福建省福州市2014届九年级上期末质检数学试卷及答案

2014-2015学年福建省福州市文博中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分）1．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．2．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．（x+1）（x﹣2）=0 B．2x2=0 C．（x+1）2=0 D．（x+1）2+1=03．（4分）如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则∠DAE的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°4．（4分）一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有“观察、实验、猜测、计算、推理、验证”六个词，如果掷一次这个骰子，骰子向上的一面出现”观察“一词的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于（）A．80°B．100°C．130° D．140°6．（4分）一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（）A．12人B．18人C．9人 D．10人7．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，若AE=BE，则∠EBC的度数是（）A．15 B．30°C．22.5°D．45°8．（4分）将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明（）A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴C．圆的直径相互平分D．垂直弦的直径平分弦所对的弧9．（4分）二次函数y=ax2+bx+c中，变量x与y部分对应值如表：则这条抛物线的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=2 D．直线x=﹣810．（4分）在平面直角坐标系中，已知点C（0，3）、D（1，6），将线段绕点M （3，3）旋转180°后，得到线段AB，则线段AB所在直线的函数解析式是）A．y=3x+15 B．y=3x﹣15 C．y=15x﹣3 D．y=﹣15x+3二、填空题（共10小题，每题4分，满分40分）11．（4分）如图，自行车的两个车轮看作两个圆，则这两个圆的位置关系是．12．（4分）将抛物线y=2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是．13．（4分）方程（x+2）（x﹣3）=0的根是．14．（4分）坐标平面内的点P（m，2）与点Q（3，﹣2）关于原点对称，则m=．15．（4分）已知一元二次方程有一个根是1，那么这个方程可以是．（写一个即可）16．（4分）如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸杯的侧面积为cm2．（结果保留π）17．（4分）如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是．18．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下结论：①a＞0．②该函数的图象关于直线x=1对称．③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论是．19．（4分）a、b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2+ab+2a=．20．（4分）如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是．三、解答题（共6大题，满分70分）21．（10分）解方程（1）（x﹣2）2+x（x﹣2）=0（2）x2+2x+1=（3+2x）2．22．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．（1）旋转中心是点，旋转了度．（2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？为什么？（3）请用尺规作图画出△AEF的外接圆，标明圆心M的位置，量出半径的长度为，并判断点C与⊙M的位置关系为．23．（10分）一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率；（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，请用列表法或树形图画出所有的可能性，并求两次摸取的小球的标号的和为5的概率．24．（10分）某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当AD=，∠CAD=30°时．求的长．26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．2014-2015学年福建省福州市文博中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分）1．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．2．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．（x+1）（x﹣2）=0 B．2x2=0 C．（x+1）2=0 D．（x+1）2+1=0【解答】解：A、方程整理得：x2﹣x﹣2=0，这里a=1，b=﹣1，c=﹣2，∵b2﹣4ac=1+8=9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意；B、这里a=2，b=c=0，∵b2﹣4ac=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；C、方程整理得：x2+2x+1=0，这里a=1，b=2，c=1，∵b2﹣4ac=4﹣4=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；D、方程整理得：x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2﹣4ac=4﹣8＜0，∴方程没有实数根，本选项符合题意；故选：D．3．（4分）如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则∠DAE的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：∵△ABD和△ACE重合，∴∠BAC、∠DAE都是旋转角，∵△ABC为等边三角形，∴∠DAE=∠BAC=60°，故选：B．4．（4分）一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有“观察、实验、猜测、计算、推理、验证”六个词，如果掷一次这个骰子，骰子向上的一面出现”观察“一词的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有“观察、实验、猜测、计算、推理、验证”六个词，∴骰子向上的一面出现”观察“一词的概率是：．故选：C．5．（4分）在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于（）A．80°B．100°C．130° D．