2019-2020学年江苏省扬州中学高一下学期5月月考数学试卷 (解析版)

2019—2020学年度第二学期期末检测试题高一数学一､单项选择题1.直线310x +=的倾斜角为（ ） A.6π B. 3πC.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线310x +=，则3333y x =+， 设直线的倾斜角为α， 所以3tan 3α=， 所以6πα=.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若60,3A a =︒=sin sin b cB C++等于（ ） A.1233 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理可求sin sin b cB C++的值.【详解】因为60,A a =︒=2sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+=====+.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，注意在ABC 中， sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++，最后一个关系式应用了比例的性质（等比定理）.3.已知以()4,3C -为圆心的圆与圆221x y +=相内切，则圆C 的方程为（ ）A. ()()224336x y -++= B. ()()224316x y ++-= C. ()()224336x y ++-= D. ()()224316x y -++=【答案】C 【解析】 【分析】先判断点()4,3C -在圆221x y +=的外部，然后设所求圆的半径为r ，再由15r -==求解.【详解】因为()2243251-+=>， 所以点()4,3C -在圆221x y +=的外部，设以()4,3C -为圆心的圆的半径为：r ，则15r -==，解得6r =，所以所求圆的方程为：()()224336x y ++-=. 故选：C【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据BC ⊥平面11CDD C ，可知1BC CD ⊥，同时BC CD ⊥，可知二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ，即可得结果. 【详解】由题可知：在正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C 由1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又BC CD ⊥ 所以二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ， 因为1=CD DD ，则1=4π∠DCD故选：B【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题. 5.若128,,,x x x 的方差为3，则1282,2,,2x x x 的方差为（ ）6 B. 3 C. 6D. 12【答案】D 【解析】 【分析】 本题可根据128,,,x x x 的方差为3以及方差的计算公式得出结果.【详解】因为128,,,x x x 的方差为3，所以1282,2,,2x x x 的方差为23212，故选：D.【点睛】本题考查方差的相关性质，若128,,,x x x 的方差为k ，则128,,,nx nx nx 的方差为2kn ，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.6.已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（ ）B.C. D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得球的表面积，设圆锥高为h ，进而可表示出母线l ，由圆锥侧面展开图为扇形，根据扇形面积公式，可求得圆锥的侧面积，加上底面圆的面积，即可表示出圆锥的表面积，结合题意可求得高h 的值.【详解】由题意可得球的表面积2244216S r πππ==⨯=，设圆锥的高为h ，则圆锥的母线l =，则圆锥的侧面积=2S rl ππ=扇，所以圆锥的表面积24216S r S ππππ=+=+=锥扇，解得h =故选B.【点睛】本题考查球及圆锥的表面积的求法，需熟记各个几何体的面积公式及求法，属基础题.7.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos a C b =，则ABC 的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式即可判断.【详解】由2cos 2sin cos sin a C b A C B =⇒=2sin cos sin()sin()A C A C A C π⇒=--=+2sin cos sin cos cos sin A C A C A C ⇒=+sin cos cos sin A C A C ⇒= sin cos cos sin 0A C A C ⇒-= ()sin 0A C ⇒-=A C ⇒=.所以ABC 的形状一定是等腰三角形. 故选：C【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 8.已知平面α、平面γ、平面β、直线a 以及直线b ，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若//,a b αα⊥，则a b ⊥ B. 若//,,a b αβαγβγ⋂=⋂=，则//a bC. 若//,a αβα⊥，则a β⊥D. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβ【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可通过线面平行、线面垂直、面面平行的性质判断出选项A 、B 、C 是正确的，然后绘出正方体ABCD EFGH -，再然后令平面ABCD 是平面α、平面ADHE 是平面γ以及平面CDHG 是平面β，最后结合图像即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为//a α，b α⊥，所以a b ⊥，a b ⊥，故A 正确； B 项：因为两平面平行，分别与第三个平面相交，交线平行， 所以根据//αβ、a αγ⋂=、b βγ=可证得//a b ，故B 正确；C 项：因为a α⊥，所以a 垂直于平面α内的两条相交直线，因为//αβ，所以平面α内的两条相交直线必与平面β内的两条相交直线对应平行， 所以a 垂直于平面β内的两条相交直线，a β⊥，故C 正确；D 项：如图所示，绘出正方体ABCD EFGH -，令平面ABCD 是平面α，平面ADHE 是平面γ，平面CDHG 是平面β， 则满足αγ⊥，βγ⊥，但是//αβ不成立，故D 错误， 故选：D.【点睛】本题考查直线与直线、平面与平面之间位置关系的判断，考查两直线平行或垂直的判定，考查两平面垂直或平行的判定，考查推理能力，可结合图形解题，是简单题. 9.在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且满足223tan 2tan 30AD BD CD B A ==-+=，，则B ∠的大小为（ ） A.6πB.3π C.4π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设1DAC ∠=∠，在相应三角形中应用正弦定理得到等量关系式，化简得到tan 3tan B A =，与已知条件联立，求得tan 1B =，利用三角形内角的取值范围，求得角的大小.【详解】设1DAC ∠=∠，因为AD BD =，所以BAD B =∠∠， 因为2AD BD CD ==，2BD ADCD CD==，1=A B ∠∠-∠，()C A B π∠=-∠+∠，sin sin()tan tan 2sin 1sin()tan tan AD C A B A BCD A B A B++====∠--，化简得tan 3tan B A =， 又因为23tan 2tan 30B A -+=， 所以有23tan 6tan 30B B -+=，解得tan 1B =，又因为(0,)B π∈，所以4B π=，故选：C.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，属于简单题目. 二､多项选择题10.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据下列条件解三角形，有两解的是（ ）A. 2120a ,B ===B. 245a ,b ===C. 3,60b c B ︒===D. 60a b B ︒===【答案】BD 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求出相应角的正弦值，再根据大边对大角得到结论.【详解】A.因为2120a ,B ===，由正弦定理得：sin sin a bA B=， 所以1206a sin B sin Ab ==因为a b <， 所以120A B <= 即A 为锐角，只有一解；B. 因为245a ,b ===，由正弦定理得：sin sin a b A B=，所以6a sin B sin Ab === 因为a b >， 所以45A B >=，即A 为锐角或钝角，有两解；C. 因为3,60b c B ︒===，由正弦定理得：sin sin c bC B=，所以12c sin B sinC b ===， 因为b c >， 所以60C B <=， 即C 为锐角，有一解；D. 因为60a b B ︒===，由正弦定理得：sin sin a b A B=，所以sin sin a B A b ===， 因为a b >， 所以60A B >=即A 为锐角或钝角，有两解. 故选：BD【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形解的个数问题，还考查了运算求解，分析问题的能力，属于中档题.11.已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】AB 【解析】 【分析】考虑M 点在圆内时实数a 的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <.又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.【点睛】本题考查圆的一般方程和点与圆的位置关系，对于含参数的圆的一般方程，我们需要通过配方化一般方程为标准方程得到参数满足的条件（半径的平方恒正）.12.如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，6AP =，AB a .若在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π.则实数a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】ABC 【解析】 【分析】由题，可算得3AQ =，在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π，等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为3a 的取值范围. 【详解】假设在直线BC 上有一点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角为3π，此时，易得3PQA π∠=，在Rt APQ 中，由于6AP =，可得3AQ =.所以，在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π，等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为3023a <<故选：ABC【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的存在性问题，考查学生分析问题的能力和转化能力，体现了数形结合的数学思想. 三､填空题13.口袋中有若干红球､黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为________. 【答案】0.8 【解析】 【分析】首先求摸出蓝球的概率，再根据互斥事件和的概率求解.【详解】口袋里摸出红球，摸出黄球，摸出蓝球是互斥事件，所以从口袋中摸出蓝球的概率是10.40.20.4--=，所以摸出红球或蓝球的概率是0.40.40.8P =+=. 故答案为：0.8【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型.14.已知点(1,3)A 与直线:l 340x y ++=，则点A 关于直线l 的对称点坐标为___________.【答案】(5,1)- 【解析】 【分析】设点(1,3)A 关于直线340x y ++=的对称点(,)A a b '，利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出,a b 的值即可.【详解】设点(1,3)A 关于直线340x y ++=的对称点(,)A a b '，则由3(3)11133++4022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪⨯=⎪⎩，解得5,1a b =-=，故点(5,1)A '-， 故答案为：()5,1-.【点睛】本题主要考查了求一个点关于直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上两个条件及中点坐标公式，属于中档题.15.如图，为测量两座山顶之间的距离MC ，已知山高52km BC =，7.5km MN =，从观测点A 分别测得M 点的仰角30,MAN ∠=C 点的仰角45CAB ∠=︒以及60MAC ∠=︒，则两座山顶之间的距离MC =________km .【答案】7【解析】 【分析】根据已知分别在,Rt AMN Rt ABC △△中，求出,AM AC ，在AMC 中，用余弦定理，即可求解.【详解】在Rt AMN △中，30,2157.5,M MAN AM M N N ∠==∴==， 在Rt ABC 中，45,21052,CAB AC B B C C ∠==︒∴==，在AMC 中，2222cos MC AM AC AM AC MAC =+-⋅∠2211510215101752=+-⨯⨯⨯= 57()MC km ∴=.故答案为：57.【点睛】本题考查解三角形实际应用问题，涉及直角三角形边角关系以及余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.16.如图，三棱锥B ACD -中，平面BCD ⊥平面ACD ，0660CD BDC =∠=，，若32BC BD AC AD ==，，则该三棱锥的体积的最大值为____________.【答案】63【解析】 【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式求出BCD 的面积，再以CD 为x 轴，CD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设出点(),A x y ，由2AC AD =，利用两点间的距离公式求出y 的最大值，由棱锥的体积公式即可求解.【详解】在BCD 中，由0660CD BDC =∠=，，3BC BD =， 设BD x =，则3BC x ，由余弦定理可得2233626cos60x x x =+-⨯⨯， 解得3x =， 所以11393sin 60362222BCDSDC DB =⋅⋅=⨯⨯⨯=过A 作AP CD ⊥，垂足为P ， 因为平面BCD ⊥平面ACD ， 所以AP ⊥平面BCD ， 即AP 为三棱锥B ACD -的高，以CD 为x 轴，CD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()3,0C -，()3,0D ， 设(),A x y ，由2AC AD =， ()()2222323x y x y ++=-+整理可得()22221090,516x y x x y +-+=-+=， 当5x =时，y 取得最大值4， 所以三棱锥的体积的最大值为14633B ACD BCDV S -=⋅⨯=，故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、锥体的体积公式，属于中档题. 四､解答题17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos A c B b C a += （1）求角A ；（2）若23a =ABC ∆3，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）2326【解析】 【分析】(1)首先可以根据正弦定理边角互化以及三角恒等变换将()2cos cos cos A c B b C a +=转化为1cos 2A =，然后根据()0,A π∈即可求出角的值； (2)首先可根据解三角形面积公式得出4bc =，然后根据余弦定理计算出26b c +=求出ABC ∆的周长.【详解】(1)由已知及正弦定理得：()2cos A sinC cos B sinBcosC sin A +=，()2cos sin sin A B C A +=， 因为,,A B C 是ABC ∆的内角，所以()()sin sin sin B C A A π+=-=，2cos sin sin A A A =，因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π∠=，(2)因为1sin 2ABC S bc A ∆=，所以1sin 23bc π=4bc =，由已知及余弦定理可知：a =2222cos a b c bc A =+-， 故()21222cos3b c bc bc π=+--，解得b c +=ABC ∆的周长为【点睛】本题考查三角恒等变换以及解三角形的相关公式的使用，考查的公式有()sinC cos B sinBcosC sin B C +=+、2222cos a b c bc A =+-、1sin 2ABC S bc A ∆=，考查正弦定理边角互化的应用，考查化归与转化思想，是中档题.18.已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点()1,0E ，AD 边所在直线的方程为220x y ++=.点()2,1F -在AB 边所在直线上.求： （1）AB 边所在直线的方程； （2）CD 边所在直线的方程.【答案】（1）240x y --=；（2）220x y .【解析】 【分析】（1）由ABCD 为矩形，得AD AB ⊥，故12AB k =，点()2,1F -在AB 边所在直线上，点斜式写出AB 边所在直线的方程；（2）方法一：设直线CD 的方程为20x y m -+=.由点E 到,AB CD 的距离相等，求出m ，即得直线CD 的方程. 方法二：由直线AB 、AD 的方程联立，求出点A 的坐标，求出点A 关于点E 的对称点C 的坐标.由//AB CD ，即可求出直线CD 的方程.【详解】（1）ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥.AD 边所在的直线方程为：220x y ++=，∴AB 所在直线的斜率为12AB k =， ()21F ,-在AB 边所在直线上，∴AB 边所在直线的方程为()1122y x +=-， 即240x y --=. （2）方法一：ABCD 为矩形，∴//AB CD .∴设直线CD 的方程为20x y m -+=.矩形ABCD两条对角线相交于点()1,0E ，∴点E 到,AB CD 的距离相等，=2m =或4m =-(舍). ∴CD 边所在的直线方程为220x y .方法二：由方程240x y --=与220x y ++=联立得()0,2A -，∴点A 关于点E 的对称点()2,2C .//AB CD ，∴CD 边所在的直线方程为220x y .【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.19.某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组[60,80)，第五组[]80,100，得到频率分布直方图，如图所示.（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率. 【答案】（1）65人；（2）815. 【解析】 【分析】（1）由直方图，求出打分值[)60100,的频率，根据总人数为100即可求解.（2）由直方图求出第二组和第三组的人数之比为1：2，利用列举法求出6人中随机抽取2人的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由直方图知，所打分值[)60100,的频率为00175200015020065...⨯+⨯=，∴ 人数为1000.6565⨯=(人)答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人. （2）由直方图知，第二､三组的频率分别为0.1和0.2， 则第二､三组人数分别为10人和20人， 所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中， 第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2人，记为,A B ；第三组有4人，记为a b c d ,,,. 从中随机抽取2人的所有情况如下：,,,,,,,,,ab,ac,ad,bc,bd,cd AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共15种其中，两人来自不同组的情况有：,,,,,,,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共8种∴ 两人来自不同组的概率为815答：行风监督员来自不同组的概率为815.【点睛】本题考查了频率分布直方图、分层抽样、古典概型的概率计算公式，属于基础题. 20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC a ===，2ACB π∠=，点D 为BC 中点，连接1A C ､1AC 交于点E ，点F 为1DC 中点.（1）求证： //EF 平面ABC ；（2）求证：平面1ACB ⊥平面1AC D ； （3）求点C 到平面1AC D 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）63a . 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线性质可得//EF AD ，然后再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）根据题意可证11A C AC ⊥，BC ⊥1AC ，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理即可证出.（3）方法一：利用等体法11C ACD C AC D V V --=即可求解；方法二：利用综合法，作CG AD ⊥，垂足为G ，连接1C G ，作1CH C G ⊥，垂足为H ，证出CH 为点C 到平面1AC D 的距离，在直角1C CG ∆中，求解即可. 【详解】（1）直三棱柱111ABC A B C -，∴四边形11ACC A 为平行四边形E ∴为1AC 的中点F 为1DC 的中点，//EF AD ∴又EF ⊄平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴ //EF 平面ABC（2）四边形11ACC A 为平行四边形，1AC CC =∴平行四边形11ACC A 菱形，即11A C AC ⊥三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱∴1C C ⊥平面ABCBC ⊂平面ABC∴1C C ⊥BC ，2ACB π∠=BC AC ∴⊥BC 1C C ⊥，1C C AC C ⋂=，1,C C AC ⊂平面11ACC A BC ∴⊥平面11ACC A1AC ⊂平面11ACC A ，BC ∴⊥1AC ，11A C AC ⊥，1BC AC C =，,BC 1A C ⊂平面1A CB ， 1AC ∴⊥平面1A CB ，1AC ⊂平面1AC D ， ∴ 平面1AC D ⊥平面1A CB（3）法一：(等体积法)连接DE ，设点C 到平面1AC D 的距离为h1C C ⊥平面ABC ，CA,CD ⊂平面ABC ，11C C CA,C C CD ∴⊥⊥，1C C 为三棱锥1C ACD -高，在直角1C CA ∆中，12AC CC a ==，122AC a ∴=. 在直角1C CD ∆中，12CD a,CC a ==，15CD a ∴=.在直角ACD ∆中，2CD a,AC a ==，5AD a ∴=，2ACD S a ∆∴=. 在等腰1AC D ∆中，11522DA DC a,AC a ===，3DE a ∴=，126DAC S a ∆∴=11C ACD C AC D V V --=，111133ACD AC D C C S h S ∆∆∴⨯⨯=⨯⨯ 2266h a a == ∴ 点C 到平面1AC D 的距离为6a方法二：(综合法)作CG AD ⊥，垂足为G ，连接1C G ，作1CH C G ⊥，垂足为H .1C C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC1C C AD ∴⊥CG AD ⊥，1CG C C C =，1CG,C C ⊂平面1C CG AD ∴⊥平面1C CGCH ⊂平面1C CGAD CH ∴⊥ 1CH C G ⊥，1ADC G G =，1C G,AD ⊂平面1AC D ，CH ∴⊥平面1AC D ， 即CH 为点C 到平面1AC D 的距离，在直角ACD ∆中，5CG =；在直角1C CG ∆中，125C C a,CG ==，11265245a C C CGCH aC Ga ⨯⨯∴=== ∴ 点C 到平面1AC D 的距离为63a .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离，属于中档题.21.如图，我炮兵阵地位于A 处，两移动观察所分别设于,C D .已知ACD 为正三角形.当目标出现于B 时，测得1BC =千米，2BD =千米.（1）若测得60DBC ∠=，求ABC 的面积；（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B 是否在我方炮火射程范围内？ 【答案】（1）34；（2）目标B 是在我方炮火射程范围内. 【解析】 【分析】（1）在BCD 中，由余弦定理求得CD ，则有222BD CD BC =+，得到2BCD π∠=，然后由1sin 223ABCSCA CB ππ⎛⎫=⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭求解.（2）设CBD ,CDB αβ∠=∠=，在BCD 中，由余弦定理得到2254cos CD AD α=-=， 在ABD 中，由余弦定理得到22223AB BD AD BD ADcos πβ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，将BD ，AD 代入利用三角恒等变换化简得到2546AB sin πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）在BCD 中，由余弦定理得：2222CD BC BD BD BC cos DBC =+-⋅⋅∠， 21423CD ∴=+-=， 222BD CD BC =+，2BCD π∴∠=，11sin 2234ABCSππ⎛⎫∴=⨯+=⎪⎝⎭. （2）设CBD ,CDB αβ∠=∠= 在BCD 中，254cos CD α=-，1CDsin sin βα=， sin sin CD βα=，在ABD 中，22223AB BD AD BD ADcos πβ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭ ，942cos AD cos sin αββ=--+，942cos αα=--94cos αα=--， ()9422cos cos ααα=---+，5496sin πα⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭(当且仅当23πα=时，AB 取到最大值)∴ max 3AB =4<，在射程范围内. 答：目标B 在我方炮火射程范围内.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知圆2221:()(0)C x a y r r -+=>，圆心1C 在直线240x y ++=上，且直线40x ++=被圆1C 截得的弦长为（1）求圆1C 的方程；（2）过圆222:(6)4C x y -+=上任一点()00,Q x y 作圆1C 的两条切线，设两切线分别与y 轴交于点M 和N ，求线段MN 长度的取值范围. 【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）⎡⎢⎣. 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上可知a ，利用弦心距、半径、半弦长的关系即可求出半径，得到圆的方程；（2）设切线方程为()00y k x x y =-+，求出M ，N ，表示出210MN k k x =-，利用圆心到切2=，化简可得1212,k k k k +，代入210MN k k x =-，换t ，求值域即可. 【详解】（1）圆心()1,0C a 在直线240x y ++=上2a ∴=-圆心1C到直线40x ++=的距离1d =∴直线40x +=被圆1C截得的弦长为=2r∴圆1C 的方程22(2)4x y ++=（2）设过点Q 的圆1C 的切线方程为()00y k x x y =-+2=，整理､化简成关于k 的方程()()22200000044240x x k y x y k y +-++-=，①判别式()()()2222200000000042444161664y x y y x x x y x ∆=+--+=++，00k ∴=.直线()00y y k x x -=-与y 轴的交点为()000,y kx -设()()0100200,,0,M y k x N y k x --，则210MN k k x =-，而21,k k 是方程①的两根，则2100MN k k x =-=，又()220064x y -+=，[])000||4,8MN x ∴==∈()t t ∈，21616||66t MN t t t==++由于函数6t t+在区间是单调递减，所以max min |||MN MN =MN ⎡∴∈⎢⎣【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求法，圆的弦的性质，圆的切线，点到直线的距离，考查了推理能力，运算能力，属于难题.。

