2022高三统考数学文北师大版一轮：第二章第七节 函数的图像

学习资料第七节函数的图像授课提示：对应学生用书第29页[基础梳理]1．利用描点法作函数图像的基本步骤及流程(1）基本步骤：列表、描点、连线．（2)流程:①确定函数的定义域;②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．平移变换y＝f(x)错误!y＝f(x－a）；y＝f（x）错误!y＝f（x）＋b。

3．伸缩变换y＝f(x)错误!y＝f（ax)．y＝f(x）错误!y＝Af（x)．4．对称变换y＝f(x）错误!y＝－f（x）;y＝f（x)错误!y＝f(－x)；y＝f（x）错误!y＝－f（－x）．5．翻折变换y＝f(x)错误!y＝f(｜x|）;y＝f（x）错误!y＝|f（x）|．1．一个原则在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则．2．函数对称的重要结论（1)函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图像关于直线x＝a对称．(2）若函数y＝f(x）对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f（a－x),则函数y＝f(x）的图像关于直线x＝a对称．（3）函数y＝f(x)与y＝2b－f（2a－x)的图像关于点(a，b）中心对称．(4)在函数y＝f（x)中，将x换为－x，解析式不变,则此函数图像关于y轴对称．将y换成－y,解析式不变，则此函数图像关于x轴对称．若将x换成－x,y换成－y，解析式不变，则此函数图像关于（0，0）对称．若将x换成y,解析式不变，则函数图像关于y＝x对称．［四基自测］1．（基础点：用图像表示函数）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合的最好的图像是()答案：C2．（基础点：图像的作法)下列图像是函数y＝错误!的图像的是（）答案:C3．（易错点：函数值与自变量的对应关系)函数r＝f（p)的图像如图所示，若只有唯一的p 值与r对应，则r的取值范围为________．答案：（3,5］∪（0，2）4．(基础点:利用图像求参数）某函数y＝f(x）的图像如图，与直线y＝a有两个交点时a的取值范围为________．答案：{a｜－2≤a＜2或a＝3}授课提示：对应学生用书第30页考点一作函数的图像挖掘作已知函数解析式的图像/自主练透［例]作出下列函数的图像：（1)y＝｜x－2|·(x＋1）;(2）y＝错误!;(3)y＝|log2（x＋1）｜.[解析](1)先化简，再作图．y＝错误!图像如图实线所示．(2）因为y＝错误!＝1＋错误!，先作出y＝错误!的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝错误!的图像，如图所示．(3）利用函数y＝log2x的图像进行平移和翻折变换，图像如图实线所示．[破题技法］1。

2.7函数的图像必备知识预案自诊知识梳理1.利用描点法作函数图像的流程2。

函数图像间的变换(1）平移变换对于平移，往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减。

(2）对称变换（3)伸缩变换y=f(x）y=f(ax），y=f(x)y=Af(x)。

1.函数图像自身的轴对称(1）f(—x)=f(x)⇔函数y=f(x）的图像关于y轴对称;（2)函数y=f（x）的图像关于x=a对称⇔f(a+x)=f（a—x）⇔f（x)=f（2a—x）⇔f（—x)=f(2a+x)；(3)若函数y=f(x）的定义域为R，且有f（a+x)=f（b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+a2对称.2.函数图像自身的中心对称（1)f（—x）=—f（x）⇔函数y=f（x）的图像关于原点对称;（2)函数y=f（x)的图像关于(a,0)对称⇔f（a+x）=—f(a-x)⇔f(x)=-f（2a—x）⇔f（-x）=-f(2a+x）;(3)函数y=f(x)的图像关于点（a,b）成中心对称⇔f(a+x）=2b—f（a-x)⇔f(x）=2b-f(2a—x);（4）若函数y=f（x）的定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b—x)=c(a，b，c为常数)，则函数y=f(x）的图像关于点(a+a2,a2)对称。

3。

两个函数图像之间的对称关系(1)函数y=f(a+x）与y=f（b-x)的图像关于直线x=a-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);（2)函数y=f（x)与y=f(2a—x）的图像关于直线x=a对称；(3)函数y=f(x）与y=2b—f（-x）的图像关于点（0，b）对称;（4）函数y=f（x)与y=2b-f（2a-x)的图像关于点(a，b)对称。

考点自诊1。

判断下列结论是否正确,正确的画“√"，错误的画“×”.（1)将函数y=f（x）的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f（x+1)+1的图像.(）（2)当x∈(0,+∞）时,函数y=｜f（x)｜与y=f(｜x|）的图像相同.（）（3)函数y=f（x）与y=-f(—x)的图像关于原点对称。