140°【解答】解：如图：在优弧上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=100°，∴∠ADB=∠AOB=50°，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠ADB+∠ACB=180°，∴∠ACB=130°．故选：C．6．（4分）一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（）A．12人B．18人C．9人 D．10人【解答】解：设这个小组有n人×2=72n=9或n=﹣8（舍去）故选：C．7．（4分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，若AE=BE，则∠EBC的度数是（）A．15 B．30°C．22.5°D．45°【解答】解：∵AB为圆O的直径，∴∠AEB=90°，又AE=BE，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠A=∠ABE=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB==67.5°，则∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=22.5°．故选：C．8．（4分）将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明（）A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴C．圆的直径相互平分D．垂直弦的直径平分弦所对的弧【解答】解：根据圆的对称性可以得到：直径所在的直线为圆的对称轴，沿着它的直径翻折后，直径两侧的部分互相重合．故选：B．9．（4分）二次函数y=ax2+bx+c中，变量x与y部分对应值如表：则这条抛物线的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=2 D．直线x=﹣8【解答】解：观察表格知道，对称轴必过物线与x轴的公共点是（﹣3，7），（5，7）连线的中点，故对称轴为：x==1．故选：A．10．（4分）在平面直角坐标系中，已知点C（0，3）、D（1，6），将线段绕点M （3，3）旋转180°后，得到线段AB，则线段AB所在直线的函数解析式是）A．y=3x+15 B．y=3x﹣15 C．y=15x﹣3 D．y=﹣15x+3【解答】解：如图，A（6，3），B（5，0），设线段AB所在直线的函数解析式是y=kx+b，将点A、B坐标代入得，，解得，所以，y=3x﹣15．故选：B．二、填空题（共10小题，每题4分，满分40分）11．（4分）如图，自行车的两个车轮看作两个圆，则这两个圆的位置关系是外离．【解答】解：自行车的两个车轮看作两个圆，则这两个圆的位置关系是外离．故答案为：外离．12．（4分）将抛物线y=2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是y=2x2+3．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是y=2x2+3．故答案为：y=2x2+3．13．（4分）方程（x+2）（x﹣3）=0的根是x1=﹣2，x2=3．【解答】解：方程（x+2）（x﹣3）=0，可得x+2=0或x﹣3=0，解得：x1=﹣2，x2=3．故答案为：x1=﹣2，x2=3．14．（4分）坐标平面内的点P（m，2）与点Q（3，﹣2）关于原点对称，则m=﹣3．【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），所以m=﹣3．15．（4分）已知一元二次方程有一个根是1，那么这个方程可以是x2﹣2x+1=0．（写一个即可）【解答】解：答案不唯一．一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊根的形式：x=1时，a+b+c=0．只须使方程系数满足a+b+c=0即可．如x2﹣2x+1=0．16．（4分）如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm，母线长为15cm，那么纸杯的侧面积为75πcm2．（结果保留π）【解答】解：纸杯的侧面积为π×5×15=75πcm2．故答案为75π．17．（4分）如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是．【解答】解：观察这个图可知：黑白石子的面积相等，即其概率相等，各占．18．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下结论：①a＞0．②该函数的图象关于直线x=1对称．③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论是②③．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故选项①错误；由图象可知函数图象对称轴为x=1，故选项②正确；∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0，故选项③正确；故答案为：②③．19．（4分）a、b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2+ab+2a=0．【解答】解：∵a、b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴ab=﹣5，a2+2a﹣5=0，即a2+2a=5，则a2+ab+2a=（a2+2a）+ab=5﹣5=0．20．（4分）如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是51°．【解答】解：连接OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=48°，∴∠AOB==78°，∴α==51°．故答案为：51°．三、解答题（共6大题，满分70分）21．（10分）解方程（1）（x﹣2）2+x（x﹣2）=0（2）x2+2x+1=（3+2x）2．【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x﹣2+x）=0，可得x﹣2=0或2x﹣2=0，解得：x1=2，x2=1；（2）x2+2x+1=（3+2x）2变形得：（x+1）2=（3+2x）2，开方得：x+1=±3+2x，解得：x1=﹣2，x2=﹣．22．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．（1）旋转中心是A点，旋转了90度．（2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？为什么？（3）请用尺规作图画出△AEF的外接圆，标明圆心M的位置，量出半径的长度为EF的一半，并判断点C与⊙M的位置关系为点C在⊙M上．【解答】解：（1）由旋转的定义可知旋转中心为A，AD从AD到AB，可知旋转了90°．故答案为：A；90；（2）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合，∴△ADE≌△ABF，∠DAB=∠EAF=90°，∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形；（3）∵△AEF为等腰直角三角形，∴M点在EF的中点，其外接圆如图，∵∠ECF=90°，∴点C在⊙M上，故答案为：EF的一半；点C在⊙M上．23．