2016,7人大附中高二(理科)数学试题

2016人大附中高二（上）期末数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（4分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（4分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0 3．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣4．（4分）给定原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列命题形式正确的是（）A．逆命题：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否命题：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否命题：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．（4分）双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=06．（4分）已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．（4分）已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣8．（4分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列命题中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．11．（5分）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|=，||PF2|=．12．（5分）已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．（5分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．（5分）已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．（10分）已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．（10分）在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则=．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P （0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．（16分）如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．【解答】当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．【解答】由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，可知：=+，=，==，=﹣+．故选：C．4．【解答】原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆命题是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否命题是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否命题是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定命题是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．【解答】由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即：x±y=0．故选：C6．【解答】由题意得a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF1|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．【解答】由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．【解答】曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．【解答】∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．【解答】∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．【解答】椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．【解答】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得：=+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．【解答】命题p为真时，实数m满足△=m2﹣4＞0且﹣m＜0，解得m＞2，命题q为真时，实数m满足△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，p∨q为真命题、p∧q为假命题，∴p，q一真一假；①若q真且p假，则实数m满足1＜m＜3且m≤2，解得1＜m≤2；②若q假且p真，则实数m满足m≤1或m≥3且m＞2，解得m≥3；综上可知实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．14．【解答】（I）设M（x，y），又A（0，2），点B（0，﹣2），∴，即，∴曲线C的方程为；（Ⅱ）设PQ方程：y=kx+m，代入椭圆4x2+y2=4，整理得：（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0．△=4k2m2﹣4（k2+4）（m2﹣4）=16（k2﹣m2+4）．．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．∴==0．化简得：5m2=4（1+k2），即．点O到直线PQ的距离d==．则===，由≥，得：|OP|•|OQ|≥．∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥2=．=|OP|•|OQ|≥．∴S△OPQ故答案为：，．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．【解答】（1）2﹣3=2（2，﹣1，﹣2）﹣3（1，1，﹣4）=（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）=（1，﹣5，8）．|2﹣3|==3．（2）∵cos＜，＞===，＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．16．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．【解答】（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，=|OF|•|AB|=×1×4=2，此时△AOB的面积为S△AOB不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，=|AB|d=2（+|k|）==4，故△AOB的面积为S△AOB==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．【解答】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．【解答】（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=，=，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．【解答】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．【解答】（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．。

高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（ ）1-7-A ．，B ．， ()()121nnn a =-⋅-n *∈N ()()121nn a n =-⋅-n *∈N C ．，D ．，()()1121n n n a +=-⋅-n *∈N ()()1121n n a n +=-⋅-n *∈N 【答案】A【分析】利用数列正负交替及数的规律即可确定数列通项公式 【详解】数列各项正、负交替，故可用来调节， ()1n-又，，，，…，1121=-2321=-3721=-41521=-所以通项公式为，()()121nnn a =-⋅-n *∈N 故选：A2．设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ） n S {}n a n 4512a a +=8S A ．14 B ．28C ．36D ．48【答案】D【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出. n 【详解】因为为等差数列的前项和， n S {}n a n 所以 ()()18818842a a S a a +==+ ()45448a a =+=故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题. n 3．下列求导运算正确的是（ ）A ．B ．ππsin cos 33'⎛⎫= ⎪⎝⎭()1e 1e x x '+=+C ． D ．2cos sin cos x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭()2e 2e x x '=【答案】D【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的运算法则，判断每个选项，可得答案。

