上外附中高二年级第二学期期中数学试卷

故选：A． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线 相交问题常常采用此法，注意体会．
6.
C:
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b 0
的上顶点为 A，离心率为 e，若在 C 上存在点 P，使得

PA
6b
，
则 e2 的最小值是（ ）
52 6 A. 36
得到直线方程，根据方程特点可得答案.
【详解】当直线 AB 的斜率为 0 时，直线 AB 与抛物线只有 1 个交点，不符合题意，
所以直线 AB 的斜率不为 0，设其方程为 x ky m ，因为点 A, B 在抛物线 y2 x 上，
A
所以设
y
2 A
,
yA
,B
yB2 , yB
，所以 OAOB
b, c, z
x, y, a b c
；③
；④
，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】以
A
为顶点作
AB
a
，
AD
b
，
AA1
c
，作出平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
，根据空间向
量的加法法则作出， x, y, z, a b c ，然后判断各组向量是否共面可得结论．
由于直线与圆恒有公共点，所以点 (1,1) 在圆内或圆上，
所以 (1 2)2 (1 2)2 m2 ，解得 m 10 或 m 10 ，
故选:D
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，涉及直线系方程属于基础题.

2022-2023学年上海外国语大学附属大境中学高二上学期期中数学试题1.已知球的体积为，则该球大圆的面积等于______.2.如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则异面直线与所成角的大小是_______.3.正六棱锥底面边长为a，体积为，则侧棱与底面所成的角为____________.4.棱长为的正方体的顶点到截面的距离等于__________.5.5.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.6.已知，点是平面外一点，点是点在平面上的射影，且点在内.若点到的三边所在直线的距离相等，则点一定是的__________心.7.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异"，现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为__________.8.甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分__________元奖金才公平？9.要给一批共10000根相同规格的空心钢管镀锌，钢管的长度为，内外直径分别为8与10.若电镀这批钢管每平方米要用锌，则需要用锌的总量是__________.（精确到0.01）10.已知半径为的球面上三点满足，球心到平面的距离为12，则球的半径为__________.11.已知线段垂直于三角形所在的平面，且，为垂足，为的中点，则的长为__________.12.将个边长为1的正三角形纸片，按如图方法将它拼剪成一个三棱柱，则这个三棱柱的体积为__________.13.下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形14.已知是空间中的三条直线，其中直线在平面上，则“且”是“平面”的( )A ．充分非必要条件B．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件15.若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．D．16.16. 如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是A．B．C．D．17.有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10cm，母线长为20cm，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，求此时绳子的长度.18.设台体上、下底面面积分别为和，上、下底面的距离为h，试用，和h表示棱台的体积.19.如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2，底面半径为2．(1)求该圆锥的侧面积；(2)设OA、OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB＝，M为线段AB的中点，求直线PM 与直线OB所成的角的正切值，20.已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧棱，并且与底面所成角是，设侧棱长为(1)求此三棱柱的高；(2)求证：侧面是矩形(3)求证：在平面上的射影在的平分线上21.如图，在五棱锥中，平面，､三角形是等腰三角形.(1)求证：平面平面：(2)求直线与平面所成角的大小；。

南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点 2,4 和 4,1 的直线在x 轴上的截距为（）A ．145B ．145C ．73D ．732．过圆225x y 上一点 2,1M 作圆的切线l ，则直线l 的方程为（）A ．230x y B ．250x y C ．250x y D ．250x y 3．若k R ，则“22k ”是“方程221362x y k k表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x 上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（）A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为 sin 10x y R ，则直线l 的倾斜角 的范围是（）A ．0,πB ．πππ3π,4224C ．π3π,44D ．ππ,426．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m 为圆 22:2716C x y 的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（）A ． 48,22B ． 18,8C ．,4822, D ．,188, 7．已知双曲线 222210,0x y a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．1D ．18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y 的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ，则PAPB 的值是（）A ．5B C ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（）A ．椭圆C 的离心率为22B ．12PF F △的周长为5C ．1290F PFD ．113PF 10．