（10分）一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率；（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，请用列表法或树形图画出所有的可能性，并求两次摸取的小球的标号的和为5的概率．【解答】解：（1）随机摸取一个小球，共4种可能性，它们的可能性相等．恰好摸到标号为2的小球的可能有1种．∴P（恰好摸到标号为2的小球）=；（2）列树形图如下：由上可知，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，共16种可能性，它们的可能性相等．两次摸取的小球标号的和为5（记为事件A）的共有4种可能．∴P（A）=．24．（10分）某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）【解答】解：设三、四月份平均每月增长的百分率为x，则：60（1﹣10%）（1+x）2=96，故x≈0.333或﹣2.333（不合题意，舍去）答：三、四月份平均每月增长的百分率是33.3%．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当AD=，∠CAD=30°时．求的长．【解答】（1）证明：连接OD，则OD=OA．∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；∵，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC；又∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，即BC⊥OD∴BC与⊙O相切；（2）解：连接DE，则∠ADE=90°．∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，∴∠AOD=120°；在Rt△ADE中，易求AE==4，∴⊙O的半径r=2，∴的长=．26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解答】方法一：解：（1）由A（4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），B（﹣1，0）．设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，则，解得：，则抛物线的解析式是：y=﹣x2+3x+4；（2）存在．第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：m1=0（舍去），m2=2．∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）．第二种情况，当点A为直角顶点时：过A作AP2，交抛物线于点P2，过点P2作y 轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F．∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°，∴∠OAP2=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）+4，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6，则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴DF=OC=2，∴点P的纵坐标是2．则﹣x2+3x+4=2，解得：x=，∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）．方法二：（1）略．（2）①当以C为直角顶点时，过点C作CP⊥AC，交抛物线于点P，∵A（4，0），C（0，4），∴K AC=﹣1，∵CP ⊥AC ，∴K CP ×K AC =﹣1，K CP =1，∴l CP ：y=x +4， ∴⇒x 2﹣2x=0，∴x 1=0（舍），x 2=2，∴P （2，6），②当点A 为直角顶点时，过点A 做AP ⊥AC 交抛物线于点P ， ∵AP ⊥AC ，∴K AP ×K AC =﹣1，∴K AP =1∴l AP ：y=x ﹣4， ∴⇒x 2﹣2x ﹣8=0，∴x 1=4（舍），x 2=﹣2，∴P （﹣2，﹣6），综上所述，P 点的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6），（3）设P （t ，﹣t 2+3t +4），E （0，﹣t 2+3t +4），l AC ：y=﹣x +4，∴D （t 2﹣3t ，﹣t 2+3t +4），F （t 2﹣3t ，0），∴EF 2=（t 2﹣3t ）2+（t 2﹣3t ﹣4）2，令t 2﹣3t=m ，∴EF 2=m 2+（m ﹣4）2=2m 2﹣8m +16，∴当m=2时，EF 2有最小值，即t 2﹣3t=2时，∴t=或，∴当EF 最短时，点P 的坐标是：（，2）或（，2）．。

2014-2015学年福建省厦门市初三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和是180°B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．在只装了红球的袋子中摸到白球D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是32．（4分）在下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．平行四边形3．（4分）二次函数y=（x﹣2）2+5的最小值是（）A．2B．﹣2C．5D．﹣54．（4分）如图，点A在⊙O上，点C在⊙O内，点B在⊙O外，则图中的圆周角是（）A．∠OAB B．∠OAC C．∠COA D．∠B5．（4分）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（）A．3x+1=0B．x2+3=0C．3x2﹣1=0D．3x2+6x+1=0 6．（4分）已知P（m，2m+1）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（）A．y=x B．y=2x C．y=2x+1D．y=x﹣7．（4分）已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）8．（4分）抛物线y=（1﹣2x）2+3的对称轴是（）A．x=1B．x=﹣1C．x=﹣D．x=9．（4分）青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（）A．7200（x+1）2 kg B．7200（x2+1）kgC．7200（x2+x）kg D．7200（x+1）kg10．（4分）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB=2∠BOC．则下列结论正确的是（）A．AB=2BC B．AB＜2BC C．∠AOB=2∠CAB D．∠ACB=4∠CAB二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是．12．（4分）方程x2﹣x=0的解是．13．（4分）已知直线y=kx+b经过点A（0，3），B（2，5），则k=，b=．14．（4分）抛物线y=x2﹣2x﹣3的开口向；当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是．15．（4分）如图，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P=50°，则∠AOD=．16．