导函数学生22222

试卷第1页，总10页

1．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑥2+1.

（Ⅰ）若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线方程为4𝑥−𝑦+𝑏=0，求实数𝑎和𝑏的值；

（Ⅱ）讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；

（Ⅲ）若𝑎<0，且对任意𝑥1,𝑥2∈(0,+∞)，𝑥1≠𝑥2,都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|>|𝑥1−𝑥2|，求𝑎的取值范围．

2．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥−12𝑥2+𝑥，𝑔(𝑥)=12𝑥2−2𝑥+1．

（Ⅰ）当a＝2时，求（x）在x∈[1，e2]时的最值（参考数据：e2≈7.4）；

（Ⅱ）若∀𝑥∈(0,+∞)，有f（x）＋g（x）≤0恒成立，求实数a的值；

3．已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥2+(2−𝑎)𝑥

（1）若函数𝑓(𝑥)在[1,+∞)上为减函数，求𝑎的取值范围；

（2）当𝑎=1时，𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥+𝑏，当𝑥∈[12,2]时，𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)有两个交点，求实数𝑏的取值范围；

4．已知函数𝑓(𝑥)=2𝑎ln𝑥−2(𝑎+1)𝑥+𝑥2(𝑎≤1).

（1）讨论𝑓(𝑥)的单调性；

（2）若𝑓(𝑥)在区间[1𝑒,𝑒2]上有两个零点，求𝑎的取值范围.

5．设函数2,1xfxegxkxkR.

（1）若直线ygx和函数yfx的图象相切，求k的值；

（2）当0k时，若存在正实数m，使对任意0,xm，都有2fxgxx恒成立，求k的取值范围.

6．已知函数244lnxfxkxkx，其中常数0k.

（Ⅰ）讨论fx在0,2上的单调性；

（Ⅱ）当4,k时，若曲线yfx上总存在相异两点1222,,,MxyNxy，使曲线yfx在MN、两点处的切线互相平行，试求12xx的取值范围.

7．已知函数的图像与直线相切.

（Ⅰ）求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若3gxax，设，讨论函数的零点个数.

8．设函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑘𝑥,𝑘∈𝑅.

（1）若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑒,𝑓(𝑒))处的切线与直线𝑥−2=0垂直，求𝑓(𝑥)的单调区间试卷第2页，总10页 （其中𝑒为自然对数的底数）；

（2）若对任意𝑥1>𝑥2>0,𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<𝑥1−𝑥2恒成立，求𝑘的取值范围.

9．已知函数22xfxemxx

（1）若0m，讨论fx的单调性；

（2）若12em，证明：当0,x时， 12efx

10．已知函数ln10axfxxaxa.

（Ⅰ）若fx在0,存在最小值，求a的取值范围；

（Ⅱ）当0x时，证明： 2ln11xxex.

11．已知函数.xfxe

（1）讨论函数gxfaxxa的单调性；

（2）证明： 34lnfxxxx.

12．已知函数fx=ex(ex﹣a)﹣a2x．

（1）讨论fx的单调性；

（2）若0fx，求a的取值范围．

13．已知函数cossinxfxaexxx，且曲线yfx在0,0f处的切线与0xy平行.

（1）求a的值；

（2）当,22x时，试探究函数fx的零点个数，并说明理由.

14．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑥2+𝑏在𝑥=1处取得极值2.（a,b∈R）

（1）求函数𝑓(𝑥)的表达式；

（2）当满足什么条件时，函数𝑓(𝑥)

在区间(𝑚,2𝑚+1) 上单调递增；

（3）若𝑃(𝑥0,𝑦0) 为𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑥2+𝑏 图象上任意一点，直线与𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑥2+𝑏的图象相切于点P，求直线的斜率𝑘 的取值范围.

15．已知函数2111fxxnxx．

（1）求函数fx的单调区间；

（2）设当0x时， 2fxax，求实数a的取值范围． 试卷第3页，总10页 16．已知函数22ln41fxaxxax（a为常数）

（1）若0a，讨论fx的单调性；

（2）若对任意的1,2a，都存在03,4x使得不等式204ln12lnfxamaaae成立，求实数m的取值范围.

17．已知函数𝑓(𝑥)=𝜆𝑥2+𝜆𝑥，𝑔(𝑥)=𝜆𝑥+ln𝑥，𝑕(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)，其中𝜆∈𝑅，且𝜆≠0.

⑴当𝜆=−1时，求函数𝑔(𝑥)的最大值；

⑵求函数𝑕(𝑥)的单调区间；

⑶设函数𝜑(𝑥)={𝑓(𝑥),𝑥≤0,𝑔(𝑥),𝑥>0.若对任意给定的非零实数𝑥，存在非零实数𝑡（𝑡≠𝑥），

使得 𝜑′(𝑥)=𝜑′(𝑡)成立，求实数𝜆的取值范围.

18．已知函数ln1fxxax，其中有aR.

（1）讨论函数fx在其定义域上的单调性；

（2）当0a，若存在121,,xxee使得12,0fxfx，求实数a的取值范围．

19．已知函数xfxeaxaaR，其中e为自然对数的底数.