2018-2019学年江苏省扬州中学高一（下）5月月考数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.3分）设△ABC的内角A.B.C所对边分别为a.b.c.若a=3. b=√3 . A=π3.则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π32.（单选题.3分）已知圆的方程是（x-2）2+（y-3）2=4.则点P（3.2）满足（）A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外3.（单选题.3分）在△ABC中.已知a=2.B=45°.b=1.则该三角形（）A.无解B.有一解C.有两解D.不能确定4.（单选题.3分）设m.n是两条不同的直线.α.β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A.若m || α.m || β.则α || βB.若m⊥α.m⊥n.则n⊥αC.若m⊥α.m || n.则n⊥αD.若α⊥β.m⊥α.则m || β5.（单选题.3分）下列说法的错误的是（）A.经过定点P（x0.y0）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y-y0=k（x-x0）B.经过定点A（0.b）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y=kx+bC.不经过原点的直线的方程都可以表示为xa +yb=1D.经过任意两个不同的点P1（x1.y1）、P2（x2.y2）直线的方程都可以表示为（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1）6.（单选题.3分）已知圆x2+y2-4x+a=0截直线x−√3y=0所得弦的长度为2√3 .则实数a的值为（）A.-2B.0C.2D.67.（单选题.3分）与直线2x+y-1=0关于点（1.0）对称的直线方程是（）A.2x+y-3=0B.2x+y+3=0C.x+2y+3=0D.x+2y-3=08.（单选题.3分）圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条.则二面角A-9.（单选题.3分）已知矩形ABCD的两边AB=3.AD=4.PA⊥平面ABCD.且PA=45BD-P的正切值为（）A. 12B. 13C. −12D. −1310.（单选题.3分）f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为（）A. 2√5B. 5√2C.4D.811.（填空题.3分）已知a.b.c分别为△ABC的三个内角A.B.C所对的边.且a2+b2=ab+c2.则∠C=___ ．12.（填空题.3分）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍.则侧棱与底面所成角的余弦值为___ ．13.（填空题.3分）过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点.且垂直于直线x-2y=0的直线方程是___ ．14.（填空题.3分）一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上.如果该四棱柱的底面是对角线长为√2 cm的正方形.侧棱与底面垂直.则该四棱柱的表面积为___ ．15.（填空题.3分）若圆（x-5）2+（y-1）2=r2（r＞0）上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1.则实数r的取值范围为___ ．16.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.圆O：x2+y2=1.圆C：（x-4）2+y2=4．若存在过点P（m.0）的直线l.l被两圆截得的弦长相等.则实数m的取值范围___ ．17.（问答题.0分）如图.在三棱锥A-BCD中.E.F分别为棱BC.CD上的三等份点.DF=2FC.BE=2EC．（1）求证：BD || 平面AEF；（2）若BD⊥CD.AE⊥平面BCD.求证：平面AEF⊥平面ACD．bcsinA+ 18.（问答题.0分）在△ABC中.a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边.且b2−2√33c2=a2．（1）求角A；（2）若4sinBsinC=3.且a=2.求△ABC的面积．19.（问答题.0分）设直线l1：mx-2my-6=0与l2：（3-m）x+my+m2-3m=0.且l1 || l2．（1）求l1.l2之间的距离；（2）求l1关于l2对称的直线方程．20.（问答题.0分）已知圆C1：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0．（1）求证两圆相交；（2）求两圆公共弦所在直线的方程；（3）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程．21.（问答题.0分）如图.三棱锥P-ABC中.△ABC、△APC均为等腰直角三角形.且PA=PC=BA=BC=2 √2 .若平面PAC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：PB⊥AC；（Ⅱ）点M为棱PA上靠近A点的三等分点.求M点到平面PCB的距离．22.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy中.已知圆C的方程为（x-1）2+y2=4.M点的坐标为（3.-3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A.B.且圆C交x轴正半轴于点P.求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．2018-2019学年江苏省扬州中学高一（下）5月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.3分）设△ABC的内角A.B.C所对边分别为a.b.c.若a=3. b=√3 . A=π3.则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π3【正确答案】：A【解析】：由已知及正弦定理可求sinB= bsinAa = 12.利用大边对大角可求B为锐角.利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．【解答】：解：∵a=3. b=√3 . A=π3.∴由正弦定理可得：sinB= bsinAa = √3×√323= 12.∵a＞b.B为锐角.∴B= π6．故选：A．【点评】：本题主要考查了正弦定理.大边对大角.特殊角的三角函数值在解三角形中的应用.属于基础题．2.（单选题.3分）已知圆的方程是（x-2）2+（y-3）2=4.则点P（3.2）满足（）A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【正确答案】：C【解析】：计算点P与圆心的距离.与半径比较.即可得到结论．【解答】：解：因为（3-2）2+（2-3）2=2＜4.所以点P（3.2）在圆内．故选：C．【点评】：本题考查点与圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于基础题．3.（单选题.3分）在△ABC中.已知a=2.B=45°.b=1.则该三角形（）A.无解B.有一解C.有两解D.不能确定【正确答案】：A【解析】：由正弦定理求出sinA= √2即得解．【解答】：解：由正弦定理得：2sinA =1sinπ4.可得：sinA= √2＞1．所以A无解.所以三角形无解．故选：A．【点评】：本题主要考查正弦定理.考查三角形解的个数的判断.意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．4.（单选题.3分）设m.n是两条不同的直线.α.β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A.若m || α.m || β.则α || βB.若m⊥α.m⊥n.则n⊥αC.若m⊥α.m || n.则n⊥αD.若α⊥β.m⊥α.则m || β【正确答案】：C【解析】：在A中.α与β相交或平行；在B中.n || α或n⊂α；在C中.由线面垂直的判定定理得n⊥α；在D中.m与β平行或m⊂β．【解答】：解：设m.n是两条不同的直线.α.β是两个不同的平面.则：在A中.若m || α.m || β.则α与β相交或平行.故A错误；在B中.若m⊥α.m⊥n.则n || α或n⊂α.故B错误；在C中.若m⊥α.m || n.则由线面垂直的判定定理得n⊥α.故C正确；在D中.若α⊥β.m⊥α.则m与β平行或m⊂β.故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．5.（单选题.3分）下列说法的错误的是（）A.经过定点P（x0.y0）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y-y0=k（x-x0）B.经过定点A（0.b）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y=kx+bC.不经过原点的直线的方程都可以表示为xa +yb=1D.经过任意两个不同的点P1（x1.y1）、P2（x2.y2）直线的方程都可以表示为（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1）【正确答案】：C【解析】：由点斜式方程可判断A；由直线的斜截式可判断B；讨论直线的截距是否为0.可判断C；由两点的直线方程可判断D．【解答】：解：经过定点P（x0.y0）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y-y0=k（x-x0）.故A正确；经过定点A（0.b）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y=kx+b.故B正确；不经过原点的直线的方程可以表示为xa +yb=1或x=a或y=b.故C错误；过任意两个不同的点P1（x1.y1）、P2（x2.y2）直线的方程都可以表示为：（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1）.故D正确．故选：C．【点评】：本题考查直线方程的适用范围.注意直线的斜率是否存在.以及截距的定义.考查判断能力和推理能力.是基础题．6.（单选题.3分）已知圆x2+y2-4x+a=0截直线x−√3y=0所得弦的长度为2√3 .则实数a的值为（）A.-2B.0C.2D.6【正确答案】：B【解析】：圆x2+y2-4x+a=0的圆心C（2.0）.半径r= √4−a .圆心C（2.0）到直线x- √3y= 0的距离d=√1+3=1.从而2 √r2−d2 =2 √4−a−1 =2 √3 .由此能求出a．【解答】：解：圆x2+y2-4x+a=0的圆心C（2.0）.半径r= 12√16−4a = √4−a .∵圆x2+y2-4x+a=0截直线x−√3y=0所得弦的长度为2√3 .圆心C（2.0）到直线x- √3y=0的距离d=√1+3=1.∴2 √r2−d2 =2 √4−a−1 =2 √3 .解得a=0．故选：B．【点评】：本题考查实数值的求法.考查点到直线的距离公式、圆的性质等基础知识.考查运用求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．7.（单选题.3分）与直线2x+y-1=0关于点（1.0）对称的直线方程是（）A.2x+y-3=0B.2x+y+3=0C.x+2y+3=0D.x+2y-3=0【正确答案】：A【解析】：设2x+y-1=0关于点（1.0）对称的直线方程是2x+y+c=0.√22+1 =√22+1.解出c讨论即可．【解答】：解：设2x+y-1=0关于点（1.0）对称的直线方程是2x+y+c=0.则√22+1 =√22+1.解得c=-1或c=-3.当c=-1时为直线2x+y-1=0.不符合题意.所以c=-3.故选：A．【点评】：本题考查了直线关于点的对称直线的求法.属于基础题．8.（单选题.3分）圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【正确答案】：D【解析】：根据题意.把两个圆方程化成标准方程.分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径.比较圆心距与两圆半径和与差的关系.判断出两圆的位置关系.进而分析可得答案．【解答】：解：根据题意.圆x2-4x+y2=0.即（x-1）2+y2=4.其圆心坐标为（2.0）半径为2；圆x2+y2+4x+3=0.即圆（x+2）2+y2=1.其圆心坐标为（-2.0）半径为1；则两圆的圆心距为4.两圆半径和为3.因为4＞3.所以两圆的位置关系是外离.故两圆的公切线共有4条．故选：D．【点评】：本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径.比较圆心距与两圆半径和差的关系．9.（单选题.3分）已知矩形ABCD的两边AB=3.AD=4.PA⊥平面ABCD.且PA=4.则二面角A-5BD-P的正切值为（）A. 12B. 13C. −12D. −13【正确答案】：B【解析】：过A作AO⊥BD.交BD于O.连结PO.推导出∠POA是二面角A-BD-P的平面角.由此能求出二面角A-BD-P的正切值．【解答】：解：过A作AO⊥BD.交BD于O.连结PO.∵矩形ABCD的两边AB=3.AD=4.PA⊥平面ABCD.且PA= 45. ∴BD= √32+42 =5.PO⊥BD.∴∠POA是二面角A-BD-P的平面角.∵ 1 2 ×BD×AO= 12×AB×AD.∴AO= AB×ADBD = 125.∴tan∠POA= PAAO =45125= 13．∴二面角A-BD-P的正切值为13．故选：B．【点评】：本题考查二面角的正切值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．10.（单选题.3分）f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为（）A. 2√5B. 5√2C.4D.8【正确答案】：B【解析】：将f（x）= √x2+4x+20 + √x2+2x+10 = √(x+2)2+(0−4)2 +√(x+1)2+(0−3)2变形.然后利用数形结合的思想.进而可以解答．【解答】：解：f（x）= √x2+4x+20 + √x2+2x+10 = √(x+2)2+(0−4)2 +√(x+1)2+(0−3)2可以看作是点x轴上的点M（x.0）到点（-2.4）（-1.3）距离和的最小值.由两点之间线段最短可知.做B点关于x轴的对应点B′线段|AB|=5 √2的长即为所求．故选：B．【点评】：本题主要考查数形结合的思想.转化思想.两点间距离公式．11.（填空题.3分）已知a.b.c分别为△ABC的三个内角A.B.C所对的边.且a2+b2=ab+c2.则∠C=___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：把已知的等式变形后.得到一个关系式.然后利用余弦定理表示出cosC.把变形后的关系式代入即可求出cosC的值.根据C的范围.利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数．【解答】：解：因为a2+b2=ab+c2.即a2+b2-c2=ab.则cosC= a 2+b2−c22ab= ab2ab= 12.又C∈（0.180°）.所以∠C=60°．故答案为：60°【点评】：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值.考查了整体代入的数学思想.是一道基础题．12.（填空题.3分）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍.则侧棱与底面所成角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] √36【解析】：首先利用正三棱锥的性质.设底面边长为AB=a.进一步求得侧棱长为：AC=2a.顶点A在下底面的射影为O点．利用勾股定理求得：DE= √3a2 .进一步求得：OD= √33a .最后在Rt△AOD中.利用余弦公式求的结果．【解答】：解：正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍.如图.设底面边长为BC=a.则：侧棱长为：AC=2a顶点A 在下底面的射影为O 点．利用勾股定理求得：DE= √3a 2 进一步求得：OD= √33a在Rt△AOD 中.cos∠ADO=√33a 2a = √36【点评】：本题考查的知识要点：正三棱锥的性质.线面的夹角及相关的运算．13.（填空题.3分）过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点.且垂直于直线x-2y=0的直线方程是___ ．【正确答案】：[1]2x+y-8=0【解析】：联立已知的两直线方程得到一个二元一次方程组.求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标.所求的直线过交点坐标.然后由两直线垂直时斜率的乘积等于-1.根据已知直线x-2y=0的斜率即可得到所求直线的斜率.根据一点坐标和求出的斜率写出所求直线的方程即可．【解答】：解：联立得： {2x −y +4=0①x −y +5=0②. ① - ② 得：x=1.把x=1代入 ② .解得y=6.原方程组的解为： {x =1y =6所以两直线的交点坐标为（1.6）.又因为直线x-2y=0的斜率为 12 .所以所求直线的斜率为-2.则所求直线的方程为：y-6=-2（x-1）.即2x+y-8=0．故答案为：2x+y-8=0【点评】：此题考查学生会求两直线的交点坐标.掌握两直线垂直时斜率满足的关系.会根据一点坐标和斜率写出直线的方程.是一道基础题．14.（填空题.3分）一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上.如果该四棱柱的底面是对角线长为√2 cm的正方形.侧棱与底面垂直.则该四棱柱的表面积为___ ．【正确答案】：[1]（2+4 √2）cm2【解析】：设这个四棱柱的侧棱长为a.推导出该四棱柱的底面是边长为1cm的正方形.且√12+12+a2=1.求出a= √2 .由此能求出该四棱柱的表面积．2【解答】：解：设这个四棱柱的侧棱长为a.∵四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上.该四棱柱的底面是对角线长为√2 cm的正方形.侧棱与底面垂直.∴该四棱柱的底面是边长为1cm的正方形.∴ √12+12+a2=1.解得a= √2 .2∴该四棱柱的表面积S= 2×12+4×1×√2 =2+4 √2（cm2）．故答案为：（2+4 √2）cm2．【点评】：本题考查四棱柱的表面积的求法.考查棱柱及其外接球的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．15.（填空题.3分）若圆（x-5）2+（y-1）2=r2（r＞0）上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1.则实数r的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]4＜r＜6【解析】：先求出圆心到直线的距离.将此距离和圆的半径结合在一起考虑.求出圆上有三个点到直线的距离等于1.以及圆上只有一个点到直线的距离等于1的条件.从而可得要求的r的范围．【解答】：解：∵圆（x-5）2+（y-1）2=r2（r＞0）的圆心坐标为（5.1）.半径为r.=5 .圆心到直线4x+3y+2=0的距离为d= |4×5+3×1+2|5当r=4时.圆上只有一个点到直线的距离等于1；当r=6时.圆上有三个点到直线的距离等于1；当4＜r＜6时.圆上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1．故答案为：4＜r＜6．【点评】：本题考查直线和圆的位置关系.点到直线的距离公式的应用.属于基础题．16.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy 中.圆O ：x 2+y 2=1.圆C ：（x-4）2+y 2=4．若存在过点P （m.0）的直线l.l 被两圆截得的弦长相等.则实数m 的取值范围___ ．【正确答案】：[1]-4＜m ＜43【解析】：根据弦长相等得1-√k 2+1 ）2=4-（ √k 2+1 2＞0有解.即 {13k 2−8k 2m −3=0k 2(1−m 2)+1＞0 .可解得．【解答】：解：显然直线l 有斜率.设直线l ：y=k （x-m ）.即kx-y-km=0.依题意得1-√k 2+1 ）2=4- √k 2+1 ）2＞0有解.即 {13k 2−8k 2m −3=0k 2(1−m 2)+1＞0 .∴ {k 2=313−8m k 2(1−m 2)+1＞0∴13-8m ＞0.所以消去k 2可得3m 2+8m-16＜0解得-4＜m ＜ 43. 故答案为：-4＜m ＜43 ．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系.属难题．17.（问答题.0分）如图.在三棱锥A-BCD 中.E.F 分别为棱BC.CD 上的三等份点.DF=2FC.BE=2EC ．（1）求证：BD || 平面AEF ；（2）若BD⊥CD .AE⊥平面BCD.求证：平面AEF⊥平面ACD ．【正确答案】：【解析】：（1）运用平行线截线段成比例的性质定理和线面平行的判定定理.即可得证；（2）由线面垂直的判定定理可推CD⊥平面AEF.再由面面垂直的判定定理.即可得证．【解答】：证明：（1）E.F分别为棱BC.CD上的三等份点.DF=2FC.BE=2EC.可得EF || BD.又BD⊄平面AEF.EF⊂平面AEF.可得BD || 平面AEF；（2）由BD⊥CD.EF || BD.可得EF⊥CD.又AE⊥平面BCD.可得AE⊥CD.而AE∩EF=E.可得CD⊥平面AEF.CD⊂平面ACD.可得平面AEF⊥平面ACD．【点评】：本题考查线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理.考查推理能力.属于基础题．bcsinA+ 18.（问答题.0分）在△ABC中.a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边.且b2−2√33c2=a2．（1）求角A；（2）若4sinBsinC=3.且a=2.求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）根据余弦定理和同角的三角函数的关系即可求出.（2）由正弦定理可得asinA =2R.则R= 2√33.再根据三角形的面积公式计算即可【解答】：解：（1）由题意可得b2+c2-a2=2bccosA= 2√33bcsinA. ∴tanA= √3 .∴A= π3.（2）由正弦定理可得asinA =2R.则R= 2√33.由正弦定理可得：a=2RsinA.b=2RsinB.∴S△ABC= 12 absinC= 12×2RsinA×2RsinB×sinC=2R2sinAsinBsinC．∴S△ABC=2R2sinAsinBsinC=2×（2√33）2× √32× 34= √3【点评】：本题考查了余弦定理和三角形的面积.属于基础题19.（问答题.0分）设直线l1：mx-2my-6=0与l2：（3-m）x+my+m2-3m=0.且l1 || l2．（1）求l1.l2之间的距离；（2）求l1关于l2对称的直线方程．【正确答案】：【解析】：（1）根据l1 || l2.所以m2+2m（3-m）=0.解得m=6.得到l1：x-2y-1=0.l2：x-2y-6=0.代入两平行线间的距离公式即可；（2）设l1关于l2对称的直线方程为x-2y+c=0.则该直线到l2的距离也为√5 .列方程求出c即可得到直线方程．【解答】：解：因为l1 || l2.所以m2+2m（3-m）=0.解得m=0（舍）或m=6.所以l1：x-2y-1=0.l2：x-2y-6=0.（1）直线l1与l2之间的距离d=√1+22= √5；（2）设l1关于l2对称的直线方程为x-2y+c=0.则√5 =√1+22.解得c=-11或c=-1.当c=-1时.直线与l1重合.舍去.所以l1关于l2对称的直线方程为：x-2y-11=0．【点评】：本题考查直线方程.考查直线与直线的位置关系.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．20.（问答题.0分）已知圆C1：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0．（1）求证两圆相交；（2）求两圆公共弦所在直线的方程；（3）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程．【正确答案】：【解析】：（1）将圆的方程化为标准方程.求出圆心距及半径.即可得两圆相交；（2）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程；（3）先求两圆的交点.进而可求圆的圆心与半径.从而可求圆的方程．【解答】：（1）证明：圆C1：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0化为标准方程分别为圆C1：（x-2）2+（y+1）2=5与圆C2：x2+（y-1）2=5∴C1（2.-1）与圆C2（0.1）.半径都为√5∴圆心距为0＜√(2−0)2+(−1−1)2 = 2√2＜2 √5∴两圆相交；（2）解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程.即（x2+y2-4x+2y）-（x2+y2-2y-4）=0即x-y-1=0（3）解：由（2）得y=x-1代入圆C1：x2+y2-4x+2y=0.化简可得2x2-4x-1=0∴ x=2±√62当x=2+√62时. y=√62；当x=2−√62时. y=−√62设所求圆的圆心坐标为（a.b）.则{(a−2+√62)2+(b−√62)2=(a−2−√62)2+(b+√62)22a+4b=1∴ {a =32b =−12 ∴ r 2=(32−2+√62)2+(−12−√62)2=72∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为 (x −32)2+(y +12)2=72【点评】：本题重点考查两圆的位置关系.考查两圆的公共弦.考查圆的方程.解题的关键是确定圆的圆心与半径.综合性强．21.（问答题.0分）如图.三棱锥P-ABC 中.△ABC 、△APC 均为等腰直角三角形.且PA=PC=BA=BC=2 √2 .若平面PAC⊥平面ABC ．（Ⅰ）证明：PB⊥AC ；（Ⅱ）点M 为棱PA 上靠近A 点的三等分点.求M 点到平面PCB 的距离．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）取AC 的中点为O.连接BO.PO ．证明PO⊥AC .BO⊥AC .推出AC⊥平面OPB.即可证明AC⊥BP ．（Ⅱ）说明PO⊥平面ABC.在三棱锥P-ABC 中.V P-ABC =V A-PBC .转化求解点M 为棱PA 上靠近A 点的三等分点.则M 点到平面PCB 的距离等于A 点到平面PCB 距离的 23 ．求出M 点到平面PCB 的距离．【解答】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：取AC 的中点为O.连接BO.PO ．∵在△PAC中.PA=PC.O为AC的中点.∴PO⊥AC.……………（2分）∵在△BAC中.BA=BC.O为AC的中点.∴BO⊥AC.……………（4分）∵OP∩OB=O.OP.OB⊂平面OPB.∴AC⊥平面OPB.∵PB⊂平面POB.∴AC⊥BP．……………………（6分）（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC.PO⊥AC∴PO⊥平面ABC.……………………（7分）在三棱锥P-ABC中.V P-ABC=V A-PBC.由题意PA=PC=BA=BC=2√2 .PO=2.AO=BO=CO=2．∵ V P−ABC=13•12•BC•BA•PO=13•12•2√2•2√2•2=83……………………（9分）在△BPC中. PB=PC=BC=2√2 .∴ S△PBC=√34•(2√2)2=2√3 .则由83=13•2√3•d⇒d=4√33.………（11分）点M为棱PA上靠近A点的三等分点.则M点到平面PCB的距离等于A点到平面PCB距离的23．∴M点到平面PCB的距离等于8√39．……………………（12分）【点评】：本题考查等体积法的应用.直线与平面垂直的判定定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力．22.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy中.已知圆C的方程为（x-1）2+y2=4.M点的坐标为（3.-3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A.B.且圆C交x轴正半轴于点P.求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．【正确答案】：【解析】：（1）设出直线的方程后.利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径可解得；（2）设直线方程与圆的方程联立消去y 并整理得关于x 的一元二次方程.由韦达定理及斜率公式可得斜率之和为定值．【解答】：解：（1）当直线l 的斜率不存在时.显然直线x=3与圆C 相切.当直线l 的斜率存在时.设切线方程为：y+3=m （x-3）. √1+m 2 =2.解得m=- 512 .切线方程为：5x+12y+21=0. 综上.过点M （3.-3）且与圆C 相切的直线方程为：x=3或 5x+12y+21=0．（2）圆C ：（x-1）2+y 2=4与x 轴正半轴的交点为P （3.0）.依题意可得直线AB 的斜率存在且不为0.设直线AB ：y+3=k （x-3）.代入圆C ：（x-1）2+y 2=4=整理得：（1+k 2）x 2-2（3k 2+3k+1）x+9（k+1）2-3=0.设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.且P （3.0）.∴x 1+x 2= 2(3k 2+3k+1)1+k 2 .x 1x 2= 9(k+1)2−31+k 2. ∴直线PA 和PB 的斜率之和为：k PA +k PB = y 1x 1−3 + y 2x 2−3 = k (x 1−3)−3x 1−3 + k (x 2−3)−3x 2−3 =k- 3x 1−3 +k- 3x 2−3 =2k-3（ 1x 1−3 + 1x 2−3 ）=2k-3× x 2−3+x 1−3(x 1−3)(x 2−3) =2k-3× 2(3k 2+3k+1)1+k 2−69(k+1)2−31+k 2−3×2(3k 2+3k+1)1+k 2+9 =2k-3× 6k 2+6k+2−6−6k 29k 2+18k+9−3−18k 2−18k−6+9+9k 2 =2k-3× 6k−49 =2k- 6k−43 =2k-2k+ 43 = 43． 【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系.属中档题．。