（4分）一块三角形材料如图所示，∠A=∠B=60°，用这块材料剪出一个矩形DEFG，其中，点D，E分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上．设DE=x，矩形DEFG的面积s与x之间的函数解析式是s=﹣x2+x，则AC的长是．三、解答题（本大题有11小题，共86分）17．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=35°，求∠ABC的度数．18．（7分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣4，0），C（﹣1，1），请在图上画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形．19．（7分）甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有两个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同，从甲、乙两口袋中分别随机摸出一个小球，求这两个小球的号码都是1的概率．20．（7分）解方程：x2+2x﹣2=0．21．（7分）画出二次函数y=x2的图象．22．（7分）如图，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=3，AC=4，将线段BA 绕点B逆时针旋转90°，设点A旋转后的对应点是点A1，根据题意画出示意图并求AA1的长．23．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点．若AD∥OC，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．24．（7分）已知点P是直线y=3x﹣1与直线y=x+b（b＞0）的交点，直线y=3x ﹣1与x轴交于点A，直线y=x+b与y轴交于B，若△PAB的面积是，求b 的值．25．（7分）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且满足|x1|+2|x2|=|c|+2，则称方程x2+bx+c=0为“T系二次方程”．如方程x2+2x=0，x2+5x+6=0，x2﹣6x﹣16=0，x2+4x+4=0都是“T系二次方程”．是否存在实数b，使得关于x的方程x2+bx+b+=0是“T系二次方程”，并说明理由．26．（11分）在平面直角坐标系中，原点为O，直线l经过两点A（2，0）和点B （0，4），点P（m，n）（mn≠0）在直线l上．（1）若OP=2，求点P的坐标；（2）过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N，设矩形OMPN周长的一半为t，面积为s．当m＜2时，求s关于t的函数解析式．27．（12分）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．（1）如图1，设⊙O的半径是r，若+=πr，求证：AC⊥BD；（2）如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN=EF．2014-2015学年福建省厦门市初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和是180°B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．在只装了红球的袋子中摸到白球D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故本选项正确；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项错误；C、在只装了红球的袋子中摸到白球是不可能事件，故本选项错误；D、掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3是随机事件，故本选项错误；故选：A．2．（4分）在下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．平行四边形【解答】解：A、锐角三角形，无法确定它是什么图形，故此选项错误；B、直角三角形，无法确定它是什么图形，故此选项错误；C、钝角三角形，无法确定它是什么图形，故此选项错误；D、平行四边形是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．3．（4分）二次函数y=（x﹣2）2+5的最小值是（）A．2B．﹣2C．5D．﹣5【解答】解：二次函数y=（x﹣2）2+5的最小值是5．故选：C．4．（4分）如图，点A在⊙O上，点C在⊙O内，点B在⊙O外，则图中的圆周角是（）A．∠OAB B．∠OAC C．∠COA D．∠B【解答】解：根据圆周角的定义可得图中的圆周角是：∠OAC．故选：B．5．（4分）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（）A．3x+1=0B．x2+3=0C．3x2﹣1=0D．3x2+6x+1=0【解答】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+6x+1=0，故选：D．6．（4分）已知P（m，2m+1）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（）A．y=x B．y=2x C．y=2x+1D．y=x﹣【解答】解：A、当x=m时，y=m≠2m+1，故本选项不符合题意；B、当x=m时，y=2m≠2m+1，故本选项不符合题意；C、当x=m时，y=2m+1，故本选项符合题意；D、当x=m时，y=m﹣≠2m+1，故本选项不符合题意．故选：C．7．（4分）已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：如图，根据旋转的性质可知，OB1=OB=1，A1B1=AB=2，可知点A1的坐标是（﹣2，1），故选：A．8．（4分）抛物线y=（1﹣2x）2+3的对称轴是（）A．x=1B．x=﹣1C．x=﹣D．x=【解答】解：∵y=（1﹣2x）2+3=4x2﹣4x+4，∴对称轴为x==，故选：D．9．（4分）青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（）A．7200（x+1）2 kg B．7200（x2+1）kgC．7200（x2+x）kg D．7200（x+1）kg【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2011年的产量为7200（1+x），2012年的产量为：7200（1+x）2，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是7200（1+x）2﹣7200（1+x）=7200（x2+x），故选：C．10．（4分）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB=2∠BOC．则下列结论正确的是（）A．AB=2BC B．AB＜2BC C．∠AOB=2∠CAB D．∠ACB=4∠CAB 【解答】解：取的中点D，连接AD，BD，∵∠AOB=2∠BOC，∴=2，∴==，∴AD=BD=BC，∵AB＜AD+BD，∴AB＜2BC．故A错误，B正确；∵∠AOB=2∠BOC，∠BOC=2∠CAB，∴∠AOB=4∠CAB；故C错误；∵∠AOB=2∠ACB，∴∠ACB=∠BOC=2∠CAB，故D错误．故选：B．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是．