福建省福州市鼓楼区屏东中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列平面图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣5的顶点坐标是（）A．（2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（﹣2，5）3．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝12cm，则AE的长为（）A．2cm B．8cm C．16cm D．18cm5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣5x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为（）A．y＝﹣5（x+1）2+2B．y＝﹣5（x+1）2+4C．y＝﹣5（x﹣1）2+2D．y＝﹣5（x﹣1）2+46．如图，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．＝B．∠B＝∠ADE C．＝D．∠C＝∠AED7．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD为直径，若∠A＝65°，则∠DBC的值是（）A．15°B．25°C．35°D．65°8．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为100°，则∠B的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．据报道，为推进福州绿色农业发展，2018﹣2020年，福州市将完成农业绿色发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元，假设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为（）A．100+100（1+x）+100（1+x）2＝616B．100（1+x）2＝616C．100（1+x）3＝616D．100（1+x2）＝61610．如图，正方形ABCD的边长为9，点E，F分别在边AB，AD上，若E是AB中点，且∠ECF＝45°，则CF的长为（）A．12B．3C．3D．3二、填空題（每小题4分，共24分）11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是．12．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则Q点的坐标为．13．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（6，3），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝25cm，BC＝15cm，则BD的长为cm．16．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则M与N的数量关系．三、解答题（共86分）17．解方程：（1）x2﹣2x＝2；（2）（x﹣1）2﹣2x（x﹣1）＝0．18．如图，在▱ABCD中，点E是AB的中点，EC交BD于点F，（1）求的值；（2）直接写出△BEF与△BCD的面积比．19．求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′＝∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．20．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．21．自2016年1月10日零时起，金丽温高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．（1）如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用元；（2）现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？22．某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了新款面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）若该店新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为15个，求新款面包的日利润；（2）试以这30天内新款面包日利润的平均数作为决策依据，说明这款面包日均出炉个数定为20个还是21个？23．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝4，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针旋转，记旋转角为α．（1）①当α＝0°时，＝；②当α＝90°时，＝；（2）当0°＜α＜360°时，过点D作DM⊥BC于点M，过E作EN⊥AC于点N，请在图2中补全图形，并求出的值．（3）当0°≤α＜360°时，若点O为DE的中点，求在旋转过程中OB长的最小值．25．（14分）已知函数y＝ax2+ax﹣1（a为常数）．（1）无论a取何值，函数图象都过定点．（2）若对于任意实数x，函数y＝ax2+ax﹣1的图象始终在x轴下方，求a的取值范围；（3）若a≠0，设函数y＝ax2+ax﹣1（a为常数）图象的顶点为M，且与经过点F（﹣，﹣1﹣a）的直线l相交于A，B两点，过点A作直线y＝﹣1﹣﹣a的垂线，垂足为D．求证：B、M、D三点共线．2019-2020学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形；故选：D．2．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣5，∴抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣5的顶点坐标是：（﹣2，﹣5），故选：C．3．【解答】解：∵△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根．故选：A．4．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝12cm，∴CE＝CD＝6cm．在Rt△OCE中，OC＝10cm，CE＝6cm，∴OE＝＝＝8（cm），∴AE＝AO+OE＝10+8＝18（cm）．故选：D．5．【解答】解：∵将抛物线y＝﹣5x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位，∴所得抛物线的函数表达式是：y＝﹣5（x+1）2+3﹣1．即y＝﹣5（x+1）2+2故选：A．6．【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴当∠AED＝∠C时，△AED∽△ACB；当∠AED＝∠B时，△AED∽△ABC；当＝时，△AED∽△ABC；当＝时，△AED∽△ACB．故选：C．7．【解答】解：∵BD为直径，∴∠BCD＝90°，由圆周角定理得，∠D＝∠A＝65°，∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°，故选：B．8．【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∴AO＝CO，∠AOB＝∠COD，∠AOC＝40°，∴∠A＝∠ACO＝＝70°，∵∠AOB＝∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°，∴∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝50°，故选：B．9．【解答】解：设后两年该项目投资的平均增长率为x，则2019年该项目投资的100（1+x）亿元，2020年该项目投资的100（1+x）2亿元，依题意，得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝616．故选：A．10．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为9，E是AB中点，∴BC＝9，BE＝，∴CE＝＝，如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝，CB＝9，∴BE＝＝＝，∴AE＝，设AF＝x，则DF＝9﹣x，GF＝+（9﹣x）＝﹣x，∴EF＝＝，∴（﹣x）2＝+x2，∴x＝6，即AF＝6，∴DF＝3，∴CF＝＝＝3，故选：B．二、填空題（每小题4分，共24分）11．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，∴P，Q两点到对称轴x＝1的距离相等，∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．13．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，P A⊥OA，∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．14．【解答】解：以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，∵点A的坐标是（6，3），∴点A的对应点A1的坐标为（×6，×3）或（﹣×6，﹣×3），即（2，1）或（﹣2，﹣1），故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．15．【解答】解：∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理得，BC2＝BD•BA，∴BD＝＝＝9，故答案为：9．16．【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N ＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故答案是：M＝N或M＝N+1．三、解答题（共86分）17．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝2，∴x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，则x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）∵（x﹣1）2﹣2x（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（﹣x﹣1）＝0，则x﹣1＝0或﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1．18．【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB的中点，∴BE＝AB＝CD，∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴＝＝．（2）∵△BEF∽△DCF，∴＝（）2＝，又∵＝，∴＝．19．【解答】解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，＝＝＝k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，求证：＝k．证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，∴AD＝AB，A'D'＝A'B'，∴＝＝，∵△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∠A'＝∠A，∵＝，∠A'＝∠A，∴△A'C'D'∽△ACD，∴＝＝k．20．【解答】解：（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE ∴△BCD'≌△ACE∴AC＝BC，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°∴∠ACB＝90°故旋转角的度数为90°（2）AE⊥BD．理由如下：在Rt△BCM中，∠BCM＝90°∴∠MBC+∠BMC＝90°∵△BCD'≌△ACE∴∠DBC＝∠EAC即∠MBC＝∠NAM又∵∠BMC＝∠AMN∴∠AMN+∠CAE＝90°∴∠AND＝90°∴AE⊥BD（3）如图，连接DE，由旋转图形的性质可知CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°∴∠EDC＝∠CED＝45°∵CD＝3，∴CE＝3在Rt△DCE中，∠DCE＝90°∴DE＝＝＝3∵∠ADC＝45°∴∠ADE＝∠ADC+∠EDC＝90°在Rt△ADE中，∠ADE＝90°∴EA＝＝＝∴BD＝21．【解答】解：（1）依题意得：10×2000+2×（200﹣5）＝2280（元）；故答案是：2280；（2）因为10×200＝2000＜2625．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x人，由题意得：（10+x）（200﹣5x）＝2625．解得x1＝5 x2＝25，∵200﹣5x≥150，∴0＜x≤10，经检验x1＝5是方程的解且符合题意，x2＝25 （舍去）．10+x＝10+5＝15答：该单位共有15名员工参加旅游．22．【解答】解：（1）该店新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为15个，新款面包的日利润为：X＝15×（10﹣4）+（20﹣15）×（2﹣4）＝90﹣10＝80（元）；（2）新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为18个，新款面包的日利润为：X＝18×（10﹣4）+（20﹣18）×（2﹣4）＝108﹣4＝104（元），日需求量不少于20个，新款面包的日利润为：X＝20×（10﹣4）＝120（元），∴该店新款面包出炉的个数均为20个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X＝（80×10+104×8+120×12）＝＝102.4（元）；若新款面包出炉的个数均为21个，日需求量为15个，新款面包的日利润为：X＝15×（10﹣4）+（21﹣15）×（2﹣4）＝90﹣12＝78（元），日需求量为18个，新款面包的日利润为：X＝18×（10﹣4）+（21﹣18）×（2﹣4）＝108﹣6＝102（元），日需求量不少于21个，新款面包的日利润为：X＝21×（10﹣4）＝126（元），∴该店新款面包出炉的个数均为21个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X＝（78×10+102×8+126×12）＝≈103.6（元）；∵103.6＞102.4∴这款面包日均出炉个数定为21个比20个利润大，∴这款面包日均出炉个数定为21个．23．【解答】（1）证明：连接OD．∵EF⊥AF，∴∠F＝90°．∵D是的中点，∴＝．∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠A＝∠EOD，∴OD∥AF．∴∠EDO＝∠F＝90°．∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，∴＝＝10，设⊙O半径为r，∴EO＝10﹣r．∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，∴△EOD∽△EAF，∴＝，∴．∴r＝，即⊙O的半径为．24．【解答】解：（1）①∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝4，∴AC＝＝＝8，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴CE＝AE＝4，CD＝DB＝2，DE＝AB＝2，∴＝2，故答案为2；②如图1，当α＝90°时，∵将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CD'E'，∴CD＝CD'＝2，CE＝CE'＝4，∴BD'＝＝＝2，AE'＝＝＝4，∴故答案为2；（2）如图2，∵∠BCA＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，且，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，＝，∵∠CBD＝∠CAE，∠DMB＝∠ENA＝90°，∴△BDM∽△AEN，∴＝；（3）如图3，∵O是DE中点，∴OD＝DE＝，∴OC＝＝＝，∵在旋转过程中CO绕着点C旋转，∴点O在以C为圆心，长为半径的圆上，∴当点O在CB时，BO有最小值，∴此时BO＝BC﹣CO＝4﹣．25．【解答】解：（1）y＝ax2+ax﹣1＝a（x2+x）﹣1，当x2+x＝0时，x＝0或﹣1，故图形过顶点（0，﹣1）和（﹣1，﹣1），故：答案为：（0，﹣1）和（﹣1，﹣1）；（2）当a＝0时，y＝﹣1，函数在x轴下方；当a≠0时，函数在x轴下方，则a＜0，且△＜0，即△＝a2+4a＜0，解得：﹣4＜a＜0，综上，a的取值范围为：﹣4＜a≤0；（3）点M的坐标为：（﹣，﹣1﹣a），设点A、B的坐标为：（x1，y1）、（x2，y2），设过点F的直线m表达式为：y＝kx+b，将点F的坐标代入上式并解得：b＝k+﹣1﹣a，将直线m的表达式与二次函数表达式联立并整理得：ax2+（a﹣k）x﹣（b+1）＝0，x1+x2＝＝﹣1，x1x2＝＝﹣﹣+，则点D（x1，﹣1﹣﹣a），点B（x2，kx2+b），如果B、M、D三点共线，则直线DM和直线BM对应一次函数表达式中的k值相等，k MB＝＝，同理可得：k MD＝，假设k MB＝k MD，则＝＝，整理得：k（x1+x2）+kx1x2++k＝0，即：﹣k+﹣﹣﹣+k++＝0，即：0＝0，故B、M、D三点共线．。