第二学期月考试题高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.骤.5月考答案【详解】如图所示，因为，且，所以AC BD ⊥AB BC =，所以为等边三角形3CD =ACD A 上运动时，只需考虑点ABCD ，，知12BD=3CD =2BC CD +设,则(01)ED kCD k =≤≤ EC ()EB ED EC CB ED EC ⋅=+⋅= ，当时，233k k =-12k =EB对于D ，由C 选项可知：因为，由对称性可知：AD CD =由A 选项可知：cos ∠12.BD 【详解】如图，作连结SO ，过O 作AF由题知AE =AF =，所以AM ，SE =5EF ⊥为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角SMA ∴∠又平面ASM ，SM AM M ⋂=EF ∴⊥SO ⊂作法知， ，SO AM ^AM EF M = SO ∴所以SO 为锥体的高．所以O 为S 在平面平面AEF ，所以 ，由作法知AF ⊂SO AF ⊥平面SON ，平面SON ，AF ∴⊥SN ⊂SN ∴∵关于的方程有且仅有一个实数根，∴函数x ()f x t =(y f x =交点，由图可知，则实数的取值范围是. 12t ≤<t [)1,216.. 8343+53,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭为线段的中点，FA C '//GF ∴，又，A DE '//DG BE DG BE =，平面，可得A DE 'DE ⊂A DE '，可得平面平面，//A DE 'BFG（2）取中点，中点，连接DC G DE O ，为边的中点，得3DAB π∠=E AB ，，又43DE =60EDC ︒∠=DG 边三角形，所以，所以A O DE '⊥。

扬州中学高一数学下学期5月月苏教版)含解析(考试卷．学年江苏省扬州中学高一（下）5月月考数学试卷 2012-201370分）14一、填空题（共小题，每小题5分，满分）﹣1﹣1）x+（2m1．（5分）m为任意实数时，直线（m ．）（必过定点 9y=m ﹣5，﹣4恒过定点的直线．考点：直线与圆．专：题5y=m﹣2m（﹣1）分对于任意实数m，直线（m﹣1）x+x+2y则将方程转化为（则与m的取值无关，析：恒过定点，的系数和常数项为零即．让m5）=0﹣1）m+（x+y﹣可．x+2y可化为（y=m﹣5x+（2m﹣1）解解：方程（m﹣1）﹣ 1）m+（x+y﹣5答：）=0∵对于任意实数m，当时，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5恒过定点由，得．故定点坐标是（9，﹣4）．故答案为（9，﹣4）．点本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力评：及直线系的理解．2x+2cosx （≤x≤）的最小值为 y=sin5．2（分）函数﹣2 ．复合三角函数的单调性．考 ：点 计算题；三角函数的图像与性质．专 ：题22，再x+2cosx+1y=﹣cos 分先将y=sinx+2cosx 转化为 析：配方，利用余弦函数的单调性求其最小值．2x+2cosx 解：∵y=sin 解2x+2cosx+1 ﹣cos 答：= 2 ，）+2=﹣（cosx ﹣1 ，∵≤x ≤，∴﹣1≤cosx ≤，﹣2≤cosx ﹣1≤﹣22≤﹣﹣1）≤（cosx ﹣1）．≤4，﹣4≤﹣（cosx ∴2．1）≤∴﹣2≤2﹣（cosx ﹣2 ．）y=sinx+2cosx （≤x ≤的最小值为﹣2∴函数．故答案为：﹣2本题考查余弦函数的单调性，考查转化思想与配方点 评：法的应用，属于中档题．＜，第k 项满足5项和3．（5分）已知数列的前n． 8 ＜a8，则k 的值为k等差数列的前n 项和．考 点： 专计算题． 题：﹣=Sn 项和的关系可得 a=项与前分根据数列的第n 1182k510=2n ﹣S ﹣=S ，当8析： n ≥2 a ，由＜﹣10＜1nnn ﹣的值．求得正整数k n 项和，解解：∵数列的前答：﹣8．∴a=S=1﹣9=1122﹣（n﹣1）﹣9=nn ≥2 a=S﹣S﹣9n﹣[（n当1nnn﹣ 10，1）]=2n ﹣，9，解得＜k＜ 58 可得＜2k﹣10＜8由5＜a＜k，故正整数k=8 ．故答案为 8项和的关系，解n本题主要考查数列的第n项与前点评：一元一次不等式，属于基础题．，）x+3y+2m=0（l：m﹣2l4．（5分）设直线：x+my+6=0和21m= ﹣1 时，l∥l．当21考直线的一般式方程与直线的平行关系．点：专直线与圆．题：分由平行的条件可得：，解后注意验证．析：解解：由平行的条件可得：，答：由，解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l与l重合，不满足题意，舍去，故21m=﹣1．故答案为：﹣1．本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘点去掉重合的情况，属基础题．评：记，a，b5．（分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为5 ．的值为b，c成等比数列，c=2a，则cosB ，c，且a余弦定理．考：点计算题．专：题可得，成等比数列且，cc=2ab，c，且a，b分由a，c=2a，结合余弦定理可求析：b= ，c=2ac成等比数列且，且a，b，，解解：∵a，bc22，=ac=2a答：bc=2a，b== 故答案为：点本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理评：在解三角形中的应用，属于基础试题6．（5分）若函数f（x）=sinωx （ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω= ．考由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．点：专计算题．题：时确定最大值，就是由题意可知函数在x=分析：ω的值即可．，求出时确定最大值，就是解：由题意可知函数在x=解答：时，ω=；只有k=0Z，所以ω=6k+∈，k满足选项．故答案为：．本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式点评：的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题型．轴上的截距相等的yx、4A（1，）且在．7（5分）过点条． 2 直线共有考直线的截距式方程．点：专探究型；分类讨论．题：分分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，析：则答案可求．解解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意；答：当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，代入A的坐标得a=1+4=5．直线方程为x+y=5．所以过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条．故答案为2．点本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的评：数学思想方法，是基础题．k（，xy为自变量的目标函数z=kx+y 8．（5分）已知以B，1，2）＞0）的可行域如图阴影部分（含边界），且A（取最），若使z，E （2，1（C0，1），（，0），D，0）（k= 1 ．大值时的最优解有无穷多个，则考简单线性规划的应用．点：专图表型．题：分由题设条件，目标函数z=kx+y，取得最大值的最优析：解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数最大值应在右上方边界AE上取到，即z=kx+y应与直线AE平行；进而计算可得答案．解解：由题意，最优解应在线段AE上取到，故z=kx+y答：应与直线 AE平行∵k==﹣1，AE∴﹣k=﹣1，∴k=1，故答案为：1．点本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆评：用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．，前分）（2005?湖北）设等比数列{a}的公比为q9．（5n﹣的值为成等差数列，则qSn 项和为，若S，S，S n+2nnn+1 2 ．考等差数列的性质；等比数列的性质．点：专压轴题；分类讨论．题：，=S+SS，S成等差数列，可得2S分首先由S，n+2nn+1n+1n+2n，S， S，S析：然后利用等比数列的求和公式分别表示n+2nn+1两种情况讨论，解方程即可．注意分q=1和q≠1，且S，前n项和为的公比为解解：设等比数列{a}q nn答：S ，S，S成等差数列，则2S=S+S，n+2n+1nn+1n+2n若q=1，则S=na，式显然不成立，1n若q≠1，则为，nn+1n+2，+q故2q =q2即q+q﹣2=0，因此q=﹣2．故答案为﹣2．点涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类评：讨论．10．（5分）若三直线x+y+1=0，2x﹣y+8=0和ax+3y﹣5=0相互的交点数不超过2，则所有满足条件的a组成的集合为 {，3，﹣6} ．考两条直线的交点坐标．点：专计算题；直线与圆．题：的交点，代入2x﹣y+8=0分首先解出直线x+y+1=0与分别﹣5=05=0求解a的值；然后由ax+3y析：ax+3y ﹣ a的值．和已知直线平行求解解解：由，，得答：，3，2）﹣所以直线x+y+1=0与2xy+8=0的交点为（﹣，5=0，则﹣3a+6﹣，ax+3y﹣5=0过（﹣32）若直线；解得，），过定点（由ax+3y﹣5=00；，a=3﹣5=0与x+y+1=0平行，得ax+3y若．a=平行，得ax+3y若﹣5=0与2x﹣y+8=0﹣6，a组成的集合为{．}所以满足条件的{故答案为}．本题考查了两条直线的交点坐标，考查了分类讨论点评：的数学思想方法，是基础题．*则函数N∈，=1+2+3+…+n，511．（分）设Sn n．的最大值为考等差数列的前n项和；函数的最值及其几何意义．点：专计算题．题：代简将其代入分由题意求出S的表达式，n 析：后求其最值即可．解解：由题意S=1+2+3+…+n=n答：===∴时成立=等号当且仅当≤故答案为项公式以及利用基本不等n点本题考查等差数列的前求解本题的关键是将所得的关系式转化为式求最值，评：利用基本不等式可以利用基本不等式求最值的形式，其特征是看是求最值是最值的一个比较常用的技巧，否具备：一正，二定，三相等．，4）（0）过点A4，：12．（5分）直线lx=my+n （n＞n若可行域的值是的外接圆直径为，则实数 6 ．2或考简单线性规划的应用．点：专不等式的解法及应用．题：分令直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B 点，则得可析：行域是三角形 OAB，根据正弦定理可构造一个关于n的方程，解方程即可求出实数n的值解解：设直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B（n，0），点答：x直线，4 ），n＞0）经过点A （4∵直线x=my+n（），4，4 ﹣y=0也经过点A（）经过一、二、四象限n＞0∴直线x=my+n （0∴m＜，且∠AOB=60°∴可行域是三角形OAB，∵可行域围成的三角形的外接圆的直径为由正弦定理可得，=2R=?sin∠60°=8=∴AB=6∴n=2或．6故答案为：2或本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中点的方程， n评：根据已知条件，结合正弦定理，构造关于是解答本题关键．），0ll，若经过点（a3513．（分）过点（1，）作直线 2 条．的个数为则可作出的N*ba，b0和（，）且，∈，l考直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．：点探究型；直线与圆．专：题的斜率，写l，b）求出a，0）和（0分由l经过点（，）可得=1出直线方程的点斜式，代入点（ a，0析：，则答案可求．，b求出满足该式的整数对a+3 ）﹣1的表达式为y=（x解：由题意可得直线L解答： =1，），可得+3=b 变形得因为直线l 经过（a，0，和a=4a=2，b=6因为a，b都属于正整数，所以只有符合要求b=4﹣y=）+3和﹣3（x ﹣1所以直线l只有两条，即y= ．）+3（x ﹣1 ．故答案为2本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率点评：的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．aR ，则，且满足c5分）若a ，b ，∈．14（ ．，5] 的取值范围是[1考函数与方程的综合运用．点：专应用题．题：分根据条件，利用基本不等式，可将问题转化为关于a 析：的不等式，解之，即可得到 a 的取值范围．2解解：∵a ﹣bc ﹣2a+10=0，2﹣bc=a ∴2a+10答：22∵b+bc+c ﹣12a ﹣15=0．22∴b+bc+c=12a+15．22∵b+bc+c ≥bc+2bc=3bc2∴12a+15≥3（a ﹣2a+10）2∴a ﹣6a+5≤0∴1≤a ≤5∴a 的取值范围是[1，5]故答案为：[1，5]点本题以等式为载体，考查基本不等式的运用，考查评：学生分析解决问题的能力，利用基本不等式，将问题转化为关于a的不等式是解题的关键．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知，，，求f（β）的值．考三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及点：其求法；复合三角函数的单调性．专计算题．题：分（1）由辅助角公式对已知函数化简可得，析：，结合正弦函数的性质可求周期、函数的最大值（2）由已知利用和角与差角的余弦公式展开可求得cosαcosβ=0，结合已知角α，β的范围可求β，代入可求f（β）的值．（1）∵解：解答： =sinxcos=，∴=2f（x）∴T=2π，max）2（∵∴cosαcosβ=0，∵∴点本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的评：应用，正弦函数的性质的应用，两角和与差的余弦公式的应用．16．（14分）如图，要测量河对岸两点A、B 之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求AB之间的距离．考解三角形的实际应用．点：专计算题；应用题．题：分先在△ACD中求出∠CAD、∠ADC的值，从而可得到析：AC=CD= ，然后在△BCD中利用正弦定理可求出BC的长度，最后在△ABC中利用余弦定理求出AB的长度即可．解解：在△ACD中，∠ACD=120°，答：∠CAD=∠ADC=30°∴AC=CD= km在△BCD中，∠BCD=45°∠BDC=75°∠CBD=60°=，=∴BC=∵在△ABC中，由余弦定理得：222×cos75°=3+2+﹣+（）AB﹣=2=5∴AB=km答：A、B之间距离为km．点本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的评：综合运用．解三角形在高考中是必考内容，而且属于较简单的题目，一定要做到满分．17．（15分）过点P（2，1）的直线l与x 轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．（1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；（2）求v=|PA|?|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程．考直线和圆的方程的应用．点：专直线与圆．题：分（1）设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代析：数式表示出u，然后利用基本不等式求最小值；（2）由两点间的距离公式求出|PA|，|PB|，代入v=|PA|?|PB|后取平方，然后利用基本不等式求最值．解解：（1）设点A（a，0），B（0，b），则直线l：答：∵P（2，1）在直线l上，∴，∴，∵a，b＞0，∴a＞2．==．当且仅当a﹣2=（a＞2），即a=2+时等号成立．此b=1+时．，即； ∴，此时l ：，）知， ）由（（21，∵∴ ．时等号成立，a=3，即当且仅当 ．此时b=3 ，此时=4∴ux+y=3：l ，即．min点本题考查了直线方程的应用，训练了利用基本不等式评： 求最值，解答的关键在于利用基本不等式求最值的条件，是中档题．18．（15分）某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，已知每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料2千克；每生产1千克乙产品需要A种原料2千克，B种原料3千克．但该厂现有A种原料100千克，B种原料120千克．问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值．考简单线性规划．点：专应用题．题：分先设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，其析：利产值为 z元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=600x+400y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=600x+400y过可行域内的点时，从而得到z值即可．解解析：设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，答：其利产值为 z元，根据题意，可得约束条件为…（3分）作出可行域如图：…．（5分）目标函数z=600x+400y，作直线l：3x+2y=0，再作一组平行于l的直线l：003x+2y=z，当直线l经过P点时z=600x+400y取得最大值，…．（9分），解得交点P（ 7.5，35）…．（12分）由所以有z最大=600×7.5+400×35=18500（元）…（13分）所以生产甲产品7.5千克，乙产品35千克时，总产值最大，为18500元．…（14分）点本题是一道方案设计题型，考查了列一元一次不等评：式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且2x≤f（x）≤（x+1）对一切实数x恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表达式；（3）证明：+…+＞2．考二次函数的性质．点：专函数的性质及应用．题：分（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系析：数法求函数的解析式．（3）利用放缩法证明不等式．2+1）对一切实数x）≤（x解解：（1）因为x≤f（x答：恒成立．所以当x=1时，有1≤f（1）≤（1+1）=1，所以f（1）=1．2（2）设二次函数f（x）=ax+bx+c，a≠0，因为f（1）=1，f（﹣1）=0，所以a+c=b=．因为f （x ）≥x 对一切实数x 恒成立，2）x+c ≥0，所以必有，﹣1ax+（b 即 0．ac ，，所以c ＞解得a ＞0因为取等号，，当且仅当a=c=所以．）因为3（， 所以．+…+＞+…+ 故不等式＞2成立．点本题主要考查二次函数的图象和性质以及利用放缩评：法证明不等式，综合性较强．20．（16分）（2011?朝阳区一模）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k 项为a（m，k=1，2，3，…，mk n，n≥3），公差为d，并且a，a，a，…，a成等差nn1n3nm2n 数列．（Ⅰ）证明d=pd+pd（3≤m≤n，p，p是m 的多项式），2m11221并求p+p的值；21（Ⅱ）当d=1，d=3时，将数列d分组如下：（d），（d，221m1d，d），（d，d，d，d，d），…（每组数的个数构成等94768534差数列）．设前m 组中所有数之和为（c）（c＞0），求mm数列的前n项和S．n（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的S，求使得不等式成立的所有N的值．n考等差数列的性质；数列与不等式的综合．点：专综合题；压轴题．题：分（Ⅰ）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利析：用通项公式表示出数列 a，a，a，…，a中的第nn3n1n2n项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d是首项d，公差为d﹣d的等差121n 数列，根据等差数列的通项公式表示出d的通项，m令p=2﹣m，p=m﹣1，得证，求出p+p 即可；2211（Ⅱ）由d=1，d=3，代入d中，确定出d的通项，m12m根据题意的分组规律，得到第m组中有2m﹣1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m﹣1个奇数，利用等差数列的前n 项和公式表示出之和，2从而表示出前m 个奇数的和，又前m 组中所有数之4和为（c ）（c ＞0），即可得到c=m ，代入中确mmm定出数列的通项公式，根据通项公式列举出数列的前n 项和S ，记作①，两边乘以2得到另n一个关系式，记作②，②﹣①即可得到前n 项和S n的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到d 和S 的通项公式代入已知的nn 不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f （n ），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n ≥6时，其值大于0即原不等式成立，又N 不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N 从5开始到20的连续的正整数．解解：（Ⅰ）由题意知a=1+（n ﹣1）d ． mmn答：则 a ﹣a=[1+（n ﹣1）d]﹣[1+（n ﹣1）d]=（n ﹣122n1n 1）（d ﹣d ）， 12同理，a ﹣a=（n ﹣1）（d ﹣d ），a ﹣a=（n ﹣1）3n3n322n4n （d ﹣d ），…，a ﹣a=（n ﹣1）（d ﹣d ）． 1nnn ﹣n （4n ﹣31）n 又因为a ，a ，a ，a 成等差数列，所以a ﹣a=a 3n2nnn3n1n1n2n ﹣a=…=a ﹣a ． n ）2nnnn ﹣1（故d ﹣d=d ﹣d=…=d ﹣d ，即d 是公差为d ﹣d 11n322n2﹣n1的等差数列． 所以，d=d+（m ﹣1）（d ﹣d ）=（2﹣m ）d+（m ﹣1）112m1d ． 2令p=2﹣m ，p=m ﹣1，则d=pd+pd ，此时p+p=1．（422111m212分） *（Ⅱ）当d=1，d=3时，d=2m ﹣1（m ∈N ）． m12数列d 分组如下：（d ），（d ，d ，d ），（d ，d ，d ，7m251346d ，d ），． 98按分组规律，第m 组中有2m ﹣1个奇数，2所以第1组到第m 组共有1+3+5+…+（2m ﹣1）=m 个奇数． 2，=k ） 2k 注意到前k 个奇数的和为1+3+5+…+（﹣12224所以前m 个奇数的和为（m ）=m ．444．） 组中所有数之和为m=m ，所以（c 即前m m 因为c ＞0，所以c=m ，从而． mm234n ﹣1所以S=1?2+3?2+5?2+7?2+…+（2n﹣3）?2+（2n nn ﹣1）?2.2S n234nn+1．①?2 2n﹣1（2n﹣3）?2=1?2）+3?2++5?2（+…+234nn+1故2S=2+2?2+2?2+2?2+…+2?2﹣（2n﹣1）?2=2n23n （2+2+2+…+2）﹣2﹣（2n﹣1）n+1n+1?2==（3﹣2n）2﹣6．②n+1 9分）+6．（（2n﹣3）2=②﹣①得：S n*）3（2n﹣∈N），S==2n（Ⅲ）由（Ⅱ）得d﹣1（n nn*n+1．∈N）2+6（n n+1．1）＞50（2n即故不等式，（2n﹣3）2﹣n+12n（﹣1）=2n（2n ﹣3）2﹣50（考虑函数f（n）=n+1．﹣50）﹣100﹣3）（22n）＜0，即（n4，5时，都有f（3当n=1，2，，n+11）．＜50（2n﹣）﹣32 ，050）﹣100=602＞=9而f（6）（128﹣）＞n）单调递增，故有f（n注意到当n≥6时，f （．0n+1）成立，﹣12＞50（2n3时，因此当n≥6（2n﹣）成立．即14（．7，6，，…，20N=5所以，满足条件的所有正整数分）n 点此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前项和公式化简求值，会利用错位相减的方法求数列评：的通项公式，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．。