【解答】解：∵一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的，∴飞镖落在白色区域的概率是；故答案为：．12．（4分）方程x2﹣x=0的解是0或1．【解答】解：原方程变形为：x（x﹣1）=0，∴x=0或x=1．13．（4分）已知直线y=kx+b经过点A（0，3），B（2，5），则k=1，b=3．【解答】解：∵直线y=kx+b经过点A（0，3），B（2，5），∴，解得．故答案为1，3．14．（4分）抛物线y=x2﹣2x﹣3的开口向上；当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是﹣3≤y≤5．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x﹣3中a=1＞0，∴开口向上；当x=﹣2时，y=5，当x=0时y=﹣3，故当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是﹣3≤y≤5，故答案为：上，﹣3≤y≤5．15．（4分）如图，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P=50°，则∠AOD=80°．【解答】解：∵∠P=50°，∴∠B+∠C=180°﹣∠P=130°，∵OA=OB，OC=OD，∴∠OAB=∠B，∠ODC=∠C，∴∠OAB+∠ODC=∠B+∠C=130°，∴∠AOB+∠COD=360°﹣（∠B+∠OAB+∠C+∠ODC）=100°，∴∠AOD=180°﹣（∠AOB+∠COD）=80°．故答案为：80°．16．（4分）一块三角形材料如图所示，∠A=∠B=60°，用这块材料剪出一个矩形DEFG，其中，点D，E分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上．设DE=x，矩形DEFG的面积s与x之间的函数解析式是s=﹣x2+x，则AC的长是2．【解答】解：∵∠A=∠B=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∵DE=x，∴DE、GF之间的距离=（BC﹣x）=（AC﹣x），∴矩形DEFG的面积s=（AC﹣x）x=﹣x2+AC•x，又∵s与x之间的函数解析式是s=﹣x2+x，∴AC=2．故答案为：2．三、解答题（本大题有11小题，共86分）17．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=35°，求∠ABC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠CAB=35°，∴∠ABC=90°﹣∠CAB=55°．18．（7分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣4，0），C（﹣1，1），请在图上画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形．【解答】解：如图所示：△A′B′C′与△ABC关于原点O对称．19．（7分）甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有两个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同，从甲、乙两口袋中分别随机摸出一个小球，求这两个小球的号码都是1的概率．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这两个小球的号码都是1的只有1种情况，∴这两个小球的号码都是1的概率为：．20．（7分）解方程：x2+2x﹣2=0．【解答】解：原方程化为：x2+2x=2，x2+2x+1=3（x+1）2=3，x+1=±x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．21．（7分）画出二次函数y=x2的图象．【解答】解：函数y=x2的图象如图所示，22．（7分）如图，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=3，AC=4，将线段BA 绕点B逆时针旋转90°，设点A旋转后的对应点是点A1，根据题意画出示意图并求AA1的长．【解答】解：如图所示：∵线段BA绕点B逆时针旋转90°，∴BA1=BA，且∠ABA1=90°，连接AA1，则△ABA1是等腰直角三角形，在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2=9+16=25，则AB=5，∴AA1==5．23．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点．若AD∥OC，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．【解答】证明：如图，连接OD；∵OA=OD，∴∠A=∠ODA；∵AD∥OC，∴∠BOC=∠A、∠DOC=∠ODA，∴∠BOC=∠DOC；在△OBC与△ODC中，，∴△OBC≌△ODC（SAS），∴∠ODC=∠OBC；∵BC与圆交，∠OBC≠90°∴∠ODC≠90°∴CD与⊙O相交．24．（7分）已知点P是直线y=3x﹣1与直线y=x+b（b＞0）的交点，直线y=3x ﹣1与x轴交于点A，直线y=x+b与y轴交于B，若△PAB的面积是，求b 的值．【解答】解：如图，当x=0时，y=3x﹣1=﹣1，则C（0，﹣1）；当y=0时，3x﹣1=0，解得x=，则A（，0）；当x=0时，y=x+b=b，则B（0，b），解方程组得，则P点坐标为（，），因为S△ABC +S△APB=S△PBC，所以••（b+1）+=•（b+1）•，整理得3b2+4b﹣7=0，解得b1=1，b2=﹣（舍去）．所以b的值为1．25．（7分）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且满足|x1|+2|x2|=|c|+2，则称方程x2+bx+c=0为“T系二次方程”．如方程x2+2x=0，x2+5x+6=0，x2﹣6x﹣16=0，x2+4x+4=0都是“T系二次方程”．是否存在实数b，使得关于x的方程x2+bx+b+=0是“T系二次方程”，并说明理由．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且满足|x1|+2|x2|=|c|+2，∴|x1|+2|x2|﹣|c|﹣2=0，∴|x1|+2|x2|﹣|x1x2|﹣2=0，∴|x1|﹣|x1x2|+2|x2|﹣2=0，∴（|x1|﹣2）（1﹣|x2|）=0，∴|x1|﹣2=0或1﹣|x2|=0，∴x1=±2，x2=±1，∴把x=1代入方程x2+bx+b+=0得：1+b+b+=0，b=﹣，把x=﹣1代入方程x2+bx+b+=0得：1﹣b+b+=0，无解，把x=2代入方程x2+bx+b+=0得：4+2b+b+=0，b=﹣，把x=﹣2代入方程x2+bx+b+=0得：4﹣2b+b+=0，b=4．26．（11分）在平面直角坐标系中，原点为O，直线l经过两点A（2，0）和点B （0，4），点P（m，n）（mn≠0）在直线l上．（1）若OP=2，求点P的坐标；（2）过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N，设矩形OMPN周长的一半为t，面积为s．当m＜2时，求s关于t的函数解析式．