易错汇总年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷和答案

人大附中-第一学期高二数学期末测试一．单项选择题.1.椭圆2212516x y +=上一点 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．102.如果方程 表示焦点在轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）A ．B ．（0，2）C ．D ．（0，1）3. 椭圆 与的关系为（ ）A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的准线4. 方程所表示的曲线为．①若曲线 为椭圆，则；②若曲线为双曲线，则 或；③曲线不可能是圆；④若曲线表示焦点在 轴上椭圆，则以上命题正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①②④5. 设双曲线 的一条准线与两条渐近线交于 、 两点，相应焦点为 ，若为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D ．26. 已知抛物线的焦点为，定点，在此抛物线上求一点，使最小，则点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 动点 到点 的距离比到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．23C ．26D ．332二．填空题.9.如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么．10. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______．11. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，则线段的长是____．12. 抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________. 三．解答题.13. 已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，求双曲线的方程．14．已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．15. 已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．16．设),(),,(2211yxByxA两点在抛物线22xy=上，l是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21xx+取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(Ⅱ)(文)当3,121-==xx时，求直线l的方程.(Ⅱ)(理)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.-第一学期高二数学期末测试参考答案一．单项选择题.1.B2.D3.B4. C5.D6.C7.D8.D二．填空题.9. 110.11. 812.三．解答题.13.解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条为．可设双曲线方程为即由椭圆方程可知双曲线与椭圆共焦点，则∴．故所求双曲线方程为．解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为由渐近线方程可得∴故所求双曲线方程为点评：1．渐近线为的双曲线方程可表示为14．解：设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．15.解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．说明处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．16．解：（Ⅰ）B A FB FA l F ,||||⇔=⇔∈两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x 轴的平行线，2121,,0,0y y y y 依题意≥≥不同时为0，∴上述条件等价于;0))((2121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y∵21x x ≠， ∴上述条件等价于 .021=+x x 即当且仅当021=+x x 时，l 经过抛物线的焦点F.另解：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ， ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………………1分（1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩……………5分 2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩……………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………………………8分 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F…………………………9分（Ⅱ）（文）当121,3x x==-时，直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b………………………………10分 则由（Ⅰ）得：22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………11分 14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩…………………………………………13分 所以直线l 的方程为14144y x =+，即4410x y -+=………………14分 （II ）(理)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以21,x x 满足方程,02122=-+m x x 得4121-=+x x ；A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841>+=∆m即.321->m设AB 的中点N 的坐标为),(00y x ，则 .16121,81(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=由.329321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得即得l 在y 轴上截距的取值范围为（+∞,329）.。

2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．（5分）下列导数公式错误的是（）A．（sin x）'＝﹣cos x B．C．D．（e x）'＝e x2．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（﹣，0）C．（0，2），（0，﹣2）D．（2，0），（﹣2，0）3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，则＝（）A．+﹣B．++C．﹣﹣D．﹣++4．（5分）若＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），则＝＝是∥的（）A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件5．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）＝，则（）A．x＝，f（x）取得最大值B．x＝，f（x）取得最小值C．x＝2，f（x）取得最大值D．x＝2，f（x）取得最小值7．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．（5分）已知函数f（x）＝x2，则＝．10．（5分）已知函数，则f′（1）＝．11．（5分）已知空间向量＝（0，1，1），＝（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是．13．（5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为；（2）M位于BD1三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有种．三、解答题（共3小题，满分30分）15．（10分）已知抛物线C方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C上，F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O到直线AB的距离．16．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为；当x＝时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a，b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，，E为P A中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．（6分）过抛物线y2＝2x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝5，则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A．2B．25C．3D．419．（6分）如图，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m ＞0），则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）（）A．有极小值，没有极大值B．有极大值，没有极小值C．至少有两个极小值和一个极大值D．至少有一个极小值和两个极大值20．（6分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为（）A．B．C．D．21．（6分）已知集合R n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，a n）∈R n，B＝（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|＝．若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（）A．4B．5C．6D．8二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）.22．（13分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与直线x＝2相交于P，Q 两点（点P在x轴上方），且|PQ|＝2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a＝0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f （x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（sin x）'＝cos x，故A错误；对于B、（lnx）′＝，故B正确；对于C、（）′＝x﹣1＝（﹣1）×x﹣2＝﹣，故C正确；对于D、（e x）'＝e x，故D正确；故选：A．2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，则c＝＝2，又由双曲线的焦点在x轴上，则其焦点坐标为（2，0）（﹣2，0）；故选：D．3．【解答】解：═＝故选：C．4．【解答】解：∵＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），∴当＝＝时，向量∥成立．当＝（1，0，0），＝（2，0，0），满足∥，但＝＝不成立，∴＝＝是∥的充分不必要条件．故选：D．5．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝C1B＝a，A1C1＝a，∠A1BC1的余弦值为，故选：D．6．【解答】解：∵f（x）＝，（x＞0）∴f′（x）＝﹣+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x＝2时，f（x）取最小值，故选：D．7．【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣，故其导函数f′（x）＝2ax+b＝0的根是﹣，二次函数的顶点和导函数的解均在直线x＝﹣上，故对于选项B是错误的，故选：B．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+kx2﹣7x，其导数f′（x）＝3x2+2kx﹣7，若函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0在[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得﹣2≤k≤2，即k的取值范围为[﹣2，2]；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．【解答】解：∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，∴＝f′（0）＝0，故答案为：0．10．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝，∴f′（1）＝，故答案为：0．11．【解答】解：已知，则：，由于，则：解得：x＝1或﹣1故答案为：1或﹣112．【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，极小值为f（1）＝﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）13．【解答】解：由题设知y'＝x2﹣39x﹣40，令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，故函数在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，当x＝40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故答案为：40．14．【解答】解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离，连结AC，BD，交于点O，则AC⊥BD，AC∥DD1，∴AC⊥平面BDD1，∴OC⊥BD1，且OC⊥CC1，∴M到CC1距离的最小值为|OC|＝＝．故答案为：．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），M位于BD1三等分点处时，设M（），∴AM＝＝，BM＝＝，CM＝＝，DM＝＝1，A1M＝＝1，B1M＝＝，C1M＝＝1，D1M＝＝．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．三、解答题（共3小题，满分30分）15．【解答】解：（Ⅰ）将（1，2）代入抛物线方程可得4＝2p，解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，F（1，0）；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，由抛物线的定义可得x A+1＝2，x B+1＝5，即有x A＝1，x B＝4，即为A（1，2），B（4，﹣4），AB的斜率为﹣2，AB的方程为2x+y﹣4＝0，O到直线AB的距离为d＝＝．16．【解答】解：（Ⅰ）6，3（Ⅱ）：f'（x）＝3ax2+2bx+c，由已知表格可得解得（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．17．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△P AC中，由已知E为P A中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（5分）（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．＝（﹣1，2，0），＝（0，1，﹣1）．设平面P AC的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，得＝（2，1，1）．平面PCD的法向量为＝（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα＝＝．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），＝（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），＝（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）＝0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，＝．…（14分）一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．【解答】解：由抛物线为y2＝2x，可得p＝1．设A、B两点横坐标分别为x1，x2，设线段AB中点的横坐标为m，则＝m，即x1+x2＝2m，由|AB|＝x1+x2+p＝2m+1＝5，解得m＝2，可得AB的中点M到y轴的距离为2．故选：A．19．【解答】解：设y＝kx与f（x）的切点横坐标分别为x1，x2，（x1＜x2），设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3，如图所示：而F（x）＝kx+m﹣f（x）表示直线g（x）的点（x，g（x））与f（x）上的点的（x，f（x））的纵坐标的差，显然，F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x3）上单调递增，在（x3，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴x1，x2为F（x）的极小值点，x3为F（x）的极大值点．∴F（x1），F（x2）为F（x）的极小值，F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．