江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B13．2 14．30° 15 16 17．解：（1）由240320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：02x y =⎧⎨=⎩， ()0,2P ∴；（2）Q 直线30x y -+=斜率为1，∴直线l 斜率1k =-.():210l y x ∴-=--，即：20x y +-=.18．解：（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则当[0,]x π∈时，5[,]666x πππ-∈-，1sin()[,1]62x π-∈-，2sin()[1,2]6x π-∈-，所以函数()f x 的值域为[1,2]-．（2）102sin 613f παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即5sin 13α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故12cos 13α=； 512120sin 22sin cos 21313169ααα==⨯⨯=． 19．解：（1）取CD 的中点I∵E 、F 、I 分别是正方形ABCD 中AB 、BC 、CD 的中点 ∴12CF EI ∥∴在平面ABCD 中，延长EF 与DC 必交于C 右侧一点P ，且PC CI = 同理，在平面11CC D D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q ，且QC CI = ∴P 与Q 重合进而，直线EF 与GH 相交方法二：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、H 分别是AB 、11C D 的中点 ∴112EB CD HC ∥∥∴1EBC H 是平行四边形 ∴1EH BC ∥又∵F 、G 分别是BC 、1CC 的中点 ∴112FG BC ∥∴∥EH FG ，EH FG ≠∴EF 、GH 是梯形EFGH 的两腰 ∴直线EF 与GH 相交（2）解：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∥ ∴11ACC A 是平行四边形 ∴11//AC A C又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点 ∴//EF AC ∴11EF AC P∴1A D 与EF 所成的角即为1A D 与11A C 所成的角（或：1A D 与EF 所成的角即为11DAC ∠及其补角中的较小角）① 又∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC D ∆为等边三角形 ∴1160DAC ∠=︒②∴由①②得直线1A D 与EF 所成的角为60︒ 20．（1）在CAM V 中，已知3CAM π∠=，sin CMA ∠=，2AC =，由正弦定理，得sin sin CM AC CAM CMA=∠∠，解得sin233sin AC CM CMA π⋅===∠．（2）因为12BMN ACB S S =△△，所以111sin 22622BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯BM BN ⋅=在BMN ∆中，由余弦定理得，()22222cos2162MN BM BN BM BN BM BN BM BN π⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭，即()2221BM BN ⎛=+-⨯+⎝⎭， ()(22194BM BN +=+=+，故4BM BN +=+21．（1）由题意知11121222OM AD BC ===⨯=，3sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=⨯+=o ，cos 11cos301BN OA OM MOD =+∠=+⨯==o ，1132622228PMN S MN BN ∆+∴=⋅=⨯⨯=，即三角形铁皮PMN的面积为68+； （2）（2）设MOD x ∠=，则0x π<<，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察02x π<≤。

2019-2020学年江苏省扬州市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a＝，则等于（）A．B．C．D．23．已知以C（﹣4，3）为圆心的圆与圆x2+y2＝1相内切，则圆C的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+3）2＝36B．（x+4）2+（y﹣3）2＝16C．（x+4）2+（y﹣3）2＝36D．（x﹣4）2+（y+3）2＝164．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣BC﹣D的大小为（）A．B．C．D．5．若x1，x2，…，x8的方差为3，则2x1，2x2，…，2x8的方差为（）A．B．2C．6D．126．已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（）A．B．4C．2D．87．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos C＝b，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形8．下列命题说法错误的是（）A．若a∥α，b⊥α，则a⊥bB．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bC．若α∥β，a⊥α，则a⊥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β9．在△ABC中，点D在边BC上，且满足AD＝BD＝2CD，3tan2B﹣2tan A+3＝0，则∠B 的大小为（）A．B．C．D．二、多项选择题（共3小题．）．10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，有两解的是（）A．a＝B．a＝2，b＝C．D．11．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），则实数a的取值可为（）A．1B．2C．3D．412．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AP＝6，AB ＝a．若在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为．则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为．14．已知点A（1，3）与直线l：3x+y+4＝0，则点A关于直线l的对称点坐标为．15．如图，为测量两座山顶之间的距离MC，已知山高BC＝5km，MN＝7.5km，从观测点A分别测得M点的仰角∠MAN＝30°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝60°，则两座山顶之间的距离MC＝km．16．如图，三棱锥B﹣ACD中，平面BCD⊥平面ACD，CD＝6，∠BDC＝60°，若BC＝BD，AC＝2AD，则该三棱锥的体积的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos A（c cos B+b cos C）＝a．（1）求角A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点E（1，0），AD边所在直线的方程为2x+y+2＝0．点F（2，﹣1）在AB边所在直线上．求：（1）AB边所在直线的方程；（2）CD边所在直线的方程．19．某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分．上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]，得到频率分布直方图，如图所示．（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2a，∠ACB＝，点D为BC 中点，连接A1C、AC1交于点E，点F为DC1中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1CB⊥平面AC1D；（3）求点C到平面AC1D的距离．21．如图，我炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设于C，D．已知△ACD为正三角形．当目标出现于B时，测得BC＝1千米，BD＝2千米．（1）若测得∠DBC＝60°，求△ABC的面积；（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B是否在我方炮火射程范围内？22．已知圆C1：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0），圆心C1在直线2x+y+4＝0上，且直线x+y+4＝0被圆C1截得的弦长为2．（1）求圆C1的方程；（2）过圆C2：（x﹣6）2+y2＝4上任一点Q（x0，y0）作圆C1的两条切线，设两切线分别与y轴交于点M和N，求线段MN长度的取值范围．参考答案一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以要求倾斜角，先求直线的斜率，把直线方程化为斜截式，就可求出斜率，再根据斜率求出倾斜角．解：直线x﹣y+1＝0互为斜截式，得y＝x+∴直线x﹣y+1＝0d的斜率为，设倾斜角为θ则tanθ＝，∴θ＝故选：A．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a＝，则等于（）A．B．C．D．2【分析】由已知结合正弦定理即可直接求解．解：A＝60°，a＝，由正弦定理可得，＝＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，则＝2．故选：D．3．已知以C（﹣4，3）为圆心的圆与圆x2+y2＝1相内切，则圆C的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+3）2＝36B．（x+4）2+（y﹣3）2＝16C．（x+4）2+（y﹣3）2＝36D．（x﹣4）2+（y+3）2＝16【分析】结合圆内切的性质可求圆的半径，进而可求圆的方程．解：根据圆内切的性质可得，|r﹣1|＝＝5，故r＝6，或r＝﹣4（舍），所求圆的方程为（x+4）2+（y﹣3）2＝36．故选：C．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣BC﹣D的大小为（）A．B．C．D．【分析】由BC⊥平面DCC1D1，得BC⊥DC，BC⊥D1C，从而∠DCD1是二面角D1﹣BC ﹣D的平面角，由此能求出二面角D1﹣BC﹣D的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BC⊥平面DCC1D1，∴BC⊥DC，BC⊥D1C，∴∠DCD1是二面角D1﹣BC﹣D的平面角，∵DD1⊥DC，DD1＝DC，∴∠DCD1＝，∴二面角D1﹣BC﹣D的大小为．故选：B．5．若x1，x2，…，x8的方差为3，则2x1，2x2，…，2x8的方差为（）A．B．2C．6D．12【分析】利用方差的性质直接求解．解：∵样本数据x1，x2，…，x8的方差为3，∴数据2x1，2x2，…，2x8的方差为：22×3＝12．故选：D．6．已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（）A．B．4C．2D．8【分析】根据球的半径求出球的表面积，设圆锥的高为h，求出圆锥的母线长和表面积，列方程求得h的值．解：球的半径为2，则球的表面积为S球＝4π×22＝16π；圆锥的底面半径为2，设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为l＝＝；所以圆锥的表面积为S圆锥＝π×22+π×2×＝4π+2π；由题意知，4π+2π＝16π，解得h＝4；所以圆锥的高为4．故选：B．7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos C＝b，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】根据正弦定理、内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围即可判断出△ABC的形状．解：∵b＝2a cos C，∴由正弦定理得sin B＝2sin A cos C，∵B＝π﹣（A+C），∴sin（A+C）＝2sin A cos C，则sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，sin A cos C﹣cos A sin C＝0，即sin（A﹣C）＝0，∵A、C∈（0，π），∴A﹣C∈（﹣π，π），则A﹣C＝0，∴A＝C，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．8．下列命题说法错误的是（）A．若a∥α，b⊥α，则a⊥bB．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bC．若α∥β，a⊥α，则a⊥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】根据线线，线面，面面的有关判定，性质和结论即可判断各命题的真假．解：对A，若a∥α，根据线面平行的性质定理，存在平面β，有a⊂β，α∩β＝c，使得a ∥c，由于b⊥α，所以b⊥c，即有a⊥b，A正确；对B，根据面面平行的性质定理可知，B正确；对C，根据一条直线和两个平行平面中的一个垂直，则它和另一个平面也垂直，C正确；对D，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行，也可能相交，D错误．故选：D．9．在△ABC中，点D在边BC上，且满足AD＝BD＝2CD，3tan2B﹣2tan A+3＝0，则∠B 的大小为（）A．B．C．D．【分析】设CD＝t，则AD＝BD＝2t，在△ADC中，运用正弦定理和三角函数的诱导公式、和差公式和同角的商数关系，解方程可得所求角．解：可设CD＝t，则AD＝BD＝2t，在△ADC中，可得＝＝，可得＝，即为sin A cos B+cos A sin B＝2（sin A cos B﹣cos A sin B），化为sin A cos B＝3cos A sin B，即有tan A＝3tan B，又3tan2B﹣2tan A+3＝0，可得3tan2B﹣6tan B+3＝0，解得tan B＝1，由B为三角形的内角，可得B＝，故选：C．二、多项选择题（本大题共3小题．每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）．10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，有两解的是（）A．a＝B．a＝2，b＝C．D．【分析】利用正弦定理求出对应角的三角函数值，结合大边对大角的定理，对选项中的命题分析，判断解的个数即可．解：对于A，：a＝，b＝2，B＝120°，△ABC是钝角三角形，只有一解；对于B，a＝2，b＝，B＝45°，由正弦定理得＝，解得sin A＝，又a＞b，且A∈（0，π），所以A有个值，三角形有两解；对于C，b＝3，c＝，B＝60°，由正弦定理得＝，解得sin C＝，由b＞c，所以B＞C，所以C＝30°，三角形只有一解；对于D，a＝2，b＝，B＝60°，由正弦定理得＝，解得sin A＝，又b＜a，所以A＞60°，所以A有两个值，三角形有两解．故选：BD．11．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），则实数a的取值可为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由弦AB的中点为M（0，1）可得点M在圆内，可得：﹣3+a＜0，即a＜3，故选出答案．解：由题意弦AB的中点为M（0，1），则可得M点在圆内，将点M坐标代入圆的方程可得：﹣3+a＜0，即a＜3，故选：AB．12．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AP＝6，AB ＝a．若在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为．则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意画出图形，求出使的a值，即可求得满足直线BC上存在两不同点Q，使直线PQ与平面ABCD所成角都为的a的范围，结合选项得答案．解：如图，当∠PBA＝时，由AB＝a，得PB＝2a，又PA＝6，∴4a2＝a2+36，即a＝．若AB＞，则直线BC上不存在点Q，使直线PQ与平面ABCD所成角为．若AB＝，则直线BC上存在唯一一个点Q，使直线PQ与平面ABCD所成角为．若AB＜，则直线BC上存在两不同点Q，使直线PQ与平面ABCD所成角都为．结合选项可知，a的值可以是1，2，3．故选：ABC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为0.8．【分析】利用互斥事件概率计算公式和对立事件概率计算公式能求出摸出红球或蓝球的概率．解：口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，∴摸出红球或蓝球的概率为P＝1﹣0.2＝0.8．故答案为：0.8．14．已知点A（1，3）与直线l：3x+y+4＝0，则点A关于直线l的对称点坐标为（﹣5，1）．【分析】设点A关于直线l的对称点坐标为Q（a，b），可得3×++4＝0，＝，联立解得a，b．解：设点A关于直线l的对称点坐标为Q（a，b），则3×++4＝0，＝，联立解得a＝﹣5，b＝1．∴点A关于直线l的对称点坐标为（﹣5，1）．故选：15．如图，为测量两座山顶之间的距离MC，已知山高BC＝5km，MN＝7.5km，从观测点A分别测得M点的仰角∠MAN＝30°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝60°，则两座山顶之间的距离MC＝5km．【分析】由题意，可先求出AC、AM的值，从而由余弦定理可求MC的值．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝5km，所以AC＝10km．在Rt△AMN中，∠MAN＝30°，MN＝7.5km，所以AM＝15km，在△MCA中，AM＝15km，AC＝10km，∠MAC＝60°由余弦定理得：MC2＝AM2+AC2﹣2AM•AC cos60°＝225+100﹣2×15×10×＝175km2∴山顶间距MC＝5；故答案为：5．16．如图，三棱锥B﹣ACD中，平面BCD⊥平面ACD，CD＝6，∠BDC＝60°，若BC＝BD，AC＝2AD，则该三棱锥的体积的最大值为6．【分析】由题意画出图形，结合已知求得△BCD为直角三角形，再由已知求得A点的轨迹，得到A到CD距离的最大值，则答案可求．解：如图，在△BCD中，设BD＝m，则BC＝BD＝，又CD＝6，∠BDC＝60°，∴，即m2+3m﹣18＝0，解得m＝3或m＝﹣6（舍）．∴BD＝3，BC＝，CD＝6．则BD2+BC2＝CD2，即∠DBC为90°．在平面ACD中，以CD中点为坐标原点，以CD所在直线为x轴，以CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则C（﹣3，0），D（3，0），设A（x，y），由AC＝2AD，得，即（x﹣5）2+y2＝16，则A在以（5，0）为圆心，以4为半径的圆上．要使三棱锥的体积取最大值，则A到CD的距离最大为4．∴该三棱锥的体积的最大值为V＝．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos A（c cos B+b cos C）＝a．（1）求角A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理可求b+c，进而可求周长．【解答】解（1）由已知及正弦定理得：2cos A（sin C cos B+sin B cos C）＝sin A，∴2cos A sin（B+C）＝sin A，在△ABC中，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A，∴2cos A sin A＝sin A，∵sin A≠0，∴，∵A∈（0，π），∴，（2）∵，∴，∴bc＝4，由已知及余弦定理得：12＝b2+c2﹣2bc cos A，∴，∴，∴△ABC的周长为．18．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点E（1，0），AD边所在直线的方程为2x+y+2＝0．点F（2，﹣1）在AB边所在直线上．求：（1）AB边所在直线的方程；（2）CD边所在直线的方程．【分析】（1）由边AD所在直线方程及AD⊥AB，求得AB边所在直线当斜率，再由直线方程的点斜式求AB边所在直线的方程；（2）由AB∥CD，设直线CD的方程为x﹣2y+m＝0，再由E到AB与CD的距离相等列式求得m值，则答案可求．解：（1）∵ABCD为矩形，∴AD⊥AB．∵AD边所在的直线方程为：2x+y+2＝0，∴AB所在直线的斜率为．∵F（2，﹣1）在AB边所在直线上，∴AB边所在直线的方程为：，即x﹣2y﹣4＝0；（2）∵ABCD为矩形，∴AB∥CD，设直线CD的方程为x﹣2y+m＝0．由矩形性质可知点E到AB、CD的距离相等，即，解得m＝2或m＝﹣4（舍）．∴CD边所在的直线方程为x﹣2y+2＝0．19．某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分．上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]，得到频率分布直方图，如图所示．（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率．【分析】（1）由直方图知，求出所打分值[60，100）的频率，然后求解所打分数不低于60分的患者的人数．（2）根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2人，记为A，B；第三组有4人，记为a，b，c，d．列出从中随机抽取2人的所有情况，两人来自不同组的情况，然后求解两人来自不同组的概率．【解答】解（1）由直方图知，所打分值[60，100）的频率为0.0175×20+0.0150×20＝0.65，∴人数为100×0.65＝65（人）答：所打分数不低于6（0分）的患者的人数为65人．（2）由直方图知，第二、三组的频率分别为0.1和0.2，则第二、三组人数分别为10人和20人，所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2人，记为A，B；第三组有4人，记为a，b，c，d．从中随机抽取2人的所有情况如下：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种．其中，两人来自不同组的情况有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种∴两人来自不同组的概率为答：行风监督员来自不同组的概率为．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2a，∠ACB＝，点D为BC 中点，连接A1C、AC1交于点E，点F为DC1中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1CB⊥平面AC1D；（3）求点C到平面AC1D的距离．【分析】（1）证明四边形ACC1A1为平行四边形，推出EF∥AD，然后证明EF∥平面ABC．（2）证明A1C⊥AC1．C1C⊥平面ABC，推出C1C⊥BC，BC⊥AC，证明BC⊥平面ACC1A1．得到BC⊥AC1，结合A1C⊥AC1，证明AC1⊥平面A1CB，然后证明平面AC1D ⊥平面A1CB．（3）法一：连接DE，设点C到平面AC1D的距离为h，通过，转化求解点C到平面AC1D的距离．方法二：作CG⊥AD，垂足为G，连接C1G，作CH⊥C1G，垂足为H．推出CH⊥平面AC1D，CH为点C到平面AC1D的距离，通过求解三角形求解即可．解：（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，∴E为AC1的中点，∵F为DC1的中点，∴EF∥AD，又∵EF⊄平面ABC，AD⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．（2）∵四边形ACC1A1为平行四边形，AC＝CC1，∴平行四边形ACC1A1为菱形，即A1C⊥AC1．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴C1C⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴C1C⊥BC，∵，∴BC⊥AC，∵BC⊥C1C，C1C∩AC＝C，C1C，AC⊂平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1．∵AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1，∵A1C⊥AC1，BC∩A1C＝C，BC，A1C⊂平面A1CB，∴AC1⊥平面A1CB，∵AC1⊂平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面A1CB．（3）法一：（等体积法）连接DE，设点C到平面AC1D的距离为h，∵C1C⊥平面ABC，CA，CD⊂平面ABC，∴C1C⊥CA，C1C⊥CD，C1C为三棱锥C1﹣ACD高，在直角△C1CA中，AC＝CC1＝2a，∴．在直角△C1CD中，CD＝a，CC1＝2a，∴在直角△ACD中，CD＝a，AC＝2a，∴，∴在等腰△AC1D中，，∴，∴，∵，∴，∴点C到平面AC1D的距离为．方法二：（综合法）作CG⊥AD，垂足为G，连接C1G，作CH⊥C1G，垂足为H．C1C⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴C1C⊥AD，∵CG⊥AD，CG∩C1C＝C，CG，C1C⊂平面C1CG，∴AD⊥平面C1CG，∵CH⊂平面C1CG，∴AD⊥CH，∵CH⊥C1G，AD∩C1G＝G，C1G，AD⊂平面AC1D，∴CH⊥平面AC1D即CH为点C到平面AC1D的距离，在直角△ACD中，；在直角△C1CG中，，∴，∴点C到平面AC1D的距离为．21．如图，我炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设于C，D．已知△ACD为正三角形．当目标出现于B时，测得BC＝1千米，BD＝2千米．（1）若测得∠DBC＝60°，求△ABC的面积；（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B是否在我方炮火射程范围内？【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求；（2）由已知结合余弦定理及正弦定理可表示AB，然后结合辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．【解答】解（1）在△BCD中，根据余弦定理得：CD2＝BC2+BD2﹣2BD•BC•cos∠DBC，∴CD2＝1+4﹣2＝3，∵BD2＝CD2+BC2，∴，∴，（2）设∠CBD＝α，∠CDB＝β在△BCD中，CD2＝5﹣4cosα，，在△ABD中，，＝＝，＝，＝，＝（当且仅当时，AB取到最大值），∴AB max＝3＜4，在射程范围内．答：目标B在我方炮火射程范围内．22．已知圆C1：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0），圆心C1在直线2x+y+4＝0上，且直线x+y+4＝0被圆C1截得的弦长为2．（1）求圆C1的方程；（2）过圆C2：（x﹣6）2+y2＝4上任一点Q（x0，y0）作圆C1的两条切线，设两切线分别与y轴交于点M和N，求线段MN长度的取值范围．【分析】（1）由圆心C1（a，0）在直线2x+y+4＝0上求得a值，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合弦长利用垂径定理求半径，则圆的方程可求；（2）设过点Q的圆C1的切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，由圆心到直线的距离等于半径可得关于k的一元二次方程，利用求根公式求得k，进一步求得|MN|，然后利用换元法及函数的单调性求最值，可得线段MN长度的取值范围．解：（1）∵圆心C1（a，0）在直线2x+y+4＝0上，∴a＝﹣2．∵圆心C1到直线的距离，∴直线被圆C1截得的弦长为，即r＝2．∴圆C1的方程（x+2）2+y2＝4；（2）设过点Q的圆C1的切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，则，化简成关于k的方程，①判别式，∴．直线y﹣y0＝k（x﹣x0）与y轴的交点为（0，y0﹣kx0）．设M（0，y0﹣k1x0），N（0，y0﹣k2x0），则|MN|＝|k2﹣k1|x0，而k2，k1是方程①的两根，则，又，∴．令，则．由于函数在区间是单调递减，∴，∴．。