已知 0,2M ， 0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP 的有（）A ．370x B ．4320x y C ．221x y D ．2222140x y x y 11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点 1,0F c ， 2,0F c ，动点P 满足212PF PF a （a ，0c 且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF 的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．22ca时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF 三．填空题12．与双曲线2212x y 有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x 的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点 5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x 的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y 与直线2:220l x ay ．（1）当12l l 时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点 1,2A ， 1,2B ，点P 满足4PA PB．（1）求点P 的轨迹 的方程；（2）过点 2,0Q 分别作直线MN ，RS ，交曲线 于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆 2222:10x y E a b a b 的一个焦点坐标为 2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t 与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆222222212:C x y t t t 与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等，证明：2212t t 为定值．18．已知椭圆 2222:10x y C a b a b和抛物线 2:20E y px p ．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下： 12P ， 22,2P ，36,1P ， 49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点 3,0T ，直线3x my 与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k 是否为定值，并说明理由．19．设a 为实数，点 2,3在双曲线2222:12x y C a a 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点1,12P作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN．（ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率 415246k，∴直线的方程为 5426y x ，即5763y x ，∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ．2．【答案】B 【解析】00525xx yy x y ，故选B ．3．【答案】B【解析】方程221362x y k k 表示椭圆3602021362k k k k k或12k ，故选B ．4．【答案】C 【解析】设点2,4y M y，由MO 2220054y y ，∴24y 或220y （舍去），即214y x ，∴M 到抛物线24y x 的准线1x 的距离 112d ，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C 【解析】当sin 0 时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2，当sin 0 时，则直线的斜率 1,11,sin k，即直线倾斜角为πππ3π,,4224，综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44．故选C ．6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点，故圆心 2,7C 到直线l 的距离7d ，即 423775m，解得 48,22m ，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F ，则12sin MF c ，22cos MF c ，根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a，1π4c a，π5π,312，故πππ,41261c e a ，故选D ．8．【答案】C【法一】由题意知 2,0A ， 2,0B ，设 00,P x y ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k，由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB，又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB，则122121k k k ，联立解得2119k ，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB ，所以310cos 10PAB，即3105PA PB ，【法二】设 00,P x y ，则00tan 2y PAB x，00tan 2y PBA x ，000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x，20144169y3105PAPB二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a ，1c，∴离心率12c e a，故选项A 错误，对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a ，1222F F c ，∴12PF F △的周长为426 ，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，123tan23F PF c b ，又∵120902F PF，∴12302F PF ，即1260F PF ，∴1290F PF ，故选项C 正确，对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c ，∴113PF ，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】 2254,39P x y x y对于A ，7233d R，所以直线与圆相离，不存在点P ；对于B ，5232553d R，所以直线与圆相交，存在点P ；对于C ，121252133C C R R，所以两圆外切，存在点P ；对于D ， 2212127321116433x y C C R R ，所以两圆内含，不存在点P ．