20．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则D（1，0，2），B1（0，1，3），设P（0，0，z），则＝（1，0，2﹣z），＝（0，1，3﹣z），∴•＝0+0+（2﹣z）（3﹣z）＝﹣，故当z＝时，•取得最小值为﹣，故选：B．21．【解答】解：由n元子集个数得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M＝或M＝，（1，1，1），故集合M中元素个数最大值为4，故选：A．二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）. 22．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e＝，则＝，设椭圆方程为：+＝1（b＞0）由题意可知点P（2，1）在椭圆上，所以．解得b2＝2．故椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意可知，直线P A，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为∠APQ＝∠BPQ，所以k P A＝﹣k PB．设直线P A的斜率为k，则直线P A：y﹣1＝k（x﹣2）（k≠0）．由，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0…（1）．依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0成立．即△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）（16k2﹣16k﹣4）＞0，化简得16（2k+1）2＞0，解得k．因为2是方程（1）的一个解，所以2x A＝．所以x A＝．当方程（1）根的判别式△＝0时，k＝，此时直线P A与椭圆相切．由题意，可知直线PB的方程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．同理，易得x B ＝＝．由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ＝∠BPQ，且能存在四边形APBQ，则直线P A的斜率k需满足|t |．设四边形APBQ面积为S，则＝＝＝由于|t |，故S ＝＝当|t|时，，可得，即0＜S＜4．（此处另解：设t＝|k|，讨论函数f（t ）＝在t ∈时的取值范围．f′（t）＝4﹣＝，则当t时，f′（t）＞0，f（t）单调递增．则当t时，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．所以四边形APBQ面积S的取值范围是（0，4）．…（14分）23．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）＝3x2+2ax+b．[（1分）]当a＝0时，f′（x）＝3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）＝0，解得：x ＝±．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：）（﹣）（，所以，x＝﹣是f（x）的极大值点；x＝是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x＝x0是f（x）的极值点，则有3+b＝0；若x＝x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3＝x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3＝0．[（6分）]设g（x）＝2x3+x﹣3．所以g′（x）＝6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）＝0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x＝1，即方程2+x0﹣3＝0的根为x0＝1，所以b＝﹣3＝﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b＝0有两个不等实根x1，x2，所以△＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3＝0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3＝0．①又因为3+2ax1+b＝0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9＝0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9＝0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9＝0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2＝﹣．对于方程3x2+2ax+b＝0，有x1+x2＝﹣，所以﹣＝﹣，即a2﹣3b＝﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。

一、单选题1．在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 11a =84a =234567a a a a a a A ．32 B ．64 C ．128 D ．256【答案】B【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等比数列中，，， {}n a 11a =84a =则，273645184a a a a a a a a ====所以.7323456464a a a a a a ==故选：B2．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则点到右焦点的距离为（ ）22:1916x y C -=P P A ．3 B ．15 C ．15或3 D ．10【答案】C【分析】由双曲线的定义求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，1F 2F因为双曲线方程为，所以，，，22:1916x y C -=3a =4b =5c ==由双曲线的定义得，则， 122PF PF a -=126PF PF -=126PF PF -=±又因为，所以或，19PF =215PF =3由双曲线的性质可知，到焦点距离的最小值为， P 5323c a -=-=<故选：C3．设函数在点处的切线方程为，则（ ）()f x (1,(1))f 43y x =-()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆A ． B ．C ．D ．4213-【答案】A【分析】根据导数的几何意义可知，再根据导数值的定义即可选出答案. (1)f '【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即()()11lim(1)x f x f f x∆→+∆-'=∆(1)4f '=.()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆故选：A4．数列满足，，则（ ） {}n a 111n na a +=-13a =2023a =A ．3B ．C ．D ．12-5223【答案】A【分析】根据递推公式求得数列中的前几项，从而得到数列的周期，由此即可求得的值. 2023a 【详解】因为，， 111n na a +=-13a =所以，1132111111111111111111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++------=======---------所以数列是以3为周期的周期数列， {}n a 故. 20231367413a a a +⨯===故选：A.5．已知抛物线，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（ ）条 2:4C y x =-A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，(0,1)P 一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称(0,1)P l 2:4C y x =-l 轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；l l 1y =当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相l (0,1)P x 切，易知：是其中一条，0x =不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：，则l 1y kx =+l 22(24)10k x k x +++=有，解得：，22(24)40k k ∆=+-=1k =-所以过点的直线的方程为：或或， (0,1)P l 1y =0x =1y x =-+故选：.C 6．已知，，则数列的通项公式是（ ）12a =()1+=-n n n a n a a {}n a n a =A ．n B ． C ．2nD ．1n +1nn n +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 11n n a n a n++=【详解】解：由，得， ()1+=-n n n a n a a ()11n n n a na ++=即， 11n n a n a n++=则，，，…，，11n n a n a n -=-1212n n a n a n ---=-2323n n a n a n ---=-2121a a =由累乘法可得，因为，所以，1na n a =12a =2n a n =故选：C ．7．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A ．6天 495人 B ．7天 602人 C ．8天 716人 D ．9天 795人【答案】B【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数{}n a 165a =列，解方程可得所求值．【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且n n a {}n a ，，123216a a a =++21300n n n a a a --++=∴，， 13002161723n a a ++==107n a =∴天 1177n a a n -=+=则目前派出的人数为人，()17776022a a S +==故选：B ．8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得()()22:5121C x y -+-=(0,),(0,)(0)A m B m m ->C P ，则的最小值为（ ）90APB ∠= m A ．14 B ．13 C ．12 D ．11【答案】C【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的AB O C m 取值范围，由此求得的最小值.m【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆AB O 222x y m +=1r m =的圆心为，半径为.()()22:5121C x y -+-=()5,12C 21r =要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， C P 90APB ∠=︒O C所以，即，1212r r OC r r -≤≤+1m +所以， 11313113113113113m m m m m ⎧-≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨+≥+≤-+≥⎪⎩⎩或⇒12141212m m m -≤≤⎧⎨≤-≥⎩或又，所以，所以的最小值为. 0m >1214m ≤≤m 12故选：C二、多选题9．已知等差数列则（ ） 10,7,4,, A ．该数列的通项公式为 313n a n =-+B ．是该数列的第13项 25-C ．该数列的前5项和最大D ．设该数列为，则 {}n a 1238||||||||48a a a a ++++= 【答案】AD【分析】根据首项和公差求出和，利用和计算可得答案.n a n S n a n S 【详解】依题意，所以，故A 正确； 110,3a d ==-1(1)103(1)313n a a n d n n =+-=--=-+由，得，故B 不正确； 31325n a n =-+=-38133n =≠由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C 不3130n a n =-+≥4n ≤3130n a n =-+<5n ≥正确；，(1)10(3)2n n n S n -=+⨯-23232n n-+= 123812345678||||||||()a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++ 482S S =-，故D 正确. 223423438238222-⨯+⨯-⨯+⨯=⨯-48=故选：AD10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）22230M x y x +--=：A ．点（2，0）在圆M 内B ．圆M 关于对称10x y +-=CD ．直线与圆M 的相交所得弦长为10x +=【答案】ABD【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系判断A ，判断点与直线的位置关系，判断M 10x y +-=B ；配方后得到圆的半径，判断C ；利用弦长公式求弦长判断D. 【详解】整理得：，22230x y x +--=()2214x y -+=因为，时，∴点在圆M 内，A 正确； 2x =0y =222330x y x +--=-<()2,0因为圆心在直线上，所以圆M 关于对称，B 正确； ()1,0M 10x y +-=10x y +-=因为圆M 半径为2，故C 错误；∵圆心到直线的距离为，()1,0M 10x +=1d ==所以直线与圆M 的相交所得弦长为，D 正确. 10x +==故选：ABD.11．已知数列满足，其中，Sn 为数列{}的前n 项{}n a ()12321n a a n a n +++-= ()21nn a b n =+n b和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A ．B ．数列{}的通项公式为： 11a =n a 121n a n =+C ．数列{}为递减数列 D ．若对于任意的都有，则 n a *N n ∈n S λ<12λ≥【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断1n =1a n S n a {}n a 数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n 项和，由条件求的范围. {}n b λ【详解】因为，()12321n a a n a n +++-= 所以当时，， 2n ≥()1213231n a a n a n -+++-=- 两式相减得，所以， ()211n n a -=121n a n =-又因为当时，满足上式，1n =11a =所以数列的通项公式为：，故A 正确，B 错误， {}n a 121n a n =-因为，，所以， 121n a n =-N n *∈()()1112021212121n n a a n n n n +-=-=-<+-+-所以，所以数列为递减数列，故C 正确；1n n a a +<{}n a ，()()()111121212122121n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭所以 12n n S b b b =+++ ， 11111111111232352212124221n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为对于任意的都有，所以，其中，*N n ∈n S λ<max 21n n λ⎛⎫< ⎪+⎝⎭*N n ∈又，所以，故D 正确. 1121221n n n =<++12λ≥故选：ACD.12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l 上，过点1F 2F 222:1(0)4x yC b b-=>(4,0)M -2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 与双曲线左右两支各一个交点，则直线l 的斜率范围为）(,)22b b-B ．点2F C ．若直线AB垂直于x 轴，且△ABM 为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D ．记的内切圆的半径为r 1，的内切圆的半径为，若，则12AF F △1I 12BF F △2I 2r 124r r =b =【答案】ACD【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理l 即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三A bB ABM :角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三245AMF ∠<︒24b c a +>C 角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即x a =c b 可判断选项.D 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， A l l (4)y k x =+设直线与双曲线左右两支的交点分别为，，l 11(,)P x y 22(,)Q x y 联立方程组，整理可得：，22214(4)x y b y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩222222(4)326440b k x k x k b ----=则，也即，解得：，故选项正确； 22122264404k b x x b k --⋅=<-2240b k ->22b b k -<<A 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：B 2(,0)F c 0bx ay ±=点到双曲线渐近线的距离错误；2F d b ==≠B 对于，若直线AB 垂直于x 轴，则直线的方程为：，设点，，要使C AB x c =2(,)bA c a2(,b B c a-为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：，ABM :245AMF ∠<︒则，即，所以，22F M AF >24b c a+>24b ac a <+又因为，则，也即，整理可得：，则2a =2242b ac a ac a <+=+2222c a ac a -<+2230c ac a --<， 230e e --<e <1e >所以，故选项正确； e ∈C 对于，过分别作的垂线，垂足为，D 1I 1212,,AF AF F F ,,DE F则，因为，1122,,AD AE F D F F F F F E ===122AF AF a -=则，又因，1212()()2AD DF AE EF F F F F a +-+=-=12122F F F F F F c =+=则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以11FF OF OF a c =+=+OF a =1I x a =2I x a =轴，12I I x ⊥因为，1212122221,I F A I F F I F B I F F ∠=∠∠=∠则，所以， 1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==22190I F I ∠=︒由可知：，则，也即，1222I FF F FI :::1222I F F F F FI F=2212IF I F FF ⋅=212()r r c a ⋅=-因为，，所以，，故选项正确，2a =124r r =4c =b ==D故选：.ACD三、填空题13．