(课标通用)北京市202x版高考数学大一轮复习 第二章 7 第七节 函数的图象

高考数学一轮复习：第七节 函数的图像授课提示：对应学生用书第283页[A 组 基础保分练]1.函数y ＝e cos x （－π≤x ≤π）的图像大致为（ ）解析：当x ＝0时，则y ＝e cos 0＝e ；当x ＝π时，则y ＝e cos π＝1e.故排除A ，B ，D.答案：C 2.（2021·北京模拟）将函数y ＝（x －3）2图像上的点P （t ，（t －3）2）向左平移m （m ＞0）个单位长度得到点Q .若Q 位于函数y ＝x 2的图像上，则以下说法正确的是（ ） A.当t ＝2时，m 的最小值为3 B.当t ＝3时，m 一定为3 C.当t ＝4时，m 的最大值为3 D.任意t ∈R ，m 一定为3解析：函数y ＝（x －3）2图像上的点P （t ，（t －3）2）向左平移3个单位长度得到函数y ＝x 2的图像，所以任意t ∈R ，m 一定为3. 答案：D 3.（2021·吕梁模拟）函数f （x ）＝|x |sin x 的图像大致是（ ）解析：函数f （x ）＝|x |sin x 为奇函数，图像关于原点对称，可排除B ，C ；又f （π）＝|π|sin π＝0，故排除D. 答案：A4.若函数f （x ）的部分图像如图所示，则函数f （x ）的解析式是（ ）A.f （x ）＝x ＋sin xB.f （x ）＝cos xxC.f （x ）＝x cos xD.f （x ）＝x ·⎝⎛⎭⎫x －π2·⎝⎛⎭⎫x －3π2 解析：由图像知函数为奇函数，排除D.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，排除A.在⎝⎛⎭⎫0，π2上先增后减，经检验⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝－sin x ·x －cos x x 2＜0，f （x ）在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数.结合选项知C 正确. 答案：C5.设函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是（ ）A.（16，32）B.（18，34）C.（17，35）D.（6，7） 解析：画出函数f （x ）的图像如图所示.不妨令a <b <c ，则1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2.结合图像可得4<c <5，故16<2c <32， 所以18<2a ＋2b ＋2c <34. 答案：B6.若函数f （x ）＝（ax 2＋bx ）e x 的图像如图所示，则实数a ，b 的值可能为（ ）A.a ＝1，b ＝2B.a ＝1，b ＝－2C.a ＝－1，b ＝2D.a ＝－1，b ＝－2解析：令f （x ）＝0，则（ax 2＋bx ）e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图像可知，－ba＞1，又当x ＞－ba 时，f （x ）＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意.答案：B7.若函数f （x ）＝ax －2x －1的图像关于点（1，1）对称，则实数a ＝__________.解析：函数f （x ）＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1（x ≠1），当a ＝2时，f （x ）＝2，函数f （x ）的图像不关于点（1，1）对称，故a ≠2，其图像的对称中心为（1，a ），即a ＝1. 答案：18.若函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图像如图所示，则f （－3）等于__________.解析：由图像可得a （－1）＋b ＝3，ln （－1＋a ）＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x ＜－1，ln （x ＋2），x ≥－1，故f （－3）＝2×（－3）＋5＝－1. 答案：－19.（2021·许昌模拟）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].（1）在如图所示的直角坐标系内画出f （x ）的图像； （2）写出f （x ）的单调递增区间；（3）由图像指出当x 取什么值时f （x ）有最值.解析：（1）函数f （x ）的图像如图所示.（2）由图像可知，函数f （x ）的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]. （3）由图像知当x ＝2时，f （x ）min ＝f （2）＝－1， 当x ＝0时，f （x ）max ＝f （0）＝3.10.已知函数f （x ）的图像与函数h （x ）＝x ＋1x＋2的图像关于点A （0，1）对称.（1）求f （x ）的解析式；（2）若g （x ）＝f （x ）＋ax，且g （x ）在区间（0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围.解析：（1）设f （x ）图像上任一点P （x ，y ）（x ≠0），则点P 关于（0，1）点的对称点P ′（－x ，2－y ）在h （x ）的图像上，即2－y ＝－x －1x ＋2，即y ＝f （x ）＝x ＋1x（x ≠0）.（2）g （x ）＝f （x ）＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′（x ）＝1－a ＋1x2.因为g （x ）在（0，2]上为减函数，所以1－a ＋1x2≤0在（0，2]上恒成立.即a ＋1≥x 2在（0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞）.[B 组 能力提升练]1.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，1x，x ＜0，g （x ）＝－f （－x ），则函数g （x ）的图像是（ ）解析：由题意得函数g （x ）＝－f （－x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x ＞0，据此可画出该函数的图像，如题图选项D 中图像.答案：D2.