11．【答案】ACD【解析】212a PF PF对于A ，用x 代x 得222x y c y 轴对称，用y 代y 得222x y cx 轴对称，用x 代x ，y 代y 得222x y c所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a 时，122PF PF a ，当0a 时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c ，所以B 错误；对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确；对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ，则12PF PF ，因为 1,PF c x y ， 2,PF c x y ，所以222x y c ，由222x y c22c 222c a ，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y 【解析】设所求双曲线方程为 2202x y ，将点代入双曲线方程得121 ，故方程为2212x y ．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ，线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x ，故12426AB x x p ．14．【答案】57【解析】由抛物线方程得 2,0F ，准线方程为2x ，又点 5,4P ，则25c PF ，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x ，交直线2x 于点G ，过P 作PM 垂直直线1x ，交直线1x 于点M ，由椭圆和抛物线定义得 2527a HF HP HG HP PM ，故椭圆离心率2527c e a．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ，则20a a ，解得0a ．（2）由12l l ∥得22244a a，解得1a ，直线2l 的方程为220x y ，即220x y ，直线1l 的方程为220x y ，因此，1l 与2l 之间的距离为2245541d．16．【解析】（1）设 ,P x y ，则 41,21,2PA PB x y x y ，故轨迹方程为229x y ．（2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n ，则2212992S MN RS m n ，因为MN RS ，所以224m n ，所以 22222295224904S mm m m ，所以65,14S，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值65．17．【解析】（1）222222492513a b a b b e a椭圆22:195x y E （2）设 33,A x y ，矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等∴331144x y x y ，即22221133x y x y ∵A ，A 均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ，即22139x x ，222231135151599x x y y 故22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y 为定值．18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p ，12，162，12，故抛物线E 方程为2y x故 1P，31P 为椭圆上的点22222242186141a a bb a b椭圆C 方程22184x y （2）设 12,A x x ， 22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y 为定值．19．【解析】（1）因为点 2,3在双曲线C 上，所以22222312a a ，整理得42780a a ，即 22180a a ，解得21a ，则双曲线C 的方程为2213y x ；（2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x，即112y kx k ，联立2211213y kx k y x，消去y 并整理得 222132404k x k k x k k ，设 11,M x y ， 22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ，所以关于x 的方程222132404kxk k x k k有两个不同的正数根1x ，2x ，22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k，解得2,3k则斜率k的取值范围为2,3 ；（ⅱ）设 00,H x y ，由（ⅰ）得 12222233k k k k x x k k ，222122221144416443343k k k k k k x x k k k，因为1112x a，2112x a ， 01020x x x x ，又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x，0120MH x x HN x x ，由PM MH PN HN 得0112202121x x x x x x，即 1202012121x x x x x x ，化简得 1201212214x x x x x x x ，所以 202222241621333k k k k k k x k k k，整理得2202234162k k k x k k k k ，解得0832kx k，即003821x k x 又点 00,H x y 在直线112y k x上，所以 001136911223264k k y k x k k即00000386921386421x x y x x，故点H 恒在定直线3260x y 上．。

上外附中2020学年高二12月月考一．填空题：（31236⨯=分）.1一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则_____x = .2将无限循环小数..0.145化为分数，则所得最简分数为______.3计算：22lim()____1000n n n n →∞+-=+.4已知数列{}n a 满足：312...2(*)123n n a a a a n N n++++=∈,设{}n a 前n 项和为n S ，则5_____S =.5用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a aa a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得的项为________.6已知1223PP PP =-,若实数λ满足221PP P P λ=,则λ的值为________.7设数列{}n x 满足1log 1log (0,1)a n a n x x a a +=+>≠，若12100...100x x x +++=，则101102200..._____x x x +++=.8已知数列4293n a n=-，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数_____k =.9在等腰直角ABC ∆中，90,6,A BC ABC ∠=︒=∆中排列着内接正方形，如图所示，若正方形的面积依次为12,,...,n S S S ,...