江苏省扬州中学2020 年度高一下 5 月月考数学试卷一、单选题1.设VABC的内角A、B C所对边分别为b c a 3，b 3，A.则B （）、 a ，，，32 5 或5A.6 B. C. D.3 6 6 6【答案】 A【解析】【分析】先由正弦定理算出sin B ，即可得到答案。

【详解】由正弦定理a b 3 = 3，解得 sin B1 sin A可知 3 sin B2 sin B2又因为在 VABC 中，A ，所以 B63故选 A.【点睛】本题考查正弦定理及解三角形问题，属于简单题。

2.已知圆的方程是 ( x－ 2) 2＋ ( y－ 3) 2＝4，则点P(3,2) 满足（）A. 是圆心B.在圆上C. 在圆内D. 在圆外【答案】 C【解析】把点的坐标代入到圆的方程中，因为(3 － 2) 2＋ (2 － 3) 2＝ 2<4，故点P(3,2)在圆内，选 C.3. 在ABC 中，已知a 2，B 45 ，b 1，则该三角形（）A. 无解B.有一解C. 有两解D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求出sin A 2即得解.2 12 1【详解】由正弦定理得 sin A , sin Asin.4所以 A 无解，所以三角形无解 . 故选： A【点睛】本题主要考查正弦定理，考查三角形解的个数的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 .4. 设 m, n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若 m / / ， m / / ，则 / /B. 若 m ， m n ，则 nC. 若 m， m / /n ，则 nD. 若， m，则 m / /【答案】 C【解析】【分析】在A 中， 与 n //或 n；在 C 中，由线面垂直的判定定理得n；相交或平行； 在 B 中，在 D 中， m 与平行或 m ．【详解】设 m, n 是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，则：在 A 中，若 m / /， m / / ，则 与 相交或平行，故 A 错误；在 B 中，若在 C 中，若在 D 中，若m， mn ，则 n // 或 n，故 B 错误；m， m // n ，则由线面垂直的判定定理得 n，故 C 正确；， m，则 m 与 平行或 m，故 D 错误．故选： C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．5. 下列说法 错误的是（ ）A. 经过定点 P x 0 , y 0 的倾斜角不为 90o 的直线的方程都可以表示为y y 0 k x x 0B. 经过定点 A 0,b 的倾斜角不为90o的直线的方程都可以表示为y kx bC. 不经过原点的直线的方程都可以表示为x y 1 a bD. 经过任意两个不同的点P1 x1 , y1、 P2 x2 ,y2 直线的方程都可以表示为y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 【答案】 C【解析】【分析】由点斜式方程可判断A；由直线的斜截式可判断B；讨论直线的截距是否为0，可判断 C；由两点式的直线方程可判断D．【详解】经过定点P（ x0，y0）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y-y 0=k（ x-x 0），故 A正确；经过定点 A（ 0，b）的倾斜角不为 90°的直线的方程都可以表示为y=kx+b ，故 B 正确；不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为x y1，比如x=a或y=b，故C错误；a b过任意两个不同的点P1（ x1，y1）、 P2（ x2， y2）直线的方程都可以表示为：（y-y 1）（x2-x 1） =（ x-x 1）（ y2-y 1），故 D 正确．故选： C．【点睛】本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，以及截距的定义，考查判断能力和推理能力，是基础题．6. 已知圆x2y24x a 0 截直线 x 3 y 0 所得弦的长度为 2 3 ,则实数a的值为( )A.2B. 0C.2D. 6【答案】 B【解析】【分析】先将圆化为标准式，写出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由垂径定理列方程解出 a 即可 .22 4 a ，得圆心为2，0 ，半径 r4 a【详解】解：将圆化为标准式为x 2y21 ，又弦长 l2 3圆心到直线的距离 d1 3d 2l 2由垂径定理得r 2 ，即 4 a 1 32所以 a0故选： B.【点睛】本题考查了直线与圆相交弦长，属于基础题.7. 与直线 2x+y－1=0 关于点（ 1， 0）对称的直线方程是（）A. 2 x+y－ 3=0B. 2 x+y+3=0C. x+2y+3=0D. x+2y－3=0【答案】 A【解析】在所求直线上取点（x， y），关于点（ 1， 0）对称的点的坐标为（a， b），则x a12∴a=2-x ， b=-y ，∵（ a，b）在直线2x+y-1=0 上y b2∴2a+b- 1=0∴2（ 2-x ） -y- 1=0∴2x+y -3=0故选 A8. 圆x2 4x y 2 0 与圆 x2 y2 4x 3 0 的公切线共有（）A.1 条B. 2 条C.3 条D.4 条【答案】 D【解析】【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线。

（第4题）A1C2019-2020学年江苏省扬州市2019级高一下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★ (含答案)2020．7（全卷满分150分,考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =,其中S 为底面积,h 为高．方差222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=．一、单项选择题（本题共9小题,每小题5分,共45分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1. 直线10x +=的倾斜角为（ ）6A.π3B.π23C.π 56D.π2. 已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若060A ,a ==,则bcsinB sinC++等于（ ）12A.2D. 3. 已知以()43C ,-为圆心的圆与圆221x y +=相内切,则圆C 的方程为（ ）()()224336A. x y -++=()()224316B. x y ++-=()()224336C. x y ++-=()()224316D. x y -++=4. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,二面角1D BC D --的大小为（ ）.A 6π .B 4π .C 3π .D 2π5. 若128,,,x x x 的方差为3,则1282,2,,2x x x 的方差为（ ）B. 6C. 12D.6. 已知球的半径与圆锥的底面半径都为2,若它们的表面积相同,则圆锥的高为（ ）B. C. 8D.7. 已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2cos a C b =,则ABC ∆的形状一定是（ ）.A 等腰直角三角形 .B 直角三角形 .C 等腰三角形.D 等边三角形8. 下列命题说法错误．．的是（ ） .A 若a ∥α,b ⊥α,则a ⊥b .B 若α∥β α∩γ=a,β∩γ=b ,则a ∥b.C 若α∥β,a ⊥α,则a ⊥β .D 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β9．在ABC ∆中,点D 在边BC 上,且满足AD =BD =2CD,3tan 2B −2tan A +3=0,则∠B 的大小为（ ） .A 6π.B3π.C4π.D512π二、多项选择题（本大题共3小题．每小题5分,共15分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分）．。