【详解】，A 错误； πsin 03'⎛⎫'== ⎪⎝⎭，B 错误；()1e exx'+=，C 错误；2cos sin cos x x x x x x '--⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 正确，()2e 2exx'=故选：D4．在曲线 的图象上取一点及邻近一点， 则为（ ） ()21f x x =+()1,2()1Δ2Δx y ++，ΔΔyx A ． B ．2 C ． D ． 1Δ2Δx x++Δ2x +1Δ2Δx x-+【答案】C【分析】根据平均变化率，代入计算即得． ()()00+∆-∆=∆∆f x x f x y x x【详解】由题可得.()21122x x x x y ⎡⎤+-∆⎣⎦==+∆∆∆+∆故选：C ．5．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ）()f x ()f x 'A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(0，1)(2，3)【答案】B【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是． ()f x (1,2)()0f x '<(1,2)故选：B ．6．在等差数列中，“”是“”的（ ） {}n a 253m a a a a +=+4m =A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据数列的性质求解.【详解】当的公差时，由，得m 是任意的正整数， {}n a 0d =253m a a a a +=+由，得，4m =253m a a a a +=+则“”是“”的必要不充分条件． 253m a a a a +=+4m =故选:A.7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）()ln f x kx x =-1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭k A ． B ． C ． D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭[)2,+∞1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭[)4,+∞【答案】B【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x '≥1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以'1()f k x x =-()ln f x kx x =-1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭'1()0f x k x =-≥在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1k x ≥1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1y x =1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，，所以， 1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭2y <2k ≥则的取值范围为. k [)2,+∞故选：B8．在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则{}n a n 2nn S p =+p {}n a q （ ）p q +=A ．0 B ．1 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】是以为公比的等比数列,{}n a q 所以，232112213322,222,224a S p a S S p p a S S p p ==+=-=+--==-=+--=所以公比进而， 32422a q ,a ===21211aa p p q=+==Þ=-所以， 12=1p q +=-+故选：B9．小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为的圆纸片上画一个内接正方形，再r 画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆之间的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案（阴影部分）的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2(π2)r -231(π2)16r -263(π2)32r -2127(π2)64r -【答案】C【分析】根据规律可得每个内切圆与正方形的面积的差是等比数列，且首项为，公比为()2π2r -12，有等比数列的求和公式即可化简求值.【详解】将6个圆从外到内依次记为，将6个正方形从外到内依次记为，{}123456i O ,i ,,,,,Îi A ，{}1,2,3,4,5,6i ∈记6个阴影部分从外到内的面积为，其中表示的半径，)()222ππ2i i i O A i iiT S S r r=-=-=-A i r i O 由题意可知，1211,,,,2,i i r r r r i -==≥ 1i i r r -=所以，故为等比数列，且首项为，公比为，()()1221π2π22i i i T r r -æöç÷=-=-ç÷èø()2π2r -12所以， ()()6221261π21211263π232r T T T r æö--ç÷ç÷èø+++==-- 故选：C.10．已知e 为自然对数的底数，函数的导函数为，对任意，都有成()f x ()f x 'x ∈R ()()f x f x '<-立，则（ ） A ．B ．(0)(1)e (2)ef f f >>()()()01e 2ef f f >>C ． D ． (0)e (2)(1)ef f f >>(0)e (2)(1)ef f f >>【答案】A【分析】构造函数，求导,利用导数求解单调性，利用单调性即可比较大小.()()e xg x f x =【详解】由得()()f x f x '<-()()0f x f x '+<令，则，所以单调递减，()()e x g x f x =()()()e 0x g x f x f x ¢¢éù=+<ëû()g x 故,即,同除以得， ()()()012g g g >>()()()012e 0e 1e 2f f f >>e (0)(1)e (2)ef f f >>故选：A二、填空题11．曲线在处的切线的方程为__________．321()2ln 2f x x x x =+-1x =【答案】13270x y --=【分析】求导得切线斜率，由直线的点斜式即可求解直线方程.【详解】由得，故，又321()2ln 2f x x x x =+-21()342f x x x x'=+-()11313422k f ¢==+-=， ()1123f =+=所以切线方程为，即， ()13312y x -=-13270x y --=故答案为：13270x y --=三、双空题12．函数的零点个数为__________，其极值点是__________． ()(2)e x f x x =-【答案】11【分析】根据零点定义求零点个数，再求出的导数，令，根据单调区间，可得所求()f x ()0f x '=极值点；【详解】函数的零点，令，故零点个数为1；()(2)e x f x x =-()(2)e 0,2x f x x x ==-=求导函数，()()()e 2e 1e x x xf x x x '=+-=-令，得()0f x '=1,x =所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，(),1x ∈-∞()0f x '<()f x (),1-∞()1,x ∈+∞()0f x ¢>函数在上单调递增，()f x ()1,+∞所以，函数在处取得极小值，是其极小值点. ()f x 1x =1x =故答案为：.1;1四、填空题13．公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则{}n a n n S 3a 2a 6a 33S a =__________． 【答案】1【分析】根据是与的等比中项，化简得到，再分别求得，求解. 3a 2a 6a 12d a =-3S 3a 【详解】解：因为是与的等比中项， 3a 2a 6a 所以，即，2326a a a =⋅()()()211125a d a a d d +=+⋅+化简得，2120a d d +=因为，所以， 0d ≠12d a =-所以，， 31132332dS a a ⨯=+=-31123a a d a =+=-所以， 331S a =故答案为：114．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第九层球的个数为__________．【答案】45【分析】根据题意，发现规律并将规律表达出来，第层有个球，结合等差数列前n ()123n +++⋅⋅⋅+n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意，第一层有个球；第二层有个球；第三层有个球， 1()12+()123++根据规律可知：第层有个球n ()123n +++⋅⋅⋅+设第层的小球个数为，则有：， n n a ()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=故第九层球的个数为：. 945a =故答案为：45. 15．关于函数， 22()ln f x x x=+①无最小值，无最大值；()f x ②函数有且只有1个零点； ()2y f x x =-③存在实数，使得恒成立；k ()f x kx >④对任意两个正实数，，且，若，则． 1x 2x 12x x <()()12f x f x =122x x +>其中所有正确的结论序号是__________． 【答案】②③④【分析】求得的导数和单调性、极值，可判断①；求得的导数，可得单调性，计()f x ()y f x x =-算的函数值，可判断②；结合①的分析，取特殊值即可判断③；设，由1x =21(1)x t t x =>，求得，关于的函数式，结合分析法，构造函数，判断单调性，可判断④． 12()()f x f x =1x 2x t 【详解】，2()2ln f x x x=+， ()222122()x f x x x x -'∴=-+=当时，，函数单调递增， 1x >()0f x '>()f x 当时，，函数单调递减，01x <<()0f x '<()f x 函数有最小值，无最大值，故①错误；∴()f x ()12f =令，2()22ln 2y f x x x x x=-=+-恒成立，()222222122(21)20x x x x y x x x x -+---+'∴=-+-==<在单调递减， 22ln 2y x x x∴=+-(0,)+∞，，()112020f -=+-=有且只有一个零点，故②正确；()2y f x x ∴=-由①知，，又， ()()120f x f ≥=>0x >所以取，有，1k =-0kx x =-<此时恒成立，即存在实数，使得恒成立，故③正确；()f x kx >k ()f x kx >设，即有， 21(1)x t t x =>21x x t =即为，化为，12()()f x f x =1212222ln 2ln x x x x +=+1111222ln 2ln()x x t x x t +=+可得，则， 11ln t x t t-=2121(1)2212ln 0ln ln t t t x x t t t t t t t --+>⇔+>⇔-->设，可得，2()12ln (1)h t t t t t =-->()22(1ln )2(1ln )h t t t t t '=-+=--由的导数为，可得时，，单调递增，可得，()1ln m t t t =--1()1m t t'=-1t >()0m t '>()m t ()()10m t m >=，单调递增，可得，故成立，故④正确．()0h t '∴>()h t ()()10h t h >=122x x +>故答案为：②③④．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．五、解答题16．在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已89a =520S =2913a a +=知等差数列的前项和为,______,______.{}n a n *,n S n ∈N (1)求数列的通项公式; {}n a (2)设,求数列的前项和. 11n n n b a a +={}n b n n T 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)*1,n a n n =+∈N (2)()22n nT n =+【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得{}n a d 基本量,写出通项公式;(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和. {}n b n n T 【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,{}n a d 当选①②时:,解得, 81517951020a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 选①③时:,解得, 81291792913a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 选②③时:,解得, 51291510202913S a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N （2）由(1)知,,*1,n a n n =+∈N 所以, ()()111111212n n n b a a n n n n +===-++++所以111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . ()112222n n n =-=++17．已知函数在处取得极值． 32()f x x ax bx =++1x =±(1)求的解析式； ()f x (2)求在上的最值． ()f x [2,1]-【答案】(1) 3()3f x x x =-(2)最大值为2，最小值为. 2-【分析】（1）利用极值点即可得，,即可求解， (1)0f '-=()01f '=（2）求导，列表得单调性，进而比较极值点与端点处的函数值即可求解.【详解】（1）．()232f x x ax b '=++在时取得极值，所以，,()f x 1x =±(1)0f '-=()01f '=即,且解得．320a b -+=320a b ++=03a b ，==-经检验，时，,当或时,,此时单调递增，当03a b ，==-()233f x x ¢=-1x >1x <-()0f x ¢>()f x 时,,此时单调递减，故在时取得极小值．11x -<<()0f x '<()f x ()f x 1x =±． 3()3f x x x ∴=-（2），()233f x x ¢=-令，解得或；()0f x '==1x -1x =,时，和 变化如下：[2x ∈-1]()f x '()f xx 2-(2,1)--1- (1,1)- 1()f x '/+ 0-/()f x 2-单调递增 2 单调递减2-由上表可知函数在区间，上的最大值为2，最小值为.()f x [2-1]2-18．已知函数．e 1()ln ()x a f x x a x x=--∈R (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 0a =()f x (1,(1))f (2)当时，求的单调区间； 0a >()f x (3)若对，恒成立，求的取值范围． 1x ∀>1()1f x x x≤--a 【答案】(1)； 1y =-(2)答案见解析；(3)(2,e -⎤-∞-⎦【分析】（1）利用导数的几何意义，计算求得、，即可求解； ()01f '=(1)1f =-（2）利用导数，分类讨论当、、、时函数的单调性，即可求解； 10e a <<1e a =11ea <<1a ≥()f x （3）根据题意将原不等式转化为，求导得，令(ln 1)()e x x x x a h x -+≤=(1)(ln 2)()e xx x x h x --+'=，利用导数研究函数的性质，结合零点的存在性定理可得函数的()ln 2(0)x x x x ϕ=-+>()ϕx ()h x 单调性，求出即可.min ()h x 【详解】（1）当时，，0a =1()ln (0)f x x x x =-->所以，得，又， 211()f x x x'=-()01f '=(1)1f =-所以曲线在处的切线方程为. ()f x (1,(1))f 1y =-（2）,222e (1)11(1)(e 1)()(0)x x a x x a f x x x x x x ---'=+-=>，令或，0a >()01f x x =⇒='ln x a =-当时，由或，由， 10ea <<()001f x x '>⇒<<ln x a >-()01ln f x x a '<⇒<<-所以函数在和上单调递增，在上单调递减；()f x (0,1)(ln ,)a -+∞(1,ln )a -当时，由或，由， 11ea <<()00ln f x x a '>⇒<<-1x >()0ln 1f x a x '<⇒-<<所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ()f x (0,ln )a -(1,)+∞(ln ,1)a -当时，由，由， 1a ≥()01f x x '>⇒>()001f x x '<⇒<<所以函数在上单调递增，在上单调递减；()f x (1,)+∞(0,1)当时，由，则函数在上单调递增.1ea =()0f x '≥()f x (0,)+∞综上，当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 10ea <<()f x (0,1)(ln ,)a -+∞(1,ln )a -当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 11ea <<()f x (0,ln )a -(1,)+∞(ln ,1)a -当时，函数的单调增区间为，减区间为；1a ≥()f x (1,)+∞(0,1)当时，函数的单调增区间为，无减区间.1ea =()f x (0,)+∞（3），则不等式转化为， 1x >1()1f x x x ≤--(ln 1)e xx x x a -+≤设，(ln 1)(1)(ln 2)()()e e x xx x x x x x h x h x -+--+'=⇒=令，则， ()ln 2(0)x x x x ϕ=-+>1()xx xϕ-='由，由，()001x x ϕ'>⇒<<()01x x ϕ'<⇒>所以函数在上单调递增，在上单调递减，()ϕx (0.1)(1,)+∞且，则函数在内存在唯一的零点， 22(e)3e>0,(e )4e 0ϕϕ=-=-<()ϕx 2(e,e )0x 当时，单调递减， 0(1,)x x ∈()0,()0,()x h x h x ϕ'><当时，单调递增， 0(,)x x ∈+∞()0,()0,()x h x h x ϕ'<>所以，又，000min 0(ln 1)()()e x x x x h x h x -+==000()ln 20x x x ϕ=-+=得，则， 020ex x -=00002000200(ln 1)e ()e e e ex x x x x x x x h x ---+==-=-=-即，所以，2min ()e h x -=-2e a -≤-即实数a 的取值范围为.2(,e ]--∞-【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利()f x a ≥()g x a ≤min ()f x a ≥max ()g x a ≤用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；()f x ()g x (2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.六、单选题19．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x A ． B ．C ．D ．1515-1010-【答案】A【分析】首先写出展开式的通项，再令求出，即可求出含项的二项式系数.622r -=r 2x 【详解】二项式的展开式的通项为，62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()6621662C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，所以展开式中项的二项式系数为.622r -=2r =2x 2615C =故选：A20．已知函数，若对任意的，，且，都有3()(1)e 1x f x x kx =--+1x 2(0,)x ∈+∞12x x ≠，则实数的取值范围是（ ）()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+k A ．B ．C ．D ．e 0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦e ,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10,3⎛⎫⎪⎝⎭1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】将式子变形得到函数的单调性，进而转化成在恒成立，构造函数()0f x '≥()0+∞，由导数求解最值即可求解. ()e xg x x，=【详解】由得，()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+()()()()121122x x f x x x f x ->-不妨设，，且,则，故问题等价于函数在单调递1x 2(0,)x ∈+∞12x x >()()12f x f x >()f x ()0+∞，增，故在恒成立， ()0f x '≥()0+∞，在恒成立， ()2e e 303xxf x x kx k x '=-≥⇒≤()0+∞，令，则当时，,当， ()()()21e e x xx g x g x x x，-'=∴=1x >()0g x '>()010x ,g x ¢<<<故在单调递增，在单调递减，故在极小值也是最小值，故()g x ()1+∞，()01，()g x 1x =， ()e 31e 3k g k £=Þ£故选：B.21．已知数列满足，，，，，记数列{}n a 11a =212a =()()11222121n n n n a a a a++-=--2n ≥*N n ∈{}n a 前项和为，则（ ） n n S A ． B ． 202378S <<202389S <<C ． D ．2023910S <<20231011S <<【答案】D【分析】根据原递推关系构造等差数列，求出 的通项公式，再利用对数的性质计算出 ，{}n a 2023S 再运用缩放法证明.【详解】 ，()()()()()()1111222121,21212121n n n n n n n n a a a a a a a a++++-=--∴---=-- ， ， 21221210,210na a -=-≠∴-≠ 11112121n n a a +∴-=--令 ，则有 ，即数列 从第2项开始是公差为1，首项为121n n a b =-11n n b b +-=()2n ≥{}n b 的等差数列，2121121b =+- ，即，将 代入上式检()12n b n n ∴=≥221log n an a -==()2n ≥2n =验得 ，正确； 212a=123n n S a a a a ∴=++++22221log loglog log=++， 221log 1log =+=+，()2023221log 1log 2021S =+=+显然 ， ； 9102512202121024=<<=20231011S ∴<<故选：D.七、填空题22．的展开式各项系数的和是，则__________. 5(1)ax +1-=a 【答案】2-【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案.1x =【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是， 1x =5(1)ax +5(1)1,2a a +=-∴=-故答案为：2-八、双空题23．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数对应的十进制数记为，即()()*0122N k a a a a k ⋯∈k m ，其中，，则在，，100112222k k k k k m a a a a --=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯01a ={0,1}i a ∈()1,2,3,,i k = 0a 1a 2a ，…，中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为__________（用数字5a ()0152a a a ⋯作答）将五个数20、23、2、0、3任意次序排成一行，拼成一个7位数，则能产生不同的7位数的个数是__________（用数字作答） 【答案】50675【分析】利用等比数列前n 项和以及组合数问题可解；先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，其中2和0排在一起形成20和原来的20有重复，2和3排在一起形成23和原来96的23有重复，计算得到答案.【详解】根据题意得 ，5430155212222m a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯因为在中恰好有2个0的有种可能， 0152a a a a ⋯，，，25C 10=即所有符合条件的二进制数 的个数为10． ()0152a a a ⋯所以所有二进制数对应的十进制数的和中，()0152a a a ⋯出现次，，…，，均出现次，5225C 10=4232120224C 6=所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为 0152a a a a ⋯，，，()0152a a a ⋯. 24302545C 2+2++2+2+C 2=631+1032=506⨯⨯ （）先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，1444C A 96⋅=其中2和0排在一起形成20和原来的20有重复，考虑2和0相邻时，且2在0的左边，共有种排法， 4!24=其中一半是重复的，故此时有12种重复.其中2和3排在一起形成23和原来的23有重复，考虑2和3相邻时，且2在3的左边，共有种排法，1333C ×A 18=其中一半是重复的，故此时有9种重复. 故共有种. 9612975--=故答案为：506；75．九、填空题24．已知函数与轴有两个交点，则实数的取值范围为__________． 2()1ax f x x e =-x a 【答案】22,0,ee ⎧⎫-⎨⎩⎭【分析】求出函数的导数，就、、分类讨论，而当时，再就、、0a =0a >a<00a >2e a =2ea >分类讨论单调性并结合零点存在定理判断零点个数，从而得到参数的取值范围，注意20ea <<a<0可以转化到的情形.0a >【详解】函数与轴有两个交点即有两个不同的解. 2()1ax f x x e =-x ()0f x =（1）当时，，令，则，故符合.0a =2()1f x x =-()0f x =1x =±0a =（2）当时，，0a >()22()e axf x ax x +'=当时，；当时，，()2,0,x a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭()0f x '>2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0f x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()f x ()2,,0,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而，当时，，()01f =-1max{1,}x a>()1e 10f x >⨯->故在上有且只有一个零点，()f x ()0,∞+当，即，即时，20f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭224e 10a a a⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=2e a =结合的单调性可得：在上有且只有一个零点， ()f x ()f x (),0∞-故此时符合题设.2ea =当时，即，即时，20f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭224e 10a a a⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-<2e a >结合的单调性可得：在上无零点，故舍.()f x ()f x (),0∞-2ea >当时，即，即时，20f a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭224e 10a a a⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭->20e a <<结合的单调性可得：在上有且只有一个零点，()f x ()f x 2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭下证：，e x x >设，则，()e x s x x =-()e 1xs x '=-当时，，当时，，0x <()0s x '<0x >()0s x '>故在上为增函数，在上为减函数，故，()s x ()0,∞+(),0∞-()()010s x s ≥=>故恒成立，所以，故，所以，e xx >e xx >22e aa >22e aa-<-而，其中， 2224e 24e e e1e1a a a a a a af ⎛⎫ ⎪-- ⎪⎝⎭⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2e a>设，则，()2e ,e tv t t t =->()e 2211e1e 1e 10222t v t '=-<-<-<故为上的减函数，故，()v t ()e,+∞()e2e e 0v t <-<故对任意的成立，故对任意的成立，2e tt <()e,t ∈+∞2e t t <()e,t ∈+∞因为，故成立，故，所以， 2e a >224e aa<224e 0a a -<224e e 10a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭-<故，故在有且只有一个零点，2e 0af ⎛⎫-< ⎪⎝⎭()f x 2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故与轴有3个不同的交点，舍.()f x x 故当时，仅有能使得与轴有2个不同的交点.0a >2ea =()f x x （3）当时，因为方程等价于，a<02e 10ax x -=()()2e 10a xx ----=其中，由（2）可知仅有能使得与轴有2个不同的交点. 0a ->2ea -=()f x x 即.2ea =-综上，实数的取值范围为.a 22,0,ee ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭故答案为：.22,0,ee ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】思路点睛：导数背景下的零点个数问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，并结合零点存在定理来判断零点的存在性，而取点判断函数值的符号需要结合函数解析式的形式和极值来合适选择.十、解答题25．已知数列，若对任意的，，，存在正数使得，则称数{}n a n *m ∈N n m ≠k ||||n m a a k n m -≤-列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为. {}n a k {}n a p （1）若数列是等差数列且公差为，前项和记为. {}n a d (0)d ≠n n S ①证明：数列具有守恒性质，并求出其守恒数. {}n a ②数列是否具有守恒性质？并说明理由.{}n S （2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质，且，求公比值的集合. {}n a 12p =q 【答案】（1）①见解析，.②数列不具有守恒性质.见解析（2）p d ={}n S 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）①运用等差数列的通项公式和数列具有守恒性质可得结论； {}n a ②数列不具有守恒性质，运用等差数列的求和公式和不等式的性质可得结论；{}n S （2）讨论，，由等比数列的通项公式和不等式的性质，构造数列，运用单调性，即1q >01q <<可得到所求范围．【详解】解：（1）①因为是等差数列且公差为，所以， {}n a d ()11n a a n d +-=所以对任意，，*,n m N ∈n m ≠恒成立，()()1111n m a a a n d a m d -=+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()n m d d n m =-≤-所以数列具有守恒性质，且守恒数. {}n a p d =②假设数列具有守恒性质，因为，所以存在实数， {}n S 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0k >. ()()22122n m d d S S n m a n m ⎛⎫-=-+-- ⎪⎝⎭()122d d k n m k n m a ⎛⎫≤-⇒≥++- ⎪⎝⎭若，则当时，，矛盾； 0d >122d k a n m d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+>()122d d n m a k ⎛⎫++-> ⎪⎝⎭若，则当时，，矛盾. 0d <122d k a n m d⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+<()122d d n m a k ⎛⎫++-> ⎪⎝⎭所以数列不具有守恒性质.{}n S （2）显然且，因为，所以.0q >1q ≠11a =111n n n a a q q --==因为数列具有守恒性质，{}n a 所以对任意，，存在正数使得，*,n m N ∈n m ≠k n m a a k n m -≤-即存在正数，对任，都成立. k 11n m q qk n m ---≤-*,n m N ∈n m ≠（i ）若，等比数列递增，不妨设，则，1q >{}n a n m >()11n m q q k n m --≤--即，11n m q kn q km ---≤-()*设，由式中的，任意性可知，数列不递增，1n n b q kn -=-()*m n {}n b 所以对任意恒成立.()1110n n n b b q q k -+-=--≤*n ∈N 而当，， 1log 1qk n q >+-()()1log 1111110q k n q n n b b q q k q k q +--+-=--->-=所以不符题意.1q >（ii ）若，则数列单调递减，不妨设，则，01q <<{}n a n m >()11m n q q k n m --≤--即，11m n q km q kn --+≤+()**设，由式中的，任意性可知，数列不递减，1n n c q kn -=+()**m n {}n c 所以对任意恒成立，()1101n n n q c c q k -+--=+≥*n ∈N 所以对任意恒成立，()11n q k q--≥*n ∈N 显然，当，时，单调递减，01q <<*n ∈N ()()11n f n q q -=-所以当时，取得最大值，1n =()()11n f n q q -=-()11f q =-所以. 1k q ≥-又，故，即.12p =112q -=12q =综上所述，公比的取值集合为.q 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于难题．。

北京市人大附中2023-2024学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________六、解答题29．在平面直角坐标系中画出方程()()()2222-=+-表示的曲线.211x x y y【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ^”是“CB AB ^”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ^”不是“CB AB ^”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ^底面ABC ，且侧面11ABB A I 底面ABC AB =，又BC Ì平面ABC ，若BC AB ^，则由面面垂直的性质定理可得BC ^平面11ABB A ，1BB Ì平面11ABB A ，则1CB BB ^，所以则“1CB BB ^”是“CB AB ^”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ^底面ABC ，1BB Ì平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ^底面ABC .又BC Ì平面ABC ，则1CB BB ^，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ^”不是“CB AB ^”的充分条件.综上所述，“1CB BB ^”是“CB AB ^”的必要不充分条件.故选：B.7．D【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】．D【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一【详解】()22:15C x y++=e选项A，由直线2x y a+=斜率为圆心(1,0)C-到直线2x y a+-10．A【分析】借助空间直观想象，折叠EAB平面FDC，面面距离即//17．(1)24=x y(2)3k=±【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点。