（从大到小），其中*n N ∈，则12lim(...)_____n n S S S →∞+++=.10如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD BD =；点E 在AC 上，且3,AE EC AD=与BE 交点为F ，若设,,AB a AC b AF AD λ===,于是可得出：3,()...,4BE a b BF AF AB AB BD AB λ=-+=-=+-=于是由BE BF ,可求出___λ=.11把集合{}21,*x x n n N =+∈，可作如下划分，[][][][]3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，[][][][]23,25,27,29,31,33,35,37,39,41，[]43,....则第104个括号内各数字之和为_____.12设正数数列{}n a 的前n 项和为n b ，数列{}n b 的前n 项之积为n c ，且1n n b c +=，则数列的前n 项和n S 中大于2016的最小项为第_____项. 二．选择题（1863=⨯分）.13如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）.A AB CD BC DA +=+ .B AC BD BC AD +=+ .C AC DB DC BA +=+ .D AB DA AC DA +=+.14用数学归纳法证明：22222222(21)12...(1)(1) (213)n n n n n ++++-++-+++=时 从“k 到1k +”左边需增加的代数式是（ ）2.(1)A k + 22.(1)B k k ++ 22.2(1)C k k ++ 22.22(1)D k k ++.15对数列{}{},n n a b ，若对任意的正整数n ，都有[][]11,,n n n n a b a b ++⊂且lim()0n n n a b →∞-=，则称[][]1122,,,,...a b a b 为区间套，下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）21.,1n n n n A a b n n +==+ 2.,13n n n n B a b n n +==++ .C 12(),()23n n n n a b == 11.1(),1()23n nn n C a b =-=+.16若数列{}n a 的通项公式是32(1)(32),1,2,3,...,2n n n n n n a n ----++--==则n a 的各项和S 等于（ ）11.24A 17.24B 19.24C 25.24D.17若数列{}n a 满足212()n na p p a +=为正常数，则称{}n a 为“等方比数列”，甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）.A 甲是乙的充分不必要条件 .B 甲是乙的必要不充分条件 .C 甲是乙的充要条件 .D 甲是乙既不充分也不必要条件{}18.n a 是由实数构成的无穷等比数列，12...n n S a a a =+++，关于数列{}n S ，给出下列命题：①数列{}n S 中任意一项均不为0；②数列{}n S 中必有一项为0；③数列{}n S 中或者任意一项不为0；或者无穷多项为0；④数列{}n S 中一定不可能出现2n n S S +=；⑤数列{}n S中一定不可能出现3n n S S +=；其中正确的命题是（ ）.A ①③ .B ②④ .C ③⑤ .D ②⑤三．解答题：（10+12+12+12=46分）.19已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为(01)q q <≤，它的前n 项和为n S ，且1nn n S T S +=，求lim n n T →∞的值..20从社会效益和经济效益出发，其他投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. )1(设n 年内（本年度为第1年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出,n n a b 的表达式；)2(至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？.21对于无穷数列{}n T ，若正整数0n ，使得0(*)n n n N ≥∈时，有1n n T T +>，则称{}n T 为“0n ~不减数列”.)1(设,s t 为正整数，且s t >，甲：{}n x 为“s ~不减数列”.乙：{}n x 为“t ~不减数列”.设判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；)2(已知函数()y f x =与函数12y x=-+的图像关于直线y x =对称，数列{}n a 满足123,()(*)n n a a f a n N +==∈,如果{}n a 为“0n ~不减数列”，试求0n 的最小值.)1.(22若对于任意的*n N ∈,总有(2)(1)1n n A Bn n n n +=+++成立，求常数,A B 的值；)2(在数列{}n a 中，1112,2(2,*)2(1)n n n a a a n n N n n -+==+≥∈+,求通项n a ； )3(在)2(题的条件下，设12(1)2n n n b n a +=++，从数列{}n b 中依次去除第1k 项，第2k 项，...，第n k 项，按原来的顺序组成新的数列{}n c ，其中n n k c b =，其中11,*n n k m k k r N +=-=∈,试问是否存在正整数,m r 使12lim(...)n n c c c S →∞+++=且416113S <<成立？若存在，求正整数,m r 的值；若不存在，说明理由.上外附中2020学年高二12月月考（答案）一．填空题：（31236⨯=分）.1一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则_____x =【答案】2.2将无限循环小数..0.145化为分数，则所得最简分数为______【答案】855.3计算：22lim()____1000n n n n →∞+-=+【答案】1000.4已知数列{}n a 满足：312...2(*)123n n a a a a n N n++++=∈,设{}n a 前n 项和为n S ，则5_____S =【答案】1n =时12a =，2n ≥时1112..2121n n a a a n --+++=-，两式相减得1122n n nn a a n n--=⇒=⋅，所以5=S 129.5用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a aa a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得的项为________【答案】21+a a +.6已知1223PP PP =-,若实数λ满足221PP P P λ=,则λ的值为________ 【答案】3-.7设数列{}n x 满足1log 1log (0,1)a n a n x x a a +=+>≠，若12100...100x x x +++=，则 101102200..._____x x x +++=【答案】100100a.8已知数列4293n a n=-，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数_____k =【答案】9.9在等腰直角ABC ∆中，90,6,A BC ABC ∠=︒=∆中排列着内接正方形，如图所示，若正方形的面积依次为12,,...,n S S S ,...