已知函数f （x ）＝|x 2－1|，若0＜a ＜b 且f （a ）＝f （b ），则b 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（1，＋∞） C.（1，2） D.（1，2）解析：作出函数f （x ）＝|x 2－1|在区间（0，＋∞）上的图像如图所示，作出直线y ＝1，交f （x ）的图像于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图像可得b 的取值范围是（1，2）.答案：C 3.（2021·昆明模拟）若平面直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在f （x ）图像上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对（A ，B ）是函数f （x ）的一个“和谐点对”，已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ＜0，2e x ，x ≥0，则f （x ）的“和谐点对”有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：作出函数y ＝x 2＋2x （x ＜0）的图像关于原点对称的图像，看它与函数y ＝2ex （x ≥0）的图像的交点个数即可，观察图像可得交点个数为2，即f （x ）的“和谐点对”有2个.答案：B4.已知函数f （x ）＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与g （x ）＝2ln x 的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A.⎣⎡⎦⎤1，1e 2＋2 B.[1，e 2－2] C.⎣⎡⎦⎤1e 2＋2，e 2－2 D.[e 2－2，＋∞） 解析：由条件知，方程a －x 2＝－2ln x ，即a ＝x 2－2ln x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解.设h （x ）＝x 2－2ln x ，则h ′（x ）＝2x －2x ＝2（x －1）（1＋x ）x.因为当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时，h ′（x ）＜0，当x ∈（1，e]时，h ′（x ）＞0，所以函数h （x ）在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递减，在（1，e]上单调递增，所以h （x ）min ＝h（1）＝1.因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e 2＋2，h （e ）＝e 2－2，所以h （e ）＞h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以方程a ＝x 2－2ln x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解等价于1≤a ≤e 2－2，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]. 答案：B5.直线y ＝k （x ＋3）＋5（k ≠0）与曲线y ＝5x ＋17x ＋3的两个交点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝__________.解析：因为y ＝5x ＋17x ＋3＝2x ＋3＋5，其图像关于点（－3，5）对称.又直线y ＝k （x ＋3）＋5过点（－3，5），如图所示.所以A ，B 关于点（－3，5）对称，所以x 1＋x 2＝2×（－3）＝－6，y 1＋y 2＝2×5＝10.所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4. 答案：46.已知函数f （x ）在R 上单调且其部分图像如图所示，若不等式－2＜f （x ＋t ）＜4的解集为（－1，2），则实数t 的值为__________.解析：由题中图像可知不等式－2＜f （x ＋t ）＜4即为f （3）＜f （x ＋t ）＜f （0），故x ＋t ∈（0，3），即不等式的解集为（－t ，3－t ），依题意可得t ＝1. 答案：17.若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4（a ＞0，且a ≠1）对于任意的x ＞2恒成立，求a 的取值范围.解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f （x ）＝a x －1，g （x ）＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像如图①所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像如图②所示，当x ≥2时，f （2）≤g （2），即a 2－1≤34×2－1，解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.[C 组 创新应用练]1.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于x 轴的直线l ：x ＝t （0≤t ≤a ）经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y （图中阴影部分），若函数y ＝f （t ）的大致图像如图所示，那么平面图形的形状不可能是（ ）解析：由函数图像可知，阴影部分的面积随t 增大而增大，图像都是曲线，故选项A 、B 、D符合函数的图像，而C 中刚开始的图像符合，当直线运动到梯形上底边时图像符合一次函数的图像. 答案：C2.（2021·莆田模拟）已知f （x ）是R 上的偶函数，且f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ＞1.若关于x 的方程2[f （x ）]2－af （x ）＝0有三个不相等的实数根，则a 的取值范围为__________. 解析：由方程2[f （x ）]2－af （x ）＝0得f （x ）＝0或f （x ）＝a2.因为f （x ）是R 上的偶函数，f （0）＝0，所以只需当x ＞0时，f （x ）＝a2有唯一解即可.如图所示，a2∈（0，1]∪⎣⎡⎦⎤32，2，即a ∈（0，2]∪[3，4].答案：（0，2]∪[3，4]。