2016人大附中高二（上）期中数学（文）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（4分）直线x+y=0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（4分）已知l、m、n是空间不同的三条直线，则下列结论中正确的（）A．若m⊥l，n⊥l，则m⊥n B．若m⊥l，n⊥l，则m∥nC．若m⊥l，n∥l，则m⊥n D．若m⊥l，n∥l，则m∥n3．（4分）如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么a等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．4．（4分）若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．D．5．（4分）圆O：x2+y2=4上到直线3x+4y﹣5=0的距离为1的点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（4分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，点D、E分别是棱AB、BB1的中点，若DE⊥EC1，则侧棱AA1的长为（）A．1 B．2 C．D．7．（4分）一条光线沿直线2x﹣y+2=0照射到y轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣2=0 B．2x+y+2=0 C．x+2y+2=0 D．x+2y﹣2=08．（4分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC 上一动点，则一定与平面PBD垂直的平面是（）A．平面SAB B．平面SAC C．平面SCD D．平面ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）经过点A（1，1），且与直线l：3x﹣2y+1=0平行的直线方程为．10．（5分）直线2x﹣y+1=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相交于A、B两点，则弦AB的长为．11．（5分）若圆C经过点A（1，3）、B（3，5），且圆心C在直线2x﹣y+3=0上，则圆的标准方程为．12．（5分）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1B1=2AB，点E、F分别是棱B1C1、A1B1的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面ACEF平行的有．13．（5分）若直线l：y=k（x+1）与圆C：（x﹣1）2+y2=1恒有公共点，则k的取值范围是，直线l的倾斜角的取值范围是．14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=1，AD=BC=，将平行四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，在下列结论中：①直线CD⊥平面A′BD；②平面A′BC⊥平面BCD；③点B到平面A'CD的距离为；④棱A′C上存在一点到顶点A'、B、C、D的距离相等．所有正确结论的编号是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）15．（12分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，﹣3），C（﹣3，﹣1）（I）求BC边的中线所在直线的方程；（II）求BC边的高线所在直线的方程．16．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，所有侧棱长与底面边长均相等，E为SC的中点．求证：（Ⅰ） SA∥平面BDE；（Ⅱ） SC⊥BD．17．（14分）已知直线l1：y=x﹣1与圆C：（x+a）2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两点，|AB|=2，直线l2∥l1，直线l2与圆C相交于D、E两点．（I）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若△CDE为直角三角形，求直线l2的方程；（Ⅲ）记直线l1与x轴的交点为F（如图），若∠CFD=∠CFE，求直线l2的方程．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题纸上.）18．（6分）已知点M、N、K分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、B1C1、DD1的中点，在正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中，与平面MNK平行的条数为（）A．6条B．7条C．8条D．9条19．（6分）当点P（3，2）到直线mx﹣y+1﹣2m=0的距离最大值时，m的值为（）A．B．0 C．﹣1 D．120．（6分）若存在实数k和b，使得函数f（x）和g（x）对定义域内的任意x均满足：[f（x）﹣（kx+b）][g（x）﹣（kx+b）]≤0，且存在x1使得f（x1）﹣（kx1+b）=0，存在x2使得g（x2）﹣（kx2+b）=0，则称直线l：y=kx+b 为函数f（x）和g（x）的“分界线”．在下列说法中正确的是（）A．任意两个一次函数最多存在一条“分界线”B．“分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点C．f（x）=x2﹣2x与g（x）=﹣x2+4的“分界线”是y=﹣x+2D．f（x）=x2与g（x）=﹣（x﹣1）2的“分界线”是y=0或二、填空题（本大题共2小题，每题9分，共18分.请把结果填在答题纸中.）21．（9分）在正六棱锥P﹣ABCDEF中，AB=1，若平面PAB⊥平面PDE，则PA= ，该正六棱锥的体积是．22．（9分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y=f（x），设BP=x，x∈（0，3），关于函数y=f（x）：（Ⅰ）下列说法中，正确的是①当x∈（1，2）时，截面多边形为正六边形；②函数f（x）的图象关于对称；③任取x1，x2∈[1，2]时，f（x1）=f（x2）．（Ⅱ）函数y=f（x）单调区间为．三、解答题（本大题共1小题，满分14分.请把结果填在答题纸中.）23．（14分）如图，AB是圆O的直径，点C是半圆的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB，PB=6D是PB的中点，E是PC上一点．（Ⅰ）若DE⊥PB，求的值；（Ⅱ）若点Q是平面ABC内一点，且|QA|=2|QC|，求点Q在△ABC内的轨迹长度．数学试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．【解答】由直线，得其斜率为，设其倾斜角为α（0≤α＜π），则tan，∴α=．故选：D．2．【解答】由l、m、n是空间不同的三条直线，知：在A中，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥l，n∥l，则由直线与平面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；在D中，若m⊥l，n∥l，则由直线与平面垂直的性质定理得m⊥n，故D错误．故选：C．3．【解答】∵直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，∴，解之得a=﹣1（舍去2）故选：B4．【解答】由已知可得该棱锥的底面边长为2，故底面面积S=，高为2，故体积V==，故选：C5．【解答】由圆的方程x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离d==1＜2，∴r﹣1=1，则圆上到直线3x+4y﹣5=0的距离为1的点的个数为是3．故选C．6．【解答】取A1B1的中点D1，连接DD1，C1D1，DC1，设侧棱AA1的长为2x，则由题意，可得4+x2+1+x2=4x2+（2×）2，∴x=1，2x=2．故选：B．7．【解答】直线2x﹣y+2=0与x，y轴分别相交于点P（﹣1，0），Q（0，2）．点P关于y轴的对称点P′（1，0）．∴光线沿直线2x﹣y+2=0照照射到y轴后反射，则反射光线所在的直线方程为P′Q所在的直线：=1，化为：2x+y﹣2=0．故选：A．8．【解答】∵四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∵SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面SAC．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．【解答】设经过点A（1，1），且与直线l：3x﹣2y+1=0平行的直线方程为3x﹣2y+c=0，把点A（1，1）代入，得：3﹣2+c=0，解得c=﹣1，∴所求直线方程为：3x﹣2y﹣1=0．故答案为：3x﹣2y﹣1=0．10．【解答】由圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，可得圆心C（1，1），半径r=1．∴圆心到直线2x﹣y+1=0的距离d=，∴弦长|AB|=2=．故答案为．11．【解答】设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得，由②③得：a+b﹣6=0④，联立①④得：a=1，b=5，代入②得：r2=4，∴圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣5）2=4．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣5）2=4．12．【解答】∵点E、F分别是棱B1C1、A1B1的中点，∴EF∥A1C1，又EF⊂平面ACEF，A1C1⊄平面ACEF，∴A1C1∥平面ACEF．∵AB∥A1B1，A1B1=2AB，FB1=A1B1，∴AB FB1，∴四边形ABB1F是平行四边形，∴AF∥BB1，又AF⊂平面ACEF，BB1⊄平面ACEF，∴BB1∥平面ACEF．故答案为：A1C1，BB1．13．【解答】由题意，圆心到直线的距离d=≤1，∴，∵0≤θ＜π，∴．故答案为，14．【解答】∵在平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=1，AD=BC=，∴AB⊥BD，BD⊥CD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′﹣BCD后，∵平面A′BD⊥平面BCD，∴直线CD⊥平面A′BD；故①正确；同理：A′B⊥平面BCD，由A′B⊂平面A′BC得：平面A′BC⊥平面BCD，故②正确；棱锥A′﹣BCD的体积V=××1×1×1=，△A'CD的面积S=，设点B到平面A'CD的距离为h，则×h=，解得：h=，故③错误；棱A′C的中点到顶点A'、B、C、D的距离相等．故④正确；故答案为：①②④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）15．【解答】（I）由中点坐标公式可知：BC边中点D的坐标为即（﹣1，﹣2），于是BC边中线所在的直线方程斜率为，由点斜式可得：BC边的中线所在直线的方程为，即5x﹣3y﹣1=0；（II）易知，BC边所在直线方程斜率为，又BC边的高线所在直线方程斜率满足：k AE•k BC=﹣1得：k AE=2，于是由点斜式知：BC边的高线所在直线的方程为y﹣3=2（x﹣2），即2x﹣y﹣1=0．16．【解答】（I）连接AC交BD于点O，则O点为底面正方形ABCD的中心，点O为对角线AC的中点，而E为棱SC的中点，故在△SAC中，OE为中位线∴OE∥SA又OE⊂平面BDE，SA⊄平面BDE由线面平行的判定定理可得：SA∥平面BDE．（II）连接OS，在正四棱锥S﹣ABCD中，由题意知SO⊥底面ABCD，在△SAC中，SA=SC，OA=OC，∴SO⊥AC，SO⊥AC，在△SBD中，SB=SD，OB=OD，∴SO⊥BD，而AC，BD⊂平面ABCD，且AC∩BD=O，∴由线面垂直的判定定理可得：SO⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，再由线面垂直的性质定理可得：SO⊥BD，又在正方形ABCD中，AC⊥BD，而AC，SO⊂平面SAC，AC∩SO=O，∴由线面垂直的判定定理可得：BD⊥平面SAC，又SC⊂平面SAC，∴由线面垂直的性质定理得：SC⊥BD．17．【解答】（I）可知圆C的圆心坐标为（﹣a，0），半径为r=a圆心C到直线l1的距离为由垂径定理知：即有：（a＞0）解得：a=3故所求圆C的标准方程为（x+3）2+y2=9（II）易知：若△CDE为直角三角形，则∠DCE=90°又CD=CE=r=3可知△CDE为等腰直角三角形由垂径定理：圆心C到直线l2的距离依题意可设直线l2的方程为x﹣y+m=0（m≠﹣1）而由点到直线的距离公式得：解得：m=0或m=6故所求直线l2的方程为x﹣y=0或x﹣y+6=0（III）可知直线l1与x轴交点F的坐标为（1，0），依题意可设直线l2的方程为y=x+t将其与圆的标准方程（x+3）2+y2=9联立整理可得：2x2+（2t+6）x+t2=0设D、E两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由∠CFD=∠CFE知：k FD+k FE=0即有，得（x2﹣1）y1+（x1﹣1）y2=（x2﹣1）（x1+t）+（x1﹣1）（x2+t）=2x1x2+（t﹣1）（x1+x2）﹣2t于是有得故所求直线l2的方程为，即4x﹣4y+3=0．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题纸上.）18．【解答】由题意画出图形如图，∵M、N、K是不在同一直线上的三点，∴三点可以确定平面MKN．补形得到平面MKN与正方体个面的交线，得到正六边形MENFKG，由线面平行的判定，可得：BD、B1D1、BC1、AD1、AB1、DC1所在直线与平面MKN平行．∴正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中，与平面MNK平行的条数为6条．故选：A．19．【解答】直线mx﹣y+1﹣2m=0可化为y﹣1=m（x﹣2），由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q（2，1）且斜率为m，结合图象可知当PQ与直线mx﹣y+1﹣2m=0垂直时，点到直线距离最大，此时m•=﹣1，解得m=﹣1，故选：C．20．【解答】由[f（x）﹣（kx+b）][g（x）﹣（kx+b）]≤0，可得f（x）和g（x）在直线y=kx+b的两侧，由f（x1）﹣（kx1+b）=0和g（x2）﹣（kx2+b）=0得f（x）和g（x）都和直线y=kx+b相交，A．任意两个函数相交时，过交点的直线有很多条，故任意两个一次函数存在无数条“分界线”如图：故A错误，B．当f（x）=x（x﹣1）（x+1）+1，g（x）=﹣x（x﹣1）（x+1）+1，满足y=1是f（x）和g（x）的分界线，但此时f（x）与g（x）有3个交点，故B错误，C．由x2﹣2x=﹣x2+4得x2﹣x﹣2=0，得x=2或x=﹣1，此时A（﹣1，3），B（2，0），过A，B的直线为y=﹣x+2，则f（x）=x2﹣2x与g（x）=﹣x2+4的“分界线”是y=﹣x+2，故C正确，D．作出f（x），g（x）和y=0或的图象，由图象知与f（x）和g（x）没有交点，不满足条件f（x1）﹣（kx1+b）=0和g（x2）﹣（kx2+b）=0，．故D错误，故选：C二、填空题（本大题共2小题，每题9分，共18分.请把结果填在答题纸中.）21．【解答】取AB的中点M，DE的中点N，连接MN，PM，PN，则MN=∵正六棱锥P﹣ABCDEF中，平面PAB⊥平面PDE，∴PM⊥PN，∴PM2+PN2=MN2，∴PM=，∴PA==，正六棱锥的高==，∴正六棱锥的体积V==．故答案为：，．22．【解答】（I）①x=时，截面为△AB1C，其余截面多边形为正六边形，故①不正确；②根据正方体的对称性，可得函数f（x）的图象关于对称，正确；③任取x1，x2∈[1，2]时，根据面面平行，可得三角形相似，即可得出当α在平面AB1C，面A1DC1之间运动时，y 不变，正确；（II）由截面图形，可得单调递增区间（0，1），单调递减区间（2，3）．故答案为②③；对单递增区间（0，1），单调递减区间（2，3）．三、解答题（本大题共1小题，满分14分.请把结果填在答题纸中.）23．【解答】（I）∵AB为直径，∴AC⊥BC，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∵PB=6，PA=AB，∴，，．PD=PB=3．在Rt△PBC中，∵DE⊥PB，∴△PDE～△PCB，∴，∴，，∴．（II）以点C为坐标原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立如图所示的面直角坐标系，则A（0，3），C（0，0）．设动点Q的坐标为（x，y），则|QA|=，|QC|=，∴=2，整理可得：x2+（y+1）2=4，即Q的轨迹是以P（0，﹣1）为圆心，以2为半径的圆，设Q的轨迹与x轴，y轴的交点分别为M，N，则M（，0），N（0，1）．连结PM，PN，则sin∠MPN==，∴∠MPN=．∴点Q在△ABC内的轨迹长度==．word下载地址。

第一学期期末考试 高二数学试题（考试时间：120分钟 满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷相应的位置上．）1、若R c b a ∈、、且||||b c a <-，则有（A ） ||||||c b a -> （B ） ||||||c b a +> （C ） ||||||c b a -< （D ） ||||||c b a +< 2、方程x x y =-||表示的曲线是（A ） 一条直线 （B ） 一条射线 （C ） 两条射线 （D ） 两条直线 3、直线l 1：x ＋3y －7＝0，直线l ２：kx －y －2＝0与x 轴、y 轴正向所围成的四边形有外接圆，则k 的值为（A ） －3 （B ） 3 （C ） －6 （D ） 6 4、“直线l 平行于抛物线的对称轴”是“直线l 与抛物线仅有一个交点”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件 5、能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤≤⎩⎨⎧≥+-≤⎩⎨⎧≤+-≤≤00221)(002210)(0221)(02210)(x y x y D x y x y C y x y B y x y A6、与两圆122=+y x 及012822=+-+x y x 都内切的圆的圆心在 )(A 一个椭圆上 )(B 双曲线一支上 )(C 一条抛物线上 )(D 一个圆上7、已知 A(2 ,-3) ,B(-3 , -2) ，直线l 过定点P(1 ,1)且l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） (A) k≥43或k ≤-4 (B) -4≤k ≤ 43 (C) k≠ 21 (D) 43≤k≤4 8、设P (x ，y )是第一象限的点，且点P 在直线3x ＋2y ＝6上移动，则xy 的最大值是 （A ） 1.44 （B ） 1.5 （C ） 2.5 （D ） 19、已知()x f =－x －x 2，如果a ＋b >0，b ＋c >0，c ＋a >0则()()()c f b f a f ++的值（ ）(A ) 小于0 (B ) 大于0 (C ) 等于0 (D ) 符号不确定 10、经抛物线)0(22>=p x p y 的焦点作一直线l 交抛物线于),(11y x A 、),(22y x B ，则=2121x x y y )(A 4 )(B －4 )(C p 2 )(D －p 211、如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴为MN ，P 为椭圆上任一点，P Q ⊥MN 于Q 且|P Q|2＝k |M Q|•|Q N |，则k 的值 )(A 等于22a b)(B 等于22b a)(C 等于1 )(D 与P 的位置有关12、设双曲线0(12222>>=-a b by a x 的半焦距为c ， 直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （A ） 2 （B ） 3 （C ） 2 （D ）332 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将正确答案填在题的横线上．）13、实数a 、b 、c 、d 满足下列三个条件：c b b a d c b a c d +<++=+>)3(,)2(,)1(．则将a 、b 、c 、d 按由大到小．．．．的顺序排列为 ．（不按要求作答不给分） 14、点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且不在不等式032<-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标为 ．15、双曲线112422=-y x 的两条渐近线的夹角是 ．16、给出下列四个命题：①平行直线0123=--y x 和0246=+-y x 的距离是13132； ②方程11422-=-+-ty t x 不可能表示圆；③双曲线1422=+ky x 的离心率为21<<e ，则k 的取值范围是()20,60--∈k ；④曲线0992233=++-xy y x y x 关于原点对称． 其中正确．．的命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷相应的位置上．） 17、（本小题满分12分）解关于x 的不等式：)0(02><--a a x a x ．18、（本小题满分12分）已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。