（1）讨论函数yfx的单调性；

（2）若函数fx有两个零点12,xx，证明： 122lnxxa.

20．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥+(𝑥−𝑐)|𝑥−𝑐|,𝑎<0,𝑐>0

（Ⅰ）当𝑎=−34,𝑐=14时，求函数𝑓(𝑥)的单调区间；

（Ⅱ）设函数𝑓(𝑥)的图象在点𝑃(𝑥1,𝑓(𝑥1)),𝑄(𝑥2,𝑓(𝑥2))两处的切线分别为l1，l2．若𝑥1= −𝑎2,𝑥2=𝑐，且𝑙1⊥𝑙2，求实数c的最小值．

21．已知函数1ln1(0)afxxaxax

（1）设1a，试讨论fx单调性；

（2）设224gxxbx，当14a时，任意10,2x，存在21,2x，使12fxgx，求实数b的取值范围.

22．已知函数1fxlnxxa.

(Ⅰ)若存在0,x使得0fx成立,求实数a的取值范围；

(Ⅱ)求证：当1x时,在(1)的条件下, 211ln22xaxaxx成立． 试卷第4页，总10页 23．已知函数1ln,,afxxaxgxaRx.（12分）

（1）若1a，求函数fx的极小值；

（2）设函数hxfxgx，求函数hx的单调区间；

（3）若在区间1,e上存在一点0x，使得00fxgx成立，求a的取值范围，（ 2.718e）

24．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎ln(𝑥−𝑎)−12𝑥2+𝑥（a＜0）．

（Ⅰ）当a＝－3时，求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；

25．设sin,0.2(xfxexaxxa为常数）.

（1）当0a时，求fx的单调区间；

（2）若fx在区间0.2的极大值、极小值各有一个，求实数a的取值范围.

26． 已知函数22ln1fxaxxx（a为常数）.

（Ⅰ）当1a时，求函数fx的单调区间；

（Ⅱ）当0,x时，不等式fxx恒成立，求实数a的取值范围.

27．已知函数f（x）=𝑡𝑥2−1𝑥 −（t+1）lnx，，其中t∈R．

（1）若t=1，求证：当x＞1时，f（x）＞0成立；

（2）若t＞1𝑒 ，判断函数g（x）=x[f（x）+t+1]的零点的个数．

28．设函数211ln.2fxxaxax

（Ⅰ）讨论函数fx的单调性；

（Ⅱ）若fxb有两个不相等的实数根12,xx，求证120.2xxf

29．已知函数f(x)＝ax2＋x－xln x.

(1)若a＝0，求函数f(x)的单调区间及极值；

(2)若f(1)＝2，且在定义域内f(x)≥bx2＋2x恒成立，求实数b的取值范围．

30．设函数31,fxxaxbxR,其中,.abR

(Ⅰ)求fx的单调区间；

（Ⅱ）若fx存在极值点0x，且10fxfx，其中10xx，求证: 1023xx；

（Ⅲ）设0a，函数gxfx，求证： gx在区间0,2上最大值不小于14. 试卷第5页，总10页 31．已知函数ln1fxxx．

（1）求fx的单调区间；

（2）若kZ，且311fxxkx对任意1x恒成立，求k的最大值．

32．已知函数ln.fxxkxk

(Ⅰ)若0fx有唯一解,求实数k的值；

（Ⅱ）证明：当1a时， 21.xxfxkxkeax

（附： 322ln20.69,ln31.10,4.48,7.39ee）

33．已知函数f (x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．

（1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．

①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；

②若函数,{,fxxmFxgxxm的值域为R，求实数m的取值范围；

（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，

求证：e－1≤a≤e2－e．

34．已知函数𝑓(𝑥)=1𝑛𝑥+𝑎𝑥−1,𝑎∈𝑅．

（Ⅰ）若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≤12𝑥−1在[1,+∞)上恒成立，求𝑎的取值范围；

（Ⅱ）设函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥，若𝑔(𝑥)在[1,𝑒2]上存在极值，求𝑎的取值范围，并判断极值的正负．

35．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+2,𝑎∈𝑅．

（1）若方程𝑓(𝑥)=0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；

（2）若不等式𝑓(𝑥)≥−1−𝑎𝑥对任意𝑥∈𝑅恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若函数𝑓(𝑥)在[0，2]上的最大值为4，求实数a的值．

36．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，anan+1＝2(Sn＋1) (𝑛∈𝑁∗)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足b1＝1，𝑏𝑛=1𝑎𝑛 𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−1 𝑎𝑛(𝑛 ≥ 2，𝑛∈𝑁∗)，求{bn}的前n项和Tn；

（3）若数列{cn}满足lg𝑐1=13，lg𝑐𝑛=𝑎𝑛−13𝑛(𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗)，试问是否存在正整数p，q（其中1 < p < q），使c1，cp，cq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．

37．设函数2lnfxaxxa.

（Ⅰ）讨论函数fx的单调性；