已知直线l 1，若，则实数a =______. ()210130x ay l a x y +-=+++=：，：12l l ⊥【答案】##12-0.5-【分析】根据若，则，运算求解. 12l l ⊥12120A A B B +=【详解】若，则，解得.12l l ⊥()1110a a ⨯++⨯=12a =-故答案为：.12-14．已知函数，则=______. 2()ln 31f x x x x =+-1f '（）【答案】7【分析】求出的导数，再将代入，即可得答案. ()f x ()f x '1x =【详解】解：因为， 2()ln 31f x x x x =+-所以，1()ln 6ln 61f x x x x x x x'=+⋅+=++所以. (1)ln16117f '=+⋅+=故答案为：715．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M 、N 在C 上（M 位于第一象2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 限），且点M 、N 关于原点O 对称，若，则C 的离心率为______.12290,2||||MF N MF NF ︒∠==【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率. 12MF NF 【详解】依题意，作图如下，因为点关于原点对称，所以为的中点，,M N O O MN且为的中点，，所以四边形为矩形，O 12F F 190N MF ︒∠=12MF NF 由，设 222MF NF =21,2,MF x MF x ==由椭圆的定义知，解得： 212,MF MF a +=2124,,33a a MF MF ==所以()22224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：，因为， 259e =01e <<所以 e =四、双空题16．已知数列满足，，则______；高斯是德国著名的数学家，近代数学{}n a 11a =12n n a a n ++=3a =奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，称为x ∈R []x x ()[]f x x =高斯函数.设，且数列的前项和为，则______. []1g n n b a ={}n b n n T 2022T =【答案】34956【分析】根据递推公式一一计算即可求出，再归纳出的通项，最后结合高斯函数的定义并项3a {}n a 求和计算可得.【详解】解：因为，， 11a =12n n a a n ++=当时，则， 1n =122a a +=21a =当时，则， 2n =324a a +=33a =当时，则， 3n =346a a +=43a =当时，则，4n =548a a +=55a =，由此可归纳得，当为奇数时，当为偶数时，n n a n =n 1n a n =-显然当时成立，假设当（为奇数）时成立，即，则，即1n =11a =n k =k k a k =12k k a a k ++=也成立，1k a k +=假设当（为偶数）时成立，即，则，即也成立，故归纳成n k =k 1k a k =-12k k a a k ++=11k a k +=+立；因为，[]1g n n b a =当时，则， 110n ≤≤19n a ≤≤[]1g 0n n b a ==当时，则， 11100n ≤≤1199n a ≤≤[]1g 1n n b a ==当时，则， 1011000n ≤≤101999n a ≤≤[]1g 2n n b a ==当时，则，10012022n ≤≤10012021n a ≤≤[]1g 3n n b a ==()232320220101(1010)2(1010)3202210T ∴=⨯+⨯-+⨯-+⨯- 190290031022=⨯+⨯+⨯．4956=故答案为：，．34956五、解答题17．在数列{}中，n a ()*11534N n n a a a n +==-∈，(1)求证：是等比数列： {}2n a -(2)求数列{}的前n 项和. n a n S 【答案】(1)证明过程见详解(2)3(31)22n n S n -=+【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证； (2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.【详解】（1）由题意知：，所以， 134n n a a +=-12362(2)n n n a a a +-=-=-即，又， 1222n n a a +-=-1230a -=≠所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.{}2n a -（2）由（1）可知：，所以，23n n a -=23nn a =+所以1221n n n S a a a a a -=+++++1231(2+2+2++2+2)(33333)n n -=++++++ 3(13)213n n -=+-. 3(31)22n n -=+18．如图，正方体ABCD —的棱长为2，P 、Q 分别为BD 、的中点.1111D C B A 1CD(1)证明：PQ 平面；:11BCC B (2)求直线与平面所成角的大小. 1CD 11ABC D 【答案】(1)证明见详解 (2) π6【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；（2）先求平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角. 11ABC D 【详解】（1）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则，()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,,1,1,0,0,1,10,0,2A B C D P Q 可得，平面的法向量，()1,0,1PQ =-u u u r11BCC B ()0,1,0n = ∵，且平面，1001100PQ n ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u r rPQ ⊄11BCC B ∴PQ 平面.:11BCC B （2）由（1）可得：， ()()()110,2,0,2,0,2,0,2,2AB AD CD ==-=-设平面的法向量为，则， 11ABC D (),,m x y z = 120220m AB y m AD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，故，1x =0,1y z ==()1,0,1m =∵，1111cos ,2m CD m CD m CD ⋅===u r u u u ru r u u u ru r u u u r 故直线与平面所成角的正弦值为，则其大小为. 1CD 11ABC D 12π619．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，()2202C y px p =<<：1P p ⎛ ⎝32(1)求抛物线的方程：C (2)若直线（为参数）与抛物线C 交于两点，且，求直线的方程 :l y x m =+m ,A B OA OB ⊥l 【答案】(1) 22y x =(2) 2y x =-【分析】（1）利用抛物线的定义，列方程求出即可；p （2）联立直线和抛物线方程，设出，，然后用韦达定1122(,),(,)A x y B x y 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=理求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，即，结合题干条P 3122pp =+件，解得，故抛物线方程为：02p <<1p =22y x =（2）设，依题意：1122(,),(,)A x y B x y ()()112212120,,00OA OB OA OB x y x y x x y y ⊥⇔⋅=⇔⋅=⇔+=，联立直线和抛物线：，得到，，解得，由韦达定22y x y x m⎧=⎨=+⎩2220y y m -+=480m ∆=->12m <理：，在抛物线上，故，于是，于是122y y m =1122(,),(,)A x y B x y 21122222y x y x ⎧=⎨=⎩22212124y y x x m ==，解得或，但时，其中一点和重合，不符题意，时，220m m +=0m =2m =-0m =,A B O 2m =-符合判别式条件.综上可知，，此时直线方程为：2m =-2y x =-20．已知数列的前n 项和为，且，______.请在①：②{}n a n S 11n n n S S a +=++*()N n ∈3914a a +=，，成等比数列：③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问2a 5a 11a 844S =题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，设数列{}的前n 项和，求证： 2nn n a b =n b n T 13n T ≤<*()N n ∈【答案】(1) 1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差.若选①，根据等差中项11n n n S S a +=++{}n a 1d =求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若6a 1a 1a d 1a n a 选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得. 1a n a （2）利用错位相减法求出，根据为正数，得，根据为递增数列，可得. n T 32n n +3nT <n T 11n T T =≥【详解】（1）由，得，得， 11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-=所以数列为等差数列，公差.{}n a 1d =若选①，因为，所以，， 3914a a +=6214a =67a =所以，， 6157a a d =+=12a =所以，1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选②，因为，，成等比数列，所以，2a 5a 11a 25211a a a =所以，所以，2111(4)()(10)a d a d a d +=++2111(4)(1)(10)a a a +=++所以，所以. 12a =1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选③，因为，所以， 81878442S a ⨯=+=12a =所以， 1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，则， 1n a n =+12n nn b +=则， 12323412222n nn T +=++++ ， 23411234122222n n n T ++=++++ 所以，23411111111222222n n n n n T T ++-=+++++- 所以， 1111(1)1142112212n n n n T -+-+=+--所以，因为为正数，所以， 332n n n T +=-32nn +3n T <因为， 11433322n n n nn n T T ++++-=--+112642022n n n n n +++--+==>所以，所以数列为递增数列， 1n n T T +>{}n T 所以， 14312n T T ≥=-=综上所述：.13n T ≤<*()N n ∈21．在平面五边形中（如图1），是梯形，，，ABCDE ABCD //AD BC 22AD BC ==AB =，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥90ABC ∠=ADE V ADE V ADEB EC E ABCD-（如图2）且EC =(1)求证：平面平面； EAD ⊥ABCD (2)在棱上有点，满足，求二面角的余弦值. EB F 13EF EB=E AD F --【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：AD O ,OC OE OC OA ⊥OE OA ⊥则 OC AB ==2OE ==折叠后，在图2中，，如图：OE AD ⊥在中，，所以， COE :OC =OE =EC 222EC OC OE =+OE OC ⊥由，，，平面，平面， OE AD ⊥OE OC ⊥OC AD O = OC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 得平面，又平面， OE ⊥ABCD OE ⊂EAD 所以平面平面。

第一学期期末考试 高二数学试题（考试时间：120分钟 满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷相应的位置上．）1、若R c b a ∈、、且||||b c a <-，则有（A ） ||||||c b a -> （B ） ||||||c b a +> （C ） ||||||c b a -< （D ） ||||||c b a +< 2、方程x x y =-||表示的曲线是（A ） 一条直线 （B ） 一条射线 （C ） 两条射线 （D ） 两条直线 3、直线l 1：x ＋3y －7＝0，直线l ２：kx －y －2＝0与x 轴、y 轴正向所围成的四边形有外接圆，则k 的值为（A ） －3 （B ） 3 （C ） －6 （D ） 6 4、“直线l 平行于抛物线的对称轴”是“直线l 与抛物线仅有一个交点”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件 5、能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤≤⎩⎨⎧≥+-≤⎩⎨⎧≤+-≤≤00221)(002210)(0221)(02210)(x y x y D x y x y C y x y B y x y A6、与两圆122=+y x 及012822=+-+x y x 都内切的圆的圆心在 )(A 一个椭圆上 )(B 双曲线一支上 )(C 一条抛物线上 )(D 一个圆上7、已知 A(2 ,-3) ,B(-3 , -2) ，直线l 过定点P(1 ,1)且l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） (A) k≥43或k ≤-4 (B) -4≤k ≤ 43 (C) k≠ 21 (D) 43≤k≤4 8、设P (x ，y )是第一象限的点，且点P 在直线3x ＋2y ＝6上移动，则xy 的最大值是 （A ） 1.44 （B ） 1.5 （C ） 2.5 （D ） 19、已知()x f =－x －x 2，如果a ＋b >0，b ＋c >0，c ＋a >0则()()()c f b f a f ++的值（ ）(A ) 小于0 (B ) 大于0 (C ) 等于0 (D ) 符号不确定 10、经抛物线)0(22>=p x p y 的焦点作一直线l 交抛物线于),(11y x A 、),(22y x B ，则=2121x x y y )(A 4 )(B －4 )(C p 2 )(D －p 211、如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴为MN ，P 为椭圆上任一点，P Q ⊥MN 于Q 且|P Q|2＝k |M Q|•|Q N |，则k 的值 )(A 等于22a b)(B 等于22b a)(C 等于1 )(D 与P 的位置有关12、设双曲线0(12222>>=-a b by a x 的半焦距为c ， 直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （A ） 2 （B ） 3 （C ） 2 （D ）332 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将正确答案填在题的横线上．）13、实数a 、b 、c 、d 满足下列三个条件：c b b a d c b a c d +<++=+>)3(,)2(,)1(．则将a 、b 、c 、d 按由大到小．．．．的顺序排列为 ．（不按要求作答不给分） 14、点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且不在不等式032<-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标为 ．15、双曲线112422=-y x 的两条渐近线的夹角是 ．16、给出下列四个命题：①平行直线0123=--y x 和0246=+-y x 的距离是13132； ②方程11422-=-+-ty t x 不可能表示圆；③双曲线1422=+ky x 的离心率为21<<e ，则k 的取值范围是()20,60--∈k ；④曲线0992233=++-xy y x y x 关于原点对称． 其中正确．．的命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷相应的位置上．） 17、（本小题满分12分）解关于x 的不等式：)0(02><--a a x a x ．18、（本小题满分12分）已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。

