么，解得或者，又，故区间长度最大的．〔3〕由〔1〕知函数在上单调递增，故原不等式等价于，解得或者，故不等式的解集．【点睛】函数常称为“双勾函数〞，它在，上是减函数，在，上是增函数，注意不是双勾函数，该函数在上是增函数，在上是减函数．。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高一数学5月月考试题（含解析）______年______月______日____________________部门数学试卷考生注意：1、考试时间120分钟，总分150分。

2、所有试题必须在答题卡上作答否则无效。

3、交卷时只交答题卡，请认真填写相关信息。

第I卷（选择题，共60分）一、单项选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将答案填写在答题卡的相应位置。

）1。

1。

已知集合A=，B=，则 ( )A。

B。

C。

D。

【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的运算求解。

【详解】由题得{2}，故答案为：B【点睛】本题主要考查交集的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平。

2。

2。

已知成等比数列，则( )A。

6 B。

C。

-6 D。

【答案】B【解析】【分析】由等比中项的性质得即得解。

【详解】由等比中项的性质得，所以。

故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等比中项的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力。

(2)如果成等比数列，则3。

3。

的内角A、B、C的对边分别为a、b、已知，则A。

B。

C。

2 D。

3【答案】D【解析】，由余弦定理可得：，整理可得：，解得：或舍去．故选：D．4。

4。

已知，，，则( )A。

B。

C。

D。

【答案】A【解析】【分析】先证明c<0,a>0,b>0，再利用指数函数的图像和性质比较a和b的大小得解。

【详解】由题得a>0,b>0。

，所以c最小。

因为，。

所以。

故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查指数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。

(2) 实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比。

多用作差法和作商法,多用函数的图像和性质。

5。

5。

已知，且是第四象限角，则的值是( )A。

B。

C。

D。

【答案】B【解析】【分析】先化简已知得到，再化简=，再利用平方关系求值得解。