【解答】解：（1）设直线l的关系式为y=kx+b，将A（2，0），B（0，4）两点代入关系式，得：，解得：b=4，k=﹣2，∴y=﹣2x+4，∵点P（m，n）（mn≠0）在直线l上，∴n=﹣2m+4，由∵OP=2，∴m2+n2=4，m2+（﹣2m+4）2=4，解得：m=2或m=，当m=2时，n=0，不符合题意应舍去，故m=，∴n=，∴P的坐标为（，）；（2）由（1）知：关系式为：y=﹣2x+4，m与n之间的关系为：n=﹣2m+4，①当m＜0时，t=|PM|+|PN|=n﹣m=﹣3m+4，∴t＞4，∴m=﹣+，∵S=|PM|•|PN|=﹣mn，m=﹣+，n=﹣2m+4，S=﹣（﹣t+）（﹣2m+4）=﹣（﹣t+）（t+）=t2﹣t﹣（t＞4）；②当0＜m＜2时，∵t=|PM|+|PN|=n+m=﹣m+4，∴2＜t＜4，∴m=﹣t+4，∵S=|PM|•|PN|=mn，∵m=﹣t+4，n=﹣2m+4，∴S=（﹣t+4）（﹣2m+4）=﹣2t2+12t﹣16（2＜t＜4）．故当m＜2时，s关于t的函数解析式为：．27．（12分）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．（1）如图1，设⊙O的半径是r，若+=πr，求证：AC⊥BD；（2）如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN=EF．【解答】证明：（1）如图1，连接AO，BO，CO，DO设∠AOB=m°，∠DOC=n°，∵+=πr，∴+=πr，∴m+n=180，∴2∠ADB+2∠DAC=180°∴∠ADB+∠DAC=90°，∴∠APD=90°，∴AC⊥BD，（2）如图2，∵DH⊥BC，AE⊥BC，∴DF∥AE，∴∠AEF+∠DFE=180°∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE+∠DFE=180°，∴∠AEF=∠DAE，∴四边形DAEF为等腰梯形，∴AD=EF，∵AC⊥BD，∴∠PAM+∠AMP=90°，AG⊥BC，∴∠PAM+∠ACB=90°，∴∠AMP=∠ACB，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠AMP，∴AD=AM，∴PD=PM，∵DF∥AE，∴∠AMP=∠NDP∴△NDP≌△AMP，∴ND=AM，∴四边形AMND是平行四边形，∴MN=AD，∴MN=EF．。

2023-2024学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.下列事件中，属于必然事件是()A.水中捞月B.拔苗助长C.守株待兔D.瓮中捉鳖3.若是关于x的方程的一个根，则m的值是()A. B. C.3 D.154.关于抛物线，下列说法不正确的是()A.开口向下B.抛物线与y轴交于点C.当时，y取最大值D.抛物线与x轴没有交点5.如图，C，D是上直径AB两侧的两点，设，则()A.B.C.D.6.已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是()A. B. C. D.7.如图，点D，E分别在的边AB，AC上，且，若AD：：3，，则()A.B.6C.8D.98.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为()A.2mmB.C.D.4mm9.如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A、D、E在同一条直线上.若，则的度数是()A.B.C.D.10.已知抛物线与直线在范围内有唯一公共点，则m的取值范围为()A.或B.或C.或D.或二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______.12.小华酷爱足球运动.一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度单位：与足球被踢出后经过的时间单位：之间的关系为：，则足球距离地面的最大高度为______13.如图，在长为20米、宽为15米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成6块，这6块绿地的总面积为252平方米.如果设道路宽为x米，由题意所列出关于x的方程是______.14.如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______.15.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，若的面积为6，则k的值是______.16.如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为______.三、解答题：本题共9小题，共86分。

2023－2024学年第二学期福州市九年级质量抽测数学答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果学生的解法与本解答不同，可根据习题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．2．对于计算题，当学生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示学生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．A 2．B 3．A 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．B二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．60−米 12．抽样调查 13．70° 14．23x > 15．396元16．DE三、解答题（本题共9小题，共86分）17．（本小题满分8分）解：原式π312=−++ ······································································································ 6分π=． ··············································································································· 8分18．（本小题满分8分）证明：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，∴BF CE =． ········································································································· 3分在△ABF 和△DCE 中AB DC =，············································································································ 4分 B C ∠=∠，············································································································ 5分 BF CE =， ∴△ABF ≌△DCE ， ································································································ 6分 ∴A D ∠=∠． ········································································································ 8分19．