北京市人大附中2020~2021学年高二第一学期期末考试数学2021年1月20日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为学分认定成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期末成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．设m n ，是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ C ．若//,//m m αβ，则//αβ D ．若,m n αα⊥⊥，则//m n2．已知复数(1)(31)i i z i −−=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =−−C ．24z z −−的虚部为1 D ．||z =3．如果直线20x y +=与直线10x my +−=垂直，那么m 的值为（ ）A ．2−B ．12−C ．12D ．2 4．某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（ ）A ．54种B ．45种 C ．45C 种 D ．45A 种 5．已知拋物线的准线方程为7x =−，则抛物线的标准方程为（ ）A ．228x y =−B ．228y x =C ．228y x =−D ．228x y = 6．已知二项式()*2nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为（ ）A ．14B ．10082017C ．240D ．240− 7．在棱长为1的正四面体ABCD 中，EF ，分别是棱BC AD ，的中点，则AE CF ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．34−D ．12− 8．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F B ，为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于另一个点C （O 为坐标原点），若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2BC ．12D ．13二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．若复数11mi z i+=+（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是______．10．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为________．11．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，将这个菱形沿对角线BD 折成60︒的二面角，这时线段AC 的长度为_______．12．若直线3450x y −+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A B ，两点，且120AOB ︒∠=（O 为坐标原点），则r =_________．13．用123,,组成四位数，其中恰有一个数字出现两次的四位数有_______个．14．如图，若正三棱柱111ABC A B C −的底面边长为8，对角线1B C 的长为10，点D 为AC 的中点，则点1B 到平面1C BD 的距离为_____，直线1AB 与直线BD 所成角的余弦值为________．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，已知定点(0,0)(1,1)(2,0)O A B 、、,OAB 的外接圆为圆M ，直线l 的方程为2y kx =−．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）若直线l 与圆M 相切，求k 的值；（Ⅲ）若直线l 与圆M 相交于E F ，两点，||EF =，求k 的值．16．（本题满分10分）如图，在四棱锥E ABCD −中，平面ADE ⊥平面ABCD O M ，，分别为线段AD DE ，的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，,AE DE AE DE =⊥．（Ⅰ）求证：//CM 平面ABE ； （Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅲ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长．17.（本题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ，且离心率为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点，若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．Ⅱ卷（共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．在7(2)x y +的展开式中，系数最大的项是（ ）A ．768yB ．34112x yC ．25672x yD ．251344x y 19．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D20．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，6AB =，点P 在平面11AB D 内，1A P =P 到1BC 距离的最小值为（ ）A ．B ．CD ．3五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21．已知直线1:43120l x y −+=和直线2:1l x =−，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 距离之和的最小值是________．22．已知集合(){}12345,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈−=∣，则集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为_________．23．已知椭圆222:1(06x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题： ①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．（此题错选得0分，少选得部分分，完全正确得满分）六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．（本题满分14分） 已知椭圆22:14x y w m m+=的左顶点为(2,0)A −，动直线l 与椭圆w 交于不同的两点,P Q （不与点A 重合），点A 在以PQ 为直径的圆上，点P 关于原点O 的对称点为M ．（Ⅰ）求椭圆w 的方程及离心率；（Ⅱ）求证：直线PQ 过定点；（Ⅲ）（i ）求PQM 面积的最大值； （ii ）若MPQ 为直角三角形，求直线l 的方程．北京市人大附中2020~2021学年高二第一学期期末考试数学答案一、1D 2C 3A 4A 5B 6C 7D 8D二、9．11m −<< 10．22145x y −= 1112．2 13．36 14．（1（2三、15．（本题满分10分）解：（Ⅰ）法一：设圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+−>， 1分 因为圆M 经过点(0,0)(1,1)(2,0)O A B 、、，所以110420F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩ 2分解得200D E F =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，经检验符合题意所以圆M 的方程为2220x y x +−=． 3分法二：因为圆M 经过点(0,0)(1,1)(2,0)O A B 、、，所以||||OA AB OA AB ⊥=， 1分所以圆心为(1,0)M ，半径为1r = 2分所以圆M 的方程为22(1)1x y −+=． 3分（Ⅱ）因为直线l 与圆M 相切，所以圆心(1,0)M 到直线:2l y kx =−的距离为1． 4分1=， 5分 解得34k =． 6分（Ⅲ）设圆心(1,0)M 到直线l 的距离为d ，因为直线l 与圆M 相交于E F ，两点，||EF =， 所以222||2EF d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 7分所以2212d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭所以2d = 8分2= 解得1k =或7k =． 10分16．（本题满分10分）解：（Ⅰ）取AE 中点F ，连接MF BF ，，因为M 为线段DE 的中点， 1分 所以1//2MF AD MF AD =，， 因为四边形BCDO 是正方形，O 为线段AD 的中点， 所以1//2BC AD BC AD =，， 所以//BC MF BC MF =，所以四边形BCMF 为平行四边形．所以//MC BF ， 2分因为MC ⊂/平面ABE ，BF ⊂平面ABE ，所以//CM 平面ABE ． 3分（Ⅱ）因为AE DE O =，为线段AD 的中点，所以EO AD ⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD因为平面ADE ⋂平面ABCD AD =EO ⊂平面ADE所以EO ⊥平面ABCD因为OB ⊂平面ABCD 所以EO OB ⊥又因为OB OD ⊥所以OE OB OD ，，三线两两垂直． 4分以O 为原点，以OB 为x 轴，以OD 为y 轴，以OE 为z 轴建立直角坐标系，如图． 则(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)A B E D − 5分设平面ABE 的一个法向量为(,,)m x y z =因为(1,1,0),(0,1,1)AB AE ==因为00AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1z =得11y x =−=，所以(1,1,1)m =− 6分因为(0,1,1)DE =−设DE 与平面ABE 所成角为θ所以sin |cos ,|3m DE θ=〈〉== 所以直线DE 与平面ABE7分 （Ⅲ）设(0,,0)N t 因为11110,,,1,,,(1,,0)2222M MB BN t ⎛⎫⎛⎫=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设平面BMN 的一个法向量为(,,)n x y z =因为00MB n BN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以110220x y z x ty ⎧−−=⎪⎨⎪−+=⎩ 令1y =得21x t z t ==−，所以(,1,2t 1)n t =− 8分因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ⋅= 9分所以1210t t −+−= 所以23t = 线段25133AN =+=． 10分17．解：（Ⅰ）由题意得2,2c a e a ===，所以c = 1， 因为222a b c =+，所以1b =， 2，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． 3，（Ⅱ）因为四边形PAMN 是平行四边形，则//PA MN ，且||||PA MN =．所以直线PA 的方程为(2)y k x =−，所以(3,),||P k PA = 4，设()()1122,,,M x y N x y ．由2244,y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()224180k x +++=，5，由0>，得212k >．且1212228,4141x x x x k k +=−=++． 6，所以||MN ==． 7，因为||||PA MN =，所以=整理得421656330kk −+=，解得2k =±，或2k =± 9，经检验均符合0>，但2k =−时直线MN 过点A ，不满足四边形 PAMN 是平行四边形，舍去．所以k =2k =±． 10， 四、18．C 19．A 20．B五、21．16522．130 23．①③（此题错选得0分，少选得部分分，完全正确得满分） 六、24．解答：（Ⅰ）因为椭圆22:14x y w m m+=的左顶点为20A （-,）， 所以44m =，所以1m =， 1，所以椭圆w 的方程为2214x y +=， 2，因为21a b ==，，所以c =所以椭圆w 3， （Ⅱ）设()()1122,,P x y Q x y ，，当PQ x ⊥轴时，()11,Q x y −因为点A 在以PQ 为直径的圆上，所以PA QA ⊥，所以0PA QA ⋅=所以()221120x y −−−=因为221114x y += 所以211516120x x ++= 解方程得165x =−或12x =− 因为l 不过(2,0)A −，所以12x =−舍去， 所以165x =−，所以直线 PQ 的方程为65x =−． 4， 当PQ 与x 轴不垂直时，设PQ 的方程为(0)y kx n k =+≠，由2244y kx n x y =+⎧⎨+=⎩得()222418440k x knx n +++−= 所以122212208414441kn x x k n x x k ⎧⎪>⎪⎪+=−⎨+⎪⎪−=⎪+⎩5， 因为0PA QA ⋅=所以()()1212220x x y y +++=所以()()2212121(2)40k x x kn x x n ++++++= 所以()222224481(2)404141n kn k kn n k k −−+++++=++ 6， 所以22121650k kn n −+=所以(65)(2)0k n k n −−=所以2n k =或65n k =当2n k =时直线l 的方程为(2)y k x =+过(2,0)A −，不合题意，舍去． 当65n k =时，直线l 的方程为65y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 综上，直线PQ 过定点6,05⎛⎫− ⎪⎝⎭． 7，（Ⅲ）（i ）连接QO ，因为O 为PM 中点， 所以121216622255PQM POQ S S y y y y ==⨯⨯−=− 当PQ x ⊥轴时，由（Ⅱ）知6464,,5555P Q ⎛⎫⎛⎫−−−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以644825525PQM S ==⨯⨯=． 8， 当PQ 与x 轴不垂直时，1212121666222555PQM POQ S S y y kx kx k x x ==⨯⨯−=−=−‖266|||5541k k k ==+2242541k =+ 9， 令2411(0)t k k =+>≠所以PQM S ===因为101t<< 所以48025PQM S << 10， 综上，当直线6:5l x =−时，PQM 的面积最大，最大值为4825．（Ⅲ）（ii ）因为MPQ 为直角三角形，设6,05T ⎛⎫− ⎪⎝⎭下面分三种情况讨论：①当90QPM ︒∠=时，则0TP OP ⋅= 因为()11116,,5TP x y OP x y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以2211161054x x x ++−=，所以2111524200,0x x ++=<，所以无解．所以QPM ∠不可能为直角． 11， ②当90PQM ︒∠=时，当PQ x ⊥轴时，由椭圆的对称性知90PQM ︒∠= 此时l 的方程为65x =− 12，当PQ 与x 轴不垂直时，1PQ QM k k ⋅=− 又2221212122212121114PQ QM y y y y y y k k x x x x x x −+−⋅=⋅==−≠−−+−所以，此时90PQM ︒∠≠． 13， ③当90QMP ︒∠=时因为PQ 的方程为65y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为14PQ QM k k ⋅=−，所以14QM k k =−又因为1MP QM k k ⋅=−，所以4MP k k = 所以直线PM 的方程为4y kx =由465y kxy k x=⎧⎪⎨⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭⎩得28,55kP⎛⎫⎪⎝⎭因28,55kP⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以2464442525k+⨯=解得k=，所以直线l的方程为645y x⎫=±+⎪⎝⎭综上，直线l的方程为410410y x y x=+=−−或65x=−14。