第七节 函数的图像[考纲传真] 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．1．利用描点法画函数图像的流程2．利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)伸缩变换①y ＝f (x )的图像――――――――――――――――――――――→a ＞1，横坐标缩短为原来的1a ，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图像； ②y ＝f (x )的图像――――――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图像．(3)对称变换①y ＝f (x )的图像――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图像；②y ＝f (x )的图像――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图像；③y ＝f (x )的图像――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图像；④y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图像――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图像．(4)翻转变换①y ＝f (x )的图像―――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴上方部分不变y ＝|f (x )|的图像； ②y ＝f (x )的图像――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图像． [常用结论]1．一个函数图像的对称关系(1)函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b 2对称；特别地，当f (a ＋x )＝f (a －x )时，函数f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．(2)函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．2．两个函数图像的对称关系(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图像关于点(a ，b )中心对称．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图像，可由y ＝f (－x )的图像向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图像关于原点对称． ( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图像与y ＝|f (x )|的图像相同． ( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图像表示，则如图所示的四个函数图像中，甲、乙的图像应该是( )① ② ③ ④A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④B [设甲骑车速度为V 甲骑，甲跑步速度为V 甲跑，乙骑车速度为V 乙骑，乙跑步速度为V 乙跑，依题意V 甲骑＞V 乙骑＞V 乙跑＞V 甲跑，故选B ．]3．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图像可能是( )A B C DB [y ＝log a (－x )与y ＝log a x 的图像关于y 轴对称，故选B ．]4．函数y ＝log 12(1－x )的大致图像是( )A B C DD [把函数y ＝log12x 的图像对称到y 轴左侧得到y ＝log12(－x )的图像，再把所得图像向右平移1个单位，得到y ＝log12(1－x )的图像，故选D.]5．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1D [依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.]【例1】 作出下列函数的图像：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图像中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像，如图①实线部分．① ②(2)将函数y ＝log 2x 的图像向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图②.(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图像可由y ＝1x 图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.③ ④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④.【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图像大致为( )(2)如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图像大致为( )A B C D(1)B (2)D [(1)因为f (－x )＝e －x －e x (－x )2＝－e x －e －xx 2＝－f (x )(x ≠0)，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以函数f (x )的图像关于原点(0,0)中心对称，排除选项A ；因为f (1)＝e －1e>2，所以排除选项C ，D ，选B ． (2)如图所示，点P 的轨迹是分别以A ，B ，C ，D 为圆心，半径为12的4个14圆，以及线段EF ，GH ，RQ ，SJ 部分．则G 围成的面积为矩形的面积减去4个14圆的面积，即 y ＝x (4－x )－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4x －x 2－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，且当x ＝2时，y＝4－π4∈(3,4)，故选D.](1)(2019·武汉模拟)函数f(x)＝x3x－1的大致图像是()(2)如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图像大致是( )A B C D(1)C (2)C [(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，排除A ．又f (－1)＝(－1)33－1－1＝32＞0，排除B ． 当x →＋∞时，f (x )→0，故选C ．(2)当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图像呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C ．]►考法1 研究函数的性质【例3】 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上是减少的．]►考法2求不等式解集【例4】函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]＜0，则x的取值范围为________．(－3,0)∪(0,3)[函数f(x)的图像大致如图所示．因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]＜0，所以2x·f(x)＜0.由图可知，不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)．]21)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．(1)C(2)[－1，＋∞)[(1)作出函数y＝log2(x＋1)的图像，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图像的交点为D(1,1)，由图像可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}，故选C．(2)如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.]【例5】(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50(2)(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图像与函数y＝ln x的图像关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)(1)C(2)B[(1)由f(x)是奇函数知f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C．(2)设所求函数图像上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图像上，所以y ＝ln(2－x)．故选B．](1)直线y＝k(x＋3)＋5(k≠0)与曲线y＝5x＋17x＋3的两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＋y1＋y2等于()A．2B．4C．6D．8(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)．则f(2 019)＝()A．－3 B．0C．1 D．3(1)B(2)B[(1)因为y＝5x＋17x＋3＝2x＋3＋5，其图像关于点(－3,5)对称．又直线y＝k(x＋3)＋5过点(－3,5)，如图所示．所以A，B关于点(－3,5)对称，所以x1＋x2＝2×(－3)＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.(2)由题意知f(3－x)＝f(x)＝－f(－x)，则f(x＋3)＝－f(x)，从而f(x＋6)＝f(x)．即函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2 019)＝f(3)＝f(0)＝0，故选B．]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x 1－cos x的部分图像大致为( )C [令f (x )＝sin 2x 1－cos x， ∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0， ∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z)，故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，其图像关于原点对称，∴排除选项B ．故选C ．]2．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x x 2的部分图像大致为( )D [当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin x x 2→＋∞，故排除选项B ．当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin x x 2＞0，故排除选项A ，C ．故选D.]3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图像大致为()D [∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，∴其图像关于y 轴对称．又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B ．设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C ．故选D.]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图像关于直线x ＝1对称，∴两函数图像的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1m x i ＝2×m 2＝m ；mx i＝2×m－12＋1＝m.故选B．]当m为奇数时，i＝1。