（本小题满分8分）解法一：∵3a b=，∴3a b =， ········································································································· 1分∴原式222(3)233(2)3(3)b b b b b b b b −×⋅=−÷−− ······································································· 2分 222239(2)296b bb b b b −=−⋅− ··················································································· 4分 2238(2)23b b=−⋅ ····························································································· 6分 8123=× ······································································································ 7分 43=． ······································································································· 8分 B C DA E F ⎧⎪⎨⎪⎩解法二：原式22222()2a b a ab a b a b a ab−−=−⋅−−− ············································································· 2分 ()()2(2)a b a b a b a b a a b +−−=⋅−− ···················································································· 5分 a b a+=． ····································································································· 6分 ∵3a b=， ∴3a b =， ········································································································· 7分 ∴原式33b b b+=43=． ······································································································· 8分 20．（本小题满分8分）解：（1）400； ·············································································································· 2分72°； ··············································································································· 4分 （2）记两名男生为M ，N ，两名女生为P ，Q ．6分由表（图）可知，所有可能出现的结果共有12种，且这些结果出现的可能性相等． ········· 7分 其中抽取的两名同学刚好为两位女同学的结果有2种．∴抽取的两名同学刚好为两位女同学是21126=． ······················································· 8分21．（本小题满分8分） 证明：连接OC ，CD． ····································································································· 1分∵CA CB =，∴A B ∠=∠．········································································································· 2分 ∵BD 是直径，∴90BCD ∠=°．分 ∵D 是OA 的中点， ∴AD OD =．分又OB OD =，∴AO BD =．分 ∵△AOC ≌△BDC ， ································································································ 6分 ∴90ACO BCD ∠=∠=°， ························································································· 7分 ∴OC ⊥AC ．∵点C 为半径OC 的外端点，∴AC 是⊙O 的切线． ······························································································ 8分22．（本小题满分10分） （1）····························································· 3分如图，O 为所求作的点． ··························································································· 4分（2）证明：∵D 是BC 的中点，∴12BD BC =． ······························································································ 5分∵△ABC 绕点O 旋转得到△DEF ，D ，E 分别是点A ，B 的对应点，∴OB OE =，90BOE AOD ∠=∠=°，△ABC ≌△DEF ， ·········································· 6分∴90BOD ∠=°，BC EF =，ABC DEF ∠=∠．分 在△ODB 与△OGE 中 ABC DEF OB OE BOD BOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴△ODB ≌△OGE ， ·分 ∴BD EG =，分∴12EG EF =，即EG FG =，∴G 是EF 中点． ··························································································· 10分 23．