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．104．（5分）“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：C．2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，∴==，∴λ=﹣．故选：C．3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．10【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程的虚轴长为2．故选：C．4．（5分）“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE==a，DE==a，CF==，PF=，PC==，∴cos∠PFC==．∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．故选：A．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD 所在直线为准线，当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，如图：∴四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为V=．故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是若x≠0，则xy ≠0．【解答】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，故答案为：若x≠0，则xy≠010．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为﹣8．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=2，开口向下，∴﹣=2，解得a=﹣8．故答案为：﹣8．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．【解答】解：设双曲线C的方程为，由题意点P（1，1）在双曲线C 上可得，解得m=．故所求双曲线的方程为．故答案为：．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为11．【解答】解：=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x﹣4，﹣2，0），∵空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，∴存在实数m，n使得=m+n，∴，解得x=11．m=﹣3，n=1．故答案为：11．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为12．【解答】解：如图，由|AB|=6，可得AD=3，则|OD|=2，即A（3，2），代入曲线方程，可得，即b=12．故答案为：12．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．【解答】解：（1）设动点P（x，y），由题意可得，①当x＜﹣4时，∵|x+1|＞3，无轨迹；②当﹣4≤x≤﹣1时，化为，化为，与y轴无交点；③当x＞﹣1时，化为，化为y2=﹣2x+3，．令x=0，解得．综上①②③可知：曲线C与y轴的交点为；（2）由（1）可知：．如图所示，令y=1，则10x+15=1，或﹣2x+3=1，解得x=﹣1.4或1．①当a≤﹣1.4或a≥1时，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=；②当﹣1＜a＜1时，当直线y=1与相交时的交点P满足|PA|+|PB|取得最小值，∵此抛物线的准线为x=2，∴直线y=1与准线的交点Q（2，1），此时d（a）=|QB|=2﹣a；③当﹣1.4＜a≤﹣1时，当直线y=1与相交时的交点P 满足|PA|+|PB取得最小值，∵此抛物线的准线为x=﹣4，∴直线y=1与准线的交点Q（﹣4，1），此时d（a）=|QB|=a+4．综上可知：d（a）=三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．【解答】解：（Ⅰ）在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．∴E（a，x，0），F（a﹣x，a，0）．证明：（II）∵x=a，∴A1（a，0，a），C1（0，a，a），E（a，，0），F（，a，0），∴=（﹣a，a，0），=（﹣，，0），∴=2，∴A1C1∥EF．（III）∵=（﹣x，a，﹣a），=（a，x﹣a，﹣a），∴•=﹣ax+ax﹣a2+a2=0，∴⊥，∴A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，【解答】∴CB⊥平面ABEF．∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，则AF⊥平面CBF．∵AF⊂平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）解：过F作FH⊥AB于H，由已知可得△AOF为边长是1的正三角形，则FH=．在Rt△BHF中，由BH=，FH=，可得BF=，在Rt△CBF中，由BF=，BC=AD=1，可得CF=2．∴直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则C（﹣1，0，t），A（1，0，0），B（﹣1，0，0），F（，，0）．∴=（2，0，0），=（，﹣，t）．设平面DCF的法向量为=（x，y，z），则，取z=，得=（0，2t，）．由（Ⅰ）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为==（﹣，，0），依题意与的夹角为60°，∴cos60°=，即=，解得t=．因此，当AD的长为时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=，∴c=1，e==，∴a=，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1，∴椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程，得+y2=1．整理，得（1+2k2）x2+4kx+2=0．①，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△=32k2﹣8（1+2k2）＞0，解得k＜﹣或k＞．∴满足条件的k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅲ）设P（x 1，y1），Q（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2），由①得x 1+x2=﹣．②又y1+y2=k（x1+x2）+2③因为M（，0），N（0，1），所以=（﹣，1）．所以向量+共线等价于x 1+x 2=﹣（y 1+y 2）．将②③代入上式，解得k=． 所以不存在常数k ，使得向量+与共线．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义yxo①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==L L ，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项四、双空题6．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____.五、填空题六、单选题8．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是A ．1322a a a+³B ．2221322a a a +³C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >9．某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11八、单选题11．设{}n a 是公比为的等比数列，则“”是“{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件九、填空题12．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．列{}n a 的任意一项都是{}na 的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}na 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p q <，求证： 00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}na 的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{}na 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个()1,2,...s =，求数列{}n a 的通项公式．17．对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，{}112()(),(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++££L ，其中{}112(),k k Max T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a L +++两个数中最大的数.（1）对于数对序列:(2,5),(4,1)P ，求12(),()T P T P 的值；（2）记为，，，四个数中最小的数，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列:(,),(,)P a b c d 和:(,),(,)P c d a b ¢，试分别对m a =和m d =两种情况比较2()T P 和2()T P ¢的大小；（3）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.(只需写出结论).十一、单选题18．设等差数列{a}的前n 项和为S ，在同一个坐标系中，a=f （n ）及S=g （n ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．当n =4时，S 取得最大值B ．当n =3时，S 取得最大值C ．当n =4时，S 取得最小值D ．当n =3时，S 取得最大值十三、解答题20．求下列数列{}na 的通项公式.(1)111,221n n a a a -==+；(2)111,3n n a a a -==；(3)32n nS =-；(4)1111,3n n n a a a --==+；m ，t 的单位：s ），则5t =时的瞬时速度（单位：m /s ）为A ．37B ．38C ．39D ．40十五、解答题29．设函数2()ln (R)f x x ax x a =+-Î，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1.A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c<D ．log log a bc c<答案第11页，共22页【详解】解：q===﹣2，|a 1|+|a 2|+…+|a n |==故答案为﹣2，11．D【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列12．8【详解】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.13．（I ）ln 2n ；（II ）122n +-.【分析】（I ）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组,求解1,a d ，代入通项公式可得；（II ）由（I ）可得2n a n e =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.【详解】（I ）设等差数列{}na 的公差为d ，(Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(Ⅱ)对于每一个长度为q 的递增子列12,,q a a a L ，都能从其中找到若干个长度为p 的递增子列12,,p a a a L ，此时p q a a £，设所有长度为q的子列的末项分别为：{}123,,,q q q a a a L ，所有长度为p的子列的末项分别为：{}123,,,p p p a a a L ，则{}0123min ,,,n q q q a a a a =L ，注意到长度为p 的子列可能无法进一步找到长度为q 的子列，故{}0123min ,,,m p p p a a a a £L ，据此可得：00m n a a <.(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nn n a n n -ì==í+îL 为偶数为奇数，下面说明此数列满足题意.很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1的递增子列恰有12s -个()1,2,s =L ：当1n =时命题显然成立，假设当n k =时命题成立，即长度为k 末项为2k-1的递增子列恰有12k -个，则当1n k =+时，对于n k =时得到的每一个子列121,,,,21k s s s a a a k --L ，可构造：()121,,,,21,211k s s s a a a k k --+-L 和()121,,,,2,211k s s s a a a k k -+-L 两个满足题意的递增子列，则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有()1112222k k k +--´==个，综上可得，数列1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nn n a n n -ì==í+îL 为偶数为奇数是一个满足题意的数列的通项公式.注：当3s =时，所有满足题意的数列为：{}{}{}{}2,3,5,1,3,5,2,4,5,1,4,5，当4s =时，数列{}2,3,5对应的两个递增子列为：{}2,3,5,7和{}2,3,6,7.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.17．（1）7,8；（2）无论还是，都有成立；（3），，，，.【详解】试题分析：根据条件中的定义，对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，{}112()(),(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++££L ，其中{}112(),k k Max T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a L +++两个数中最大的数，求解.依题意，，.（2），，当时，，因为，且，所以，当时，，因为，且，所以，所以无论还是，都有成立.（3）数对序列：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小.，，，，.考点：新定义题型.18．A【分析】由图象可知可能：①70.7a =，70.8S =-，80.4a =-．②70.7a =，70.8S =-，80.4S =-．③70.8a =-，70.7S =，80.4a =-．④70.8a =-，70.7S =，80.4S =-．分别利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出．用导数研究()m x 在R 上的单调性，明确其正负.然后分0a £和0a >两种情况讨论()h x 极值情况即可.试题解析：（Ⅰ）由题意()22f p p =-又()22sin f x x x ¢=-，所以()2f p p ¢=，因此 曲线()y f x =在点()(),f p p 处的切线方程为()()222y x p p p --=-，即 222y x p p =--.（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x ¢=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x ¢=-³所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <(1)当0a £时，x e a -0>当0x <时，()0h x ¢<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x ¢>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x ¢=--由 ()0h x ¢=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a Î-¥时，()ln 0,0x a e e h x ¢-，()h x 单调递增；当()ln ,0x a Î时，()ln 0,0x a e e h x -><¢，()h x 单调递减；当()0,x Î+¥时，()ln 0,0x a e e h x ->>¢，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x Î-¥+¥时，()0h x ¢³，函数()h x 在(),-¥+¥上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x Î-¥时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x ¢>单调递增；当()0,ln x a Î时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x ¢<单调递减；当()ln ,x a Î+¥时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x ¢>单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû.综上所述：当0a £时，()h x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -¥和()0,ln a 和()0,¥+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-¥+¥上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0¥-和()ln ,a +¥上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû.【名师点睛】1.函数f (x)在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′(x 0)(x−x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．。

