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解析 因为f '(x)=2+cos x>0,所以函数f(x)单调递增,因此选A.
方法技巧 函数图象识辨的常用方法 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上 下位置; (2)由函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)由函数的周期性识辨图象; (5)由函数的特征点排除不符合要求的图象.
(3)描点法.当上面两种方法都失效时,可采用描点法.为了描少量点就能 得到比较准确的图象,常常需要判断函数的单调性、奇偶性. 注意变形的等价性,不要扩大或缩小变量的取值范围.
1-1 作出下列函数的图象. (1)y=log2|x-1|; (2)y=|x-2|·(x+1).
解析 (1)作y=log2|x|的图象,再将图象向右平移一个单位,如图,即得到y= log2|x-1|的图象.
2-1 (2017北京海淀二模,7)函数y=f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式 可以为 ( C )
A. f(x)= 1 -x2
x
C. f(x)=1 -ex
x
1
B. f(x)= x-x3 D. f(x)= 1 -ln x
x
解析 对于C,∵y= 1在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,y=ex是增函数,
满足y≤|x|的函数是 ( D )
A. f(x)=x3
B. f(x)= x
C. f(x)=ex-1 D. f(x)=ln(x+1)
解析 在同一直角坐标系中分别作出A,B,C,D选项中y=f(x)和y=|x| 的图象,如图所示.
由图象可知选D. 特别注意 幂函数的图象恒过点(1,1).
4.(2016北京西城期末,12)已知函数f(x)的部分图象如图所示,若不等式-2
0),的图象如图③.
0)
(4)y= x 2 =1+ 3 ,先作出y= 3 的图象,将其图象向右平移1个单位,再向
x 1 x 1
x
上平移1个单位,即得y= x 2 的图象,如图④.
x 1
方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法.当函数(或变形后的函数)是熟悉的基本函数时,或当易发现 函数的图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的 一部分)时,可根据这些熟悉的函数或曲线的特征直接作出. (2)利用图象变换.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻 折、对称得到,则可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接 找到基本函数的要先变形.
2.图象变换
(1)平移变换:
(2)伸缩变换: y=f(x) y=f(x)
y=⑤ f(ωx) ; y=⑥ Af(x) .
(3)对称变换:
y=f(x) y=f(x) y=f(x)
y=⑦ -f(x) ; y=⑧ f(-x) ; y=⑨ -f(-x) .
知识拓展 函数图象对称变换的相关结论
(1)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象. (2)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象. (3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象. (4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.
(4)翻折变换: y=f(x) y=f(x)
y=⑩ f(|x|) ; y= |f(x)| .
1.函数f(x)= 1 -x的图象关于 ( C )
x
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
解析 ∵f(x)= 1 -x是奇函数,∴图象关于原点对称.
x
2.(2013北京,3,5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲
<f(x+t)<4的解集为(-1,2),则实数t的值为
.
答案 1 解析 由题图可知, -2<f(x)<4的解集为(0,3), ∵不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1,2), ∴y=f(x+t)的图象是 由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的,∴t=1.
考点突破
考点一 作函数的图象
典例1 分别画出下列函数的图象.
x
∴ f(x)= 1 -ex在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,与图象相符.
x
对于A,取x=-10和x=-1, f(-10)<f(-1),与图象不符.
对于B, f(-1)=0,与图象不符.
对于D, f(x)的定义域为(0,+∞),与图象不符.
故选C.
考点三 函数图象的应用
命题方向一 利用图象研究不等式 典例3 (2015北京,7,5分)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x) ≥log2(x+1)的解集是 ( C )
(2)当x-2≥0,即x≥2时,
y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=
x
1 2
2
-
9 4
;
当x-2<0,即x<2时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-
x
1 2
2+
9
4.
x
1 2
2
9 4
,
x
2,
∴y=
x
1 2
2
9 4
,
x
2.
函数图象如图所示.
考点二 函数图象的识辨
典例2 函数y=f(x)=2x+sin x的大致图象是 ( A )
线y=ex关于y轴对称,则f(x)= ( D )
A.ex+1
B.ex-1
C.e-x+1
D.e-x-1
解析 与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y=e-x,将函数 y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1,故 选D.
3.(2018北京海淀一模,7)下列函数中,其图象上任意一点P(x,y)的坐标都
第七节 函数的图象
教 材 1.描点法作图 研 2.图象变换 读
考 考点一 作函数的图象
点 突
考点二 函数图象的识辨
破 考点三 函数图象的应用
教材研读
1.描点法作图
方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的 性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画 出函数的图象.
(1)y=|lg x|;
(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1;
(4)y=
x x
2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
解析
(1)y=
lg x (x 1), lg x(0 x
的图象如图①.
1)
(2)将y=2x的图象向左平移2个单位即可得到y=2x+2的图象,如图②.
x2
(3)y=
x2
2x 2x
1 (x 1(x