2016-2017学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）A．ρ＝2sinθB．ρ＝﹣2sinθC．ρ＝2cosθD．ρ＝﹣2cosθ2．（4分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣83．（4分）在等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，则公比q等于（）A．﹣2B．1或﹣2C．1D．1或24．（4分）用数学归纳法证明，第二步证明从k 到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+15．（4分）在△ABC所在平面内有一点O，满足，，则等于（）A．B．C．3D．6．（4分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2＝log23•log34＝＝2；a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34•…•log78＝＝3，…；若a1•a2•a3•…•a m＝2017（m∈N*），则m的值为（）A．22017+2B．22017C．22017﹣2D．22017﹣47．（4分）函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．8．（4分）数列{a n}满足a1＝1，前n项和为S n，S n+1＝4a n+2，则a2017的值为（）A．3025×22016B．3025×22017C．6053×22015D．6053×22016二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．10．（4分）＝．11．（4分）圆（θ为参数）被直线y＝0截得的弦长为．12．（4分）设，是单位向量，且，若与的夹角不超过90°，则λ的最大值是．13．（4分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立．则a4＝，通项a n＝．14．（4分）已知A（1，0），点B在曲线G：y＝ln（x+1）上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点，则曲线G关于曲线M的关联点的个数为个．三、解答题：共大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（11分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM．（2）若F为线段ED上一点，且，求证：BF∥平面EMC．（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．16．（11分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x＝1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．17．（11分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．18．（11分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i＝1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m＝1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．2016-2017学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）A．ρ＝2sinθB．ρ＝﹣2sinθC．ρ＝2cosθD．ρ＝﹣2cosθ【解答】解：∵在极坐标系中，圆心在，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，它的极坐标方程为：ρ＝2sinθ．故选：A．2．（4分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8【解答】解：∵＝（﹣1，1），＝（2，3），∴+＝（1，4），若（+）∥，则，即k＝﹣8，故选：D．3．（4分）在等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，则公比q等于（）A．﹣2B．1或﹣2C．1D．1或2【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，∴a3+a4＝2q+2q2＝4，∴q2+q﹣2＝0，解得q＝1或q＝﹣2故选：B．4．（4分）用数学归纳法证明，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+1【解答】解：当n＝k时，左端＝，那么当n＝k+1时左端＝，＝∴左端增加的项为，所以项数为：2k．故选：B．5．（4分）在△ABC所在平面内有一点O，满足，，则等于（）A．B．C．3D．【解答】解：∵，，∴，∴，∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵||＝||，∴||＝||＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．则＝||||cos30°＝2×＝3，故选：C．6．（4分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2＝log23•log34＝＝2；a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34•…•log78＝＝3，…；若a1•a2•a3•…•a m＝2017（m∈N*），则m的值为（）A．22017+2B．22017C．22017﹣2D．22017﹣4【解答】解：∵a n＝log n+1（n+2），，，……，归纳推理得，∴m＝22017﹣2．故选：C．7．（4分）函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]是偶函数，则：f（x）＝x2﹣sin x在（0，2]可得f′（x）＝2x﹣cos x，令2x﹣cos x＝0，可得方程只有一个解，如图：可知f（x）＝x2﹣sin x在（0，2]由一个极值点，排除A，C，f（2）＝4﹣sin2＞3，排除D．故选：B．8．（4分）数列{a n}满足a1＝1，前n项和为S n，S n+1＝4a n+2，则a2017的值为（）A．3025×22016B．3025×22017C．6053×22015D．6053×22016【解答】解：∵S n+1＝4a n+2①，S n＝4a n﹣1+2②，①﹣②可得：a n+1＝4a n﹣4a n﹣1，∴a n+1﹣2a n＝2a n﹣4a n﹣1＝2（a n﹣2a n﹣1）令b n＝a n+1﹣2a n，∴b n＝2b n﹣1，b1＝a2﹣2a1，∵S2＝4a1+2＝6＝a1+a2，∴a2＝5，∴b1＝5﹣2＝3，∴{b n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴，∴，∴，令，∴，，∴{c n}是首项为，公差为的等差数列，∴，∴，∴．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．【解答】解：＝＝，又已知复数为纯虚数，∴，解得a＝．故答案为：．10．（4分）＝．【解答】解：，故答案为：．11．（4分）圆（θ为参数）被直线y＝0截得的弦长为2．【解答】解：圆（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x+1）2+（y﹣1）2＝2，圆心（﹣1，1）到直线y＝0的距离d＝1，∴弦长．故答案为：212．（4分）设，是单位向量，且，若与的夹角不超过90°，则λ的最大值是．【解答】解：∵与的夹角不超过90°，∴，∴，∵，是单位向量，且，∴1﹣2λ≥0，解得，即λ的最大值为．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立．则a4＝10，通项a n＝3n﹣2．【解答】解：∵a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立，∴，∴a2＝4，∴，即，∴a4＝10，∴该数列为1，4，7，10…为首项是1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）•3＝3n﹣2故答案为：10；3n﹣2．14．（4分）已知A（1，0），点B在曲线G：y＝ln（x+1）上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点，则曲线G关于曲线M的关联点的个数为1个．【解答】解：设B（m，n），m＞﹣1，AB线段中点，∵B在G上，C在M上，得消去n得，作出函数与函数g（x）＝ln（x+1）的图象，两函数在x＞﹣1上只有一个交点，即仅存在一个点（m，n）满足条件．故答案为：1．三、解答题：共大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（11分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM．（2）若F为线段ED上一点，且，求证：BF∥平面EMC．（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，∵EA∩AB＝A点，∴CM⊥平面AEM，∴CM⊥EM．（2）证明：如图，以M为原点，MB，MC为x，y轴，建立如图所示的坐标系M﹣xyz，∴M（0，0，0），，，，，∴，，设平面EMC的一个法向量．∴，∴，取，∵，∴，∴，∴平面EMC．（3）解：在棱DC上存在一点N，设，且，∴，∴，∴，，z＝2﹣2λ，若直线MN与平面EMC所成角为60°，∴，解得，∴存在点N符合条件，且N点是棱DC的中点．16．（11分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x＝1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1）可得函数f（x）定义域为（﹣1，+∞），＝，令g（x）＝x2+（1﹣a）x+（a﹣2），经验证g（1）＝0，因为a＜3，所以g（x）＝0的判别式△＝（1﹣a）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣6a+9＝（a﹣3）2＞0，由二次函数性质可得，1是函数g（x）的异号零点，所以1是f'（x）的异号零点，所以x＝1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）已知f（0）＝0，因为，又因为a＜3，所以a﹣2＜1，所以当a≤2时，在区间[0，1]上f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，所以有f（x）≤0恒成立；当2＜a＜3时，在区间[0，a﹣2]上f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，所以f（a﹣2）＞f（0）＝0，所以不等式不能恒成立；所以a≤2时，有f（x）≤0在区间[0，1]恒成立．17．（11分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky＝0（k≠0）．联立，解得＝，x3＝﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴＝0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）＝0，∴＝0，∴＝0，解得k＝，故直线方程为y＝．18．（11分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i＝1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m＝1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．…（2分）（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由a1+a2+…+a m＝1 得a1+am＝∉Z，与a i∈Z矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．…（7分）（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，假设当2≤n≤m时，若S n﹣1＝0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤，若S n﹣1≠0，则剩下的项必有0或与S n﹣1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与S n﹣1异号的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤．如果按上述排列后存在S n＝0成立，那么命题得证；否则S1，S2，…，S m这m个整数只能取值区间[﹣+1，]内的非0整数，因为区间[﹣+1，]内的非0整数至多m﹣1个，所以必存在S i＝S j（1≤i＜j≤m），那么从第i+1项到第j项之和为S i﹣S j＝0，命题得证．综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．…（13分）。