2012-2013学年省中学高一（下）5月月考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）m为任意实数时，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5必过定点（9，﹣4）．考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：对于任意实数m，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5恒过定点，则与m的取值无关，则将方程转化为（x+2y﹣1）m+（x+y﹣5）=0．让m的系数和常数项为零即可．解答：解：方程（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5可化为（x+2y﹣1）m+（x+y﹣5）=0∵对于任意实数m，当时，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5恒过定点由，得．故定点坐标是（9，﹣4）．故答案为（9，﹣4）．点评：本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解．2．（5分）函数y=sin2x+2cosx（≤x≤）的最小值为﹣2 ．考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先将y=sin2x+2cosx转化为y=﹣cos2x+2cosx+1，再配方，利用余弦函数的单调性求其最小值．解答：解：∵y=sin2x+2cosx=﹣cos2x+2cosx+1=﹣（cosx﹣1）2+2，∵≤x≤，∴﹣1≤cosx≤，﹣2≤cosx﹣1≤﹣，∴≤（cosx﹣1）2≤4，﹣4≤﹣（cosx﹣1）2≤﹣．∴﹣2≤2﹣（cosx﹣1）2≤．∴函数y=sin2x+2cosx（≤x≤）的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查余弦函数的单调性，考查转化思想与配方法的应用，属于中档题．3．（5分）已知数列的前n项和，第k项满足5＜a k＜8，则k的值为8 ．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据数列的第n项与前n项和的关系可得 a1=S1=﹣8，当n≥2 a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣10，由5＜2k﹣10＜8求得正整数k的值．解答：解：∵数列的前n项和，∴a1=S1=1﹣9=﹣8．当n≥2 a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣9n﹣[（n﹣1）2﹣9（n﹣1）]=2n﹣10，由5＜a k＜8 可得 5＜2k﹣10＜8，解得＜k＜9，故正整数k=8，故答案为 8．点评：本题主要考查数列的第n项与前n项和的关系，解一元一次不等式，属于基础题．4．（5分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= ﹣1 时，l1∥l2．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行的条件可得：，解后注意验证．解答：解：由平行的条件可得：，由，解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘记去掉重合的情况，属基础题．5．（5分）若△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，结合余弦定理可求解答：解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：点评：本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题6．（5分）若函数f（x）=sinωx （ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出ω的值即可．解答：解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；只有k=0时，ω=满足选项．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题型．7．（5分）过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有 2 条．考点：直线的截距式方程．专题：探究型；分类讨论．分析：分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，则答案可求．解答：解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，代入A的坐标得a=1+4=5．直线方程为x+y=5．所以过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条．故答案为2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．8．（5分）已知以x，y为自变量的目标函数z=kx+y （k＞0）的可行域如图阴影部分（含边界），且A（1，2），B（0，1），C（，0），D（，0），E（2，1），若使z取最大值时的最优解有无穷多个，则k= 1 ．考点：简单线性规划的应用．专题：图表型．分析：由题设条件，目标函数z=kx+y，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数最大值应在右上方边界AE上取到，即z=kx+y应与直线AE平行；进而计算可得答案．解答：解：由题意，最优解应在线段AE上取到，故z=kx+y应与直线AE平行∵k AE==﹣1，∴﹣k=﹣1，∴k=1，故答案为：1．点评：本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．9．（5分）（2005•）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，则q的值为﹣2 ．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：压轴题；分类讨论．分析：首先由S n+1，S n，S n+2成等差数列，可得2S n=S n+1+S n+2，然后利用等比数列的求和公式分别表示S n+1，S n，S n+2，注意分q=1和q≠1两种情况讨论，解方程即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S n+1，S n，S n+2成等差数列，则2S n=S n+1+S n+2，若q=1，则S n=na1，式显然不成立，若q≠1，则为，故2q n=q n+1+q n+2，即q2+q﹣2=0，因此q=﹣2．故答案为﹣2．点评：涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论．10．（5分）若三直线x+y+1=0，2x ﹣y+8=0和ax+3y ﹣5=0相互的交点数不超过2，则所有满足条件的a 组成的集合为 {，3，﹣6} ．考点： 两条直线的交点坐标． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 首先解出直线x+y+1=0与2x ﹣y+8=0的交点，代入ax+3y ﹣5=0求解a 的值；然后由ax+3y ﹣5=0分别和已知直线平行求解a 的值．解答：解：由，得，所以直线x+y+1=0与2x ﹣y+8=0的交点为（﹣3，2）， 若直线ax+3y ﹣5=0过（﹣3，2），则﹣3a+6﹣5=0，解得；由ax+3y ﹣5=0过定点（0，）， 若ax+3y ﹣5=0与x+y+1=0平行，得，a=3； 若ax+3y ﹣5=0与2x ﹣y+8=0平行，得，a=﹣6． 所以满足条件的a 组成的集合为{}．故答案为{}．点评： 本题考查了两条直线的交点坐标，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．11．（5分）设S n =1+2+3+…+n，n ∈N *，则函数的最大值为 ．考点：等差数列的前n 项和；函数的最值及其几何意义． 专题： 计算题． 分析： 由题意求出S n 的表达式，将其代入代简后求其最值即可．解答：解：由题意S n =1+2+3+…+n=∴===≤=等号当且仅当时成立故答案为点评： 本题考查等差数列的前n 项公式以及利用基本不等式求最值，求解本题的关键是将所得的关系式转化为可以利用基本不等式求最值的形式，利用基本不等式求最值是最值的一个比较常用的技巧，其特征是看是否具备：一正，二定，三相等．12．（5分）直线l：x=my+n（n＞0）过点A（4，4），若可行域的外接圆直径为，则实数n的值是2或6 ．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：令直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B点，则得可行域是三角形OAB，根据正弦定理可构造一个关于n的方程，解方程即可求出实数n的值解答：解：设直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B（n，0）点，∵直线x=my+n（n＞0）经过点A（4，4 ），直线x﹣y=0也经过点A（4，4 ），∴直线x=my+n（n＞0）经过一、二、四象限∴m＜0∴可行域是三角形OAB，且∠AOB=60°∵可行域围成的三角形的外接圆的直径为，由正弦定理可得，=2R=∴AB=•sin∠60°=8=∴n=2或6故答案为：2或6．点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据已知条件，结合正弦定理，构造关于n的方程，是解答本题关键．13．（5分）过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的l的个数为2 条．考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：探究型；直线与圆．分析：由l经过点（a，0）和（0，b）求出l的斜率，写出直线方程的点斜式，代入点（a，0）可得=1，求出满足该式的整数对a，b，则答案可求．解答：解：由题意可得直线L的表达式为y=（x﹣1）+3因为直线l经过（a，0），可得+3=b 变形得=1，因为a，b都属于正整数，所以只有a=2，b=6和a=4，b=4符合要求所以直线l只有两条，即y=﹣3（x﹣1）+3和y=﹣（x﹣1）+3．故答案为2．点评：本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．14．（5分）若a，b，c∈R，且满足，则a的取值围是[1，5] ．考点：函数与方程的综合运用．专题：应用题．分析：根据条件，利用基本不等式，可将问题转化为关于a的不等式，解之，即可得到a的取值围．解答：解：∵a2﹣bc﹣2a+10=0，∴bc=a2﹣2a+10∵b2+bc+c2﹣12a﹣15=0．∴b2+bc+c2=12a+15．∵b2+bc+c2≥bc+2bc=3bc∴12a+15≥3（a2﹣2a+10）∴a2﹣6a+5≤0∴1≤a≤5∴a的取值围是[1，5]故答案为：[1，5]点评：本题以等式为载体，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，利用基本不等式，将问题转化为关于a的不等式是解题的关键．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知，，，求f（β）的值．三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．考点：计算题．专题：分（1）由辅助角公式对已知函数化简可得，，结合正弦析：函数的性质可求周期、函数的最大值（2）由已知利用和角与差角的余弦公式展开可求得cosαcosβ=0，结合已知角α，β的围可求β，代入可求f（β）的值．解解：（1）∵答：=sinxcos=∴，∴T=2π，f（x）max=2（2）∵∴cosαcosβ=0 ∵，∴点评： 本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的应用，正弦函数的性质的应用，两角和与差的余弦公式的应用． 16．（14分）如图，要测量河对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距km 的C 、D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求AB 之间的距离．考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题；应用题． 分析： 先在△ACD 中求出∠CAD、∠ADC 的值，从而可得到AC=CD=，然后在△BCD 中利用正弦定理可求出BC 的长度，最后在△ABC 中利用余弦定理求出AB 的长度即可．解答： 解：在△ACD 中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°∴AC=CD=km在△BCD 中，∠BCD=45°∠BDC=75°∠CBD=60°∵=∴BC==，在△ABC 中，由余弦定理得： AB 2=2+（）2﹣2×cos75°=3+2+﹣=5∴AB=km答：A 、B 之间距离为km ．点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的综合运用．解三角形在高考中是必考容，而且属于较简单的题目，一定要做到满分．17．（15分）过点P （2，1）的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ． （1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l 的方程； （2）求v=|PA|•|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l 的方程．考点：直线和圆的方程的应用． 专题：直线与圆． 分析： （1）设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代数式表示出u ，然后利用基本不等式求最小值； （2）由两点间的距离公式求出|PA|，|PB|，代入v=|PA|•|PB|后取平方，然后利用基本不等式求最值． 解答：解：（1）设点A （a ，0），B （0，b ），则直线l ： ∵P（2，1）在直线l 上，∴，∴，∵a，b ＞0，∴a＞2．==．当且仅当a ﹣2=（a ＞2），即a=2+时等号成立．此时b=1+． ∴，此时l ：，即；（2）由（1）知，，∵，∴．当且仅当，即a=3时等号成立，此时b=3．∴u min =4，此时l ：，即x+y=3． 点评： 本题考查了直线方程的应用，训练了利用基本不等式求最值，解答的关键在于利用基本不等式求最值的条件，是中档题． 18．（15分）某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，已知每生产1千克甲产品需要A 种原料4千克，B 种原料2千克；每生产1千克乙产品需要A 种原料2千克，B 种原料3千克．但该厂现有A 种原料100千克，B 种原料120千克．问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值．考点： 简单线性规划． 专题： 应用题． 分析： 先设生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，其利产值为z 元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=600x+400y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=600x+400y 过可行域的点时，从而得到z 值即可．解答： 解析：设生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，其利产值为z 元，根据题意，可得约束条件为…（3分）作出可行域如图：…．（5分）目标函数z=600x+400y ，作直线l 0：3x+2y=0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x+2y=z ，当直线l 经过P 点时z=600x+400y 取得最大值，…．（9分） 由，解得交点P （ 7.5，35）…．（12分）所以有z 最大=600×7.5+400×35=18500（元）…（13分）所以生产甲产品7.5千克，乙产品35千克时，总产值最大，为18500元．…（14分）点评：本题是一道方案设计题型，考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表达式；（3）证明：+…+＞2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系数法求函数的解析式．（3）利用放缩法证明不等式．解答：解：（1）因为x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立．所以当x=1时，有1≤f（1）≤（1+1）=1，所以f（1）=1．（2）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，a≠0，因为f（1）=1，f（﹣1）=0，所以a+c=b=．因为f（x）≥x对一切实数x恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c≥0，所以必有，解得a＞0，ac，所以c＞0．因为，当且仅当a=c=取等号，所以．（3）因为，所以+…+＞．故不等式+…+＞2成立．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质以及利用放缩法证明不等式，综合性较强．20．（16分）（2011•区一模）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．（Ⅰ）证明d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列d m分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（c m）4（c m＞0），求数列的前n项和S n．（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的S n，求使得不等式成立的所有N的值．考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可；（Ⅱ）由d1=1，d2=3，代入d m中，确定出d m的通项，根据题意的分组规律，得到第m组中有2m﹣1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m﹣1个奇数，利用等差数列的前n项和公式表示出之和，从而表示出前m2个奇数的和，又前m组中所有数之和为（c m）4（c m＞0），即可得到c m=m，代入中确定出数列的通项公式，根据通项公式列举出数列的前n项和S n，记作①，两边乘以2得到另一个关系式，记作②，②﹣①即可得到前n项和S n的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到d n和S n的通项公式代入已知的不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f（n），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n≥6时，其值大于0即原不等式成立，又N不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N从5开始到20的连续的正整数．解答：解：（Ⅰ）由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=[1+（n﹣1）d2]﹣[1+（n﹣1）d1]=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．（4分）（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，d m=2m﹣1（m∈N*）．数列d m分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），．按分组规律，第m组中有2m﹣1个奇数，所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）=m2个奇数．注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+（2k﹣1）=k2，所以前m2个奇数的和为（m2）2=m4．即前m组中所有数之和为m4，所以（c m）4=m4．因为c m＞0，所以c m=m，从而．所以S n=1•2+3•22+5•23+7•24+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n.2S n=1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1．①故2S n=2+2•22+2•23+2•24+…+2•2n﹣（2n﹣1）•2n+1=2（2+22+23+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1==（3﹣2n）2n+1﹣6．②②﹣①得：S n=（2n﹣3）2n+1+6．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得d n=2n﹣1（n∈N*），S n=（2n﹣3）2n+1+6（n∈N*）．故不等式，即（2n﹣3）2n+1＞50（2n﹣1）．考虑函数f（n）=（2n﹣3）2n+1﹣50（2n﹣1）=（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．当n=1，2，3，4，5时，都有f（n）＜0，即（2n﹣3）2n+1＜50（2n﹣1）．而f（6）=9（128﹣50）﹣100=602＞0，注意到当n≥6时，f（n）单调递增，故有f（n）＞0．因此当n≥6时，（2n﹣3）2n+1＞50（2n﹣1）成立，即成立．所以，满足条件的所有正整数N=5，6，7，…，20．（14分）点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，会利用错位相减的方法求数列的通项公式，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．。

江苏省扬州中学2019——2020学年度第二学期阶段测试高 一 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。

1. 直线:20l x +=的倾斜角为（ D ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°2．已知ABC ∆中4,30a b A ===，则B 等于（A ） A ．60°或120°B ．30°C ．60°D ．30°或150°3．若方程2220x y x m +--=表示圆，则m 的范围是（ C ）A. B. C. (1,)-+∞ D.4.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 的形状是 ( B )． A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 5．已知1x >，则41x x +-的最小值为( C )． A ．3B ．4C ．5D ．66．两圆22=9x y +和228690x y x y +-++=的位置关系是（ B ） A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切7．过点（–1，–3）且垂直于直线x –2y+3=0的直线方程为（ D ） A ．2x+y –1=0 B ．x –2y –5=0 C ．x –2y+7=0 D ．2x+y+5=08．已知角+4πα的终边和单位圆221x y +=交于点01(,)3P x ，则（ C ）A .19 B . 23- C .79- D . 139.设P 点为圆C ： 22-2=5x y +（）上任一点，动点Q （2a ，a+2），则PQ 长度的最小值为（ A ）A .BC . 15D . 6510．设点(2,3),(3,1)A B -，若直线20ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的范围是（ D ）A .5(,][1,)2-∞-⋃+∞B . 5(1,)2-C . 5(1)2-，D . 5(,1][,)2-∞-⋃+∞ 11．如图，AD 为某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，若某科研小组在坝底A 点测得0=15BAD ∠，沿着坡面前进40米到达E 点，测得0=45BED ∠，则大坝的坡角（DAC ∠）的余弦值为（A ）A B C . D12．Rt ABC ∆中，，AB =4BC =，ABD ∆中，0120ADB ∠=，则CD 的取值范围是（ ）A ．2]B ．C ．2]D ．2]【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D 的坐标(,)D x y ，然后分析点D 的位置，利用直线的夹角公式，求得点D 的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可. 【详解】由题，以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y轴建立直角坐标系；(0,0);(0,4)B A C设点(,)D x y ，因为0120ADB ∠=，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在AB 的下方；当点D 可能在直线AB 的上方；直线BD 的斜率1yk x =；直线AD的斜率2k =由两直线的夹角公式可得：2121tan12011k k kk x-=⇒=+⋅+化简整理的22((1)4x y ++=可得点D 的轨迹是以点1)M -为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分； 此时CD 的最短距离为： 当当点D 可能在直线AB 的下方；同理可得点D 的轨迹方程：22((1)4x y +-=此时点D 的轨迹是以点N 为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分； 此时CD 的最大距离为： 所以CD 的取值范围为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13．过点且在x 轴，y 轴上截距相等的直线l 的方程为___________. 【答案】50x y +-=或320x y -=14.直线(4)y k x =+和曲线y =有两个不同的交点，则k 的范围是 . 【答案】15．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为______.【答案】258【解析】【分析】由点到直线距离公式及切线性质,可得,a b 等量关系.由圆心C 在直线l 的上方可得,a b 的符号特征.再结合基本不等式变形,即可求得ab 的最大值. 【详解】 圆C ：则圆心为,半径为r =直线l ：20x y +=与圆C ：相切所以由点到直线距离公式和切线性质可得,即25a b += 因为圆心C 在直线l 的上方,所以20a b +> 所以25a b +=由基本不等式2222a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得21525228ab ⎛⎫≤⨯= ⎪⎝⎭ 当且仅当2a b =时取等号,即55,24a b ==时取等号 所以ab 的最大值为258故答案为:25816．△ABC 中，AB ＝AC ABC 所在平面内存在点P 使得222PB PC 3PA 3+==，则△ABC 面积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知直线．（Ⅰ）若，求实数a 的值；（Ⅰ）当时，求直线1l 与2l 之间的距离．【答案】（Ⅰ）32a =；（Ⅰ）3. （Ⅰ）∵，且，∴13(2)0a a ⨯+⨯-=，解得32a =． （Ⅰ）∵，且，∴(2)31a a -=⨯且1a -≠，解得3a =， ∴，即∴直线12,l l 间的距离为3d ==． 【点睛】本题考查平面内两直线的位置关系的判定和距离公式，解答本题的关键是熟记相关公式，即：若，则①2112210A A l B B l +⇔=⊥；②121221l l A B A B ⇔=∥且1221AC A C ≠，或121221l l A B A B ⇔=∥且1221BC B C ≠．考查转化和计算能力，属于基础题．18．已知圆C 经过抛物线y=x2-4x+3与坐标轴的三个交点． （1）求圆C 的方程；（2）设直线2x -y+2=0与圆C 交于A ，B 两点，求|AB|．【答案】(1) ．(2)5【解析】 【分析】（1）求出抛物线243y xx =-+与坐标轴的交点坐标,确定圆心与半径,即可求圆C 的方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,再由圆的半径,利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长 【详解】解：（1）抛物线243y xx =-+与坐标轴的交点分别是,,所求圆的圆心是直线y x =与2x =的交点,圆的半径是r ==于是圆C 的方程为（2）圆心C 到直线220x y -+=的距离d ==,AB === 19．已知a ，b ，c 分别为非等腰ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，． （1）证明：2C B =；（2）若3b =，c =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）详见解析；（2 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理完成边化角，然后得到关于角的等式，分析其中2B 与C 的关系即可证明；（2）根据（1）的结论计算出cos B 的值，然后即可计算出a 的值，再根据面积公式求解三角形面积即可. 【详解】（1）由余弦定理得2222cos a c b ac B =+-， ∴，∴sin 2sin B C =，2B C =或2B C π=-， 由2B C π=-得A B =，不符合条件，∴2C B =． （2）由（1）及正弦定理得，∴，解得1a =或3（舍），∴1123ABC S ∆=⨯⨯= 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）解三角形时，若出现sin 2sin 2A B =的形式不可盲目认为A B =，可能还会出现22A B π+=这一种情况，需要注意.（2）已知三角形中的两边及其中一边的对角，求解三角形面积的方法：先通过已知角的余弦求解出第三边长度，然后利用面积公式即可完成求解.在平面直角坐标系中，A(m,n),B(2,-1),C(-1,3), ABC ∆的内切圆圆心为原点O20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是6ECF π∠=,点,E F 在直径AB 上，且6ABC π∠=．（1）若CE AE 的长；（2）设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【答案】（1）1或3（2）【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）在ACE ∆中,因为13CE =，，3BAC π∠=，所以由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =-+，且13CE =，，所以213164AE AE =+-，解得1AE =或3AE =（2）该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大，所以用ACE α∠=表示出，再利用三角函数求最值得试题解析：（1）连结AC ，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形，因为8AB =，6ABC π∠=，所以3BAC π∠=，4AC =，在ACE ∆中由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =-+，且CE =所以213164AE AE =+-， 解得1AE =或3AE =，（2）因为2ACB π∠=，6ECF π∠=， 所以ACE α∠=[0,]3π∈， 所以362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭， 在ACF ∆中由正弦定理得：所以CF = 在ACE ∆中，由正弦定理得：所以sin()3CE πα=+，若产生最大经济效益，则ECF △的面积最大，， 因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13πα≤+≤所以当=3πα时，取最大值为43，此时该地块产生的经济价值最大21、（本题14分）（1）已知圆C 和y 轴相切于点(0,2)T ，与x 轴的正半轴交于M 、N 两点（M 在N 的左侧），且MN=3；（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一条直线与圆22:4O x y +=相交于点A 、B ，连接AN 和BN ，记AN 和BN 的斜率为12,k k ，求证：12k k +为定值. 【答案】（1） (2)见解析【解析】试题分析：（1）由题意，得到圆C 的方程为2＋(y －2)2＝；（2）直线AB ：x ＝1＋ty ，联立圆O 方程，得到韦达定理，求得kAN ＋kBN 为定值。

扬州中学2019—2020学年度第二学期阶段性检测高三数学一、填空题：请把答案写在答题卡相应位置上1. 已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}1,1,2=-B ，则()()U U A B ⋂=______. 2. 在复平面内，已知复数z 对应点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则z i=______. 3. 根据如图所示伪代码，最后输出的i 的值为 ______ ．4. 若a ，{}1,1,2b ∈-，则函数()22f ax x b x =++有零点的概率为__________. 5. “a b >”是“33a b >”的______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”） 6. 某批产品共100件，将它们随机编号为1，2，3，4，……，100，计划用系统抽样方法随机抽取20件产品进行检测，若抽取的第一个产品编号为3，则第三件产品的编号为______.7. 已知等比数列{}n a 前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若32154,243S a a T =+=，则a 1的值为_____________． 8. 已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为260cm π，则此圆锥的体积为 3cm .9. 知a >0，b >0，且a ＋3b ＝11b a -，则b 的最大值为________． 10. 函数()()2cos 10,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的最大值为3，若()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()2020f =______. 的11. 已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______. 12. 用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.13. 圆22640x y x y ++-=与曲线243x y x +=+相交于,,,A B C D 点四点，O 为坐标原点，则OA OB OC OD +++=_______.14. 函数32()1f x x ax b =---在(0,2)上有2个零点，则b a的范围是_________. 二、解答题：请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且tan tan a B b A =，1cos 4C =，3c =. （1）求cos A 的值；（2）求ABC 的面积.16. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 是菱形，160AAC ∠=︒，90BAC ∠=︒，M 为BC 中点，过1A ，1B ，M 三点平面交AC 于点N .求证：（1）//MN AB ；（2）AC ⊥平面11A B M .17. 如图，已知某市穿城公路MON 自西向东到达市中心O 后转向东北方向，34MON π∠=，现准备修建一条直线型高架公路AB ，在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，且要求市中心O 到AB 所在直线距离为10km . 的（1）求A ，B 两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO 段上距离市中心O 点30km 处有一古建筑C （视为一点），现设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C 和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？18. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，右准线为:4l x =.点P 是椭圆E 上异于长轴端点的任意一点，连接PF 并延长交椭圆E 于点Q ，线段PQ 的中点为M ，O 为坐标原点，且直线OM 与右准线l 交于点N .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若2OM MN =，求点P 的坐标；（3）试确定直线PN 与椭圆E 的公共点的个数，并说明理由.19. 在等比数列{}n a 中，已知1411,.8a a ==设数列{}nb 的前n 项和为n S ，且()*1111,2,.2n n n b a b S n n N -=-+=-≥∈ （1）求数列{}n a 通项公式；（2）证明：数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意*n N ∈，都有n n n S c a ≤≤？若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由.20. 已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>，试研究函数()g x 的极值情况；（2）记函数()()x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ，记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，证明：1202x x x +>.（A ）[选修4-2：矩阵与变换]21. 已知点A 在变换3:x x x y T y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒，得到点B .若点B 的坐标为()4,3-，求点A 的坐标.（B ）[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．23. （1）已知()2112n x +-的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1:4，求n 的值. （2）记()212210122112n n n x a a x a x a x +++-=+++⋅⋅⋅+，*n N ∈，①求0121n a a a +++⋅⋅⋅+；②设()2kk k a b =-，求和：()()01221123122k n b b b k b n b +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅. 24. 袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为n X ．（1）求随机变量2X 的概率分布及数学期望2()E X ；（2）求随机变量n X 的数学期望()n E X 关于n 的表达式．。