2019-2020学年第一学期屏东中学九年级月考数 学 试 卷（考试时间：120分钟；满分：150分）一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列平面图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．抛物线y ＝－2(x ＋2)2－5的顶点坐标是（ ）A ．(2，－5)B ．(2，5)C ．(－2，－5)D ．(－2，5)3．一元二次方程x 2－x －1＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝10cm ，CD ＝12cm ，则AE 的长为（ ）A ． 2cmB ．8cmC ． 16cmD ．18cm第4题图第6题图第7题图第8题图5．在平而直角坐标系中，将抛物线y ＝－5x 2＋3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物 线的表达式为（ ）A ．y ＝－5(x ＋1)2＋2B ．y ＝－5(x ＋1)2＋4C ．y ＝－5(x －1)2＋2D ．y ＝－5(x －1)2＋4 6．如图，由下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A ．AE AD ＝AC ABB ．∠B ＝∠ADEC ．AE AC ＝DEBCD ．∠C ＝∠AED7．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，BD 为直径，若∠A ＝65°，则∠DBC 的度数是（ ）A ．15°B ． 25°C ． 35°D ． 45°8．如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针庭转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为100°，则∠B 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°9.据报道，为推进福州绿色农业发展，2018-2020年，福州将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目的平均投资增长率为x ，依题意可列方程为（ ）A ．100＋100(1＋x )＋100(1＋x )2＝616B ．100(1＋x )2＝616C ．100(1＋x )3＝616D ．100(1＋x 2)＝61610.如图，正方形ABCD 的边长为9，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，若E 是AB 中点，且∠ECF ＝45°，则CF 的长为（ ）A ．12B ．310C ．3 5D ．3二、填空题(每小题4分，满分24分)11．在平面直角坐标系中，点P (－2，3)关于原点的对称点P ′的坐标是 ______________．12．如图，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的点P (4，0)，Q 两点关于他们的对称轴直线x ＝1对称，则Q 点的坐标为_____________．13．如图，P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝38°，则∠P ＝______________．14．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别是A (6，3)，B (3，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△AOB 缩小，得到△A 1B 1O ，则点A 对应的A 1坐标为_______________．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝25cm ，BC ＝15cm ，则BD 的长为___________cm ．16．在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y ＝(x ＋a )(x ＋b )的图像与x 轴有M 个交点， 函数y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)的图像与x 轴有N 个交点，则M 与N 的数量关系 ___________．第10题图 第12题图 第13题图 第15题图FECBAD BPAOCDBA三、解答题(共86分) 17．（本题满分8分）解方程：（1）x 2－2x = 2 （2）(x －1)2－2x (x －1)= 018．（本题满分8分）如图，在□ABCD ，点E 是AB 的中点，EC 交BD 于F ． (1)求EFCF的值； (2)直接写出△BRF 与△BCD 的面积比．19．（本题满分8分）求证：相似三角形对应的角平分线之比等于相似比． 要求：（1）根据给出的△ABC 及线段A ′B ′，∠A (∠A ’=∠A )，以线段A ′B ′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A ′B ′C ′，使得△A ′B ′C ′∽△ABC ，不写作法，保留作图痕迹；（2）在已有的图形上画出一组对应角平分线，并据此写出已知、求证和证明过程．FEDCBA AB'A'20．（本题满分8分）如图，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =45°，将△BCD 绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到△ACF ． （1）请求出旋转角的度数；（2）若AD =2，CD =3，试求出四边形ABCD 的对角线BD 的长．21．（本题满分8分）自2015年12月6日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去某地旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用低5元，但人均旅游费用不得低于150元．（1）如果某单位组织12人参加该地旅游，那么需支付旅行社旅游费用 元； （2）现某单位组织员工去该地旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工 参加旅游？DB某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了新款面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）若该店新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为15个，求新款面包的日利润；（2）试以这30天内新款面包日利润的平均数作为决策依据，说明这款面包日均出炉个数定为20个还是21个?23．（本小题满分10分）BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是⌒延长线于点E．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝43，BC ＝4，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ，将△CDE 绕点C 逆时针旋转，记旋转角为α．（1）①当α＝0°时，AE BD ＝ ；②当α＝90°时，AE BD＝ ；（2）当0°＜α＜360°时，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点E 作EN ⊥AC 于点N ，请在图2中补全图形，并求出DMEN的值；（3）当0°≤α＜360°时，若点O 为DE 的中点，求在旋转过程中OB 长的最小值．已知函数y ＝ax 2＋ax －1(a 为常数)．（1）无论a 取何值，函数图象都过定点 ；（2）若对于任意实数x ，函数y ＝ax 2＋ax －1的图象始终在x 轴下方，求a 的取值范围；（3）若a ≠0，设函数y ＝ax 2＋ax －1(a 为常数)图象的顶点为M ，且与经过点F (－12，14a －1－14a )的直线l相交于A 、B 两点，过点A 作直线y ＝－1－14a －14a 的垂线，垂足为D ．求证：B 、M 、D 三点共线．。

九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．如图，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝76°，则∠ACB的度数为（ ）A．19°B．30°C．38°D．76°3．下列事件中是必然事件的是（ ）A．明年一共有367天B．旋转后的图形与原图形全等C．随机抛掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上D．﹣a是负数4．点（2，3）在反比例函y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）5．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣6的对称轴是直线（ ）A．x＝1B．x＝C．x＝﹣1D．x＝﹣66．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A．100（1﹣x）＝121B．100（1+x）＝121C．100（1﹣x）2＝121D．100（1+x）2＝1217．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝9，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若AD＝8，则AE的长为（ ）A．4B．5C．6D．78．若A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）三点都在函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2 9．已知二次函数y＝x2﹣4x+2．若﹣1≤x≤1时，则y的取值范围（ ）A．y≥7B．y≤﹣1C．﹣1≤y≤7D．﹣2≤y≤7 10．在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（ ）A．5B．C．D．二．填空题（共6小题）11．已知x＝2是方程x2+ax﹣2＝0的根，则a＝ ．12．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ．13．已知扇形的半径为2cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 cm．14．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：　x　…﹣1　012　34…　y＝ax2+bx+c　…　83　0﹣10　3…（a≠0）那么当该二次函数值y＞0时，x的取值范围是 ．15．如图，边长为3的等边三角形ABC的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，点D，E分别是BA，CB的延长线与⊙O的交点，则图中的阴影部分的面积是 （结果保留π）16．如图，面积为6的菱形AOBC的两顶点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的坐标为 ．三．解答题（共9小题）17．解方程：（1）x2+2x﹣1＝0（2）x（x﹣1）＝4（x﹣1）18．已知二次函数y＝x2+2x+k﹣2的图象与x轴有两个交点，求实数k的取值范围．19．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支经过点A（2，6）和点B（n，2），过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，BC，求△ABC的面积．20．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）的条件下，若△ADE的周长为2，求△ABC的周长．21．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∠ACD的平分线CF交DE于点F，连接AE、AF．（1）求∠CEA度数；（2）求证：AF⊥CE．22．某店对库存为30件，单件售价为150元的某种商品进行促销，规定若一次性购买不超过10件该商品时，售价不变：若一次性购买超过10件该商品时，每多买1件，所买的每件商品的售价均降低2元，若已知该商品的进价为每件50元，则顾客一次性购买多少件时，该店从中所获得的利润为1600元？23．已知甲、乙两家公司员工的日工资情况：甲公司日工资是底薪100元，每完成一件产品工资计3元，乙公司无底，40件以内（含40件）产品的部分每件产品工资计8元，超出40件的部分每件产品工资计10元．为此，在这两家公司各随机调查了100名工人日完成产品数，并整理得到如下频数分布表日完成产品数3839404142甲公司工人数2040201010乙公司工人数1020204010（1）若甲、乙公司日工资加上其它福利，总的待遇相同，A、B两人分别到甲、乙公司应聘，都选中甲公司的概率是多少？（2）试以这两家公司各100名工人日工资的平均数作为决策依据，若某人要去这两家公司去应聘，为他做出选择，去哪一家公司的经济收入可能会多一些？24．如图，已知点E为△ABC的外接圆⊙O上一点，OE⊥BC于点D，连接AE并延长至点F，使∠FBC＝∠BAC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D为OE的中点，过点B作BG⊥AF于点G，连接DG，⊙O的半径为，AC＝5．①求∠BAC的度数；②求线段DG的长．25．设抛物线Γ：y＝ax2+c（a＞0）与直线l：y＝kx﹣4（k＞0）交于A，B两点（点B在点A的右侧）．（1）如图，若点A（，﹣），且a+c＝﹣1，①求抛物线Γ与直线的解析式；②求△AOB的面积；（2）设点C是点B关于y轴的对称点，当点A，O，C三点共线时，求实数c的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝76°，则∠ACB的度数为（ ）A．19°B．30°C．38°D．76°【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝76°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝76°，∴∠ACB＝∠AOB＝×76°＝38°．故选：C．3．下列事件中是必然事件的是（ ）A．明年一共有367天B．旋转后的图形与原图形全等C．随机抛掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上D．﹣a是负数【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、明年一共有367天，是不可能事件；B、旋转后的图形与原图形全等，是必然事件；C、随机抛掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上，是随机事件；D、﹣a是负数，是随机事件；故选：B．4．点（2，3）在反比例函y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）【分析】把点（2，3）的坐标代入反比例函y＝，求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出答案．【解答】解：∵点（2，3）在反比例函y＝的图象上，∴k＝6，∴此函数图象上点的坐标特征为：xy＝k＝6＝（﹣3）×（﹣2），故选：D．5．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣6的对称轴是直线（ ）A．x＝1B．x＝C．x＝﹣1D．x＝﹣6【分析】根据抛物线的顶点式，可直接得到它的对称轴x＝h．【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2﹣6，∴抛物线y＝2（x﹣1）2﹣6的对称轴是直线x＝1，故选：A．6．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A．100（1﹣x）＝121B．100（1+x）＝121C．100（1﹣x）2＝121D．100（1+x）2＝121【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：100（1+x）2＝121，故选：D．7．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝9，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若AD＝8，则AE的长为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，据此可得结论．【解答】解：∵△ABC中，DE∥BC，∴＝，即＝，解得AE＝6，故选：C．8．若A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）三点都在函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据三个点所在的象限，由x的值的大小，判断出y的值的大小关系．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，且﹣1＞﹣2，∴y1＜y2＜0，又∵C（2，y3）在第一象限的双曲线上，∴y3＞0，因此，y1＜y2＜y3，故选：B．9．已知二次函数y＝x2﹣4x+2．若﹣1≤x≤1时，则y的取值范围（ ）A．y≥7B．y≤﹣1C．﹣1≤y≤7D．﹣2≤y≤7【分析】﹣1≤x≤1在对称轴的左侧，然后确定﹣1和1的函数值，即可确定y的范围．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴函数的对称轴是x＝2，顶点为（2，﹣2），有最小值﹣2，当x＝﹣1时，y＝7，当x＝1时，y＝﹣1，∴若﹣1≤x≤1时，则y的取值范围是：﹣1≤y≤7．故选：C．10．在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（ ）A．5B．C．D．【分析】如图连接AE交CD于点H，作CF⊥AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段AE，△ABE是直角三角形，求出AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连接AE交CD于点H，作CF⊥AB，垂足为F．∵在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10．∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝DC＝5．∵AC•BC＝AB•CF，∴×6×8＝×10×CF，解得CF＝．由翻折的性质可知AC＝CE，AD＝DE，∴CH⊥AE，AH＝HE．∵DC＝DB，AD•CF＝DC•AH，∴AH＝CF＝．∴AE＝．∵AD＝DE＝DB，∴△ABE为直角三角形．∴BE＝＝＝．故选：C．二．填空题（共6小题）11．已知x＝2是方程x2+ax﹣2＝0的根，则a＝　﹣1　．【分析】把x＝2代入方程x2+ax﹣2＝0得到关于a的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2+ax﹣2＝0得：4+2a﹣2＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．12．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为　　．【分析】随机事件A的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．故答案为：．13．已知扇形的半径为2cm ，圆心角为120°，则此扇形的弧长是　π　cm ．【分析】直接利用弧长公式计算．【解答】解：扇形的弧长＝＝πcm ．故答案为．14．用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时，列出了如下表格：　x …﹣1　012　34…　y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）　…　83　0﹣10　3…那么当该二次函数值y ＞0时，x 的取值范围是　x ＜1或x ＞3　．【分析】根据表格得到图象经过点（1，0）和点（3，0），抛物线开口向上，根据二次函数的性质解答．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），∴对称轴为x ＝2，顶点坐标是（2，﹣1），∴抛物线开口向上，∴当x ＜1或x ＞3时，y ＞0，故答案为：x ＜1或x ＞3．15．如图，边长为3的等边三角形ABC 的中心与半径为2的⊙O 的圆心重合，点D ，E 分别是BA ，CB 的延长线与⊙O 的交点，则图中的阴影部分的面积是　π﹣　（结果保留π）【分析】根据阴影部分的面积＝（圆面积﹣△ABC的面积）求解即可．【解答】解：根据题意：阴影部分的面积＝（圆面积﹣△ABC的面积）＝（4π﹣×32）＝π﹣．故答案为π﹣．16．如图，面积为6的菱形AOBC的两顶点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的坐标为　（3，3）　．【分析】连接AB，作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，连接OC交AB于H．根据对称性可以假设A（m，），则B（，m）．构建方程解决问题即可．【解答】解：连接AB，作AD⊥x轴于点D，作BE⊥x轴于点E，连接OC交AB于H．