数值分析20140916(广东工业大学课件)

11 第二章 非线性方程数值解法

在科学计算中常需要求解非线性方程

()0fx (2.1)

即求函数()fx的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列0{}kkx，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、Newton迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．

§2.1 二分法

一、实根的隔离

定义2.1 设非线性方程(2.1)中的()fx是连续函数．如果有*x使*()0fx，则称*x为方程(2.1)的根，或称为函数()fx的零点；如果有*()()()mfxxxgx，且()gx在*x邻域内连续，*()0gx，m为正整数，则称*x为方程(2.1)的m重根．当1m时，称*x为方程的单根．

非线性方程根的数值求解过程包含以下两步

(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；

(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．

对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数()fx，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．

当函数()fx连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下

设[,]ab是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长()/hban，kxakh，(0,1,,)kn．由左向右逐个计算()kfx，如果有1()()0kkfxfx，则区间1[,]kkxx就是方程的一个较小的有根区间．

数值分析第7章答案 数值分析第七章

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第七章非线性方程求根

一、重点内容提要

（一）问题简介

求单变量函数方程

()0fx (7.1)

的根是指求*x（实数或复数），使得(*)0fx.称*x为方程(7.1)的根,也称*x为函数()fx的零点.若()fx可以分解为 ()(*)()mfxxxgx

其中m为正整数,()gx满足()0gx,则*x是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x为单根;当m>1时,称*x为m重根.若()gx充分光滑,*x是方程(7.1)的m重根,则有

(1)()(*)'(*)...(*)0,(*)0mmfxfxfxfx

若()fx在[a,b]上连续且()()0fafb,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.

(二)方程求根的几种常用方法

1.二分法

设()fx在[a,b]上连续,()()0fafb,则()0fx在(a,b)内有根*x.再设()0fx在(a,b)内仅有一个根.令00,aabb,计算0001()2xab和0()fx.若0()0fx则*xx,结束计算;若00()()0fafx,则令10,1axbb,得新的有根区间11[,]ab;若00()()0fafx,则令10,10aabx,得新的有根区间11[,]ab.0011[,][,]abab,11001()2baba.再令1111()2xab计算1()fx,同上法得出新的有根区间22[,]ab,如此反复进行,可得一有根区间套 数值分析第七章

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1100...[,][,]...[,]nnnnababab

第十章 数值分析方法

在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，数值分析中的插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍。

§1 数据插值方法及应用

在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据),(,),,(),,(1100nnyxyxyx精度较高，要求确定一个初等函数)(xPy（一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即nixPyii,,1,0,)(，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。

1、分段线性插值

这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果

bxxxan10

那么分段线性插值公式为

nixxxyxxxxyxxxxxPiiiiiiiiii,,2,1,,)(11111

可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。

例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x轴，由南向北方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm）。

x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0

y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34

y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110

数值分析第三次上机 实验报告

评语 成

绩

教师：

年 月 日

学院班级：

学生学号：

学生姓名：

同 作 者:

实验日期：

1.实验题目： P232 3.(1)

一、实验目的：

设f(x)=1/x,(1)求f(x)在[1,2] 上的零次和一次最佳一致逼近多项式。

(2)求f(x)在[1,2] 上的零次和一次最佳平凡逼近多项式。

二、实验环境：

1.matlab2014b/macOS Seirra

2.G楼机房

三、实验内容及实验原理：

1.零次最佳逼近多项式

原理1: 02MmPx

所以f(x)=1/x在[1,2]上的零次最佳一致逼近多项式

01132P24x

原理2：0000,,fPx101Pxaax

f(x)=1/x在[1,2]上的零次最佳平方逼近多项式

210020011,ln2,dxfxPxdx

2. 一次最佳逼近多项式

(1)一次最佳一致逼近多项式：

解：21'()fxx ，32''()0fxx

 1，2为交错点，设101P()xaax

111()()12212fbfaaba

且由112111'(),22fxxx 1110111(12)()()()3222222224fafxaaxa

故得13221P()42xx

(2)一次最佳平方逼近多项式