第七节 函数的图像授课提示：对应学生用书第283页 [A 组基础保分练]y ＝ecos x（－π≤x ≤π）的图像大致为（）解析：当x ＝0时，则y ＝e cos0＝e ；当x ＝π时，则y ＝e cosπ＝1e.故排除A ，B ，D.答案：C 2.（2021·模拟）将函数y ＝（x －3）2图像上的点P （t ，（t －3）2）向左平移m （m ＞0）个单位长度得到点Q .若Q 位于函数y ＝x 2的图像上，则以下说法正确的是（） t ＝2时，m 的最小值为3 t ＝3时，m 一定为3 t ＝4时，m 的最大值为3 t ∈R ，m 一定为3解析：函数y ＝（x －3）2图像上的点P （t ，（t －3）2）向左平移3个单位长度得到函数y ＝x 2的图像，所以任意t ∈R ，m 一定为3. 答案：D 3.（2021·吕梁模拟）函数f （x ）＝|x |sin x 的图像大致是（）解析：函数f （x ）＝|x |sin x 为奇函数，图像关于原点对称，可排除B ，C ；又f （π）＝|π|sinπ＝0，故排除D. 答案：Af （x ）的部分图像如图所示，则函数f （x ）的解析式是（）A.f （x ）＝x ＋sin xB.f （x ）＝cos xxC.f （x ）＝x cos xD.f （x ）＝x ·⎝⎛⎭⎫x －π2·⎝⎛⎭⎫x －3π2 解析：由图像知函数为奇函数，∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，⎝⎛⎭⎫0，π2上先增后减，经检验⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝－sin x ·x －cos x x 2＜0，f （x ）在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数.结合选项知C 正确. 答案：Cf （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则2a ＋2b＋2c 的取值X 围是（）A.（16，32）B.（18，34）C.（17，35）D.（6，7） 解析：画出函数f （x ）的图像如图所示.不妨令a <b <c ，则1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2. 结合图像可得4<c <5，故16<2c <32，所以18<2a ＋2b ＋2c <34. 答案：Bf （x ）＝（ax 2＋bx ）e x 的图像如图所示，则实数a ，b 的值可能为（）A.a ＝1，b ＝2B.a ＝1，b ＝－2C.a ＝－1，b ＝2D.a ＝－1，b ＝－2解析：令f （x ）＝0，则（ax 2＋bx ）e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图像可知，－ba＞1，又当x ＞－ba 时，f （x ）＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意.答案：Bf （x ）＝ax －2x －1的图像关于点（1，1）对称，则实数a ＝__________.解析：函数f （x ）＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1（x ≠1），当a ＝2时，f （x ）＝2，函数f （x ）的图像不关于点（1，1）对称，故a ≠2，其图像的对称中心为（1，a ），即a ＝1.答案：1f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图像如图所示，则f （－3）等于__________.解析：由图像可得a （－1）＋b ＝3，ln （－1＋a ）＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x ＜－1，ln （x ＋2），x ≥－1，故f （－3）＝2×（－3）＋5＝－1.答案：－19.（2021·某某模拟）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].（1）在如图所示的直角坐标系内画出f （x ）的图像；（2）写出f （x ）的单调递增区间；（3）由图像指出当x 取什么值时f （x ）有最值.解析：（1）函数f （x ）的图像如图所示.（2）由图像可知，函数f （x ）的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]. （3）由图像知当x ＝2时，f （x ）min ＝f （2）＝－1，当x ＝0时，f （x ）max ＝f （0）＝3.f （x ）的图像与函数h （x ）＝x ＋1x＋2的图像关于点A （0，1）对称.（1）求f （x ）的解析式；（2）若g （x ）＝f （x ）＋ax ，且g （x ）在区间（0，2]上为减函数，某某数a 的取值X 围.解析：（1）设f （x ）图像上任一点P （x ，y ）（x ≠0），则点P 关于（0，1）点的对称点P ′（－x ，2－y ）在h （x ）的图像上，即2－y ＝－x －1x ＋2，即y ＝f （x ）＝x ＋1x（x ≠0）.（2）g （x ）＝f （x ）＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′（x ）＝1－a ＋1x 2.因为g （x ）在（0，2]上为减函数， 所以1－a ＋1x2≤0在（0，2]上恒成立.即a ＋1≥x 2在（0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值X 围是[3，＋∞）.[B 组能力提升练]f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，1x，x ＜0，g （x ）＝－f （－x ），则函数g （x ）的图像是（）解析：由题意得函数g （x ）＝－f （－x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x ＞0，据此可画出该函数的图像，如题图选项D 中图像.