∵反比例函数y＝关于直线y＝x对称，∵四边形OACB是菱形∴OA＝OB，S△OAB＝S菱形OACB＝3，∴点A，点B关于直线y＝x对称，设A（m，），则B（，m）．∵S△OAB＝S△OAD+S梯形ADEB﹣S△OBE＝S梯形ADEB＝（AD+BE）•DE＝（+m）（﹣m）＝3，解得m＝或﹣（舍弃），∴A（，2），B（2，），∴H（，），∵OH＝OC，∴C（3，3）故答案为（3，3）．三．解答题（共9小题）17．解方程：（1）x2+2x﹣1＝0（2）x（x﹣1）＝4（x﹣1）【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）方程整理得：x（x﹣1）﹣4（x﹣1）＝0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4．18．已知二次函数y＝x2+2x+k﹣2的图象与x轴有两个交点，求实数k的取值范围．【分析】根据抛物线与x轴的交点的判断方法解答．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝22﹣4（2k﹣4）＝﹣8k+20＞0，解得，k＜2.5．19．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支经过点A（2，6）和点B（n，2），过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，BC，求△ABC的面积．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得n的值，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支经过点A（2，6）和点B（n，2），∴k＝2×6＝2n，∴k＝12，n＝6，∴B（6，2），∵AC⊥y轴，∴AC＝6，∴△ABC的面积＝×6×（6﹣2）＝12．20．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）的条件下，若△ADE的周长为2，求△ABC的周长．【分析】（1）用尺规作边AC的中点E，并连接DE即可；（2）在（1）的条件下，根据相似三角形周长的比等于相似比即可求解．由△ADE的周长为2，可求△ABC的周长．【解答】解：（1）如图所示：作边AC的中点E，连接DE即为所求作的图形；（2）∵△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴C△ADE＝C△ABC，∵C△ADE＝2，∴C△ABC＝4，答：△ABC的周长为4．21．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∠ACD的平分线CF交DE于点F，连接AE、AF．（1）求∠CEA度数；（2）求证：AF⊥CE．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，BC＝AC，由旋转的性质可得CE＝BC，∠BCE＝90°，由等腰三角形的性质可求解；（2）由“SAS”可证△DCF≌△ACF，可得∠FAC＝∠D＝60°＝∠ACB，可证AF∥BC，则结论得证．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC，∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∴CE＝BC，∠BCE＝90°，AC＝CD，∴CE＝AC，∵∠BCE＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，∴∠CEA＝（180°﹣∠ACE）＝75°．（2）证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠D＝60°，∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF，∵∠ACF＝∠DCF，CF＝CF，CA＝CD，∴△DCF≌△ACF（SAS），∴∠FAC＝∠D＝60°，∴∠FAC＝∠ACB，∴AF∥BC，∵∠BCE＝90°，∴AF⊥CE．22．某店对库存为30件，单件售价为150元的某种商品进行促销，规定若一次性购买不超过10件该商品时，售价不变：若一次性购买超过10件该商品时，每多买1件，所买的每件商品的售价均降低2元，若已知该商品的进价为每件50元，则顾客一次性购买多少件时，该店从中所获得的利润为1600元？【分析】先根据题意判断该顾客购买的件数超过10件，进而设为x件，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：根据题意得：10×（150﹣50）＝1000＜1600，即该顾客一次性购买的件数超过10件，设顾客一次性购买x（10＜x≤30）件时，该店从中所获得的利润为1600元，根据题意得：x[150﹣2（x﹣10）﹣50]＝1600，整理得：﹣2x2+120x﹣1600＝0，即x2﹣60x+800＝0，分解因式得：（x﹣20）（x﹣40）＝0，解得：x＝20或x＝40（不符合题意，舍去），则顾客一次性购买20件时，该店从中所获得的利润为1600元．23．已知甲、乙两家公司员工的日工资情况：甲公司日工资是底薪100元，每完成一件产品工资计3元，乙公司无底，40件以内（含40件）产品的部分每件产品工资计8元，超出40件的部分每件产品工资计10元．为此，在这两家公司各随机调查了100名工人日完成产品数，并整理得到如下频数分布表日完成产品数3839404142甲公司工人数2040201010乙公司工人数1020204010（1）若甲、乙公司日工资加上其它福利，总的待遇相同，A、B两人分别到甲、乙公司应聘，都选中甲公司的概率是多少？（2）试以这两家公司各100名工人日工资的平均数作为决策依据，若某人要去这两家公司去应聘，为他做出选择，去哪一家公司的经济收入可能会多一些？【分析】（1）用列表法和树状图法求出所有可能出现的结果数，进而求出概率，（2）计算出甲、乙公司工人的日工资的平均数，再做出选择即可．【解答】解：（1）A、B两人分别应聘甲、乙公司所有可能的情况如下：因此，P（都选中甲公司）＝，（2）这两家公司100名工人日工资的平均数：甲＝+100＝218.5元，乙＝＝322.8元，∵218.5＜322.8，∴选择乙公司，答：去乙公司的经济收入可能会多一些．24．如图，已知点E为△ABC的外接圆⊙O上一点，OE⊥BC于点D，连接AE并延长至点F，使∠FBC＝∠BAC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D为OE的中点，过点B作BG⊥AF于点G，连接DG，⊙O的半径为，AC＝5．①求∠BAC的度数；②求线段DG的长．【分析】（1）如图1，连接BO并延长交⊙O于M，连接CM，由圆周角定理可得∠BCM＝90°，∠M＝∠BAC，由直角三角形的性质可得∠M+∠MBC＝90°，可得∠CBF+∠MBC＝90°，即可得结论；（2）①由垂径定理可得OE⊥BC，由锐角三角函数可得∠OBD＝30°，即可求解；②如图2，延长AC，BG交于点H，过点C作CN⊥AB，由直角三角形的性质可求BC，AN，CN的长，由勾股定理可求BN的长，可得AB的长，由“ASA”可证△ABG≌△AHG，可得AB ＝AH＝7，由三角形中位线定理可求解．【解答】证明：（1）如图1，连接BO并延长交⊙O于M，连接CM，则∠BCM＝90°，∠M＝∠BAC，∴∠M+∠MBC＝90°，∵∠FBC＝∠BAC，∴∠M＝∠CBF，∴∠CBF+∠MBC＝90°，∴OB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线；（2）①∵点D为OE的中点，∴OD＝OE＝OB，∵OE⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵sin∠OBD＝，∴∠OBD＝30°，∴∠M＝60°，∴∠BAC＝∠M＝60°；②如图2，延长AC，BG交于点H，过点C作CN⊥AB，∵BM是直径，∴∠BCM＝90°，且BM＝2，∠BMC＝60°，∴CM＝，BC＝CM＝，∵∠CNA＝90°，∠CAB＝60°，AC＝5，∴AN＝，NC＝AN＝，∴BN＝＝＝∴AB＝BN+AN＝7，∵OE⊥BC，∴，BD＝CD，∴∠BAE＝∠CAE，AG＝AG，∠AGB＝∠AGH＝90°，∴△ABG≌△AHG（ASA）∴BG＝GH，AB＝AH＝7，∴CH＝AH﹣AC＝2，∵BD＝CD，BG＝GH，∴DG＝CH＝×2＝1．25．设抛物线Γ：y＝ax2+c（a＞0）与直线l：y＝kx﹣4（k＞0）交于A，B两点（点B在点A的右侧）．（1）如图，若点A（，﹣），且a+c＝﹣1，①求抛物线Γ与直线的解析式；②求△AOB的面积；（2）设点C是点B关于y轴的对称点，当点A，O，C三点共线时，求实数c的值．【分析】（1）①将点A坐标代入直线解析式中，即可得出直线l的解析式，将点A坐标代入抛物线解析式中得出a+c＝﹣①，结合a+c＝﹣1，即可得出结论；②利用三角形的面积的计算方法即可得出结论；（2）设出A（m，mk﹣4），B（b，bk﹣4）（b＞m），得出C（﹣b，bk﹣4），进而求出直线AC的解析式为y＝kx+﹣4，判得出mbk＝2（m+b）①，再由点A，B在抛物线上，得出am2+c＝mk﹣4②，ab2+c＝bk﹣4③，由①②③即可得出结论．【解答】解：（1）①将点A（，﹣）代入直线l：y＝kx﹣4（k＞0）中，得k﹣4＝﹣，∴k＝3，∴直线l的解析式为y＝3x﹣4；将点A（，﹣）代入抛物线Γ：y＝ax2+c（a＞0）中，得，a+c＝﹣①，∵a+c＝﹣1②，联立①②解得，a＝2，c＝﹣3，∴抛物线Γ的解析式为y＝2x2﹣3；②如图1，直线l与x轴的交点记作点D，由①知，直线l的解析式为y＝3x﹣4，∴D（，0），∴OD＝，由①知，抛物线Γ的解析式为y＝2x2﹣3，直线l的解析式为y＝3x﹣4，联立得，，解得，或，∴B（1，﹣1），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝OD•|y A|﹣OD•|y B|＝OD•（|y A|﹣|y B|）＝××（﹣1）＝1；（2）如图2，∵点A，B在直线l：y＝kx﹣4上，∴设点A（m，mk﹣4），B（b，bk﹣4）（b＞m），∵点C是点B关于y轴的对称点，∴C（﹣b，bk﹣4），∴直线AC的解析式为y＝kx+﹣4，∵点A，O，C三点共线，∴直线AC过原点，∴﹣4＝0，∴mbk＝2（m+b）①，∵点A（m，mk﹣4）在抛物线Γ：y＝ax2+c上，∴am2+c＝mk﹣4②，∵点B（b，bk﹣4）在抛物线Γ：y＝ax2+c上，∴ab2+c＝bk﹣4③，②﹣③得，am2﹣ab2＝mk﹣bk，∴k＝a（m+b）④，联立①④得，abm＝2，②×b﹣③×m得，abm2+bc﹣（ab2m+cm）＝bmk﹣4b﹣（bmk﹣4m），∴abm（m﹣b）﹣（m﹣b）c＝4（m﹣b），∴abm﹣c＝4，∴c＝abm﹣4＝2﹣4＝﹣2．。

12 31. 【答案】D2019-2020 学年上学期期中原创卷A 卷九年级数学·全解全析【解析】A 、 == 2 ，被开方数里含有能开得尽方的因数 4，故 A 选项错误；B = a ，被开方数里含有能开得尽方的因式 a 2，故 B 选项错误；C ==2 ，被开方数里含有分母，故 C 选项错误； 2D 符合最简二次根式的条件，故 D 选项正确，故选 D ．2. 【答案】A【解析】∵x 2+4x +1=0，∴x 2+4x =−1，∴x 2+4x +4=−1+4，∴（x +2）2=3．故选 A ． 3．【答案】C 【解析】如图所示，∵ ∠C = 90︒ ， cos B = 3 =BC，∴设 BC = 3x ，则 AB = 5x ，故 AC = 4x ，则tan A =BC = 3．故选 C ．5 ABAC 44．【答案】C【解析】∵ ∆=12-4×1×（-3）=13>0，∴方程 x 2+x -3=0 有两个不相等的实数根．故选 C ． 5．【答案】C【解析】∵∠ACB =90°，∠A =30°，∴∠B =60°，又 CD 是高，∴∠BCD =30°，∴BC =2BD =4 cm ，∵∠A =30°，∴AB =2BC =8 cm ，故选 C ．6. 【答案】A【解析】∵直线 AB ∥CD ∥EF ，AC =4，CE =6，BD =3，∴AC = BD ，即 4=3 ，解得 DF =4.5．故选 A ．CE DF 6DFb3 2 7. 【答案】B【解析】∵△A 1OB 1 与△A 2OB 2 的周长之比为 1∶2，∴△A 1OB 1 与△A 2OB 2 的位似之比为 1∶2， 而点 A 1 的坐标为（–1，2），∴点 A 2 的坐标为（2，–4）．故选 B ．8. 【答案】B【解析】A 、从装有 10 个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球是不可能事件；B 、抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于 7 是必然事件；C 、抛掷一枚普通硬币，正面朝上是随机事件；D 、从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块是随机事件，故选 B ．9. 【答案】B12 6 【解析】由题可知：发言人是家长的概率==50 2510. 【答案】D，故选 B ．【解析】∵△ABC ∽△ADE ，∴ ∠ADO = ∠OBE ，∵ ∠AOD = ∠BOE ，∴△AOD ∽△EOB ， ∴OD = OA ，∴ OD = OB，∵ ∠BOD = ∠AOE ，∴△BOD ∽△EOA ，故②正确， OB OE OA OE∵△AOD ∽△EOB ， △BOD ∽△EOA ，∴∠ADO = ∠EBO ， ∠AEO = ∠DBO ， ∵ ∠ADO + ∠AEO = 90︒，∴ ∠DBE = ∠DBO + ∠EBO = 90︒，∵ DF = EF ，∴ FD = FB = FE ， ∴ ∠FDB = ∠FBD ，∴ ∠FDB + ∠FBE = ∠FBD + ∠FBE = 90︒ ，故③正确；在Rt △ABC 中，∵ AB = 4 ， AC = 3 ，∴ BC= 5，∵△ABC ∽△ADE ， ∴DE = BC = 5 ，∵ BF = 1 DE ，∴ 2BF = 5 ，∴ BF = 5AE ，故④正确； AE AC 3 2 AE 3 6∵ ∠ADO = ∠OBE ，∴ ∠ADO ≠ ∠OBF ，∴无法判断△AOD ∽△FOB ，故①错误．故选 D ． 11．【答案】x 1=0，x 2=3【解析】x 2-3x =0，x （x -3）=0，∴x 1=0，x 2=3．故答案为：x 1=0，x 2=3．12. 【答案】4【解析】不透明的布袋中的小球除颜色不同外，其余均相同，共有 10 个小球，设白色小球 x 个， x根据概率公式知：P （白色小球）=1013. 【答案】4=0.4，解得：x =4．故答案为：4．【解析】根据题意得： 4 ÷ 2 ×2=4 ．故答案为：4 ．26 23 33 1 1 1 1 5 14. 【答案】2【解析】在 Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，点 Q 是 AB 的中点，∴CQ = 1AB ，2∵点 E ，F 分别是边 AC 、BC 的中点，∴EF = 1AB ，∴CQ =EF ， 25 又 EF +CQ =5，∴EF = 215. 【答案】405 ．故答案为： ．2【解析】∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴△BAE ∽△CDE ，∴ AB = BE ， CD CE∵BE =20 m ，CE =10 m ，CD =20 m ，∴AB = 20，解得：AB =40，故答案为：40． 20 1016. 【答案】15mAB AB 【解析】在 Rt △ACB 中，∠ACB =60°，∵tan ∠ACB =，即 tan60°== ，∴BC =3 AB ，BCBC3在 Rt △ABD 中，∠ADB =30°，∵tan ∠ADB =AB，即 tan30°=AB=3 ，∴BD = 3AB ，BDBD3∵CD =30，∴ 3AB –3 AB =30，AB =15 3，故答案为：15 m ．17．【解析】（1）原式= 1⨯ 4 - 2 + 9 - 3 =6．（4 分）2（2）原式= 2 - 4 + 4 - 3 = 6 - 7 2 ．（8 分）18.【解析】（1）∵一元二次方程 x 2 + 3x + k - 3 = 0 有两个实数根， ∴ ∆= 32 - 4⨯1⨯ (k - 3) ≥ 0 ，（2 分） 解得： k ≤ 21．4∴当 k ≤21 时，关于 x 的一元二次方程 x 2 + 3x + k - 3 = 0 有两个实数根．（4 分）4（2）∵ x 1 是关于 x 的一元二次方程 x 2 + 3x + k - 3 = 0 的根，∴ x 2 + 3x + k - 3 = 0 ，即 x 2 = -3x - k + 3 ，∵x 2 + 2x + x + k = 3 ，∴ -3x - k + 3 + 2x + x + k = 3 ，（6 分） 112112∴ x 1 = x 2 ，3 2 25 5755∴∆= 32 - 4⨯1⨯ (k - 3) = 0 ，解得：k =21．（8 分）4AD19.【解析】在Rt△ADC 中，tan C=DC设AD=k，CD=2k，AC1= ，2= k．（2 分）∵AC=3 ，∴k=3，（4 分）解得：k=3，∴AD=3，CD=6．在Rt△ABD 中，BD= ，（6 分）∴△ABC 的周长=AB+AC+BD+CD=4+3 ++6=10+3 +．（8 分）20.【解析】∵OA=2，AD=9，∴OD=9-2=7，∵△AOB∽△DOC，OA OB∴=OD OCAB= ，（3 分）CD∵OA=2，OB=5，DC=12，2 5 AB∴= = ，7 OC 1235解得OC=224，AB=7，（6 分）∵△AOB∽△DOC，∴∠D=∠A=58°．（8 分）21.【解析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：500（1+x）2=720，（2 分）解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．答：第一季度平均每月的增长率为20%．（4 分）（2）720×（1+20%）2=1036.8．（6 分）∵1036.8>1000，∴该厂今年5 月份总产量能突破1000 t．（8 分）22．【解析】（1）1．（4 分）255773 3 （2）用表格列出所有可能的结果：（8 分）由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有 2 种可能． 21∴P （两次都摸到红球）= 12 = 6．（10 分）23. 【解析】（1）如图，连接 BF ，过 D 作 DM ⊥BF ，过 E 作 EN ⊥BF 于 N ，则 MN =DE =25 cm ，EN =DM ，∵DE ∥BF ，∴∠F =∠ODE =60°，∠B =∠OED =50°，∵DF =40 cm ，∴EN =DM =20 cm ，MF =20 cm ，（3 分）∴BN =EN=20 3≈29.08 cm ，tan 50︒1.19∴BF =BN +MN +MF =74.08 cm ，故两支架着地点 B ，F 之间的距离为 74.08 cm ．（6 分）（2）在 Rt △ADE 中，AD =DE ·tan50°=29.75 cm ，∴AM =29.75+20 ≈64.35 cm ，故椅子的高度是 64.35 cm ．（10 分）24. 【解析】（1）所有可能出现的结果如图：（6 分）（2）从上面的表格（或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有 12 种，且每种结果出现的可能性相同，其中积是奇数的结果有 4 种，即 5、7、15、21，积是偶数的结果有 8 种，即 4、6、8、10、12、14、12、18，（8 分） 4 1∴甲、乙两人获胜的概率分别为：P （甲获胜）== 12 38 2 ，P （乙获胜）== 12 3．（12 分）25. 【解析】（1）如图，过点 E 作 EQ ⊥AB 交AB 的延长线于点 Q ．由旋转得 PD =PE ，∠DPE =90°．∵在正方形 ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD =AB ，∴∠EQP =∠A =90°．∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4．∴△PAD ≌△EQP ．（3 分）∴EQ =AP ，AD =AB =PQ ．∴AP =EQ =BQ ．∴∠5=45°．∴∠PBE =180°–∠5=135°．（7 分） （2）∵△PFD ∽△BFP ，∴PD = PF． BP BF∵∠A =∠PBC ，∠2=∠4，∴△APD ∽△BFP ．（11 分）∴AP = PD ． 即 FP = PD ．BF FP BF AP ∴ PD = PD．∴ AP = BP ． BP AP ∴AP = 1．（14 分） AB 2。