2016人大附中高二（下）期末数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．（4分）二项式（a﹣1）8的展开式中，最大的二项式系数为（）A．C B．﹣C C．C D．﹣C2．（4分）在检验吸烟与患肺炎是否有关的一次统计中，根据2×2列联表中数据计算得x2≈6.234，则下列说法正确的是（）A．有99%的把握认为吸烟与患肺炎有关B．有99%的把握认为吸烟与患肺炎无关C．有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关D．有95%的把握认为吸烟与患肺炎无关3．（4分）若离散型随机变量X的分布列函数为P（X=k）=，k=1，2，3，4，则P（X＞1）=（）A．B．C．D．4．（4分）用一个“+”号和一个“﹣”号将数字1，2，3连成算式，不同的运算结果共有（）A．12种B．6种 C．4种 D．3种5．（4分）根据统计数据，某产品的销售额y对广告费用x（单位：百万元）的线性回归方程为y=5.7x+18.6，则下列说法不正确的是（）A．若下一销售季再投入5百万元广告费，则估计销售额约可达47.1百万元B．已知统计数据中的平均销售额为41.4百万元，则平均广告费为4百万元C．广告费用x和销售额y之间的相关系数不能确定正负，但其绝对值趋于1D．5.7的含义是广告费用每增加1百万元，销售额大约增长 5.7百万元左右6．（4分）甲手中有扑克牌的大小王牌和四色A各一张，共6张牌，现让乙和丙各从中随机抽取一张，则在乙抽到大王牌的情况下，丙抽到小王牌的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）已知一批10000只白炽灯泡的光通量X～N（200，100），则这批灯泡中光通量X＞220个数大约为（）（参考数据：若X：N（μ，2），则X在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内的概率分别为68.3%，95.4%，99.7% ）A．230 B．460 C．4770 D．95408．（4分）一箱电子产品有6件，其中2件次品，4件正品，现不放回地进行抽检，每次抽检一件，直到检验出所有次品为止，那么抽检次数X的数学期望为（）A．B．C．3 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸的相应位置.）9．（5分）若高二期末考试的数学成绩X～N（90，25），则这次考试数学的平均分为，标准差为．10．（5分）甲、乙、丙、丁四人站一排照相，甲不与乙、丙相邻，不同的排法共有种．11．（5分）某志愿团由10名同学构成，其中3名学生会干部，现从中随机选取4名同学去支教．则选取的学生会干部人数不少于2的概率为．12．（5分）若（1﹣mx）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，且a5=﹣32，则a1+a2+a3+a4的值为．13．（5分）一个袋中装有8个乒乓球，其中6个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会．记X为停止摸球时的摸球次数．（1）若每次摸出乒乓球后不放回，则E（X）=；（2）若每次摸出乒乓球后放回，则D（X）=．14．（5分）甲、乙两支足球队比赛，甲获胜的概率为，平局的概率为，乙获胜的概率为，下一赛季这两支球队共有5场比赛，在下一赛季中：（1）甲获胜3场的概率为；（2）若胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，则甲的积分的数学期望为．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）箱子中有五张分别写着数字0，1，2，3，4的卡片，现从中随机抽取2张组成一个两位数，这个两位数的个位数字与十位数字之和为X．（1）可以组成多少个不同的两位数？（2）求X能被3整除的概率；（3）求X的分布列和数学期望．16．（12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组设定的最宽限值，即PM2.5日均值在25微克/立方米以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如图所示茎叶图（左侧十位为茎，右侧个位为叶）．（Ⅰ）从这15天的数据中任取3天的数据，记X表示期中空气质量达到一级的天数，求X的分布列；（Ⅱ）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按照360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级．17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发一件新产品成功的概率分别为和，本年度计划研发的新产品件数分别为2件和1件．设甲、乙两组的每次研发均相互独立．（1）求该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率；（2）已知研发一件新产品的成本为10百万元，成功研发一件新产品可获得50百万元的销售额，求该企业本年度在这3件新产品上获得的利润X的分布列和数学期望．II卷（共6道题，满分18分）一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）18．（6分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AC=CE=3，AB=4，则AD 的长为（）A．B．2 C．D．319．（6分）已知（1+x）（x+）n的展开式中没有常数项，则n的值可能是（）A．9 B．10 C．11 D．1220．（6分）已知x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，6，则满足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的数组（x1，x2，x3，x4，x6）的个数为（）A．60 B．75 C．90 D．120二、填空题（本题共2小题，每小题9分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）21．（9分）（1）若函数f（x）=lnx﹣ax有极值，则函数f（x）的单调递增区间是；（2）若函数g（x）=xlnx﹣ax2﹣x有极值，则实数a的取值范围是．22．（9分）某数学兴趣小组举行了一次趣味口答竞赛，共有5名同学参加．竞赛分两个环节：抢答环节和抽答环节，其中抢答环节共有4道题，抽答环节仅有1道题．（1）假设抢答环节每人抢答成功的概率均相等，则甲同学成功抢答2次的概率是；（2）已知抢答环节有3名同学成功抢答，抽答环节从装有5名同学名签的纸盒中随机抽取：第一次采取有放回地抽取，若第一次抽到的是抢答成功的同学，则从第二次开始采取无放回地抽取，整个抽答环节抽到未抢答成功的同学即停止．那么抽取的次数X的数学期望E（X）=．三、解答题（本题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．（14分）已知函数f（x）=．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，求实数b的取值范围；（3）过点P（﹣1，0）可作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．【解答】二项式（a﹣1）8的展开式中，最大的二项式系数为，故选：A．2．【解答】由x2≈6.234＞3.841，∴有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关，故答案选：C．3．【解答】离散型随机变量X的分布列函数为P（X=k）=，k=1，2，3，4，则P（X＞1）=P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）=+=．故选：D．4．【解答】∵1+2﹣3=0，1﹣2+3=2，1+3﹣2=2，1﹣3+2=0，2+1﹣3=0，2﹣1+3=4，2+3﹣1=4，2﹣3+1=0，3+1﹣2=2，3﹣1+2=0，3+2﹣1=4，3﹣2+1=2，∴不同的运算结果共有3种，故选：D．5．【解答】对于A，若下一销售季再投入5百万元广告费，则估计销售额约可达y=5.7×5+18.6=47.1百万元，正确；对于B，x=4，y=5.7×4+18.6=41.4，正确；对于C，广告费用x和销售额y之间的相关系数能确定正负，其绝对值趋于1，不正确；对于D，根据回归系数的定义，可知正确．故选：C．6．【解答】设乙抽到大王，丙抽到小王，则P（A）=，P（AB）==，∴在乙抽到大王牌的情况下，丙抽到小王牌的概率：P（B|A）===．故选：B．7．【解答】∵变量服从正态分布X～N（200，100），∴μ=200，σ=10，∴P（X＞220）=×（1﹣0.954）=0.023，∴这批灯泡中光通量X＞220个数大约为10000×0.023=230．故选：A．8．【解答】由题意知X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，∴抽检次数X的分布列为：X23456PEX=2×++4×+5×+6×=．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸的相应位置.）9．【解答】∵成绩X～N（90，25），∴这次考试数学的平均分为90，标准差为5，故答案为：90，5．10．【解答】由题意，甲在两头，则排列方法为2×A22=4种．故答案为：4．11．【解答】某志愿团由10名同学构成，其中3名学生会干部，现从中随机选取4名同学去支教，基本事件总数n=C=210，选取的学生会干部人数不少于2人包含的基本事件个数m=+=70，∴选取的学生会干部人数不少于2人的概率p===．故答案为：．12．【解答】在（1﹣mx）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，中，令x=0，可得a0=1，∵令x=1，可得a0+a1+a2 +…+a5=（1﹣m）5．∵a5=?（﹣m）5=﹣32，∴m=2，则1+a1+a2+a3+a4﹣32=（1﹣m）5=﹣1，∴a1+a2+a3+a4 =﹣2+32=30，故答案为：30．13．【解答】（1）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）=+=，∴X的分布列为：X123PEX=+2×+3×=．故答案为：．（2）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）=+=，∴X的分布列为：X123PEX=+2×+3×=，D（X）=（1﹣）2×+（2﹣）2×+（3﹣）2×=．故答案为：．14．【解答】（1）甲获胜的概率为，所以5场比赛中甲获胜3场的概率为??=；（2）因为甲获胜的概率为，平局的概率为，甲输的概率为，且胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，所以甲积分的数学期望为E=5××3+5××1+5××0=．故答案为：（1），（2）．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．【解答】（1）箱子中有五张分别写着数字0，1，2，3，4的卡片，现从中随机抽取2张组成一个两位数，可以组成不同的两位数的个数n=4×4=16．（2）X能被3整的情况有：①0+3=3，此时构成的两位数是30，②1+2=3，此时构成的两位数是12，21，③2+4=6，此时构成的两位数是24，42，∴X能被3整除的概率p==．（3）由题意得X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）=，P（X=5）==，P（X=6）=，P（X=7）=，∴X的分布列为：X1 2 34567 PEX=+3×+4×+5×+6×+7×=．16．【解答】（Ⅰ）依据条件，X服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3．X的可能值为0，1，2，3．其分布列为：P（x=k）=（k=0，1，2，3）．（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==；一年中空气质量达到一级的天数为Y，则E（Y）=360×=120（天）．所以一年中大约有120天的空气质量达到一级．17．【解答】（1）记E={甲组研发新产品成功}，F={乙组研发新产品成功}．由题设知P（E）=，P（）=，P（F）=，P（）=，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．记H={至少有一种新产品研发成功}，则=，∴P（）=P（）=P（）P（）P（）=×=，故该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率为：P（H）=1﹣P（）=1﹣=．（2）设企业可获利润为X （百万元），则X的可能取值为﹣30，30，90，150．∵P（X=﹣30）=P（）=×，P（X=30）=P（E）+P（）+P（）=++=，P（X=90）=P（）+P（E）+P（EE）=+=，P（X=150）=P（EEF）==，∴该企业本年度在这3件新产品上获得的利润X的分布列为：X﹣303090150P∴EX=﹣30×+30×+90×+150×=100（百万元）．II卷（共6道题，满分18分）一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）18．【解答】连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∵AC=CE=3，AB=4，∴4DA=3BE，即BE=DA，设AD=DE=t，则BE=t，根据割线定理得BD?BA=BE?BC，∴（AB﹣AD）?BA=DA?（DA+CE），∴（4﹣t）×4=t（t+3），∴2t2+9t﹣18=0，解得t=，或t=﹣6（舍），即AD=．故选：A．19．【解答】∵（1+x）（x+）n的展开式中没有常数项，∴（x+）n的展开式中没有常数项与含的项，（x+）n的展开式中的通项公式：T r+1=x n﹣r=x n﹣3r，（r=0，1，2，…，n）．经过验证：只有取n=10时，10﹣3r≠0，﹣1．因此n的值可能是10．故选：B．20．【解答】根据题意，∵x1+x2+x3+x4+x5+x6=2，x i∈{0，1，﹣1}，i=1，2，3，4，5，6；∴x i中有2个1和4个0，或3个1、1个﹣1和2个0，或4个1和2个﹣1共有=90个，∴满足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的数组（x1，x2，x3，x4，x6）的个数为90个．故选：C．二、填空题（本题共2小题，每小题9分，共18分.请把答案填在答题纸的相应位置.）21．【解答】（1）f（x）=lnx﹣ax的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣a=，若函数f（x）=lnx﹣ax有极值，则a＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，故答案为：（0，）；（2）解：f（x）=xlnx﹣ax2﹣x的定义域是（0，+∞），f′（x）=lnx﹣ax，若函数f（x）有极值，则f′（x）=lnx﹣ax有解，即y=lnx和y=ax有交点，①a＜0时，显然有解，②a＞0时，设y=lnx和y=ax相切的切点是（x0，lnx0），∴切线方程是：y=x，故lnx0=?x0，解得：x0=e，∴y=lnx和y=ax相切时，a=，若y=lnx和y=ax有交点，只需a＜，综上：a＜，故答案为：（﹣∞，）．22．【解答】（1）抢答环节所有可能的抢答情况共有54种，而甲成功抢答2次的情况有C=10种，∴甲同学成功抢答2次的概率为=．（2）X的所有可能取值为1，2，3，4，5，则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，∴抽取的次数X的数学期望E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2.2．故答案为：（1），（2）2.2．三、解答题（本题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．【解答】（1）f′（x）=（x﹣x2）e﹣x，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，f′（x）＜0，可得x＜0或x＞1，∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）由（1），f（0）=1，f（1）=，∵曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，∴1＜b＜；（3）设切点为（m，n），则f′（m）=（m﹣m2）e﹣m，∴切线方程为y﹣n=（m﹣m2）e﹣m（x﹣m），代入（﹣1，0），整理可得m3+m2+1=0，设g（m）=m3+m2+1，g′（m）=3m2+2m，由g′（m）＞0，可得m或m＞0，g′（m）＜0，可得﹣＜m＜0，∴函数g（m）的单调递减区间是（﹣，0），单调递增区间是（﹣∞，﹣），（0，+∞）；∵g（﹣）＞0，g（0）＞0，∴g（m）=0有唯一解，∴过点P（﹣1，0）可作1条直线与曲线y=f（x）相切．。

北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题11．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．12．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.三、单选题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．“a b c d ,,,成等差数列”是“a d b c +=+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．数列{}n a 的通项公式为||n a n c =-(*)n N Î,则“1c £”是 “{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知数列{}na 满足11a =，1n n a ra r +=+，(*n ÎN ，r R Î，0r ¹)，则“1r =”是“数列{}na 为等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．已知S n 是等差数列{}()*N na n Î的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命题的是（ ）A ．公差0d <B ．在所有S 0n <中，13S 最大C ．满足S 0n>的n 的个数有11个D ．67a a >18．设,ab R Î，则“a b >”是“22a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．设0,0a b >>，则（ ）A ．若2223a b a b +=+，则a b >B ．若2223a b a b +=+，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a b a b -=-，则a b<四、填空题20．比较下列各数的大小：可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．5．C【详解】试题分析：由题意得，(2,3)Ç=，故选C.A B【考点】集合的交集运算【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么（即元素的意义），是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．6．A【详解】在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A BÇ为图中阴影部分，即{}-<<，故选A.|32x x考点：集合的交集运算.【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =ì=í-Îî，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.12．1,2,3---【详解】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．13．C【分析】利用常数列、数列前n 项和的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】数列{}na 为常数列，则*N n "Î，1n a a =，121n n n S a a a na na =+++==L ，*N n "Î，n n S na =，则当2n ³时，11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--，即1(1)(1)n n n a n a --=-，有1n n a a -=，因此，*N n "Î，11n a a S ==，数列{}n a 为常数列，所以“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的充分必要条件.故选：C 14．A【详解】a ，b ，c ，d 成等差数列Þ a d b c +=+,而1533+=+ ,但1,3,3,5不成等差数列,。

人大附中2017-2018学年下学期高二年级第一次月考卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·承德期末]函数()f x x =从1到4的平均变化率为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．32．[2018·萧山一中]设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ） A ．2eB ．eC ．ln22D ．ln23．[2018·滁州期末]曲线()()1e x f x x =+在点()()00f ，处的切线方程为（ ） A ．1y x =+B ．21y x =+C ．112y x =+ D ．113y x =+ 4．[2018·武威十八中]已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x +'=，则()1f '=（ ） A ．e − B ．1 C ．−1 D ．e此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．[2018·新余期末]下列求导运算正确的是（ ）A ．2331x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()21log ln 2x x '=C ．()3og e 33l x x '=D ．()2cos 2sin x x x x '=−6．[2018·咸阳期末]函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．[2018·曲周一中]计算()22042x x dx −−=⎰（ ）A ．2π4−B ．π4−C ．ln 24−D ．ln 22−8．[2018·眉山期末]直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为（ ） A ．272B ．9C ．92D ．2749．[2018·曲靖一中]若函数()32f x x ax a =−+在()0,1内无极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0−∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]3,0,2⎡⎫−∞+∞⎪⎢⎣⎭10．[2018·南昌十中]设函数()22e 1x f x x +=，()2e e x xg x =，对1x ∀，()20,x ∈+∞，不等式()()12g x kf x ≤恒成立，则正数k 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．[2018·商丘九校]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x−>'成立，则不等式()20x f x >的解集是（ ）A ．()()2,02,−+∞B ．()()2,00,2−C ．()2,+∞D ．()(),22,−∞−+∞12．[2018·成都外国语]m 使得不等式()22f m n n −≤成立，求实数n 的取值范围为（ ）A [)0,⎤+∞⎥⎦B ]1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ]1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D [)1,⎤+∞⎥⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·枣强中学]设()2lg ,03,0a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰≤，若()11f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a =__________．14．[2018·承德期末]20x y −=的切线，则a 的取值范围为__________．15．[2018·天水一中]已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单润的年产量为__________万件．16．[2018·曲靖一中]已知()1sin cos f x x x =+，()()21f x f x ='，()()32f x f x ='，…，()()1n n f x f x −'=，…，（*n ∈N ，2n ≥）______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．[2018·巴市一中]求下列函数的导数． （1）32log y x x =+； （2）22(2)(31)y x x =−+；（3）2ln xy x =； （4）23(21)x y x =+．18．[2018·南康中学]已知曲线31433y x =+．（1）求曲线在点()2,4P 处的切线方程； （2）求过点()2,4P 的曲线的切线方程．19．[2018·天津期末]已知曲线21:2C y x =与22:12C y x =在第一象限内交点为P ．（1）求过点P 且与曲线2C 相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S ．20．[2018·钦州期末]已知函数()()223125f x x x x =−−+． （1）求曲线()y f x =在点1x =处的切线方程； （2）求函数()y f x =在区间[]0,3的最大值和最小值．21．[2018·海淀期末]设函数()32f x x ax bx c =+++满足()04f '=，()20f '−=． （1）求a ，b 的值及曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程． （2）若函数()f x 有三个不同的零点，求c 的取值范围．22．[2018·滨州期末]（1）当32a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若对任意的[)1,x ∈+∞，不等式()10f x +>恒成立，求实数a 的取值范围．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】1413=−，故选A ． 2．【答案】B【解析】()ln 1f x x '=+，则0ln 12x +=，0e x =．故选B ． 3．【答案】B 【解析】()()()1e 2e x x f x x x '⎡'⎤=+=+⎣⎦，()()0002e 2f ∴=+='，()()0001e 1f =+=，曲线()()1e x f x x =+在点()()00f ，处的切线方程为()120y x −=−，即21y x =+．故选B ． 4．【答案】C【解析】因为()()121f x f x''=+，所以()()1211f f ''=+，()11f '=−，选C ． 5．【答案】B【解析】AB C ，()33ln 3x x '=⋅，故错误；D ，()22cos 2cos sin x x x x x x '=−，故错误．故选B ． 6．【答案】D【解析】由当()0f x '<时，函数()f x 单调递减，当()0f x '>时，函数()f x 单调递增，则由导函数()y f x ='的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A 、C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，故排除B ，故选D ． 7．【答案】B【解析】[]0,2x ∈的面积，即半径为2的圆的14，B ．8．【答案】C【解析】由直线3y x =与曲线2y x =，解得00x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=⎩，所以直线3y x =与曲线2y x =的交点为()0,0O 和()3,3A ，因此，直线3y x =与曲线2y x =所围成的C ．9．【答案】D【解析】∵()32f x x ax a =−+，∴()232f x x a '=−，∵函数()32f x x ax a =−+在()0,1内无极值，∴()232f x x a '=−在()0,1内无实数根，∵01x <<，∴223232a x a a −<−<−，∴20a −≥或320a −≤，∴0a ≤或D ．10．【答案】C()g x 在()0,1单调递增，()1,+∞单调递减，所以()()max 1e g x g ==，所以()f x单调递减调递增，所以，所以()e 2e k ⋅≤，所以C ．11．【答案】A 【解析】()()()20(0)xf x f x g x x x−∴=>>''，()20g =，()g x 为偶函数，所以()g x 在(),0−∞上单调递减，()()2300x f x x g x >⇒>()()()()000202x x g x g g x g ><⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨>=<=−⎪⎪⎩⎩或220x x ⇒>−<<或，选A ． 12．【答案】D【解析】1x =时，()()()1101f f f ''=+−，则()01f =，则()1e f '=，则()e 1x f x x '=+−，令()0f x '=，解得0x =，当()0f x '>，解得0x >，当()0f x '<，解得0x <，所以当0x =时，取极小值，极小值为()01f =，()f x ∴的最小值为1，由()22f m n n −≤，则()2min 21n n f x −=≥，则2210n n −−≥，解得1n ≥或n [)1,⎤+∞⎥⎦，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由分段函数可得()1lg10f ==，当0x ≤时，，∵()11f f ⎡⎤=⎣⎦，∴()01f =，即31a =，解得1a =，故答案为1． 14．【答案】[]4,0−【解析】有解，所以有解，得222a −−−≤≤，得a 的取值范围为[]4,0−．15．【答案】9【解析】由31812343y x x =−+−得281y x '=−+，由2810x −+=得19x =−（舍去），29x =，当()0,9x ∈时，0y '>，函数31812343y x x =−+−为增函数，当()9x ∈+∞，时，0y '<，函数31812343y x x =−+−为减函数，所以当9x =时，函数有最大值为3198192342523−⨯+⨯−=（万元），∴使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件． 16．【答案】0【解析】()2cos sin f x x x =−，()3sin cos f x x x =−−，()4cos sin f x x x =−+，()5sin cos f x x x =+，…，()()4n n f x f x −=，所以函数()n f x 的周期是4，且，所以0． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1（2）3236902620y x x x '=−++； （3）2ln 22ln xxy x x'=⋅+；（4）24102(21)x xy x +'=+． 【解析】（1）因为32log y x x =+，所以2113ln 2y x x'=+；··········2分 （2）因为()()()2222231352y x x x x =−+=−−，所以3236902620y x x x '=−++；···5分 （3）因为2ln xy x =，所以2ln 22ln '=⋅+xxy x x；··········7分（4）因为23(21)x y x =+，所以3222642(21)3(21)222(21)(21)x x x x x xy x x +−+⨯−+'==++．····10分18．【答案】（1）440x y −−=；（2）20x y −+=或440x y −−=．【解析】（1）2y x '=，∴在点()2,4P ····2分∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x −=−，即440x y −−=．····4分 （2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫−+=− ⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅−+．点()2,4P 在切线上，2300244233x x ∴=−+，即3200340x x −+=， 322000440x x x ∴+−+=，即()()()2000014110x x x x +−+−=，解得01x =−或02x =， 故所求的切线方程为20x y −+=或440x y −−=．··········12分 19．【答案】略【解析】解：（1）22212y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y =⎧∴⎨=⎩，()2,2P ∴，22122x k x ='⎛⎫ ⎪⎝⎭==，∴所求切线方程为：220x y −−=；··········6分 （2）解法1：()322232200011142||2363x dx x x −=−=⎰⎰．··········12分 解法2：算y x =与212y x =围出的面积，再利用对称性可求解． 20．【答案】（1）1240x y +−=；（2）()max 5f x =，()min 15f x =−． 【解析】（1）将1x =代入函数解析式得8y =−，由()()223125f x x x x =−−+得()26612f x x x =−−'，()112f '=−，所以函数在1x =处的切线方程为()8121y x +=−−，即1240x y +−=；····6分 （2）由（1）得()()()26612621f x x x x x =−−=−+'， 由()0f x '=，得2x =，或1x =−．因为[]0,3x ∈，()05f =，()215f =−，()34f =− 所以，()max 5f x =，()min 15f x =−．··········12分21．【答案】（1）4y x c =+．（2）32027c <<． 【解析】（1）∵()232f x x ax b =++'，依题意()()0421240f b f a b ⎧==⎪⎨−=−+=''⎪⎩，∴4b =，4a =，··········3分()2384f x x x '=++，()3244f x x x x c =+++，∴()04k f ='=，()0f c =， ∴切点坐标为()0,c ，∴切线方程4y x c =+．··········5分（2）∵()()()232f x x x =++'且x ∈R ，令()0f x '=，∴12x =−，223x =−，··········7分∴()2f c −=，232327f c ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，··········10分 若()f x 有2个不同零点，则()20f c −=>，2320327f c ⎛⎫−=−+< ⎪⎝⎭， ∴32027c <<．··········12分 22．【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间是()1,3−，单调递增区间是(),1−∞−，()3,+∞；（2）实数a 的取值范围是1e ,2−⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）当32a =时，()23e x x f x −=，()()()2222e 3e 23e e x x x xx x x x f x '−−−−−==，····2分由()0f x '<，解得13x −<<，故函数()f x 在区间()1,3−上单调递减；由()0f x '>，解得1x <−或3x >，故函数()f x 在区间(),1−∞−，()3,+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间是()1,3−，单调递增区间是(),1−∞−，()3,+∞；····4分（2）不等式()10f x +>[)1,x ∈+∞，不等式()10f x +>恒成立， 可转化为不等式22e x a x >−在[)1,x ∈+∞上恒成立，··········5分 令()2e x g x x =−，()()2e x h x g x x ==−'，··········6分 所以()2e x h x '=−，当[)1,x ∈+∞时，()2e 2e 0x h x −'=−<≤， 所以()()2e x h x g x x ==−'在[)1,+∞上单调递减， 所以()2e 2e 0x h x x =−−<≤，即()0g x '<， 故()2e x g x x =−在[)1,+∞上单调递减，··········9分 则()()2e 11e x g x x g =−=−≤，故不等式()10f x +>恒成立，只需()max 21e a g x >=−，即所以实数a ··········12分。