高二数学期末复习题（1）2022.12.18一､选择题1.已知复数2i i1i z =++，则z =（）A.3B.C.2D.12.向量(),0,1a x = ，()4,,2b y = ，若//a b ，则x y +的值为（）A.0B.1C.2D.33.若直线l 的一个方向向量为()2,2,4v =--- ，平面α的一个法向量为()1,1,2n =，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.平行或线在面内4.空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A.43- B.13-C.13 D.435.()2,2M 是抛物线()220y px p =>上一点，F 是抛物线的焦点，则MF =（）A.52B.3C.72D.46.已知直线l ：()()2110m x m y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()3,2a =，则直线l '的方程为（）A.2350x y -+=B.2350x y --=C .3250x y -+= D.3250x y --=7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点，112,,,BM MC B N B B x y λ==∃∈R，使得1A N x AM y AE =+，则λ=（）A.12B.23C.1D.438.若双曲线()222:104y x C a a -=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为165，则双曲线C 的离心率为（）A.133 B.173C.53D.3939.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A.3716 B.115C.2D.7410.双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为124,,3y x F F =分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（）A.2B.4C.8D.14二、填空题11.已知复数5i12iz =+，则z 的虚部为________.12.若空间中有三点()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C -，则点()1,2,3P 到平面ABC 的距离为______.13.在下列命题中：①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c不一定共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数,,x y z 使得p xa yb zc =++．其中正确命题的是______．14.已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为___________.15.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比MQ MPλ=()0,1λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为______.三､解答题16.若两条相交直线1l ，2l 的倾斜角分别为1θ，2θ，斜率均存在，分别为1k ，2k ，且120k k ⋅≠，若1l ，2l 满足______（从①12θθπ+=；②12l l ⊥两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：（1）1k ，2k 满足的关系式；（2）若1l ，2l 交点坐标为()1,1P ，同时1l 过(),2A a ，2l 过()2,B b ，在（1）的条件下，求出a ，b 满足的关系；（3）在（2）的条件下，若直线1l 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a ，b 的值．17.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点.（1）若12F PF △为等腰直角三角形，求椭圆C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于9，求b 的值和a 的取值范围.18.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，BF AB ⊥．（1）证明：BF ⊥平面11E AB ；（2）当1B D 为何值时，平面11BB C C 与平面DFE 所成的夹角最小？19.如图，已知动圆P 过点()11,0F -，且与圆()222:18F x y -+=内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）过点1F 的直线l 交E 于A 、B 两点，是否存在实数t ，使得11AB t AF BF =⋅恒成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.高二数学期末复习题（1）2022.12.18一､选择题1.已知复数2i i1i z =++，则z =（）A.3B.C.2D.1B【分析】首先根据复数的除法运算性质化简复数z ，再结合复数的模的概念计算即可.【详解】()()()2i 1i 2ii i 12i 1i 1i 1i z -=+=+=+++-，则z ==.故选：B.2.向量(),0,1a x = ，()4,,2b y = ，若//a b ，则x y +的值为（）A.0B.1C.2D.3C【分析】根据向量平行，得到方程组，求出,x y 的值，得到答案.【详解】由题意得：a b λ=，即4012x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得：2012x y λ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，故2x y +=.故选：C3.若直线l 的一个方向向量为()2,2,4v =--- ，平面α的一个法向量为()1,1,2n =，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.平行或线在面内A【分析】根据2n υ=- 得到υ 与n共线，即可得到直线l 与平面α垂直.【详解】因为2n υ=- ，所以υ 与n共线，直线l 与平面α垂直.故选：A.4.空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A.43- B.13-C.13D.43C【分析】先设AB mAC nAD =+，然后把向量AB ，AC ，AD 分别用向量PA ，PB ，PC ，PD 表示，再把向量PA 用向量PB ，PC ，PD 表示出，对照已知的系数相等即可求解．【详解】解：因为空间A ，B ，C ，D 四点共面，但任意三点不共线，则可设AB mAC nAD =+，又点P 在平面外，则()()PB PA m PC PA n PD PA -=-+-，即(1)m n PA PB mPC nPD ++=-++，则1111m n PA PB PC PD m n m n m n -=+++-+-+- ，又5133=-- PA PB xPC PD ，所以15131113m n mx m n n m n -⎧=⎪+-⎪⎪=-⎨+-⎪⎪=-⎪+-⎩，解得15m n ==，13x =，故选：C ．5.()2,2M 是抛物线()220y px p =>上一点，F 是抛物线的焦点，则MF =（）A.52B.3C.72D.4A【分析】将点()2,2M代入22y px =，可得1p =，即可求出准线方程，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得MF【详解】解：因为()2,2M是抛物线()220ypx p =>上一点，所以22221p p =⋅⇒=，则抛物线的准线方程为12x =-，由抛物线的定义可知，15222MF =+=，故选：A.6.已知直线l ：()()2110m x m y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()3,2a =，则直线l '的方程为（）A.2350x y -+=B.2350x y --=C.3250x y -+=D.3250x y --=A【分析】直线l 方程变为()210x y m x y ++++=，可得定点P ()1,1-.根据l '的方向向量()3,2a =，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】()()2110m x m y m ++++=可变形为()210x y m x y ++++=，解0210x y x y +=⎧⎨++=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即P 点坐标为()1,1-.因为()23,231,3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以直线l '的斜率为23，又l '过点P ()1,1-，代入点斜式方程可得()2113y x -=+，整理可得2350x y -+=.故选：A.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点，112,,,BM MC B N B B x y λ==∃∈R，使得1A N x AM y AE =+，则λ=（）A .12B.23C.1D.43C【分析】正方体中存在三条互相垂直的直线，故我们可以建立空间直角坐标系进行计算.【详解】如图建系，设棱长为6，则()()()()()16,0,0,0,6,3,2,6,0,6,0,6,6,6,66A E M A N λ-()()()10,6,6,4,6,0,6,6,3A N AM AE λ=-=-=-1046,66663x yA N xAM y AE x y y λ=--⎧⎪=+∴=+⎨⎪-=⎩，解之：1λ=故选：C8.若双曲线()222:104y x C a a -=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为165，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.3C.53D.3C【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得a的值，进而根据离心率e =可求得结果.【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为2ay x =±；由圆的方程知：圆心为()2,0，半径2r =；2a y x =与2ay x =-图象关于x 轴对称，圆的图象关于x 轴对称，∴两条渐近线截圆所得弦长相等，不妨取2ay x =，即20ax y -=，则圆心到直线距离d =∴弦长为165==，解得：32a =，∴双曲线离心率53e ==.故选：C.9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A.3716B.115C.2D.74C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =- 是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ+ 抛物线24y x =的焦点(1,0)F ∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ，∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 2==．故选：C ．10.双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为124,,3y x F F =分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（）A.2B.4C.8D.14B【分析】由双曲线定义及渐近线方程得3,5a c ==，126MF MF -=，结合均值不等式、对勾函数单调性及12MF MF 、的取值范围求最小值即可.【详解】由一条渐近线方程为43y x =得4433a a =⇒=，由双曲线定义可知，126MF MF -=，5c ==.要使2116MF MF +的值最小，则1MF 应尽可能大，2MF 应尽可能小，故点M 应为双曲线右支上一点，故126MF MF -=，即216MF MF =-.故21111616662MF MF MF MF +=+-≥=，当且仅当1116MF MF =即14MF =时等号成立，此时21620MF MF =-=-<，故取不到等号.对勾函数166y x x=+-在()0,4单调递减，在()4,+∞单调递增，∵22MF c a ≥-=，∴1268MF MF =+≥，故当212,8MF MF ==时，2116MF MF +取得最小值为4.故选：B.二、填空题11.已知复数5i12iz =+，则z 的虚部为________.1【分析】由复数除法得出2i z =+，即可得虚部【详解】()()()5i 12i 5i 105i 2i 12i 12i 12i 5z -+====+++-，故虚部为1.故答案为：112.若空间中有三点()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C -，则点()1,2,3P 到平面ABC 的距离为______.3147【分析】求出平面ABC 的法向量，利用空间距离的向量公式去求P 到平面ABC 的距离可得答案.【详解】由()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C -可得()()1,1,21,1,1BA BC =--=-，,设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =r,则0n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，令3x =，则()3,1,2n =-r，又()0,2,4PA =-- ,则点()1,2,3P 到平面ABC的距离为7PA nn⋅==,故答案为:3147.13.在下列命题中：①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c不一定共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数,,x y z 使得p xa yb zc =++．其中正确命题的是______．③【分析】根据共线向量和共面向量的相关定义判断即可.【详解】①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线可以重合，并不一定平行，错误；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故,a b共面，错误；③若,,a b c 两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，则,,a b c不一定共面，正确；④只有当空间的三个向量,,a b c不共面时，对于空间的任意一个向量p 总存在实数,,x y z 使得p xa yb zc =++，若空间中的三个向量共面，此说法不成立，错误；综上③正确，故选：③14.已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为___________.++【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l 得PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=，如图，则直线l 的方程为：4y x =-+，将()4,0B 沿着直线l 往上平移个单位到B '点，有()3,1B '，连接AB '交直线1l 于点P ，过P 作2⊥PQ l 于Q ，连接BQ ，有//,||||BB PQ BB PQ ''=，即四边形BB PQ '为平行四边形，则||||PB BQ '=，即有||AP QB AP PB AB ''+=+=，显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值，因此AP QB +的最小值，即AP PB '+的最小值AB '，而AB '==，所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '++【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.15.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比MQ MPλ=()0,1λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为______.【分析】根据点M 的轨迹方程可得()2,0Q -，结合条件可得2MP MB MQ MB QB +=+≥，结合图象，即可求得.【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ ，又1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MP =．因为MQ MPλ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又2MQ MP =，所以2MP MB MQ MB QB +=+≥，当且仅当,,Q M B 三点共线时，等号成立，因为101123QB k -==+，所以直线QB 方程为：()123y x =+即320x y -+=，圆心到直线距离1015d r =<=，即直线QB 与圆相交.（如图中的12,M M 点均满足）又因为()1,1B ，所以2MP MB +的最小值为==BQ ．.三､解答题16.若两条相交直线1l ，2l 的倾斜角分别为1θ，2θ，斜率均存在，分别为1k ，2k ，且120k k ⋅≠，若1l ，2l 满足______（从①12θθπ+=；②12l l ⊥两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：（1）1k ，2k 满足的关系式；（2）若1l ，2l 交点坐标为()1,1P ，同时1l 过(),2A a ，2l 过()2,B b ，在（1）的条件下，求出a ，b 满足的关系；（3）在（2）的条件下，若直线1l 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a ，b 的值．（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【分析】（1）依题意11tan k θ=，22tan k θ=，若选①利用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解；（2）首先表示出直线1l 、2l ，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；（3）按照函数的平移变换规则将直线1l 进行平移变换，即可求出1k ，从而求出直线1l 的方程，即可求出a ，再根据（1）求出直线2l 的方程，即可求出b 的值；【小问1详解】解：依题意11tan k θ=，22tan k θ=，且1θ，2θ均不为0或2π，若选①12θθπ+=，则12θπθ=-，则()122tan tan tan θπθθ=-=-，即120k k +=；若选②12l l ⊥，则121k k ×=-【小问2详解】解：依题意直线1l ：()111y k x -=-，直线2l ：()211y k x -=-，又1l 过(),2A a ，所以()1121k a -=-且1a ≠，即()111k a =-且1a ≠，又2l 过()2,B b ，所以()2211b k -=-且1b ≠，即21b k -=且1b ≠；若选①，则120k k +=，所以121b k k -==-，即()()111b a =--且1a ≠、1b ≠；若选②，则121k k ×=-，所以()()21111b a k k -⨯=-⨯，即2b a +=且1a ≠、1b ≠；【小问3详解】解：直线1l ：()111y k x -=-，将直线1l 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到()14121y k x -⎡⎤-=-+⎣⎦，即11215x y k k --=+，所以1152k k -+=-，解得112k =，此时直线1l ：()1112y x -=-，所以()1112a =-，解得3a =；若选①，则212k =-，此时直线2l ：()1112y x -=--，所以121b -=-，解得12b =；若选②，则22k =-，此时直线2l ：()121y x -=--，所以12b -=-，解得1b =-；17.