2020－2021学年福州鼓楼区九年级第一学期期中考试数学试卷(范围：九上全册满分：150分完卷时间：120分钟)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2．已知⊙O的直径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在()A．⊙O内B．⊙O外C．⊙O上D．不确定3．一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的解是()A．x＝－1B．x＝2 C．x1＝－1，x2＝2 D．没有实数根4．若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－3)2－4，则b的值为() A．0B．5 C．6D．－65．抛物线y＝2(x－2)2＋5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是()A ．x ＝2B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0 6．以x ＝3±9－4c2为根的一元二次方程可能是( )A ．x 2－3x －c ＝0B ．x 2＋3x －c ＝0C ．x 2－3x ＋c ＝0D ．x 2＋3x ＋c ＝07．如图，C 在⌒AB 上，点D 在半径OA 上，则下列结论正确的是( )A ．⊙DCB ＋12⊙O ＝180° B ．⊙ACB ＋12⊙O ＝180°C ．⊙ACB ＋⊙O ＝180°D ．⊙CAO ＋⊙CBO ＝180° 第7题8．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△AB 1C 1，连接BC 1，则BC 1的长为( )A ．3B ．2 3C ．2 2D ．49．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与直线y ＝x 交于(1，1)和(3，3)两点，以下结论：①b 2－4c ＞0；②3b ＋c ＋6＝0；③2b ＋c ＋4＞2；④当1＜x ＜3时，x 2＋(b －1)x ＋c ＜0，其中正确的序号是 ( )A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④ 10．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数,则把点M 叫做“整点”.例如：P (1,0)、Q (2,−2)都是“整点”.抛物线y ＝mx 2－2mx ＋m －1(m ＞0)与x 轴交于A 、B 两点,若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域(包括边界)恰有6个整点,则m 的取值范围是( )A ．18≤m ≤14B ．19＜m ≤14C ．19≤m ＜12D ．19＜m ＜14(第8题图) (第9题图) (第14题图) (第16题图)二、填空题(每题4分，共24分)11.已知二次函数y＝x2－2的顶点坐标为_________；12.在－3，－2，1，2，3五个数字中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2＋4x－2中a的值，则该二次函数图像开口向上的概率是_________；13．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为__________________；14．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C, F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为__________；15．汽车刹车后行驶的距离s(米)与行驶的时间t(秒)函数关系式是s＝15t－6t2，汽车刹车后停下来前进了_________米；16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC上的一动点，(不与B，C重合)，连结AE,过点D作DF⊥AE,垂足为F，则线段BF长的最小值为__________.三、解答题(本大题共9小题，共86分)17.(8分)解方程：x2＋4x－4＝018.(8分)关于x的一元二次方程mx2＋(3m－2)x－6＝0，当m为何值时，方程总有两个不相等的实数根.19.(8分)下表给出了代数式－x2＋bx＋c与x的一些对应值：(1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值；(2)设y＝－x2＋bx＋c，直接写出当0≤x≤2时，y的最大值.20．(8分)在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，仅用无刻度的直尺(不能使用圆规)分别按下列要求划圆(保留画图痕迹).(1)请在图中画出BA边上的高CD.(2)请在图中画出弦DE，使得DE∥BC.21．(8分)肖红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作，根据社区的安排,志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀).(1)肖红的爸爸被分到B组的概率是________(2)我校林老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求林老师和肖红爸爸被分到同一组的概率是多少？22．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCB＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，与BC交点于F平分BC，若AB＝10，∠B＝30°，求CD的长.23．(10分)我市高新区某企业接到批产产品的生产任务，按要求必须在14天内完成，已知每件产品的售价为60元，工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系:y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ，0≤x ≤4，5x ＋10，4＜x ≤14. (1)工人甲第几天生产的产品数量为60件?(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数关系图象如图，工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式，并求第几天的利润最大，最大利润是多少?24.(12分)如图，在边长为8的等边△ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 是平面上一点，且线段DE ＝2,将线段EB .绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，连接AF .(1)如图1，当BE ＝2时，求线段AF 的长(2)如图2，求证:AF ＝CE25.(14分)在平面直角坐标系中点A(1，0)，已知抛物线y＝x2＋mx－2m(m是常数)，顶点为P.(1)当抛物线经过点A时，①求项点P的坐标.②设直线l：y＝3x+1与抛物线交于B，C两点，抛物线上的点M的横坐标为n(－1≤n≤3)，过点M作x轴的垂线，与直线l交于点Q，若MQ＝d，当d随n的增大而减少时，求n的取值范围.(2)无论用取何值，该能物线都经过定点H，当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式.2020－2021学年鼓山格致第一学期期中考试九年级数学试卷参考答案1.D2.B3.C4.D5.B6.A7.B8.A9.C10.B11. (0,－2) 12.3513.x(x－12)＝864 14. 6 15.75816. 213－418.19.20.21. (1)13(2)设林老师用甲表示，肖红爸爸用乙表示，体温监测记录组用A 表示，便民代购组用B 表示，环境消毒组C 用表示，画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中林老师和肖红爸爸被分到同一组的有种3结果，即所以林老师和肖红爸爸被分到同一组的概率为.22.(1)略(2)53223.24．解：(1)作AG⊥BC于G点，延长FE交AG于H点∵AB＝AC，∴∠BAG＝30º，……………………1分∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，∴∠BEF＝60º，∴∠BEF ＝∠B ，∴EF ∥BC ， …………………………2分∵AG ⊥BC ，∴AG ⊥FH ， …………………………3分在Rt △AEH 中,∵AE ＝6,∠EAH ＝30º，∴132EH AE ==,AH ==在Rt △AFH 中，AF ===.……………………4分方法二：(1)连接FB ,作FP ⊥AB 于P 点，∵EB 绕点E 顺时针旋转60º得到线段EF ，∴△EBF 是等边三角形，…………………………1分又∵FP ⊥AB ，∴∠EFP ＝30º，∴112EP EF == ，……………………………2分 ∴AP ＝7，在Rt △EFP 中, PF =………3分在Rt △APF 中, AF === …………………4分(2)①连接FB，∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，∴△EBF是等边三角形，∴FB＝EB, ∴∠FBE＝∠ABC＝60º…………………………………………………………6分∴∠FBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA即∠FBA＝∠EBC，…………………………………………………………………………7分又∵AB＝BC，∴△FBA≌△EBC，………………………………………………………………………8分∴AF＝CE，…………………………………………………………………………………9分25.。

福州一中2019-2020学年度上期九年级期中考试数学试卷1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题1．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．圆B．等腰三角形C．平行四边形D．菱形2．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）A．12B．13C．310D．153．已知圆锥的底面半径为50cm,母线长为80cm,则此圆锥的侧面积为( )A．4000πcm2B．3600πcm2C．2000 πcm2D．1000πcm24．如图，点P为圆O外一点，PA为圆的切线，PO交圆O于点B，∠P=30°，OB=4,则线段BP的长为（）A．6B．C．4D．85．若二次函数y=ax2+bx+a2-3（a、b为常数）的图象如图所示，则a的值为（）A．1B C．D．-36．若正方形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶R ∶a ＝…（ ）A ．1:1:B ．2C ．D 2:47．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）C.2D.128．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人9．已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）．A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++10．正方形ABCD 的边长为8，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM⊥MN.则AN的最小值是（ ）A ．8B ．C ．10D ．第II 卷（非选择题)二、填空题 11．一元二次方程x 2+x=0的根是 ．12．二次函数22(2)3y x =+-的顶点坐标是__________.13．点A(O ，3)，点B(4，0)，则点O(0，0)在以AB 为直径的圆____（填内、上或外）.14．如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将 Rt △ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt △ADE ，点 B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_____．15．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.估计这名球员在罚球线上投篮一次,投中的概率为_______.三、解答题16．（1）计算：2cos60tan30︒︒+︒（2）如图所示,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上.①画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB1C1;②求旋转过程中动点B所经过的路径长 (结果保留π）17．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．18．如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东37°方向上的B处,求此时轮船所在的B结果精确到0.1). 处与灯塔P的距离(sin53°=0.8，sin37°=0.6， 1.719．如图，正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上一点，∠EAF=45°．将△ABE绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG，连接EF，求证EF=FG．20．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2=ca．21．我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价﹣成本）22．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB=°，AB=．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．(1)求证：DH是圆O的切线；(2)若32FDEF，求证：A为EH的中点．(3)若EA=EF=1，求圆O的半径．24．如图，抛物线过O、A、B三点，A（4,0）B（1，-3），P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.（1）直线PQ与x轴所夹锐角的度数，并求出抛物线的解析式.（2）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D，求： PD+DQ 的最大值；②PD.DQ的最大值.参考答案1．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．D【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有10个小球，其中白球有2个，∴摸出一个球是白球的概率是210=15，故选：D．【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．3．A【解析】【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】解：圆锥的侧面积=π×50×80=4000πcm2．故选：A．【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．4．C【解析】【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【详解】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=4，∴AO=4，则OP=8，故BP=8-4=4．故选：C．【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．5．C【解析】【分析】根据图象可以知道二次函数y=ax2+bx+a2-3经过点（0，0），因而把这个点代入记得到一个关于a的方程，就可以求出a的值．【详解】解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得a2-3=0，解得∵函数开口向下，a ＜0，∴故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．6．B【解析】【分析】经过圆心O 作正方形一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．连接OA ，则在直角△OAC 中，∠O=45°．OC 是边心距r ，OA 即半径R ．根据三角函数即可求解．【详解】作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．在中心的直角三角形的角为3604245︒÷÷=︒，∴内切圆的半径为 2a ，外接圆的半径为2，∴r R a =：：．故选B ．【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来． 7．D【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD ，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.【详解】∵∠DAB=∠DEB ，∴tan ∠DEB= tan ∠DAB=12， 故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键． 8．C【解析】【分析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x 人，依题可得：x （x-1）=55，化简得：x 2-x-110=0，解得：x 1=11，x 2=-10（舍去），故答案为：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.9．B【解析】试题分析：抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，即可看作把抛物线向下、向左平移2个单位，再根据“左加右减，上加下减”的规律分析即可。