江苏省扬州市2019—2020学年度第二学期调研5月测试高三数学试题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______.【答案】{}|02x x << 【解析】 【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>， 所以AB ={}|02x x <<.故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题. 2.已知()12i z i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为_______.10 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求出213122i z i i +==+-，再根据复数模的运算221322z ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】()()()()()212131312111222i i i i i z i z i i i i ++++-=+⇒====+--+， 所以22321102z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题.3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取_______名学生.【答案】30【解析】【分析】首先算出高三年级学生人数在总学生人数中占的比例，然后将比例与抽取的学生人数相乘即可求解.【详解】高三年级在总学生人数中占的比例：6001 10008006004=++，所以高三年级需抽取人数为：112030 4⨯=.故答案为：30【点睛】本题考查了分层抽样的特征，掌握分层抽样的概念以及特征是解题的关键，属于基础题.4.如图伪代码的输出结果为_______.【答案】15【解析】【分析】分析程序语言，得出该程序运行后是计算并输出S的值，写出运行结果即可.【详解】该程序运行后是计算并输出：1234515S=++++=.故答案为：15【点睛】本题考查了程序语言的问题，考查了学生的推理能力，难度较小，属于基础题.5.若实数x，y满足110xyx y≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则2x y-的最小值为_______.【答案】-1【分析】作出约束条件的可行域，令2z x y=-，平移直线2y x=，转化为2y x z=-截距的最大值即可求解.【详解】作出约束条件110xyx y≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）：令2z x y=-，转化为2y x z=-截距的最大值作出直线2y x=，平移该直线，当直线经过点A时，直线2y x z=-的截距最大，010xx y=⎧⎨+-=⎩，解得0x=，1y=，即()0,1A，所以min2011z=⨯-=-.故答案为：-1【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.6.已知{}1,1a∈-，{}3,1,2b∈-，则直线10ax by不经过第二象限的概率为_______. 【答案】16【分析】(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，直线10axby 不经过第二象限，从而0a ≥，0b ≤，由此利用列举法能求出直线不经过第二象限的概率.【详解】直线：10ax by ，若{}1,1a ∈-，{}3,1,2b ∈-，∴(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，直线10ax by 不经过第二象限，∴0a ≥，0b ≤，∴满足直线10ax by 不经过第二象限的(),a b 有：()1,3-，共1种情况. ∴直线10ax by 不经过第二象限的概率为16P =. 故答案为：16【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，列举法求基本事件个数，属于基础题.7.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为_______.【答案】【解析】 【分析】求出抛物线的焦点()3,0F ，从而求出b ，进而求出虚轴长2b 即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点()3,0F ，双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，2249b c ∴+==，解得b =所以2b =故答案为：【点睛】本题考查了双曲线、抛物线的简单几何性质，需掌握双曲线的虚轴以及双曲线、抛物线的焦点，属于基础题. 8.已知α为锐角，且1cos()63πα+=，则cos α=_______.【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系可得sin()63πα+=，由cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式展开即可求解. 【详解】由α为锐角，且1cos()63πα+=，所以sin()63πα+==， 所以cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=+【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，则5S =_______.【答案】121 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得25211341134a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，13q =，再利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】由题意， 1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，设等比数列{}n a 的公比为q ，所以25211341134a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，13q =， 所以55181********S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 故答案为：121【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.10.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面ABCD 的中心，设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S 、2S ，则12S S =_______.【解析】 【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积即可求解. 【详解】如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为：142324S =⨯⨯=， 正四棱锥1111O A B C D -=∴正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为：21422S =⨯⨯=∴123105410S S ==. 故答案为：3105【点睛】本题考查了多面体侧面积的求法，涉及正四棱柱和正四棱锥的性质特征，是基础的计算题.11.已知曲线C ：()3f x x x =-，直线l ：y ax a =-，则“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】由已知可得，曲线C 与直线l 均过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ，写出过切点的切线方程，利用待定系数法明确a 的取值，再结合充分必要性作出判断【详解】()231f x x '=-，直线l ：y ax a =-过点()1,0，曲线C 也过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ， 则切线为()2300312y x x x =--，则2030312x a x a ⎧-=⎨=⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩或01214x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要【点睛】本题考查了充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查了计算能力与转化能力，属于中档题. 12.已知0x >，0y >，则16y x x xy++的最小值为_______.【答案】【解析】 【分析】由21616y y x x x xy xy+++=+，两次利用基本不等式即可求解.【详解】由0x >，0y >，21616248y y y y x x x x x xy xy xy xy +⋅⋅++=+≥+=+≥=，当且仅当x =4y =时取等号，故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.13.已知点D 为圆O ：224x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为()1,0，且1AM AN →→⋅=，则OA OD →→⋅的最小值为_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】设(),D x y ，222222441AM AN AD DN AD OD AD OD →→→→→→→→⎛⎫⋅=-=--=+-= ⎪⎝⎭，利用向量模的坐标运算求出点D 的轨迹方程为221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由OA OD x →→⋅=，根据点D 的轨迹方程即可求解.【详解】设(),D x y ，AM AN AD DM AD DN AD DN AD DN →→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222441AD DN AD OD AD OD →→→→→→⎛⎫=-=--=+-= ⎪⎝⎭，()1,AD x y →=-，(),OD x y →= ，()222215x y x y ∴-+++=，即222x x y -+=，221924x y ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，13122OA OD x →→⋅=≥-=-.则OA OD →→⋅的最小值为-1. 故答案为：-1【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积的坐标运算，考查了转化与化归的思想，属于中档题.14.数列{}n a 中，11a =，*1*1,4,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，设{}n a 的前n 项和为n S ，若142n n S λ-≤⋅恒成立，则实数λ的取值范围是_______. 【答案】332λ≥ 【解析】 【分析】11a =，*1*1,4,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+，可得43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =，可得()4311332n a n n -=+-⨯=-，()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++()154346n a a a n-=+++264n n =+， 由142n n S λ-≤⋅恒成立，只需21max642n n n λ-⎧⎫+≥⎨⎬⎩⎭即可，通过作差可得其单调性，即可得出最大值.【详解】由11a =，*1*1,4,4n n nn a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+， 所以43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =所以()4311332n a n n -=+-⨯=-， 所以()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++()154346n a a a n -=+++()213246642n n n n n +-=⨯+=+，由142n n S λ-≤⋅恒成立，即21642n n n λ-+≤⋅恒成立21max642n n n λ-⎧⎫+∴≥⎨⎬⎩⎭， 设21642n n n nc -+=， 则()()222116141646810222n n n n nn n n n n n c c +-++++-++-=-=， 当1n =时，26810120n n -++=>，即210c c ->， 当2n =时，2681020n n -++=>，即320c c ->， 当3n =时，26810200n n -++=-<，即430c c -<， 由二次函数的性质可知当4n ≥时，10n n C C +-<可得345n c c c c >>>>，且123c c c <<，所以{}3max 332n c c ==， 332λ∴≥. 故答案为：332λ≥【点睛】本题考查了数列的恒成立问题、等差数列的前n 项和公式，数列的单调性，考查了转化与划归的思想，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC 中，已知2cos S bc A =，其中S 为ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.（1）求角A 的值；（2）若6tan 5B =，求sin 2C 的值. 【答案】（1）4A π=.（2）1161【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式化简可得sin cos A A =，从而可得tan 1A =，即可求得A 的值.（2）利用两角和的正切公式可得tan()tan 114A B B π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，再有A B C π++=，求出()tan tan 11C A B =-+=，再利用二倍角公式sin 22sin cos C C C =，利用弦化切齐次式即可求解.【详解】解：（1）因为2cos S bc A =，所以12sin cos 2bc A bc A ⨯=， 则sin cos A A =，因为在ABC 中，()0,A π∈，所以sin cos 0A A =>， 所以tan 1A =， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=，又因为6tan 5B =，所以611tan5tan()tan11641tan15BA B BBπ++⎛⎫+=+===-⎪-⎝⎭-，因为在ABC中，A B Cπ++=，所以()tan tan11C A B=-+=，所以222sin cossin22sin cossin cosC CC C CC C==+222tan21122111tan11112261CC⨯====++.【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的正切公式、二倍角公式以及齐次式求三角函数值，属于基础题.16.如图，三棱柱111ABC A B C-中，1BC B C=，O为四边形11ACC A对角线交点，F为棱1BB 的中点，且AF⊥平面11BCC B.（1）证明：//OF平面ABC；（2）证明：四边形11ACC A为矩形.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AC中点D，连结,OD BD，由题意111////BB CC AA且11BB AA=，证出//OD BF，且OD BF=，进而可得//OF BD，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）首先证出1CF BB⊥，利用线面垂直的性质定理证出1AF BB⊥，再利用线面垂直的判定定理证出1BB⊥平面AFC，从而可证出1BB AC⊥，根据11//BB CC，即证1AC CC⊥. 【详解】证明：（1）取AC中点D，连结,OD BD.在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形，111////BB CC AA 且11BB AA =.因为O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点，所以O 为1A C 中点， 又D 为AC 中点，所以1//OD AA ，且112OD AA =. 又11//BB AA ，11BB AA =，所以1//OD BB ，且112OD BB =.又F 为1BB 中点，所以//OD BF ，且OD BF =， 所以ODBF 为平行四边形， 所以//OF BD ，又因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以//OF 平面ABC ：（2）因为1BC B C =，F 为1BB 中点，所以1CF BB ⊥，又因为AF ⊥平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以1AF BB ⊥.因为1CF BB ⊥，1AF BB ⊥，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF AF F ⋂=， 所以1BB ⊥平面AFC .又AC ⊂平面AFC ，所以1BB AC ⊥， 又由（1）知11//BB CC ，所以1AC CC ⊥，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形， 所以四边形11ACC A 为矩形.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及性质定理，属于基础题. 17.某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为63ππθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭；②架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形111A B C 均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2:3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形111A B C 的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.（1）当3πθ=时，求“支架高度”；（2）求“支架需要空间”的最大值. 【答案】（1）32米.（2）950立方米.【解析】 【分析】（1）根据题意1AA 与地面所成的角为3π，11AA =米，从而31sin 3h π=⨯=. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O ，且1111113cos 5O A O C O B θ===，表示出111A B C △S ，进而2273sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin t θ=，利用导数即可求解. 【详解】解：（1）因为架面与架底平行，且1AA 与地面所成的角为3π，11AA =米， 所以“支架高度”31sin3h π=⨯=（米）. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O .又11O A ⊂平面111A B C ，所以111OO O A ⊥， 又1AA 与地面所成的角为θ，所以113cos 5O A θ=， 同理11113cos 5O C O B θ==， 所以1O 为等边三角形111A B C 外心，也为其重心， 所以11113333cos 3cos 2553B C AO θθ=⋅⋅=⨯=， 11122333273cos cos A B C S θθ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 记“支架需要空间”为V ，则2273cos sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令sin t θ=，则13,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以()()232732731V t t t t =-=-，13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 又()222738131'131001003V t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭8133310033t t ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则当13,23t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，'0V >，V 单调递增；当33,32t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，'0V <，V 单调递减. 所以当33t =时，3max 27333273329350V ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（立方米）.答：（1）当3πθ=时，“支架高度”为3米； （2）“支架需要空间”的最大值为950立方米. 【点睛】本题考查了导数在研究函数最值中的应用，解题的关键是列出函数表达式，考查了分析解题的能力，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且椭圆的离心率为22，直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C 、D 两点.（1）求椭圆E 的标准方程； （2）求线段CD 长的最大值； （3）求AC AD →→⋅的值.【答案】（1）2212x y +=（2）max 433CD =（3）0 【解析】 【分析】（1）由离心率2222ca b e aa -===，解得222a b =，再将点21,2⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，可得221112a b+=，解出a 、b 即可求解. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB 的中点(),M M M x y ，求出直线CD 的方程为13y x t =--，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.（3）利用向量数量积的坐标运算，结合（2），利用韦达定理即可求解.【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为()20c c >，则2c e a a ===，可知222a b =. 又因为椭圆E过点1,2⎛ ⎝⎭，所以221112a b +=， 解得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由2222y x t x y =+⎧⎨+=⎩得2234220x tx t ++-=， 又直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以1221243223x x t t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，且()22(4)43220t t ∆=-⨯⨯->，则t <<设AB 的中点(),M M M x y ，则12223M x x x t +==-，13M M y x t t =+=， 所以AB 的中垂线的方程为13y x t =--，即直线CD 的方程为13y x t =--，由221322y x t x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩得2227122180x tx t ++-=，则342344921827x x t t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 所以CD ====又(t ∈，所以当0t=时，max CD ==（3）由（2）知，()()31314141,,AC AD x x y y x x y y →→⋅=--⋅--()()()()31413141x x x x y y y y =--+--()()314131414433x x x x x x t x x t ⎛⎫⎛⎫=--+------ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22234341134134114816339x x x x x x x x x t x x x tx t ⎛⎫=-+++++++++ ⎪⎝⎭()22343411481622339x x t x x x tx t =+++++，由（2）知342342211492182734220x x t t x x x tx t ⎧+=-⎪⎪-⎪=⎨⎪++-=⎪⎪⎩，所以()()223434114216234339AC AD x x t x x x tx t →→⋅=+++++ ()22221844216222273939t t t t t -⎛⎫=⨯+⨯-+-+ ⎪⎝⎭24163648027272727t ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及向量的数量积的坐标表示，考查了学生的计算能力，属于难题. 19.已知函数()()1f x a x a R x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()ln g x x =. （1）当1a =吋，解不等式()()0f x g x -≤； （2）设()()()u x xf x g x =-.①当0a <时，若存在()(),0,m n m n ∈+∞≠，使得()()0u m u n +=，证明：1mn <； ②当0a >时，讨论()u x 的零点个数. 【答案】（1）(]0,1（2）①见解析②见解析 【解析】 【分析】（1）将1a =代入，不妨设()()()1ln h x f x g x x x x=-=--，利用导数判断函数单调递增，由()10h =，即可求解.（2）①由()()0u m u n +=，代入解析式整理可得()222ln ln 0a m n m n +---=，由0a <，利用基本不等式可得()222ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--，方法一：设mn t =，利用导数即可证出；方法二：利用反证法，假设1mn ≥，找出()()22ln 0a mn mn --≤，与已知矛盾即可. ②()()()()21ln u x xf x g x a x x =-=--，求导函数2121'()2ax u x ax x x-=-=，求出函数的单调区间以及最值，且()10u =，讨论1=1<1>即可得出零点个数. 【详解】解：（1）设()()()1ln h x f x g x x x x=-=--， 则()22222131114'210x h x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭+-===>， 所以()h x 在()0,∞+上递增，又()10h =，所以01x <≤， 所以()()0f x g x -≤的解集为(]0,1.（2）①证明：由()()0u m u n +=得()()221ln 1ln 0a m m a n n --+--=，即()222ln ln 0a m n m n +---=，又0a <，所以()222ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--， 因为m n ≠，所以“=”不成立. 思路一：设mn t =，()(22)ln (0)v t a t t t =-->，则1'()20v t a t=-<， 所以()v t 在()0,∞+单调递减， 又()10v =，所以1t <，即1mn <. 思路二：假设1mn ≥，则220mn -≥，()ln 0mn ≥，所以()()22ln 0a mn mn --≤，这与(22)ln()0a mn mn -->矛盾，故1mn <. ②()()()()21ln u x xf x g x a x x =-=--，当0a >时，2121'()2ax u x ax x x-=-=，令()'0u x =得x =（负值舍去）.所以当x ⎛∈ ⎝时，()'0u x <，()u x 为减函数，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0u x >，()u x 为增函数.又()10u =.1︒1=，即12a =时，()u x 有一个零点.2︒1<，即12a >时，由()10u =可知(1)0u u <=， 又()0au e->，且1ae-<，所以，()u x 在()0,1有一个零点，故此时()u x 有两个零点；31>，即102a <<时，由()10u =可知(1)0u u <=，令()()ln 1x x x ϕ=--，则()11'1xx x xϕ-=-=， 所以当()0,1x ∈时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减，所以()()max 10x ϕϕ==， 故ln 1x x ≤-，则()ln 1x x -≥--. 所以()()()211u x a x x >---，所以110u a ⎛⎫->⎪⎝⎭，且111a ->，所以，()u x 在()1,+∞有一个零点，故此时()u x 有两个零点.综上，当12a =时，()u x 有1个零点； 当0a >且12a ≠时，()u x 有2个零点.【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用、导数在研究函数零点中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题.20.对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n N +∆=-∈，规定{}2n a ∆为{}n a 的二阶差分数列，其中()2*1n n n a a a n N+∆=∆-∆∈.（1）数列{}n a 的通项公式()2*n a n n =∈N ，试判断{}n a ∆，{}2na ∆是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{}n b 是公比为q正项等比数列，且2q ≥，对于任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=，求q 所有可能的取值构成的集合；（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且20n c ∆=，对满足2m n k +=，m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，都有m n c c ≠，且不等式m n k S S tS +>恒成立，求实数t 的最大值. 【答案】（1）{}n a ∆，{}2n a ∆是等差数列，见解析（2）⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据题干中的定义，结合等差数列的定义即可判断. （2）根据等比数列的通项公式可得11n n b b q -=，结合题干可得11111112n n n m b q b q b q b q +---+=，从而可得2(1)m nq q --=，且0m n -≥；分类讨论0-=m n 、1m n -=或2m n -≥即可求出q .（3）根据题中对数列的定义可得2n c ∆2120n n n c c c ++=-+=，从而可得211n n n n c c c c +++-=-，即{}n c 是等差数列，根据数列为正项等差数列可得0d >，代入等差数列前n 项和公式，由222()24m n m n ++>，可得m n k S S tS +>，当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立；当2t >时，令1m k =+，()*1,2n k k N k =-∈≥，代入等差数列的前n 项和公式，作差()()21(2)2k m n d tS S S t d k k t c k d ⎛⎫-+=--+-- ⎪⎝⎭，由02d t d ->，20k k -≥，即可求解.【详解】解：（1）因为2n a n =，所以221(1)21n n n a a a n n n +∆=-=+-=+，则12n n a a +∆-∆=，又13a ∆=，所以{}n a ∆是首项为3，公差为2的等差数列.因为212n n n a a a +∆=∆-∆=，则{}2n a ∆是首项为2，公差为0的等差数列.（2）因为数列{}n b 是公比为q 的正项等比数列，所以11n nb b q -=.又()21211212n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++++∆=∆-∆=---=-+，且对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=，所以对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得11111112n n n m b q b q b q b q +---+=，即2(1)m nq q--=，因为2q ≥，所以0m n -≥.1︒ 若0-=m n ，则2211q q -+=，解得0q =（舍）或2q，即当2q时，对任意的*n N ∈，都有2n n b b ∆=.2︒ 若1m n -=，则2310q q -+=，解得32q =（舍）或32q +=，即当32q +=时，对任意的*n N ∈，都有21n n b b +∆=. 3若2m n -≥，则22(1)m nqq q -≥>-， 故对任意的*n N ∈，不存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=.综上所述，q 所有可能的取值构成的集合为32,2⎧+⎪⎨⎪⎪⎩⎭；（3）因为20n c ∆=，所以()21211n n n n n n n c c c c c c c ++++∆=∆-∆=---2120n n n c c c ++=-+=，则211n n n n c c c c +++-=-，所以{}n c 是等差数列. 设{}n c 的公差为d ，则()11n c c n d =+-. 若0d =，则m n c c =；若0d <，则当11c n d>-时，0n c <， 与数列{}n c 的各项均为正数矛盾，故0d >. 由等差数列前n 项和公式可得2122n d d S n c n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 所以22112222n m d d d d S S n c n m c m ⎛⎫⎛⎫+=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221()22d d n m c m n ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， 212222k d m n d m n S c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又m n ≠，222()24m n m n ++>， 所以()221()22n m d d S S n m c m n ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭21()()2222k d m n d c m n S +⎛⎫>⋅+-+= ⎪⎝⎭， 则当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立.另一方面，当2t >时，令1m k =+，()*1,2n k k N k =-∈≥， 则()()22111222m n d d S S k k c k ⎛⎫⎡⎤+=++-+-⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭()2122222d d k k c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 2122k d d S k c k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()()22112222222k m n d d d d tS S S tk c tk k k c ⎛⎫⎛⎫-+=+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21(2)2d t d k k t c k d ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭， 因为02dt d ->，20k k -≥， 所以当1(2)dk t c >-时，()0k n m tS S S -+>，即m n k S S tS +<.不满足任意性.所以2t ≤ .综上，t 的最大值为2.【点睛】本题考查了数列的新定义、等差数列的定义以及等差数列的前n 项和公式，属于难题.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.已知矩阵22a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1223N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且1001MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线30x y +=，求直线l 的方程.【答案】（1）3221M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）30x y -=.【解析】 【分析】（1）利用待定系数或公式即可求解.（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，代入直线即可求解. 【详解】解：（1）用待定系数或公式42622212102014323a a a MN b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢+++⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎣⎦， 解得3a =-，1b =-，可求得3221M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，即3232'212'x x y x y x y y --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦在30x y +=上， 则32630x y x y -++-=，即30x y -=，所以直线l 的方程为30x y -=. 【点睛】本题考查了矩阵的变换，需掌握矩阵的运算公式，属于基础题.22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为313x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：)4πρθ=-，求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】 【分析】将直线的参数方程消去参数t 化为普通方程，将圆的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：把直线方程l ：313x ty t=⎧⎨=-⎩化为普通方程为1x y +=.圆2sin 2cos 4πρθρθθ⎛⎫=-⇒=- ⎪⎝⎭， 即22sin 2cos ρρθρθ=-，化为普通方程为22220x x y y ++-=， 即()()22112x y ++-=，圆心C 到直线l 的距离d ==所以直线l 被圆C 截得的弦长为=.【点睛】本题考查了直线参数方程化为普通方程、曲线的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相交几何法求弦长，属于基础题.23.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元（m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励1002200⨯=元）. （1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率； （2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 概率分布与期望()E X .【答案】（1）35（2）见解析，期望是150元. 【解析】 【分析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数：31560n A ==；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解.【详解】解：（1）因为总的基本事件个数31560n A ==，摸到三位数是奇数的事件数1223436n A A ==，所以1363605P ==； 所以摸到三位数是奇数的概率35.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，3(50)5P X ==，1321(100)6010P X ⨯⨯===，1311(200)6020P X ⨯⨯===，1321(300)6010P X ⨯⨯===，1311(400)6020P X ⨯⨯===，1321(500)6010P X ⨯⨯===，获奖金额X 的概率分布为均值311111()5010020030040050015051020102010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 所以期望是150元.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.24.（1）证明：()1*111,11k k n n C C n N k N k n ++=∈∈++； （2）计算：001122202020202020202020202020111(1)(1)(1)(1)232021C C C C -+-+-++-；（3）计算：2020202002(1)2k kk C k =-+∑. 【答案】（1）见解析（2）12021（3）12043231【解析】 【分析】（1）利用组合数的运算即可求证.（2）利用组合数的运算与性质即可证出. （3）方法一：设02(1)2nk kn n k a C k ==-+∑，可得()11111221(1)(1)22n k k k n n n n k a C C k n ----==+-++-++∑，再利用组合数的运算性质即可求解；方法二：202020202020022020!2(1)(1)(1)2!(2020)!(2)(1)kkk k k k Ck k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑，根据组合数的运算即可求解.【详解】解：（1）1111!1(1)!111!()!1(1)!()!1k k n n n n C C k k k n k n k n k n +++=⋅=⋅=++-++-+； （2）01122202020202020202020202020111(1)(1)(1)(1)232021C C C C -+-+-++- 2020202012020202100111(1)(1)120212021kk k k k k C C k +===-=-=+∑∑. （3）设02(1)2nkkn nk a Ck ==-+∑， 则()11111221(1)(1)22n k k k n n n n k a C C k n ----==+-++-++∑ 11111122(1)(1)22nn kk k kn n n n k k k a Ca C k n k ----===+-=+-++∑∑ ()1100222(1)(1)02n nk k k kn n n n n k k a C C a a n k n --==⎧⎫=+---=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑. 所以121221n n n n n n n a a a a n n n ---=⇒=⋅+++1(1)32(2)(1)54n n a n n -⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅⋅， 又113a =，所以2!2!1(2)!n nn n a n C +==+. 所以20202020202020202020222022211(1)2kkk Ca k C C =-===+∑ 11101120212043231==⨯.（结果没化简，不扣分）方法二：202020202020022020!2(1)(1)(1)2!(2020)!(2)(1)k kk k k k Ck k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑ 20202022!2(1)(1)(2)!(2020)!20222021k k k k k =+=-⋅⋅+-⨯∑20202202202(1)(1)20222021k k k k C +==⋅-⋅+⋅⨯∑ 20202202202(1)(21)20222021k k k k C +==⋅-⋅+-⋅⨯∑ 202020202220222022002(1)(2)(1)20222021k k k k k k k C C ++==⎡⎤=⋅-⋅+⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦∑∑ 2020202012220212022002(1)2022(1)20222021k k k k k k C C +++==⎡⎤=⋅-⋅⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦∑∑ ()20201120221120212022022022(1)(11)1(1)20222021k k k C C ++=⎡⎤=⋅--⋅-----⎢⎥⨯⎣⎦∑ ()202122022(11)11202220222021⎡⎤=⋅-⋅--+-⎣⎦⨯ 21120222021101120212043231===⨯⨯. 【点睛】本题考查了组合数的运算与性质，掌握组合数的运算性质是解题的关键，属于难题.。