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点.（1）若12F PF △为等腰直角三角形，求椭圆C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于9，求b 的值和a 的取值范围.（11-或2（2）3b =，)+∞【分析】（1）根据1290PF F ︒∠=或2190PF F ︒∠=或1290F PF ︒∠=进行分类讨论，通过求22ce a=来求得椭圆的离心率.（2）根据已知条件列方程求得b ，判断出22c b ≥，结合222a b c =+求得a 的取值范围.【小问1详解】12F PF △为等腰直角三角形可知有三种情况．当1290PF F ︒∠=时，1||2PF c =，2||PF =，于是12||||1)2PF PF c a +=+=，得212c e a ===；当2190PF F ︒∠=时，同理求得1e =；当1290F PF ︒∠=时，则P 在椭圆短轴的端点，12||||PF PF ==，12||||2PF PF a +==，解得2222c e a ===，所以椭圆C 1或22.【小问2详解】设(,)P x y ，由12F PF △的面积等于9，得12||92c y ⋅⋅=，①由12PF PF ⊥，得222x y c +=，②再由P 在椭圆上，得22221x y a b+=，③由②③及222c b a +=，得422b y c =，又由①知242229b y c c==，故3b =，由②③得22222()a x c b c=-，22c b ∴≥，从而2222218a b c b =+≥=，故a ≥3b ∴=，a ≥P ，故3b =，a 的取值范围为).+∞18.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，BF AB ⊥．（1）证明：BF ⊥平面11E AB ；（2）当1B D 为何值时，平面11BB C C 与平面DFE 所成的夹角最小？（1）证明见解析（2）112B D =【分析】(1)先证明AB ⊥平面11BCC B ，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法证明1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，由线面垂直判定定理证明BF ⊥平面11E AB ；(2)求平面11BB C C 与平面DFE 的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角余弦，再求其最小值可得1B D 的取值.【小问1详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥底面ABC ，AB ⊂底面ABC ，所以1BB AB ⊥．因为BF AB ⊥，1BB BF B ⋂=，1BB ⊂平面11BCC B ，BF ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ．所以BA ，BC ，1BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，所以()0,0,0B ，()2,0,0A ，()12,0,2A ，()10,0,2B ，()1,1,0E ，()0,2,1F ，因为()0,2,1BF = ，()11,1,2EA =- ，()11,1,2EB =--，所以10BF EA ⋅= ，10BF EB ⋅=，所以1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，因为11EA EB E ⋂=，1EA ，1EB ⊂平面11E AB ，所以BF ⊥平面11E AB ．【小问2详解】由题设()(),0,202D a a ≤≤．设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()1,1,1EF =- ，()1,1,2DE a =--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-．因为平面11BB C C 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BB C C 与平面DEF 所成的夹角为θ，则cos m BA m BA θ⋅==⋅ 当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ3=，此时11112B D A B =<，符合题意．故当112B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的夹角最小．19.如图，已知动圆P 过点()11,0F -，且与圆()222:18F x y -+=内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）过点1F 的直线l 交E 于A 、B 两点，是否存在实数t ，使得11AB t AF BF =⋅恒成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.（1）2212xy +=（2）存在，且t =【分析】（1）分析可知动点P 的轨迹是1F 、2F为焦点，以为长轴长的椭圆，求出a 、b 的值，结合椭圆E 的焦点位置可得出椭圆E 的方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程，与椭圆E 的方程联立，利用弦长公式以及两点间的距离求出t 的值，即可得出结论.【小问1详解】解：显然，圆2F的半径为，设圆P 的半径为r ，由题意可得12PF r PF r⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以，12122PF PF F F +=>=，则动点P 的轨迹是1F 、2F为焦点，以为长轴长的椭圆，设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b +=>>，122F F c =，所以a =1c =，1b ==，故E的方程为2212x y +=.【小问2详解】解：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立方程组()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k+=-+，21222212k x x k -=+.12AB x =-=212k =+)22112k k +=+.1AF ===1BF ===所以()222221212112228424112122212k k x x x x k k k AF BF k --+++++++==+⋅==.所以11·AB BF =；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，联立方程组22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得21,2A ⎛- ⎝⎭、21,2B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.此时AB =，11221222AF BF ⋅=⨯=，所以11AB BF =⋅.综上，存在实数t =使得11AB t AF BF =⋅恒成立.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题11．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．12．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.三、单选题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．“a b c d ,,,成等差数列”是“a d b c +=+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．数列{}n a 的通项公式为||n a n c =-(*)n N Î,则“1c £”是 “{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知数列{}na 满足11a =，1n n a ra r +=+，(*n ÎN ，r R Î，0r ¹)，则“1r =”是“数列{}na 为等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．已知S n 是等差数列{}()*N na n Î的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命题的是（ ）A ．公差0d <B ．在所有S 0n <中，13S 最大C ．满足S 0n>的n 的个数有11个D ．67a a >18．设,ab R Î，则“a b >”是“22a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．设0,0a b >>，则（ ）A ．若2223a b a b +=+，则a b >B ．若2223a b a b +=+，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a b a b -=-，则a b<四、填空题20．比较下列各数的大小：可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．5．C【详解】试题分析：由题意得，(2,3)Ç=，故选C.A B【考点】集合的交集运算【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么（即元素的意义），是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．6．A【详解】在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A BÇ为图中阴影部分，即{}-<<，故选A.|32x x考点：集合的交集运算.【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =ì=í-Îî，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.12．1,2,3---【详解】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．13．C【分析】利用常数列、数列前n 项和的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】数列{}na 为常数列，则*N n "Î，1n a a =，121n n n S a a a na na =+++==L ，*N n "Î，n n S na =，则当2n ³时，11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--，即1(1)(1)n n n a n a --=-，有1n n a a -=，因此，*N n "Î，11n a a S ==，数列{}n a 为常数列，所以“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的充分必要条件.故选：C 14．A【详解】a ，b ，c ，d 成等差数列Þ a d b c +=+,而1533+=+ ,但1,3,3,5不成等差数列,。

一、单选题1．空间向量（ ）OA OB AC -+=A ．B ．C ．D ．AB CB OC BC 【答案】D【分析】利用向量的加减法则即可求解.【详解】 OA OB AC BA AC BC -+=+=故选：D2．圆的半径是（ ） 22230x y y +--=A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】将圆的一般式化为标准式即得.【详解】由，可得， 22230x y y +--=()2214x y +-=所以圆的半径是， 22230x y y +--=2故选：B.3．抛物线的焦点到准线的距离是（ ） 28x y =A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【详解】抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2),准线方程为y =-2,焦点到准线的距离为4. 故选：C.4．已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 2n S n =2a =A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据关系解决即可.,n n a S 【详解】由题知，数列的前项和，{}n a n 2n S n =所以， 122413a S S =-=-=故选：C5．若等差数列满足，，则其前n 项和的最小值为（ ）{}n a 31a =-41a =A ．B ．C ．D ．9-8-7-6-【答案】A【分析】由已知求出和的值，得到，即可求出最小值.1a d ()22639n S n n n =-=--【详解】由题意可得，，又，所以. 432d a a =-=312a a d =+15a =-所以，的前n 项和， {}n a ()1522n n n S n -=-+⨯()226399n n n =-=--≥-当时，有最小值. 3n =n S 9-故选：A.6．设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（ ）{}n a *212N ,n n n n a a a ++∀∈={}n a A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等比数列的定义可以判断“”是“为等比数列”的充分必要条件,*212N ,n n n n a a a ++∀∈={}n a 即可选出结果.【详解】解:由题知是各项不为0,{}n a 若,*212N ,n n n n a a a ++∀∈=则, 121n n n n a a a a +++=故为等比数列; {}n a 若为等比数列, {}n a 则有, 121n n n n a a a a +++=即;212n n n a a a ++=综上“”是“为等比数列”的充分必要条件.*212N ,n n n n a a a ++∀∈={}n a 故选:C7．设是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆C 上，，则（ ）12,F F 22:194x y C +=14PF =2PF =A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用椭圆的定义即可得解.122PF PF a +=【详解】因为椭圆，22:194x y C +=所以，则，29a =3a =因为，， 1226PF PF a +==14PF =所以. 22PF =故选：B.8．如图，在三棱柱中，平面．，，分111ABC A B C -1CC ⊥1,2ABC AB BC AC AA ====D E F 别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）1111,,AA AC BB EF BCDA ．平行B ．垂直C ．直线在平面内D ．相交且不垂直【答案】D【分析】根据图形位置证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面的法向量，直线BCD 的方向向量，判断平面的法向量是否与直线的法向量垂直，又判断直线与直线EF BCD EF EF CD是否垂直，可得直线与平面的位置关系.【详解】解：如图取中点，连接，AC M EM BM因为为中点，所以AB BC M =AC MB AC ⊥又在三棱柱中，平面，为中点，所以 111ABC A B C -1CC ⊥ABC E 11A C 1//EM CC 则平面，又平面，所以，， EM ⊥ABC ,AC MB ⊂ABC EM AC ⊥EM MB ⊥又，则，所以， 12AC AA ==112AM AC ==2MB ==以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，M ,,MA MB ME ,,x yz则,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，(0B 0)(1C -0)(1D 1)(0E 2)(0F 1)设平面的法向量为，BCD (,,)n x y z =则，即，令，则，，故，00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y x y z +=⎧⎨-+=⎩1y =-2x =4z =-(2,1,4)n =-- 又，(0,2,1)EF =-(2,0,1)DC =-- 因为，又 20(1)2(4)(1)20n EF ⋅=⨯+-⨯+-⨯-=≠()001(1)10EF DC ⋅=++-⨯-=≠ 所以直线与平面相交，且不垂直于平面． EF BCD BCD 故选：D.9．记为等比数列的前n 项和．已知，则数列（ ） n S {}n a 1414,2a a =-={}n S A ．无最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项 D ．有最大项，有最小项【答案】D【分析】求出公比，求出，然后分析的性质即可．q n S {}n S 【详解】设公比为，则，， q 34118a q a ==-12q =-， 11412(1)811113212n n nn a q S q ⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===---⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭当为偶数时，，对应函数为减函数，即，n 81132n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭24683S S S >>>>- 当为奇数时，，对应函数为增函数，即，n 81132n n S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭13583S S S <<<<- 所以有最大项为，最小项为．