3557551 1 1 12019-2020 学年上学期期中原创卷A 卷九年级数学·参考答案11．x1=0，x2=3 12．4 13．414．15．40 16．15 m217．【解析】（1）原式=1⨯ 4 - 2 + 9 - 3 =6．（4 分）2（2）原式=2 - 4+ 4 - 3 = 6 - 7 2 ．（8 分）18.【解析】（1）∵一元二次方程x2 + 3x +k - 3 = 0 有两个实数根，∴ ∆= 32 - 4⨯1⨯ (k - 3) ≥ 0 ，（2 分）解得：k ≤21．4∴当k ≤21时，关于x 的一元二次方程x2 + 3x +k - 3 = 0 有两个实数根．（4 分）4（2）∵ x1 是关于x 的一元二次方程x2 + 3x +k - 3 = 0 的根，∴x2 + 3x+k - 3 = 0 ，即x2 =-3x-k + 3 ，∵x2 + 2x +x +k = 3 ，∴-3x -k + 3 + 2x +x+k = 3 ，（6 分）1 12 1 1 2∴ x1 =x2 ，∴∆= 32 - 4⨯1⨯ (k - 3) = 0 ，解得：k =21．（8 分）4AD19.【解析】在Rt△ADC 中，tan C=DC设AD=k，CD=2k，AC1= ，2= k．（2 分）∵AC=3 ，∴k=3，（4 分）解得：k=3，∴AD=3，CD=6．在Rt△ABD 中，BD= ，（6 分）∴△ABC 的周长=AB+AC+BD+CD=4+3 ++6=10+3 +．（8 分）22 2557720.【解析】∵OA=2，AD=9，∴OD=9-2=7，∵△AOB∽△DOC，OA OB ∴= OD OCAB= ，（3 分）CD∵OA=2，OB=5，DC=12，2 5 AB∴= = ，7 OC 1235解得OC=224，AB=7，（6 分）∵△AOB∽△DOC，∴∠D=∠A=58°．（8 分）21.【解析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：500（1+x）2=720，（2 分）解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．答：第一季度平均每月的增长率为20%．（4 分）（2）720×（1+20%）2=1036.8．（6 分）∵1036.8>1000，∴该厂今年5 月份总产量能突破1000 t．（8 分）22．【解析】（1）1．（4 分）2（2）用表格列出所有可能的结果：（8 分）由表格可知，共有12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2 种可能．3 32 1∴P（两次都摸到红球）=12 =6．（10 分）23.【解析】（1）如图，连接BF，过D 作DM⊥BF，过E 作EN⊥BF 于N，则MN=DE=25 cm，EN=DM，∵DE∥BF，∴∠F=∠ODE=60°，∠B=∠OED=50°，∵DF=40 cm，∴EN=DM=20 cm，MF=20 cm，（3 分）∴BN=EN=20 3≈29.08 cm，tan 50︒ 1.19∴BF=BN+MN+MF=74.08 cm，故两支架着地点B，F 之间的距离为74.08 cm．（6 分）（2）在Rt△ADE 中，AD=DE·tan50°=29.75 cm，∴AM=29.75+20 ≈64.35 cm，故椅子的高度是64.35 cm．（10 分）24.【解析】（1）所有可能出现的结果如图：（6 分）（2）从上面的表格（或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有12 种，且每种结果出现的可能性相同，其中积是奇数的结果有4 种，即5、7、15、21，积是偶数的结果有8 种，即4、6、8、10、12、14、12、18，（8 分）4 1∴甲、乙两人获胜的概率分别为：P （甲获胜）== 12 38 2 ，P （乙获胜）== 12 3．（12 分）25. 【解析】（1）如图，过点 E 作 EQ ⊥AB 交 AB 的延长线于点 Q ．由旋转得 PD =PE ，∠DPE =90°．∵在正方形 ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD =AB ，∴∠EQP =∠A =90°．∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4．∴△PAD ≌△EQP ．（3 分）∴EQ =AP ，AD =AB =PQ ．∴AP =EQ =BQ ．∴∠5=45°．∴∠PBE =180°–∠5=135°．（7 分） （2）∵△PFD ∽△BFP ，∴PD = PF． BP BF∵∠A =∠PBC ，∠2=∠4，∴△APD ∽△BFP ．（11 分）∴AP = PD ． 即 FP = PD ．BF FP BF AP ∴ PD = PD．∴ AP = BP ． BP AP ∴AP = 1．（14 分） AB2。

新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（ ） A ．6 B ．－6 C ．5 D ．－5 5．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 3第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图10．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是 ．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有 个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 ．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t－1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是 度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为 ．第10题图第16题图第15题图三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程x2－3x＋1＝018．（本题8分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝2的根；（2）直接写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.19．(本题8分) 关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根. （1）求m的取值范围；（2）若两根为x1、x2且x12＋x22＝7，求m的值.20．(本题8分) 如图，△ABC是等边三角形.（1）作△ABC的外接圆；（2）在劣弧BC上取点D，分别连接BD，CD，并将△ABD绕A点逆时针旋转60°；（3）若AD＝4，直接写出四边形ABDC的面积.21．(本题8分) 如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点E，AE＝6，，AD⊥CD于D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G.（1）求CD的长；（2）求EG的长.第18题图第20题图AB C第21题图A B22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D .（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD ≤MN ，设AD ＝x 米.①若a ＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； ②求矩形菜园ABCD 面积的最大值；（2）如图2，若a ＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD 面积的最大值是 米2.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是△ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，且PA，设∠APB ＝α，∠CPB ＝β.（1）如图1，若∠ACP ＝45°，将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC ，连结新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.B.C.D.2. 观察下列汽车标志，其中是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.3. x =2不是下列哪一个方程的解（ ）A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程3x 2-2x +a =0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A BCDMN NM DC BA第22题图2第22题图1A. B. C. D.5.若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（）A. 正数B. 非负数C. 一切实数D. 零6.函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，则m的值为（）A. B. 0 C. 或1 D. 17.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）A. B.C. D.8.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴是C. 当时，y的最大值为4D. 抛物线与x轴的交点为，9.若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A. 13B. 16C. 12或13D. 11或1610.如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（）A. 点B和点E关于点O对称B.C. △ ≌△D. △与△关于点B中心对称11.如图所示，△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，则下列结论成立的有（）①AE=AC；②∠EAC=∠BAD；⑧BC∥AD；④若连接BD，则△ABD为等腰三角形A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.二次函数y=ax2+bx+c中，b=4a，它的图象如图所示，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③b2-4ac＜0；④abc＜0；⑤4a＞c．其中正确的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知一元二次方程2x2+x+m=0的一个根是1，则m的值是______．14.在直角坐标系中，点（-3，6）关于原点的对称点是______．15.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．16.若抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，则c的取值是______．17.把二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象对应的解析式为______．18.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B=______度．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．20.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图象上（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围．四、解答题（本大题共5小题，共46.0分）21.用适当的方法解下列方程（1）（y+3）2-81=0（2）2x（3-x）=4（x-3）（3）x2+10x+16=0（4）x2-x-=022.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？23.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．24.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．为了赚得8000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、2x-y=1，是二元一次方程，故此选项错误；B、x+3xy+y2=2，是二元二次方程，故此选项错误；C、=，是一元二次方程，正确；D、x2+=3，含有分式，故此选项错误．故选：C．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握方程定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．结合中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：A，当x=2时，方程的左边=3×（2-2）=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是A中方程的解；B，当x=2时，方程的左边=2×22-3×2=2，右边=2，则左边=右边，故x=2是B中方程的解；C，当x=2时，方程的左边=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是C中方程的解；D，当x=2时，方程的左边=22-2+2=4，右边=0，则左边≠右边，故x=2不是D中方程的解；故选：D．把x=2分别代入各个方程的两边，根据方程的解的定义判断即可．本题考查的是一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，∴△≥0，即22-4×3×a≥0，解得a≤．故选：A．根据△的意义得到△≥0，即22-4×3×a≥0，解不等式即可得a的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5.【答案】B【解析】解：当m≥0时，一元二次方程x2=m有解．故选：B．利用平方根的定义可确定m的范围．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．6.【答案】D【解析】解：∵函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，∴m2+m=2，m+2≠0，解得：m=1．故选：D．直接利用二次函数的定义分析得出答案．此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．7.【答案】B【解析】解：当a＞0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，当a＜0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项C错误，故选：B．根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：把（0，-3）代入y=x2-2x+c中得c=-3，抛物线为y=x2-2x-3=（x-1）2-4=（x+1）（x-3），所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x=1时，y的最小值为-4，与x轴的交点为（-1，0），（3，0）；C错误．故选：C．把（0，-3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．要求掌握抛物线的性质并对其中的a，b，c熟悉其相关运用．9.【答案】A【解析】解：∵x2-5x+6=0，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x1=3，x2=2，∵三角形的两边长分别是4和6，当x=3时，3+4＞6，能组成三角形；当x=2时，2+4=6，不能组成三角形．∴这个三角形的第三边长是3，∴这个三角形的周长为：4+6+3=13故选：A．首先利用因式分解法求得一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．10.【答案】D【解析】解：A、点B和点E关于点O对称，说法正确；B、CE=BF，说法正确；C、△ABC≌△DEF，说法正确；D、△ABC与△DEF关于点B中心对称，说法错误；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可知△ABC≌△DEF，再根据全等的性质可得EC=BF，进而可得答案．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．11.【答案】C【解析】解：∵△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，∴△ABC≌△ADE，∴AE=AC，故正确；∠CAB=∠EAD，AB=AD，∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，∴∠EAC=∠BAD，故正确；连接BD，则△ABD为等腰三角形，故正确，故选：C．根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：由图象可得，c＞0，a＞0，b＞0，故正确，当x=1，y=a+b+c＞0，故正确，函数图象与x轴两个不同的交点，故b2-4ac＞0，故错误，∵b=4a，＜0，a＞0，解得，4a＞c，故正确，∵c＞0，a＞0，b＞0，∴abc＞0，故错误，故选：C．根据函数图象可以判断a、b、c的正负，根据b=4a可以得到该函数的对称轴，从而可以判断各个小题是否正确，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．13.【答案】-3【解析】解：∵一元二次方程2x2+x+m=0的一个根为1，∴2×12+1+m=0，解得m=-3．故答案是：-3．把x=1代入已知方程列出关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m 的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14.【答案】（3，-6）【解析】解：点（-3，6）关于原点的对称点为（3，-6）．故答案为：（3，-6）．根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．15.【答案】50（1-x）2=32【解析】解：由题意可得，50（1-x）2=32，故答案为：50（1-x）2=32．根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．16.【答案】-16【解析】解：∵抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，∴=0，解得，c=-16，故答案为：-16．根据题意，可知抛物线顶点的纵坐标等于0，从而可以求得c的值．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17.【答案】y=（x-2）2-3【解析】解；将二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x-2）2+2-5，即y=（x-2）2-3，故答案为：y=（x-2）2-3．根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．18.【答案】65【解析】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，∴∠ACA′=90°，CA=CA′，∠B=∠CB′A′，∴△CAA′为等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∵∠CB′A′=∠B′AC+∠1=45°+20°=65°，∴∠B=65°．故答案为65．先根据旋转的性质得到∠ACA′=90°，CA=CA′，∠B=∠CB′A′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形，所以∠CAA′=45°，然后利用三角形外角性质计算出∠CB′A′，从而得到∠B的度数．