（本小题满分10分）解：（1）①a ； ················································································································ 1分②b ；················································································································· 2分 ③tan b α⋅； ········································································································ 3分 ④(tan )b a α⋅+； ································································································· 4分（2）先在该建筑物（MN ）的附近较空旷的平地上选择一点A ， 点B 为测量人员竖直站立时眼睛的位置，用自制测角仪获取最高处（M ）的仰角MBC α∠=，然后由点A 朝点N 方向前进至点D 处，此时点E 为测量人员竖直站立时眼睛的位置，再用自制测角仪获取最高处（M ）的仰角MEC β∠=； ················································ 5分 再用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离m AB a =，以及前进的距离m AD b =， ············· 6分 由实际背景可知四边形ABED ，四边形ABCN 为矩形， 故m NC DE AB a ===，m BE AD b ==．在Rt △BCM 和Rt △ECM 中，90BCM ∠=°，∴tan MC BC α=， ··································································································· 7分tan MC EC β=， ··································································································· 8分∴tan tan MC MC BE BC EC αβ=−=−，············································································ 9分即tan tan MC MC b αβ=−，∴tan tan tan tan b MC αββα⋅⋅=−，∴tan tan ()m tan tan b MN MC CN a αββα⋅⋅=+=+−． ······························································10分 24．（本小题满分12分）解：（1）①将A （2−，0），B （6，4）代入22y ax bx =+−，得422036624a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，， ·························································································· 2分解得1412a b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，， ∴抛物线的解析式为211242y x x =−−． ······························································· 4分A BCMN α ABC D EMN②将0y =代入211242y x x =−−，得2112042x x −−=， 解得14x =，22x =−， ∵A （2−，0）， ∴C （4，0）． ································································································ 5分 根据题意，得8AD =，2CD =，6AC =，4BD =，90ADB ∠=°， ∴1tan tan 2BAD CBD ∠=∠=， ∴BAD CBD ∠=∠．分 ∵EAC ABC ∠=∠， ∴EAB EBA ∠=∠，∴EB EA =．分∵B （6，4）， ∴设E （6，t ），∴4AE BE t ==−，DE t =−． ∵222AD DE AE +=，∴2228()(4)t t +−=−，∴6t =−，∴E （6，6−）． ····························································································· 8分（2）5a <−或56a >． ······························································································· 12分25．（本小题满分14分）（1）证明：∵BE ⊥AD ， ∴90AEB ∠=°． ······························································································ 1分 ∵90ACB ∠=°，ADC BDE ∠=∠， ∴CAE CBE ∠=∠． ························································································· 2分∵四边形AEFC 是平行四边形，∴CAE F ∠=∠， ····························································································· 3分 ∴CBE F ∠=∠． ····························································································· 4分（2）解：12S S =． ·········································································································· 5分理由如下：延长BE ，AC 交于点P ，过点E 作EQ ⊥AP 于点Q ．∵AD 平分∠BAC ，∴BAD CAD ∠=∠． ············································································ 6分 ∵90AEP AEB ∠=∠=°， ∴APB ABP ∠=∠，∴AB AP =， ····················································································· 7分∴EB EP =，即12PE PB =．∵EQ ⊥AP ， ∴90PQE PCB ∠=°=∠， ∴EQ ∥BC ，∴△PQE ∽△PCB ， ············································································ 8分 ∴EQ PE BC PB=， ∴12EQ BC =， ·················································································· 8分∴2112S AC EQ AC BC S =⋅=⋅=．（3）证明：延长BE 交CF 于点T ．∵四边形AEFC 是平行四边形， ∴AC ∥FG ，AE ∥CF ，AC EF =∴90BTC BED ∠=∠=°，90BHG BCA ∠=∠=°． ∴BT ⊥CF ．A BCFE D A B CF E D P Q。