人大附中2016-2017学年度第二学期期末高二年级数学（理科）练习一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分，请将正确答案填涂在答题纸上．）1.设i 是虚数单位，则311i=-（ ）． A.11i 22- B. 11i 22+C. 1i -D. 1i +2.在极坐标系中，点π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与点3π1,4⎛⎫⎪⎝⎭的距离为（ ）． A. 1B.C.D. 3.已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 A. 1 B. 2C. -1D. -24.圆1,{1x y θθ=-+=+（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ）A.2B. πC.D. 4π5.直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（ ）． A. 相交但不过圆心B. 相交且过圆心C. 相切D. 相离6.某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A 0.378B. 0.3C. 0.58D. 0.9587.若函数21()ln 2f x x x =-在其定义域一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）． A. (1,2)B. [1,2)C. [0,2)D. (0,2)8.几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知.（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ； （2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ； （3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ； （4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ； （5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ． 倒霉和李华在下落过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根树枝不同的撞击次序有（ ）种． A. 23B. 24C. 32D. 33二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分．将正确答案填写在答题卡要求的空格中．） 9.若5()x a -的展开式中2x 项的系数是10，则实数a 的值是__________．10.在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________．11.设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9p ξ≥=，则(2)p η≥的值为__________． 12.设1a >，1b >，若ln 2ln 3a a b b -=-，则a ，b 大小关系为__________．13.抛物线2:4C x y =与经过其焦点F直线l 相交于A ，B 两点，若5AF =，则||AB = __________，抛物线C 与直线l 围成的封闭图形的面积为__________． 14.对于有n 个数的序列01:A a ，2a ，，(*)n a n ∈N ，实施变换T 得新序列112:A a a +，23a a +，，1n n a a -+，记作10()A T A =；对1A 继续实施变换T 得新序列210()(())A T A T T A ==，记作220()A T A =；，110()n n A T A --=．最后得到的序列1n A -只有一个数，记作0()S A ． （1）若序列0A 为1，2，3，4，则序列2A 为__________． （2）若序列0A 为1，2，，n ，则序列0()S A =__________．三、解答题的的的15.已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数()f x 的值域为[0,9].过该函数图象上的动点(,())P t f t 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接OP .（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）记的面积为S ，求S 的最大值.16.某保险公司开设的某险种的基本保费为1万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下：设今年初次参保该险种的某人准备来年继续参保该险种，且该参保人一年内出险次数的概率分布列如下：（1）求此续保人来年的保费高于基本保费的概率．（2）若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率． （3）求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值．。

2016首师大附中高二（下）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣12．（5分）已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=23．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=04．（5分）已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2D．4cm26．（5分）（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．7．（5分）如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．③④二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）复数=．10．（5分）各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．11．（5分）已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于．13．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=．14．（5分）已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n+1=，其为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=；若存在m∈N*，当n＞m且a n为奇数时，a n中k为使a n+1恒为常数p，则p的值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．16．（13分）等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．17．（14分）在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．18．（13分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．20．（13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】∵z=（a2﹣1）+（a+1）i，又∵z是纯虚数∴得a=1故选B2．【解答】曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1．故选A．3．【解答】∵双曲线﹣=1，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，即3x±2y=0．故选：C．4．【解答】∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．5．【解答】设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a，则体积V=Sh=6×=，解得a=2，故左视图是长方形，长为，宽为2，面积为×2=故选A6．【解答】∵=2，∴==（﹣cosx）+（asinx）=0﹣（﹣1）+a=2，∴a=1，故选B．7．【解答】由f（x）=cos2（ωx+φ）=及图象知：函数的半周期在（，1）之间，即得，正整数ω=2或3；由图象经过点（1，0），所以知2ω+2ϕ=（2k+1）π（k∈Z），2ω=﹣2ϕ+（2k+1）π由图象知，即，得cos2ω＜0，又ω为正整数，所以ω=2，故选B8．【解答】∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故选D二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．【解答】==i•（1+i）=﹣1+i故答案为：﹣1+i10．【解答】若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．11．【解答】∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD为圆O的切线ABC为圆O的割线由切割线定理得：AD2=AB•AC=3×5=15∴AD=12．【解答】∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），∴（x+1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心为（﹣1，2），半径为5，∵直线l的方程为：3x+4y﹣10=0，∴圆心到直线l的距离d==1，∴直线l与圆C相交所得的弦长L=2×=4．故答案为：4．13．【解答】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又，可得，则，故答案为：3．14．【解答】由题设知，a1=11，a2=3×11+5=38，a3==19，a4=3×19+5=62，a5==31，a6=3×31+5=98，a7=49，a8=3×49+5=152，a9==19，∴{a n}从第3项开始是周期为6的周期数列，a2016=a6=98，若存在m∈N*，当n＞m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则a n=p，a n+1=3p+5，a n+2=，∴（3﹣2k）p=﹣5，∵数列{a n}的各项均为正整数，∴当k=2时，p=5，当k=3时，p=1．故答案为：98，1或5．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．【解答】（I）∵，∴，∴sin=∴cosB=1﹣2sin2=；（II）∵a=3，b=2，cosB=∴由余弦定理可得8=9+c2﹣2c∴c2﹣2c+1=0∴c=1．16．【解答】（I）由已知可得．解得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6∴a n=3+（n﹣1）3=3n∴b n=3n﹣1（2）证明：∵∴∴==∵n≥1∴0＜∴故．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．18．【解答】（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，故椭圆方程为．（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故k PQ=1．于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且，．由题意应有，又，故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．即．整理得．解得或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．当时，所求直线l存在，且直线l的方程为．19．【解答】（1）函数f（x）=lnx+（a＞0）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=﹣=，因为a＞0，由f′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f′（x）＜0得x∈（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（2）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足k=f′（x0）=≤（x0＞0），所以a≥﹣x02+x0对x0＞0恒成立．又当x0＞0时，﹣x02+x0=﹣（x0﹣1）2+≤，所以a的最小值为．（3）由=f（x）+，化简得b=lnx﹣x2+，（x∈（0，+∞））．令h（x）=lnx﹣x2+，则h′（x）=﹣x=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为h（1）=ln1﹣×12﹣b+=﹣b．故当﹣b＞0，即b＜0时，y=h（x）的图象与x轴恰有两个交点，方程=f（x）+有两个实根，当b=0时，y=h（x）的图象与x轴恰有一个交点，方程=f（x）+有一个实根，当b＞0时，y=h（x）的图象与x轴无交点，方程=f（x）+无实根．20．【解答】（I）解：f（0）==0，f（1）==1．（II）解：k n=，n=1，2， (5)因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5．（III）证明：由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）．事实上，当x∈（x n，x n）时，﹣1f（x）=（x﹣x n﹣1）+f（x n﹣1）=f（x n﹣1）+f（x n）＜+=x．下面证明f（x n）＜x n．对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+…+a n）=[n+（5﹣n）]（a1+…+a n）=n（a1+…+a n）+（5﹣n）（a1+…+a n）≤n（a1+…+a n）+（5﹣n）na n=n[a1+…+a n+（5﹣n）a n]+…+a5）=nT．＜n（a1+…+a n+a n+1所以f（x n）=＜=x n．。