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．19.【答案】解：由题意得，，解得，，则抛物线的解析式为y=-3x2-6x-1．【解析】利用待定系数法求出抛物线的解析式．本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质，待定系数法求解析式的一般步骤是解题的关键．20.【答案】解：（1）把A（-1，0）代入y=-x+m得1+m=0，解得m=-1，∴一次函数解析式为y=-x-1；把A（-1，0）、B（2，-3）代入y=ax2+bx-3得，解得，∴抛物线解析式为y=x2-2x-3；（2）当-1＜x＜2时，y2＞y1．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数和抛物线解析式；（2）利用函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．21.【答案】解：（1）（y+3）2-81=0y+3=±9，解得：y1=-12，y2=6；（2）2x（3-x）=4（x-3）2x（3-x）-4（x-3）=0，2（3-x）（x+2）=0，解得：x1=3，x2=-2；（3）x2+10x+16=0（x+2）（x+8）=0，解得：x1=-2，x2=-8；（4）x2-x-=0∵△=b2-4ac=3+1=4，∴x=，解得：x1=，x2=．【解析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案；（2）直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案；（3）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可；（4）利用公因式法解方程得出答案．此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解方程的方法是解题关键．22.【答案】解：设邀请x个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x-1=21，即=21，∴x2-x-42=0，∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）．答：应邀请7个球队参加比赛．【解析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解．此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．23.【答案】解：（1）∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，∴△=（-3）2-4×1×（-k）＞0，解得k＞-；（2）当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，因式分解得（x-1）（x-2）=0，解得x1=1，x2=2．【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k 的不等式，求出k的取值范围；（2）k取负整数，再解一元二次方程即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．24.【答案】解：设涨价x元能赚得8000元的利润，即售价定为每个（x+50）元，应进货（500-10x）个，…（1分）依题意得：（50-40+x）（500-10x）=8000，…（5分）解得x1=10 x2=30，当x=10时，x+50=60，500-10x=400；当x=30时，x+50=80，500-10x=200 …（8分）答：售价定为每个60元时应进货400个，或售价定为每个80元时应进货200个．…（9分）【解析】总利润=销售量×每个利润．设涨价x 元能赚得8000元的利润，即售价定为每个（x+50）元，应进货（新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（ ） A ．6 B ．－6 C ．5 D ．－5 5．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 3第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图10．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是 ．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有 个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 ．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t－1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是 度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为 ．第10题图第16题图第15题图三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程x2－3x＋1＝018．（本题8分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝2的根；（2）直接写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.19．(本题8分) 关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根. （1）求m的取值范围；（2）若两根为x1、x2且x12＋x22＝7，求m的值.20．(本题8分) 如图，△ABC是等边三角形.（1）作△ABC的外接圆；（2）在劣弧BC上取点D，分别连接BD，CD，并将△ABD绕A点逆时针旋转60°；（3）若AD＝4，直接写出四边形ABDC的面积.21．(本题8分) 如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点E，AE＝6，，AD⊥CD于D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G.（1）求CD的长；（2）求EG的长.第18题图第20题图AB C第21题图A B22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D.（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD≤MN，设AD＝x米.①若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；②求矩形菜园ABCD面积的最大值；（2）如图2，若a＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD面积的最大值是米2.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，且PA，设∠APB＝α，∠CPB＝β.（1）如图1，若∠ACP＝45°，将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）AB CDM NNMDCBA第22题图2第22题图1A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ．5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A ．y ＝3（x ﹣2）2+1 B ．y ＝3（x +2）2﹣1 C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+16．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ） A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（ ） A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） A ．x （x +1）＝1035 B ．x （x ﹣1）＝1035×2 C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ． 14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最 点，其坐标是 ．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 ． 18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为 三.解答题（本大题共8个小题，） 19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0 x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式． 21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值． 22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y 轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0， ∴x ﹣2＝0或x ＝0， 解得，x 1＝2，x 2＝0； 故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ） A ．（x +1）（x ﹣2）＝0 B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ．【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断； 根据方程解的定义对B 进行判断； 根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程， 5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A ．y ＝3（x ﹣2）2+1 B ．y ＝3（x +2）2﹣1 C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．。

2019-2020学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（）A．9.4×10﹣7m B．9.4×107m C．9.4×10﹣8m D．9.4×108m2．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A．B．C．D．3．正八边形的每个内角的度数是（）A．144°B．140°C．135°D．120°4．下列计算正确的是（）A．x2•x＝x3B．x+x＝x2C．（x2）3＝x5D．x6÷x3＝x25．如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．则CE的值为（）A．9B．6C．3D．46．方程（x+1）（x﹣2）＝x+1的解是（）A．2B．3C．﹣1，2D．﹣1，37．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在二次函数y＝mx2（m＞0）图象上，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a8．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）A．x＞﹣2B．x＞0C．x＞1D．x＜19．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（）A．8B．9.5C．10D．11.510．如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a），那么直线l经过（）A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11．因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝．12．某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若千名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类）并将调查的结果绘制成如右的两幅不完整的统计图，由图可得喜欢足球的人数有人．13．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，则EF的长是．14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车每天40个车次中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．15．计算：＝．16．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE＝AP＝2，PB＝2．则正方形ABCD的面积是．三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（8分）解方程组：．18．（8分）化简，求值：÷（m﹣1﹣），其中m＝．19．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边上一点，只用一把无刻度的直尺在AD边上作点F，使得DF＝BE．（1）作出满足题意的点F，简要说明你的作图过程；（2）依据你的作图，证明：DF＝BE．20．（8分）某商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，求每次平均降价的百分率是多少？21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF ⊥BE交CD于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．22．（10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．23．（10分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元．如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的可能性；（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学统计知识帮他选择，井说明理由．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣4＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．25．（14分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝3，BC＝4，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求出的值．2019-2020学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（）A．9.4×10﹣7m B．9.4×107m C．9.4×10﹣8m D．9.4×108m【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 000 94＝9.4×10﹣7．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A．B．C．D．【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．【解答】解：∵42+92＝97＜122，∴三角形为钝角三角形，∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．故选：C．【点评】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．3．正八边形的每个内角的度数是（）A．144°B．140°C．135°D．120°【分析】根据n边形的外角和为360°得到正八边形的每个外角的度数＝＝45°，然后利用补角的定义即可得到正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，∴正八边形的每个外角的度数＝＝45°，∴正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．故选：C．【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．4．下列计算正确的是（）A．x2•x＝x3B．x+x＝x2C．（x2）3＝x5D．x6÷x3＝x2【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则计算即可．【解答】解：A、正确；B、x+x＝2x，选项错误；C、（x2）3＝x6，选项错误；D、x6÷x3＝x3，选项错误．故选：A．【点评】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法等多个运算性质，需同学们熟练掌握．5．如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．则CE的值为（）A．9B．6C．3D．4【分析】由DE∥BC，用平行线分线段成比例定理即可得到，又由AD＝5，BD ＝10，AE＝3，代入即可求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴，∴CE＝6．故选：B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用．6．方程（x+1）（x﹣2）＝x+1的解是（）A．2B．3C．﹣1，2D．﹣1，3【分析】先移项得到（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，然后利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣2﹣1）＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0，或x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．故选：D．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．7．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在二次函数y＝mx2（m＞0）图象上，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离对称轴的远近得到a、b、c的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝mx2（m＞0）∴抛物线的对称轴为y轴，∵A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c）∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，而抛物线开口向上，∴b＜a＜c；故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．8．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）A．x＞﹣2B．x＞0C．x＞1D．