答案：D知函数f （x ）＝|x 2－1|，若0＜a ＜b 且f （a ）＝f （b ），则b 的取值X 围是（） A.（0，＋∞） B.（1，＋∞） C.（1，2） D.（1，2）解析：作出函数f （x ）＝|x 2－1|在区间（0，＋∞）上的图像如图所示，作出直线y ＝1，交f（x ）的图像于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图像可得b 的取值X 围是（1，2）.答案：C 3.（2021·某某模拟）若平面直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在f （x ）图像上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对（A ，B ）是函数f （x ）的一个“和谐点对”，已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ＜0，2e x，x ≥0，则f （x ）的“和谐点对”有（）B.2个 D.4个解析：作出函数y ＝x 2＋2x （x ＜0）的图像关于原点对称的图像，看它与函数y ＝2e x （x ≥0）的图像的交点个数即可，观察图像可得交点个数为2，即f （x ）的“和谐点对”有2个.答案：Bf （x ）＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与g （x ）＝2ln x 的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值X 围是（）A.⎣⎡⎦⎤1，1e 2＋2 B.[1，e 2－2] C.⎣⎡⎦⎤1e 2＋2，e 2－2 D.[e 2－2，＋∞）解析：由条件知，方程a －x 2＝－2ln x ，即a ＝x 2－2ln x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e h （x ）＝x 2－2ln x ，则h ′（x ）＝2x －2x ＝2（x －1）（1＋x ）x.因为当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时，h ′（x ）＜0，当x ∈（1，e]时，h ′（x ）＞0，所以函数h （x ）在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递减，在（1，e]上单调递增，所以h （x ）min ＝hh ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e2＋2，h （e ）＝e 2－2，所以h （e ）＞h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以方程a ＝x 2－2ln x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解等价于1≤a ≤e 2－2，所以a 的取值X 围为[1，e 2－2].答案：By ＝k （x ＋3）＋5（k ≠0）与曲线y ＝5x ＋17x ＋3的两个交点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝__________.解析：因为y ＝5x ＋17x ＋3＝2x ＋3＋5，其图像关于点（－3，y ＝k （x ＋3）＋5过点（－3，5），A ，B 关于点（－3，5）对称，所以x 1＋x 2＝2×（－3）＝－6，y 1＋y 2＝2×5＝10.所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4. 答案：4f （x ）在R 上单调且其部分图像如图所示，若不等式－2＜f （x ＋t ）＜4的解集为（－1，2），则实数t 的值为__________.解析：由题中图像可知不等式－2＜f （x ＋t ）＜4即为f （3）＜f （x ＋t ）＜f （0），故x ＋t ∈（0，3），即不等式的解集为（－t ，3－t ），依题意可得t ＝1. 答案：1x 的不等式4a x －1＜3x －4（a ＞0，且a ≠1）对于任意的x ＞2恒成立，求a 的取值X 围.解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f （x ）＝a x －1，g （x ）＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像如图①所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像如图②所示，当x ≥2时，f （2）≤g （2），即a 2－1≤34×2－1，解得a ≤12，所以a 的取值X 围是⎝⎛⎦⎤0，12.[C 组创新应用练]，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于x 轴的直线l ：x ＝t （0≤t ≤a ）经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y （图中阴影部分），若函数y ＝f （t ）的大致图像如图所示，那么平面图形的形状不可能是（）解析：由函数图像可知，阴影部分的面积随t 增大而增大，图像都是曲线，故选项A 、B 、D 符合函数的图像，而C 中刚开始的图像符合，当直线运动到梯形上底边时图像符合一次函数的图像. 答案：C2.（2021·某某模拟）已知f （x ）是R 上的偶函数，且f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ＞1.若关于x 的方程2[f （x ）]2－af （x ）＝0有三个不相等的实数根，则a 的取值X 围为__________. 解析：由方程2[f （x ）]2－af （x ）＝0得f （x ）＝0或f （x ）＝a2.因为f （x ）是R 上的偶函数，f （0）＝0，所以只需当x ＞0时，f （x ）＝a2有唯一解即可.如图所示，a2∈（0，1]∪⎣⎡⎦⎤32，2，即a ∈（0，2]∪[3，4].答案：（0，2]∪[3，4]。