2015-2016学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）已知集合A＝{0，1}，B＝{x∈R|0＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．[0，1]D．（0，1）2．（5分）已知命题p：∃x≥0，2x＝3，则（）A．¬p：∀x＜0，2x≠3B．¬p：∀x≥0，2x≠3C．¬p：∃x≥0，2x≠3D．¬p：∃x＜0，2x≠33．（5分）如果x＜y＜0，那么（）A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x4．（5分）设x∈R，则“x＞0“是“x+≥2“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f（x）＝2|x|的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．（5分）若f（x）＝e x，则＝（）A．e B．﹣e C．2e D．﹣2e8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调，f（2）＞0＞f（1），则函数f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题9．（5分）函数f（x）＝的定义域为．10．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）＝．11．（5分）已知函数f（x）＝的值为．12．（5分）如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f′（4）＝13．（5分）函数f（x）＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为．14．（5分）设函数f（x）＝（1）如果f（1）＝3，那么实数a＝；（2）如果函数y＝f（x）﹣2有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是．三、解答题.15．（12分）已知命题p：方程x2﹣mx+1＝0有实数解，命题q：指数函数f（x）＝（1﹣m）x是增函数，若p或q为真命题，求实数m的取值范围．16．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）＝（）x．（1）求f（﹣1）的值；（2）记函数f（x）的值域A，不等式（x﹣a）（x﹣a﹣2）≤0的解集为B，若A⊆B，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+1．（1）已知函数f（x）在x＝1时有极小值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）若f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，求a的取值范围．18．（14分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）＝x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）＝51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？19．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1），若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求a的取值范围．20．（14分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2015-2016学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知集合A＝{0，1}，B＝{x∈R|0＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．[0，1]D．（0，1）【解答】解：∵A＝{0，1}，B＝{x∈R|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}．故选：B．2．（5分）已知命题p：∃x≥0，2x＝3，则（）A．¬p：∀x＜0，2x≠3B．¬p：∀x≥0，2x≠3C．¬p：∃x≥0，2x≠3D．¬p：∃x＜0，2x≠3【解答】解：∵存在性命题”的否定一定是“全称命题∴命题p：∃x≥0，2x＝3的否定为：∀x≥0，2x≠3故选：B．3．（5分）如果x＜y＜0，那么（）A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：不等式可化为：又∵函数的底数0＜＜1故函数为减函数∴x＞y＞1故选：D．4．（5分）设x∈R，则“x＞0“是“x+≥2“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵设x∈R，“”∴，∴，∴x＞0，∴“”⇒“x＞0”又当x＞0时，成立．则“x＞0“是““的充分必要条件；故选：C．5．（5分）函数f（x）＝2|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝2x为增函数，当x＜0时，f（x）＝2﹣x为减函数，故选：C．6．（5分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y＝sin（2x+）＝sin2（x+），∴将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin（2x+）的图象，故选：B．7．（5分）若f（x）＝e x，则＝（）A．e B．﹣e C．2e D．﹣2e【解答】解：∵f（x）＝e x，∴f′（x）＝e x，则∴＝f′（1）＝e，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调，f（2）＞0＞f（1），则函数f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可知f（0）＝0，在区间（0，+∞）上单调，f（2）＞0＞f（1），可知：x＞0时，函数有一个零点，对称区间上也有一个零点，共有3个零点．故选：D．二、填空题9．（5分）函数f（x）＝的定义域为（﹣2，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴，解得﹣2＜x＜1，∴f（x）的定义域为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．10．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）＝x﹣2．【解答】解：设幂函数为y＝xα，因为图象过点，则，所以，α＝﹣2．所以f（x）＝x﹣2．故答案为x﹣2．11．（5分）已知函数f（x）＝的值为．【解答】解：∵＞0∴f（）＝log3＝﹣2∵﹣2＜0∴f（﹣2）＝2﹣2＝故答案为．12．（5分）如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f′（4）＝【解答】解：由图象可得直线l经过点（0，3）和切点（4，5），则直线l的斜率为k＝＝，由导数的几何意义，可得f′（4）＝k＝．故答案为：．13．（5分）函数f（x）＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为[，+∞）．【解答】解：若函数y＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′＝3x2+2x+m≥0恒成立，即△＝4﹣12m≤0，∴m≥．故m的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．14．（5分）设函数f（x）＝（1）如果f（1）＝3，那么实数a＝﹣2或4；（2）如果函数y＝f（x）﹣2有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是（﹣1，3]．【解答】解：（1）如果f（1）＝3，则f（1）＝|1﹣a|＝3，解得a＝﹣2或4，（2）当x＞1由f（x）﹣2＝0得f（x）＝2，即log3x＝2，解得x＝9，若函数y＝f（x）﹣2有且仅有两个零点，则等价为当x≤1时，|x﹣a|＝2只有一个交点，由|x﹣a|＝2，解得x＝a+2或x＝a﹣2，若当x≤1时，|x﹣a|＝2只有一个根，则满足a+2＞1且a﹣2≤1，即a＞﹣1且a≤3，即﹣1＜a≤3．故答案为：﹣2或4；（﹣1，3]．三、解答题.15．（12分）已知命题p：方程x2﹣mx+1＝0有实数解，命题q：指数函数f（x）＝（1﹣m）x是增函数，若p或q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若方程x2﹣mx+1＝0有实数解，则△＝m2﹣4≥0，解得：m≥2或m≤﹣2，∴p为真时，m≥2或m≤﹣2，若指数函数f（x）＝（1﹣m）x是增函数，则1﹣m＞1，解得：m＜0，∴q为真时，m＜0，若p或q为真命题，则p真或q真，故m的范围是（﹣∞，0）∪[2，+∞）．16．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）＝（）x．（1）求f（﹣1）的值；（2）记函数f（x）的值域A，不等式（x﹣a）（x﹣a﹣2）≤0的解集为B，若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）＝（）x．∴f（﹣1）＝f（1）＝．（2）∵f（x）在[0，+∞）上是减函数，且（）0＝1，（）x＞0，∴f（x）在[0，+∞）上的值域为（0，1]，∵f（x）是偶函数，∴f（x）的值域为（0，1]，即A＝（0，1]．解不等式（x﹣a）（x﹣a﹣2）≤0得a≤x≤a+2，即B＝[a，a+2]．∵A⊆B，∴，解得﹣1≤a≤0．17．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+1．（1）已知函数f（x）在x＝1时有极小值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）若f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝x2﹣2ax，若函数f（x）在x＝1时有极小值，则f′（1）＝1﹣2a＝0，解得：a＝；（2）f′（x）＝x2﹣2ax，当a＝0时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得：0＜x＜2a；当a＜0时，由f'（x）＜0得：2a＜x＜0；综上所述，当a＝0时，无递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，2a）；当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（2a，0）．（3）因为f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，即x3﹣ax2≥0在区间[3，+∞）上恒成立，所以a≤x在区间[3，+∞）上恒成立，∵x≥3，∴x≥1，∴a≤1．18．（14分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）＝x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）＝51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴＝；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴＝．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时，＝，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，＝1200﹣200＝1000，当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．19．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1），若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求a的取值范围．【解答】解：由于函数f（x）＝x2﹣2ax+5的图象的对称轴为x＝a，函数f（x）＝x2﹣2ax+5在区间（﹣∞，2]上单调递减，∴a≥2．故在区间∈[1，a+1]上，1离对称轴x＝a最远，故要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，只要f（1）﹣f（a）≤4 即可，即（a﹣1）2≤4，求得﹣1≤a≤3．再结合a≥2，可得2≤a≤3，故a的取值范围为：[2，3]．20．（14分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min＝g（1）＝﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）＝f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1＝0，显然t＝1是方程t2+lnt﹣1＝0的解，设φ（t）＝t2+lnt﹣1，则φ′（t）＝2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）＝0，∴方程t2+lnt﹣1＝0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．。

中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学说明：本试卷共六道大题，26道小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 已知数列的通项公式是，则是该数列的（）A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项2. 若函数，则（ ）A. B. C. D. 3. 等差数列中，若，，则其公差等于（ ）A. 2B. 3C. 6D. 184. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）A. 是区间上的增函数B. 是区间上的减函数C. 1是的极大值点D. 4是的极小值点5. 若是等差数列的前项和，，则（）A. B. C. D. 6. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.D. {}n a 21n a n =+1222()f x x =0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆1234{}n a 1233a a a ++=45621a a a ++=()y f x =()f x '()f x []3,1-()f x []1,2()f x ()f x n S {}n a n ()*88,N n S S n n >≠∈890,0a a ≥<890,0a a ><890,0=<a a 890,0a a >=()3213f x x x ax =-+a (],1-∞(),1-∞()1,+∞[)1,+∞7. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）A. B. C. 4D. 8. 已知在处可导，在附近x 的函数值，可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：．对于函数的近似代替值（ ）A. 大于m B. 小于mC. 等于mD. 与m 的大小关系无法确定9. 设为无穷等比数列前n 项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设函数定义域为D ，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11. 函数，则_____.12. 用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式______．13. 已知函数，若在区间上是增函数，则实数a 的取值范围是 ________．14. 小杰想测量一个卷纸展开后的总长度，卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱，测得小圆柱底面的直径为5厘米，大圆柱底而的直径为11厘米．由于单层纸的厚度不易测量，小杰利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米．试估算这个卷纸的总长度（单位：米）为______．（结果精确到个位，取）15. 与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线．关于曲线的法线有下列四种说法：①存在一类曲线，其法线恒过定点；的.{}n a 124,,a a a 2a =10-6-4-()f x 0x x =0x ()f x ()()()()000f x f x f x x x '≈+-()f x =()4.001m f =n S {}n a {}n a {}n S ()f x ()f x c D ∈,a b D ∈()()()f a f b f c a b-'=-()f x ΓΓ2()f x x =3()f x x =()xf x e =()ln f x x=()sin 2f x x =()f x '=*n ∀∈N ()()()()1221321nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-n k =1n k =+21()2ln 2f x x ax x =+-()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π 3.14=②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为；③存在两条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线；④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数均为1．其中所有说法正确的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16. 已知函数，在处取得极值．（1）求在区间上的平均变化率；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求曲线过点的切线方程．17. 设等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．18. 已知函数，其中．（1）当时，求的极值；（2）讨论当时函数的单调性；（3）若函数有两个不同的零点、，求实数a 的取值范围.第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19. 已知函数满足：对任意，由递推关系得到的数列是单调递增的，则该函数的图象可以是（ ）A. B.4y x =34e x y =ln y x =sin y x =()2f x x ax =-()f x 0x =()f x []2023,2024()y f x =()()22f ,()y f x =()2,0{}n a n n S 53a =535S ={}n a {}n a n n T 10T ()()22ln f x ax a x x =-++R a ∈1a =-()f x 0a >()y f x =2()()g x f x ax =-1x 2x ()y f x =()10,1a ∈()1n n a f a +={}n aC. D.20. 设数列的前n 项和，若，则（ ）A. 数列满足B. 数列为递增数列C.的最小值为D. ，，不成等差数列21. 已知正项数列满足为前项和，则“是等差数列”是”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件22. 已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论：①若，则具有性质；②若，则具有性质；③若具有性质，则；④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为．则所有正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23. 写出一个满足的函数______．24. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若，，均不相等，且，则___.25. 若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列曲的.{}n a n S 23n S n n =++{}n a ()1122n n n a a a n -+=+≥{}n a nn S a n+17242S S -64S S -86S S -{}n a 213,n a a S ={}n a n {}n a {}n a 11a =:s m ∀*n ∈N m n m n a a a +>+:t m ∀*n ∈N 2m n ≤<11m n m n a a a a -++>+32n a n =-{}n a s 2n a n ={}n a t {}n a s n a n ≥{}n a s t ()2,+∞()221f x x '=+()f x =()()()()()1230f x a x x x x x x a =--->()y f x =()(),i i x f x ()1,2,3i k i =1x 2x 3x 22k =-1311k k +=()y f x =()y f x =线中，所有存在“自公切线”的序号为______．①；②；③；④．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26. 已知无穷数列满足：①；②．设为所能取到的最大值，并记数列．（1）若数列为等差数列且，直接写出其公差的值；（2）若，求值；（3）若，，求数列的前100项和．的()y f x =22y x x =-3sin 4cos y x x =+13y x x=+y ={}n a ()*1,2,i a i ∈=⋅⋅⋅N ()11,2,,1,2,,3i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+≥*i a ()1,2,i a i =⋅⋅⋅{}*n a {}n a 11a =d 121a a ==*4a 11a =22a ={}*n a中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】A 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】B 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】D 【10题答案】【答案】B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】2cos 2x 42k【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②④三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【16题答案】【答案】（1）4047 （2） （3）或【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）的极大值为，无极小值. （2）答案略（3）．第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【19题答案】【答案】C 【20题答案】【答案】C 【21题答案】【答案】C3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2544y x =-0y =816y x =-132n a n =-52()f x 3ln24--12,2e⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）【23题答案】【答案】（答案不唯一）【24题答案】【答案】##【25题答案】【答案】①②④三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【26题答案】【答案】（1）或 （2） （3）()ln 21x +120.51237500。