x＜1【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（）A．8B．9.5C．10D．11.5【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF ＝9；△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF 的周长为8，因此选A．【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴AD＝FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD＝DF＝9；∵AB＝BE＝6，∴CF＝3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，又BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选：A．【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比．10．如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a），那么直线l经过（）A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【分析】设直线的解析式是y＝kx+c，把A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a）代入得到方程组，求出方程组的解，根据一次函数的性质求出即可．【解答】解：设直线的解析式是y＝kx+c，把A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a）代入得：，解得：k＝﹣1，c＝0，∴y＝﹣x，∴图象经过第二、四象限，故选：A．【点评】本题主要考查对解三元一次方程组，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11．因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝x（x﹣y）2．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，故答案为：x（x﹣y）2【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若千名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类）并将调查的结果绘制成如右的两幅不完整的统计图，由图可得喜欢足球的人数有90人．【分析】根据统计图中的数据可以求而本次调查的人数，从而可以计算出喜欢足球的人数，本题得以解决．【解答】解：本次调查的人数为：60÷20%＝300，喜欢足球的有：300﹣120﹣60﹣30＝90（人），故答案为：90．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，则EF的长是5．【分析】连接BD，根据的等腰直角三角形的性质由ASA证明△BED≌△CFD，得出AE ＝BF，BE＝CF，由勾股定理即可得出结果．【解答】解：连接BD，如图所示：∵D是AC中点，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC，AB＝BC∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°，∴∠EDB＝∠CDF，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（ASA），∴BE＝FC＝3，∴AE＝BF＝4，在RT△BEF中，EF＝＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、连接BD是解题的关键．14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车每天40个车次中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98．【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可．【解答】解：∵在经停某站的高铁列车每天40个车次中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98，故答案为：0.98．【点评】考查了用样本估计总体及加权平均数的知识，解题的关键是了解加权平均数的计算公式，难道不大．15．计算：＝2018．【分析】根据完全平方公式化简二次根式，再约分计算，进一步化简即可求解．【解答】解：＝×（×2017﹣1）＝×（﹣1）＝×2017＝2018．故答案为：2018．【点评】考查了实数的运算，关键是根据完全平方公式化简二次根式，注意能约分的要约分简化计算．16．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE＝AP＝2，PB＝2．则正方形ABCD的面积是16+4．【分析】首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB，可得∠ADP＝∠ABE，∠DOA＝∠BOE，可证BE⊥DE，过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，如图1，由勾股定理可求EF的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∵∠PAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，在△APD与△AEB中，∴△APD≌△AEB（SAS），∴∠ADP＝∠ABE，∠DOA＝∠BOE，∵∠ADP+∠DOA＝90°，∴∠ABE+∠BOE＝90°，∴∠DEB＝90°，∴EB⊥DE；∵∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠APD＝∠AEB＝135°，∴∠BEP＝90°，过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，如图1：在△AEP中，AE＝AP＝2，根据勾股定理得PE＝2，在△BEP中，PB＝2，PE＝2，根据勾股定理得：BE＝＝2，∵∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，∴∠EBF＝45°，∵BF⊥AF，∴EF＝BF∴EF＝BF＝，∴AF＝2+，∴正方形ABCD的面积＝AB2＝AF2+BF2＝16+4故答案为：16+4【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的性质与判定及勾股定理，点到直线的距离，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（8分）解方程组：．【分析】利用加减消元法求出方程组的解即可．【解答】解：，②×2﹣①得：3y＝3，即y＝1，将y＝1代入②得：x+2＝4，即x＝2，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．18．（8分）化简，求值：÷（m﹣1﹣），其中m＝．【分析】首先计算括号内的，然后把除法变为乘法进行约分计算，最后代值计算．【解答】解：÷（m﹣1﹣）＝•＝•＝，当m ＝时，原式＝．【点评】考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．19．（8分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 边上一点，只用一把无刻度的直尺在AD 边上作点F ，使得DF ＝BE ．（1）作出满足题意的点F ，简要说明你的作图过程；（2）依据你的作图，证明：DF ＝BE ．【分析】（1）连接AC ，BD 于O ，连接EO 并延长交AD 于F ，即可得到结果；（2）根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，即DF ∥BE ，由平行四边形的判定定理和性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图，连接AC ，BD 于O ，连接EO 并延长交AD 于F ，则点F 即为所求；（2）连接BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，即DF ∥BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD∴∠FDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠BEO ，∴△DOF ≌△BOE∴EB ＝FD ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DF＝BE．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．20．（8分）某商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，求每次平均降价的百分率是多少？【分析】设每次平均降价的百分率是x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设每次平均降价的百分率是x，依题意，得：400（1﹣x）2＝225，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（舍去）．答：每次平均降价的百分率是25%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF ⊥BE交CD于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．【分析】（1）根据；两角对应相等的两个三角形相似即可证明；（2）利用勾股定理求出BE，利用相似三角形的性质求出DF，再利用勾股定理求出EF 即可；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF+∠AEB＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠AEB，∴△ABE∽△DEF．（2）在Rt△AEB中，BE＝＝10，∵AD＝12，AE＝8，∴DE＝4，∵△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，∴DF＝，在Rt△DEF中，EF＝＝＝．【点评】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．【分析】（1）用路程除以时间即可得到速度；在甲地游玩的时间是1﹣0.5＝0.5小时．（2）求得线段BC所在直线的解析式和DE所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得被妈妈追上的时间．（3）设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），根据妈妈比小明早到10分钟列出有关n的方程，求得n值即可．【解答】解：（1）小明骑车速度：在甲地游玩的时间是1﹣0.5＝0.5（h）．（2）妈妈驾车速度：20×3＝60（km/h）设直线BC解析式为y＝20x+b1，把点B（1，10）代入得b1＝﹣10∴y＝20x﹣10设直线DE解析式为y＝60x+b2，把点D（，0）代入得b2＝﹣80∴y＝60x﹣80…∴解得∴交点F（1.75，25）．答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km．（3）方法一：设从家到乙地的路程为m（km）则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y＝60x﹣80，y＝20x﹣10得：，∵∴∴m＝30．方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），由题意得：∴n＝5∴从家到乙地的路程为5+25＝30（km）．方法三：设从家到乙地的路程为n（km），由题意得：（n/20+0.5）﹣（n/60+4/3）＝10/60∴n＝30∴从家到乙地的路程为30（km）．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据实际问题并结合函数的图象得到进一步解题的有关信息，并从实际问题中整理出一次函数模型．23．（10分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元．如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的可能性；（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学统计知识帮他选择，井说明理由．【分析】（1）根据统计图中的数据可以计算出现从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的可能性；（2）①根据统计图中的数据可以计算出甲公司各揽件员的日平均件数；②根据统计图中的数据可以计算出两家公司的日均收入，从而可以得到小明到哪家公司收入比较高．【解答】解：（1）由图可得，从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的可能性，即从今年四月份的30天中随机抽取1天求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的可能性是；（2）①由图可得，＝39（件），答：甲公司各揽件员的日平均揽件约为39件；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，小明去乙家公司应聘揽件员收入比较高，理由：在甲公司日均收入为：70+39×2＝148（元），乙公司日均揽件数为：＝39，日均工资为：4×39＝156（元），∵148＜156，∴小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，小明去乙家公司应聘揽件员收入比较高．【点评】本题考查条形统计图、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝2a；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣4＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．【分析】（1）x＝﹣＝﹣1，即可求解；（2）该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，则△＝4+4c≥0，即可求解；（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），即可求解．【解答】解：（1）x＝﹣＝﹣1，故b＝2a，故答案为：2a；（2）当a＝﹣1时，函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+c，方程为：x2+2x﹣c＝0，该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，则△＝4+4c≥0，即c≥﹣1；同时要满足：当x＝﹣4时，y＜0或x＝1时，y＜0，即﹣16+8+c＜0或﹣1﹣2+c＜0，故c＜8或c＜3，故c＜8，故﹣1≤c＜8；（3）抛物线过点（﹣1，﹣1），该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，则x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：4＝a（1+1）2﹣1或﹣4＝a（1+1）2﹣1，解得：a＝或﹣．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等．25．（14分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝3，BC＝4，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求出的值．【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD 即可得；（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知BH＝BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC＝BH•DB，即AB•BC＝BD2，结合AB•BC＝AC2知BD2＝AC2，据此可得答案；【解答】解：（1）设AC＝m．由题意m2＝3×4或32＝4m或42＝3m，∴m＝2或或（负根已经舍弃）．（2）∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠BAC＝∠ADC，∴△ADC∽△CAB，∴＝，∴AD•BC＝AC2，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴AB•BC＝AC2，∴△ABC是比例三角形．（3）如图2中，作AH⊥BD．可证△ABH∽△DBC，∴＝，∴AB•BC＝BH•BD，∵AB＝AD，AH⊥BD于H，∴BH＝DH＝BD，∴BD＝2BH，∴AB•BC＝BD2，∵AB•BC＝AC2，∴AC2＝BD2，∵AC＞0，BD＞0，∴＝，【点评】本题属于相似三角形的综合问题，考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解比例三角形的定义，正确寻找相似三角形解决问题，。