（从大到小），其中*n N ∈，则12lim(...)_____n n S S S →∞+++=【答案】92.10如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD BD =；点E 在AC 上，且3,AE EC AD =与BE 交点为F ，若设,,AB a AC b AF AD λ===,于是可得出：3,()...,4BE a b BF AF AB AB BD AB λ=-+=-=+-=于是由BE BF ,可求出___λ=【答案】910.11把集合{}21,*x x n n N =+∈，可作如下划分，[][][][]3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，[][][][]23,25,27,29,31,33,35,37,39,41，[]43,....则第104个括号内各数字之和为_____【答案】2072.12设正数数列{}n a 的前n 项和为n b ，数列{}n b 的前n 项之积为n c ，且1n n b c +=，则数列的前n 项和n S 中大于2016的最小项为第_____项. 【答案】63三．选择题（1863=⨯分）.13如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）.A AB CD BC DA +=+ .B AC BD BC AD +=+ .C AC DB DC BA +=+ .D AB DA AC DA +=+【答案】B.14用数学归纳法证明：22222222(21)12...(1)(1) (213)n n n n n ++++-++-+++=时 从“k 到1k +”左边需增加的代数式是（ ）2.(1)A k + 22.(1)B k k ++ 22.2(1)C k k ++ 22.22(1)D k k ++【答案】B.15对数列{}{},n n a b ，若对任意的正整数n ，都有[][]11,,n n n n a b a b ++⊂且lim()0n n n a b →∞-=，则称[][]1122,,,,...a b a b 为区间套，下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）21.,1n n n n A a b n n +==+ 2.,13n n n n B a b n n +==++ .C 12(),()23n n n n a b == 11.1(),1()23n nn n C a b =-=+【答案】D.16若数列{}n a 的通项公式是32(1)(32),1,2,3,...,2n n n n n n a n ----++--==则n a 的各项和S 等于（ ）11.24A 17.24B 19.24C 25.24D【答案】C.17若数列{}n a 满足212()n na p p a +=为正常数，则称{}n a 为“等方比数列”，甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）.A 甲是乙的充分不必要条件 .B 甲是乙的必要不充分条件 .C 甲是乙的充要条件 .D 甲是乙既不充分也不必要条件【答案】B{}18.n a 是由实数构成的无穷等比数列，12...n n S a a a =+++，关于数列{}n S ，给出下列命题：①数列{}n S 中任意一项均不为0；②数列{}n S 中必有一项为0；③数列{}n S 中或者任意一项不为0；或者无穷多项为0；④数列{}n S 中一定不可能出现2n n S S +=；⑤数列{}n S 中一定不可能出现3n n S S +=；其中正确的命题是（ ）.A ①③ .B ②④ .C ③⑤ .D ②⑤【答案】C三．解答题：（10+12+12+12=46分）.19已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为(01)q q <≤，它的前n 项和为n S ，且1nn n S T S +=，求lim n n T →∞的值.【答案】1q =时，lim lim11n n n nT n →∞→∞==+当01q <<时，11lim lim11nn n n n q T q +→∞→∞-==- .20从社会效益和经济效益出发，其他投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. )1(设n 年内（本年度为第1年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出,n n a b 的表达式；)2(至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？【答案】（1）4540001(),1600()154n n n n a b ⎡⎤⎡⎤=⨯-=⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）至少经过5年；.21对于无穷数列{}n T ，若正整数0n ，使得0(*)n n n N ≥∈时，有1n n T T +>，则称{}n T 为“0n ~不减数列”.)1(设,s t 为正整数，且s t >，甲：{}n x 为“s ~不减数列”.乙：{}n x 为“t ~不减数列”.设判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；)2(已知函数()y f x =与函数12y x=-+的图像关于直线y x =对称，数列{}n a 满足123,()(*)n n a a f a n N +==∈,如果{}n a 为“0n ~不减数列”，试求0n 的最小值.【答案】（1）假命题；（2）0n 最小值为2)1.(22若对于任意的*n N ∈,总有(2)(1)1n n A B n n n n +=+++成立，求常数,A B 的值； )2(在数列{}n a 中，1112,2(2,*)2(1)n n n a a a n n N n n -+==+≥∈+,求通项n a ； )3(在)2(题的条件下，设12(1)2n n n b n a +=++，从数列{}n b 中依次去除第1k 项，第2k 项，...，第n k 项，按原来的顺序组成新的数列{}n c ，其中n n k c b =，其中11,*n n k m k k r N +=-=∈,试问是否存在正整数,m r 使12lim(...)n n c c c S →∞+++=且416113S <<成立？若存在，求正整数,m r 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2,1A B ==-（2）1121n n a n -=-+ （3）4,3m r ==或4,4m r ==。