师大附中2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题纸上． 1．设i 是虚数单位，则复数32i i-=（ ）．A ．i -B ．3i -C ．iD ．3i【答案】C 【解析】2322i 21i i iiiii----=--===．故选C ．2．在622x⎛-⎝的展开式中，含7x 的项的系数是（ ）． A ．60B ．160C ．180D ．240【答案】D【解析】622x⎛-⎝展开式通项5122662166C (2)C (1)2kk k kk k k k T x x ---+⎛=-=-⋅ ⎝，令51272k -=，解得2k =， 系数为2626(1)2C 240k--⋅=．故选D ．3．已知曲线24xy =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）．A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】A 【解析】∵214yx=，12y x'=，一条切线的斜率12k =，∴1122x =，解得1x =．故选A ．4．将一枚均匀的硬币投掷4次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为（ ）． A ．116B ．14C ．12D ．516【答案】D【解析】满足题意的事件有①正面4次②正面3次，反面1次，所以概率43341115C 22216P ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．5．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，(02)P ξ<<=（ ）．A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】C 【解析】∵(4)0.8P ξ<=，∴(4)1(4)10.80.2P P ξξ=-<=-=≥，由随机变量ξ服从正态分布2(2,)N a 知， 正态曲线关于2x =对称，∴(0)0.2P ξ=≤，11(02)(04)(10.20.2)0.322P P ξξ<<=<<=⨯--=．故选C ．6．在直角坐标系xO y 中，曲线1C 的参数方程为c o s ,1s in x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xO y取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(co s sin )10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，圆心1(0,1)C 到直线2C 的距离0d ==，∴两曲线相交，有2个交点．故选C ．7．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有（ ）． A ．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种【答案】B【解析】若大一的姐妹坐甲车，则另外两个人需要来自不同的年级，共211322C C C 12=种选择，若大一的姐妹坐乙车，则坐甲车的两名同年级同学可以有三种选择， 甲车上另外两个人分别来自不同年级，有1122C C 4=，共3412⨯=种选择，综上共121224+=种选择．故选B ．8．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[1,2]x ∈时，()l n 1f x x x =-+，若函数()()g x f x m x=+有7个零点，则实数m 的取值范围为（ ）．A ．1ln 21ln 2ln 21ln 21,,8668----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln 21ln 21,68--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1ln 21ln 2,86--⎛⎫⎪⎝⎭D ．1ln 2ln 21,86--⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】∵函数(2)()f x f x -=可得图象关于直线1x =对称，且函数为偶函数则其周期2T =，又∵11()1x f x xx-=-=，当[1,2]x ∈时，有()0f x '≤，则函数在[1,2]为减函数，其函数图象如图所示，当ln 216O A k -=，ln 218O Bk -=，当0x<时，ln 21ln 21,68m --⎛⎫∈⎪⎝⎭符合要求，由函数的对称性，当0x >时，1ln 21ln 2,86m --⎛⎫∈⎪⎝⎭符合要求，综上1ln 21ln 2ln 21ln 21,,8668m ----⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选A ．二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题纸上．9．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴且与直角坐标系xO y 取相同的长度单位建立极坐标系．若圆C的极坐标方程为in ρθ=，则其直角坐标方程为__________．【答案】22(5x y +-=【解析】极坐标方程in ρθ=，两边同乘以ρ，∴2s in ρθ=，∴22x y +=，∴22(5x y +-=．10． 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为__________．（结果用数值表示）． 【答案】120【解析】①1男4女，1436C C 45=种；②2男3女，2336C C 60=种； ③3男2女，3236C C 15=种；∴一共有456015120++=种．11．由曲线y =2yx =-及y 轴所围成的图形的面积为__________．【答案】1632x =-，解出交点横坐标为4，所求面积2230421(2)d 2032Sx x x x x=-=-+⎰，163=．12．如图，E F G H 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形E F G H 内”，B 表示事件“豆子落在扇形O H E （阴影部分）内”，则 （1）()P A =__________；（2）(|)P BA =__________．【答案】（1）2π（2）14【解析】圆面积221ππS r =， 正方形面积222S ⎛== ⎝，∴2()πP A =，∵(|)P B A 表示事件“已知豆子落在正方形E F G H 中，则豆子落在扇形O H E ”的概率， ∴1(|)4P B A =．13．已知函数2ln ()()()x x b f x b x+-=∈R ，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x x f x '+⋅>，则实数b 的取值范围是__________． 【答案】9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】∵2ln ()()(0)x x b f x x x+-=>，∴2212()ln ()()x x b x x b f x x+----'=，∴12()()()x x b f x xf x x+-'+=，∵存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x x f x '+>，∴12()0x x b +->，∴12bx x <+，设1()2g x x x=+，∴m ax()bg x <，2221()2x g x x-'=，令()0g x '=，解得2x =，令()0g x '>22x ≤，函数单调递增，令()0g x '<，则122x <≤，函数单调递减，∴当2x =时，()g x 取最大值，m ax 9()(2)4g x g ==，∴94b <．14．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点00(,)P x y 处与曲线C 相切； （2）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是__________．（写出所有正确命题的编号） ①直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:Cy x=；②直线:πl y x =-+在点(1,0)P 处“切过”曲线:l n C y x=； ③直线:πl y x =-+在点(π,0)P 处“切过”曲线:sin Cy x=；④直线:1l yx =+在点(0,1)P 处“切过”曲线:exC y =．【答案】①③ 【解析】①∵3y x=，23y x'=，∴0x y ='=，∴曲线3:C y x=在点(0,0)P 处切线为0y =，当0x>时，0y>， 当0x <时，0y <，即曲线3:Cy x=在点P 附近位于直线l 的两侧，①正确；②设()(1)ln ln 1g x x x x x =-=--，11()1x g x xx-'=-=，当01x <<时，1()0x g x x-'=<，()g x 在(0,1)是减函数，当1x>时，1()0x g x x-'=>，()g x 在(1,)+∞是增函数， ∴()(1)1ln 110g x g =--=≥，即1ln x x -≥在(0,)+∞上恒成立，∴曲线ln yx=总在直线1y x =-下方，不合要求，②不正确；③∵sin y x=，c o s y x'=，∴πco s π1x y ='==-， ∴曲线sin y x=在点(π,0)P 处切线为:πl yx =-+，设()πsin g x x x=-+-，()1c o s 0g x x '=--≤，∴()g x 是减函数， 又∵(π)ππsin π0g =-+-=，∴当πx <时，()0g x >，即πsin x x-+>，曲线:sin C y x =在切线:πl yx =-+的下方， 当πx >，()0g x <，即πsin x x-+<，曲线sin yx=在切线πyx =-+的上方，③正确； ④设()e (1)e 1xxg x x x =-+=--，()e 1xg x '=-，当0x=时，()0g x '=，当0x <时，()e 10xg x '=-<，函数()g x 在区间(,0)-∞上是减函数， 当0x>时，()e 10xg x '=->，函数()g x 在区间(0,)+∞上是增函数， ∴0()(0)e 010g x g =--=≥，即1ln x x -≥在(0,)+∞上是恒成立， ∴exy=总在直线1y x =+上方，不合要求，④不正确．综上，正确命题有①③．三、解答题：本大题共6道题，共80分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中： （1）没有人申请A 片区房源的概率． （2）每个片区的房源都有人申请的概率． 【答案】（1）1681．（2）49．【解析】（1）所有可能的申请方式有43种，而“没有人申请A 片区房源”的申请方式有42种． 记“没有人申请A 片区房源”为事件A ，则44216()381P A ==．（2）所有可能的申请方式有43种，而“每个片区房源都有人申请”的申请方式有2343C A ⋅种，记“每个片区的房源都有人申请”为事件B ， 则23434C C 4()39P B ==．16．（13分）在篮球比赛中，如果某位球员的得分，篮板，助攻，抢断，盖帽中有两个值达到10或10以上，就称该球员拿到了两双．下表是某球员在最近五场比赛中的数据统计：（1）从上述比赛中任选1（2）从上述比赛中任选3场，设该球员拿到“两双”的次数为X ，求X 的分布列及数学期望． （3）假设各场比赛互相独立，将该球员在上述比赛中获得“两双”的频率作为概率，设其在接下来的三场比赛中获得“两双”的次数为Y ，试比赛()D X 与()D Y的大小关系（只需写出结论）． 【答案】（1）25．（2）X 的分布列为期望6()5X=．（3）()()D X D Y =．【解析】（1）由题意，第1，2场次符合“两双”要求， 共有5场比赛，2场符合要求，所求概率25P =．（2）X 的取值有0，1，2，3335C 1(0)C 10P X ===，213235C C 233(1)C 105P X ⨯====， 123235C C 313(2)C 1010P X ⨯====，X的分布列为期望1336()012105105D X =⨯+⨯+⨯=．（3）0Y=，1，2，3，3332327(0)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2132354(1)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2232336(2)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(3)C 5125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，27543681506()01231251251251251255D X =⨯+⨯+⨯+⨯==，∴()()D Y D X =．17．（14分）公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在A 、B 、C 三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用，已知考生在每个测试点的测试结果互不影响，若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点A 、B 、C 测试合格的概率分别为23，23，12，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是23．（1）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大?请说明理由；（2）假设小李选择测试点A 、B 进行测试，小王选择测试点A 、C 进行测试，记X 为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量X 的分布列及数学期望E X ． 【答案】（1）B ，D ． （2）X 的分布列为期望7()3E X=．【解析】（1）设考生小李在B ，C ，D 各测试点测试合格记为事件B C D ， 且各事件相互独立， 由题意2()3P B =，1()3P C =，1()2P D =．若选择在B 、C 测试，参加面试的概率为1212()()()339P P B C P B P C ===⨯=， 若选择在B 、D 测试，参加面试的概率为2211()()()323P P B D P B P D ===⨯=， 若选择在C 、D 测试，参加面试的概率为3111()()()326P P C D P C P D ===⨯=．∵213P P P >>，∴小李选择在B 、D 测试点， 测试参与面试的概率可能性最大． （2）记小李在测试点B 、C 测试点测试合格记为事件1x ，2x ， 记小王在B ，D 测试点测试合格记为事件1Y ，2Y ， 则1122()()()3P X P Y P Y ===，21()3P X =，且X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，∴212121212(0)()33381P X P X X Y Y ⎛⎫===⨯⨯=⎪⎝⎭，∴121211212121212(1)()P XP X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y ===++23421213333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，121212121212121212121212(2)()P X P X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y ==+++++3321121033333327⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1212121212121212(3)()P X P X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y ==+++23421228333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21212128(4)()3381P X P X X Y Y ⎛⎫===⨯=⎪⎝⎭．18．（13分）已知函数32()3f x x x=-．（1）求()f x 的单调区间．（2）求()f x 的在[1,]m -上的值域．【答案】见解析． 【解析】∵(1)4f -=-，(2)4f =-，m in ()4(1)(2)f x f f =-=-=，又∵(0)0f =，32()3f m mm=-，当23m <≤时，32()30f m m m=-<，m ax ()(0)0f x f ==，()[4,0]f x ∈-，当3m>时，32()30f m mm=->，22m a x ()()3f x f m m m==-，32()[4,3]f x mm ∈--，综上，当(1,0]m ∈-，32()[4,3]f x mm ∈--，(0,1]m ∈，()[4,0]f x ∈-，(1,2]m ∈，32()[3,0]f x mm ∈-，(2,3]m ∈，()[4,0]f x ∈-，(3,)m ∈+∞，32()[4,3]f x mm ∈--．19．（13分）已知函数2()f x a x b x=+和()ln g x x=．（1）若1a b ==，求证()f x 的图像永远在()g x 图像的上方．（2）若()f x 和()g x 的图像有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析．（2）31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）若1a b ==，有2()f x x x=+，令2()()()ln h x f x g x xx x=-=+-，221(21)(1)()21(0)x x x x h x x x x x+--+'=+==>，当12x >时，()h x '>，()h x 单调递增，当102x <<时，()h x '<，()h x 单调递减，可得()h x 在12x =处取得极小值，且为最小值，且1111ln 02422h ⎛⎫=+->⎪⎝⎭，即有()h x >恒成立，则()f x 的图象在()g x 图象上方．（2）设P 的坐标为(,)m n ，2()f x a xb x=+，()2f x a x b'=+，()ln g x x=，1()g x x'=，∵12a mb m+=，且2ln na mb m m=+=，消去b ，可得2212ln a m a m m+-=，可得21ln (0)m am m-=>， 令21ln ()(0)m u m m m-=>，332ln ()mu m m-+'=，当32e m >时，()u m '>，()u m 递增，当32e m <<时，()u m '<，()u m 递减．可得()u m 在32e m=处取得极小值，且为最小值，32333112e e2eu -⎛⎫==-⎪⎝⎭，∴212ea -≥．20．（14分）已知函数()e ln ()xf x x m =-+．（1）若()y f x =在0x=处的切线与直线21x y-=平行，求m 的值．（2）若()0f x >恒成立，求证：em <．【答案】（1）2m =．（2）证明见解析．【解析】（1）∵()eln ()xf x x m =-+，1()e xf x m x'=-+，0111(0)e 12f mm'=-=-=，∴2m =．（2）∵()eln ()xf x x m =-+，1()e xf x m x'=-+，当0()0f x '=时，01ex m x =+，即01ex m x =-，当0()0f x '<时，0mx x -<<，()f x 在0(,)m x -单调递减，0()0f x '>时，0x x >，()f x 在0(,)x +∞单调递增，∴000()()eln ()e 0x x f x f x x m x ==-+=+极小值>，【注意有文字】令()exg x x=+，0()x m ->，()e10xg x '=+>，∴()g x 在(,)m -+∞单调递增，1()()0e mf xg m m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极小值>>，【注意有文字】em <．。

2016人大附中高二（下）期末数学（文科）一、选择题1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x∈R|0＜x＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．[0，1]D．（0，1）2．（5分）已知命题p：∃x≥0，2x=3，则（）A．¬p：∀x＜0，2x≠3 B．¬p：∀x≥0，2x≠3 C．¬p：∃x≥0，2x≠3 D．¬p：∃x＜0，2x≠3 3．（5分）如果log x＜log y＜0，那么（）A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x4．（5分）设x∈R，则“x＞0“是“x+≥2“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f（x）=2|x|的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．（5分）若f（x）=e x，则=（）A．e B．﹣e C．2e D．﹣2e8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调，f（2）＞0＞f（1），则函数f（x）的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题9．（5分）函数f（x）=的定义域为．10．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）=．11．（5分）已知函数f（x）=的值为．12．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=13．（5分）函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为．14．（5分）设函数f（x）=（1）如果f（1）=3，那么实数a=；（2）如果函数y=f（x）﹣2有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是．三、解答题.15．（12分）已知命题p：方程x2﹣mx+1=0有实数解，命题q：指数函数f（x）=（1﹣m）x是增函数，若p或q为真命题，求实数m的取值范围．16．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=（）x．（1）求f（﹣1）的值；（2）记函数f（x）的值域A，不等式（x﹣a）（x﹣a﹣2）≤0的解集为B，若A⊆B，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1．（1）已知函数f（x）在x=1时有极小值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）若f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，求a的取值范围．18．（14分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？19．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求a的取值范围．20．（14分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】∵A={0，1}，B={x∈R|0＜x＜2}，∴A∩B={1}．故选：B．2．【解答】∵存在性命题”的否定一定是“全称命题∴命题p：∃x≥0，2x=3的否定为：∀x≥0，2x≠3故选B3．【解答】不等式可化为：又∵函数的底数0＜＜1故函数为减函数∴x＞y＞1故选D4．【解答】∵设x∈R，“”∴，∴，∴x＞0，∴“”⇒“x＞0”又当x＞0时，成立．则“x＞0“是““的充分必要条件；故选C．5．【解答】当x≥0时，f（x）=2x为增函数，当x＜0时，f（x）=2﹣x为减函数，故选：C．6．【解答】由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B7．【解答】∵f（x）=e x，∴f′（x）=e x，则∴=f′（1）=e，故选：A．8．【解答】函数f（x）是定义在R上的奇函数，可知f（0）=0，在区间（0，+∞）上单调，f（2）＞0＞f（1），可知：x＞0时，函数有一个零点，对称区间上也有一个零点，共有3个零点．故选：D．二、填空题9．【解答】∵函数f（x）=，∴，解得﹣2＜x＜1，∴f（x）的定义域为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．10．【解答】设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，所以，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．故答案为x﹣2．11．【解答】∵＞0∴f（）=log3=﹣2∵﹣2＜0∴f（﹣2）=2﹣2=故答案为．12．【解答】由图象可得直线l经过点（0，3）和切点（4，5），则直线l的斜率为k==，由导数的几何意义，可得f′（4）=k=．故答案为：．13．【解答】若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故m的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．14．【解答】（1）如果f（1）=3，则f（1）=|1﹣a|=3，解得a=﹣2或4，（2）当x＞1由f（x）﹣2=0得f（x）=2，即log3x=2，解得x=9，若函数y=f（x）﹣2有且仅有两个零点，则等价为当x≤1时，|x﹣a|=2只有一个交点，由|x﹣a|=2，解得x=a+2或x=a﹣2，若当x≤1时，|x﹣a|=2只有一个根，则满足a+2＞1且a﹣2≤1，即a＞﹣1且a≤3，即﹣1＜a≤3．故答案为：﹣2或4；（﹣1，3]．三、解答题.15．【解答】若方程x2﹣mx+1=0有实数解，则△=m2﹣4≥0，解得：m≥2或m≤﹣2，∴p为真时，m≥2或m≤﹣2，若指数函数f（x）=（1﹣m）x是增函数，则1﹣m＞1，解得：m＜0，∴q为真时，m＜0，若p或q为真命题，则p真或q真，故m的范围是（﹣∞，0）∪[2，+∞）．16．【解答】（1）∵f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（）x．∴f（﹣1）=f（1）=．（2）∵f（x）在[0，+∞）上是减函数，且（）0=1，（）x＞0，∴f（x）在[0，+∞）上的值域为（0，1]，∵f（x）是偶函数，∴f（x）的值域为（0，1]，即A=（0，1]．解不等式（x﹣a）（x﹣a﹣2）≤0得a≤x≤a+2，即B=[a，a+2]．∵A⊆B，∴，解得﹣1≤a≤0．17．【解答】（1）f′（x）=x2﹣2ax，若函数f（x）在x=1时有极小值，则f′（1）=1﹣2a=0，解得：a=；（2）f′（x）=x2﹣2ax，当a=0时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得：0＜x＜2a；当a＜0时，由f'（x）＜0得：2a＜x＜0；综上所述，当a=0时，无递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，2a）；当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（2a，0）．（3）因为f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，即x3﹣ax2≥0在区间[3，+∞）上恒成立，所以a≤x在区间[3，+∞）上恒成立，∵x≥3，∴x≥1，∴a≤1．18．【解答】（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时，=，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．19．【解答】由于函数f（x）=x2﹣2ax+5的图象的对称轴为x=a，函数f（x）=x2﹣2ax+5在区间（﹣∞，2]上单调递减，∴a≥2．故在区间∈[1，a+1]上，1离对称轴x=a最远，故要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，都有|f（x1）﹣f （x2）|≤4，只要f（1）﹣f（a）≤4 即可，即（a﹣1）2≤4，求得﹣1≤a≤3．再结合a≥2，可得2≤a≤3，故a的取值范围为：[2，3]．20．【解答】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．。