2020秋屏东初三数学期中一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）．A. B. C. D.2.下列事件是必然事件的是（ ）．A. 乘坐公交车恰好有空座B.三角形内角和等于180C.打开手机就有未接电话D. 同旁内角互补3.如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若54A ∠=，则∠BOC 的度数为（ ）．A.108B.72C.54D.274.抛物线()2215y x =--+的对称轴为（ ）． A. 直线1x =- B.直线12x =C.直线1x =D.直线5x = 5.已知点A （－3，1）关于x 轴的对称点A '在反比例函数k y x=的图象上，则实数k 的值为（ ）． A. －3 B.－13 C.13 D. 3 6.用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角”时，下列假设正确的是（ ）A.三角形中有两个或三个角是直角B.三角形中没有一个角是直角C.三角形中三个角全是直角D.三角形中最少有一个角是直角7.国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口10万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至2.5万人，设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（ ）．A.()1012 2.5x -=B.()2101 2.5x -=C.()1012 2.5x +=D.()2101 2.5x += 8.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）．A. B. C. D.9.在抛物线()2320y ax ax a =-+<上有A （－2，1y ），B ()20.5,y -和C （4，3y ）三点，则1y ，2y 和3y 的大小关系为（ ）．A.132y y y <<B.123y y y <<C.312y y y <<D.213y y y <<10.如图，在Rt △ABC 中，6,2AB AC AE ===，过点C 作CD 垂直于BE 延长线于点D ，连接AD ，则AD的长为（ ）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.一元二次方程20x a -=的一个根是4，则a 的值是___．12.如图，ADE ACB ，且3,125AD DE AC ==，则BC 的长为___．13.圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为___．14.随机地往如图所示的正方形地砖上投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是___．15.如图，⊙O 既是等边△ABC 的内切圆，也是等边△DEF 的外接圆，若△ABC 的面积等于12，则△DEF 的面积等于___．16.已知矩形ABCD 的四个顶点都在双曲线k y x=上，点A ，B 在第一象限，且AB BC ==则k ＝___． 三、解答题（本大题共9小题，共86分）17.解方程：2310x x --=．18.已知关于x 的一元二次方程2610x x m ++-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．19.如图，点A 在反比例函数()90y x x-=<的图象上，点C 在x 轴负半轴上，AC AO =，求△ACO 的面积．20.如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，延长BE交AD于点F，（1）求证：EF FA EB BC=．（2）P为CD上一点，在AC上求作点Q，使得CPQ CBE（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）21.一鲜花店根据一个月（30天）某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下，将日销售量落入各组的频率视为概率．（2）若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天作促销活动，求这2天恰好是在日销售量低于50枝时的概率．22.如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动点．4OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE CF=．（2）若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离．23.为解决管理效能不高的问题，某公司决定从2020年6月1日开始实施减员增效方案，该公司现有职员500人，每人每年可创利12万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.04万元，但公司需付下岗职员每人每年2万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的35．（1）减员增效方案实施后，该公司至多可裁员多少人？（2）公司为获得最大的经济效益，应裁员多少人？24.如图，以AB为直径的⊙O中，点D为BC中点，弦DE AB⊥于点F，交BC于点G，连接AD，交BC于点H，过点D的切线DP交AB的延长线于点P．（1）连接OG ．①证明：DG BG =．②若6AH =，求OG 的长．（2）当点M 在DB 上运动（点M 不与点D 、点B 重合）时，连接FM ，PM ，且,PMmFM PD nOA ==，求证：221m n -=．25.在平面直角坐标系中，抛物线Γ：()2430y ax ax a a =-+<与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧）．抛物线顶点为C 点，△ABC 为等腰直角三角形．（1）求此抛物线解析式．（2）若直线1:l y kx k =-与抛物线Γ有两个交点，且这两个交点与抛物线Γ的顶点所围成的三角形面积等于6，求k 的值．（3）若点()2,0D ，且点E ，D 关于点C 对称，过点D 作直线2l 交抛物线Γ于点M ，N ，过点E 作直线3//l x 轴，过点N 作3NF l ⊥于点F ，求证：点M ，C ，F 三点共线．2020秋屏东初三数学期中一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】B【解析】A 选项：不是中心对称图形，故A 错误；B 选项：是中心对称图形，故B 正确；C 选项：不是中心对称图形，故C 错误；D 选项：不是中心对称图形，故D 错误．故选B ．2.【答案】B【解析】A 选项：乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；B 选项：三角形内角和等于180°，是必然事件；C 选项：打开手机就有未接电话，是随机事件；D 选项：同旁内角互补是随机事件；故选B ．3.【答案】A【解析】∵点A ，B ，C 都在⊙O 上，54A ∠=．∴2108BOC A ∠=∠=，故选A ．4.【答案】C【解析】∵由抛物线()2215y x =--+可知，其顶点坐标为（1，5）， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．故选C ．5.【答案】D【解析】点A （－3，1）关于x 轴的对称点A '的坐标为（－3，－1），把A '（－3，－1）代入y k x=得()()313k =-⨯-=． 故选D ．6.【答案】A【解析】∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确， ∴应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角．故选A ．7.【答案】B【解析】设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得：()2101 2.5x -=．故选B ．8.【答案】C【解析】如图：2AB AC BC =====，A .∵3MNMK NK ====，∴,1,,35AB AG BC NK MK MN ==== ∴△MNK 与△ABC 不相似，故A 选项错误；B ．∵1PQ PR QR =====，∴AB AC BC PQ QR PR ====, ∴△PQR 与△ABC 不相似，故B 选项错误；C ．∵1DE DF EF =====，∴AB AC BO DE BF DF=== ∴DEF BAC ~，故C 选项正确；D ．∵2GHGL HL ====，∴2AB BC AC GH GL HL ===,， ∴GHL 与ABC 不相似，故D 选项错误；故选C ．9.【答案】A【解析】已知抛物线()2320y ax ax a =-+<， ∴图象开口向下，且对称轴为32a x a -=-，即32x =， ∴当点与对称轴的距离越近，对应的函数值越大，∵点()()()1232,,0.5,,4,A y B y C y --在抛物线图象上，点A 与32x =的距离为()37222--=， 点B 与32x =的距离为()30.522--=， 点C 与32x =的距离为35422-=， 且57222<<， 231y y y ∴>>，即132y y y <<．故选A ．10.【答案】D【解析】如图，作DF AC ⊥于点F ，已知90BAC BDC ∠=∠=，又∵AEB DEC ∠=∠，∴AEB DEC ~（两角相等）， ∴AE AB EB DE DC EC==， 又∵2,6AE AB AC ===，∴4CE AC AE =-=，BE ==∴AE AB DE CE DC GE EB EB =⋅==⋅= ∵,DFE BAC DEF AEB ∠=∠∠=∠，∴ABE FDE ~， ∴AB AE BE DF EF DE==，又∵BE DE ==， ∴62,55DF EF ==，又Rt △ADF 中，()222AD AE EF DF =++（勾股定理）⇒AD =，∴AD =． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.【答案】16【解析】把4x =代入方程20x a -=得：160a -=，解得16a =．∵故答案为：1612.【答案】20【解析】∵ADE ACB ~， ∴AD DE AC BC=， ∵35AD AC =， ∴53DE BC =， 55122033BC DE ==⨯=． 故BE 的长为：20故答案为：2013.【答案】10π 【解析】圆锥的侧面积＝132262ππ⨯⨯⨯=， 底面积为224ππ=，所以全面积为：6410πππ+=．故答案为：10π．14.【答案】12【解析】由图形知，S S =①②，∴阴影部分的面积为正方形面积的一半， ∴落在阴影部分的概率为12． 故答案为：12． 15.【答案】3【解析】如图：过O 作ON BC ⊥于N ，OM DF ⊥于M ，连接OC 、OF ，设OF ON R ==， 因为⊙O 既是正△ABC 的内切圆，又是正△DEF 的外接圆，30NCO OFM ∠=∠=，所以90CNO FMO ∠=∠=， 3cos302MF OF R ==，3tan30ON R =， 因为OM DF ⊥于点M ，OF 是⊙O 的半径，DF 是⊙O 的弦，由垂径定理得：22DF FM R ===， 因为△DEF 是等边三角形，所以EF DF ==，因为,OB OC ON BC =⊥于点N ，所以2BC CN ==，所以12EF BC ==， ∴214DEF ABC S EF SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴1112344DEF ABC S S ==⨯=．16.【答案】2【解析】 设A 点坐标为（m ，k m）， 由于矩形ABCD 四个顶点都在双曲线k y x =上，点A ，B 在第一象限， ∴矩形ABCD ，双曲线k y x=均关于原点成中心对称图形， ∴B 点坐标为（k m ，m ），C 点坐标为,k m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又矩形ABCD 中，90ABC ∠=，∴△ABC 为直角三角形且AC 为斜边，∴222AC AB BC =+，又AB BC ==∴AC == 2222k k AB m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 即22221,21k k m m k m m ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭， ()2222224420k k k AC m m m m m m ⎛⎫=+++=+⨯= ⎪⎝⎭， ∴2225k m m +=，即125k +=， ∴2k =．故答案为：217.【答案】121166x x +-== 【解析】∵3,1,1a b c ==-=-，∴2413b ac ∆=-=，∴x =．即121166x x -==． 18.【答案】10m < 【解析】由题意可知：()26413644440m m m ∆=--=-+=->，∴10m <，故答案为：10m <．19.【答案】9【解析】如图，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，设点A 坐标为（a ，b ），则,OB a AB b =-=．又∵AC AO =．∴CB BO =，∴22CO OB a ==-， ∴()11222ACO S CO AB a b ab ∆=⋅⋅=⨯-⋅=-． 又∵点A 在反比例函数9y x -=的图象上， ∴代入得9ab =-，∴()99ACO S ab ∆=-=--=．20.【答案】（1）证明见解析（2） 画图见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴//AD BC ，∴FAE ACB ∠=∠．又∵AEF CEB ∠=∠，∴AEF CEB ∆~∆， ∴EF FA EB BC=． （2） 尺规作图如图所示：∴△CPQ 就是所求作的三角形．21.【答案】（1）16；（2）110【解析】（1）在一个月中随机抽取一天结果有30种，每种结果的可能性相同，销售量低于100枝（050x ≤<或50100x ≤<的有5种， ∴(100)51306P ==销售量低于枝． 答：这30天中销售量低于100枝的概率为16． （2） 由表格可知：050x ≤<的天数有2天，记为1A ，2A ，50100x ≤<的天数有3天，记为1B ，2B ，3B则由题意可画树状图，由树状图可得，在销售量低于'100枝的时候随机选择2天共有20种结果，并且每种结果的可能性相同2天恰好是日销售量低于50技的结果有2种，()250212010P ==天销售量低于枝， 答：这2天恰好是日销售量低于50枝的概率为110． 22.【答案】（1） 证明见解析．（2【解析】 （1） ∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD CD ADC =∠=，∵由旋转的性质可知，,90DE DF EDF =∠=，∴90EDC CDF ∠+∠=，90EDC ADE ∠+∠=，∴ADE CDF ∠=∠，∴在△ADE 和△CDF 中，AD CD ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE CDF SAS ≅，∴AE CF =．（2） 如图，当A ，E ，D 三点共线时，过点E 作EM AB ⊥，垂足为点M ，过点F 作FN BC ⊥，垂足为N ，则90AME CNF ∠=∠=，由（1）知ADE CDF ≅，∴,AE CF DAE DCF =∠=∠，∵909,0DAE MAE DCF NCF ∠+∠=∠+∠=，∴MAE NCF ∠=∠，∴在△AME 和△CNF 中，MAE NCF AME CNF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AME CNF AAS ≅，∴EM FN =．∵4AB OE ==，四边形ABCD 是正方形，点O 是BC 的中点，∴111222BO BC AB ===⨯=10AO ===，∴1046AE AO OE =-=-=，∵90AME B ∠=∠=，∴//ME BO ，∴ME AE BO AO=610=，∴ME = ∴FN EM ==， 即点F 到直线BC ． 23.【答案】（1）200人；（2）5人【解析】（1） 设裁员x 人， ∵该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的35， ∴50050305x -≥⨯，∴200x ≤，又∵0x >，且x 为整数，∴0200x <≤，且x 为整数．答：该公司至多可裁员200人．（2）设可获得的经济效益为y 万元，则由（1）可得：()()()2500120.0420.04756225y x x x x =-+-=--+，并且0200x <≤， ∵0.040a =-<，图象开口向下，有最大值．∴当75x =时，y 取到最大值为6225答：为获得最大的经济效益，该公司应裁员75人．24.【答案】（1） ① 证明见解析；②3（2）证明见解析【解析】（1） ① 连接OD ，BD ，OD 与BC 交于K ，∵DP 是⊙O 切线，∴90ODP ∠=，∵D 是BC 中点，∴OD BC ⊥，∴90OKB ∠=，∴ODP OKB ∠=∠，∴//KB DP ，∴OBG P ∠=∠，∵AB DE ⊥，∴90DFP ∠=，∴90P FDP ∠+∠=，∴90OBG FDP ∠+∠=，∵90ODG FDP ODP ∠+∠=∠=，∴OBG ODG ∠=∠，∴OB OD =，∴ODB OBD ∠=∠，∴ODB ODG OBD OBG ∠-∠=∠-∠，即GDB GBD ∠=∠，∴DG BG =．② ∵AB 是⊙O 直径，∴90ADB ∠=，∴90GDB GDH ∠+∠=，90GBD DHG ∠+∠=，∵GDB GBD ∠=∠，∴GDH DHG ∠=∠，∴GD GH =，∵GD BG =，∴BG GH =，∴G 是BH 中点，∵O 是AB 中点，∴OG 是△BHA 中位线， ∴116322OG AH ==⨯=． （2） 连接OD ，OM ，∵DP 是⊙O 切线，AB ⊥DE ，∴90ODP OFD ∠=∠=，∵FOD DOP ∠=∠，∴ODP OFD ∆~∆， ∴OD OP OF OD= ∵OD OM =， ∴OM OP OF OM=， ∵FOM MOP ∠=∠，∴OFM OMP ∆∆， ∴1MF OM MF MP OP mMF m===，∴OP mOM =，设⊙O 半径为r ，∴OM OA OD r ===，∴OP mr =，∴PD nOA nr ==，在△ODP 中，222OD DP OP +=，∴()()222r nr mr +=， 22222r r n m r +=，221n m +=，221m n -=．25.【答案】（1）243y x x =-+-（2）2k =-或5（3）证明见解析【解析】（1）令0y =，可得2430ax ax a -+=解得121,3x x ==，∴A （1，0），B （3，0）， ∵4222b a a a--=-=，将2x =代入243y ax ax a =-+得y a =-， ∴C （2，－a ），∵△ABC 为等腰直角三角形，∴C （2，1），1a =-，∴抛物线解析式为：243y x x =-+-．（2）如图3，∵直线1:l y kx k =-恒过定点A （1，0）∴设直线1l 与抛物线的另一个交点为()2,43K t t t -+-，过点K 作直线KP ⊥x 轴于点H ，并与AC 的延长线交于点P ，过点C 作CQ KP ⊥于点Q ，不妨设直线AC 的解析式为：1y k x b =+，将A （1，0），C （2，1）两点代入得：11021k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得111k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为：1y x =-．∴(),1P t t -，Q （t ，1），H （t ，0），∴()()2214332PK t t t t t =---+-=-+，1,2AH t CQ t =-=-． ∴11,22AKP CKP S AH PK S CQ PK ∆∆=⨯=⨯， ∵()111222AKC AKP CKP S S S AH PK CQ PK AH CQ PK ∆∆∆=-=⨯-⨯=-， ∴()()2112322AKC S t t t t ∆⎡⎤=---⨯-+⎣⎦． 当2320t t -+<时()()()221321232622t t t t t t -+-⎡⎤----+-==⎣⎦， 即23140t t -+=，无解，当2320t t -+>时()()()221321232622t t t t t t -+⎡⎤----+==⎣⎦ 即23100t t --=，解得122,5t t =-=，∴当2t =-时，24315t t -+-=-，∴K （－2，－15），∴215,5k k k --=-=，当5t =时，2438t t -+-=-，∴K （5，－8），∴58,2k k k -=-=-．（3）如图4，连接MC ，CF ，过点M ，作MS ⊥DE 于点S ，CT FN ⊥于点N ，∵点E ，D 关于点C 对称，∴E （2，2），设M ()()22111222,43,43,M x x x N x x x -+--+-，则MN 的解析式为：222y k x k =-， 联立抛物线和直线MN 得222243y k x k y x x =-⎧⎨=-+-⎩整理得：()2224320x k x k +-+-=， 1221224,32x x k x x k ∴+=-⋅=-，消去2k 并整理得；()()12221x x --=-，∵F （1x ，2），T （2,x 1），S ()2112,43x x -+-，∴()()22111122,14321,2,MS x CS x x x CT x FT =-=--+-=-=-=， ∴()()2111221222x CS x MS x x -==--=--， 212FT CT x =-， ∴CS FT MS CT=， ∵90FTC CSM ∠=∠=，∴MCS CFT ~，∴MCS CFT ∠=∠，∴90MCS FCT ∠+∠=，∴180MCS SCT FCT ∠+∠+∠=， ∴点M ，C ，F 三点共线．。