2019-2020学年江苏省扬州中学高二（下）5月月考数学试卷（文科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x2-x=0}，B={-1，0}，则A∪B=______．2.直线x-y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是______．3.sin（-1740°）=______．4.已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m=______．5.i是虚数单位，设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=______．6.已知函数f（x）=，则f（f（））= ______ ．7.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=______．8.已知a＞b＞1，若，a b=b a，则ab=______．9.已知，则tan x=______．10.在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的______条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=8，b=10，△ABC的面积为20，则△ABC中最大角的正切值是______．12.已知函数f（x）=x3+ax2+bx满足f（1+x）+f（1-x）+22=0，则f（x）的单调递减区间是______．13.已知函数，若存在x0满足f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值，则所有满足条件的整数对（a，b）是______．14.已知方程f2（x）-kf（x）+1=0恰有四个不同的实数根，当函数f（x）=x2e x时，实数k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知复数z1，z A（-2，1），B（a，3），（a∈R）．（Ⅰ）若|z1-z2|=，求a的值；（Ⅱ）若复数z=z1•对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．16.已知命题p：函数f（x）=x2-2mx+m的图象与x轴至多有一个交点，命题q：|log2m-1|≤1．（1）若￢q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．17.将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-＜φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围．18.某度假山庄拟对一半径为1百米的圆形地块（如图）进行改造，在该地块上修建一个等腰梯形的游泳池ABCD（A、B、C、D在圆周上），其中AB∥DC，，圆心O在梯形内部．设∠DAO=θ，当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳泳池”．（1）求梯形游泳池的面积S（百米2）关于θ的函数关系式（化到最简形式），并指明定义域；（2）求当该游泳池为“最佳泳池”时tanθ的值．19.已知函数f（x）=ax2-4x+2，函数g（x）=（）f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在（-∞，2]和[2，+∞）上单调性相反，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若a＜0，不等式g（x）≤9在x∈（0，]上恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）已知a≤1，若函数y=f（x）-log2在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的范围．20.已知函数f（x）=-x2+ax-4ln x-a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在点，使函数f（x）的图象在点（x0，f（x0）），处的切线互相垂直，求a的最小值；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，对任意的x∈[1，+∞），求使f（x）＜m 恒成立的m的取值范围．（参考数据ln2≈0.693）-------- 答案与解析 --------1.答案：{-1，0，1}解析：【分析】本题考查了并集的定义与运算问题，是基础题．化简集合A，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x|x2-x=0}={0，1}，B={-1，0}，则A∪B={-1，0，1}．故答案为：{-1，0，1}．2.答案：60°解析：解：根据题意，设直线x-y+a=0的倾斜角为α，直线x-y+a=0可以变形为y=x+a，其斜率k=，tanα=且0°≤α＜180°，则有α=60°，故答案为：60°根据题意，设直线x-y+a=0的倾斜角为α，由直线的方程可得直线的斜率k=，进而可得tanα=，结合α的范围，即可得答案．本题考查直线倾斜角的计算，掌握直线的倾斜角与斜率的关系是解题的关键．3.答案：解析：解：原式=-sin1740°=-sin（5×360°-60°）=sin60°=，故答案为：．原式先利用奇函数的性质化简，将角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4.答案：3解析：解：角θ的终边经过点P（4，m），则r==，又sinθ==，解得m=3．故答案为：3．根据任意角的三角函数定义，列方程求出m的值．本题考查了任意角的三角函数定义与应用问题，是基础题．5.答案：解析：【分析】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x=1+yi，得x+xi=1+yi，∴x=y=1，则|x+yi|=|1+i|=．故答案为.6.答案：-2解析：解：因为，所以f（）==-1，所以=f（-1）=2（-1）3=-2．故答案为：-2．利用分段函数求出f（）的值，然后求解即可．本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．7.答案：123解析：【分析】本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123．故答案为：123．8.答案：8解析：解：∵；∴；∴；解得或log b a=2；∵a＞b＞1；∴log b a＞1；∴log b a=2；∴a=b2；又a b=b a；∴；∴b2=2b；∴b=2或b=0（舍去）；∴a=4；∴ab=8．故答案为：8．可知，从而根据得出，再根据a＞b＞1可得出log b a＞1，从而求出log b a=2，得出a=b2，代入a b=b a即可求出b=2，进而得出a=4，从而求出ab=8．考查对数的换底公式，对数的定义，对数式与指数式的互化，以及指数幂的运算．9.答案：解析：解：由得==tan=-2，则tan x===，故答案为：．利用三角函数的倍角公式进行化简，结合正切函数的倍角公式进行化简即可．本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的倍角公式进行转化是解决本题的关键．10.答案：充要解析：解：在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A＞sin B”⇔cos A＞cos（-B）⇔A＜-B，即A+B ＜，∴C＞，∴在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的充要条件．故答案为：充要．在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A＞sin B”⇔cos A＞cos（-B）⇔A＜-B，进而判断出结论．本题考查了三角函数的单调性、诱导公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：或-解析：解：∵a=8，b=10，△ABC的面积为20，∴S=ab sin C=40sin C=20，∴sin C=，若C为最大角，∠C=120°，此时tan C=-；若C不为最大角，∠C=60°，又a＜b，∴B为最大角，由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab cos C=64+100-80=84，∴c=2，再由正弦定理=得：sin B===，又cos B===，∴tan B=，综上，△ABC中最大角的正切值为或-．故答案为：或-利用三角形的面积公式S=ab sin C表示出三角形ABC的面积，把a，b及已知的面积代入求出sin C的值，分两种情况考虑：当C为最大角时，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而确定出tan C 的值，即为三角形中最大角的正切值；当C不为最大角时，根据a小于b得到B为最大角，求出C 的度数，利用余弦定理得到c2=a2+b2-2ab cos C，把a，b及cos C的值代入求出c的长，再由sin B及b 的值，利用正弦定理求出sin C的值，同时利用余弦定理表示出cos C，把a，b及c的值代入求出cos C 的值，进而确定出tan C的值，即为最大角的正切值，综上，得到所求三角形中最大角的正切值．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．12.答案：（-1，3）解析：解：由f（1+x）+f（1-x）+22=0，得（1+x）3+a（1+x）2+b（1+x）+（1-x）3+a（1-x）2+b（1-x）+22=0，即[（1+x）+（1-x）][（1+x）2-（1+x）（1-x）+（1-x）2]+a[（1+2x+x2）+（1-2x+x2）]+b（1+x+1-x）+22=0．∴（2a+6）x2+2（a+b+12）=0．∴，解得a=-3，b=-9．∴f（x）=x3+ax2+bx=x3-3x2-9x．则f′（x）=3x2-6x-9=3（x2-2x-3）．由f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．∴f（x）的单调递减区间是（-1，3）．故答案为：（-1，3）．由已知求得a，b的值，代入函数解析式，求出导函数，利用导数小于0求得f（x）的单调递减区间．本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．13.答案：（-1，-1）和（-1，3）解析：解：若a=0，则，则f（x）无最大值，故a≠0，∴函数f（x）为二次函数，要使f（x）有最大值，必须满足，解得a＜0且，此时当时，f（x）有最大值，又g（x）取最小值时，x0=a，依题意，有，则，∵a＜0且，∴，解得a=-1，此时b=-1或b=3，∴满足条件的整数对（a，b）有：（-1，-1），（-1，3）．故答案为：（-1，-1）和（-1，3）．a=0时，f（x）无最大值，故a≠0，则要使f（x）有最大值，由二次函数性质可得，a＜0且；易知当x0=a时，g（x）取最小值，则有，由此即可求解．本题考查二次函数的图象及性质，考查运算求解能力，属中档题．14.答案：解析：解：函数f′（x）=2xe x+x2e x=（x+2）xe x，由f′（x）＞0得（x+2）x＞0，得x＞0或x＜-2，此时f（x）为增函数，由f′（x）＜0得（x+2）x＜0，得-2＜x＜0，此时f（x）为减函数，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（0）=0，当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=，当x→0，f（x）＞0，且f（x）→0，作出函数f（x）的图象如图：设t=f（x），则当0＜t＜时方程t=f（x）有3个根，当t=时方程t =f（x）有2个根，当t=0或t＞时方程t =f（x）有1个根，则方程[f（x）]2-kf（x）+1=0等价为t2-kt+1=0，若[f（x）]2-kf（x）+1=0恰有四个不同的实数根，等价为t2-kt+1=0有两个不同的根，当t=0，方程不成立，即t≠0，其中0＜t1＜或t2＞，设h（x）=t2-kt+1，则满足，∴，∴，∴，∴k的取值范围为：．故答案为：．求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设t=f（x），将方程根的个数转化为一元二次方程根的分别进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程根的分布，求出函数的导数研究f（x）的单调性和极值是解决本题的关键，属中档题．15.答案：解：（I）由复数的几何意义可知：z1=-2+i，z2=a+3i．因为，所以．解得a=-1或a=-3…（5分）（II）复数z=z1•=（-2+i）（a-3i）=（-2a+3）+（a+6）i．由题意可知点（-2a+3，a+6）在直线y=-x上所以a+6=-（-2a+3），解得a=9…（10分）解析：（Ⅰ）写出复数，通过复数的模|z1-z2|=，列出方程即可求a的值；（Ⅱ）利用复数的乘法化简复数，通过复数的对应点在直线上，列出方程求解即可．本题考查复数的乘法运算法则，复数的几何意义，考查计算能力．16.答案：解：（1）命题q：|log2m-1|≤1．则：-1≤log2m-1≤1，解得：1≤m≤4．由于￢q为真命题，所以：m＞4或m＜1．（2）命题p：函数f（x）=x2-2mx+m的图象与x轴至多有一个交点，则：△=（-2m）2-4m≤0，解得：0≤m≤1，由于：p∨q为假命题，则：p和q都为假命题．故：，解得：m＞4或m＜0．解析：（1）直接利用对数不等式的解法和命题的否定确定m的取值范围．（2）直接利用对数不等式的解法和真值表确定m的取值范围．本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，对数不等式的解法，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.答案：解：（1）将y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=sin（x+）的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=f（x）=sin（x+）的图象，∴函数解析式为f（x）=sin（x+）.（2）∵x∈[0，3π]，∴x+∈[，]，∴sin（x+）∈[-1，1]，∵当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，∴函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，如图所示：由图象可知使方程f（x）=m有唯一实数根的m的取值范围为（-，）∪{1，-1}．解析：本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）图象的变换规律，正弦函数的图象与性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．（1）根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．（2）由题意可得当x∈[0，3π]时，函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，数形结合可得m的范围．18.答案：解：（1）分别取AB、CD的中点E、F，则E、O、F三点共线，EF⊥AB，EF⊥DC．∴，=．又，所以=．（2）∵AD=2cosθ，∴梯形ABCD的周长，可得游泳池的面积与周长之比：．可得．令f'（θ）=0，则．记，则时，f'（θ）＞0，函数f（θ）单调递增；时，f'（θ）＜0，函数f（θ）单调递减；所以当时，该游泳池为“最佳泳池”．解析：（1）分别取AB、CD的中点E、F，则E、O、F三点共线，EF⊥AB，EF⊥DC，可求AB，CD，EF，根据θ的范围，利用三角函数恒等变换的应用可求梯形游泳池的面积S（百米2）关于θ的函数关系式．（2）由已知可求梯形ABCD的周长，可得游泳池的面积与周长之比：．求导令f'（θ）=0，则，记，可求时，f'＞0，函数f（θ）单调递增；时，f'＜0，函数f（θ）单调递减可求当该游泳池为“最佳泳池”时tanθ的值．本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，利用导数分析函数的单调性，难度中档．19.答案：解：（Ⅰ）由单调性知，函数f（x）=ax2-4x+2为二次函数，其对称轴为，解得a=1，∴所求f（x）=x2-4x+2．（Ⅱ）依题意得，即在上恒成立，转化为ax2-4x+2≥-2在上恒成立，⇔ax2-4x+4≥0在上恒成立，法一：转化为a（ax2-4x+4)min≥0令h（x）=ax2-4x+4，由于a＜0，∴h（x）的对称轴为，结合图象，只须，解得-8≤a＜0．法二：转化为在上恒成立，令，则转化为a≥4t-4t2在t∈[2，+∞）上恒成立,即a≥（4t-4t2）max，a≥-8所以-8≤a＜0．（Ⅲ）∵，设r（x）=ax2-4x+5，s（x）=log2x，x∈[1，2]，则原命题等价于两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点．当a=0时，r（x）=-4x+5在[1，2]内为减函数，s（x）=log2x，x∈[1，2]为增函数，且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=-3＜s（2）=1，∴函数在区间有唯一的交点；当a＜0时，r（x）图象开口向下，对称轴为，∴r（x）在[1，2]内为减函数，s（x）=log2x，x∈[1，2]为增函数，且⇒-1≤a≤1，∴-1≤a＜0当0＜a≤1时，r（x）图象开口向上，对称轴为，∴r（x）在[1，2]内为减函数，s（x）=log2x，x∈[1，2]为增函数，则由⇒-1≤a≤1，∴0＜a≤1,综上，所求a的取值范围为[-1，1]解析：本题主要考查一元二次函数的性质，以及不等式恒成立问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．（Ⅰ）若函数f（x）在（-∞，2]和[2，+∞）上单调性相反，得到x=2是对称轴，进行求解即可求f （x）的解析式；（Ⅱ）利用参数分离法将不等式g（x）≤9在x∈（0，]上恒成立转化为求最值问题即可，求a的取值范围；（Ⅲ）根据函数零点和方程之间的关系，判断函数的单调性，即可得到结论．20.答案：解：（1），即，解得；（2），由题意，代入化简得．设，则8t2-6at+a2+5=0在t∈（2，3）上有解．令f（t）=8t2-6at+a2+5，由于，所以，即a＞0．又△=4a2-160≥0，所以．当时，代入方程解得，符合要求，因此．（3），令g（x）=-2x2+ax-4，由题意，g（x）在（1，+∞）上有两个不同的零点，则有，设f（x）的两个极值点分别是x1，x2（不妨1＜x1＜x2），则．∴，在上单调增，∴．且f（x）在（1，x1）上减，在（x1，x2）上增，在（x2，+∞）上增．，则，因此h（x）在上单调增．∴．∴．又f（1）=0＜3-4ln2，∴m≥3-4ln2．解析：（1）由题代入求值即可；（2）由导数的几何意义求函数在点（x0，f（x0）），处的切线的斜率，由切线互相垂直，列出关系式解得a的最小值即可；（3）由函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，求得f（x）的极大值，由端点值与极大值比较得到f（x）的最大值，进而得到m的取值范围即可．本题主要考查利用导数求函数的极值与最值，属于难题．。