{}n S 2S 1S故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的前项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得后按奇偶数分n n S 类，得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比大，所有奇数项比小，即可确定最值．83-83-10．已知M 是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ） 22(1)1x y -+=M 1()y kx k =+∈RA ．2 BC ．3D ．11【答案】B【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据恒过的定点，过圆心作直线的垂线，垂足为，得1()y kx k =+∈R ()0,1C ()1,0A 1()y kx k =+∈R B知点的轨迹为以为直径的圆，则求解.B AC max max 11d AB =+=+【详解】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作()2211x y -+=()1,0A M 1()y kx k =+∈R d A 直线的垂线，垂足为，1()y kx k =+∈R B 则点到直线的距离为，所以，A 1()y kx k =+∈R AB max max 1d AB =+又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆， 1()y kx k =+∈R ()0,1C B AC则，所以 max AB =max max 11d AB =+=故选：B二、填空题11．3与7的等差中项为___________． 【答案】5【分析】由等差中项的定义，若成等差数列，则即可求得. A G B ，，2A BG +=【详解】设3与7的等差中项为，则由等差中项的定义得. x 3752x +==故答案为：512．直线关于y 轴对称的直线的方程为___________． 1y x =+【答案】1y x =-+【分析】设所求直线上任一点为 ，可得关于轴的对称点，然后代入即得. (),x y y (),x y -1y x =+【详解】设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为，(),x y y (),x y -将代入直线得，，(),x y -1y x =+1y x =-+即直线关于y 轴对称的直线的方程为. 1y x =+1y x =-+故答案为：.1y x =-+13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则___________．2221(0)x y a a -=>20x y +==a 【答案】2【分析】先由双曲线的渐近线设出双曲线的方程，再利用待定系数法即可求得的值. a 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，20x y +=所以双曲线的方程可设为，即，()2204x y λλ-=≠2214x y λλ-=因为，2221(0)x y a a-=>所以，解得（负值舍去），241a λλ⎧=⎨=⎩2a =所以. 2a =故答案为：.214．能说明“若等比数列满足，则等比数列是递增数列”是假命题的一个等比数列{}n a 12a a <{}n a 的通项公式可以是___________．{}n a 【答案】（答案不唯一）1*(2),N n n a n -=--∈【分析】根据等比数列单调性可知，首项和公比共同决定了数列的单调性，即可写出符合1a q {}n a 题意的数列.【详解】由题意可知，若“等比数列是递增数列”， {}n a 需满足当时，公比；或时，公比； 10a <01q <<10a >1q >又因为命题为假命题，所以公比即可满足题意， 0q <不妨取，首项时，公比，则满足11a =-2q =-22,a =12a a <此时数列是摆动数列，通项公式为{}n a 111*1(1)(2)(2),N n n n n a a q n ---==--=--∈故答案为：1*(2),N n n a n -=--∈15．平面内，动点M 与点的距离和M 到直线的距离的乘积等于2，动点M 的轨迹为(1,0)F =1x -曲线C ．给出下列四个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与x 轴有2个交点；④点M 与点． (1,0)F 1其中所有正确结论的序号为___________． 【答案】②③④【分析】将所求点用直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，令(,)x y 0x =0y =可判断A ，根据代入可判断B ，令可解的值，进而可判断C,利用消元法，然后利用函数y -0y =x 的单调性求最值可判断D ． 【详解】设动点的坐标为，(,)M x y 曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于2的点的轨迹，C (1,0)F =1x -，∴|1|2x +=当时，曲线不过坐标原点，故①错误；0x =0y =|01|2+≠∴C中的用代入该等式不变，曲线关于轴对称，故②正确；|1|2x +=y y -∴C x令与轴有2个交点，故③正确； 0y =|1|2|1||1|2=x x x x +=⇒-+=⇒±C x，|1|2x +=，解得 20y ∴=≥x ≤≤若点在曲线上，则，故④正确． ∴M C 211MF x ==≥-+故答案为：②③④．三、解答题16．已知点和点是圆C 直径的两个端点． (0,1)A ()2,3B (1)求线段的中点坐标和圆C 的方程； AB (2)过点A 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程． 【答案】(1)中点， AB (1,2)22:(1)(2)2C x y -+-=(2) :10l x y +-=【分析】（1）根据中点坐标公式即可求得的中点，即圆心坐标，利用两点间距离公式可求得直,A B径，即可写出圆C 的方程；AB （2）根据直线和圆的位置关系可得切线l 的斜率，再利用点斜式方程即可求得切线l 的方程． 【详解】（1）由点和点是圆C 直径的两个端点， (0,1)A ()2,3B 可得的中点即为圆心C ，根据中点坐标公式可得，AB (1,2)C即线段的中点坐标为，根据两点间距离公式得直径， AB (1,2)C AB ==所以圆C 的半径为 r =则圆的方程为22:(1)(2)2C x y -+-=（2）根据题意可知直线与切线l 垂直，直线的斜率为， AB AB 31120AB k -==-设切线l 的斜率为，满足，得；k 1AB k k =-A 1k =-又切线l 过点A ，利用直线的点斜式方程得； :11(0)l y x -=-⨯-即切线l 的方程为.:10l x y +-=17．已知等差数列满足． {}n a 1231,5a a a =+=(1)求的通项公式；{}n a (2)设是等比数列，，求数列的前n 项和． {}n b 1322,2b b b =={}n n a b +n T 【答案】(1)；n a n =(2).21222n n n n T ++=+-【分析】（1）结合题意利用等差数列的通项公式求出公差，即可求出通项公式；d （2）根据是等比数列及，即可求出等比数列的通项公式，再利用分组求和{}n b 1322,2b b b =={}n b 即可求出.n T 【详解】（1）是等差数列且{}n a 1231,5a a a =+= 1125a d a d ∴+++=1d ∴=()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=n a n ∴=（2）是等比数列，{}n b 1322,2b b b ==2q ∴=2n n b ∴= 2n n n a b n ∴+=+采用分组求和即得.()()212121222122n n n n n n n T +-++=+=+--18．已知抛物线的焦点为F ． 2:4C y x =(1)求F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 与抛物线C 交于两个不同点A ，B ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长． ||AB 条件①：直线l 的斜率为1； 条件②：线段的中点为．AB (3,2)M 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)焦点，准线方程为 ()1,0F =1x -(2)8【分析】（1）直接根据开口的方向以及的值即可得结果；p （2）选择条件①：直接联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得，由弦长公式即可126x x +=得结果；选择条件②：可得，由弦长公式即可得结果. 126x x +=【详解】（1）抛物线开口向右，其中， 2:4C y x =2p =所以焦点，准线方程为. ()1,0F =1x -（2）选择条件①：直线l 的斜率为1 所以直线的方程为， l 1y x =-设，，()11,A x y ()22,B x y 联立得，显然，214y x y x =-⎧⎨=⎩2610x x -+=0∆>所以，126x x +=即.12628AB x x p =++=+=选择条件②：线段的中点为AB (3,2)M设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 126x x +=即.12628AB x x p =++=+=19．如图，在长方体中，，E 是棱的中点．1111ABCD A B C D -11,2AB AD AA ===1DD(1)求证：∥平面；1C D 1AB E (2)求平面与平面夹角的余弦值； 1AB E 1111D C B A (3)求点到平面的距离． 1C 1AB E 【答案】(1)答案见解析.【分析】对于（1），证明即可. 11C D B A A 对于（2），（3），利用向量法可得答案.【详解】（1）证明：由题，四边形为矩形，四边形是正方形，11B C CB ABCD 则，故四边形是平行四边形，得，又1111，B C BC AD B C BC AD ==A A 11ADC B 11C D B A A 平面，平面，则∥平面. 1C D ⊄1AB E 1B A ⊂1AB E 1C D 1AB E （2）如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系.则，()()()()()()11000100010102012011,,，,,,,,，,,，,,，,,A B D B D E 得，设平面法向量为， ()()1102011,,，,,AB AE ==1AB E (),,n x y z =则，取. 120n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ()211,,n =-又平面法向量，且由图可知，1111D C B A ()0,0,1m = 平面与平面夹角为锐角，则 1AB E 1111D C B Aθcos θ（3）由图可得，，则，又由（2）解析可知()11,1,2C ()1112,,AC = 平面法向量为， 1AB E ()211,,n =-则点到平面的距离. 1C 1ABE d20．已知椭圆过点，且． 2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>(2,1)P 2a b =(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设O 为原点，直线OP 与直线l 平行，直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线PM ，PN 分别与x 轴交于点E ，F ．当E ，F 都在y 轴右侧时，求证：为定值． OE OF +【答案】(1)2282x y +=(2)证明过程见详解【分析】（1）将点代入椭圆中，再结合，即可求出和，进而求得椭圆(2,1)P 2222:1x y C a b+=2a b =a b C 的方程，再根据，代入中，即可得到椭圆C 的离心率； 222c a b =-c e a =（2）根据题意设直线l 的方程为，设，，从而得到直线12y x m =+()1122,M y m y -()2222,N y m y -PM 的方程，进而得到和，联立直线l 与椭圆C 的方程，再根据韦达定理12,01m E y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭22,01m F y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭得，，即可求得的值为4，即结论得证．12y y +12y y ⋅OE OF +【详解】（1）解：依题意有，得C 的方程为， 22222112a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩22182x y +=又C 的离心率为 c ==c e a ===（2）证明：依题意可得直线OP 的方程为， 12y x =则可设直线l 的方程为，不妨设，， 12y x m =+()1122,M y m y -()2222,N y m y -则直线PM 的方程为，得，同理得， ()11121222y y x y m -=-+--12,01m E y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭22,01m F y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭联立，消x 整理得， 2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222220y my m -+-=则，， 12y y m +=21222m y y -⋅=又E ，F 都在y 轴右侧，即，， 1201m y >-2201m y >-所以（定值）， ()()()1221212122222224211112m y y m m m m OE OF m y y y y y y m +--+=+===---⋅-++-+故结论为定值成立．OE OF +【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：①设出直线方程，设交点为，；()11,A x y ()22,B x y ②联立直线与曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； ③写出韦达定理；④将所求问题转化为，（或，，）的形式； 12x x +12x x ⋅12y y +12y y ⋅⑤代入韦达定理求解．21．已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k ，总存在i ，j ，使得，其中{}n a ,i j a k a k ≤≥i j ≤．令为满足的所有i 中的最大值，为满足的所有j 中的最小值．k b i a k ≤k c j a k ≥(1)若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值；{}n a 4b 4c (2)若是无穷等比数列，，公比q 是大于1的整数，，求q 的值；{}n a 11a =34534,b b b c c <==(3)若是无穷等差数列，，公差为，其中m 为常数，且，求证：{}n a 11a =1m*1,m m >∈N和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．12,,,,k b b b 12,,,,k c c c 【答案】(1)，，43b =44c =(2)或2q =4q =(3)证明见解析，， 1n b nm m =-+1n c nm m =-+【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由等比数列的通项公式写出的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果； {}n a （3）由等差数列的通项公式写出的通项，用定义法证明等差数列即可.{}n a 【详解】（1）∵，，，， 11a =22a =33a =45a =又∵，，4i a ≤4j a ≥∴且，且， 3i ≤N i *∈4j ≥N j *∈∴，43b =44c =（2）由题意知， ，∴，且，11a =111n n n a a q q --==1q >Z q ∈∵，3i a ≤∴，13i q -≤∴1log 3q i ≤+∴，且， 3[1log 3]q b =+1q >Z q ∈同理：，且，，且， 4[1log 4]q b =+1q >Z q ∈5[1log 5]q b =+1q >Z q ∈又∵，345b b b <=∴， [1log 3][1log 4][1log 5]q q q +<+=+即：，且， [log 3][log 4][log 5]q q q <=1q >Z q ∈∵，3j a ≥∴，13j q -≥∴，1log 3q j ≥+∴当时，，当时，，log 3N q *∈31log 3q c =+log 3N q *∉3[2log 3]q c =+同理：当时，，当时，，log 4N q *∈41log 4q c =+log 4N q *∉4[2log 4]q c =+又∵，，且， 34c c =[log 3][log 4][log 5]q q q <=1q >Z q ∈∴，，， log 3N q *∉log 4N q *∈[2log 3]1log 4q q +=+解得：或2q =4q =（3）证明：由题意知，，m 为常数，且且， 111(1)1(1)n m n a a n d n m m +-=+-=+-⨯=1m >N m *∈∴为单调递增数列，{}n a 又∵，，1i a ≤1j a ≥11a =∴，，1i =1j =∴，，11b =11c =∵，，i a k ≤j a k ≥∴，， 1m i k m +-≤1m j k m+-≥∴，，且且， 1i mk m ≤-+1j mk m ≥-+1m >N m *∈N k *∈∴，1N mk m *-+∈∴，， 1k b mk m =-+1k c mk m =-+∴，， 1(1)11k b m k m mk +=+-+=+1(1)11k c m k m mk +=+-+=+∴，， 1(1)(1)k k b b mk mk m m +-=+--+=1(1)(1)k k c c mk mk m m +-=+--+=又∵m 为常数，且， 1m >N m *∈∴为等差数列， 为等差数列， {}k b {}k c 又∵，， 1k b mk m =-+1k c mk m =-+∴ ，1n b mn m =-+1n c mn m =-+。